Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 7 phần đại số 7

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyền đề 1: Các bài tốn thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng:
- Tính chất của phép cộng , phép nhân
-

Các phép toán về lũy thừa:

an =
m n

a .a....
a
n

(a ) = a

m.n

;
;

am.an = am+n ;
n

n

( a.b) = a .b

am : an = am –n ( a 0, m n)

n

;

a n an
( )  n (b 0)
b
b

2 . Một số bài tốn :
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] :
3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát:
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an
b) Tính tổng : A =

c
c

c

 ...... 
a1.a2 a2 .a3
an  1.an

với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1

=k
1


HD: a) S = 1+ a + a2 +…..+ an
Ta có : aS – S = an+1 – 1
Nếu a = 1





aS = a + a2 +…..+ an + an+1

( a – 1) S = an+1 – 1



S=n

Nếu a khác 1 , suy ra S =

a n 1  1
a 1

b) Áp dụng

c
c 1 1
 (  )
a.b k a b

Ta có : A =

c 1 1
c 1 1
c 1
1
(  )  (  )  .....  (

)
k a1 a2
k a2 a3
k an  1 an

với b – a = k

=

c 1 1 1 1
1
1

( 
 
 ...... 
 )
k a1 a2 a2 a3
an  1 an

=

c 1 1
(  )
k a1 an

Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2
b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3
HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2
Bài 3: Thực hiện phép tính:
a) A =
b) B 
HD : A =

Bài 4:

9
28

(

1

1
1
1 1  3  5  7  ...  49


 ... 
)
4.9 9.14 14.19
44.49
89

212.35  46.92
6

 22.3  84.35



510.73  255.492

 125.7 

3

 59.143

7

; B =2

1, Tính:

P=

1
1
1


2003 2004 2005
5
5
5


2003 2004 2005



2
2
2


2002 2003 2004
3
3
3



2002 2003 2004

2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính:

S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203

2


Bài 5: a) TÝnh

b) Cho

3 3 

0,375  0,3  
 1,5  1  0,75

11 12  : 1890  115
A 

 2,5  5  1,25  0,625  0,5  5  5  2005


3
11 12 


1 1 1 1

1
1
B   2  3  4  ...  2004  2005
3 3 3 3
3
3

Chøng minh r»ng

Bài 6: a) Tính :

b) TÝnh

B

1
.
2

5
5
1
3
 1
 10  . 230
 46
 13  2
27
6
25

4
 4
2
 3 10   1
 1   :  12  14 
7
 10 3   3

1 1 1
1
   ... 
2 3 4
2012
P
2011 2010 2009
1


 ... 
1
2
3
2011

HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….
 MS 1 

2012
2010
1

1 
 ....  1 
 2011
1
2
2011

2012 

c)

2012
2012
 .... 
 2011
2
2011

=

1 1 1
1
2012(    ...... 
)
2 3 4
2012

 1 1 1 1
(1  2  3  ...  99  100)     (63.1,2  21.3,6)
 2 3 7 9

A
1  2  3  4  ...  99  100

Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức:
 11 3 

1 2
 1 31 . 4 7   15  6 3 . 19   14   31

.  1
A 

 .
5
1
1


93   50


4   12  5 


6 6
3



b) Chứng tỏ rằng: B 1 

1 1 1
1
1
 2  2  ... 

