Hsg huyện việt yên 2010 2011

Phòng Giáo dục & Đào tạo
Việt Yên

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn : Toán 7
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: ( 4 điểm)
a)Tính A = (

1
1
1
1
1
-1).( -1).(
- 1 ) . ……(
-1 ) . (
-1)
4
9
16
100
121

b) S = 22010  22009  22008  ...  2 1
Bài 2 : ( 4 điểm)
a) Tìm x , y nguyªn biÕt xy + 3x – y = 6
1
1

1
+
+ +
1.2
3.4
37.38
1
1
1
B=
+
+.+
20.38
21.37
38.20
A
là một số nguyên.
B

b) Cho A =

CMR

Bài 3 ( 4 ®iĨm ):
a) Cho S= 17 + 172+173+……..+1718 chøng tá r»ng S chia hÕt cho 307
b) Cho đa thức f (x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
Biết rằng :

f (1)  f ( 1); f (2)  f ( 2)

Chứng minh :

f ( x)  f ( x)

vi mi x.

Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC . Đờng thẳng đi
qua M vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt cạnh AB , AC lần lợt tại E và F . Chứng
minh :
a)

2BME = ACB - B
2
b) FE  AH 2  AE 2 .
4
c) BE = CF .
Bµi 5 ( 2 ®iĨm)
Cho 4 số khơng âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng các giá trị
tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt được giá trị lớn nhất
bằng bao nhiêu?

Phßng Giáo dục & Đào tạo
Việt Yên

Hớng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn : Toán 7

Bµi 1

 3  8  15
 99  120 1.3 2.4 3.5
9.11 10.12
. .
..............
.
 2 . 2 . 2 ................ 2 . 2
100 121
2 3 4
10 11
a) 4 9 16
1.2.3.4......10.3.4.5.6......11.12 1.2.11.12 12

 2 2 
22.32.........112
2 .11
22

1
1

b) S = 2 2010  22009  2 2008  ...  2  1
2S = 2 2011  2 2010  2 2009...  2 2  2
2S - S = 2 2011  2 2010  2 2010.  2 2009  2 2009..  2 2  2 2  2  2  1
S = 2 2011  2.2 2010  1 2 2011  2 2011  1 1
Bµi 2

a)xy + 3x – y = 6 => (x – 1). (y+3) = 3 => x – 1 vµ y+3 là Ư( 3)

Tìm ra các cặp (x, y ) tho¶ m·n (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6)
1
1
1
1 1 1 1
1 1
=     ..........  

 .......... 
1.2 3.4
37.38 1 2 3 4
37 38
1 
1 1
1
1 1
= ( 1 + +  ..........  ) –    .........  
38 
3 5
37
2 4
1 
1 
1 1 1 1
1 1
=      ..........    2    ........  
38 
38 
1 2 3 4
2 4

1 1
1
=   ......... 
20 21
38
1
1
1
B=
=>

 ......... 
20.38 21.37
38.20
1
1 1 1
1
1
1
1 
 1
    ...........  
2    ...........  
58B= 20 38 21 37
38 20
38 
 20 21
2A
2
A 58

B=
A   29 Z
58
B 2

0.5đ
0.5đ
1đ
1
1

b)A =

Bài 3 : Mỗi ý đúng cho 1 ®iĨm
a) S = 17( 1+17+172) + 174( 1+17+172) + .......+1716( 1+17+172)
= 17. 307 + 174.307 +.............+ 1716.307
= 307( 17+ 174+.+ 1716)
Vì 307 307 nên 307( 17+ 174+.+ 1716) 307
Vaäy S 307
f (1) a 4  a 3  a 2  a1  a 0
f ( 1) a 4  a 3  a 2  a1  a 0
Do f (1)  f ( 1) nªn a4 +

1

1

0,5
0, 5

0.25®

b)

a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a 3 + a2 - a 1 + a0

 a3 + a1 = - a3 - a1
(1)
 a3 + a1 = 0
f (2) 16a 4  8a 3  4a 2  2a1  a 0
f ( 2) 16a 4  8a 3  4a 2  2a1  a 0
Vì f (2) f ( 2) nên 4a3 + a1 = 0

0.25đ

Tơng tự:

Từ (1) và (2) a1 = a3 = 0
VËy f ( x) a 4 x 4  a 2 x 2  a 0

(2)
0.25®
0.25®


f (  x ) a 4 (  x ) 4  a 2 ( x ) 2  a 0 a 4 x 4  a 2 x 2  a 0
f ( x)  f (  x ) víi x

víi x

Bµi 4
A

E
B

1

M

C

H
D
F
 F

a) AEH AFH (cgc) Suy ra E
1
XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy ra
là góc ngoài suy ra
BME có E
1

Vậy
hay
b)

0.5đ

CMF
ACB F

  B

BME
E
1

0.25®



 )  (E
  B
 )
CMF
 BME
( ACB F
1

(đpcm).
2BME
ACB B

áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH :

0.75đ

2

ta có HF2 + HA2 = AF2

hay FE  AH 2  AE 2 (®pcm)
4

0.75®

 F

c) C/m AHE AHF ( g  c  g ) Suy ra AE = AF vµ E
1
Tõ C vẽ CD // AB ( D EF )
C/m đợc BME CMD( g  c  g )  BE CD (1)

và có E 1 CDF
(cặp góc đồng vị)


do do ®ã CDF
F

CDF c©n  CF = CD ( 2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra BE = CF

Bµi 5 Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1. Gọi S là

tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có
thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Giả sử a b c d khi đó
S a b  a c  a d  b c  b d  c d 
( a  b)  (a  c)  (a  d )  (b  c)  (b  d )  (c  d ) (3a  b)  (c  3d )
Do c  3d 0  S 3a  b; S 3a  b khi c = d = 0, lúc đó a + b = 1.
Do a 1 ta có S = 2a + (a + b) = 2a + 1  2.1 + 1 hay S  3

Kết luận.

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