Hsg huyện phú thiện 2009 2010

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Mơn: Tốn
Năm học: 2009-2010

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
a.

3  2 5 9
:    .;
4  3 9 4

1  1
45  1  1  1   
  
 
b.
19  2  3  4   



c.

1

;

5.415.9 9  4.320.89
.
5.210.619  7.2 29.27 6

Bài 2: (6 điểm)
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;
b. Tìm x, biết: 3

1
21
: 2x  1 =
2
22

c. Tìm x, y, z biết:

2x  y 3y  2z

và x + z = 2y.
5
15

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức

a
c

 .
b d

Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD
= KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:  HMN cân.
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc ln chia hết cho 11.
Hết
Họ và tên học sinh:.............................................................; SBD:............................
Học sinh trường:.........................................................................................................

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn

ĐỀ CHÍNH THỨC


Năm học: 2009-2010
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).

Giải:
a.

3  2 5 9
:    .
4  3 9 4
0,75đ

3  2 5 9 3 1 9
:     : 
4  3 9 4 4 9 4
3 9 9 36
9
= .  
4 1 4
4
b.

1  1
45  1  1  1   


 
19  2  3  4   



1  1
45  1  1  1   



 
19  2  3  4   



=
c.

0,75đ

1

1



45
1

19 1  1
2 1 4
3

45 26 19

 1
19 19 19

1,0đ

1,0đ

5.415.9 9  4.320.89
5.210.619  7.2 29.27 6
5.415.9 9  4.320.89
5.2 2.15.32.9  2 2.320.2 3.9
=
5.210.619  7.2 29.27 6 5.210.219.319  7.2 29.33.6
2 29.318 5.2  32
 29 18
2 . 3  5. 3  7 





10  9
1

15  7
8
Bài 2: (6 điểm)

=

01đ
01đ
0,5đ

Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
-12x – 20 = 16
-12x = 16 + 20 = 36
x = 36 : (-12) = -3
b. Tìm x, biết: 3

1
21
: 2x  1 =
2
22

1
. Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)
2
1
21
3 : 2x  1 =
2
22
7
21
: (2x – 1) =
2
22

Nếu x 

0,25đ
0,25đ
0,50đ
0,50đ

0,25đ

0,25đ


7 21
7 22 11

:
= .
2 22
2 21
3
11
14
2x =
+1=
3
3
14
7
1
x=
:2=
>

3
3
2
1
Nếu x  . Ta có:
2
1
21
3 : 2x  1 =
2
22
7
21
: (1 - 2x) =
2
22
11
8
-2x =
-1=
3
3
8
4 1
x=
: (-2) =  
3
3 2
7
4

Vậy x =
hoặc x = 
3
3

2x – 1 =

c. Tìm x, y, z biết :

0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

2x  y 3y  2z

và x + z = 2y
5
15

Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
hay 2x – y = 3y – 2z
2x  y 3y  2z

Vậy nếu:

thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5  15).
5
15
1
y
Từ 2x – y = 0 suy ra: x =
2
1
y +y–z=0
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y.  x + z + y – 2z = 0 hay
2
3
2
1
y - z = 0 hay y =
hay
z. suy ra: x =
z.
2
3
3
1
2
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x =
z; y =
z ; với z  R }
3
3
1
3

hoặc {x =
y; y  R; z =
y} hoặc {x  R; y = 2x; z = 3x}
2
2
a
c
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức  . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
b d

Ta có:

0,25đ

(a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
a c
cb = ad suy ra: 
b d

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ

0,75đ

0,75đ

Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD
= KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c. Chứng minh:  HMN cân.
Giải:


D

B
K
N

M

C

A
H

a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:
BK = CK (gt)
ˆ A CK
ˆ D (đối đỉnh)
BK

AK = DK (gt)
 ABK = DCK (c-g-c)
ˆ K DB
ˆ B 90 0  AC
ˆ D AC
ˆ B  BC
ˆ D 90 0
ˆ K ; mà AB
ˆ C  AC
 DC
0
ˆ D 90 BA
ˆ C  AB // CD (AB  AC và CD  AC).
 AC
b. Chứng minh rằng: ABH = CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
BA = CD (do ABK = DCK)
AH = CH (gt)
 ABH = CDH (c-g-c)
c. Chứng minh:  HMN cân.
Xét 2 tam giác vng: ABC và CDA có:
ˆ C ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c)
AB = CD; ACˆD 90 0 BA
ˆ B CA
ˆD
 AC
ˆ A  NH
ˆ C (vì ABH = CDH)
mà: AH = CH (gt) và MH
 AMH = CNH (g-c-g)

 MH = NH. Vậy HMN cân tại H

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,50đ
0,25đ
0,25đ
0,50đ
0,50đ
0,50đ

Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc ln chia hết cho 11.
Ta có:

abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c

= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
= 11.91( a.102 + b.10 + c) 11
Vậy abcabc 11

0,25đ
0,50đ

0,50đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