đề thi chon hsg huyện năm học 2012-2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THẠCH HÀ


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 23 / 11 / 2012
Bài 1. a) Rút gọn biểu thức:
3
1 3 3 10 6 3
A
2
+ + + +
=
b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:
2 3
9 20 5
a b 5 a b 5
− = − −
+ −
Bài 2. a) Giải các phương trình sau:
2
2 2 2
2
2012 2012
x 1 2x x 4x 4 1 2012
2013 2013
+ − + − + = + + +
.

1 6 5 2− = − − − −x x x
b) Tìm x, y thỏa mãn:
2
2
x 6x 6y
y 9 2xy
+ =


+ =

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:
2
M 2x 5 x
= + −
Bài 4. Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây
cung CD tại H (
H O≠
). Biết AH = a; CD = 2b.
a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau
b) Tính R theo a và b
c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau. Xác định vị trí
các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 5. Cho
, , (0,1]∈x y z

Chứng minh rằng :
3
1 1 1

+ + ≤
+ + + + + + + +
x y z
y xz z xy x yz x y z
==HẾT==
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính.
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
3,5đ
a)
2,0đ
3
3
3
1 3 3 (1 3)
1 3 3 10 6 3
A
2 2
+ + + +
+ + + +
= =
0,5
2
1 (1 3)

1 4 2 3
2 2
+ +
+ +
= =
0,5
2 3 4 2 3
2 2
+ +
= =
2
(1 3)
1 3
2 2
+
+
= =
1,0
b) 1,5đ
ĐK:
a b 5≠ ±
(*)

2 3
9 20 5
a b 5 a b 5
2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5)
− = − −
+ −
⇔ − − + = − + + −

0,25
2 2 2 2
9a 45b a 5( 20a 100b 5b)⇔ − − = − + +
(*)
0,25
Ta thấy (*) có dạng
A B 5=
nếu
A
B 0 thi 5 Z
B
≠ = ∈
vô lí vậy B = 0 => A= 0.
0,25
Do đó (*)
2 2
2 2
9a 45b a 0
20a 100b 5b 0

− − =

⇔

− + + =


0,25
2 2 2 2
2 2

9a 45b a 0 9a 45b a 0
9 9
9a 45b b 0 a b
4 4
 
− − = − − =
 
⇔ ⇔
 
− + + = =
 
 
2
9
a b
a 9 a 0
hoac
4
b 4 b 0
b 4b 0

=
= =
 

⇔ ⇔
  
= =
 


− =

(Loại vì không thỏa mãn ĐK (*))

⇒
a = 9; b = 4 0,5
Bài 2
6,0đ
a) 5,0đ
* Biến đổi vế phải ta có
2 2 2
2013 (2012 1) 2012 2.2012 1= + = + +
2 2
1 2012 2013 2.2012⇔ + = −
2 2
2 2
2 2
2012 2012 2012 2012
1 2012 2013 2.2012
2013 2013 2013 2013
⇒ + + + = − + +
2
2012 2012 2012 2012
2013 2013 2013
2013 2013 2013 2013
 
= − + = − + =
 ÷
 
0,75

Phương trình trở thành:
1 2 2013− + − =x x
(*)
0,5
Xét 3 trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu
1 ì (*) 3 2 2013 1005< ⇔ − = ⇔ = −x th x x
(thỏa mãn)
0,5
- Trường hợp 2: Nếu
1 2 (*) 0 1 2013≤ < ⇔ + =x thi x
(Phương trình vô nghiệm)
0,25
- Trường hợp 3: Nếu
2 (*) 2 3 2013 1008≥ ⇔ − = ⇔ =x thi x x
(thỏa mãn)
0,25
Kết luận: Phương trình (*) có 2 nghiệm:
1
1005= −x
và
2
1008=x
0,25
* ĐK
x 2,5≤ −
(*)
Phương trình đã cho trương đương với:
1 5 2 6x x x− + − − = −
0,25

0,25
⇔

1 ( 5 2 ) 2 (1 )( 5 2 ) 6x x x x x− + − − + − − − = −
0,25
⇔

(1 )( 5 2 ) 5x x x− − − = +
ĐK: x
≥
- 5 (**)
0,5
⇔
(1 –x)(- 5 – 2x) = (x +5)
2
0,25
⇔
x
2
– 7x – 30 = 0 0,25
⇔
x
1
= - 3 (thoả mãn ĐK (*) và (**)) hoặc x
2
= 10 (không thoả mãn ĐK (*) và (**)) 0,5
Vậy phương trình có nghiệm x = - 3. 0,25
b) 1,0đ
Cộng vế theo vế ta được
2

