Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8

TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số
a biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
;
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca ;
2
1 2 n
(a a a )+ + + =
=

+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n
a a a 2(a a a a a a a a a a a a )
;
2. (a b)

3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
= a
3
b
3
3ab(a b);
(a b)
4
= a
4
4a
3
b + 6a
2
b
2
4ab
3
+ b
4
;
3. a

2
b
2
= (a b)(a + b) ;
a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
) ;
a
n
b
n
= (a b)(a
n 1
+ a
n 2
b + a
n 3
b
2
+ + ab
n 2
+ b
n 1
) ;

4. a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
ab + b
2
)
a
5
+ b
5
= (a + b)(a
4
a
3
b + a
2
b
2
ab
3
+ b
5
) ;
a
2k + 1
+ b
2k + 1

= (a + b)(a
2k
a
2k 1
b + a
2k 2
b
2
+ a
2
b
2k 2
ab
2k 1
+ b
2k
) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
Tam giác Pascal
Đỉnh 1
Dòng 1 (n = 1) 1 1
Dòng 2 (n = 2) 1 2 1
Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1
Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1
Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng
k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở
dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y)
n

thành tổng thì các hệ số
của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam
giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì :
(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
và với n = 5 thì :
(a + b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a
2

b
3
+ 10ab
4
+ b
5
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)
3
(x + y z)
3
(y + z x)
3
(z + x y)
3
.
Lời giải
A = [(x + y) + z]
3
[(x + y) z]
3
[z (x y)]
3
[z + (x y)]
3
= [(x + y)
3
+ 3(x + y)
2

z + 3(x + y)z
2
+ z
3
] [(x + y)
3
3(x + y)
2
z + 3(x + y)z
2

z
3
]
[z
3
3z
2
(x y) + 3z(x y)
2
(x y)
3
] [z
3
+ 3z
2
(x y) + 3z(x
y)
2
+ (x y)

3
]
= 6(x + y)
2
z 6z(x y)
2
= 24xyz
Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a
2
4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
2
+ y
2
; b) x
3
+ y
3
; c) x
4
+ y
4
; d) x
5
+ y
5
Lời giải
Trang 1
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
a) x

2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = a
2
2b
b) x
3
+ y
3
= (x + y)
3
3xy(x + y) = a
3
3ab
c) x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
2x
2
y

2
= (a
2
2b)
2
2b
2
= a
4
4a
2
b + 2b
2
d) (x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) = x
5
+ x
2
y
3
+ x
3
y

2
+ y
5
= (x
5
+ y
5
) + x
2
y
2
(x + y)
Hay : (a
2
2b)(a
3
3ab) = (x
5
+ y
5
) + ab
2
x
5
+ y
5
= a
5
5a
3

b + 5ab
2
Chú ý : a
6
+ b
6
= (a
2
)
3
+ (b
2
)
3
= (a
3
)
2
+ (b
3
)
2
a
7
+ b
7
= (a
3
+ b
3

)(a
4
+ b
4
) a
3
b
3
(a + b)
= (a
2
+ b
2
)(a
5
+ b
5
) a
2
b
2
(a
3
+ b
3
)
Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) a
3
+ b

3
+ c
3
3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca) ;
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc = (a + b)
3
+ c
3

3abc 3a
2
b 3ab
2
= (a + b + c)[(a + b)
2
(a + b)c + c
2
] 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)
2
(a + b)c + c
2
3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= [(a + b + c)

3
a
3
] (b
3
+ c
3
)
= (b + c)[(a + b + c)
2
+ (a + b + c)a + a
2
] (b + c)(b
2
bc + c
2
)
= (b + c)(3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x
3
3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3

+ b
3
)
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab, thì a
2
+ b
2
=
2
S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. Vì vậy :
A = x
3
3(
2
S 2P-
)x + 2(
3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -

=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a + b)
2
+ 6ab]
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a
2

Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Lời giải

Vì x + y + z = 0 nên x + y = z (x + y)
3
= z
3
Hay x
3
+ y
3
+ 3xy(x + y) = z
3
3xyz = x
3
+ y
3
+ z
3
Do đó : 3xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2

+ y
2
+ z
2
)
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(y
2
+ z
2
) + y
3
(z
2
+ x
2
) + z
3
(x
2
+ y
2
)

Mà x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = z
2
2xy (vì x + y = z). Tơng tự :
y
2
+ z
2
= x
2
2yz ; z
2
+ x
2
= y
2
2zx.
Vì vậy : 3xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) = x
5

+ y
5
+ z
5
+ x
3
(x
2
2yz) + y
3
(y
2
2zx) + z
3
(z
3

2xy)
= 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) 2xyz(x
2
+ y
2
+ z
2

)
Suy ra : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) (đpcm)
Bài tập
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
3
+ 4x
2
29x + 24 ;
b) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 ;
Trang 2
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012

c) (x
2
x + 2)
2
+ (x 2)
2
;
d) 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
8

+ x
4
+ 1;
b) x
10
+ x
5
+ 1 ;
c) x
12
+ 1 ;
3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3
;
b) (x + y + z)
5
x
5
y
5
z
5
.

4. Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a
4
+ b
4
+ c
4
.
5. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
6. Cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a
5b)
2

.
7. Chứng minh rằng nếu (x y)
2
+ (y z)
2
+ (z x)
2
=
= (x + y 2z)
2
+ (y + z 2x)
2
+ (z + x 2y)
2
thì x = y = z.
8. a) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
và x, y khác 0 thì
a b
x y
=
.

b) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
và x, y, z khác
0 thì
a b c
x y z
= =
.
9. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
a) 5(x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y

2
+ z
2
) = 6(x
5
+ y
5
+ z
5
) ;
b) x
7
+ y
7
+ z
7
= 7xyz(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
) ;
c) 10(x

7
+ y
7
+ z
7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
10.Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)

2
+ (c + a)
2
;
b) x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x
2
+ xy + y
2
)
2
.
11.Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a
2
+ b
2
+ (a + b)
2
= c
2
+ d
2
+ (c + d)
2
.

Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)
4
12. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9
+ c
1945

.
13. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a
3
3a
2
+ 5a 17 = 0 và b
3
3b
2
+ 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b.
14. Cho a
3
3ab
2
= 19 và b
3
3a
2
b = 98. Hãy tính : E = a
2
+ b
2
.
15. Cho x + y = a + b và x
2
+ y
2
= a
2

+ b
2
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
3
+ y
3
; b) x
4
+ y
4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y
7
; f) x
8
+ y
8
; g) x
2008

+ y
2008
.
Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số
a biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 5.
Trang 3
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
a) Chứng minh rằng phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản nN ;
b) Cho phân số
2
n 4
A
n 5
+
=
+
(nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao
cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d =
1.
Vậy phân số
3n 1
5n 2

+
+
là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5
n 5
= - +
+
. Để A cha tối giản thì phân số
29
n 5+
phải cha tối giản.
Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 = 29k (k N) hay n = 29k
5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k{1; 2;;
69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là :
29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690.
Ví dụ 6. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c

+ + =
+ +
.
Lời giải
Ta có :
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +

1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +

a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +

c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
(a + b)(b + c)(c + a) = 0

a b 0
b c 0
c a 0
ộ
+ =
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ
+ =
ở

a b
b c
c a
ộ
=-
ờ
ờ
=-
ờ
ờ
=-
ở
đpcm.
Từ đó suy ra :
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1 1 1 1
a b c a ( c) c a

+ + = + + =
-

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1
a b c a ( c) c a
= =
+ + + - +
Trang 4
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012

2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Ví dụ 7. Đơn giản biểu thức :
3 3 3 4 2 2 5
1 1 1 3 1 1 6 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + + + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ

ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
.
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab =
2
S 2P-
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
3ab(a + b) =
3
S 3SP-
.
Do đó :
1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =

2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 a b S 2P
;
a b a b P
+ -
+ = =


3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = =
Ta có : A =
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ +
=
2 2 4 2 2 2 2 4
2 3 4 2 4 4 3 4 3
S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +

+ + = =
Hay A =
3 3 3
1 1
.
P a b
=
Ví dụ 8. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau
không phụ thuộc vào giá trị của x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
.
Lời giải
Cách 1

2 2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - - - -
= Ax
2
Bx +
C

với :
1 1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
;

a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
;

ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
Ta có :
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;
Trang 5

TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -

.
Vậy S(x) = 1x (đpcm).
Cách 2
Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x)
chỉ có tối đa hai nghiệm.
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x đpcm.
Ví dụ 9. Cho
1
x 3
x
+ =
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2
2
1
A x
x
= +
; b)
3
3
1
B x
x
= +
; c)
4

4
1
C x
x
= +
; d)
5
5
1
D x
x
= +
.
Lời giải
a)
2
2
2
1 1
A x x 2 9 2 7
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

;
b)
3
3
3
1 1 1
B x x 3 x 27 9 18
x x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + = + - + = - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
;
c)
2
4 2
4 2
1 1
C x x 2 49 2 47
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;
d)
2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
A.B x x x x D 3
x x x x
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + = + + + = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
D = 7.18 3 = 123.
Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
.
Lời giải

Ta có :
2 2
2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -
Đồng nhất phân thức trên với phân thức
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta đợc :
Trang 6
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012

a c 0 a 1
b a 0 b 1
c b 2 c 1
ỡ ỡ
+ = =-
ù ù
ù ù
ù ù
ù ù
- = =-
ớ ớ
ù ù
ù ù
- = =

ù ù
ù ù
ợ ợ
. Vậy
2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
.
Bài tập
16. Cho phân thức
3 2
3 2
n 2n 1
P
n 2n 2n 1
+ -
=
+ + +
.
a) Rút gọn P ;
b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm đợc trong câu
a) tại n luôn là một phân số tối giản.
17. a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n :
12n 1
;
30n 2
+

+

3
4 2
n 2n
;
n 3n 1
+
+ +

2
2n 1
2n 1
+
-
.
b) Chứng minh rằng phân số
7 2
8
n n 1
n n 1
+ +
+ +
không tối giản với mọi số nguyên dơng
n.
c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho
2
n 5
n 1
+

+
là phân số cha tối giản.
18. Tính các tổng sau :
a)
2 2 2
3 5 2n 1
A
(1.2) (2.3) [n(n 1)]
+
= + + +
+
;
b)
n
2 4
2
1 1 1 1
B 1
2 1 2 1 2 1
2 1
= + + + + +
+ + +
+
;
c)
1 1 1 1
C
1.4 4.7 7.10 (3n 1)(3n 4)
= + + +
+ +

;
d)
1 1 1
D
1.3 2.4 n.(n 2)
= + + +
+
;
e)
1 1 1 1
E
1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1)
= + + + +
- +
;
f)
2 n
1.2! 2.3! n.(n 1)!
F
2 2 2
+
= + + +
(k! = 1.2.3k)
19. Rút gọn :
2 2 2 2 2
2
(a b c )(a b c) (bc ca ab)
A
(a b c) (ab bc ca)
+ + + + + + +

=
+ + - + +
.
Trang 7
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
20. Rút gọn :
3 3 4 2 2 4
3 3 4 2 2 4
(a 2b) (a 2b) 3a 7a b 3b
B :
(2a b) (2a b) 4a 7a b 3b
+ - - + +
=
+ - - + +
.
21.Thực hiện các phép tính :
a)
2 2 2
x yz y zx z xy
y z z x x y
1 1 1
x y z
- - -
+ +
+ + +
+ + +
;
b)
2 2 2
a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)

a b a c b c b a c a c b
(b c) (c a) (a b)
1 1 1
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ + + + + +
+ + +
- - - - - -
+ +
- - -
+ + +
- - - - - -
;
c)
3 3 3
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
a b 2c b c 2a c a 2b
(a b) (c a)(c b) (b c) (a b)(a c) (c a) (b c)(b a)
a b a ab b b c b bc c c a c ca a
+ - + - + -
+ +
- - - - - - - - -
+ + +
- + + - + + - + +
.
22. a) Biết a 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức :
3a 2b 3b a
P
2a 5 b 5
- -
= +

+ -
;
b) Biết 2a b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức :
5a b 3b 3a
Q
3a 7 2b 7
- -
= -
+ -
;
c) Biết 10a
2
3b
2
+ 5ab = 0 và 9a
2
b
2
0, hãy tính :
2a b 5b a
R
3a b 3a b
- -
= +
- +
.
23. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1

A
a b c b c a c a b
= + +
+ - + - + -
;
b)
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
B
a b c b c a c a b
= + +
- - - - - -
;
24.Rút gọn biểu thức :
1 1 1 1

A
1(2n 1) 3(2n 3) (2n 3).3 (2n 1).1
1 1 1
B
1
3 5 2n 1
+ + + +
- - - -
=
+ + + +
-
.
25.Cho

a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +
. Chứng minh rằng
2 2 2
a b c
0
b c c a a b
+ + =
+ + +
.
26. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và
a b c
0
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng
ax
2
+ by
2
+ cz
2
= 0.
Trang 8
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
27. Cho x
2

4x + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức A = x
5
+
5
1
x
và B = x
7
+
7
1
x
.
28. Cho
2
x
2008.
x x 1
=
- +
Tính
2
4 2
x
M
x x 1
=
+ +
và
2

4 2
x
N
x x 1
=
- +
.
29. Cho dãy số a
1
, a
2
, a
3
, sao cho :
1
2
1
a 1
a
a 1
-
=
+
;
2
3
2
a 1
a
a 1

-
=
+
; ;
n 1
n
n 1
a 1
a
a 1
-
-
-
=
+
.
a) Chứng minh rằng a
1
= a
5
.
b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a
101
= 108.
Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2

2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
+ +
+ +
+ +
+ + +

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai
bình phơng: A
2
B
2
= (A B)(A + B)
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Trang 9
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2

3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ +
+ + + +
+ + +
+ + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
+
+ + +
+ + + + + +

2

3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1


x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
+
+ + + + +
+ + + +
+ + + + + +
( )
2
2 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
x x x x

x x
x x
x x y
x y x x
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
1
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
III- Phơng pháp đổi biến
Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho
các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y + =
Nh vậy P chứa thừa số x y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P
có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì
cũng chúa thừa số y z, z x. Vậy P phải có dạng
P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3
đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối với

tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức
Trang 10
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + +

+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + +
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + +
+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
+ +

+ + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
+ + =
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y
= 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vậy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + +
, với 2m = a+ b + c.
B i 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc

b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
= + + + +
= + +
= + + +
= + + + + +
= + + +
= + +
=
2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ +
= + +
V-Phong pháp hệ số bất định
B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1

) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= + +
= + + + +
= + + + + +
= + +
= +
Bài tập:
Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x
3
3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
)
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab, thì a
2
+ b

2
=
2
S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. Vì vậy :
A = x
3
3(
2
S 2P-
)x + 2(
3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -
=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x

2
+ (a + b)x 2(a + b)
2
+ 6ab]
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a
2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
Trang 11
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
f) x
3
+ 4x
2
29x + 24 ;
g) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 ;
h) (x
2
x + 2)
2
+ (x 2)
2

;
i) 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
j) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
f) x
8
+ x
4
+ 1;
g) x
10
+ x
5

+ 1 ;
h) x
12
+ 1 ;
i) (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3
;
k) (x + y + z)
5
x
5
y
5
z
5
.
Chuyên đề Iii: Xác định đa thức
1) Định lí BêZu:
D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x) tại x =
a):
)()()()( afxqaxxf +=
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.
áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện

nh sau:
Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của
f(x) không.
Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có:
)()()( xpaxxf =
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.
Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc. Sau đó viết
kết quả cuối cùng cho hợp lí.
Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất
định), phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức.
*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa
thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau.
Ví dụ:
32)(
2
+= bxaxxP
;
pxxxQ = 4)(
2
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:
a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)
Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có:
)()().()( xNxMxQxP +=
(Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì :

=x
(

là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số của
các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:
)().1(263
232
xQxaxaxxa +=+
.
Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc:



=
=
=++=++
3
2
060263
22
a
a
aaaaa
Trang 12
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Vi a = -2 thỡ
4104)(,4664

223
+=+= xxxQxxxA
Vi a = 3 thỡ
69)(,6699
223
=+= xxQxxxA
*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)
Bài tập áp dụng
B i 1: Cho a thc
2 3 2
( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= +
. Xác nh a sao cho A(x) chia ht
cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức
4 3
( ) 2 4P x x x x=
thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có
dạng:
2
2x dx+ +
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức :
bxaxx +++ 2
23
chia hết cho đa thức:
1
2
++ xx
. Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức:
kxxxxxf +++=

234
219)(
chia hết cho đa thức:
2)(
2
= xxxg
.
Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc:
152)(
23
++= kkkf
chia ht cho nh
thc:
3)( += kkg
.
Bi 6: Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc:
baxxxxxf +++=
234
33)(
chia ht cho a
thc:
43)(
2
+= xxxg
.
Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc:
cbxaxxxP +++=
24
)(
Chia ht cho

3
)3( x
.
b) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b a thc:
2376)(
234
+++= xaxxxxQ
chia ht
cho a thc
bxxxM +=
2
)(
.
c) Xỏc nh a, b
axxxxP ++= 85)(
23
chia ht cho
bxxxM ++=
2
)(
.
Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc:
Bi 9: Xỏc nh hng s a sao cho:
a)
axx + 710
2
chia ht cho
32 x
.
b)

12
2
++ axx
chia cho
3x
d 4.
c)
95
45
+ xax
chia ht cho
1x
.
Bi 10: Xỏc nh cỏc hng s a v b sao cho:
a)
baxx ++
24
chia ht cho
1
2
+ xx
.
b)
505
23
++ xbxax
chia ht cho
103
2
++ xx

.
c)
1
24
++ bxax
chia ht cho
2
)1( x
.
d)
4
4
+x
chia ht cho
baxx ++
2
.
Bi 11: Tỡm cỏc hng s a v b sao cho
baxx ++
3
chia cho
1+x
thỡ d 7, chia cho
3x
thỡ d -5.
Bi 12: Tỡm cỏc hng s a, b, c sao cho
cbxax ++
23
chia ht cho
2+x

, chia cho
1
2
x
thỡ d
5+x
.
Trang 13
))()((
23
cxbxaxcbxaxx
=+
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Bi 13: Cho a thc:
baxxxxxP +++=
234
)(
v
2)(
2
+= xxxQ
. Xỏc nh a, b
P(x) chia ht cho Q(x).
Bi 14: Xỏc nh a v b sao cho a thc
1)(
34
++= bxaxxP
chia ht cho a thc
2
)1()( = xxQ

Bi 15: Cho cỏc a thc
237)(
234
+++= xaxxxxP
v
bxxxQ +=
2
)(
. Xỏc nh a v
b P(x) chia ht cho Q(x).
Chuyên đề IV: xác định đa thức
Dng 2: Phng phỏp ni suy NiuTn
Phng phỏp:
tỡm a thc P(x) bc khụng quỏ n khi bit giỏ tr ca a thc ti n + 1 im
1321
,,,,
+n
CCCC
ta cú th biu din P(x) di dng:
)())(())(()()(
21212110 nn
CxCxCxbCxCxbCxbbxP ++++=
Bng cỏch thay th x ln lt bng cỏc giỏ tr
1321
,,,,
+n
CCCC
vo biu thc
P(x) ta ln lt tớnh c cỏc h s
n

bbbb ,,,,
210

.
Bài tập áp dụng
Bi 1: Tỡm a thc bc hai P(x), bit:
9)2(,7)1(,25)0( === PPP
.
Gii
t
)1()(
210
++= xxbxbbxP
(1)
Thay x ln ly bng 0; 1; 2 vo (1) ta c:
11.2.2.18259
18257
25
22
11
0
=+=
=+=
=
bb
bb
b
Vy, a thc cn tỡm cú dng:
2519)()1(1825)(
2

+=+= xxxPxxxxP
.
Bi 2: Tỡm a thc bc 3 P(x), bit:
1)3(,4)2(,12)1(,10)0( ==== PPPP
Hng dn: t
)2)(1()1()(
3210
+++= xxxbxxbxbbxP
(1)
Bi 3: Tỡm a thc bc ba P(x), bit khi chia P(x) cho
)3(),2(),1( xxx
u c d
bng 6 v P(-1) = - 18.
Hng dn: t
)3)(2)(1()2)(1()1()(
3210
+++= xxxbxxbxbbxP
(1)
Bi 4: Cho a thc bc bn P(x), tha món:
)1(),12)(1()1()(
0)1(
++=
=
xxxxPxP
P
a) Xỏc nh P(x).
b) Suy ra giỏ tr ca tng
)(),12)(1(5.3.23.2.1
*
NnnnnS +++++=

.
Hng dn: Thay x ln lt bng 0; 1; 2; 3 vo (1), ta c :

36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
==
==
==
==
PPP
PPP
PPP
PPP

Trang 14
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
t
)2)(1()1()1()1()1()1()(
43210
++++++++= xxxxbxxxbxxbxbbxP
(2)
Thay x ln lt bng -1; 0; 1; 2; -2 vo (2) ta c:

2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.336
,31.2.6

,00
0
44
33
22
11
0
=++=
=+=
==
==
=
bb
bb
bb
bb
b
Vy, a thc cn tỡm cú dng:

)2()1(
2
1
)2)(1()1(
2
1
)1()1(3)1(3)(
2
++=+++++= xxxxxxxxxxxxxP
(Tuyn chn bi thi HSG Toỏn THCS)
Bi 5: cho a thc

)0,,(,)(
2
++= cbacbxaxxP
. Cho bit
0632 =++ cba
1) Tớnh a, b, c theo
)1(,
2
1
),0( PPP






.
2) Chng minh rng:
)1(,
2
1
),0( PPP






khụng th cựng õm hoc cựng dng.
Bi 6: Tỡm mt a thc bc hai, cho bit:

1985)2(
85)1(
19)0(
=
=
=
P
P
P
Chuyên đề V: Tớnh chia ht vi s nguyờn
1. Kin thc cn nh
1. Chứng minh quan hệ chia hết
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n

N hoặc n

Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó
có một thừa số là m
+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố
cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k
b/. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trờng hợp về số d
khi chia m cho n
* Ví dụ1:
C/minh rằng A=n
3
(n
2
- 7)

2

36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Giải:
Ta có 5040 = 2
4
. 3
2
.5.7
A= n
3
(n
2
- 7)
2

36n = n.[ n
2
(n
2
-7)
2
36 ] = n. [n.(n
2
-7 ) -6].[n.(n
2
-7 ) +6]
= n.(n
3
-7n 6).(n

3
-7n +6)
Ta lại có n
3
-7n 6 = n
3
+ n
2
n
2
n 6n -6 = n
2
.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)
=(n+1)(n
2
-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)
Tơng tự : n
3
-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:
Trang 15
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
- Tồn tại một bội số của 5 (nên A
M
5 )
- Tồn tại một bội của 7 (nên A
M
7 )
- Tồn tại hai bội của 3 (nên A

M
9 )
- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A
M
16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau

A
M
5.7.9.16=
5040
Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì :
a/ a
3
a chia hết cho 3
b/ a
5
-a chia hết cho 5
Giải:
a/ a
3
-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho
3
b/ A= a
5
-a = a(a
2
-1) (a
2
+1)

