Khảo sát hsg l2

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 7
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1( 4điểm)
3
7


a) Tính: A =  0,75  0,6  


B=

3   11 11

 :    2,75  2,2 
13   7 13


 10 1,21 22 0,25  

 :


 
7
3

 

b) Tìm các giá trị của x để:

5

49

225 

9 

x  3  x  1 3 x

Câu2( 2 điểm)
Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab  bc  ca 0 .
Câu 3( 4điểm)
a) Tìm hai số nguyên dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt
tỉ lệ nghịch với 35; 210;12.
b) Vận tốc của máy bay,ô tô, tàu hoả lần lượt tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian
máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ơ tơ chạy từ A đến B là 16 giờ.
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4( 2 điểm)
a ( a  2011b) 2
Biết a, b, c  R; a, b, c 0; b a.c .Chứng minh rằng : 
c (b  2011c) 2
2

Câu 5 (3,5điểm)Cho tam giác vngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vng góc với
BC( H thuộc BC)
a, Chứng minh rằng:

1
1

1
 2 
2
AH
AB
AC 2

b, Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH
Câu6(4,5điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 0. Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC).
Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt
cạnh BC ở điểm E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Bài 1:


Câu1

Đáp án
3 3   11 11



 2,75  2,2 
 0,75  0,6    : 
7 13   7 13


3
3 3

11 11 11
(
  ):( 

)
20 7 13
7 13 20

3.(

a

1
1 1
1 1 1
3
  ) : [11.(  
)] 
20 7 13
7 3 20
11

 10 1,21 22 0,25   5
225 

 :







7
3
9 

  49
10.1,1 22.0,5
5 15
11 11
5 5
(

):( 
) (  ) : (  )
7
3
7
9
7
3
7 3

11.(

Tìm các giá trị của x để:

1 1
1 1
11

 ) : [5.(  )] 
7 3
7 3
5
x  3  x  1 3 x

Điểm
0,5

0,5
0,5

0,5
0,25

Nếu x = - 1 thì ta có vế phải bằng - 3 ; vế trái bằng 2( không thoả

b

mãn)
Nếu x = - 3 vế trái bằng 2; vế phải bằng – 9( không thoả mãn)
Nếu – 3< x < - 1 ta có

0,25
0,5

x + 3 – x- 1 = 3x; do đó x = 2/3( khơng thoả mãn)
Nếu x < -3 thì – x – 3 – x- 1 = 3x, do đó x = -4/5( khơng thoả mãn)
Nếu x > -1ta có x + 3 +x + 1 = 3x, do đó x = 4 ( thoả mãn)

0,5
0,5

Vây. x= 4
a + b + c = 0 suy ra a = - ( b + c)

Câu 2

vậy ab + bc + ca = -( b + c).b + bc – cb – c2 = -[ b2 + cb + c2 ]

0,5

=-[b2 + ½ cb + ẵ cb + ẳ c2 + ắ c2 ]
=-[ b(1/2 c + b) + ½ c(b + ½ c) + ¾ c2 ]
=- [(1/2 c + b) + ¾ c2 ] nhỏ hơn hoặcbằng 0; hay ab + bc + ac nhỏ

0,5
0,5
0,5

hơn hoặc bằng 0.
Câu3
( x + y).35 = ( x- y) .210 = 12xy
a

x y x y
xy x y
2x
2y
x  y xy






................

210
35
210
35
245 185
12
35
49 y
37 x 49 y  x 
.................35 x  35 y 12 xy
37

1
0,5


1505
215
x
;y 
222
42

b

0,5

Gọi vận tốc của máy bay, ô tô, tàu hoả lần lượt là v1,v2,v3

0,5

thời gian tương ứng đi từ A đến B của 3 động cơ là t1,t2,t3.
Theo baì ta có
Áp

Câu 4

dụng

v1 10
v2
t2
t3
 5;
2 
5; 2
v2
2
v3
t1
t2

tính

chất

dãy

tỉ

số

bằng

0,5
nhau,

ta

có

t 5 t1 t 2  t1 16
 
 4  t 2 20; t1 4; t 3 40
5
1
5 4
4
a ( a  2011b) 2
Biết a, b, c  R; a, b, c 0; b 2 a.c .C/m : 
c (b  2011c) 2
a b 2011b a  2011b
 


b c 2011c b  2011c
a
a  2011b 2 a 2 a b a
a
a  2011b 2
( ) 2 (
) ; ( )  .   (
)
b
b  2011c
b
b c c
c
b  2011c

b 2 a.c 

Câu 5

0,5

1
1

Cho tam giác vuôngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vng góc với
BC( H thuộc BC)a,Chứng minh rằng:

1
1

1
 2 
2
AH
AB
AC 2

b,Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH
0,5

2 SABC  AH .BC  AB. AC
2

2

AB BC
AB
BC


 2
2
AH AC
AH
AC
2
2
1
BC
AC  AB 2

1
1




2
2
2
2
2
2
AH
AB . AC
AB . AC
AC
AB 2



Tính AB = 9cm, từ đó suy ra AH = 7,2cm

1
1
1

A
1
2

Câu 6

B

E

4
3

0,5

H
D
C

G, KL

AEC ABC  A1 A3  A4  A1 A2  A3  A4

Vì góc B và góc HAC cùng phụ với góc BAH

1,5

Suy ra tam giác AEC cân tại C, do đó AC = CE
Tương tự cm được AB = BD

1,5


AB + AC = BD + EC = ED + BC

1