Skkn toán 7 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Đặt vấn đề
1.1. Cơ sở lí luận
Việc giảng dạy bài tập tốn khơng thể cứng nhắc, đơn điệu, tùy theo từng bài tốn
ta có các cách giải khác nhau. Dạy học giải các bài tập tốn có ý nghĩa rất quan trọng:
Củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức đã học của học sinh, rèn luyện kĩ năng, kĩ
xảo. Mang tính chất ứng dụng những kiến thức đã được học vào từng bài toán cụ thể,
vào thực tế và những vấn đề mới. Để học sinh tự đánh giá năng lực nhận thức của
mình và cũng giúp giáo viên đánh giá được mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng học
toán của từng em.
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là một phần kiến thức rất nhỏ trong chương trình
tốn 7, tuy nhiên khơng vì thế mà chúng ta xem nhẹ nội dung này. Bởi chính những
kiến thức này các em được gặp lại ở các lớp trên, đặc biệt là trong quá trình chứng
minh hình học khi biến đổi để tìm ra các đoạn thẳng tỉ lệ, biến đổi các tỉ số đồng dạng
của hai tam giác để tính độ dài đoạn thẳng, tìm ra các tỉ số cần chứng minh…
1.2. Cơ sở thực tiễn
Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn 7 ở trường Trung Học Cơ Sở, đặc biệt khi hướng
dẫn học sinh giải các dạng bài tập về dãy tỉ số bằng nhau, tôi nhận thấy ở học sinh còn
tồn tại một số hạn chế sau: Chưa vận dụng hợp lí kiến thức đã học vào các dạng bài tập
cụ thể. Thường tỏ ra lúng túng, ngại suy nghĩ khi gặp các dạng bài tập mới, đòi hỏi khả
năng tư duy, lập luận logic, tính sáng tạo, tổng hợp kiến thức. Chưa hiểu rõ tính chất,
chưa nắm được một số kiến thức cơ bản dẫn đến việc nhầm lẫn trong q trình biến
đổi, thiếu sót khi kết luận. Nhiều em chưa xác định được các bài toán cùng dạng, chưa
tổng qt được bài tốn để tìm ra cách giải chung cho từng dạng toán. Khả năng quan
sát bài toán chưa tốt, chưa linh hoạt vận dụng kiến thức, hướng giải quyết bài tốn cịn
hạn chế.
Vì vậy, là một giáo viên nhiệm vụ đặt ra ở đây là giúp cho học sinh nắm được các
kiến thức, bên cạnh đó phải vận dụng được các kiến thức đó vào việc giải các bài tập
cũng như có thể áp dụng vào thực tế. Với mong muốn đó, tơi đã khơng ngừng trau dồi
kiến thức cũng như học hỏi đồng nghiệp để xây dựng một đề tài: “ Hướng dẫn họcng dẫn họcn họcc
sinh lớng dẫn họcp 7 giải bài tập bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”i bài tập bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”p bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”ng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”ng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”t dãy tỉ số bằng nhau ” số bằng nhau ” bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”ng nhau ”