Cách 1:
Ta xết mọi trờng hợp về số d khi chia a cho 5
- Nếu a= 5 k (k

Z) thì A
M
5 (1)
- Nếu a= 5k

1 thì a
2
-1 = (5k
2

1)
2
-1 = 25k
2

10k
M
5

A
M
5 (2)
- Nếu a= 5k

2 thì a
2

+1 = (5k

2)
2
+ 1 = 25 k
2

20k +5

A
M
5 (3)
Từ (1),(2),(3)

A
M
5,

n

Z
Cách 2:
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :
+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa số 5
Ta có : a
5
-a = a( a
2
-1) (a

2
+1) = a(a
2
-1)(a
2
-4 +5) = a(a
2
-1) (a
2
-4) + 5a(a
2
-1)
= a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a
2
-1)
Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)
M
5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp )
5a (a
2
-1)
M
5
Do đó a
5
-a
M
5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a
5

-a và tích của 5 số nguyên liên
tiếp chia hết cho 5.
Ta có:
a
5
-a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a
5
-a (a
2
- 4)a(a
2
-1) = a
5
-a - (a
3
- 4a)(a
2
-1)
= a
5
-a - a
5
+ a
3
+4a
3
- 4a = 5a
3
5a
M

5

a
5
-a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)
M
5
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)
M
5

a
5
-a
M
5(Tính chất chia hết của một
hiệu)
c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử dụng các hằng
đẳng thức:
a
n
b
n
= (a b)( a
n-1
+ a
n-2
b+ a
n-3
b

2
+ +ab
n-2
+ b
n-1
) (HĐT 8)
a
n
+ b
n
= (a + b)( a
n-1
- a
n-2
b+ a
n-3
b
2
- - ab
n-2
+ b
n-1
) (HĐT 9)
- Sử dụng tam giác Paxcan:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên
trái của số liền trên.
Trang 16
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Do đó: Với

a, b

Z, n

N:
a
n
b
n
chia hết cho a b( a

b)
a
2n+1
+ b
2n+1
chia hết cho a + b( a

-b)
(a+b)
n
= Bsa +b
n

( BSa:Bội số của a)
(a+1)
n
= Bsa +1
(a-1)
2n
= Bsa +1
(a-1)
2n+1
= Bsa -1
* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16
n
1 chia hết cho 17 khi và
chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k

N thì:
A = 16
2k
1 = (16
2
)
k
1 chia hết cho 16
2
1( theo nhị thức Niu Tơn)
Mà 16
2
1 = 255

M
17. Vậy A
M
17
- Nếu n lẻ thì : A = 16
n
1 = 16
n
+ 1 2 mà n lẻ thì 16
n
+ 1
M
16+1=17
(HĐT 9)

A không chia hết cho 17
+Cách 2: A = 16
n
1 = ( 17 1)
n
1 = BS17 +(-1)
n
1 (theo công thức
Niu Tơn)
- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 1 = BS17 chia hết cho 17
- Nếu n lẻ thì A = BS17 1 1 = BS17 2 Không chia hết cho 17
Vậy biểu thức 16
n
1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn,

n

N
d/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng
minh quan hệ chia hết.
VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004.2004
Giải: Xét 2004 số: a
1
= 2004
a
2
= 2004 2004
a
3
= 2004 2004 2004
.
a
2004
= 2004 20042004
2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số d khi chia cho 2003.
Gọi hai số đó là a
m
và a
n
( 1

n <m

2004) thì a

m
- a
n

M
2003
Ta có: a
m
- a
n
= 2004 20042004 00000

m-n nhóm 2004 4n
hay a
m
- a
n
= 2004 20042004 . 10
4n
m-n nhóm 2004
mà a
m
- a
n
M
2003 và (10
4n

, 2003) =1
nên 2004 20042004

M
2003

m-n nhóm 2004
2. Tìm số d
* VD1:Tìm số d khi chia 2
100

a/ cho 9 b/ cho 25
Giải:
a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2
3
= 8 = 9 1
Trang 17
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Ta có : 2
100
= 2. 2
99
= 2. (2
3
)
33
= 2(9 1 )
33
= 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu
Tơn)
= BS9 2 = BS9 + 7
Vậy 2
100

chia cho 9 d 7
b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2
10
= 1024 =1025 1
Ta có:
2
100
=( 2
10
)
10
= ( 1025 1 )
10
= BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu
Tơn)
Vậy 2
100
chia cho 25 d 1
* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 5
1994
khi viết trong hệ thập phân
Giải:
- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 5
4
= 625
Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên dơng bất kì vẫn
tận cùng bằng 0625
Do đó: 5
1994
= 5

4k+2
=(5
4
)
k
. 5
2
= 25. (0625)
k
= 25. (0625)= 5625
- Cách 2: Tìm số d khi chia 5
1994
ch 10000 = 2
4
.5
4
Ta thấy 5
4k
1 = (5
4
)
k
1
k
chia hết cho 5
4
1 = (5
2
+ 1) (5
2

- 1)
M
16
Ta có 5
1994
= 5
6
(5
1988
1) + 5
6
mà 5
6

M
5
4
và 5
1988
1

= (5
4
)
497
1 chia hết
cho 16

( 5
1994

)
3
. 5
6
(5
1988
1)chia hết cho 10000 còn 5
6
= 15625

5
1994
= BS10000 + 15625

5
1994
chia cho 10000 d 15625
Vậy 4 chữ số tận cùng của 5
1994
là 5625
3. Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của
biểu thức B:
A = n
3
+ 2n
2
- 3n + 2; B = n
2
n

Giải:
n
3
+ 2n
2
- 3n + 2 n
2
n
n
3
n
2
n + 3
3n
2
- 3n + 2
3n
2
3n
2
Ta có: n
3
+ 2n
2
- 3n + 2 = (n
2
n)(n + 3) +
2
2
n n

Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B

n
2
n

Ư(2)


2 chia hết cho n(n 1)


2 chia hết cho n
Ta có bảng:
n 1 -1 2 -2
n 1 0 -2 1 -3
Trang 18
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
n(n 1) 0 2 2 6
Loại T/m T/m Loại
Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu
thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dể n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1
Giải:
n
5

+ 1
M
n
3
+ 1

n
5
+ n
2
n
2
+ 1
M
n
3
+ 1

n
2
(n
3
+ 1)- ( n
2
1)

M
n
3
+ 1

(n 1)(n + 1)
M
(n+1)(n
2
n + 1)

n 1
M
n
2
n + 1

n(n 1)
M
n
2
n + 1
Hay n
2
n
M
n
2
n + 1

(n
2
n + 1) 1
M

n
2
n + 1

1
M
n
2
n + 1
Xét hai trờng hợp:
+ n
2
n + 1 = 1

n
2
n = 0

n(n 1) = 0

n = 0, n = 1 thử lại thấy
t/m đề bài
+ n
2
n + 1 = - 1

n
2
n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2

n
- 1 chia hết cho 7
Giải:
Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 2
3
= 8 = 7 + 1
- Nếu n = 3k (k

N) thì 2
n
- 1= 2
3k
1 = (2
3
)
k
1 = 8
k
- 1
k
M
8 1 = 7
Nếu n = 3k + 1(k

N) thì 2
n
- 1 = 2
3k+1
1 = 8
k

. 2 1= 2(8
k
1) + 1
= 2. BS7 + 1

2
n
- 1 không chia hết cho 7
- Nếu n = 3k +2(k

N) thì 2
n
- 1 = 2
3k+2
1= 4.2
3k
1
= 4( 8
k
1) + 3 = 4.BS7 + 3

2
n
- 1 không chia hết cho 7
Vậy 2
n
- 1
M
7

n = 3k (k

N)
Chuyên đề V: Tớnh chia ht vi s nguyờn
2. Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng:
a/ n
3
+ 6n
2
+ 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn
b/ n
4
10n
2
+ 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ
Giải
a/ n
3
+ 6n
2
+ 8n = n(n
2
+ 6n + 8) = n( n
2
+ 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]
= n(n+2)(n + 4)
Với n chẵn, n = 2k ta có:
n
3

+ 6n
2
+ 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2)
M
8
b/ n
4
10n
2
+ 9 = n
4
n
2
9n
2
+ 9 = n
2
(n
2
1)- 9(n
2
1) = (n
2
1)(n
2
- 9)
= (n 1)(n+1)(n-3)(n+3)
Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:
n
4

10n
2
+ 9 = (2k +1 1)(2k + 1+1)(2k + 1 3)( 2k + 1 +3)
= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2)
M
16
Bài 2: Chứng minh rằng
a/ n
6
+ n
4
-2n
2
chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b/ 3
2n
9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dơng n
Trang 19
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Giải:
Ta có: A= n
6
+ n
4
-2n
2
= n
2
(n
4

+n
2
-2)= n
2
(n
4
+ 2n
2
n
2
2)= n
2
[(n
2
+2)- (n
2
+2)]
= n
2
(n
2
+ 2)(n
2
1).
Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1
Xét các trờng hợp:
+ Với n = 2k

A = (2k)
2

(2k + 1) (2k -1)(4k
2
+2) = 8k
2
(2k + 1) (2k -1)(2k
2
+1)
M
8
+ Với n = 2k +1

A = (2k + 1)
2
(2k +1 1)
2
= (4k
2
+ 4k +1)4k
2

M
8
Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a

1 để chứng minh A
M
9
Vậy A
M
8.9 hay A

M
72
Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a
2
1 chia hết cho 24
Giải:
Vì a
2
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻ

a
2
là số chính phơng lẻ

a
2
chia cho 8 d 1

a
2
1 chia hết cho 8 (1)
Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3

a không chia hết cho 3

a
2
là số chính phơng không chia hết cho 3

a

2
chia cho 3 d 1

a
2
1 chia hết cho 3 (2)
Mà (3,8) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3)

a
2
1 chia hết cho 24
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a
6
-1 chia hết cho 7
Giải:
Bài toán là trờng hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:
- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì a
p
a chia hết cho p
- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì a
p-1
-1 chia
hết cho p
Thật vậy, ta có a
6
-1 = (a
3
+ 1) (a

3
- 1)
- Nếu a = 7k

1 (k

N) thì a
3
= ( 7k

1)
3
= BS7

1

a
3
- 1
M
7
- Nếu a = 7k

2 (k

N) thì a
3
= ( 7k

2)

3
= BS7

2
3
= BS7

8

a
3
- 1
M
7
- Nếu a = 7k

3 (k

N) thì a
3
= ( 7k

3)
3
= BS7

3
3
= BS7

27

a
3
+ 1
M
7
Ta luôn có a
3
+ 1 hoặc a
3
1 chia hết cho 7. Vậy a
6
1 chia hết cho 7
Bài 5: Chứng minh rằng:
Nếu n là lập phơng của một số tự nhiên thì (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504
Giải:
Ta có 504 = 3
2
. 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một
Vì n là lập phơng của một số tự nhiên nên đặt n = a
3
Cần chứng minh A=(a
3
-1)a
3
(a
3
+ 1) chia hết cho 504
Ta có: + Nếu a chẵn

a
3
chia hết cho 8
Nếu a lẻ

a
3
-1và a
3
+ 1 là hai số chẵn liên tiếp

(a
3
-1) (a
3
+ 1) chi hết cho 8
Vậy A
M
8 ,
19 9a

n

N (1)
+ Nếu a
M
7

a

3
M
7

A
M
7
Nếu a không chia hết cho 7 thì a
6
1
M
7

(a
3
-1) (a
3
+ 1)
M
7(Định lí Phéc ma)
Vậy A
M
7 ,


n

N (2)
+ Nếu a
M

3

a
3
M
9

A
M
9
Nếu a không chia hấe cho 3

a = 3k

1

a
3
= ( 3k

3)
3
= BS9

1

a
3
1 = BS9+1 1
M

9
a
3
+ 1 = BS9- 1 + 1
M
9
Vậy A
M
9 ,


n

N (3)
Từ (1), (2), (3)

