Hsg huyện yên định 2010 2011

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 THCS CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010 - 2011
MƠN: TỐN

PHỊNG GD&ĐT
HUYỆN N ĐỊNH

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1 ( 2 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
1

9
A= 4

9

3
3
3
1
0,6 


25 125 625
11
4 + 4
4
4

 0,16 

11
5
125 625

1
1
1


49 49 (7 7) 2

1

B=

1

7
4

7

2

64 4  2 
4
   
2

7  7
343

Câu 2: ( 2 điểm) Tìm các số a1, a2, a3, ... a9 biết
a 9
a1  1 a2  2 a3  3


...  9
và a1 + a2 + a3 + ... + a9 = 90
9
8
7
1

Câu 3: ( 4 điểm)
a) Tìm x, y thoả mãn:
b) Tìm x, y, z thoả mãn:
Câu 4. (2 điểm) Cho

x2  2x  y 2  9

(x 

2)

2

+

=0

(y 

a c
 chứng minh rằng:
c b

2)2

+

x yz

=0

b2  a 2 b  a

a2  c2
a

Câu 5 ( 3 điểm)
x + 1 với x ≥ -1
a. Cho hàm số:

y = f(x) =

-x – 1 với x < -1
- Viết f(x) dưới dạng 1 biểu thức.
- Tìm x khi f(x) = 2.

b. Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P(1) = Q(-1)
Câu 6 (2 điểm)Tìm x, y để C = -18- 2 x  6  3 y  9 đạt giá trị lớn nhất.
Câu 7 (2 điểm)
Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy
chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h. Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung
điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ơ tơ cách M một khoảng bằng

1
2

khoảng cách từ xe máy đến M.
Câu 8 (3 điểm) Cho  ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm
giữa M và C. Kẻ BH, CK vng góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng
minh rằng:
a) BH = AK.
b)  MBH =  MAK.
c)  MHK là tam giác vuông cân.
HẾT


HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
NĂM HỌC 2010 - 2011
Đáp án

điểm
1đ

Câu 1
A=1

B=

1đ

1
4

Câu 2 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta tính được
a1 = a2 = ... = a9 = 10
Câu 3

2đ

a) Vì x 2  2 x 0 và y 2  9 0  x2 + 2x = 0 và y2 – 9 = 0 từ đó tìm được các
cặp (x;y) =  (0;3);(0;  3);( 2;3);(  2;  3)
b) Vì (x  2 ) 2  0 với  x ; ( y 
với  x, y, z
Suy ra đẳng thức đã cho tương đương









 x



 y
 z






 0 với  y ;

2)2

( x
(
x

y



2 )



2 )


y

x yz



x

2
2

0

0
0

0



1đ
1đ
1đ

2
2

0

1đ
Câu 4: Ta có
a ( a  b) a
a c

a 2  c 2 a 2  a.b
 suy ra c 2 a.b khi đó 2 2  2
= b( a  b )  b
c b
b c
b  a.b
2
2
b c
b
 2 2 
a c
a
2
2
b c
b
b2  c2
b
b2  c2  a 2  c2 b  a

Từ 2 2   2 2  1   1 hay
a c
a
a c
a
a2  c2
a
2
2

b a
b a
vậy 2 2 
a c
a

Từ

Câu 5:
a. Biểu thức xác định f(x) = x  1
Khi f(x) = 2  x  1 = 2 từ đó tìm được x = 1; x= -3.
b) Thay giá trị tương ứng của x vào 2 đa thức , ta tìm được biểu thức
P(1) và Q(-1) theo m

0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1,5 đ

1

giải phương ẩn m mới tìm được => m = - 4

1,5 đ

Câu 6
Ta có C = -18 - ( 2 x  6  3 y  9 ) £ -18
Vì 2 x  6 0; 3 y  9 0

0,5 đ

 2 x  6 0
Suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng -18 khi 
3 y  9 0

=> x = 3 và y = -3
C©u 7

0,5đ
0,5đ
0,5đ


aM 2a

A

B

S2
S1
QuÃng đờng AB dài 540km, nửa quÃng đờng AB dài 270km.
Gọi t là khoảng thời gian từ lúc khởi hành cho đến khi ô tô và xe máy
lần lợt cách M bằng a và 2a (km, a>0).
Khi đó ô tô và xe máy lần lợt đi đợc các quÃng ®êng lµ: 270 – a vµ
270 – 2a
=>

t=

270  a 270  2a

65
40

0,5 ®

t=
t

0,5 ®

0,5 ®
270
3
90

0,5 ®

VËy sau khi khëi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng

1
2

khoảng cách từ xe máy tới M.
Câu 8
B

M

K
E

H
A

C

a) Theo bài ra cã: BAH + KAC = BAH+ HBA => KAC= HBA
mµ AB = CA (gt)
=>  HAB =  KCA (ch – gn)  BH = AK
b) Cã MBH + HBA=450 = MAK + KAC mµ KAC = HBA (c/m trên)
=> MBH = MAK
Xét MBH và MAK có:
MB=MA (t/c tam giác vuông)
MBH = MAK (c/m trên)
BH = AK (c/m trên)
=> MBH = MAK (đpcm)
c) Từ các kết quả trên => MHA = MKC (c.c.c) vµ MH = MK (1)
 KMC = HMA => KMC + CMH = HMA + CMH =900



HMK = 900 (2)
Tõ (1) và (2) MHK vuông cân tại M (®pcm)

0,5®
0,5®
0,25®

0,75®
0,25®
0,25®
0,5®