Chuyên đề: hệ phương trình - ôn thi vào lớp 10

§Ỉng Ngäc D¬ng –
THCS Giao Hµ - Giao Thủ - Nam §Þnh

Gmail:
1

Chuyªn ®Ị:
hƯ ph¬ng tr×nh
C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
1) HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
- §Þnh nghÜa: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c'. Khi ®ã ta cã hƯ
hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
(1)
' ' '(2)
ax by c
a x b y c

 





 



(I)
- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy cã nghiƯm chung (x
0
; y

0
) th× (x
0
; y
0
) ®ỵc gäi lµ nghiƯm cđa hƯ (I)
- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiƯm chung th× ta nãi hƯ v« nghiƯm
2) Quan hƯ gi÷a sè nghiƯm cđa hƯ vµ ®êng th¼ng biĨu diƠn tËp nghiƯm
Ph¬ng tr×nh (1) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d)
Ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d')
- NÕu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm duy nhÊt
- NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ v« nghiƯm
- NÕu (d) trïng (d') th× hƯ v« sè nghiƯm.
3) HƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng:
Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm
4) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng.
a) Quy t¾c thÕ: Quy t¾c thÕ dïng ®Ĩ biÕn ®ỉi mét hƯ ph¬ng tr×nh thµnh hƯ ph¬ng tr×nh
t¬ng ®¬ng.
+ Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia råi thÕ vµo
ph¬ng tr×nh thø hai ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn 1 Èn).
+ Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy ®Ĩ thay thÕ cho ph¬ng tr×nh thø hai trong hƯ (ph¬ng
tr×nh thø nhÊt còng thêng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia cã ®ỵc ë
bíc 1).
b) Quy t¾c céng ®¹i sè:
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành
hệ phương trình tương đương.
+ Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ ®ỵc
mét ph¬ng tr×nh míi.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:
2

+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hái phơng trình của hệ (và giữa
nguyên phơng trình kia)
Lu ý
: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hoặc trừ) hai
vế của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn
nhân với số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).
Bài tập
Loại 1:

Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng, phơng pháp thế.

Bài 1
a)
2 3 2
3 2 3
x y
x y

b)
4 3 6
2 0
x y
x y










c)
9 8 6
2 2
x y
x y

d)
6 17
5 23
x y
x y










e)
7 4 74
3 2 32
x y
x y

f)
3 6
2 6 12
x y
x y










Bài 2
a)
2 0
3 4
5 11
x y
x y

b)
1
5 3 3
4 5 10 0
a b
a b













c)
2 3
10 0
x y
x y

Bài 3:
a)
2 3 1
3 2
x y
x y

b)
( 2 1) 2
( 2 1) 1
x y
x y











c)
2 3 1
2 2 2
x y
x y

d)
2 3 1
3 2
x y
x y











e)
( 5 (1 3) 1
(1 3) 5 1
x y
x y

f)
5 3 2 2
6 2 2
x y
x y












Bài 4:
a)
6( ) 8 2 3
5( ) 5 3 2
x y x y
y x x y

b)
( 1)( 2) ( 1)( 3)
( 5)( 4) ( 4)( 1)
x y x y
x y x y











c)
( 2)( 1)
( 8)( 2)
x y xy
x y xy

Loại 2
:
Hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất, một phơng trinh không
phải bậc nhất.
a)
2 2
1 0
2 3 7 12 1 0
x y
x xy y x y

b)
2 2
5 1
3 10
x y
x y xy x y












c)
2 2
2 2 23 0
3 3 0
x y x y
x y

d)
2
3 6 3 0
4 9 6
x xy x y
x y












Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:
3

Loại 3
:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.