2
2
2
3 3
2004
2004

Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức:

3


2

4
3


 81,624 : 4  4,505   125
3
4


A

2
 11 2


 
2  13
   : 0,88  3,53  ( 2,75)  :
  25 
 25


b) Chứng minh rằng tổng:
S

1
1
1
1
1
1
1
 4  6  ...  4 n  2  4 n  ....  2002  2004  0,2
2
2
2
2
2
2
2
2

Chun đề 2: Bài tốn về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1. Kiến thức vận dụng :
-

a c
  a.d b.c
b d

-Nếu
- Có

a c e
 
b d f

a c e
 
b d f

a c e a b e
  
b d f b d  f

thì

với gt các tỉ số dều có nghĩa

= k Thì a = bk, c = d k, e = fk

2. Bài tập vận dụng
Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh
đẳng thức
Bài 1:
HD:

Cho
Từ

a c
 .
c b

a c

c b

khi đó

Chứng minh rằng:

suy ra

a2  c2 a

b2  c 2 b

c 2 a.b

a 2  c 2 a 2  a.b


b 2  c 2 b 2  a.b

=

a ( a  b) a

b( a  b) b

Bài 2: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
a
c

=

(a  2012b) 2
(b  2012c) 2

HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab +
20122.ac
= a( a + 2.2012.b + 20122.c)

4


(b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc +
20122.c2
= c( a + 2.2012.b + 20122.c)
Suy ra :

a
c

(a  2012b) 2
(b  2012c) 2

=

Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
HD : Đặt
Suy ra :

a c
 k 
b d

a c

b d

a = kb, c = kd .

5a  3b b(5k  3) 5k  3


5a  3b b(5k  3) 5k  3

Vậy

Bài 4:

và

5c  3d d (5k  3) 5k  3


5c  3d d (5k  3) 5k  3

5a  3b 5c  3d

5a  3b 5c  3d

BiÕt
a c

b d

HD : Ta có

5a  3b 5c  3d

5a  3b 5c  3d

th×

a 2  b 2 ab

c 2  d 2 cd

hoặc

với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :

a d

b c

2
a b 2
a 2  b 2 ab 2ab a 2  2ab  b 2 (a  b)
(
) (1)



=
2
2
2
2
2
(c  d )
cd
c d
cd
2cd c  2cd  d

2
a b 2
a 2  b 2 ab 2ab a 2  2ab  b 2 (a  b)

(
) (2)
 =
 2

2
2
2
2
(c  d )
c d
c d
cd
2cd c  2cd  d

Từ (1) và (2) suy ra :

 a b a  b
 c  d c  d
a b 2
a b 2
(
) (
)  
cd
c d
 a  b b  a
 c  d d  c

Xét 2 TH đi đến đpcm

Bài 5 :

Cho tØ lÖ thøc
ab a 2  b 2

cd c 2  d 2

HD : Xuất phát từ

a c

b d

a c

b d

. Chøng minh r»ng:

vµ

a 2  b2
 a b

  2
c d2
cd 

2

biến đổi theo các

5


hướng làm xuất hiện

ab a 2  b 2 a 2 c 2 a 2  b 2
a b 2
 2
 2  2  2
(
)
2
2
cd c  d
b
d
c d
c d

Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

Tính
HD : Từ

M 

a b b c c d d a



c d d a a b b c

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

Suy ra :


2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
 1
 1

 1
1
a
b
c
d
a b c  d a b c  d a b c d a b c  d



a
b
c
d

Nếu a + b + c + d = 0
 M 



a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)

a b b c c d d a



c d d a a b b c

Nếu a + b + c + d 0



= -4

a=b=c=d

 M 

a b b c c d d a



c d d a a b b c

=4

Bài 7 : a) Chứng minh rằng:
Nếu

x
y
z


a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c

Thì

a
b

c


x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z

b) Cho:
HD : a) Từ


a
b c
 
b
c d

3

. Chứng minh:

a
 a b c 

 
d
bcd 

a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c
x
y
z






x
y
z
a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c

a  2b  c 2(2a  b  c) 4a  4b  c
a



x
2y
z
x  2y  z

(1)

2(a  2b  c ) (2a  b  c ) 4a  4b  c
b



2x
y
z

2x  y  z

(2)
6


4(a  2b  c) 4(2a  b  c) 4a  4b  c
c



4x
4y
z
4x  4 y  z

Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :
Bài 8: Cho

(3)

a
b
c


x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z

x
y

z
t



y  z t z t  x t  x  y x  y  z

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
P

HD Từ

x  y y  z z t t  x



z t t  x x  y y  z

x
y
z
t
y  z t z t  x t  x  y x  y  z








y  z t z t  x t  x  y x  y  z
x
y
z
t


y  z t
z t  x
txy
xyz
1 
1 
1 
1
x
y
z
t



x  y  z t z t  x  y t  x  y  z x  y  z t



x
y
z
t

Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
Nếu x + y + z + t

0

thì x = y = z = t



P=4

Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :
Hãy tính giá trị của biểu thức : B =

yz x zx y xy z


x
y
z

1


x 
y 
z
 1  1 
y 

z 
x

Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
Biết x,y,z,t thỏa mãn:

x 2010  y 2010  z 2010  t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010
 2  2  2  2
a 2  b2  c 2  d 2
a
b
c
d

b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và

a 14 c 11 e 13
 ;  ; 
b 22 d 13 f 17

c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :

a
b
c



2009 2010 2011

.

Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2
7


Một số bài tương tự
Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d



a
b
c
d

TÝnh

M 

a b bc c d d a



c d d  a a b b c

Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :

y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt



x
y
z
t

( n là số tự nhiên)

và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z,…
Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết :

1+3y 1+5y 1+7y


12
5x
4x

HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1+3y 1+5y 1+7y 1  7y  1  5y 2y 1  5y  1  3y
2y



 


12
5x
4x
4x  5x
x
5x  12
5x  12

=>

2y
2y

 x 5 x  12

với y = 0 thay vào không thỏa mãn

Nếu y khác 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
1 3y 2 y
  y
12
2

=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =

Vậy x = 2, y =

1
15

Bài 3 : Cho

1
15

thoả mãn đề bài

a b c
 
b c a

và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
8


Tính b, c.
HD : từ

a b c a b c
  
1 
b c a a b c

a = b = c = 2012

y  x 1 x  z  2 x  y  3
1




x
y
z
xyz

Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :
HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

y  x  1 x  z  2 x  y  3 2( x  y  z )
1



2 
x
y
z
(x  y  z)
xyz

(vì x+y+z 0)

Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z

Bài 5 : Tìm x, biết rằng:
HD : Từ

1  2 y 1  4 y 1  6 y 2(1  2 y )  (1  4 y) 1  2 y  1  4 y  (1  6 y)




18
24
6x
2.18  24
18  24  6 x

Suy ra :

1 1
  x 1
6 6x

Bài 6: T×m x, y, z biÕt:
HD : Từ

1 2 y 1 4 y 1 6 y


18
24
6x

x
y
z



x  y  z
z  y 1 x  z 1 x  y  2

(x, y, z

0 )

x
y
z
x yz
1


x  y  z 

z  y 1 x  z 1 x  y  2
2( x  y  z ) 2

Từ x + y + z =

1

2

x+y=

1

2

z , y +z =

1
2

x,z+x=

1
2

- y thay vào đẳng

thức ban đầu để tìm x.
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
Bài 8 : Tìm x , y biết :

3x 3 y
3z


8
64 216

vµ

2 x 2  2 y 2  z 2 1

2 x 1 4 y  5 2 x  4 y  4



5
9
7x

Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y
1. Kiến thức vận dụng :
- Tính chất phép tốn cộng, nhân số thực
- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

9


- Tính chất về giá trị tuyệt đối :

A 0

với mọi A ;

 A, A 0
A 
  A, A  0

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :
A  B  A B

dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0;

 A m

A m  
(m  0)
 A  m

;

A B  A  B

 A m
A m  
(hay  m  A m)
 A  m

- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n
mọi A
A m = An



0< A < B

m = n; An = Bn



dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

0

với m > 0

với mọi A ; - A2n 0 với

A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =

B

( nếu n chẵn)

An < Bn ;



2. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Các bài tốn cơ bản
Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b)

x 1 x 2 x 3 x 4



2011 2010 2009 2008

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013


x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013

 x.

