dề thi HSG tỉnh 12 năm 2007-2008

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Môn thi: toán lớp 12 THPT bảng a
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (6,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm:
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0.
b) Chứng minh rằng:
3
sinx
cosx
x

>
ữ

, với
x (0; )
2


.
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Cho hai số thực x, y thoả mãn:
x 0
y 1
x y 3

+ =

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x
3
+ 2y
2
+ 3x
2
+ 4xy - 5x.
b) Giải hệ :
x y
2 2
sinx
e
sin y
3 8x 3 1 6 2y 2y 1 8y
x, y 0;
4


=



+ + = + +

ữ



Bài 3. (2,5 điểm)
Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dơng n luôn tồn tại duy nhất số thực x
n
sao cho
n
n
x
1
x n 0
2008
+ =
. Xét dãy số (x
n
), tìm giới hạn: lim(x
n + 1
- x
n
).
Bài 4. (5,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3

2
. Biết
A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3xy8=0.
Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng cho đờng tròn (C) có tâm O, bán kính R và đờng thẳng d tiếp xúc
với (C) tại điểm A cố định. Từ điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đờng tròn (C)
kẻ tiếp tuyến MT tới đờng tròn (C) (T là tiếp điểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc
của M lên d.
Chứng minh rằng đờng tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đờng
tròn cố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH.
-----------Hết -----------
Họ và tên thí sinh: ............................................................................ SBD:................................
Đề chính thức