(Skkn 2023) rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 12 thông qua các bài toán thực tế

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
----------  ----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 12
THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
Lĩnh vực: Tốn học

Năm thực hiện: 2022 – 2023


SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƢỜNG THPT NGUYỄN CẢNH CHÂN
----------  ----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 12
THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
Lĩnh vực: Tốn học

Nhóm tác giả: 1. Cao Thị Bình – ĐT: 0987 955 126
2. Lê Thanh Hải – ĐT: 0949 840 755
3. Nguyễn Thị Thanh Nhàn – ĐT: 0989 120 684
Tổ chun mơn: Tốn - Tin

Năm thực hiện: 2022 – 2023


MỤC LỤC

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………….......…....................1
I. Lý do chọn đề tài. …………………………………………................................................1
II. Mục đích nghiên cứu. ……………………………………….............................................2
III. Giả thuyết khoa học. ……………………………………….............................................2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu.……………………………………… ...........................................2
V. Đối tƣợng nghiên cứu. ……………………………………................................................2
VI. Phƣơng pháp nghiên cứu. ………………………………….............................................2
VII. Cấu trúc đề tài……………………………………………...............................................3
VII. Tính mới của đề tài..………………………………………. ...........................................3
PHẦN II.

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU…………………………….............................…4

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………………….................................……4
1. Cơ sở lý luận.......................................................................................................................4
2. Thực trạng của vấn đề. .......................................................................................................6
2.1 Về tình hình dạy học tốn gắn với thực tiễn ...................................................................6
2.2. Tình hình dạy học tốn gắn với thực tiễn ở trƣờng phổ thông.......................................7
II. ĐỊNH HƢỚNG XÂY DỰNG VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI TỐN CĨ NỘI DUNG
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHƢƠNG 2 ,GIẢI TÍCH 12…………..................…8
II.1. ĐỊNH HƢỚNG XÂY DỰNG ........................................................................................8
II.1.1. Bám sát nội dung chƣơng 2 , Giải tích 12 hiện hành, có nâng cao hợp lý....................8
II.1.2. Giúp học sinh nắm vững tri thức và có những kỹ năng cơ bản trong chƣơng 2 , Giải
tích 12 - THPT. .......................................................................................................................9
II.1.3. Các bài tốn có chứa nội dung gắn với những mơn học trong trƣờng phổ thơng, có
liên hệ với đời sống thực tế. ....................................................................................................9
II.1.4. Hệ thống bài tập đƣợc chọn lựa vừa sức cả về số lƣợng và độ khó để có thể sử dụng
trong dạy học .........................................................................................................................10
II.2.CÁC DẠNG TỐN CỤ THỂ.........................................................................................10
II.2.1.Bài toán gửi lãi suất ngân hàng ...................................................................................10

II.2.2. Bài toán vay lãi suất ngân hàng và bài tốn trả góp....................................................14
II.2.3. Ứng dụng đời sống xã hội...........................................................................................15
II.2.4. Ứng dụng trong khoa học kỹ thuật..............................................................................16
II.2.5. Ứng dụng khác............................................................................................................17


II.2.6. Hệ thống bài tập thực tiễn tự luyện dành cho học sinh...............................................20
II.3.MỘT SỐ LƢU Ý KHI SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN TRONG THỰC TIỄN ĐỂ
DẠY HỌC …………………………………………………................................................30
II.4. MỘT SỐ GIÁO ÁN TRONG CHƢƠNG 2,GIẢI TÍCH 12 ÁP DỤNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN………..............................................................................................................32
PHẦN III. KẾT LUẬN......................................................................................................52
I. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………..............................................52
II. Những bài học kinh nghiệm …………………………….................................................53
III. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm.. ………………......................................…………53
IV. Khả năng ứng dụng, triển khai.. ………………………….........................................…54
V. Những kiến nghị và đề xuất. ……………………………..........................................….54
Tài liệu tham khảo………………………………………..........................................…….55