1


2. Mục đích của đề tài
Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học s đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học su tìm hiể đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học su, học tập của giáo viên và học sc tập của giáo viên và học sp của giáo viên và học sa giáo viên và học tập của giáo viên và học sc s inh. Với mục đíchi mục đíchc đích
giúp các em học tập của giáo viên và học sc sinh hiể đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học su rõ về tính chất của dãy tỉ số bằng nhaut của giáo viên và học sa dãy tỉ số bằng nhau số bằng nhau bằng nhaung nhau và phươngng
pháp gi i các dạng bài tập. Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năngng bài tập của giáo viên và học sp. Tôi mong muố bằng nhaun phát triể đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sn tư duy logic, rèn kỹ năng
gi i toán cho học tập của giáo viên và học sc sinh, rèn tính linh hoạng bài tập. Tơi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năngt, sáng tạng bài tập. Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năngo, kh năng liên tưởng và tạong và tạng bài tập. Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năngo
hứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sng thú học tập của giáo viên và học sc tập của giáo viên và học sp tố bằng nhaut bộ môn. môn. Làm cho học tập của giáo viên và học sc sinh u thích mơn Tốn hơngn, mong
muố bằng nhaun được tìm hiểu nghiên cứu sự thú vị và phong phú của mơn c tìm hiể đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học su nghiên cứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học su sự thú vị và phong phú của môn thú vị và phong phú của môn và phong phú của giáo viên và học sa mơn Tốn. Phát
triể đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sn bài toán nhằng nhaum nâng cao năng lự thú vị và phong phú của môn c, tư duy tự thú vị và phong phú của môn học tập của giáo viên và học sc của giáo viên và học sa h ọc tập của giáo viên và học sc sinh. Vi ệc nghiênc nghiên
cứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học su đề tài này cho tôi mộ môn.t cơng hộ mơn.i để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học s tự thú vị và phong phú của môn học tập của giáo viên và học sc, rút ra cho mình nh ững kinh nghiệm,ng kinh nghi ệc nghiênm,
những kinh nghiệm,ng hiể đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học su biết mới từ đó nâng cao khả năng chuyên môn, nghiệp vụ của bảnt mới mục đíchi từ đó nâng cao khả năng chun mơn, nghiệp vụ của bản đó nâng cao kh năng chun mơn, nghiệc nghiênp vục đích của giáo viên và học sa b n
thân.
3. Lịch sử của đề tàich sử của đề tài của đề tàia đề tài tài
Qua trao đổi với đồng nghiệp và những kinh nghiệm tích lũy được trong suốt q
trình dạy học bộ mơn Tốn khối 7 từ năm 2013 đến nay, tôi đã nghiên cứu thành sáng
kiến kinh nghiệm. Đây là một đề tài hoàn toàn mới và được áp dụng lần đầu tiên đối
với học sinh học mơn Tốn khối 7 ở trường Trung học cơ sở năm học 2019 -2020.
4. Phạm vi của đề tàim vi của đề tàia đề tài tài
Đề tài này là các dạng tốn “ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau “, mỗi dạng
có phương pháp giải và một số bài tập áp dụng mà tôi đã tích lũy được trong q trình
giảng dạy và nghiên cứu.
Đối tượng áp dụng: Tất cả các đối tượng học sinh từ trung bình đến những học sinh
khá, giỏi của trường Trung học cơ sở, với một hệ thống bài tập đã được sắp xếp từ dễ
đến khó.
II. NỘI DUNG CƠNG VIỆC ĐÃ LÀM
1. Thực trạng đề tài
Trong q trình cơng tác, làm nhiệm vụ giảng dạy cùng với việc tham khảo ý kiến

của các đồng nghiệp tôi nhận thấy :
1.1. Chương trình SGK: Chưa xây dựng hồn chỉnh về nội dung và phương pháp
giải các bài tốn về tính chất dãy tỉ số bằng nhau chỉ mang tính chất giới thiệu chưa
2


sâu. Trong khi đó giải tốn về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là một dạng toán rất
đa dạng và phong phú.
1.2. Thực trạng về học sinh
1.2.1. Về hứng thú khi học dạng bài tốn về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Học sinh được làm quen từ sớm với dạng toán này và hiệu quả học tập của các em
chưa cao do học sinh chưa nắm được hết các phương pháp, kỹ năng giải một số dạng
toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
1.2.2. Về kỹ năng giải dạng bài tốn về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Học sinh tiếp thu bài máy móc, chưa linh hoạt, chỉ làm theo khuôn mẫu chứ chưa tự
suy nghĩ để tự tìm cách giải.
Học sinh chưa được rèn luyện giải nhiều về dạng bài nên khả năng nhận dạng bài
tập và vận dụng phương pháp giải cho từng dạng bài tập chưa có. Dẫn đến học sinh
lúng túng khi gặp các bài tốn khó cần suy luận trong dạng này.
Ngồi ra những học sinh muốn tìm hiểu thêm cịn lúng túng trong việc tìm tài liệu
nghiên cứu vì tài liệu cịn rải rác và cịn mất nhiều thời gian.
Kết quả kiểm tra đợt 1 (khi chưa áp dụng sáng kiến): Năm học 2018 – 2019
Lớp
7a2

Sĩ số
2

Điểm giỏi
SL

%
7
24

Điểm khá
SL
%
14
48

Điểm TB
SL
%
6
21

Điểm yếu
SL
%
2
7

9
2. Nội dung cần giải quyết
Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến các dạng tốn áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau
Hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp:
 Dạng I: Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau.
 Dạng II: Giải các bài toán lời văn, chia theo tỉ lệ