2 2
x 6x 6y
x 2xy y 6(x y) 9 0

+ =


− + − − + =


2
2
x 6x 6y
(x y 3) 0

+ =

⇔

− + =


0,25
2
x 6x 6(x 3)
x 3 2
y x 3
y x 3



+ = +
= ±

⇔ ⇔
 
= +
= +



0,5
Vậy (x; y) =
(3 2;3 3 2), ( 3 2;3 3 2)+ − −
0,25
Bài 3
3,0đ
Điều kiện:
5 5− ≤ ≤x
(*)
0,25
* Tìm giá trị lớn nhất:
Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a
1
; a
2
); (b
1
; b
2
) ta có:

(a
1
b
1
+a
2
b
2
)
2
≤(a
1
2
+a
2
2
)(b
1
2
+b
2
2
)(**) Đẳng thức xẩy ra
1 2
1 2
a a
b b
⇔ =
0,25
Áp dụng (**) ta có

( )
2
2 2 2 2 2 2
2 1. 5 (2 1 )( 5 ) 25= + − ≤ + + − =M x x x x
0,5
Đẳng thức xẩy ra khi
2
2 2
0
0
5 2
2 2
2
4(5 )
≥
≥


= − ⇔ ⇔ ⇔ =
 
= = −
= −


x
x
x
x x
x hoac x
x x

(TMĐK(*))
0,5
Vậy với x = 2 thì GTLN của M = 5 0,5
* Tìm giá trị nhỏ nhất
Từ điều kiện (*) tá có
2 2 5≥ −x
(1)
0,25
Mặt khác
2
5 0− ≥x
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2
2 5 2 5= + − ≥ −M x x
0,25
Đẳng thức xẩy ra khi
2
2 2 5
5
5 0

= −

⇔ = −

− =


x

x
x
0,25
Vậy khi
5= −x
thì M đạt GTNN là
2 5−
0,25
Bài 4
6,5đ
Vẽ hình 0,25đ 0,25
1,0
1,0
a) 2,0đ
Ta có
OA OB OC= =
nên
ACBV
vuông tại C nên
·
·
0
BCH ACH 90+ =
(1)
Vì AB
⊥
CD nên
·
·
0

CAH ACH 90+ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
·
·
CAH BCH=
. Mặt khác AB
⊥
CD
HC=HD hay ACB là tam giác cân tại A =>AH là phân
giác góc A =>
·
·
CAH DAH=
·
·
BCH DAH⇒ =
=> Các
tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau
b) (2,0đ)
Áp dụng định lí Pitago ta có
2 2 2 2
AC AH HC a b= + = +
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có
2 2 2
2
AC a b
AC AB.AH AB
AH a
+

= ⇔ = =
2 2
AB a b
R
2 2a
+
⇔ = =
0,5
1,5
c) 2,25đ
Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên MN và PQ. Đặt OK = x; OL = y;
Đặt OH = d
Ta có
2 2 2 2
x y OH d+ = =
không đổi
0,25
Đặt
T MN PQ= +
Xét
2 2 2
T MN PQ 2MN.PQ= + +
0,25
2 2 2
T MN PQ 2MN.PQ⇒ = + +
2 2 2 2 2 2 2 2
4(R x ) 4(R y ) 8 (R x )(R y )
= − + − + − −
2 2 2 4 2 2 2 2 2
8R 4(x y ) 8 R R (x y ) x y

= − + + − + +
2 2 4 2 2 2 2
8R 4.d 8 (R R .d ) x y
= − + − +
0,5
* T đạt GTLN khi T
2
đạt GTLN
2 2
x y⇔
đạt GTLN
xy⇔
đạt GTLN
0,25
Áp dụng BĐT Cosy ta có
2 2 2
x y d
xy
2 2
+
≤ =
0,25
Dấu “=” xẩy ra khi
x y=
<=> OL = OK => HO là tia phân giác của góc tạo bởi hai dây
cung. 0,25
* T đạt GTNN khi T
2
đạt GTNN
2 2

x y⇔
đạt GTNN
xy⇔
đạt GTNN
0,25
Mặt khác do x, y
0≥
nên
xy 0≥
, dấu “=” xẩy ra khi x = 0 hoặc y = 0 => dây cung trở
thành đường kính.
0,25
Bài 5
1,0đ
Vì x, y
(0,1]∈
nên
(1 )(1 ) 0 1− − ≥ ⇔ + ≥ +x y xy x y
1⇔ + + ≥ + +z xy x y z
(1)
1
⇔ ≤
+ + + +
y y
z xy x y z
0,5
Tương tự ta có
(2) ; (3)
1 1
≤ ≤

+ + + + + + + +
x x z z
y xz x y z x xy x y z
Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được
3
1 1 1
+ +
+ + ≤ ≤
+ + + + + + + + + +
x y z x y z
y xz z xy x yz x y z x y z
Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1
0,25
0,25
Tổng
20,0
Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa;
- Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5.
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