A
M
9 ,


n

N
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
Trang 20
TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012
a/ 12n
2
– 5n – 25

b/ 8n
2
+ 10n +3
c/
3
3
4
n n+
Gi¶i:
a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: 12n
2
– 5n – 25 = 12n
2
+15n – 20n – 25
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n
2
– 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > 0 nªn 3n – 5 > 0.
Ta l¹i cã: 3n – 5 < 4n +5(v× n
≥
0) nªn ®Ĩ 12n
2
– 5n – 25 lµ sè ngyªn tè th× thõa
sè nhá ph¶i b»ng 1 hay 3n – 5 = 1
⇒
n = 2
Khi ®ã, 12n
2
– 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyªn tè.
VËy víi n = 2 th× gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 12n

2
– 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13
b/ 8n
2
+ 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
BiÕn ®ỉi t¬ng tù ta ®ỵc n = 0. Khi ®ã, 8n
2
+ 10n +3 lµ sè nguyªn tè 3
c/ A =
3
3
4
n n+
. Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3)
M
4.
Hai sè n vµ n + 3 kh«ng thĨ cïng ch½n. VËy hc n , hc n + 3 chia hÕt cho 4
- NÕu n = 0 th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè
- NÕu n = 4 th× A = 7, lµ sè nguyªn tè
-NÕu n = 4k víi k
∈
Z, k > 1 th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A
lµ hỵp sè
- NÕu n + 3 = 4 th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè
- NÕu n + 3 = 4k víi k
∈
Z, k > 1 th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lín h¬n 1
nªn A lµ hỵp sè.
VËy víi n = 4 th×
3

3
4
n n+
lµ sè nguyªn tè 7
Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cđa hai b¹n
Mét ngµy cđa thËp kû ci cïng cđa thÕ kû XX, mét nhê kh¸ch ®Õn th¨m trêng gỈp
hai häc sinh. Ngêi kh¸ch hái:
- Cã lÏ hai em b»ng ti nhau?
B¹n Mai tr¶ lêi:
- Kh«ng, em h¬n b¹n em mét ti. Nhng tỉng c¸c ch÷ sè cđa n¨m sinh mçi chóng
em ®Ịu lµ sè ch½n.
- VËy th× c¸c em sinh n¨m 1979 vµ 1980, ®óng kh«ng?
Ngêi kh¸ch ®· suy ln thÕ nµo?
Gi¶i:
Ch÷ sè tËn cïng cđa n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ 9 vµ 0 v× trong trêng hỵp ngùoc l¹i th×
tỉng c¸c ch÷ sè cđa n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm nhau lµ 1, kh«ng thĨ cïng lµ sè
ch½n.
Gäi n¨m sinh cđa Mai lµ
19 9a
th× 1 +9+a+9 = 19 + a. Mn tỉng nµy lµ sè ch½n th×
a
∈
{1; 3; 5; 7; 9}. HiĨn nhiªn Mai kh«ng thĨ sinh n¨m 1959 hc 1999. VËy Mai
sinh n¨m 1979, b¹n cđa Mai sinh n¨m 1980.
Chuyªn ®Ị VI: Tam gi¸c – ph©n gi¸c
1. C ¸c bµi to¸n tỉng qu¸t vỊ ® êng ph©n gi¸c
1/ Cho ∆ ABC với AB > AC . Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác trong và
N ( khác A ) thuộc đường phân giác ngoài của góc A . Chứng minh rằng :
a/ AB – AC > MB – MC
Trang 21

TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012
b/ AB + AC < NB + NC .
2/ Ba đường phân giác trong AD , BE , CF của ∆ ABC gặp nhau tại O . Từ O dựng
OG vuông góc với BC .
a/Chứng minh góc BOD = góc COG . b/Tính góc BOC theo A .
c/Tính góc GOD theo góc B và góc C .
3/ Cho ∆ ABC , các đường phân giác AA’, BB’, CC’. Gọi L là giao điểm của AA’
và B’C’ , K là giao điểm của CC’ và A’B’ . Chứng minh : BB’ là phân giác của
góc KBL .
4/ Cho ∆ ABC có dộ dài 3 cạnh là a,b,c và l
a
, l
b
, l
c
là độ dài 3 đường phân giác
ứng với các cạnh BC , CA , AB . Chứng minh :
cba
lllcba
111111
++<++

HƯỚNG DẪN
Chú ý và nhận xét :
+ Ta có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng b+c bằng cách
<2c từ B vẽ tia Bx // Ac cắt AC tại E .
+ Ta chứng minh
)1(
2
1

2
1
2
1
bcbc
cb
l
a
+=
+
>
( và tương tự
l
a
với

các trường hợp còn lại ) bằng cách tính BE ( liên
quan đến b , c , l
a
) .
Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA tại E . ∆
ABE cân tại E . Xét ∆ ABE ta có : BE < AB + AE = 2AB = 2c .
Xét ∆ CBE ta có : AD // BE ⇒
AC
CE
AD
BE
=
⇔
c

b
cbl
AC
CEAD
BE
a
2
)(
.
<
+
==
⇒
)1(
2
1
2
1
2
1
bcbc
cb
l
a
+=
+
>
Chứng minh tương tự ta có :
)2(
2

1
2
11
cal
b
+>
)3(
2
1
2
11
abl
c
+>
Lấy (1) + (2) +(3) suy ra điều phải chứng minh .
5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX . Chứng minh rằng :
HƯỚNG DẪN
Nhận xét và chú ý :
+ Bài toán cho các đường phân giác nên hãy chú
Trang 22
3
≥++
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
B
D

C
A
E
A
a
b
c
c
TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012
ý đến tính chất đường phân giác của tam giác .
+ Bài toán yêu cầu chứng minh một bất
đẳng thức
nên hãy chú ý đến các BĐT trong đó chú ý
đến
BĐT Côsi .

p dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
;;
ta có :
Theo tính chất đường phân giác :
3
3
ZA
CZ

YC
BY
XB
AX
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
≥++
c
a
b
c
a
b
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
=
Do đó
3
≥++
ZA
CZ
YC

