Hdg huyện 2008 2009

Phòng Giáo dục- Đào tạo

đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học: 2008 - 2009
môn: Toán 7
(Thời gian:120 phút, không kể thời gian giao đề)

*****
đề chính thức

Đề thi này gåm 01 trang
Bài 1 (4 điểm)
a/ Tính:
3

4
A= 5

7

3 3

11 13
5 5

11 13

1

2
5


4



1 1

3 4
5 5

6 8

b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:


x

y

yz x zx y x y z


x
y
z

z





Hãy tính giá trị biểu thức: B =  1    1    1   .
y
z
x








Bài 2 (4điểm)
1
2
 y   x 2  xz  0
2
3
b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì 3n 2  2n 2  3n  2n chia hết cho 10.

a/ Tìm x,y,z biết:

x

Bài 3 (4 điểm).
Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh
máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6
phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng
nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.

Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E
sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI=EK. Chứng minh: I,
M, K thẳng hàng.
c/ Từ E kẻ EH  BC (H  BC). Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250, tính các
góc HEM và BME ?
Bài 5 (2điểm):
2
Tìm x, y  N biết: 36  y 2 8  x  2010 

Híng dÉn chÊm
Bµi

ý

Nội dung

Điểm


a

1

=
4 ®iĨm
b

1 1 1
3
3
1 1 1 3 1  1  1 
3 x135



 
 
4
11
13

 2 3 4
11 13  2 3 4
x13
= 45x11
5
5
5 5 5 + 1 1
x129
1  5 1 1 1

 
5 
 
   
11 13 4 6 8
 7 11 13  2  2 3 4  7 x11x13

3 x135
7 x11x13 2 189 2 189 x5  172 x 2 1289
x
+ 5 = 172  5 =
= 860
4 x11x13
5 x129
172 x5

3

4
5

7

Ta có:

2

+5

yz x zx y x y z
yz
zx
x y



 1

 1
1
x
y
z
x
y
z
y  z z  x x  y 2 x  y  z




2
x
y
z
xyz
x y yz zx

x 
y 
z
.
.
 B  1    1    1   
y
z
x
y 

z 
x

x y zx yz

.
.
2.2.2 8
z
y
x

2

0,5
0,5
0,5
0,5

Vậy B=8
a
2

1
2
 y   x 2  xz  0
2
3
Áp dụng tính chất A  0
x


1
 1
 x  2 0
 x  2 0



2
2

  y  0   y  0
3
3


2
 x  xz 0
 x  x  z  0





4 điểm

1

x 2


2

  y 
3

1

 z  x  2


0,25

1,5

0,25

Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
b

Ta có: 3n 2  2n2  3n  2n = (3n 2  3n )  (2n 2  2n )
3n  32  1  2n  22  1
 3n .10  2n .5 = 10.(3n – 2n-1)

Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương
Suy ra điều phải chứng minh.

3

4điểm

0,75
0,5
0,5
0,25

Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được 0,5
theo thứ tự là x,y,z.
Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ
1,0
nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3
người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.
0,75
1 1 1
Do đó ta có: x : y : z  : : 12 :15 :10 .
5 4 6

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

0,75


0,75

x
y
z
xyz
555
  


15
12 15 10 12  15  10 37
 x 180; y 225; z 150 .

0,25

Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần
lượt là: 180, 225, 150.
a
4

(2 điểm)
Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )

A

I

AMC = EMB

(đối đỉnh )

b

6 điểm

c

M

B

BM = MC
(gt )
Nên : AMC = EMB (c.g.c )
 AC = EB

C
H

K

0,75
0,25
0,5

0,5
Vì AMC = EMB
E
=> Góc MAC bằng góc MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt
đường thẳng AE). Suy ra AC // BE.
0,5
(2 điểm)
0,5
Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt )
0,5

MAI = MEK

0,5
( vì AMC EMB )
AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c ). Suy ra AMI = EMK

Mà AMI + IME
= 180o ( tính chất hai góc kề bù )


 EMK
+ IME
= 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng
(1,5 điểm )
 = 90o ) có HBE

Trong tam giác vng BHE ( H
= 50o


= 90o - HBE
= 90o - 50o =40o
 HBE

0,5
0,5
0,5

(1.0đ)
o

o




= HEB
- MEB
= 40 - 25 = 15
 HEM

o


là góc ngồi tại đỉnh M của HEM
BME



Nên BME
= HEM
+ MHE
= 15o + 90o = 105o

5

( định lý góc ngồi của tam giác )
2

2
Ta có: 36  y 2 8  x  2010   y 2  8  x  2010  36 .
Vì y 2 0

2

 8  x  2010  36  ( x  2010) 2 

36
8

0,25
0,25


2

Vì 0 ( x  2010) 2 và x  N ,  x  2010  là số chính phương nên
 ( x  2010) 2 4 hoặc ( x  2010) 2 1 hoặc ( x  2010) 2 0 .
 x 2012
+ Với ( x  2010) 4  x  2010 2  
 x 2008
 y 2
 y 2 4  
 y  2 (loai )
2

2 điểm

+ Với ( x  2010)2 1  y 2 36  8 28 (loại)

 y 6

2
+ Với ( x  2010)2 0  x 2010 và y 36  
 y  6 (loai )
Vậy ( x, y ) (2012; 2); (2008; 2); (2010;6).

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25