Dạng thứ nhất:
a)
1 1
1
3 4
5
x y
x y
















b)

6 5
3
9 10
1
x y
x y
















c)
1 1 1
4
10 1
1
x y
x y

d)
1 1 1
24
2 3
x y
x y

e)
1 1
2
2 1
2 3
1
2 1
x y
x y

f)
4 5
2
3 1
5 1 29
3 1 20
x y
x y

g)
8 1
1
12
1 5
3
12
x y
x y

















h)
4 9
1
2 1 1

3 2 13
2 1 1 6
x y
x y

















i)
1 1
2
1 2
2 3
1
2 1
x y
y x

j)
2
2
7 13 39
5 11 33
x y
x y

k)
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37
x y
x y











l)
2 2
2 2
3 5
3 1
x y

x y












m)
3 5
2 3 18
x y
x y











n)

3 2 6
4, 5
x y
x y











o)
3 2 1 2
2 3 1 4
x y
x y

p)
7 4 5
3
7 6
5 3 1
2
6
7 6
x y
x y

Dạng thứ hai:
a)
2
2
1 1
3
1
1 1
x y
x y
x y
x y

b)
4 5
2
2 3 3
3 5
21
3 2 3
x y x y
x y x y

c)
7 5 9
2 1 2
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y



















d)
1
12

2
12
x x
y y
x x
y y

















e)
3 6
1
2
1 1
0
2

x y x y
x y x y

















f)
4 5 5
1 2 3 2
3 1 7
1 2 3 5
x y x y
x y x y

g)
5
2
10
3
x y xy
xy x y
x y xy
xy x y

h)
2 3
1
1 1
2 5
2
1 1
x y
y x
y x
x y

i)
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y

Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:
4

Loại 4
:
Hệ hai phơng trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích
đợc thành nhân tử.
a)
2 2
1 0
22
x y xy
x y x y

b)
2
( 2 1)( 2 2) 0
3 1 0
x y x y
xy y y












c)
(2 3 2)( 5 3) 0
3 1
x y x y
x y

d)
2 2
( 2)(2 2 1) 0
3 32 5 0
x y x y
x y












e)
2

( ) 3( ) 2 0
5 0
x y x y
x y











f)
2 2
( 1) ( 1) 0
3 5 0
x y
x y

g)
2
2
( ) 4( ) 12
( ) 2( ) 3
x y x y
x y x y











b)
2
2 2
( ) ( ) 6
2( ) 5
x y x y
x y xy

Loại 5
:
Hệ phơng trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y
.
a)
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

b)
2 2
2
21
2 5 0
x xy y
y xy











c)
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y

d)
2 2
2 2
3 5
3 1
x y
x y











e)
2 2
2 2

2 3 36
3 7 37
x y
x y











f)
2 2
2 2
2 3 9
2 2 2
x xy y
x xy y

g)
2 2
2 2
4 2 3
2 3 4
x xy y
x xy y











h)
2
2
3 54
4 115
x xy
xy y

i)
2 2
2
2 1
2
x y
xy x












j)

2 2
25 2
( ) 10
x y xy
y x y











k)
2 2
2 2
( )( ) 5
( )( ) 3
x y x y
x y x y

l)
2 2
2 2
( )( ) 45
( )( ) 85
x y x y
x y x y













Loại 6
:
Hệ phơng trình đối xứng loại 1
.
a)
2 2

7
13
x y xy
x y xy











b)
2 2
5
5
x xy y
x y

c)
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy












d)
2 2
17
65
xy x y
x y

e)
17
12 0
x y xy
xy









f)
2 2
8
34
x y
x y

g)
2 2
10
29
xy
x y











h)
2 2
15

34
xy
x y











i)
2 2
4
2
x xy y
x xy y

)
2 2
1
6
x y xy
x y y x











k)
2 2
102
69
x y x y
xy x y

l)
2 2
3( )
160
x y xy
x y












Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:
5

m)
2 2

( 2)( 2) 9
2( ) 6
xy x y
x y x y











n)
2 2
2 ( 3) 2 ( 3) 9 0
2( ) 6 0
x y x y y x
x y xy

o)
2 2
3 3
1
x y xy
x y x y











p)
( 1) ( 1) 17
( 1)( 1) 8
x x y y xy
x y

q)
2 2
5
7
x y xy
x y xy











r)
11
6 6
11
xy x y
xy

x y













s)
7
10
3
xy x y
x y
y x

t)
2 2
52
1 1 5
12
x y
x y













u)
1
1
2
x

x y
x
x y
















v)
1
5
2
6
2
y
x y
x
x y

x)
3 3
2 2
9
5
x y
x y

y)
3 3
7
133
x y
x y











z)
30
35
x y y x
x x y y

Loại 7
:
Hệ phơng trình đối xứng loại 2.