 Dạng III: Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước
3. Biện pháp cần giải quyết:
3.1. Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến các dạng tốn áp
dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
3


a c a +c a - c
a c
= =
=
(b ¹ d,b ¹ - d).
=
* Từ b d suy ra b d b + d b - d

a c e
= = ,
b
d f ta suy ra
* Từ dãy tỉ số bằng nhau
a c e a + c +e a - c +e
= = =
=
b d f
b +d + f
b - d + f ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
* Nếu có n tỉ số bằng nhau ( n ³ 2 ):

a1 a2 a3
a

= = = .... = n
b1 b2 b3
bn

thì

a1 a1 + a2 + a3 + .... + an a1 - a2 + a3 + .... - an
=
=
= ....
b1
b1 + b2 + b3 + .... + bn
b1 - b2 + b3 + .... - bn
(Nếu đặt dấu “-“ trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “-“ trước số hạng
dưới của tỉ số đó).
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số
bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho.
3.2. Hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số
bằng nhau đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp:
Dạng I: Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau.
I. Kiến cần nhớ: Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

a c a c a  c
 

b
d
b

d

b d
- Tính chất: Ta ln có
a c e
a c e ma nc  pe
  

b
d
f
b

d

f
mb nd  pf
- Tính chất mở rộng:
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
II. Phương pháp giải: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi để
xuất hiện điều kiện đã cho của đề bài. Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau.
III. Bài tập:
Ví dụ 1: (Bài tập 54 trang 30 – Sách giáo khoa Toán 7 - Tập 1)

x y

3
5 và x  y 16
Tìm hai số x và y biết:
4

Hướng dẫn
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y x  y x  y 16
 

 2
3 5 35
8
8
Þ x = 2.3 = 6; y = 2.5 = 10
Vậy x 6 ; y 10 .
Ví dụ 2: (Bài tập 55 trang 30 – Sách giáo khoa Tốn 7- Tập 1)
Tìm hai số x và y biết:

x : 2  y :   5

và

x  y  7

Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
Hướng dẫn

Ta có:

x : 2  y :   5 

x
y


2 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x
y
x y
7
 
  1
2  5 2    5
7
Þ x = 2.( - 1) = - 2; y = - 1.(- 5) = 5
Vậy x  2 ;

y 5.

x y
z
 
Ví dụ 3: Tìm ba số x, y và z biết: 8 12 15 và x  y  z 10
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y
z
x  y  z 10
  
 2
8 12 15 8  12  15 5

Þ x = 8.2 = 16; y = 12.2 = 24; z = 15.2 = 30
Vậy x 16 ;

y 24 ; z 30 .

Nhận xét: Ở ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Trong thực tế nhiều bài tập phải qua q trình biến đổi mới có thể đưa được về dạng
để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Sau đây là một số dạng và cách biến
đổi.

5


x y z
 
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết: 2 3 4 và 2 x  3 y  z 34
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi
dãy tỉ số sao cho hệ số của x , y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x , y, z trong
đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể nhân cả tử và mẫu

x
y
của tỉ số 2 với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số 3 với 3 rồi áp dụng tính chất dãy tỉ
số bằng nhau để tìm x, y, z.
Hướng dẫn

x y z
2x 3 y z
  
 

4
9 4
Ta có: 2 3 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 3 y z 2 x  3 y  z 34
  
 2
4
9 4
4 9 4
17
Þ x = 2.2 = 4; y = 3.2 = 6; z = 4.2 = 8
Vậy x 4; y 6; z 8.

x 1 y 2 z 3


3
4 và x  2 y  3 z 14 .
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết: 2
Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4
Hướng dẫn

x 1 y 2 z 3
x  1 2 y  4 3z  9






2
3
4
2
6
12
Ta có:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x  1 2 y  4 3z  9 x  1  2 y  4  3z  9



2
6
12
2  6  12


x  2 y  3 z  6 14  6

1
8
8

Þ x - 1 = 2.1 Þ x = 3; y - 2 = 3.1 Þ y = 5; z - 3 = 4.1 Þ z = 7
Vậy: x 3 ; y 5 ; z 7
Ví dụ 6: Tìm x, y biết: 7 x 9 y và 10 x  8 y 68
6

Phân tích đề bài: Ở bài này, ta viết đẳng thức 7 x 9 y về dạng dãy tỉ số bằng
nhau sao cho hệ số các tích trong dãy tỉ số bằng nhau bằng 1.
Cách làm chia các tích cho BCNN(7, 9)=63. Nên ta được

7 x 9 y 

7x 9 y x y
  
63 63 9 7 . Sau đó vận dụng cách làm ở ví dụ 4.

Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết: 2 x 3 y 4 z và x  y  z 169 .
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2 x 3 y 4 z về dạng dãy tỉ số bằng
nhau sao cho hệ số các tích trong dãy tỉ số bằng nhau bằng 1.
Cách làm chia các tích cho

BCNN  2;3; 4  12

sau đó làm như ví dụ 3

Hướng dẫn

2 x 3 y 4 z 
Từ:

2x 3y 4z x y z
    
12 12 12 6 4 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y z x  y  z 169
  

13
6 4 3 6  4  3 13
Þ x = 6.13 = 78; y = 4.13 = 52; z = 3.13 = 39
Vậy x 78 ; y 52 ; z 39.
Ví dụ 8: (Bài tập 62 trang 31 – Sách giáo khoa Tốn 7 - Tập 1)

x y

Tìm x, y biết: 2 5 và x. y 10
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi
dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x .y bằng cách lập luận để chứng tỏ x 0 rồi

x y

2
5 với x . Thay x. y 10 vào rồi tính.
nhân hai vế của hai tỉ số
Hướng dẫn

x y

x
.
y


10

x

0
2
5 với x ta được:
Vì
. Nhân cả hai vế của

7


x 2 xy 10
  2
2
5
5



x2
2  x 2 2.2  x 2 4  x  2; x 2
2

Nếu

x  2   2. y 10  y 

10

 y  5
2

10
x 2  2 y 10  y   y 5
2
Nếu
Vậy: x  2 ; y  5 hoặc x 2 ; y 5

x y z
= =
2
3 5 và xyz = 810.
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết:
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y.z bằng cách lập luận chứng tỏ x 0 rồi
biến đổi dãy tỉ số bằng nhau về dạng:

x y z
= = ị
2 3 5

3

ổử
x
x y z xyz 810
ỗ
ữ
= . . =

=
= 27.
ỗ ữ
ữ
ữ 2 3 5
ỗ
30
30
ố2ứ

Sau ú lm tng t vớ dụ 8.

Ví dụ 10: (Bài tập 61 trang 31 – Sách giáo khoa Toán 7 - Tập 1)

x y y z


2
3
4
5 và x  y  z 10
Tìm x, y, z biết:
;
x y y z


2
3 ; 4 5 về một dãy ba tỉ số bằng nhau
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số
bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4

Hướng dẫn

x y
 
2 3
y z
 
4 5

x y 

x y
z
8 12 
  
y
z
8 12 15
 
12 15 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y
z
x  y  z 10
  
 2
8 12 15 8  12  15 5
8

 x 2.8 16; y 2.12 24; z 2.15 30

Vậy x 16 ; y 24 ; z 30
Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết:

y + z +1 x + z + 2 x +y - 3
1
=
=
=
x
y
z
x +y +z
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

y + z +1 x + z + 2 x +y - 3
1
=
=
=
=
x
y
z
x +y +z
(y + z + 1) + (x + z + 2) + (x + y - 3)

x +y +z

=

2(x + y + z)
=2
x +y +z
(vì x + y + z ¹ 0). Do đó x + y + z = 0,5.

Thay kết quả này vào đề bài ta được:

0,5 - x + 1 0,5 - y + 2 0,5 - z - 3
=
=
=2
x
y
z
1,5 - x 2,5 - y - 2,5 - z
=
=
=2
x
y
z
Tức là

1
5
- 5

x = ;y = ; z =
.
2
6
6
Vậy

x y x z


3
3
3
2
3
4
9 (1) và x  y  z  1009
Ví dụ 12: Tìm x, y, z biết:
;
x y x z


2
3
4
9 về một dãy ba tỉ số bằng nhau
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số
;
3

3

3

giống ví dụ 8 rồi lập phương các tỉ số để xuất hiện x ; y ; z sau đó áp dụng tính chất
dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z.
Hướng dẫn

x y
x y
  
4 6
Ta có: 2 3

9


x y z
x3
y3
z3
   


4 6 9
64 216 729
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x3
y3

z3
x3  y 3  z 3
 1009




 1
64 216 729 64  216  729 1009
 x3 64.   1  64  x  4

;

y 3 216.   1  216  y  6

;

z 3 729.   1  729  z  9
Vậy: x  4 ; y  6 và z  9

a b c
 
b
c a và a  b  c 0 ; a 2012 . Tính: b, c.
Ví dụ 13: Cho
Phân tích đề bài: Vì a  b  c 0 ta áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng nhau
để tìm giá trị của dãy tỉ số này rồi từ đó tìm ra giá trị của a, b, c.
Hướng dẫn
Vì a  b  c 0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b c a b c
  
1
b c a bc a
Mà a 2012  b 2012

b 2012  c 2012
Vậy: a b c 2012
Dạng II: Giải các bài toán lời văn, chia theo tỉ lệ.
I. Kiến thức cần nhớ:

x y

1) x, y tỉ lệ thuận với a, b  x : y a : b ( Hay a b )
1 1
 x: y  :
a b ( Hay ax by )
2) x, y tỉ lệ nghịch với a, b
II. Phương pháp giải:
10


 Gọi các đại lượng cần tìm là a, b, c (tùy đề bái yêu cầu).
 Từ điều kiện bài toán cho, đưa về dãy tỉ số bằng nhau.
 Sử dụng phương pháp ở dạng I để giải.
III. Bài tập:
Ví dụ 1: (Bài tập 56 trang 30 – Sách giáo khoa tốn 7 - Tập 1)
2
Tìm diện tích của một hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng 5 và

chu vi bằng 28m
Phân tích đề bài:
Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều rộng (còn được gọi là
hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều dài. Hai cạnh của nó bằng
2
5 nghĩa là:

Nếu gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là a và b

 0  a  b

.

a 2
a b
2
  
2 5 ( tính chất của tỉ lệ
Vì hai cạnh của hình chữ nhật bằng 5 nên ta có: b 5
thức)
Chu vi hình chữ nhật là

2  a  b

nên ta có:

2  a  b  28  a  b 14

Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Hướng dẫn
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a (m) và b (m)

 0  a  b

a b

2
5 và 2  a  b  28
Theo bài ra ta có:
Từ

2  a  b  28  a  b 14

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b a  b 14
 
 2
2 5 2 5 7
 a 2.2 4  TMĐK  ; b 2.5 10  TMĐK 

Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 4 m và 10 m.
11


Ví dụ 2: ( Bài tập 57 trang 30 – Sách giáo khoa Toán 7 - Tập 1)
Số bằng nhau viên bi của giáo viên và học sa ba bạng bài tập. Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năngn Minh, Hùng, Dũng tỉ số bằng nhau lệc nghiên với mục đíchi các số bằng nhau 2; 4; 5. Tính số bằng nhau viên của giáo viên và học sa
mỗi bạn, biết rằng ba bạn có tất cả 44 viên bii bạng bài tập. Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năngn, biết mới từ đó nâng cao khả năng chun mơn, nghiệp vụ của bảnt rằng nhaung ba bạng bài tập. Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năngn có tất của dãy tỉ số bằng nhaut c 44 viên bi
Phân tích đề bài

Nếu gọi số a, b, c lần lượt là số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng
Vì số viên bi của giáo viên và học sa ba bạng bài tập. Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năngn Minh, Hùng, Dũng tỉ số bằng nhau lệc nghiên với mục đíchi các số bằng nhau 2; 4; 5 nên ta có:
a b c
 
2 4 5 và do tất của dãy tỉ số bằng nhaut c có 44 viên bi nên ta có điề u kiên là  a, b, c  *; a, b, c  44 

Hướng dẫn
Gọi số a, b, c lần lượt là số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng

 a, b, c  *; a, b, c  44 
a b c
 
Theo đề ta có: 2 4 5 và a  b  c 44

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b c a  b  c 44
  
 4
2 4 5 2  4  5 11

 a 4.2 8  TMĐK  ; b 4.4 16  TMĐK  ; c 4.5 20  TMĐK 
Vậy số bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là : 8 viên bi, 16 viên bi, 20 viên bi.

Ví dụ 3: ( Đề Kiểm Tra HK1 – Toán 7 – Kiến Tường năm học 2017 – 2018)
Số học sinh của 4 khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 1,5: 1,1: 1,3: 1,2. Biết rằng số học
sinh của khối 8 nhiều hơn số học sinh của khối 9 là 3 học sinh. Tính số học sinh mỗi
khối?
Phân tích đề bài
Vì số học sinh của 4 khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 1,5: 1,1: 1,3: 1,2 nên nếu gọi số

học sinh của 4 khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c, d ( học sinh ) thì ta có:
a
b
c
d
  
1,5 1,1 1,3 1, 2

Số học sinh của khối 8 nhiều hơn số học sinh của khối 9 là 3 học sinh nên ta có:

c – d  3.
Hướng dẫn
Gọi số học sinh các khối 6; 7; 8; 9 lần lượt là a, b, c, d.
Ta có: a: b: c : d = 1,5: 1,1: 1,3: 1,2 và c – d  3
a
b
c
d
c d
3
  


30
Suy ra: 1,5 1,1 1,3 1, 2 1,3  1, 2 0,1
 a 30.1,5 45; b 30.1,1 33; c 30.1,3 39; d 30.1, 2 36

Số HS các khối 6; 7; 8; 9 lần lượt là: 45 HS; 33 HS; 39 HS; 36 HS.
12

Ví dụ 4: (Đề Kiểm Tra HKI – Tốn 7 – Kiến Tường năm Học 2018-2019) Kiểm Tra HKI – Toán 7 – Kiến Tường năm Học 2018-2019)m Tra HKI – Toán 7 – Kiến Tường năm Học 2018-2019)n Tường năm Học 2018-2019)ng năm Học 2018-2019)c 2018-2019)
Số tem sưu tầm của ba bạn Nam, Lan, Hoa lần lượt tỉ lệ với 3; 6; 5. Em hãy tìm số
tem của mỗi bạn ? ( Biết rằng tổng số tem của ba bạn là 28 tem )
Phân tích đề bài
Vì số tem tỉ lệ thuận với các số 3; 6; 5 nên nếu gọi số tem sưu tầm của ba bạn Nam,
a b c
 
Lan, Hoa lần lượt là a, b, c ( tem ) thì ta có: 3 6 5

Tổng số tem của ba bạn là 28 tem nên ta có: a  b  c 28 .
Hướng dẫn
Gọi số tem sưu tầm của ba bạn Nam, Lan, Hoa lần lượt là a, b, c (tem)
Theo đề bài ta có:
a b c
 
3 6 5 và a  b  c 28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a  b  c 28
  
 2
3 6 5 3  6  5 14
 a 2.3 6; b 2.6 12; c 2.5 10

Vậy : Nam 6 tem ; Lan 12 tem ; Hoa 10 tem
Ví dụ 5: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp thành
ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh
khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Phân tích đề bài

Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c

 a , b, c  N 
*

a b

Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có: 2 3

b c

Số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 nên ta có: 4 5 .
Lớp học có 35 em nên ta có: a  b  c 35
Hướng dẫn

 a, b, c  N 
*

Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c

a b
b c


Theo bài ra ta có: 2 3 ; 4 5 và a  b  c 35

13


a b

 
2 3
b c
 
4 5

a b 

c
8 12  a b
  
b
c
8 12 15
 
12 15 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b
c
a b c
35
  
 1
8 12 15 8  12  15 35

 a 8.1 8 ; b 12.1 12 ; c 15.1 15 (TMĐK)
Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em.
Ví dụ 6: Độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng tỉ lệ với 8: 15, cạnh

huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vng.
Phân tích đề bài

 a, b  N 
Gọi độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng đó lần lượt là: a, b
*

a b

8
15
Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có:
2

2

2

Áp dụng định lí Py-Ta-Go vào tam giác vng đó ta được: a  b 51
Hướng dẫn

 a, b  N 
*

Gọi độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng đó lần lượt là: a, b

a b

2
2

2
Theo bài ra ta có: 8 15 và a  b 51 (Định lí Py-Ta-Go)

a b
a2
b2



2
2
2
2
2
64 225
Từ a  b 51  a  b 2601 và 8 15
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a2
b2
a 2  b 2 2601



9
64 225
289
289

 a 2 64.9 576  a 24  TMĐK 

;

b 2 225.9 2025  b 45  TMĐK 

Vậy độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng đó là: 24cm, 45cm.