BY
XB
AX
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c tức ∆ ABC đều .
6/ Cho ∆ ABC , ba đường phân giác trong AD , BE , CF . Chứng minh điều kiện
cần và đủ để tam giác ABC đều là S
DEF
= ¼ S
ABC
.
8/ Cho ∆ ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c . Vẽ các phân giác AD , BE , CF
.Chứng minh
S
DEF
≤ ¼ S
ABC
, dấu “=” xảy ra ⇔ ∆ ABC đều .
2.TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC
1/ Cho ∆ ABC , các đường phân giác trong BD , CE . Tính số đo các góc của tam
giác nếu BDE = 24
0
, CED = 18
0
.
2/ Cho ∆ ABC , các góc B và C cóùù tỉ lệ 3 : 1 , phân giác của góc A chia diện tích
tam giác theo tỉ số 2: 1 . Tính các góc của tam giác .
3.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
1/ Cho ∆ ABC có hai đường phân giác trong BD , CE cắt nhau tại I . Biết ID = IE .
Chứng minh rằng hoặc ∆ ABC cân tại A hoặc BAC = 60
0

.
HƯỚNG DẪN
A
E’
D E
I
C B
Trang 23
B
C
Y
Z
X
TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012
AI là đường phân giác của góc A . Khi đó hai ∆ IEA và ∆ IDA có thể xảy ra hai
trường hợp :
a/ ∆ IEA = ∆ IDA . Khi đó :
BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ⇒ ∆ ABD = ∆ ACE ( g – c – g ) ⇒
AB = AC ⇒
∆ ABC cân tại A .
b/ ∆ IEA và ∆ IDA không bằng nhau ⇒ ∆ ABC không cân ở A .
Không mất tính tổng quát ta giả sử : C > B . Lấy điểm E’ trên AB sao cho
IE’ = IE = ID . ⇒ ∆ IE’E cân ⇒ IE’E = IEE’ ⇒ BEI = IE’A = IDA
Xét tứ giác ADIE có : D + E = 180
0
⇒ A + DIE = 180
0
⇒ A + BIE =
ICB + IBC
⇒ 2A = 2ICB + 2IBC = C + B . Mà BIE + DIE = 180

0
và A + B + C =
180
0
⇒ A + 2A = 180
0
⇒ A = 60
0
.
4.CỰC TRỊ
1/ Cho ∆ ABC với AB ≤ AC và AD là đường phân giác trong . Lấy điểm M trên
cạnh AB và điểm N trên cạnh AC sao cho BM.CN = k không đổi ( k < AB
2
) . Xác
đònh vò trí của M , N sao cho diện tích của tứ giác AMDN là lớn nhất .
HƯỚNG DẪN
Nhận xét :
1/ BM + CN ≥
2 .BM CN
2/ S
AMDN
= S
AMD
+ S
ADN
3/ M
B E
Hạ DH , DK vuông góc với AB và AC . Ta có : DH = DK = hằng số ( AD là phân
giác của góc A )
2S

AMDN
= 2S
ADM
+ 2S
ADN
= DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN )
= DH [AB+AC – (BM+CN)] (1)
p dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN :
BM + CN ≥
kCNBM 2.2 =
, dấu “ = “ xảy ra ⇔ BM = CN . Thay vào
(1) ta được :
2S
AMDN
≤ DH(AB+AC-
k2
)
Diện tích tứ giác AMDN lớn nhất khi BM = CN =
k
< AB ≤ AC .
Trang 24
A
B C
D
H
M
K
N
H
1 đv

k
TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012
Lúc đó S
AMDN
= ½ (AB+AC -
k2
) . Dễ dàng dựng được các đoạn thẳng
BM , CN theo hệ thức BM
2
= CN
2
= k.1 ( trong đó 1 chỉ 1 đơn vò dài ) .
Cách dựng : Trên BC lấy E sao cho BE = 1 . trên BF lấy H sao cho BH = k
. Dựng đường tròn đường kính BE , dựng tia Hx vuông góc với BE cắt đường tròn
tại M. BM có độ dài cần dựng .
Chuyªn ®Ị VIi: Tam gi¸c - ®êng cao -trung tun
I.C¸c bµi to¸n vỊ ® êng cao
1/ Cho ∆ ABC có a > b > c . Chứng minh :
a/ h
a
< h
b
< h
c
b/ a + h
a
≥ b + h
b

2/ Cho ∆ ABC có ba cạnh là a , b , c và ba đường cao là h

a
, h
b
, h
c
. Chứng minh
rằng nếu
)(
1
)(
1
)(
1111
cppbppapp
hhh
cba
−
+
−
+
−
=++
thì tam giác ABC là tam giác đều ( p
là nửa chu vi của ∆ ABC .
3/ Chứng minh rằng nếu một tam giác cóùù 2 cạnh không bằng nhau thì tổng của
cạnh lớn hơn và đường cao tương ứng lớn hơn tổng của cạnh nhỏ và đường cao
tương ứng .
4/ Cho ∆ ABC có các đường cao AA’ , BB’ , CC’ . Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ và
CC’ tại I , J , K , L . Chứng minh 4 điểm I , J , K , L thẳng hàng .
5/ Cho ∆ ABC , đường cao AH . Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB . Gọi

B’ là điểm đối xứng của H qua AC . Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I
và K . Chứng minh BI và CK là đường cao của ∆ ABC .
. ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC
1/ Chứng minh rằng mọi ∆ ABC ta đều có : p
2
≥ h
a
2
+ h
b
2
+ h
c
2
( p là nửa chu vi
tam giác ABC )
2/ Cho ∆ ABC . Xác đònh các điểm M , N , P theo thứ tựï thuộc các cạnh BC , CA , AB sao cho
chu vi ∆ MNP là nhỏ nhất .
ĐƯỜNG CAO - BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ
1/ Cho 2 điểm A , B cóùá đònh và điểm M di động sao cho ∆ MAB cóùù 3 góc nhọn .
Gọi H là trực tâm của ∆ AMB , K là chân đường cao vẽ từ M . Tìm giá trò lớn
nhất của KH.KM .
TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC
Trang 25