Chương trình ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2010-2011

Giáo viên: Đặng Giang
Chơng trình ôn thi vào lớp 10
Năm học: 2010-2011

Năm 2010

Chuyên đề i: căn thức bậc hai- bậc ba
Các phép biến đổi căn thức bậc hai- bậc ba
A. Những công thức biến đổi căn thức:
1)
2)

A

2

A

AB A. B ( víi A

 0 vµ B  0 )

3)

A
A
( víi A

B
B

4)

A2 B  A

B

6)

A

B

( víi AB  0 vµ B  0 )

 0 vµ B > 0 )

(víi B  0 )
5) A B  A 2 B ( víi A  0 vµ B  0 )
A B  A 2 B ( víi A < 0 vµ B  0 )
AB
B

7) A  A B ( víi B > 0 )
B

B

8)
9)

C
A B



C
A B

C ( A B )
( Víi A
A  B2



 0 vµ A  B2 )

C( A  B )
( víi A
A B

 0, B  0 và A B

B. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a)

b)

2x 3

3
2

HD: a) x 

3
 2x 1

b) x 

2

c)

1
2

c)

d)

x1
x

x

1
2x 2

0

1

d) x 0

Bµi 2: Phân tích thành nhân tử ( với x 0 )
a) 2  3  6  8
b) x2 – 5
c) x - 4
d) x x  1
HD: a) 2  3  2  1
b)  x  5  x  5  c)  x  2 x  2
d)  x  1 x  x 1
Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.
a) 3 2 2
b) 3 8
c) 9  4 5
d) 23  8 7
2
2
2
HD: a)  2  1
b)  2  1
c)  5  2
d) 4 7 2
Bài 4: Rút gọn các biÓu thøc sau:
a)

4 

HD: a)

17



2

17  4

b)

6  14

c)

2 3  28

b)

2 c)
x
2

x2  5
x 5

d)

5

d) x x  1 ( víi x 0, x 1 )

(víi x  5)
x

x 1

x 1

Bài 5: Tìm giá trị của x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
a)

3

( với x  0)

x 2
HD: a) x  1

b)

x 5

x 1
b) x  0;1;9

( víi x  0)

c)

x 2

( víi x 0 và x

x 2
c) x 0;1;9;16;36

Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)

x 5 3

b)

3  2x  5

c)

x 3
x 3

1

2

d)

3
x1

1

 4)


Giáo viên: Đặng Giang
HD: a) x = 14 b) 1 x

Năm 2010

3
2

d) 1 x 16

c) x = 81

C. Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thøc: A = x x  1  x  1
x 1

x 1

a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
9
.
4

b) Tính giá trị biểu thức A khi x =

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
x

x

HD: a) ĐKXĐ là:

0

x

, rút gọn biểu thức ta có: A =

1

x1

.

9
thì A = 3
4
c) 0 x  1 .

b) x =

x 1

Bµi 2: Cho biĨu thøc: B =

x 2

2 x



x 2



2 5 x
x 4

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để B = 2.
HD: a) §iỊu kiƯn:

x

x

, rót gän biĨu thøc ta cã: B = 3 x .

0
4

x 2

c) B = 2  x = 16.
1



1  

a 1

a 2




Bµi 3: Cho biĨu thøc: C = 
 : 
a   a  2
a 1
a1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.
b) Tìm giá trị a để C dơng.

HD: a) Điều kiện:

a

a

a


0

4

1

a 2

, rút gọn biểu thức ta cã: C =

3 a

b) C d¬ng khi a > 4.


x



x 2

Bµi 4: Cho biĨu thøc D = 



x

 x 4
.
x 2 4 x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D.

b) Tính giá trị cña D khi x = 6  2 5 .
x  0

HD: a) §iỊu kiƯn: 
, rót gän biĨu thøc ta cã: D =
 x 4
b) D = 5  1
x

Bµi 5: Cho biĨu thøc E =

x 1

x



x1



x

.

3 x
x 1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E.
b) Tìm x để E = -1.

HD: a) Điều kiện:

x

x

0

,rót gän biĨu thøc ta cã: E =

1

 3
1

x

.

c) x = 4.