a)
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x

b)
2
2
2 3
2 3
y x
x y











c)
2 2
2 2
2 7
2 7
x y x
y x y

d)
2 2
2 2
2 3 3 1
2 3 3 1
x xy y x
y xy x y











e)
2
2
2
2

x y
y x











f)
3
3
2 4
2 4
x y
y x

g)
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x











h)
3
3
5
5
x x y
y y x

i)
3
3
2
2
x y x
y x y












j)
3
3

13 6
13 6
x x y
y y x











k)
2 3 2
2 3 2
4 3
4 3
y x x x
x y y y

l)
3
3
2 1
2 1
x y
y x












Loại 8
:
Hệ phơng trình bậc nhất ba phơng trình ba ẩn.

a)
1
2 4 8
3 9 27

x y z
x y z
x y z
















b)
12
2 3 12
2 5
x y z
x y z
x y z

c)
2 3 1
3 2 3
2 3 2
x y z
x y z
x y z

d)
2 4
2 3 3 6
3 4 7
x y z
x y z
x y z
















e)

2 3 4
3 2 2 3
5 4 2
x y z
x y z
x y
















f)
2 3 2
4 6 5
5 3 5
x y z
x y z
x y z

Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:
6

g)
4 7 6
4 3 2 24
x y z
x y z

h)
5 7 3
2 4 30
x y z
x y z













i)

4 3 2 1
6 10 2
x y z
x y z














j)
2 1
3 4 7
4 3
x y z
x y z

k)
4
7
5
x y
y z
x z

l)
16
28
22
x y
y z
x z
















m)
25
30
29
x y
y z

x z

















n)
1 1
1
1 1
2
1 1
5
x y
y z
x z

o)
2
2
2
2
2
2
2

1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z

p)
3 2( )
5 6( )
4 3( )
xy x y
yz y z
xz z x

q)
3 2
2 9
3
x y z
x y z
z x

r)
2
2 3
3 2 2
x z
y z
x y z

















Loại 9
:
Hệ phơng trình hỗn hợp

.
a)
2 2
1 3 5 1 3 5
80
x x x y y y
x y x y












b)
1 1
( 1) ( 1) 2
x y y x xy
x y y x y

c)
2 2 2 2
1 1
3 4 5
x y x y y x
x y












Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:
7

d)

2 2
2 2
9
16
12
x z
y t
xt yz
















e)
3
2 2
(3 )
(2 )( 2) 9 4
4

0
x y x
z y y y
x z x
z
























f)

1
3
7
x xy y
y yz z
z zx x
















g)
2
2
2
2
2
2
xy xz x

xy yz y
xz yz z






















Các chuyên đề của tui các bạn có thể tham khảo tại địa chỉ sau:

1) Chuyên đề Rút gọn biểu thức
.
/>
2) Chuyên đề Giải phơng trình

3) Chuyên đề Hệ thức Vi Et.

4) Chuyên đề Hệ phơng trình.

5) Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.

6) Chuyên đề Tứ giác nội tiếp.


1) Đề thi tuyển sinh tỉnh Nam Định (2000 -> 2011)

Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:
8

2) Đề thi tuyển sinh tỉnh Hà Nội (2000 -> 2011)

3) Đề thi tuyển sinh tỉnh TP Hồ Chí Minh (2000 -> 2011)

4) Đề thi tuyển sinh tỉnh TháI Bình (2000 -> 2011)


Email:
Website: