(Skkn 2023) phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua khai thác bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
CHO HỌC SINH THƠNG QUA KHAI THÁC BÀI TỐN
THỰC TIỄN TRONG QUÁ TRÌNH DẠY HỌC BÀI
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
VÀ HÀM SỐ BẬC HAI CỦA ĐẠI SỐ 10
(BỘ SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

NĂM HỌC 2022 - 2023


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
CHO HỌC SINH THƠNG QUA KHAI THÁC BÀI TỐN
THỰC TIỄN TRONG Q TRÌNH DẠY HỌC BÀI
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
VÀ HÀM SỐ BẬC HAI CỦA ĐẠI SỐ 10
(BỘ SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Tác giả:
Số điện thoại:
Tổ chun mơn:
Năm thực hiện:

Nguyễn Văn Hậu
0814271188
Tốn - Tin
2022 - 2023

NĂM HỌC 2022 - 2023


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ........................................................................................ 1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ................................................................................... 1
II. TÍNH MỚI, ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI......................................................... 2
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ......................................................................... 2
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU ....................................................................... 3
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................................................. 3
VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI ........................................................................... 3
PHẦN II. NỘI DUNG .......................................................................................... 4
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................................... 4
1. Khái niệm mơ hình hố tốn học ................................................................. 4
1.1. Mơ hình và mơ hình hố ........................................................................ 4
1.2. Mơ hình hình hố tốn học .................................................................... 4
2. Quy trình mơ hình hố trong dạy học Tốn .................................................. 4

3. Năng lực mơ hình hố tốn học ................................................................... 5
3.1. Năng lực ................................................................................................ 5
3.2. Năng lực toán học.................................................................................. 5
3.3. Năng lực mơ hình học tốn học ............................................................. 5
3.3.1. Năng lực mơ hình học tốn học ....................................................... 5
3.3.2. u cầu cần đạt của năng lực mơ hình học toán học ....................... 6
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN ...................................................................................... 7
1. Bài tốn mơ hình hố trong chương trình Tốn trung học phổ thơng ........... 7
2. Thực trạng các bài tốn thực tiễn phần hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn và hàm số bậc hai trong chương trình hiện hành và trong các đề thi ............ 7
2.1. Trong chương trình sách giáo khoa lớp 10 (Bộ sách kết nối tri thức với
cuộc sống) ..................................................................................................... 7
3. Thực trạng giảng dạy của giáo viên ............................................................. 8
4. Thực trạng học tập của học sinh................................................................... 9
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN .................................................... 9
1. Hệ thống các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm
số bậc hai ......................................................................................................... 9
1.1. Hệ thống kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn ........................................................................ 9
1.1.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ..................................................... 9
1.1.2. Biểu diển miền nghiện của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
trên mặt phẳng toạ độ ................................................................................ 9


1.1.3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn .............................................. 10
1.1.4. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
trên mặt phẳng toạ độ .............................................................................. 10
1.1.5. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ........................ 11
1.2. Hệ thống kiến thức về hàm số bậc hai ................................................. 11
1.2.1. Định nghĩa .................................................................................... 11

1.2.2. Bảng biến thiên ............................................................................. 11
1.2.3. Đồ thị ............................................................................................ 12
2. Tìm hiểu quan hệ giữa khai thác hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và
hàm số bậc hai với phát triển năng lực mơ hình hố ...................................... 12
3. Các bước thiết lập mơ hình hố các bài tốn đại số 10 trong bài hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai ............................................. 13
4. Một số mơ hình tốn học sử dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
và hàm số bậc hai để phát triển năng lực mơ hình hố cho học sinh............... 13
4.1. Khai thác một số bài tốn thực tiễn ứng dụng mơ hình đồ thị đồ thị
hàm số bậc hai ............................................................................................ 13
4.2. Khai thác một số bài tốn thực tiến ứng dụng mơ hình hàm số bậc hai .......... 19
4.3. Bài toán thực tế sử dụng mơ hình tốn học hàm số bậc hai trong
mơn Vật lý lớp 10....................................................................................... 25
4.3.1. Phương trình chuyển động của ném ngang .................................... 25
4.3.2. Phương trình chuyển động của ném xiên: ...................................... 25
4.4. Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn............................................................................................ 30
5. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất .................. 39
5.1. Mục đích khảo sát................................................................................ 39
5.2. Nội dung và phương pháp khảo sát...................................................... 39
5.2.1. Nội dung khảo sát ......................................................................... 39
5.2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá ....................................... 40
5.3. Đối tượng khảo sát .............................................................................. 40
5.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp
đã đề xuất ................................................................................................... 40
5.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất....................................... 40
5.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất ........................................... 42
6. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................... 43
6.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ........................................................... 43
6.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .......................................................... 43

6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ..................................................... 43
6.3.1. Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm .................................... 43
6.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ..................................................... 43
6.3.3. Nội dung kiểm tra đánh giá ........................................................... 44
6.4. Đánh giá về kết quả thực nghiệm......................................................... 44
6.4.1. Một số nhận xét chung .................................................................. 44
6.4.2. Phân tích định tính ........................................................................ 44
6.4.3. Phân tích định lượng ..................................................................... 45
PHẦN III. KẾT LUẬN ...................................................................................... 48
I. KẾT LUẬN ................................................................................................... 48
II. TÍNH MỚI, ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI....................................................... 48
III. HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI ....................................................... 48
IV. NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT .............................................................. 48
1. Đối với nhà trường..................................................................................... 48
2. Đối với giáo viên ....................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