2011.2012
2.2013
2012.2013  x 
2
2011

b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ


x 1 x 2 x 3 x 4



2011 2010 2009 2008

( x  2012)  2011 ( x  2012)  2010 ( x  2012)  2009 ( x  2012)  2008



2011
2010
2009
2008
x  2012 x  2012 x  2012 x  2012




 2
2011
2010
2009
2008
1
1
1
1
 ( x  2012)(



)  2
2011 2010 2009 2008
1
1
1
1
 x  2 : (



)  2012
2011 2010 2009 2008


Bài 2 Tìm x nguyên biết
a)

1
1
1
1
49


 .... 

1.3 3.5 5.7
(2 x  1)(2 x 1) 99

10


2

3

x

b) 1- 3 + 3 – 3 + ….+ (-3) =

91006  1
4

Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
 Dạng :

và

x  a x  b

x  a  x  b x  c

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng khơng, rồi so sánh các
giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a)

x  2011  x  2012

b)

HD : a)

x  2011  x  2012

(1) do VT =

nên VP = x – 2012

Kết hợp (*)
b)
Nếu x

 2011 2012(vôly )
 x (2011  2012) : 2



x  2010  x  2011 2012

 2010

x  2011 0, x

0  x 2012 (*)

 x  2011  x  2012
 

 x  2011 2012  x

Từ (1)

x  2010  x  2011 2012

x = 4023:2
(1)

từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012



x = 2009 :2 (lấy)

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012
(loại)
Nếu x

2011

từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012



x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:
Bài 2 : a) T×m x biÕt

x  1  x  3 4

b) T×m x biÕt:

x2  6x  2  x2  4

c) T×m x biÕt:

2 x  3  2 4  x 5

Bài 3 : a)T×m các giá trị của x để:
b) Tỡm x bit:

x 3  x  1 3 x

2x  3  x  2  x

Bài 4 : tìm x biết :
a)

x  1 4

b)

x  2011 2012

Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x  1  x  3  x  5  x 

7 8
11


b) Tìm x biết :
HD : a) ta có
Mà
Hay

x  1  x  3  x  5  x  7  x  1  7  x  x  3  5  x 8 (1)

x  1  x  3  x  5  x  7 8

1  x 7
 3  x 5

3  x 5

b) ta có
Mà

x  2010  x  2012  x  2014 2

suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”

do x nguyên nên x  {3;4;5}

x  2010  x  2012  x  2014  x  2010  2014  x  x  2012 2 (*)

x  2010  x  2012  x  2014 2

Suy ra:

nên (*) xẩy ra dấu “=”

 x  2012 0
 x 2012

 2010  x 2014

Các bài tương tự
Bài 2 : Tìm x nguyên biết :
Bài 3 : Tìm x biết

x  1  x  2  .....  x  100 2500

x  1  x  2  .....  x  100 605 x

Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x  1  x  2  y  3  x  4 = 3
Bài 5 : Tìm x, y biết : x 
HD : ta có

2006 y  x  2012 0

x  2006 y 0 với

Suy ra :

mọi x,y và

x  2006 y  x  2012 0

x  2012 0

với mọi x

với mọi x,y mà

x  2006 y  x  2012 0

 x  y 0
 x  2006 y  x  2012 0  
 x 2012, y 2
 x 2012 0

Bi 6 :

Tìm các số nguyên x thoả m·n.

2004  x  4  x  10  x  101  x  990  x  1000

Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5x + 5x+2 = 650
HD : a) 5x + 5x+2 = 650

b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162


5x ( 1+ 52) = 650



b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162  3x -1(1 + 5) = 162

5x = 25




x=2

3x – 1 = 27



x=4

Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:

a) 2x + 1 . 3y = 12x

b) 10x : 5y = 20y

12


HD : a) 2

x+1

y

x

. 3 = 12

Nhận thấy : ( 2, 3) = 1
b) 10x : 5y = 20y

22 x 3 y
 x  2 x  1 3 y  x
x 1
2
3



x – 1 = y-x = 0



10x = 102y







x=y=1

x = 2y

Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2m + 2n = 2m +n
HD: a) 2m + 2n = 2m +n


m



b) 2m – 2n = 256
2m + n – 2m – 2n = 0

(2 -1)(2 – 1) = 1


2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1

 2n  1 1
  m
 m n 1
 2  1 1

n

b) 2m – 2n = 256



2n ( 2m – n - 1) = 28

Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1



n=8,m=9

+ Nếu m – n  2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác
2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
x 1

Bài 4 : Tìm x , biết :  x  7 

  x  7

x 11

0

HD :

 x  7

x 1

  x  7

  x  7

x 1

x 11

0

 1   x  7  10  0



 1   x  7  10  0



  x 7  x10



 
  x  70 x7  x  8
 ( x 7)10 1   x  6
 1 ( x 7)10 0




  x  7

 x 1

Bài 5 : Tìm x, y biết :
HD : ta có
Suy ra :

x  2011 y  ( y  1) 2012 0

x  2011 y 0

với mọi x,y và (y – 1)2012

x  2011 y  ( y  1) 2012 0

với mọi x,y . Mà

0

với mọi y

x  2011 y  ( y  1) 2012 0

 x  2011y 0
 
 x 2011, y 1
 y  1 0

Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết :
13


a)

x  5  (3 y  4) 2012 0

b)

(2 x  1) 2  2 y  x  8 12  5.22

Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức.
1 . Các kiến thức vận dụng:
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2. Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm số tự nhiên x, y biết:

7( x  2004) 2  23  y 2

c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000  17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x
2 mà x NT  x = 2. Lại có 1000 – 13y 51 , 1000 – 13y > 0 và y NT  y =
b) Từ

7( x  2004) 2  23  y 2 (1)

do 7(x–2004)2 0

 23  y 2 0  y 2 23  y  {0, 2,3, 4}

Mặt khác 7 là số NT

 13  y 2 7

vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)

suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4
c) Ta có xy + 3x - y = 6
hoặc

 x  1 3

 y  3 1

hoặc



( x – 1)( y + 3) = 3

 x  1 1
 x  1  1
 

hoặc
 y  3 3
 y  3  3

 x  1  3

 y  1  1
14


d) x2-2y2=1

 x 2  1 2 y 2  ( x  1)( x  1) 2 y 2

do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra
 x  1 2 y
 

x  1 y

Bài 2

x > 2 , mặt khác y nguyên tố

 x 3

 y 2

a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7
b) Tìm

x, y   biết: 25  y 2 8( x  2012) 2

HD : a) Từ x – y + 2xy = 7



2x – 2y + 2xy = 7

b) Từ 25  y 2 8( x  2012)2  y2
hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x
Bài 3

 25



(2x - 1)( 2y + 1) = 13

và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1

a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:

1 1 1
 
x y 5

b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :
a 3  3a 2  5 5b

HD : a) Từ

và

a  3  5c

1 1 1
 x 5
   5 ( x + y) = xy (*)  xy 5  
x y 5
 y 5

+ Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy
ra:
5q + y = qy
1 ta có
b)

y



5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác

5q
5
5 
 Z  q  1 Ư(5)
q 1
q 1

a 3  3a 2  5 5b 

 a2 

5b  1  1
5c  1

, từ đó tìm được y, x

a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà

a  3 5c 

a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)

Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5 b – 1 - 1 không

chia hết cho 5 do đó a khơng là số ngun.) . Với c = 1  a = 2 và b = 2
Bài 4:

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mÃn:
2

52 p  2013 52 p  q 2

HD :

2

2

52 p  2013 52 p  q 2  2013  q 2 25 p  25 p  2013  q 2 25 p (25 p  1)

Do p nguyên tố nên

2013  q 2 252

và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q

Bài 5 : T ìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:

2n  1

chia hết cho 7

HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7
15


Với n

3

khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (

k  N* )

Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7
Xét n = 3k +1 khi đó 2 n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1
không chia hết cho 7
Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3
không chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với k  N *
* Tìm x , y để biểu thức cú giỏ tr nguyờn, hay chia ht:
Bi 1

Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m
+ 1.
b)

3m 1  3

HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho
2m +1
Nếu m < -2 thì

m  1  2m  1

, suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1

Vậy m  { -2; -1; 0; 1}
Cách 2 : Để
b)

3m  1  3

m  12m 1  2(m  1)2m 1  (2m 1)  32m 1  32m  1



- 3 < 3m – 1 < 3

Bài 2 a) T×m x nguyên để 6
b) Tìm

xZ

A=



m 0
m 1


chia hết cho 2

x 3

vỡ m nguyờn

để A Z và tìm giá trị ®ã.
1  2x
x 3

Bài 3: Tìm x nguyên để
HD :

x 1

2
4
m 
3
3



2012 x  5
1006 x  1

. HD: A =

1  2x
x 3

=

1  2( x  3)  6
7


2
x 3
x 3

2012 x  5
1006 x  1

=

2(1006 x  1)  2009
2009
2 
1006 x  1
1006 x  1

2012 x  5
 20091006 x  1 
1006 x  1

x là số CP.

16


Với x >1 và x là số CP thì 1006
chia hết cho 1006 x  1

x  1  2012  2009

suy ra 2009 không

Với x = 1 thay vào khơng thỏa mãn
Với x = 0 thì

2009 :1006 x  1 2009

Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1.Các kiến thức vận dụng :
* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2

0

với mọi a,b

* a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2

0

với mọi a,b

*A2n

0

với mọi A, - A2n
,

0

với mọi A

*

A 0, A

*

A  B  A  B , A, B

dấu “ = ” xẩy ra khi A.B

0

*

A  B  A  B , A, B

dấu “ = ” xẩy ra khi A,B

0

 A 0, A

2. Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2
Và a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2

0

0

với mọi a,b

với mọi a,b

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010
Do ( x - 1)2

0

với mọi x , nên P(x)

 2010

. Vậy Min P(x) = 2010

khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500

-

3500 với mọi x

Vậy Min Q(x) = -3500
Từ đây ta có bài tốn tổng qt : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a
> 0)

b

HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x. 2a +

(

b 2
) )
2a

+(c-

b2
)
4a
17


= a(

b 2 4ac  b 2
4ac  b 2
x  ) (
)
, x
2a
4a
4a

Vậy Min P(x) =

4ac  b 2
4a

khi x =



b
2a

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = - a2 + 3a + 4
b) B = 2 x – x2
3 3
9
3
25
 (a 2  2.a.  ( ) 2 )  (4  )  ( a  ) 2 
2 2
4
2
4

HD : a) A = - a2 + 3a + 4 =
Do

 (a 

c) B =

3
) 0, a
2

nên A



25
, a
4

. Vậy Max A =

2 x  x 2  ( x 2  2.x.1  12 )  1  ( x  1) 2  1

. Do

25
4

khi a =

3
2

 ( x  1) 0, x  B 1, x

Vậy Max B = 1 khi x = 1

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) P =

2012
2
x  4 x  2013

b) Q =

* Dạng vận dụng A2n

0

với mọi A, - A2n

a 2012  2013
a 2012  2011

0

với mọi A

Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012
b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012
HD : a) do


( x  2 y ) 2 0, x, y

Min P = 0 khi

b) Ta có


và

suy ra : P

0

với mọi x,y

 x  2 y 0
 x 4024
 

 y  2012 0  y 2012

( x  y  3) 4 0.x, y

Min Q = 2012 khi

Cho phân số:

và

( x  2 y ) 2 0.x, y

2

( x  y  3) 0


2
( x  2 y ) 0

Bài 3 : Tìm GTLN của R =
Bài 4 :

( y  2012) 2012 0, y

C

suy ra : Q

 2012

với mọi x,y

 x 2

 y 1

2013
4

( x  2) 2  ( x  y )  3

3x 2
4x  5

(x  Z)

a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x  Z để C là số tự nhiên.

18


HD :

C

3 x  2 3 4.(3 x  2) 3 12 x  8 3
23
 .
 .
 .(1 
)
4 x  5 4 3.(4 x  5) 4 12 x  15 4
12 x  15

C lớn nhất khi

23
12 x  15

lớn nhất

3

23 8
(1  ) 
4
9
3

Vậy Max C =

 12 x  15

7n  8
2n  3

cã gi¸ trÞ lín nhÊt

7 n  8 7 2(7 n  8) 7 14n  16 7
5
 .
 .
 (1 
)
2n  3 2 7(2n  3) 2 14n  21 2
14n  21

HD : Ta có

7n  8
2n  3

nhỏ nhất

 n

lớn nhất thì
21 3

14 2

5
14n  21

và n nhỏ nhất

* Dạng vận dụng

lớn nhất


,

A 0, A

 14n  21  0

và 14n – 21 có giá trị

n=2
 A 0, A

A  B  A  B , A, B

dấu “ = ” xẩy ra khi A.B

0

A  B  A  B , A, B

dấu “ = ” xẩy ra khi A,B

0

Bài 1:

 x 2

khi x = 2

Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số



nh nht và 12 x  15  0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)2 +
b) B =

HD: a) ta có

y x

2011
2012  x  2010
( x  2) 2 0

với mọi x và

Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi
b) Ta có

+3

 x  2010 0

 B  B

2011
2012

y  x 0

( x  2) 2 0


 y  x 0

với mọi x



với mọi x,y



A

3

với mọi x,y

 x 2

 y 2

2012

 x  2010 2012

với mọi x, suy ra Min B =

2011
2012

với mọi x

khi x = 2010

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a)

A  x  2011  x  2012

b)

B  x  2010  x  2011  x  2012

c) C =
HD : a) Ta có

x  1  x  2  .....  x  100
A  x  2011  x  2012

=

x  2011  2012  x  x  2011  2012  x 1
19


với mọi x

 A 1

với x . Vậy Min A = 1 Khi

( x  2011)(2012  x) 0  2011  x 2012

b) ta có
Do

B  x  2010  x  2011  x  2012 ( x  2010  2012  x )  x  2011

x  2010  2012  x  x  2010  2012  x 2

Và

x  2011 0 với

Suy ra B

với mọi x (1)

mọi x (2)

( x  2010  2012  x )  x  2011 2

(2) xẩy ra dấu “=” hay

. Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và

( x  2010)(2012  x) 0
 x 2011

 x  2011 0

c) Ta có
x  1  x  2  .....  x  100

=

( x  1  100  x )  ( x  2  99  x )  .....  ( x  50  56  x )

 x  1  100  x  x  2  99  x  ....  x  50  56  x

Suy ra C

2050

= 99 + 97 + ....+ 1 = 2500

với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi

( x  1)(100  x) 0
( x  2)(99  x) 0



............................

( x  50)(56  x) 0

1  x 100
2  x 99

 50  x 56

................
50  x 56

Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết
1.Kiến thức vận dụng

* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
* Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n
* Tính chất chia hết của một tổng
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
3n 2  2n 2  3n  2 n chia hết cho 10

HD: ta có 3n2  2n2  3n  2n = 3n2  3n  2n2  2n
= 3n (32  1)  2n (2 2  1)
20