14


1
Ví dụ 7: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 7 số gạo
1
2
của kho đó, xuất ở kho B đi 9 số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi 7 số gạo của kho
đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu, biết rằng kho
B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo.
Phân tích đề bài
Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c

1
1
8a
a a 
7
7 .
Số gạo ở kho A sau khi thêm 7 số gạo của kho A là:
1
1
8b
b b 

9
9 .
Số gạo ở kho B sau khi xuất 9 số gạo của kho B là:
2
2
5c
c c
7
7
Số gạo ở kho C sau khi xuất 7 số gạo của kho C là:
Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho bằng

8a 8b 5c
 
9
7
nhau nên ta có: 7
Lúc đầu kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ nên ta có: b  a 20
Hướng dẫn
Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c

 a, b, c  0  .

1
8a
a a 
7
7 (kg)
Số gạo ở kho A sau khi thêm là:
Số gạo ở kho B sau khi xuất là:

Số gạo ở kho C sau khi xuất là:

b

1
8b
b
9
9 (kg)

c

2
5c
c
7
7 (kg)

8a 8b 5c
 
9
7 và b  a 20
Theo bài ra ta có: 7

15


8a 8b 5c
a

b
c
  
 
9
7
35 45 56
Từ 7
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a
b
c
b a
20
  
 2
35 45 56 45  35 10
 a 35.2 70; b 45.2 90; c 56.2 112 (TMĐK)
Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg.
Dạng III: Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước.
I. Kiến thức cần nhớ: Như dạng I và dạng II.
II. Phương pháp giải:
Cách 1: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi dẫn đến đẳng thức
cần chứng minh.
Cách 2: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị bằng k.
Biểu diễn tử theo tích của k với các mẫu tương ứng.
Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến một hệ thức
đúng.
III. Bài tập

Ví dụ 1: ( Bài tập 63 trang 31 sách giáo khoa – Toán 7 – Tập 1 )

a c

b
d với ( a  b 0 , và c  d 0 )
Cho tỉ lệ thức
a b c d

a

b
c d
Ta có thể suy ra tỉ lệ thức:
Cách 1:
Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích
suy luận ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng minh theo
chiều xi. Khi chứng minh chú ý điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức.

a c
a b
a b a  b
a b c d
 
 


b
d
c

d
c

d
c

d
a

b
c d
Có:
Cần:
Cần:
để CM:
Hướng dẫn:

16


a c
a b a b a  b
   

c d cd c d
Từ b d
a b a  b
a b c d



Vì c  d c  d nên a  b c  d (đpcm)

a c
 k  a bk ; c=dk
Cách 2: Nếu ta đặt b d

a  b bk  b b  k  1 k  1 c  d dk  d d  k  1 k  1



;



a  b bk  b b  k  1 k  1 c  d dk  d d  k  1 k  1
a b c d

Vậy a  b c  d (đpcm). Cách 2 ở các ví dụ sau chúng ta làm tương tự.

a b c d

a

b
c  d ( a, b, c, d 0 và a b, c d ).
Ví dụ 2: Cho
a c

b
d.

Chứng minh rằng
Phân tích đề bài:

a b c d
a b a  b
a b
a c



   
a b c d
c d c  d
c d
b d
Hướng dẫn:

a b c d
a b a  b



a

b
c

d
c


d
c d
Từ:


a b
a c
  
c d
b d

(đpcm)

a c

b
d . với a, b, c, d 0
Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức

ac a 2  c 2
 2
bd
b d2
Chứng minh:
Phân tích đề bài:
2

2

a c

a c a  c 
ac a 2 c 2
ac a 2  c 2
  .     
 2  2
 2
b d
b d b d 
bd b
d
bd b  d 2
Hướng dẫn
17


2

2

a c
a c a  c 
ac a 2 c 2
  .     
 2  2
b
d
b
d
b
d

bd
b
d




Từ:
a2 c2 a2  c2
 2 2
2
b
d
b d2
Mà:

(1)

(2)

ac a 2  c 2

 2
bd
b  d 2 (đpcm)
Từ (1) và (2)
a c

Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức b d . với a, b, c, d 0 và c d
2

Chứng minh:

 a  b
2
c d



ab
cd

Phân tích đề bài:
2

2

a c
a b a b
a b a b
ab  a  b 
   
 . 



b d
c d c d
c d c d 
cd  c  d  2

Hướng dẫn

a c
a b a b
   
c d c d
Từ: b d
2

2

a b  a c 
ab  a  c 
 . 



c d b d 
cd  b  d  2
2

Hay

 a  b
2
c d



ab

cd

(đpcm)

a c

b
d với a, b, c, d 0 và c  d
Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức
2014