1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài.
Tốn học là một trong những khoa học cổ nhất của lồi ngƣời. Nhƣng chƣa
bao giờ tốn học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc nhƣ ngày nay. Ở
thời đại chúng ta những phát minh mới mẻ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất
nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay tốn học khơng chỉ
áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà cịn xâm nhập vào hố học, sinh học và

nhiều ngành khoa học xã hội nữa.
Ở nƣớc ta đang trên con đƣờng cơng nghiệp hóa và hiện đại hóa, phù hợp với
xu hƣớng đổi mới mơn Tốn trong trƣờng phổ thông trên thế giới, đồng thời phù hợp
với điều kiện cụ thể giáo dục của nƣớc ta. Chƣơng trình mơn Tốn đã có nhiều đổi
mới, trong đó đặc biệt chú ý đến việc tăng cƣờng và làm rõ mạch Toán ứng dụng và
ứng dụng Toán học hơn nữa.
Từ những quan điểm đƣợc đƣa ra làm căn cứ xác định mục tiêu mơn Tốn, có
nêu: “Phải lựa chọn những nội dung kiến thức Tốn cốt lõi, giàu tính ứng dụng, đặc
biệt là ứng dụng thực tiễn vào Việt Nam’’.
Vì vậy việc tăng cƣờng vận dụng Tốn học vào thực tiễn hồn tồn phù hợp và
có tác dụng tích cực với hồn cảnh của nƣớc ta hiện nay.
Mơn Tốn ở trƣờng trung học phổ thông bao gồm những nội dung quan trọng,
cơ bản và cần thiết nhất đƣợc lựa chọn trong khoa học Toán học xuất phát từ mục
tiêu đào tạo của nhà trƣờng và phải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh,
đồng thời phù hợp với thực tiễn giáo dục-xã hội của đất nƣớc. Những nội dung đó
khơng những phải phản ánh đƣợc tinh thần, quan điểm, phƣơng pháp mà còn phải
phản ánh đƣợc xu thế phát triển của khoa học Toán học hiện nay, mà một trong
những hƣớng chủ yếu của nó là ứng dụng.
Tốn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng nhƣ trong sản xuất và đời sống, với
vai trị đặc biệt, Tốn học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần
làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc tăng
cƣờng vận dụng các bài tốn có nội dung thực tiễn vào dạy học mơn Tốn là điều cần
thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của Tốn học.
Mơn Tốn với vai trị cung cấp kiến thức, kỹ năng, phƣơng pháp góp phần xây
dựng nền tảng văn hóa phổ thơng của con ngƣời lao động trong thời kỳ đổi mới việc
thực hiện nguyên lý giáo dục: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động
sản xuất, giáo dục nhà trƣờng kết hợp với giáo dục gia đình và xă hội ”, cần phải
đƣợc quán triệt trong mọi trƣờng hợp để hình thành mối quan hệ mật thiết giữa Toán
học và cuộc sống.

Tuy nhiên, những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chƣơng trình
SGK, cũng nhƣ trong việc dạy học mơn Toán chƣa đƣợc quan tâm đúng mức. Hơn
1


nữa những bài tốn có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất
còn đƣợc trình bày một cách hạn chế trong chƣơng trình tốn phổ thơng. Mặt khác,
trong thực tế giảng dạy mơn tốn ở phổ thông các giáo viên chƣa thƣờng xuyên rèn
luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn, theo Giáo
sƣ Nguyễn Cảnh Tồn đó là kiểu dạy Toán xa rời cuộc sống đời thƣờng.
Việc tăng cƣờng vận dụng các bài tốn có nội dung thực tiễn vào dạy học mơn
Tốn là rất cần thiết và có vai trị rất quan trọng trong nhiệm vụ giáo dục của nƣớc ta
hiện nay. Vì vậy, chúng tơi lựa chọn nghiên cứu đề tài: : “ Rèn luyện năng lực giải
tốn cho học sinh 12 thơng qua các bài tốn thực tế ”
II. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn của chƣơng 2, Giải tích lớp
12, đề xuất một phƣơng án khai thác trong dạy học Giải tích lớp 12, nhằm góp phần
tăng cƣờng thực tiễn của mơn Tốn ở trƣờng THPT.
III. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng đƣợc hệ thống các bài tốn có nội dung thực tiễn ứng dụng kiến
thức chƣơng 2, Giải tích lớp 12 THPT và có phƣơng pháp tổ chức dạy học sinh giải
các bài toán này một cách thích hợp thì góp phần gây hứng thú trong học tập củng cố
kiến thức chƣơng 2, Giải tích lớp 12 THPT, thấy đƣợc ứng dụng thực tế của Tốn
học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ đƣợc mối quan hệ chặt chẽ giữa Toán học và thực
tiễn.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của vấn đề tăng cƣờng xây dựng và sử dụng hệ
thống các bài tốn có nội dung thực tiễn vào dạy học mơn Tốn, trong đó tập trung
nghiên cứu lý luận về dạy học Toán với thực tiễn. Làm rõ vai trò và ý nghĩa của việc
rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các bài

tốn có nội dung thực tiễn.
- Lựa chọn xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn ứng dụng kiến thức
chƣơng 2, Giải tích 12 THPT.
- Lồng ghép khai thác hệ thống bài tập toán học có liên quan đến thực tiễn
trong dạy học chƣơng 2 , Giải tích lớp 12 để góp phần rèn luyện cho học sinh THPT
năng lực vận dụng kiến thức Tốn học để giải quyết các bài tốn có nội dung thực
tiễn.
V. Đối tƣợng nghiên cứu
Quá trình dạy và học chƣơng 2, Giải tích 12 theo hƣớng sử dụng các bài tốn
có nội dung thực tiễn.
VI. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tƣ liệu, các cơng trình nghiên
cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
2


- Phƣơng pháp điều tra phỏng vấn
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
+ Tham khảo ý kiến của của chuyên gia giáo dục mơn Tốn, giáo viên Tốn về
kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài tốn có nội dung thực tiễn.
VII. Cấu trúc đề tài
Gồm 3 phần:
Phần 1: Đặt vấn đề
Phần 2: Nội dung nghiên cứu.
Phần 3: Kết luận.
VIII. Tính mới của đề tài.
Đã có một số đề tài về tăng cƣờng sử dụng bài toán thực tế trong vào dạy học
nhƣng với đề tài này đã nêu bật đƣợc ứng dụng và vận dụng toán học trong giảng dạy
giải tích lớp 12. Đề ra đƣợc phƣơng pháp chung thực hiện cách giải các bài tập toán
trong ứng dụng thực tế gắn liền với kiến thức đã đƣợc học trong mơn tốn. Soạn và

sƣu tầm hệ thống bài tập trắc nghiệm theo tinh thần sử dụng hệ thống bài toán thực
tiễn qua đó làm sáng tỏ phân tích nội dung toán học với thực tiễn và nguồn gốc thực
tiễn của tốn học có tác động qua lại với nhau. Đồng thời nêu đƣơc một số lƣu ý khi
sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học.

3


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Tốn học có nguồn gốc thực tiễn. Thật vậy, Số học ra đời trƣớc hết do nhu cầu
của số đếm. Hình học phát sinh do nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven
bờ sông Nin hàng năm... Ăng-ghen đã chỉ ra rằng: Trong q trình tồn tại và phát
triển lồi ngƣời, do nhu cầu hoạt động thực tiễn của con ngƣời, những khái niệm
Toán học ban đầu (Khái niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học) đƣợc con ngƣời
trừu tƣợng hóa từ trong thế giới hiện thực, chứ khơng phải là do phát sinh từ trí não
của con ngƣời, do tƣ duy thần túy, những ngón tay, ngón chân, những hịn đá nhỏ,
nhờ đó ngƣời ta học đếm, những đối tƣợng có hình dạng khác nhau mà ngƣời ta so
sánh, những mảnh đất trên đó ngƣời ta đo diện tích…. đó chính là một bộ phận của
nhiều sự vật cụ thể đã giúp con ngƣời hoàn thiện đƣợc khái niệm về số tự nhiên, về
đại lƣợng về hình học. Con ngƣời đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lƣợng,
hình dạng, thể tích, diện tích của chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họ
gặp phải trong hoạt động thực tiễn của họ. Từ chỗ biết đếm, con ngƣời có khái niệm
đầu tiên về số tự nhiên, khái niệm về 4 phép tính số học. Nhu cầu về đo đạc diện tích
và thể tích…đƣa đến kiến thức ban đầu về hình học. Có thể nói đây là giai đoạn phát
sinh của Tốn học. Những kiến thức rời rạc và chỉ dựa vào kinh nghiệm dần dần
đƣợc hệ thống hóa và ngƣời ta xây dựng Tốn học thành một khoa học suy diễn.
Tốn học khơng chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng
phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, tồn diện. Đó là bởi: Tốn học là khoa học

về cấu trúc tổng quát, các quan hệ đƣợc trừu tƣợng hóa các đối tƣợng của hiên thực
khách quan.
Tốn học nghiên cứu những mối quan hệ số lƣợng và hình dạng khơng gian
của thế giới khách quan. Tốn học có vai trị rất quan trọng và đựợc ứng dụng trong
rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học,
vật lý, khí tƣợng thủy văn, cơng nghệ thơng tin, khai thác dầu khí, quân sự, kỹ thuật
mật mã, thiên văn học, tài chính ngân hàng…
Ngày nay khoa học kỹ thuật có những thành tựu to lớn nhƣ công nghệ thông
tin, năng lƣợng điện tử, tàu vũ trụ, vô tuyến điện tử, nguyên tử hạt nhân …. sự phát
triển
nhƣ vũ bão của những nghành khoa học này đều gắn liền với những nghành
toán học nhƣ đại số tổ hợp, xác xuất thống kê, hàm số phức, giải tích hàm, hình học
aphin…
Trong hóa học và sinh học trƣớc đây ít khi dùng đến tốn và chỉ dùng đến tốn
cổ điển. Hiện nay, hóa học và sinh học đã sử dụng những nội dung của tốn tơpơ
…bằng những phƣơng pháp tốn học mà ngƣời ta đã có thể dự đốn đƣợc ngày càng
chính xác các tính chất của nhiều hợp chất hóa học, có thể tính đƣợc cơng thức của
4


nhiều hợp chất và các tính chất của nó. Trong sinh học, những bí mật của sự sống, về
di truyền, cơ cấu hoạt động của hệ thần kinh, sinh lý ngƣời…. đã và đang đƣợc
nghiên cứu bằng những phƣơng tiện tốn học tinh vi và hiện đại.
Trong cuộc sống có một trong những lĩnh vực có sự đóng góp to lớn của tốn
học đó là Y học, nhờ có những phƣơng tiện kỹ thuật hiện đại và những phƣơng pháp
tính toán, sử dụng phƣơng pháp thống kê toán học và máy tính điện tử đã giúp con
ngƣời khai thác một cách có hiệu quả các kinh nghiệm để khám và chữa bệnh một
cách hiệu quả và chính xác.
Ngồi ra Tốn học cũng đóng một vai trị cực kỳ quan trọng vào kinh tế và
quản lý. Một loạt các thuật toán gia công thống kê các dữ liệu đƣợc sử dụng rộng rãi

và từ đó tạo ra các thƣ viện chƣơng trình bao gồm các bài tốn nhƣ: Các tính tốn cơ
bản để quan sát tính đồng nhất, phân tích phƣơng sai một biến, phân tích phƣơng sai
nhiều biến, tính xác suất đối với các phân bố khác nhau…..
Sau đó, nhờ sự ra đời của lý thuyết xác suất mà một loạt các lý thuyết mới ra
đời ở thế kỷ XX có ý nghĩa thực tiễn vơ cùng quan trọng ở các lĩnh vực nhƣ: tổ chức
thƣơng mại điện tử, tổ chức sản xuất, vận tải hàng hóa…Các lý thuyết này đã đƣa vào
hƣớng ứng dụng toán học mới gọi là: “Nghiên cứu các thuật tốn” nhằm tìm các lời
giải tối ƣu theo quan điểm mạo hiểm trong những điều kiện nhất định.
Trong quản lý nhân sự có vấn đề phân chia công việc cho n công nhân mà mỗi
công nhân ở mỗi vị trí nhất định sao cho khối lƣợng cơng việc hồn thành là cực đại.
Vào cuối thế kỷ XX, đã xuất hiện nhiều thuật toán cho phép giải bài toán phân chia
lao động, đăc biệt là bài toán quy hoạch tuyến tính, bài tốn vận tải….
Một số lƣợng rất lớn các bài toán kinh tế trong thực tiễn đƣợc mơ tả bằng
phƣơng trình đại số tuyến tính cho nên phép tính ma trận đƣợc ứng dụng rất rộng rãi
để giải các bài toán kinh tế…Hiện nay một vấn đề rất lớn đƣợc các nhà kinh tế quan
tâm, đó là vấn đề điều khiển tối ƣu hóa q trình sản xuất.
Ví dụ : Có 3 nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II
Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lƣợt dùng các máy thuộc
các nhóm máy khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy trong từng nhóm cần
thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại đƣợc cho trong bản sau:
Nhóm

Số máy trong từng nhómđể sản xuất
một đơn vị sản phẩm

Số máy trong mỗi
nhóm

Loại I

Loại II

A

10

2

2

B

4

0

2

C

12

2

4

5


Một đơn vị sản phẩm loại I lãi 3000 đồng, Một đơn vị sản phẩm loại 2 lãi 5000

đồng. Hãy lập phƣơng án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất.
Giải
Gọi x là sản phẩm loại I và y là số sản phẩm loại II . ( x  0 ; y  0 )
Tổng số lãi thu đƣợc là: L = 3x + 5y ( ngàn đồng )
2 x  2 y  10  x  y  5


2y  4
y2


x; y thoả mãn hệ bất phƣơng trình 2 x  4 y  12   x  2 y  6


x0
x0


y0
y0


y
5
3
2 C

B
A

O

D

5

6

x

Hình 1
(x;y) (2;2) (0;2) (0;0) (4;1) (5;0)
L

16

10

0

17

15

Ta có MaxL = 17 khi x = 4 ; y = 1. Vậy: để có lãi cao nhất thì xí nghiệp cần lập
phƣơng án sản xuất các sản phẩm I và II theo tỷ lệ 4 : 1
2. Thực trạng của vấn đề.
2.1 Về tình hình dạy học tốn gắn với thực tiễn
Tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học Toán trong nhà trường phổ thông không chỉ
tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lý

thuyết …, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới hiểu được
nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói
quen vận dụng Tốn học vào thực tiễn cuộc sống”. [6, tr. 3-4]
Một trong những nguyên tắc quan trọng mà đƣợc nhóm tác giả Phạm Văn
Hồn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình đƣa ra trong cuốn Giáo dục học mơn Tốn
là ngun tắc: “Kết hợp lý luận và thực tiễn: Kết hợp lý luận và thực tiễn không chỉ là
6


nguyên tắc dạy học mà còn là quy luật cơ bản của việc dạy học và giáo dục của
chúng ta” .
Để thực hiện nguyên tắc kết hợp giữa lý luận và thực tiễn trong việc dạy học
mơn Tốn cần:
+ Đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức Toán học để có thể vận dụng
chúng vào thực tiễn.
+ Chú trọng nêu các ứng dụng của Toán học vào thực tiễn;
+ Chú trọng đến các kiến thức Tốn học có nhiều ứng dụng vào thực tiễn;
+ Chú trọng rèn luyện cho học sinh có những kỹ năng Tốn học vững chắc;
+ Chú trọng cơng tác thực hành tốn học trong nội khóa cũng nhƣ ngoại khóa.
Nhiều cơng trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng, giảng dạy Tốn học khơng nên xa rời
thực tiễn. Tăng cƣờng và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Tốn học là góp
phần thực hiện nguyên tắc kết hợp giữa lý luận và thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà
trƣờng gắn liền với đời sống.
Trong thời kì mới, thực tế đời sống xã hội và chƣơng trình bộ mơn Tốn có
những thay đổi. Vấn đề rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng các bài tốn có nội
dung thực tiễn vào học mơn Tốn có vai trị quan trọng và góp phần phát triển cho
học sinh những năng lực trí tuệ, những phẩm chất đạo đức, tính cách, thái độ, …. để
đáp ứng yêu cầu mới của xã hội hiện đại.
Trong việc dạy học Toán, để học sinh tiếp thu kiến thức tốt rất cần đến sự liên
hệ gần gũi bằng những tình huống hay những tình huống thực tiễn. Những hoạt động

thực tiễn đó vừa có tác dụng rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn vừa
giúp học sinh tích cực hóa trong q trình lĩnh hội tri thức.
2.2. Tình hình dạy học tốn gắn với thực tiễn ở trƣờng phổ thơng.
Ứng dụng tốn học vào thực tiễn đƣợc coi là một vấn đề quan trọng và cần
thiết trong việc dạy học ở trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, việc rèn luyện vận dụng toán
học vào thực tiễn cho học sinh hiện nay chƣa đƣợc đặt ra đúng mức, chƣa đáp ứng
đƣợc những yêu cầu cần thiết.
Trong thực tế dạy học ở trƣờng phổ thông, giáo viên thƣờng chỉ quan tâm, chú
trọng việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết quy định trong chƣơng trình và sách
giáo khoa, sao nhãng việc thực hành, đặc biệt là những bài tốn có nội dung thực tiễn
nên học sinh thƣờng lúng túng thậm chí cịn khơng hồn chỉnh đƣợc những bài tốn
có nội dung thực tiễn.
Giảng dạy Tốn “cịn thiên về sách vở, hƣớng việc dạy Toán về việc giải nhiều
loại bài tập hầu hết khơng có nội dung thực tiễn”. Việc dạy học Tốn ở trƣờng phổ
thơng hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào
đời sống. Mối liên hệ giữa Toán học và thực tế cịn yếu. Theo chúng tơi có thể có
những nguyên nhân sau đây:
7


Thứ nhất, do ảnh hƣởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo: Số
lƣợng bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng nhƣ kiến thức dành cho mỗi
tiết học khá nặng đã khiến cho giáo viên vất vả trong việc hoàn thành kế hoạch bài
giảng, số lƣợng bài tốn, chất lƣợng và quy mơ bài tốn ứng dụng vào thực tiễn cịn
rất ít ở các chủ đề mơn Tốn trong giảng dạy. Hơn nữa khả năng liên hệ kiến thức
Toán học vào thực tiễn của giáo viên cịn gặp nhiều khó khăn.
Thứ hai, do u cầu vận dụng Tốn học vào thực tiễn khơng đƣợc đặt ra một
cách thƣờng xuyên cụ thể là trong các đề thi khơng có các bài tốn có nội dung thực
tiễn. Mặt khác lối dạy phục vụ thi cử chỉ chú ý đến những gì để phục vụ cho học sinh
đi thi nhƣ hiện nay cũng là một nguyên nhân qóp phần tạo nên tình trạng này.

Thứ ba, qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng những tiết dạy có tăng
cƣờng sử dụng các bài tốn có nội dung thực tiễn bƣớc đầu đã thu đƣợc một số kết
quả khả quan nhƣ:
- Khơng khí lớp học sơi nổi, học sinh hăng hái phát biểu ý kiến xây dựng bài.
- Giờ học nhẹ nhàng sinh động, tăng thêm hứng thú học tập cho học sinh.
- Học sinh thấy đƣợc vài trị của tốn học trong thực tiễn cuộc sống.
- Các em đã nắm đƣợc các bƣớc giải theo hƣớng sử dụng phƣơng pháp chung
để giải các bài tốn có nội dung thực tiễn, bƣớc đầu đã biết vận dụng vào việc giải
toán và gắn toán học với thực tiễn. Đa phần học sinh rất hứng thú với việc dạy học
gắn liền toán học với thực tiễn, trong tiết học thể hiện tính sinh động khơng có cảm
giác nhàm chán cứng nhắc và khô khan.
Nhƣ vậy, chúng tôi đã nghiên cứu cơ sở lý luận và tìm hiểu thực trạng về vấn
đề: “Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh 12 thơng qua các bài tốn thực
tế”
Từ việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn của vấn đề, chúng tôi thấy rằng: Cần
thiết và có thể xây dựng một hệ thống bài tốn có nội dung thực tiễn và vận dụng vào
dạy học . Trong sáng kiến này chúng tôi chọn xây dựng trong chƣơng 2 Đại số và
Giải tích 12 THPT.
II. ĐỊNH HƢỚNG XÂY DỰNG VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI TỐN CĨ
NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHƢƠNG 2, GIẢI TÍCH 12
II.1. Định hƣớng xây dựng
II.1.1. Bám sát nội dung chƣơng 2 Đại số và Giải tích 12 hiện hành, có
nâng cao hợp lý
Chƣơng trình và sách giáo khoa mơn Tốn đƣợc xây dựng trên cơ sở kế thừa
những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nƣớc theo một hệ thống quan điểm nhất
quán về phƣơng diện Tốn học cũng nhƣ về phƣơng diện sƣ phạm, nó đƣợc thực hiện
thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm nay và đƣợc điều chỉnh nhiều lần
8

cho phù hợp với mục tiêu đào tạo mới,phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nƣớc ta hiện
nay.
Vì vậy, hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn muốn đƣợc thực thi phải phù
hợp với chƣơng trình và sách giáo khoa, hay nói cách khác: hệ thống các bài tập có
nội dung thực tiễn phải đƣợc xây dựng trên cơ sở tôn trọng, kế thừa và phát huy, khai
thác hết tiềm năng của chