skkn phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số lớp 7

Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

Phần I: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ
thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ
thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán.
Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì
không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của
dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai
thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ
thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.
II. Phạm vi nghiên cứu:

1. Phạm vi của đề tài:
Chơng I, môn đại số lớp 7
2. Đối tợng:
Học sinh lớp 7 THCS.
3. Mục đích:
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng
nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia
tỷ lệ, tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng
nhau.
b) Kỹ năng:
HS có kỹ năng tìm số hạng cha biết, chứng minh tỷ lệ thức, giải toán chia tỷ lệ.
c) Thái độ:

HS có khả năng t duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính toán.

GV: Châu Thị Liễu

Phần II: Nội dung của đề tài
Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7
1


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
A.Nội dung

I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a c
=
b d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
b) Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
Nếu

a c
= thì ad = bc
b d

tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b
= ; = ; = ; =
b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c
a c a+c ac
( b d )
= ta suy ra = =
=
b d
b d b+d bd
a c e
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau = =
b d
f
a c e
a+c+e
ac+e
=
= ....
ta suy ra = = =
b d
f b+d + f bd + f

+ từ tỉ lệ thức

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số

a b c
= = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
2 3 5

a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
a c
= suy ra
b d
2
2
a c
a
c
k1a k2 c
a c
=
(k1 , k 2 0)
ữ = ữ = . ; k. = k. ( k 0 ) ;
b d
b
d
k1b k2 d
b d
a c e

từ = = suy ra
b d
f

3

3

3

a c e a c e
ữ = ữ = ữ = ì ì
b d f b d f

2

c e
a
; ữ = ì
d f
b

II.Đối tợng phục vụ của đề tài
Học sinh lớp 7 trờng THCS Hồng Thuỷ năm học 2010 2011
III.Nội dung và phơng pháp nghiên cứu
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số dạng bài tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng cha biết
1.Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu

a c
b.c
a.d
a.d
= a.d = b.c a =
;b =
;c =
b d
d
c
b

Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
GV: Châu Thị Liễu
Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7
2


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
x. ( 9,36 ) = 0.52.16,38
0,52.16,38
x=
= 0,91

9,36

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ
khó hơn nh sau :

a) x ữ: = 1 :
4 5
3 3
1

2

1
5

3 2

2
3

b) 0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a)
x
60
=
15
x

x

60
=
15
x
Giải : từ x.x = ( 15) . ( 60 )
x 2 = 900
x 2 = 302

Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa
về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
x 1 60 x 1
9
=
=
;
15 x 1 7
x +1

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
x3 5
=
5 x 7

Giải:
Cách 1: từ

x3 5
= ( x 3) .7 = ( 5 x ) .5
5 x 7

7 x 21 = 25 5 x
12 x = 46
5
x=3
6
x3 5
x 3 5 x
=
=
Cách 2: từ
5 x 7
5
7

áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x 3 5 x x 3+5 x 2 1
=
=
= =
5
7
5+7
12 6
x 3 1

= 6 ( x 3) = 5
5
6
5
5

x3= x = 3
6
6

GV: Châu Thị Liễu

3

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
x2 x+4
=
x 1 x + 7

( x 2 ) ( x + 7 ) = ( x + 4 ) ( x 1)
x 2 + 7 x 2 x 14 = x 2 x + 4 x 4
5 x 14 = 3 x 4
5 x 3 x = 4 + 14 2 x = 10 x = 5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn

x y z
= = (1) và x +y + z =d (2)
a b c
( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trớc)

Cách giải:
x y z
- Cách 1: đặt a = b = c = k
thay vào (2)
x = k .a; y = k .b; z = k .c

Ta có k.a + k.b + k.c = d
d
a+b+c
a.d
bd
cd
;y=
;z =
Từ đó tìm đợc x =
a+b+c
a+b+c
a+b+c
k ( a + b + c) = d k =

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y z x+ y+z
d
= = =
=

a b c a+b+c a+b+c
a.d
b.d
c.d
x=
;y=
;z =
a+b+c
a+b+c
a+b+c

b).Hớng khai thác từ bài trên nh sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
* k1 x + k2 y + k3 z = e
* k1 x 2 + k2 y 2 + k3 z 2 = f
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
x

- a1

=

y y
z
; =
a2 a3 a4

- a2 x = a1 y; a4 y = a3 z
- b1 x = b2 y = b3 z

-

b1 x b3 z b2 y b1 x b3 z b2 y
=
=
a
b
c

GV: Châu Thị Liễu

4

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

-

x b1 y2 b2 z3 b3
=
=
a1
a2
a3

+Thay đổi cả hai điều kiện
c).Bài tập

Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x +y + z = 27
2 3 4

Giải: Cách 1.
x y z
= = = k x = 2k , y = 3k , z = 4k
2 3 4
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k + 3k + 4k = 27 9k = 27 k = 3

Đặt

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
x y z x + y + z 27
= = =
=
=3
2 3 4 2+3+ 4 9
x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết

x y z
= = và 2x + 3y 5z = -21
2 3 4

Giải:
x y z
= = =k
2 3 4
x y z
2 x 3 y 5z
=
=
Cách 2: Từ = = suy ra
2 3 4
4
9 20

- Cách 1: Đặt
-

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 3 y 5 z 2 x + 3 y 5 z 21
=
=
=
=
=3
4
9 20
4 + 9 20
7
x = 6; y = 9; z = 12

x y z
Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết = = và 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 = 405
2 3 4

Giải:
x y z
= = =k
2 3 4
x y z
Cách 2: từ = =
2 3 4

- Cách 1: Đặt
-

suy ra
x2 y 2 z 2
=
=
4
9
16
2 x2 3 y2 5z2

=
=
8
27
90

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Suy ra

2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 405
=
=
=
=
=9
8
27
90
8 + 27 90
45

GV: Châu Thị Liễu

5

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
x2
= 9 x 2 = 36 x = 6
42
y
= 9 y 2 = 81 y = 9

9
z2
= 9 z 2 = 144 z = 12
16

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x.y.z = 648
2 3 4

Giải:
x y z
= = =k
2 3 4
x y z
Cách 2: Từ = =
2 3 4
3
x y z xyz 648
x
ữ = ì ì =
=
= 27
24
2 2 3 4 24
x3

= 27 x 3 = 216 x = 6

8

- Cách 1: Đặt
-

Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12.

x y
z
= ; x = và x +y +z = 27
6 9
2
x y
x y
Giải: từ 6 = 9 2 = 3

Bài tập 5. Tìm x,y, z biết

z
2
x y z
= =
2 3 4

x
2

Từ x = =

Suy ra

z
4

Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
x y
2 3
x z
Từ 4 x = 2 z =
2 4
x y z
= = sau đó giải nh bài tập 1
Suy ra
2 3 4

Giải: Từ 3x = 2 y =

Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z

6 x 4 y 3z
x y z
=
=
= =
12 12 12
2 3 4

Sau đó giải tiếp nh bài tập 2

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết

6 x 3z 4 y 6 x 3 z 4 y
=
=
và 2x +3y -5z = -21
5
7
9

Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

GV: Châu Thị Liễu

6

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

6 x 3z 4 y 3 z 3 z 6 x 6 x 3 z + 4 y 3 z + 3 z 6 x
=
=
=
=0
5
7
9

5+7 9
6 x = 3 z; 4 y = 3z;3 z = 6 x

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh bài tập 6
Bài tập 9: Tìm x,y,z biết
x 4 y 6 z 8
=
=
và x +y +z =27
2
3
4

Giải:

- Cách 1: Đặt

x 4 y 6 z 8
=
=
=k
2
3
4

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x 4 y 6 z 8
=
=
2

3
4
x 4 + y 6 + z 8 x + y + z 18 27 18
=
=
=
=1
2+ 3+ 4
9
9
x4
=1 x = 6
2
y 6
=1 y = 9
3
z 8
= 1 z = 12
4



Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phơng pháp :
a
b

Để Chứng minh tỷ lệ thức : =

c
Ta có các phơng pháp sau :
d

Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trb d

ớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá
trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.

Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến
đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ
tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
a
b

( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: =
ab cd
=
.
a
c

c
hãy suy ra tỷ lệ thức:
d

Giải:

GV: Châu Thị Liễu

7

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

( a b ) c = ac bc(1)

Cách 1: Xét tích a ( c d ) = ac ad (2)
Từ

a c
= ad = bc(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt
Ta có:

ab cd

=
a
c

a c
= = k a = bk , c = dk
b d

a b bk b b ( k 1) k 1
=
=
=
(1), (b 0)
a
bk
bk
k
c d dk d d ( k 1) k 1
=
=
=
(2), (d 0)
c
dk
dk
k

ab cd
=
a

c
a c
b d
- Cách 3: từ = =
b d
a c
a b a b
b
d cd
Ta có: a = a a = 1 a = 1 c = c

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó:

ab cd
=
a
c

- Cách 4:
Từ

a c
a b a b
= = =
b d
c d cd

a a b
a b c d
=

=
c cd
a
c

- Cách 5: từ

a c
b d
b
d
= = 1 = 1
b d
a c
a
c
a b c d

=
a
c

Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức

a c

= ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
b d

ab cd a+b c+d
=
;
=
b
d
a
c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu a 2 = bc thì
a+b c+a
a2 + c2 c
=
; b) 2
= , (b 0)
a b c a
b + a2 b
(với a b, a c)

a)

Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
GV: Châu Thị Liễu

8

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
a
b

- Cách 2: từ a 2 = bc =
Đặt

c
a

a c
= = k a = bk , c = ak
b a

Ta có:

a + b bk + b b ( k + 1) k + 1
=
=
=
, ( b 0 ) (1)
a b bk b b ( k 1) k 1
c + a ak + a a ( k + 1) k + 1
=
=
=

( a 0 ) , (2)
c a ak a a ( k 1) k 1

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: Ta có

a+b c+a
=
a b c a

a + b a ( a + b ) a 2 + ab bc + ab
=
= 2
=
do, a 2 = bc )
(
a b a ( a b ) a ab bc ab
b ( c + a) c + a
=
=
( a, b 0 )
b ( c a) c a

a+b c+a
=
a b c b
a+b c+a
=
Ngợc lại từ
ta cũng suy ra đợc a2 = bc

a b c b
a+b c+a
=
Từ đó ta có bài toán cho
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
a b c b

Do đó:

từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc
=

a c
a b a +b a b
= = =
=
b a
c a c+a ca



a+b c+a
=
ab ca

b)
- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
a2 + c2 c

Do đó (a + c )b = ( b + a )c b 2 + a 2 = b
2

2

2

2

a
b

- Cách 2: Từ a2 = bc =
Đặt

c
a

a c
= = k suy ra a = bk, c = ak = bk2
b a

Ta có

GV: Châu Thị Liễu

9

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7

Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
2 2
2
a 2 + c 2 b2k 2 + b2k 4 b k ( 1 + k )
=
=
= k 2 , ( b 0)
2
2
2
2 2
2
2
b +a
b +b k
b (1+ k )

c k 2b
=
= k2
b
b
a2 + c2 c
Do đó: b2 + a 2 = b
2
2
2

2
a c a = c = a + c (1)
- Cách 3: từ a = bc =
b2 a 2 b2 + a2
b a

2

a c
a2 a c c
Từ = 2 = ì = (2), (a 0)
b a
b
b a b
a2 + c2 c
Từ (1) và (2) suy ra: b2 + a 2 = b
a 2 + c 2 bc + c 2 c ( b + c ) c
- Cách 4: Ta có b2 + a 2 = b 2 + bc = b ( b + c ) = b , ( b + c 0 )
a2 + c2 c
Do đó: b2 + a 2 = b

Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 2 = a1a3 ; a33 = a2 a4 chứng tỏ
a13 + a23 + a33 a1
=
a23 + a33 + a43 a4

Giải: Từ
a1 a2
= (1)
a2 a3

a
a
a33 = a2 a4 2 = 3 (2)
a3 a4
a2 2 = a1a3

a1 a2 a3
a3 a 3 a 3 a a a
a
=
= 1 3 = 23 = 33 = 1 ì 2 ì 3 = 1 (3)
Từ (1) và (2) suy ra a2 a3 a4 a2 a3 a 4 a2 a3 a4 a4

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a 31 a 32 a 33 a 31 + a 32 + a 33
=
=
=
(4)
a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 + a 33 + a 3 4
a 31 + a 32 + a 33 a1
Từ (3) và (4) suy ra: a32 + a 33 + a34 = a4

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
3

a1 a2 a4
a +a +a
a
Cho a = a = a chứng minh rằng 1 2 3 ữ = 1

2
3
4
a2 + a3 + a4 a4
bz cy cx az ay bx
=
=
Bài tập 4: Biết
a
b
c

GV: Châu Thị Liễu

10

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
x y z
= =
a b c
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
=
=
=
=
=

Giải: Ta có
a
b
c
a2
b2
c2
abz acy + bcx bay + cay cbx
=
=0
a 2 + b2 + c2
abz acy
y z

= 0 abz = acy bz = cy = (1)
2
a
b c
bcx baz
z x
= 0 bcx = baz cx = az = (2)
2
b
c a
x y z
Từ (1) và (2) suy ra: = =
a b c
x
y
z

=
=
Bài tập 5:Cho
.Chứng minh rằng
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c
a
b
c
=
=
(với abc 0 và các mẫu đều khác 0)
x + 2 y + z 2x + y + z 4x 4 y + z

Chứng minh rằng

Lời giải:
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

x
y
z
2y
x + 2y + z
x + 2y + z
=
=
=
=
=
(1)

a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 4a + 2b 2c a + 2b + c + 4a 4b + c + 4a + 2b 2c
9a
x
y
z
2x
2x + y b
2x + y z
=
=
=
=
=
(2)
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 2a + 4b + c 2a + 4b c + 2a + b c (4a 4b + c)
9b
x
y
z
4x
4y
=
=
=
=
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 4a + 8b + 4c 8a + 4b 4c
4x + 4 y + z
4x 4 y + z
=
=

(3)
4a + 8b + 4c (8a + 4b 4c) + 4a 4b + c
9c
x + 2 y + z 2x + y z 4x 4 y + b
=
=
Từ (1),(2),(3) suy ra
suy ra
9a
9b
9c
a
b
c
=
=
x + 2 y + z 2x + y + z 4x 4 y + z

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ

1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c > 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
GV: Châu Thị Liễu

11

a b c
= =
2 4 5

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
Suy ra

a b c a + b + c 22
= = =
=
=2
2 4 5 2 + 4 + 5 11

a
=2
a =4
2

b
=2
b =4
4
c
=2
c =10
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3.Khi đó ta có đợc
c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng đợc tỉ
lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn
số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc .
Lời giải:
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dơng)
Theo bài ra ta có
Suy ra

a b c 2a 4b c 2a + 4b c 119
= = =
=
= =
=
=7
2 4 5 6 16 5

6 + 16 5
17

a
= 7 a = 21
3
b
= 7 b = 28
4
c
= 7 c = 35
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A,7B,7C lần lợt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số
thứ hai là

2
4
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
3
9

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có

a 2 a 4
= ; = và a 3 + b3 + c 3 = 1009
b 3 c 9

Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 số thóc ở kho I, 1

5
6
1
số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi
11

lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
GV: Châu Thị Liễu
Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7
12


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
1
4
5
5
1
5
Số thóc của kho II sau khi chuyển là b b = b
6
6
1

10
Số thóc của kho III sau khi chuyển là c c = c
11
11
4
5
10
theo bài ra ta có a = b = c và a+b+c=710
5
6
11
4
5
10
4
5
10
a=
b=
từ a = b = c
5
6
11
5.20
6.20
11.20c
a
b
c
a +b+c

710

=
=
=
=
= 10
25 24 22 25 + 24 + 22 71

Số thóc của kho I sau khi chuyển là a a = a

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912 m3
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm đợc 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và
5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dơng)
Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c
Theo bài rat a có

a b b c
= ; =
1 3 4 5

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1)
Sai lầm khi áp dụng tơng tự
H/s áp dụng

x y x. y
x y z x. y.z
= =
hay = = =
a b a.b
a b c a.b.c

Bài tập 1: (Bài 62 SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng
H/s sai lầm nh sau :

x y
= và x.y=10
2 5

x y x. y 10
= =
=
= 1 suy ra x=2,y=5
2 5 2.5 10

Bài làm đúng nh sau:
Từ

x y
x.x x. y
x 2 10
=
=

= x 2 = 4 x = 2 từ đó suy ra y = 5
2 5
2
5
2
5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5

x y
x2 x y
x 2 10
= .
= = 1 x 2 = 4 x 2 = 2
2 5
4 2 5
4 10
x y
hoặc đặt = = x x = 2 x, y = 5 x vì xy=10 nên 2x.5x=10 x 2 = 1 x = 1
2 5

hoặc từ

GV: Châu Thị Liễu

13

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
= = và x.y.z= 648
2 3 4

H/s sai lầm nh sau

x y z x. y.z 648
= = =
=
= 27
2 3 4 2.3.4 24

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần
tìm
Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có

a
b
c
=
=
.
b+c c+a a +b

a
b
c
=
=
b+c c+a a +b

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

a
b
c
a +b+c
a+b+c
=
=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)

h/s thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c

1
ta phải làm nh sau
2

a
b
c
;
;
đều bằng -1
b+c c+a a+b
a
b
c
a +b+c
1
+ Nếu a+b+c 0 khi đó b + c = c + a = a + b = 2 ( a + b + c ) = 2

nên mỗi tỉ số

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

x+ y y + z z +t t + x
+
+
+
z +t t + x x+ y z + y
x
y

z
t
=
=
=
(1)
Tính giá trị của P biết rằng
y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z

Bài tập 4: Cho biểu thức P =

Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có

x
y
z
t
x+ y+ z +t
=
=
=
=
y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z 3( x + y + z + t )
x
y
z
t
+1 =
+1 =

+1 =
+1
Cách 2:Từ (1) suy ra
x+ z+t
z +t + x
t+x+ y
x+ y+z


x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
=
=
=
y + z +t
z +t + x
x + y +t
x+ y+z

ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng nh sau :
Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
GV: Châu Thị Liễu

14

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

...................................................................................................................

Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau .Nhng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4
nên dùng cách 2
Bài tập tơng tự :
a +bc b+ca c+ ab
=
=
c
a
b
b
a
c




.Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ữ1 + ữ1 + ữ
a c b
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
a
b
c
d

a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tìm giá trị của biểu thức M biết : M =
c+d d +a a+b b+c

1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

Cần lu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhng
khác 0) thì các số hạng dới bằng nhau và ngợc lại , nếu các số hạng dới bằng nhau thì
các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lờ giải
bài toán Tìm x.ybiết:
2x + 1 3y 2 2x + 3 y 1
=
=
Nh sau:
5
7
6x
2x + 1 3 y 2 2x + 3 y 1
=
=
Ta có:
(1)
5
7
6x
2x + 1 3 y 2 2x + 3 y 1

=
=
Từ hai tỷ số đầu ta có:
(2)
5
7
12
2x + 3 y 1 2x + 3y 1
=
Từ (1) và (2) ta suy ra
(3)
6x
12
6x = 12 x = 2

Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta đợc y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Đồng chí hãy nhận xét lời giải của học sinh trên
Lời giải :Học sinh trên sai nh sau
Từ (3) phải xét hai trờng hợp
TH 1 : 2x+3y-1 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp nh trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1 3y +1 1 3y +1+ 3y 2
=
=0
5
5+7
2
1
Suy ra 2-3y =3y-2 =0 y = .Từ đó tìm tiếp x =

3
2

Bài tập 6: Tìm x,y biết :

1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y
=
=
(1)
18
24
6x

Giải tơng tự nh bài tập 5 nhng bài này chỉ có một trờng hợp
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thờng sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết
GV: Châu Thị Liễu

x 1 60
=
15 x 1

15

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

Giải:

x 1 60
2
2
=
( x 1) = ( 15 ) . ( 60 ) ( x 1) = 900
15 x 1

h/s thờng sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trờng hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
= = biết rằng 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 = 405
2 3 4

Lời giải:

x y z
= = =k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
2 3 4
2
2
2
Từ 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 = 405 suy ra 2. ( 2k ) + 3 ( 3k ) 5 ( 4k ) = 405

Đặt

8k 2 + 27 k 2 80k 2 = 405

45k 2 = 405
k2 = 9

Học sinh thờng mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra k = 3

B. ứng dụng vào công tác giảng dạy:
I. Quá trình áp dụng của bản thân
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về tỷ
lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối t ợng học sinh
TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tợng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em
tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu khi tự mình
có thể lập ra các bài toán.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài
kiểm tra.
GV: Châu Thị Liễu

16

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................
III. Những bài học kinh nghiệm rút ra, hớng nghiên cứu tiếp theo.

1. Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng
một vấn đề nào đó trớc hết ngời thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy ngời
thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao
trình độ cho bản thân.

2. Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là điều kiện để phơng trình và
hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
IV. Những kiến nghị, đề xuất
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tợng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh.

Phần III. Kết luận
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số bằng
nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học
sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác
sâu bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh đợc những sai lầm mà mình hay
mắc phải.
GV: Châu Thị Liễu

17

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
...................................................................................................................

Mặc dù đã rất cố gắng nhng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi cha thể đa
ra vấn đề một cách trọn vẹn đợc, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để
đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 5 năm 2011
Ngời thực hiện

Châu Thị Liễu

GV: Châu Thị Liễu

18

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7