TT

Từ viết tắt

Từ đầy đủ

1

ĐC

Đối chứng

2

GV

Giáo viên

3

HS

Học sinh

4

MHH

Mơ hình hóa

5

SGK

Sách giáo khoa

6

THPT

Trung học phổ thơng

7

THCS

Trung học cơ sở

8

TN

Thực nghiệm


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong những năm gần đây với sự phát triển của công nghệ số và sự tiến bộ
của khoa học kĩ thuật, đặc biệt là cơng nghệ thơng tin thì Tốn học có vai trị rất
quan trọng vào sự phát triển ấy, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã
giúp con người giải quyết được nhiều vấn đề trong thực tế một cách có hệ thống và
chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Điều đó địi hỏi giáo dục phổ thông
cần phải thay đổi để đáp ứng được với tốc độ phát triển đó.
Nghị quyết Hội nghị Ban chấp hành Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa
XI) về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới
mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền

thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến
khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát
triển năng lực."
Mơn Tốn ở trường phổ thơng góp phần hình thành và phát triển các phẩm
chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến
thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán
học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Tốn học với
thực tiễn, giữa Tốn học với các mơn học và hoạt động giáo dục khác.
Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2018) xác định năng lực mơ
hình hoá là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực tốn học với u cầu:
“Thiết lập được mơ hình tốn học để mơ tả tình huống đặt ra trong một số bài
toán thực tiễn; Giải quyết được những vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết
lập; Lí giải được tính đúng đắn của lời giải. Đặc biệt, nhận biết được cách đơn
giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn để đưa đến những bài toán giải
được”. (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018).
Mơ hình được dùng để mơ tả một tình huống thực tiễn nào đó, mơ hình hóa
tốn học là sử dụng cơng cụ tốn học để thể hiện nó dưới dạng của ngơn ngữ tốn
học. Trong đó, mơ hình hóa là q trình tạo ra mơ hình nhằm hướng tới giải quyết
một vấn đề nào đó. Mơ hình hóa trong dạy học tốn là quá trình giúp học sinh tìm
hiểu, khám phá, giải quyết các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng cơng cụ tốn
học. Q trình này địi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích,
tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, trừu tượng hóa…
Trong chương trình mơn Tốn lớp 10 với cả ba bộ sách giáo khoa hiện hành
vấn đề Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và Hàm số bậc hai có mỗi liên hệ chặt
chẽ với các hiện tượng thực tiễn, có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học. Các
nội dung này có tiềm năng rất lớn trong việc phát triển năng lực mơ hình hố cho
học sinh. Thực tế sách giáo khoa chương trình mới trong các bài học hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai đã đưa ra một số bài toán thực tiễn
1

nhưng cịn q ít so với nhu cầu cần tìm hiểu của học sinh và giáo viên. Mặt khác
tài liệu liên quan đến các bài toán thực tiễn theo chương trình giáo dục phổ thơng
2018 để giáo viên tham khảo khơng nhiều. Hơn nữa trong q trình dạy chương
trình mới còn gây nhiều sự lúng túng với giáo viên hiện nay. Phương pháp dạy học
mơ hình hố cịn khá lạ lẫm với nhiều giáo viên, khơng ít giáo viên cịn ngại tìm
hiểu và thay đổi để đáp ứng yêu cầu đổi mới của chương trình.
Với những lí do trên, Tơi lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực mơ hình
hóa tốn học cho học sinh thơng qua khai thác bài tốn thực tiễn trong q
trình dạy học bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai của
Đại số 10 (Bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống)”.
II. TÍNH MỚI, ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI
Thứ nhất, đề tài đã sử dụng cách tiếp cận hoàn tồn mới đó là khai thác kiến
thức của hàm số bậc hai, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải các bài tốn
thực tiễn theo hướng mơ hình hố nhằm mục đích phát triển năng lực mơ hình hố
cho học sinh (HS).
Thứ hai, đề tài đã trình bày quan điểm phát triển năng lực mơ hình hóa cho
HS thơng qua khai thác bài tốn thực tiễn áp dụng kiến thức hàm số bậc hai và bất
phương trình bậc nhất hai ẩn. Khẳng định phát triển năng lực mô hình hóa tốn học
cho HS là một vấn đề cần thiết và quan trọng trong dạy học. Đặc biệt phát triển
năng lực mơ hình hóa tốn học phù hợp với xu thế phát triển năng lực của chương
trình đổi mới giáo dục phổ thông.
Thức ba, đề tài cũng đã đề xuất được quy trình các bước phát triển năng lực
mơ hình hóa tốn học cho HS thơng qua dạy học giải các bài tốn liên quan đến hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai trong thực tế.
Thứ tư, đề tài đã góp phần phát triển năng lực mơ hình hố tốn học cho HS.
Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 10, 12 có thêm một tài liệu hữu ích để ơn thi
HSG và kỳ thi đánh giá năng lực của các trường Đại học năm học 2022 -2023.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Điều tra thực trạng về việc sử dụng phương pháp mơ hình hố, tình hình dạy

và học vấn đề bài tốn thực tế ở trường THPT.
Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến vấn đề hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn, hàm số bậc hai qua SGK lớp 10 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc
sống) và các tài liệu tham khảo.
Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức
và bài toán thực tế giải bằng áp dạng kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn,
hàm số bậc hai phù hợp đưa vào các tiết học chính khố, các tiết học thêm buổi
chiều và các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường lớp 10.
Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với đồng nghiệp qua đó thấy được sự hiệu quả
2


của việc áp dụng đề tài đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung áp dụng hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai để giải các bài tốn thực tế;
phương pháp dạy học mơ hình hố cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng khi dạy
học chủ đề này nói riêng cũng như học mơn tốn nói chung.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Mơ hình, mơ hình hố tốn học
Năng lực mơ hình hố tốn học
HS lớp 10, 12 bậc trung học phổ thông.
Giáo viên (GV) dạy tốn bậc trung học phổ thơng.
Tài liệu về phương pháp dạy học, Đại số 10.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp phân tích - tổng hợp
Phương pháp điều tra, phân tích.
Phương pháp thống kê, xử lí số liệu
Phương pháp thực nghiệm.
VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
Phần I. Đặt vấn đề.
Phần II. Nội dung.

Phần III. Kết luận

3


PHẦN II. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Khái niệm mơ hình hố tốn học
1.1. Mơ hình và mơ hình hố
Mơ hình được dùng để mơ tả một đối tượng thực tiễn nào đó, song mơ hình
khơng thể thay thế cho vật mẫu. Mơ hình hóa là q trình tạo ra các mơ hình để
giải quyết vấn đề nào đó xuất phát từ tình huống thực tiễn.
1.2. Mơ hình hình hố tốn học
Theo tác giả Lê Thị Hồi Châu (2014) đăng trên Tạp chí Khoa học Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh với bài viết Mơ hình hóc trong dạy đạo
hàm, mơ hình tốn học là sự giải thích ngơn ngữ tốn học cho một hệ thống ngồi
tốn học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Q
trình mơ hình hóa tốn học là q trình xây dựng một mơ hình tốn học cho vấn đề
ngồi tốn học, giải quyết vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học trong mơ hình đó, rồi
kiểm tra và đánh kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mơ hình nếu cách giải
quyết khơng thể chấp nhận.
Do đó, mơ hình hóa tốn học có thể được hiểu là sử dụng các cơng cụ tốn
học để mơ tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống thực tiễn dưới dạng
ngơn ngữ tốn học. Quá trình chuyển đổi giữa tình huống thực tiễn và tình huống
tốn học tn theo một quy trình với những quy tắc đặc biệt để xây dựng giả thuyết
toán học từ đó học sinh dễ dàng nhìn nhận các vấn đề thực tiễn. Mơ hình hóa tốn
học là một hoạt động phức tạp, chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn theo cả hai
chiều, vì vậy địi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực
tốn học khác nhau, đồng thời có kiến thức liên quan đến tình huống thực tiễn.
2. Quy trình mơ hình hoá trong dạy học Toán

Tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tế được
xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu,… mà chúng ta có những sơ đồ khác nhau để
chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đều nhằm minh họa các
bước chính trong một q trình lặp, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc
với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tốt hơn.
Tác giả Lê Thị Hồi Châu (2014) đã cụ thể hóa 4 bước của q trình mơ
hình hóa như sau:
Bước 1: Chuyển từ vấn đề thực tế ban đầu thành mơ hình trung gian bằng
cách chuyển ngữ, loại bỏ hoặc thêm vào một số dữ kiện để vấn đề cần giải quyết
trở nên rõ ràng hơn và khả thi hơn. Có thể xuất hiện nhiều mơ hình trung gian cùng
lúc, u cầu người học phải lựa chọn, hoặc lần lượt trải qua.
Bước 2: Chuyển mơ hình trung gian ở bước 1 thành mơ hình thuần t tốn
học. Trong đó, các đối tượng, mối quan hệ đều được diễn đạt bằng ngơn ngữ tốn
học. Người học có thể phải đối diện trước nhiều mơ hình toán học.
4


Bước 3: Trước câu hỏi toán học được đặt ra trong bước 2, người học buộc
phải huy động các kiến thức toán học để đưa ra một câu trả lời, cũng mang bản
chất toán học.
Bước 4: Câu trả lời mang màu sắc “toán học” ở bước 3 được biên dịch
thành câu trả lời cho vấn đề thực tế ban đầu. Có thể xuất hiện khả năng câu trả lời
khơng phù hợp với bối cảnh thực tế ban đầu do lời giải tốn học ở bước 3 có vấn
đề, hoặc do mơ hình tốn học được xây dựng ở bước 2 chưa thoả đáng, hoặc có thể
do mơ hình trung gian ở bước 1 chưa phản ánh đủ bối cảnh thực tế.
3. Năng lực mơ hình hố tốn học
3.1. Năng lực
Theo Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng tổng
thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có
và q trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến

thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực
hiện thành cơng một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong
những điều kiện cụ thể”.
Trong thực tế có nhiều định nghĩa về khái niệm năng lực, tổng hợp từ các
khái niệm và cách tiếp cận về năng lực, có thể rút ra một số điểm chung như sau:
- Năng lực hình thành và phát triển nhằm giải quyết các hoạt động thực tiễn,
trong một bối cảnh và điều kiện nhất định.
- Năng lực bao gồm những yếu tố về kiến thức, kĩ năng, thái độ và các thuộc
tính cá nhân như: xúc cảm, động cơ học tập, niềm tin, ý chí,...
- Năng lực chính là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng sẵn có và tiếp nhận
được thơng qua q trình học tập và rèn luyện của người học.
Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt,
có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng
những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả
tốt đẹp trong một tình huống nhất định.
3.2. Năng lực tốn học
Năng lực tốn học là thuộc tính cá nhân, hình thành và phát triển thơng qua
q trình học tập và rèn luyện. Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mơn
Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học, gồm các
thành phần cơ bản: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình hố
tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng
lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.
3.3. Năng lực mơ hình học tốn học
3.3.1. Năng lực mơ hình học tốn học
Theo Đỗ Thị Thanh (2020), năng lực mơ hình hố tốn học là kĩ năng ứng
dụng, thơng hiểu, diễn tả - giao lưu và giải quyết các vấn đề liên quan đến mơ hình
hố tốn học. Maab (2006) quan niệm năng lực mơ hình hóa bao gồm các kĩ năng
5

và khả năng thực hiện q trình mơ hình hóa, nhằm đạt được mục tiêu xác định,
sẵn sàng đưa ra những hành động. Trong đề tài này tôi định nghĩa, năng lực mơ
hình hố tốn học là năng lực của cá nhân thực hiện được hoạt động mơ hình hố
tốn học và giúp cho quy trình mơ hình hố tốn học diễn ra nhanh, dễ dàng và đạt
hiệu quả cao trong quá trình giải quyết tình huống thực tiễn.
Các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực mơ hình hóa
tốn học như sau:
i) Đơn giản giả thuyết
ii) Làm rõ mục tiêu
iii) Thiết lập vấn đề
iv) Xác định biến, tham số, hằng số
v) Thiết lập mệnh đề tốn học
vi) Lựa chọn mơ hình
vii) Biểu diễn mơ hình thích hợp
viii) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn
3.3.2. u cầu cần đạt của năng lực mơ hình học tốn học
Theo chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Ban hành kèm theo Thơng
tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục
và Đào tạo), yêu cầu cần đạt của năng lực mô hình hố tốn học cho từng cấp học
được thể hiện trong bảng sau:
Yêu cầu cần đạt cho từng cấp học
Thành phần
năng lực
Cấp tiểu học
Cấp THCS
Cấp THPT
- Xác định được - Lựa chọn được - Sử dụng được các - Thiết lập được
mơ hình tốn học các phép tốn, mơ hình tốn học mơ hình tốn học
(gồm cơng thức, cơng thức số học, (gồm cơng thức (gồm cơng thức,
phương

trình, sơ đồ, bảng biểu, tốn học, sơ đồ, phương trình, sơ
bảng biểu, đồ hình vẽ để trình bảng biểu, hình vẽ, đồ, hình vẽ, bảng
thị,...) cho tình bày, diễn đạt (nói phương trình, hình biểu, đồ thị,...) để
huống xuất hiện hoặc viết) được biểu diễn,...) để mơ mơ tả tình huống
trong bài tốn thực các nội dung, ý tả tình huống xuất đặt ra trong một số
tiễn.
tưởng của tình hiện trong một số bài toán thực tiễn.
huống xuất hiện bài toán thực tiễn
trong bài tốn thực khơng q phức
tiễn đơn giản.
tạp.
- Giải quyết được - Giải quyết được - Giải quyết được - Giải quyết được
những vấn đề toán những bài toán những vấn đề tốn những vấn đề tốn
học trong mơ hình xuất hiện từ sự lựa học trong mơ hình học trong mơ hình
được thiết lập.
chọn trên.
được thiết lập.
được thiết lập.
6


Thành phần
năng lực
- Thể hiện và đánh
giá được lời giải
trong ngữ cảnh
thực tế và cải tiến
được mơ hình nếu
cách giải quyết
không phù hợp.

Yêu cầu cần đạt cho từng cấp học
Cấp tiểu học
Cấp THCS
Cấp THPT
- Nêu được câu trả - Thể hiện được - Lí giải được tính
lời cho tình huống lời giải toán học đúng đắn của lời
xuất hiện trong bài vào ngữ cảnh thực giải (những kết
toán thực tiễn.
tiễn và làm quen luận thu được từ
với việc kiểm các tính tốn là có
chứng tính đúng ý nghĩa, phù hợp
đắn của lời giải.
với thực tiễn hay
không). Đặc biệt,
nhận biết được
cách đơn giản hoá,
cách điều chỉnh
những yêu cầu
thực tiễn (xấp xỉ,
bổ sung thêm giả
thiết, tổng quát
hoá,...) để đưa đến
những bài toán
giải được.

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Bài tốn mơ hình hố trong chương trình Tốn trung học phổ thơng
Các bài tốn có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa ở trường phổ thơng
khơng nhiều, cơ bản đã được chính xác hóa và lý tưởng hóa, được thể hiện qua

những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong các bài tốn này không hẳn đã xảy ra
trong cuộc sống thực; chẳng hạn, những tình huống diễn tả hình dáng Parabol, bài
tốn giao thơng, bài tốn kinh tế, chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều,...
Mặt khác, giả thiết của bài toán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho
kết quả nhằm trả lời cho câu hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả cịn "rất đẹp". Nói như
vậy khơng có nghĩa là các bài tốn trong sách giáo khoa khơng có tác dụng gì trong
dạy học; ngược lại, nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả
năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn. Những bài tốn có nội dung
thực tiễn đó là cầu nối đầu tiên nối liền tốn học với cuộc sống.
2. Thực trạng các bài toán thực tiễn phần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
và hàm số bậc hai trong chương trình hiện hành và trong các đề thi
2.1. Trong chương trình sách giáo khoa lớp 10 (Bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống)
Chương trình sách giáo khoa (SGK) mơn Tốn 10 (Bộ sách Kết nối tri thức
với cuộc sống) bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn và bài hàm số bậc hai đã xuất
hiện các bài toán liên hệ với thực tiễn với số lượng rất ít ỏi. Cụ thể, xét trong
chương trình SGK như sau:
- SGK Tốn 10 tập 1 (Kết nối tri thức với cuộc sống) trong bài hệ bất
phương trình bậc nhất 2 ẩn có 3 bài tốn thực tế
7


- SGK Toán 10 tập 2 (Kết nối tri thức với cuộc sống) bài hàm số bậc hai đã
đưa ra 7 bài toán thực tế.
Từ số liệu trên chúng ta nhận thấy số lượng bài tốn thực tiễn cịn q ít.
Trong khi đó nội dung ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất và hàm số bậc hai có
tiềm năng rất lớn để phát triển năng lực mơ hình hố tốn học cho học sinh thơng
qua giải quyết các bài tốn thực tiễn. Do đó, học sinh cảm thấy mơn Toán chưa
thực sự gần gũi và cần thiết trong cuộc. Bên cạnh đó, giáo viên vì gặp nhiều khó
khăn trong việc đưa các bài toán thực tiễn vào giảng dạy, gặp khó khăn trong việc
tìm tịi các ví dụ từ đó dẫn đến lảng tránh, xem nhẹ các bài tốn thực tiễn mà khơng

biết rằng những bài tốn như vậy mới có thể hấp dẫn và lơi cuốn học sinh vào mơn
học của mình, giúp học sinh có thể liên hệ những kiến thức học được vào các tình
huống bắt gặp trong cuộc sống.
3. Thực trạng giảng dạy của giáo viên
(Tư liệu minh chứng tại Phụ lục 2)
Đa số giáo viên đều đánh giá cao những hoạt động mơ hình hố trong dạy
học mơn Tốn. Tuy nhiên việc tìm hiểu, khai thác tình huống thực tế vào dạy học
và sử dụng mơ hình hóa cịn nhiều khó khăn và hạn chế. Mặt khác cũng có khơng
ít giáo viên có năng lực hướng dẫn cho học sinh giải quyết những tình huống thực
tế ngoài sách giáo khoa.
Phải khẳng định rằng việc tìm ra các tình huống liên quan đến thực tiễn hoặc
các mơ hình tốn học để minh họa cho bài giảng địi giáo viên phải có sự tìm tịi,
suy nghĩ tích cực và mất nhiều thời gian trong khi sự am hiểu các lĩnh vực của
cuộc sống của nhiều giáo viên cịn hạn chế và thực trạng “thi gì, học nấy” vẫn cịn
tồn tại. Do đó, năng lực năng lực của giáo viên còn hạn chế, đặc biệt là năng lực
thành lập và biểu diễn các mơ hình tốn học nhằm làm sáng tỏ các vấn đề trong
thực tiễn cuộc sống. Năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong mơ hình hóa cịn
rất ít, hoạt động thực hành theo dự án còn hạn chế nên năng lực này rất kém.
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy mơn Tốn, giao lưu chuyên môn với
nhiều trường bạn tôi thấy vấn đề phát triển năng lực mơ hình hố cho học sinh cịn
nhiều hạn chế. Nó xảy ra ở cả phương pháp giảng dạy của giáo viên và cách học
tập của học sinh.
Trong q trình dạy học ở trường phổ thơng, khơng ít giáo viên ngại thay đổi
phương pháp để đáp ứng với yêu cầu ngày càng cao của ngành. Phương pháp dạy
học mơ hình hố cịn khá lạ lẫm với nhiều giáo viên. Giáo viên chỉ chữa bài tập
đơn lẻ cho học sinh, hoặc chỉ ra bài tập mang tính áp dụng, rập khn, máy móc về
cách giải chưa thực sự chú trọng đưa ra các mơ hình, các tình huống trong thực
tiễn để áp dụng kiến thức vào giải các bài tốn trong thực tiễn. Năng lực mơ hình
hóa của giáo viên cịn nhiều hạn chế. Do đó khơng phát huy tính tích cực chủ động,
sáng tạo, khó hình thành và phát triển năng lực mơ hình hố cho học sinh.

8


4. Thực trạng học tập của học sinh
(Tư liệu minh chứng tại Phụ lục 3)
Năng lực mơ hình hóa của cả giáo viên và học sinh còn nhiều hạn chế. Hầu
hết học sinh đều không giải quyết trọn vẹn các bài tập mơ hình hóa, đặc biệt là
năng lực thành lập và biểu diễn các mơ hình tốn học nhằm làm sáng tỏ các vấn đề
trong thực tiễn cuộc sống;
Học sinh THPT cịn ngại học Tốn, yếu Tốn là do kiến thức bị hổng từ các
cấp dưới, hơn nữa chưa chịu khó suy nghĩ, ít tư duy trong q trình học tập;
Học sinh vẫn cịn thụ động, thiếu tích cực, máy móc, thiếu độc lập, ít sáng
tạo của bản thân;
Rất nhiều học sinh chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp vào các hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức mới nên kết quả học tập vẫn
chưa cao;
Đa số học sinh khi học tập giải bài tập Toán, chỉ quan tâm đến kết quả bài
toán đúng hay sai, hoặc là hài lòng với lời giải của mình; ít tìm tịi lời giải khác,
khơng khai thác để phát triển bài toán, sáng tạo ra bài toán mới. Đặc biệt học sinh
còn khá lúng túng với các bài tốn thực tế nên khơng phát huy được nhiều tính tích
cực, độc lập và sáng tạo.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1. Hệ thống các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số
bậc hai
1.1. Hệ thống kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn
1.1.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y có dạng tổng quát là
ax  by  c

(1)

ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c 
trong đó a , b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các
ẩn số.
Cặp số x 0 ; y 0  được gọi là nghiệm của bất phương trình (1) nếu bất đẳng
thức ax 0  by 0  c đúng
1.1.2. Biểu diển miền nghiện của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng
toạ độ
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất
phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình (1).
9


- Nửa mặt phẳng không kể bờ là đường thẳng  : ax  by  c gồm các điểm
có toạ độ x ; y  thoả mãn ax  by  c .
- Nửa mặt phẳng cịn lại khơng kể bờ là đường thẳng  : ax  by  c gồm
các điểm có toạ độ x ; y  thoả mãn ax  by  c .
Bờ gồm các điểm có toạ độ x ; y  thoả mãn ax  by  c .
Ta có quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
ax  by  c như sau (tương tự cho bất phương trình ax  by  c )
Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng  : ax  by  c .
Bước 2. Lấy một điểm M 0 x 0 ; y 0  không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa
độ O nếu O   ).
Bước 3. Tính ax 0  by0 và so sánh ax 0  by0 với c .
Bước 4. Kết luận
Nếu ax 0  by 0  c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M 0 là miền nghiệm của
ax  by  c .
Nếu ax 0  by 0  c thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa M 0 là miền nghiệm

của ax  by  c .
Chú ý
Để biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình
ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c  ta cũng làm 4 bước như trên.
1.1.3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương
trình bậc nhất hai ẩn.
- Cặp số x 0 ; y 0  được gọi là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn khi x 0 ; y 0  đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.
1.1.4. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt
phẳng toạ độ
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương
trình đó.
- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình
trong hệ.
- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
* Bước 1. Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi
bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
* Bước 2. Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
10


1.1.5. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp tìm cực trị của biểu thức F  ax  by trên một miền đa giác
Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  ax  by (
a , b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0) với x , y thỏa mã hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn (có miền nghiệm là miền đa giác A1A2 ...Ai Ai 1 ...An ).
Phương pháp
Bước 1. Tìm miền đa giác A1A2 ...Ai Ai 1 ...An là miền nghiệm của hệ bất

phương trình.
Bước 2. Tìm tọa độ các đỉnh A1 , A2 , ..., An .
Bước 3. Tính F x i ; y i  trong đó Ai x i ; y i  với i  1 , 2 ,..., n là toạ độ các
đỉnh của đa giác miền nghiệm.
Bước 4. Kết luận


min F x



Giá trị lớn nhất M  max F x i , yi .
i 1,2,...n

Giá trị lớn nhất m 

i 1,2,...n

i



, yi .

1.2. Hệ thống kiến thức về hàm số bậc hai
1.2.1. Định nghĩa
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y  ax 2  bx  c với a  0 .
Chú ý:
+ Hàm số bậc hai có tập xác định là D   .
+ Khi a  0 , b  0 , hàm số trở thành hàm số bậc nhất y  bx  c .

+ Khi a  b  0 , hàm số trở thành hàm hằng y c .
1.2.2. Bảng biến thiên
a 0
a 0

 b

+ Khi a  0 , hàm số đồng biến trên khoảng  ;  và nghịch biến trên
 2a


b 
khoảng ;   .

2a 

b 
+ Khi a  0, hàm số đồng biến trên khoảng ;   và nghịch biến trên
2a 


11


 b

khoảng  ;  .
 2a

1.2.3. Đồ thị

Đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c, a  0 là một parabol có:
 b

+ Đỉnh I  ;   .
4a 
 2a

b
.
2a
+ Bề lõm hướng lên trên nếu a  0 , hướng xuống dưới nếu a  0.
+ Giao điểm với trục tung là M 0; c  .

+ Trục đối xứng là đường thẳng x  

+ Số giao điểm với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình
ax2 bx c  0 .

a 0

a 0

2. Tìm hiểu quan hệ giữa khai thác hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và
hàm số bậc hai với phát triển năng lực mơ hình hố
Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể đã khẳng định, Mơ hình hóa tốn
học là một trong những năng lực đặc trưng trong dạy học Toán cần phát triển cho
HS phổ thơng. Thực tế có nhiều cách tiếp cận để dạy học phát triển năng lực mơ
hình hóa tốn học. Trong đề tài này, tôi lựa chọn cách tiếp cận thơng qua việc giải
quyết các bài tốn thực tế liên quan đến ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn và hàm số bậc hai. Vấn đề đặt ra là tại sao giải bài toán về khai thác ứng

dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai có thể phát triển
được năng lực mơ hình hóa cho HS?
Thứ nhất, nội dung hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai có
mỗi liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn, có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực
khoa học. Các nội dung này có tiềm năng rất lớn trong việc phát triển năng lực mơ
hình hố cho học sinh.
Thứ hai, chúng ta biết rằng, một bài toán thực tiễn sẽ có nhiều cách sử dụng các
ngơn ngữ và cơng cụ tốn học khác nhau để tìm ra cách giải. Tuy nhiên, các cách giải
đó cần chỉ ra được các yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm trong bài tốn, mối quan hệ
giữa các yếu tố đó làm căn cứ để xác định các bước giải bài tốn theo một trình tự
12


logic. Các yếu tố này tạo nên mơ hình tốn học của bài tốn thực tiễn. Do vậy, có thể
hướng dẫn HS vận dụng các kiến thức, kĩ năng về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
và hàm số bậc hai để giải các bài tốn thực tiễn có liên quan. Tùy theo mục đích và
yêu cầu dạy học, giáo viên có thể phân loại hệ thống bài tập bằng các tiêu chí khác
nhau để khai thác bài tốn về ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và
hàm số bậc hai, tạo hứng thú và niềm say mê toán học cho học sinh.
3. Các bước thiết lập mơ hình hố các bài tốn đại số 10 trong bài hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai
Bước 1: Tìm hiểu tình huống thực tiễn và thu thập số liệu của các tình
huống thực tiễn liên quan trực tiếp đến việc tìm giải pháp cho vấn đề. Ở bước này,
cần phát hiện được các yếu tố có liên quan trong tình huống thực tiễn, yếu tố nào
đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ giữa các yếu tố.
Bước 2: Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, xem xét mối quan hệ để
biểu diễn tình huống thành một bài tốn có liên đến hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn hoặc hàm số bậc hai. Sắp xếp các mối quan hệ và kết nối chúng tạo thành
một sơ đồ logic. Quá trình này là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán
học (Toán học hoá).

Bước 3: Dùng cơng cụ tốn học (ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn, hàm số bậc hai) và các vấn đề liên quan để giải bài toán đã được thiết lập.
Bước 4: Đối chiếu kết quả của lời giải với mơ hình thực tiễn và kết luận.
Đánh giá lời giải và đối chiếu với mơ hình thực tiễn của bài tốn. Từ đó, đưa ra kết
luận về MHHTH cho bài tốn thực tiễn ban đầu.
4. Một số mơ hình tốn học sử dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và
hàm số bậc hai để phát triển năng lực mơ hình hố cho học sinh
4.1. Khai thác một số bài tốn thực tiễn ứng dụng mơ hình đồ thị đồ thị hàm số
bậc hai
y

B
OA = 2,26m
AB = 20m

O

h

20m

A

x

Ảnh chụp lại từ trang izdesigner.blogspot.com
Ví dụ 1: Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế,
thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (xem hình vẽ). Biết rằng trụ tháp
cầu có dạng parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp là 27m, chiều cao tính
từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26m là 20m. Tính độ cao h của đỉnh trụ

tháp cầu (so với mặt đất)?
13


Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin thông qua một số câu
hỏi gợi ý như sau:
Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Trụ tháp cầu có hình dạng gì? Nó là đồ thị
của hàm số nào? Hãy chọn hệ trục toạ độ Oxy để thiết lập cơng thức hàm số đó.
Độ cao h của đỉnh trụ tháp cầu tính như thế nào?
HS: Huy động các kiến thức đã biết, tìm hiểu thơng tin và biết cách tạo ra hệ
toạ độ Oxy hợp lý qua đó xác định được cơng thức của parabol là hình dáng của
trụ tháp cầu từ đó tìm được toạ độ đỉnh của parabol và tính được chiều cao của
trụ tháp cầu.
Bước 2: (Toán học hoá) GV giúp HS chuyển đổi tình huống thực tế ban đầu
sang ngơn ngữ tốn học: Ta có thể phát biểu bài tốn thực tế trên như sau.
“Xác định tung độ đỉnh của parabol P  : y  ax 2  bx , biết rằng P  đi qua
điểm B 2, 26; 20 và có trục đối xứng là đường thẳng x 

27
”
2

Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải quyết bài toán toán học
y

B
OA = 2,26m
AB = 20m

O

P  : y  ax

2

h

20m

A

x

 bx . Theo bài ra ta có

trục đối xứng là đường thẳng x 

27
 b  27a .
2

Đồ thị đi qua điểm B 2, 26; 20 nên ta có: 2, 262.a  2,26.b  20 .

(1)
(2)

Từ (1), (2) ta tìm được:
a 

50000

1350000
50000 2 1350000
,b 
 P  : y  
x 
x.
139781
139781
139781
139781

Do đó tung độ đỉnh là y  65, 2m
Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3
để xác định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn với vấn đề thực tế.
Trả lời: Chiều cao của đỉnh trụ tháp là 65,2m .
14


Trên thực tế có rất nhiều cơng trình được thiết kế có hình dạng tương tự như
cầu vượt tại ngã ba Huế, thành phố Đà Nẵng. Vì vậy, việc thiết kế và thi cơng các
cơng trình sẽ được tính tốn một cách cẩn thận vừa đảm bảo được chất lượng cơng
trình lại mang lại tính thẩm mĩ cao. Giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra một số hình
ảnh trên thực tế có hình dạng tương tự như cầu vượt tại ngã ba Huế, thành phố Đà
Nẵng như: hình ảnh vòi phun nước, nhịp cầu, quỹ đạo chuyển động ném của vật,...
Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm hình học động để xác định
phương trình đường parabol biểu diễn hình ảnh các hiện tượng trong thực tiễn.
Sau đây là một số bài toán thực tiến sử dụng mơ hình đồ thị hàm số bậc hai
với các câu hỏi xoay quanh đặc điểm hình dáng của Parabol như:
+ Tìm giá trị hồnh độ của điểm thuộc Parabol khi biết tung độ của nó;
+ Tìm giá trị tung độ của điểm thuộc Parabol khi biết hồnh độ của nó;

+ Tìm Tung độ đỉnh
+ Tìm hồnh độ đỉnh
+ Tìm khoảng cách giữa hai điểm thuộc Parabol…

Cầu Sidu cao nhất thế giới thuộc tỉnh Hồ
Bắc ở Trung Quốc. Ảnh chụp lại từ
trang />Ví dụ 2: Trong những năm gần đây, cầu dây văng đã được sử dụng phổ biến trên
toàn thế giới nhờ vào những ưu điểm của nó. Cây cầu dây văng bắc qua thung
lũng (như ảnh trên). Ở hai bên thung lũng, kĩ sư thiết kế hai cột trụ đỡ AA' và BB'
có độ cao 30m và bên trên có bắt một dây truyền có dạng Parabol ACB  để đỡ
nền cầu. Hai đầu của dây truyền được gắn chặt vào hai điểm A và B. Để chịu sức
nặng của cây cầu và các phương tiện giao thơng thì ở khoảng giữa cầu phải đặt
các dây văng thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền. Biết khoảng cách giữa các
dây văng và hai cột trụ là bằng nhau và dây văng có độ dài ngắn nhất là OC  5m .
Khoảng cách A' B '  200m . Tính chiều dài các dây văng còn lại?
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thơng tin thơng qua một số câu
hỏi gợi ý như sau:
Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Dây truyền của cầu có hình dạng gì? Nó là
đồ thị của hàm số nào? Hãy liệt kê các thông số đã cho và chọn hệ trục toạ độ
15


Oxy thích hợp để thiết lập cơng thức hàm số đó. Độ độ dài các dây văng tính như

thế nào?
HS: Huy động các kiến thức đã biết, tìm hiểu thơng tin biết cách tạo ra hệ
toạ độ Oxy hợp lý qua đó xác định được cơng thức của parabol là hình dáng Dây
truyền của cầu từ đó tìm được cơng thức của parabol.
Bước 2: (Toán học hoá) GV giúp HS chuyển đổi tình huống thực tế ban đầu
sang ngơn ngữ tốn học: Ta có thể phát biểu bài tốn thực tế trên như sau.

“Tìm hàm số P  : y ax 2  b , biết rằng P  đi qua hai điểm B 100; 30  và
C 0;5 ”

Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải quyết bài tốn tốn học

Parabol P  có dạng: y  ax 2  b .

B(100, 30)  P 
10000a  b  30
a  1




Ta có: 
C(0; 5)  P 
b  5
b  5400 .




1 2
Suy ra Parabol P  : y  f x  
x 5.
400

Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3
để xác định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn với vấn đề thực tế.
GV: gợi ý bằng câu hỏi: Chiều dài các dây văng còn lại tính như thế nào?

Chú ý khoảng cách giữa cá dây văng bằng nhau.
HS: Vì khoảng cách giữa các dây văng và hai cột trụ là bằng nhau và khoảng
cách giữa hai cột trụ A ' B '  200m . Do đó độ dài các dây văng cịn lại chính là giá
1 2
trị của hàm số y  f x  
x  5 tại các điểm x  25.x  50, x  75
400
Trả lời: Vậy chiều dài các thanh đỡ còn lại lần lượt là: 6.56m,11.25m,19.06m .
16


Cầu Rialto, Italia: Ảnh chụp lại từ trang
baogiaothong.vn
Ví dụ 3: Một chiếc cầu được bắc qua sông. Để trợ lực cho cây cầu, người ta làm
một vịm đỡ cong hình parabol (màu đỏ). Với hệ trục toạ độ xOh được gắn vào
như hình vẽ, biết rằng khoảng cách giữa 2 chân của vòm đỡ là AB  40m . Khoảng
cách từ chân cầu (điểm C ) tới điểm O là 7m . Tại một điểm cách chân cầu (điểm
C ) 17m , người ta đo được khoảng cách từ mặt cầu xuống vịm đỡ là 2, 5m . Tìm
chiều cao tối đa h max của vòm đỡ (khoảng cách từ đỉnh vòm đến đường thẳng AB ).
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thơng tin thơng qua một số câu
hỏi gợi ý như sau:
Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Vịm đỡ của cầu có hình gì? Nó là đồ thị
của hàm số nào? Hãy liệt kê các thông số đã cho và thiết lập cơng thức hàm số đó.
Chiều cao tối đa h max của vịm đỡ tính như thế nào?
HS: Huy động các kiến thức đã biết, tìm hiểu thơng tin, xác định được cơng
thức của parabol là hình dáng Vịm đỡ của cầu.
Bước 2: GV giúp HS chuyển đổi tình huống thực tế ban đầu sang ngơn ngữ
tốn học: Ta có thể phát biểu bài toán thực tế trên như sau.
“Xác định parabol h x   a x  k  , a  0  , biết rằng h x  đi qua điểm
2





F 10; 2, 5 và hoành độ đỉnh của parabol là

x  20 ”

Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải quyết bài tốn tốn học.
Do hồnh độ đỉnh của parabol là x  20 suy ra k  20 và parabol đi qua
2
5
1
F 10; 2, 5 nên ta có:   a 10  20  a 
.
2
40
Ta có phương trình parabol h x  

2
1
x  20 .

40

Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3
để xác định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn với vấn đề thực tế.
Trả lời: Độ dài h max của vịm đỡ cũng chính là độ dài đoạn OA .
17

Ta có OA  h 0 

2
1
0  20  10m .

40

Đài phun nước Aquanura: Ảnh chụp lại từ
trang noithatviet.vn
Ví dụ 4: Ở một điểm cao trên tháp cách mặt đất 1,75 m nhà thiết kế có đặt một vịi
phun nước tạo hình cầu vịng. Biết rằng đường đi của các giọt nước sau khi ra khỏi
vịi có dạng đường cong parabol và chạm đất tại một vị trí cách chân tháp 3,5 m
(tham khảo hình vẽ bên dưới). Người ta ước thấy tại một vị trí trên mặt đất cách
tháp 1,5 m thì giọt nước ở vị trí cao nhất. Hỏi vị trí cao nhất của giọt nước cách
mặt đất bao nhiêu mét?
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thơng tin thơng qua một số câu
hỏi gợi ý như sau:
Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Đường đi của các giọt nước sau khi ra khỏi
vịi có hình gì? Nó là đồ thị của hàm số nào? Hãy liệt kê các thông số đã cho và
chọn hệ trục toạ độ hợp lý để thiết lập cơng thức hàm số đó. Vị trí cao nhất của
giọt nước tính như thế nào?
HS: Huy động các kiến thức đã biết, tìm hiểu thơng tin, chọn hệ trục toạ độ
thích hợp, xác định được cơng thức của parabol là hình dáng đường đi của giọt
nước sau khi ra khỏi vịi.
Bước 2: (Tốn học hố) GV giúp HS chuyển đổi tình huống thực tế ban đầu
sang ngơn ngữ tốn học: Ta có thể phát biểu bài tốn thực tế trên như sau.
“Xác định parabol P  : y  ax 2  bx  c , biết rằng P x  đi qua hai điểm

 7
7 
3
A 0; ; B  ; 0 và nhận đường thẳng x  làm trục đối xứng”
 2 
 4 
2

Bước 3: HS chủ động sử dụng cơng cụ tốn học để giải quyết bài toán
toán học

18


Vì Parabol P  : y  ax 2  bx  c đi qua hai điểm A, B và nhận đường thẳng
x

3
làm trục đối xứng. Do đó
2

c  7

4
  2
a.  7   b  7   c  0
 
  
  2 
 2 


 b  3
 2a
2




c  7
c  7


4
4


 49a  14b  7  0  a  1 .


b  3a
b  3



7
Do đó hàm số bậc hai là y  x 2  3x  .
4
Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3
để xác định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn với vấn đề thực tế.
Trả lời: Gọi H là vị trí giọt nước cao nhất khi đó

2
 3 
 3 7

CH  yH  y xC      3.    4 .
 2 
 2  4

Vậy vị trí cao nhất của giọt nước cách mặt đất 4 mét.
4.2. Khai thác một số bài tốn thực tiến ứng dụng mơ hình hàm số bậc hai
Rất nhiều bài tốn thực tế sử dụng mơ hình tốn học hàm số bậc hai. Nổi bật
là các bài toán thực tế về kinh doanh bán hàng. Trong kinh tế, doanh thu bán hàng
là số tiền bán được khi bán một mặt hàng nào đó. Doanh thu R bằng đơn giá x của
mặt hàng nhân với số lượng n sản phẩm đã bán được, tức là
R=nx
Định luật nhu cầu khẳng định rằng giữa x và n có liên hệ với nhau: Khi cái
này tăng thì cái kia giảm. Phương trình liên hệ giữa n và x gọi là phương trình nhu
cầu. Nếu phương trình nhu cầu là liên hệ bậc nhất n  a  bx, a, b  0 thì doanh
thu bán hàng là hàm số bậc hai theo đơn giá.
R x   x a  bx   ax  bx 2, a, b  0

19