Hsg l4

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 4,0 điểm) a. Tìm x, y biết:
x

y

4x
7 y

y

=

4
7

và x + y = 22
2x  3y  4z

z

b. Cho  và  . Tính M = 3x  4 y 5 z
3 4
5 6
c.Tính giá trị của ®a thøc sau, biÕt x + y – 2 = 0
M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006
a b c
a 3b 2c1930
= = và a + b + c  0. Tính
b c a

a1935

d. Cho
Bài 2: ( 3,0 điểm)
Thực hiện tính:
1
2

1
3

1
4

a. P = 1  (1  2)  (1  2  3)  (1  2  3  4)  ... 
1

1
(1  2  3  ...  16)
16

1

1



 

b. Tính : A  1 

 1
 ...  1 

 1  2   1  2  3   1  2  3  ... 1986 
c. Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
a b b c c d d a



Tính M 
c d d a a b b c

Bài 3: ( 4,0 điểm)
Tìm x biết:
a.

1 2 3 4 5
30 31
. . . . ...
.
2 x
4 6 8 10 12 62 64

b.

45  45  45  45 65  65  65  65  65  65
.
2 x
35  35  35
25  25

c. Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117
d. Tìm x Z để A Z và tìm giá trị đó. A =

1 2x
x 3

.

Bài 4: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của
tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
a. Chứng minh BEH = ACB.
b. Chứng minh DH = DC = DA.
c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân.
d. Chứng minh AE = HC.
Bài 5(2đ) : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
2012
a) P = 2
x  4 x  2013

a 2012  2013

b) Q = 2012
a  2011

Bài 6 (4Đ)
Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao
AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE.
Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
a) Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A
b) Tính số đo các góc AIC và AKB ?

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (2,0 điểm)


 28  7 x = 28  4 y
x y x y
4 7 47
x y 22
   2  x 8; y 14
4 7 11
x y
x
y y z
y
z
x
y
z
 
 ;

 




3 4
15 20 5 6
20 24
15 20 24
2x 3y 4z 2x  3y  4z



(1) 
30 60 96 30  60  96
3x 4 y
5z
3x  4 y  5 z



(1) 
45 80 120 45  80  120
2 x  3 y  4 z 3x  4 y  5 z

:
= 2x : 3x
30  60  96 45  80  120 30 45

  

2x  3y  4z

245

2x  3y  4z

(1)

186

.
1  M 


186
3x  4 y  5 z
3 x  4 y 5 z 245
c. Biến đổi mỗi đa thøc theo híng lµm xt hiƯn thõa sè x + y – 2
M = (x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y) + (x+y -2) + 1
= x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
=x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008
Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính:
2S = 2 2011  2 2010  2 2009...  2 2  2
2S-S = 2 2011  2 2010  2 2010.  2 2009  2 2009..  2 2  2 2  2  2  1
S = 2 2011  2.2 2010  1
S
2 2011  2 2011  1 1

1 2.3 1 3.4 1 4.5

1 16.17
 .

 ... 
2 2
3 2
4 2
16 2
2 3 4 5
17
  .    ... 
2 2 2 2
2
1
 1  2  3  ...  17  1
2
1  17.18

 
 1 76
2 2


P = 1 .

+ Hướng dẫn giải :
n  n  1
)
2
1 

1
1

 

A  1 
 1 
 ...  1 

 1  2   1  2  3   1  2  3  ...  1986 


 







1
1
1
 1 
 ...  1 

 1 
2  2  1  
3  3  1   1986  1986  1 




 


2

2
 
2

2 
2  
2

 2 5 9 1987.1986  2 4 10 27 1987.1986  2
 1 
 . . ....
;(1)
 1 
 ...  1 
  . . ....
2.3   3.4   1986.1987  3 6 10
1987.1986
6 12 20
1987.1986


- Ta có : ( nhớ rằng 1  2  3  ...  n 

Mặt khác :
1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988
= 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2)
Từ (1) và (2) ta có :
A

4.1 5.2 6.3 1988.1985  4.5.6...1988 (1.2.3...1985)
.
.
....

.
2.3 3.4 4.5 1986.1987 (2.3.4...1986) (3.4.5...1987)

1987.1988
1.2
1988
994 .

.


2.3
1986.1987 1986.3 2979


2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d




a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
 1
 1
 1
1
Suy ra :
a
b
c
d
a b c  d a b c  d a b c d a b c  d




a
b
c
d

Nếu a + b + c + d = 0
a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)
a b b c c d d a

 M 



= -4
c d d a a b b c
a b b c c d d a



Nếu a + b + c + d 0  a = b = c = d  M 
=4
c d d a a b b c

HD : Từ

Bài 3: ( 2,0 điểm)
1
2
3
4
5
30 31
.
.
.
.
...
. 6 2 x
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 2

1.2.3.4...30.31
2 x
30
6
1.2.3.4...30.31.2 .2
1
2 x
2 36
x  36
4.4 5 6.6 5
.
2 x
3.35 2.2 5
46 66
. 6 2 x
6
3 2
6

6

 6  4
x
  .  2
 3  2

212 2 x  x 12
HD: A = 1  2 x
x 3

=

1  2( x  3)  6
7

2
x 3
x 3

Bài 4: ( 4,0 điểm)
Câu a: 0,75 điểm
BEH cân tại B nên E = H1
ABC = E + H1 = 2 E
ABC = 2 C  BEH = ACB
Câu b: 1,25 điểm
Chứng tỏ được DHC cân tại D nên
DC = DH.
DAH có:
DAH = 900 - C
DHA = 900 - H2 =900 - C
 DAH cân tại D nên DA = DH.
Câu c: 1,0 điểm
ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C
B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C

Hình vẽ:
0,25
0,25

A

0,25

1

D
0,50

B

0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25

E

2
1

H

B’

C


 C = A1 AB’C cân tại B’

Câu d: 1,0 điểm
AB = AB’ = CB’
BE = BH = B’H
Có: AE = AB + BE
HC = CB’ + B’H
 AE = HC

Bài 6

0,25
0,25
0,50

*Phân tich tìm hướng giải

- Xét TH góc A < 900
A

a) Để cm ∆ ADE cân tại A
 cần cm : AD = AH = AE

( Áp dụng t/c đường trung trực)

K

I

E

D

b) Dự đoán CI  IB , BK  KC
Do IB, KC tia phân giác góc ngồi
của ∆ HIK
nên HA là tia phân giác trong. Do
AHC 900 nên HC

B

H

C

là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H và K của ∆
HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB  IC , Chứng
minh tượng tự
ta có BK  KC
- Xét TH góc A>900
*Khai thác bài toán :
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là
trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A
và góc DAC có