Chứng minh:

 a  b
2014
cd

a 2014  b 2014
 2014
c  d 2014

Phân tích đề bài:

18


a c
a b a b  a b 
   



b d
c d cd
 c d 
2014



 a  b
2014
cd

2014

a
 
c

2014

b
 
d

2014

2014

a  b


a 2014 b 2014
a 2014  b 2014
 2014  2014 
 2014
2014
c
d
c
 d 2014
c d
Hướng dẫn

a c
a b a b  a 
   
 
b
d
c
d
c

d
c
Từ:

2014

b
 

d

2014

 a b 


 c d 

2014

2014

a 2014 b 2014  a  b 
 2014  2014 
2014
c
d
cd

(1)

a 2014 b 2014 a 2014  b 2014
 2014  2014
2014
c
d
c  d 2014
Mà:
2014

Từ (1) và (2)

 a  b
2014
cd

(2)

a 2014  b 2014
 2014
c  d 2014

(đpcm)

4. Kết quả chuyển biến
Sau một thời gian đưa sáng kiến “ Hướng dẫn họcng dẫn họcn họcc sinh lớng dẫn họcp 7 giải bài tập bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”i bài tập bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”p
bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”ng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”ng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”t dãy tỉ số bằng nhau ” số bằng nhau ” bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ”ng nhau ” vào áp dụng tôi nhận thấy sự
hạn chế của học sinh khi giải các bài tập về dãy tỉ số bằng nhau đã được khắc phục
đáng kể. Cụ thể như:
 Số học sinh nhận dạng và giải bài tập tốt tăng lên nhiều. Thông qua bảng thống kê
như sau: Kết quả kiểm tra đợt 2 (đã áp dụng sáng kiến) năm 2019 – 2020
Lớp
7a2

Sĩ số
2

Điểm giỏi
SL

%
9
41

Điểm khá
SL
%
11
50

SL
2

Điểm TB
%
9

2
 Hạn chế học sinh bị điểm yếu khi giải bài tập ở phần này.
 Chất lượng học sinh tăng lên đáng kể.

19

Điểm yếu
SL
%
0
0

 Việc phân loại từng dạng bài và đưa ra phương pháp giải cùng với các bài tập để
học sinh tự giải đã giúp các em khắc phục được tình trạng lúng túng khi giải các bài
tập có liên quan.
 Học sinh nắm vững phương pháp nên kĩ năng làm bài tập tốt hơn.
 Học sinh hứng thú tiếp thu kiến thức, tích cực trong học tập, vận dụng ý tưởng
của đề tài nên kết quả thu được rất đáng khích lệ.
III. KẾT LUẬN:
1. Tóm lược giải pháp
Qua thực tế giảng dạy bộ mơn Tốn khối 7 ở trường THCS bản thân tôi nhận thấy
kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau là một trong những nội dung cơ bản của chương trình
Đại số lớp 7. Việc áp dụng tốt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào giải tốn là một
u cầu cần thiết khơng những để nâng cao trình độ học tốn mà nó cịn có tác dụng
rất tốt trong việc rèn luyện tư duy, khả năng suy nghĩ, tính cẩn thận, óc quan sát cho
nên tơi đã:
 Tìm hiểu để nắm trình độ chung của lớp, từ đó chọn lọc những bài tốn phù hợp
với học sinh cả về trình độ kiến thức lẫn trình độ phát triển tư duy để nâng dần khả
năng giải được nhiều bài tốn, trình bày lời giải hay và tìm nhiều lời giải cho một bài
toán.
 Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến các dạng tốn: “Áp Dụng
Tính Chất Dãy Tỉ Số Bằng Nhau”.
 Tạo nhiều bài tập gây hứng thú cho học sinh tìm hiểu và tự giải. Có hướng gợi mở
do giáo viên tự xây dựng theo phương pháp giải cụ thể.
 Tạo khơng khí vui vẻ, thoải mái giúp các em tiếp thu kiến thức một cách tự nhiên
khơng gị bó. Tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích
cực chủ động sáng tạo của học sinh.
 Tạo sự đoàn kết giúp đỡ nhau trong học tập cho học sinh
2. Phạm vi, đối tượng áp dụng:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ mơn Tốn khối 7 nên tôi tập trung áp dụng đối
với học sinh lớp 7 Trường THCS nói chung. Học sinh khối 7 tồn tỉnh nói riêng. Là tài

20