Bµi 6: Cho biĨu thøc: F = 


2
x 2



2

 x4 x 4
.
8
x 2

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức F.
b) Tính giá trị của biểu thức F khi x=3 +

8

;

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức F có giá trị nguyên ?
HD: a) §KX§:

x

x

0
4

,rót gän biÓu thøc ta cã: F =

2

x 2
x 2

Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

b) x = 3+ 8 3  2 2 
 A= 2 2 1
c) BiÓu thøc A nguyªn khi:



2 1

2

x  2  4;2;1

 x = {0; 1; 9; 16; 36}

D. Bµi tËp lun tËp:
Bµi1: Cho biÓu thøc :
P

1
a 2
5


a 3 a  a  6 2 a

a) Tìn ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi: a = 7
c) Tìm giá trị của a để P < 1.


1

4 3

1 

.

a 1


 : 

Bµi2 : Cho biĨu thøc: Q= 
a   a  2
 a1
a. Rót gän Q.
b. T×m giá trị của a để Q dơng.

2 x 9

Bài3: Cho biÓu thøc: A =



x 5 x 6

x 3
x 2



a  2
a 1

2 x 1
3

x

a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b, Tìm các giá trị của x để A > 1.
c, Tìm các giá trị của x Z để A Z.
Bài4 : Cho biểu thức: C =

1
x 1



3
x x 1

2
x

x 1

a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C.
b, Tìm các giá trị của x để C = 1.
x 2

Bài5: Cho biểu thức: M = 
 x 1

 (1  x) 2

.
2
x  2 x  1 
x 2

a) Rót gän M.
b) T×m các giá trị của x để M dơng.
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.


x



x1

Bài6: Cho biểu thức: P = 



1
x

 
 : 
x  

1
x 1



2 

x  1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.

Chuyên đề II
PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là x 

b
a

2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng hạn: Với
phương trình A(x).B(x).C(x) = 0

3


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

A x 0

 B  x  0
 C x 0
  
4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)

Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể của a, b ta
không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 

b
.
a

-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vơ số nghiệm.
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vơ nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức

A khi A 0
A 
 A khi A  0
6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong
một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất. Tuy nhiên
cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a) 2  x  3  1 2  x  1  9
c)

13
1
6


 2
2x  x  21 2x  7 x  9
2

b)

7x
20x  1,5
 5 x  9 
8
6

d) x  3  3 x  7 10 (*)

Giải

a) 2  x  3  1 2  x  1  9  2x  5 2x  7   5  7 (Vơ lý)
Vậy phương trình vô nghệm.

b)

7x
20x  1,5
 5 x  9 
 21x  120x  1080 80x  6   179x  1074  x 6 Vậy
8
6

phương trình có nghiệm x = 6.

13
1
6
13
1
6 




 x  3  2x  7  2x  7  x  3  x  3
2x 2  x  21 2x  7 x 2  9
7
ĐKXĐ: x 3; x 
2
 13  x  3   x  3  x  3  6  2x  7   13x  39  x 2  9 12x  42
c)

4


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

x 3 DKXD
x 2  x  12 0   x  3  x  4  0  
 x  4  DKXD
Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.

d) Lập bảng xét dấu
x
x–3
x-7
-Xét x < 3:

3
0

-

7
+
-

-

0

+
+

(*)  3  x  3  7  x  10  24  4x 10   4x  14  x 

7
(loại)
2

-Xét 3 x  7 :
(*)  x  3  3  7  x  10   2x  18 10   2x  8  x 4 (t/mãn)

-Xét x 7 :

17
(loại)
2

(*)  x  3  3  x  7  10  4x  24 10  4x 34  x 
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau

x  a  b x  b  a b2  a 2
a)
(1)


a
b
ab
b) ax  1 

x 1

a  x 2  1
2
(2)
 2
x 1
x 1

Giải

a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.

(1)  b  x  a  b   a  x  b  a  b 2  a 2
 bx  ab  b 2  ax  ab  a 2 b 2  a 2
  b  a  x 2  b  a   b  a 
-Nếu b – a ≠ 0  b a thì x 

2 b  a   b  a 
2  b  a 
b a

-Nếu b – a = 0  b a thì phương trình có vơ số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vơ số nghiệm
b) ĐKXĐ: x 1

(2)   ax-1  x  1  2  x  1 a  x 2  1
 ax 2  ax  x  1  2x  2 ax 2  a
  a  1 x a  3
5


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

-Nu a + 1 0  a  1 thì x 

a 3

a 1

-Nếu a + 1 = 0  a  1 thì phương trình vơ nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 

a 3
a 1

-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vơ nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau

 x  5y 7
a) 
3x  2y 4

1
5
 1


 x  y x  y 8
b) 
 1  1 3
 x  y x  y 8

 x  2y  3z 2

c) x  3y  z 5
 x  5y 1



Giải

 x 7  5y
 x 7  5y
 x 7  5y
 x 2




 y 1
3  7  5y   2y 4 21  17y 4  y 1
 x  5y 7
3x  15y 21 17y 17
 y 1



hoặc 
3x  2y 4
3x  2y 4
3x  2y 4
x 2
b) ĐK: x y
 x  5y 7
a) 

3x  2y 4

đặt

1
1
u;
v
xy
x y

5

u

v

2v 1


8

Khi đó, có hệ mới 
5
3
u

v

 u  v 


8

8
 x  y 8
 x 5

Thay trở lại, ta được: 
 x  y 2
 y 3

1

v


2

u 1

8

 x  2y  3z 2

c)  x  3y  z 5 
 x  5y 1


 x 1  5y

7y  3z 1 

2y  z 4


 x 1  5y

1  5y  2y  3z 2 
1  5y  3y  z 5


C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau

6

 x 6

 y 1
z 2



Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010
x 17 3x 7

2
5
4
x1

x
7x  3
d)


x  3 x  3 9  x2

a) 3  x  4   5  x  2  4  3x  1  82

b)

x 1 x  2 x  3 x  4



65
64
63
62
x2 1
2
e)
 
x  2 x x  x  2
c)

f ) x  3 5

g) 3x  1 2x  6

h) 2  x  3 2x  1 4

i) 5  3x  x  3   3x  1  x  2 

k)

4x  3 x  1 2x  3 x  2



3
6
2
4

2.Giải và biện luận các phương trình sau

x a
x b
b 
a
a
b
b) a 2  x  1  3a x

a)

ax-1 x  a a 2  1



a+1 1  a a 2  1
a
1
a  1 a 1
d)



x  a x 1 x  a x 1
c)

3.Giải các hệ phương trình sau

 x  y 24

a)  x y
8


2
 9 7
9

3x  4y  5 0
b) 
2x  5y  12 0

2

2

2u  v 7
c)  2
2
u  2v 66

m  n  p 21

n  p  q 24
d) 
p  q  m 23
q  m  n 22

 m  1 x  y 3

4.Cho hệ phương trình 

mx  y m

a) Giải hệ với m = - 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dng.

Chuyên đề iii

Hàm số và đồ thị

i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc

chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số
Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mÃn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuéc R
NÕu x1 < x2 mµ f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất

7


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho tríc vµ a 0
b. TÝnh chÊt
Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bíc 1. Cho x = 0 th× y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi ®ã
 a a '
+ d // d '  
b b '
+ d ' d '  A  a a '
a a '
+ d d '  
b b '
+ d  d '  a.a '  1
e. HÖ sè gãc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao ®iĨm
cđa ®êng th¼ng y = ax + b víi trơc Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
Đờng thẳng đi qua ®iĨm M0(x0;y0)cã hƯ sè gãc k: y = k(x x0) + y0
x
y
1
Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 0 lµ
x0 y0
1.2 Hµm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
b. TÝnh chÊt
- Hµm sè y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 thì hàm số ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là ®iĨm thÊp nhÊt cđa ®å thÞ
+ NÕu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
AB ( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
Täa ®é trung ®iĨm M cđa AB đợc tính bởi công thức
x xB
y yB
xM  A
; yM  A
2
2
2.2 Quan hƯ gi÷a Parabol y = ax2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
y ax 2

y mx  n

8


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax2= mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hµm sè: y = (m + 4)x – m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với
giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
-

Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k 3)x – 3k + 3 (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + 5 (d2).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d1) và (d2) cắt nhau.
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d1) và (d2) song song với nhau.
d. (d1) và (d2) vuông góc víi nhau.
e. (d1) vµ (d2) trïng nhau.
Bµi 3: Cho hµm số: y = (2m-5)x+3 với m

có đồ thị là đờng thẳng d .

Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)

b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m2-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
Bi 5: Cho hm s: y = 

1 2
x có đồ thị (P).
2

a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ lần lượt bằng –1 và 2.
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = – 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2.
Bài 8:
8.1)Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2.
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2.

8.2)Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax2 và hai đường thẳng sau:

9


Giáo viên: Đặng Giang
4
3

(d1): y x 1
a)
b)
c)
d)

Năm 2010
(d2): 4x + 5y – 11 = 0

Tìm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy.
Vẽ (P), (d1), (d2) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được.
Tìm tọa độ giao điểm cịn lại của (P) và (d2).
Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vng góc với (d1).

1
2

2
Bài 10: Cho Parabol (P): y  x và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.

a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hồnh độ bằng – 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hồnh độ cùng dương.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hồnh độ x1  x2 thỏa mãn:

1 1 1
 
x12 x22 2

Bài 11: Cho hàm số: y = ax2 có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tip xỳc vi Parabol (P).

Chuyên đề iv: phơng trình bậc hai
PHẦN II. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Công thức nghiệm:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có  = b2- 4ac
+Nếu  < 0 thì phương trình vơ nghiệm
+Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

b
2a

+Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
 b 
 b 
; x2 =
2a
2a

2. Cơng thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ’ < 0 thì phương trình vơ nghiệm
b
+Nếu ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
’
+Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

x1 =

 b  '
 b  '
; x2 =
a
a

3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 (a0)
b
c
thì : S = x1+x2 =
; P = x1.x2 =
a
a
b) Ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

+Hệ quả 2:

10

c
a


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

Nu phng trỡnh ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =

c
a

c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P  0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là  ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình ln có 2 nghiệm trái dấu

PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. TỐN TRẮC NGHIỆM
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ ..... để có mệnh đề đúng
a) Phương trình mx2+nx+p = 0 (m  0) có  = .....
Nếu  ..... thì phương trình vơ nghiệm

Nếu  ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .....
Nếu  ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =..... ; x2 = .....
2
b) Phương trình px +qx+k = 0 (p  0) có ’= .....(với q = 2q’ )
Nếu ’ ..... thì phương trình vơ nghiệm
Nếu ’ ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .....
Nếu ’ ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =..... ; x2 = .....
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a  0)
b
c
thì: S = x1+ x2 =
; P = x1.x2 =
a
a
B. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a  0)
c
b
thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 =
a
a

c
a
c
D. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =
a
c

E. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
c
F. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
2
G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x - S x+P = 0
H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- P x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
c
A.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =
a
c
B.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
C. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

11


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

b
c
v tớch hai nghim l
a
a
1

3
D.Phng trỡnh 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là và tích hai nghiệm là
2
2
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a  0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:  ≥ 0)
II. TỐN TỰ LUẬN
C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là

LOẠI TỐN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CƠNG THỨC VÀO TÍNH TỐN
Bài 1:

Giải phương trình
a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0

Giải:
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
2
 = (- 49) - 4.1.(- 50) = 2601;  = 51
Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 ( 49)  51
 ( 49)  51
x1 
  1 ; x2 

50
2
2
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
 50
50
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 
1
+ Lời giải 3:  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
 x1  x2 49 (  1)  50
 x  1
  1

 x1.x2  49   50 ( 1).50  x2 50
 50
50
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 
1
b) Giải phương trình (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
 = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;  = 4
Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 

 2 3 4
 2 3 4

1 ; x2 
  (7  4 3 )
2( 2  3 )
2( 2  3 )

+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3 ; b’ =

3;c=–2– 3)

’ = ( 3 )2- (2- 3 )(– 2 – 3 ) = 4;

 =2

12


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

Do > 0 nờn phng trình có hai nghiệm phân biệt:
3 2
 3 2
1 ; x2 
  (7  4 3 )
2 3
2 3
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
x1 



Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 Nên phương trình có nghiệm:
x1 = 1; x1 = 

3)=0

 2 3
  (7  4 3 )
2 3

*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng cơng thức (khơng nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng cơng thức và tính tốn

* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:i tương tự: Giải các phương trình sau:ng tự: Giải các phương trình sau::

Giải các phương trình sau:i các phương tự: Giải các phương trình sau:ng trình sau:

2

1. 3x – 7x - 10 = 0
5. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0
2
2. x – 3x + 2 = 0
6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0
2
3. x – 4x – 5 = 0

7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0
4. 3x2 – 2 3 x – 3 = 0
Bài 2:
Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400
b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8
d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
2x
x2  x  8

b)
x  1 ( x  1)( x  4)
c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2
d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1)  (x2 - 2)(x + 3) = 0  (x + 2 )(x -

2 )(x + 3) = 0

x=- 2;x= 2;x=-3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x =
2x
x2  x  8

b) Giải phương trình
(2)
x  1 ( x  1)( x  4)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2)  2x(x- 4) = x2 – x + 8  x2 – 7x – 8 = 0 (*)

13

2;x=-3


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

Do a b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(khơng thoả mãn ĐK) ; x2 = 8
(thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3)  5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t  0) thì (3)  5t2 – 3t – 26 = 0
Xét  = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529.   = 23

 ( 3)  23 13
 (thoả mãn t  0) ;
Nên: t1 =
2 .5
5
 ( 3)  23
 2 (loại)
t2 =
2.5
Với t =

13
13
13
 x2 =
x= 
5
5
5

13
; x2 =
5
d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t . Khi đó (4)  3t2 – 2t – 1 = 0
Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = 

13
5

Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = 

1
3

t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 =

 1 5
 1 5
; x2 =
2
2

1
1
 x2+x =   3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
3
3
2
2 = 3 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vơ nghiệm
t2 = 

Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 =

* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:i tương tự: Giải các phương trình sau:ng tự: Giải các phương trình sau::
3

Giải các phương trình sau:i các phương tự: Giải các phương trình sau:ng trình sau:

2

1. x +3x +3x+2 = 0
2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
3. x4 – 5x2 + 4 = 0
4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
x
x 1
 10.
3
6.
x 1
x
Bài 4:

 1 5
 1 5
; x2 =
2
2
7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2
1
1


8.  x    4 x    3 0
x
x



x2
6
3 
9.
x 5
2 x

Cho phương trình x2 +

3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1
1
1
1
 ; B = x12 + x22 ; C = 2  2 ;
A=
D = x13 + x23
x2 x2
x2
x2

Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = 

3;

x1.x2 = 

5

14


Giáo viên: Đặng Giang
A=

x x2
1
1


1

x2
x2
x1 .x 2


Năm 2010
3
5



1
15 ;

5

B = x1 + x2 = (x1+x2) - 2x1x2= (  3 ) 2  2( 5 ) 3  2 5
2

C=

2

2

x12  x 22 3  2 5 1

 (3  2 5 ) ;
x12 .x 22
( 5 ) 2 5

D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3 )[3  2 5  ( 5 )]  (3 3  3 15 )
* Bài tương tự:
Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

1
1
 2;
2
x2
x2

A=

1
1
 ;
x2 x2

E=

6 x12  10 x1 x 2  6 x 22
3x12  5 x1 x 2  3 x 22
;
F
=
5 x1 x 23  5 x13 x 2
4 x1 x 22  4 x12 x 2

B = x12 + x22 ; C =

D = x13 + x23

LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài tốn tổng qt)
Tìm điều kiện tổng qt để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)    0
2. Vô nghiệm   < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0

7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
 a.c < 0 và S > 0
b
c
(ở đó: S = x1+ x2 =
; P = x1.x2 = )
a
a
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại
tốn này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm
Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vơ nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1

15


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

Nu k < 1 thỡ phng trình có nghiệm x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k
Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm cịn lại(nếu có)?
Giải
3
a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =
(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
2
(1) có nghiệm  ’ = 3m-2  0  m 
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m 
thì phương trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =
(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
2
(1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m-2 = 0  m =
(thoả mãn m ≠ 1)
3

1
1


3
2
Khi đó x = m  1
1
3
3
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
2
với m =
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
3
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m =
4
3
1
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= 
≠ 0)
4
4
3
3

12  x 2 6

1
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m  1

4
3
Vậy m =
và nghiệm còn lại là x2 = 6
4
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài tốn trở nên phức tạp vàhọc
sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22  10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải

16


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010
2

1 15

a) Ta cú: = (m-1)2 – (– 3 – m ) =  m   

2
4

2

15
1

 0   > 0 với mọi m
Do  m   0 với mọi m;
4
2

 Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0
2(m  1)  0
m  1
 
 
 m3
 ( m  3)  0
m   3
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0
 m 0

 m 0
 m  3

3

2
m

3

0
m
 

2



 

2
 m 0

m

0




 m 0

3
 2m  3 0
 m 
2


3
hoặc m  0
2
e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
 x1  x 2 2(m  1)
 x  x 2  2m  2
 . 1
Theo định lí Viet ta có: 
 x1 .x 2  (m  3)
2 x1 .x 2  2m  6
Vậy m 

 x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
8  x2
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)  x1 
1  2 x2

8  x2

1  2 x2

1
)
2
Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
1
1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1 
; y 2  x2 
với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở
x2
x1
Vậy x1 

( x 2 

trên
Giải
a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m

17


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

Phng trỡnh cú hai nghim l nghịch đảo của nhau
' 0
 2  m 0
m  2
 
 

 m 2
m  1 1
m  2
P 1
Vậy m = 2
b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
 x1  x2  2
 2 x1  2 x2  4  x1 5
 
 

Từ (1) và (3) ta có: 
3 x1  2 x2 1 3 x1  2 x2 1
 x1  x2  2
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
Khi đó: y

 y 2  x1  x2 

1

y y (x 
1

2

1

1
x

)( x 
2

2

1
x1
1
x

1



1

 x1  x2 

x2

) x x 
1

2

1
xx
1

x1  x2
x1 x2

 2 m  1 
2

2

 2 

m 1

1

2 

m 1



2m
1 m

m

 x1 5

 x2  7

(m≠1)

2

m1

(m≠1)

2m
m2
.y +
= 0 (m≠1)
1 m
m 1
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính tốn và biến đổi

+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải
khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) C/m , phương trình ln ln có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
a) C/m A= 8m2 – 18m + 9
b) Tìm m sao cho A=27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
 y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 -

18


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

5) Cho phng trỡnh ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) C/m phương trình lng có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn:
y1
y
 2 3
y1 + y2 = x1 + x2 và
1  y 2 1  y1
7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn :
2

2

 x1 
x 
    2  > 7
 x2 
 x1 
8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
* Tìm m sao cho x1  x 2 2

Dạng 5: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn

đẳng thức cho

trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình : x 2  2( m  1 ) x  m 2  3m 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x12 + x22 = 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình : x 2  ( 2 m  1 ) x  4 m  3 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x12 + x22 = 10.
Bài 3: Tìm m để phương trình : ( 2 m  1 ) x 2  2( m  4 ) x  5 m  2 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn

x 12  x 22  2 x 1 x 2  16.
Bài 4: Tìm m để phương trình : ( m  1 ) x 2  2 mx  m  1 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn

x1 x2 5

  0.
x2 x1 2
Bài 5: Tìm m để phương trình : mx 2  ( m  4 ) x  2 m 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn

2( x 12  x 22 )  5 x 1 x 2 0.
Bài 6: Tìm m để phương trình : x 2  ( m  2 ) x  m  5 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12  x 22  10.
Bài 7: Tìm m để phương trình : x 2  ( m  2 ) x  2 m 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12  x 22  8.
Bài 8: Tìm m để phương trình : x 2  ( m  3 ) x  3 m 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12  x 22  10.
Bài 9: Tìm m để phương trình : x 2  2( m  2 ) x  4 m  5 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn

x1 x 2

 1.
x 2 x1

Bài 10: Tìm m để phương trình : ( m  2 ) x 2  ( 2 m  1 ) x  m  3 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 =
2x2.

Bài 11: Tìm m để phương trình : x 2  2( m  1 ) x  4 m  3 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn 2x1 + x2 = 5.
DẠNG 6: lập

hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
19


Giáo viên: Đặng Giang

Năm 2010

Bi 1: Gi x1, x2 l nghiệm của phương trình: ( m  2 ) x 2  2( m  1 ) x  3  m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x 2  2( m  1 ) x  m  3 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1,
x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m  3 ) x 2  2( m  1 ) x  m  5 0. Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( 4 m  3 ) x 2  3( m  1 ) x  2 m  2 0.
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x 2  ( 2 m  1 ) x  m 2  m  1 0. Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m  1 ) x 2  2( m  1 ) x  m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
x1, x2 không phụ thuộc vào m.

20