Hsg thcs thanh ba 2012 2013

TRƯỜNG THCS 2 THỊ TRẤN THANH BA
ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TỐN

Thời gian : 120 phút ( khơng kể thời gian giao nhận đề )
( Đề thi gồm 01 trang )
Câu 1 ( 1,5 điểm )
Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z
Câu 2( 2 điểm )
a) Tỡm x biết: 5x + 5x+2 = 650
b) Tỡm số hữu tỷ x,y biết: (3x – 33 )2008 + y  7 2009  0
Câu 3 ( 2 điểm )
Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c
Biết

với a, b, c, d Z

f (1)3; f (0) 3; f ( 1) 3 . Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3

Câu 4( 3,5 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N: sao
cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh AM = AN và AH  BC
b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm
c) Chứng minh

MAN > BAM = CAN

Câu 5 ( 1 điểm )
a) Cho S 1 

Tính  S  P 
b) Cho A=

1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
   ... 



 ... 

và P 
.
2 3 4
2011 2012 2013
1007 1008
2012 2013

2013

.
x 1
x3

Tìm x  Z để A có giá trị là một số nguyên
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM


Câu

Nội dung
2

2

Điểm
2

Vì x, y, z là các số khác 0 và x = yz , y = xz , z = xy 

1

x z y x z y
x y z
 ;  ;     .áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
y x z y x z
y z x

1
0,5

x y z xyz
  

1  x  y  z
y z x yzx

a)

2

5x + 5x+2 = 650
 5x ( 1+52 ) = 650
 5x .26
= 650
x

5
= 25
x

5
= 52
=> x = 2

b) Ta có (3x -33 )2008 0
y  7 2009 0
Suy ra (3x -33 )2008 + y  7 2009 0
Mà
(3x -33 )2008 + y  7 2009  0 (Theo đề bài )
Nên (3x -33 )2008 + y  7 2009 = 0
 (3x -33 )2008 =0 và y  7 2009 = 0
 x =11 và y =7

3

Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
0,25
0,25
0,5

) f (0)3  c 3
) f (1)3  a  b  c 3  a  b 3  1

0,5

) f ( 1)3  a  b  c 3  a  b 3  2 

Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3  2a 3  a 3 vì ( 2; 3) = 1  b 3
Vậy a , b , c đều chia hết cho 3

0,5
0,5


A

B

C
M

4

H

N

0,25

K

a

b

c

Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN

0,5

Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900

0,75

 AH  BC
Tính AH: AH2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16  AH = 4cm

0,5

Tính AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17  AM = 17 cm
Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c- g- c) 

0,75
0,25

MAN = BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM  BA > BK  BKA > BAK
 MAN >BAM=CAN

0,25
0,25

Ta có:
1
1
1
1
P

 ... 

1007 1008
2012 2013
1
1

1
1
1   1 1
1 
 1 1
 1    ... 


 ... 

   1    ... 

1006 1007 1008
2012 2013   2 3
1006 
 2 3
1
1
1
1
1 
1 
 1 1
1 1 1
 1    ... 


 ... 

  2     ... 


1006 1007 1008
2012 2013 
2012 
 2 3
2 4 6
1 1 1
1
1
1     ...... 

= S.
2 3 4
2012 2013
2013
Do đó  S  P  =0

0,25
0,25


Tìm x  z để A  Z
A=

x 1
x 3

1 

A nguyên khi

4

( đk x≥0 , x≠9 )

x3
4
nguyên 
x 3

x  3 là Ư (4)

Ư(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4
Các giá trị của x là : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 .

0,25
0,25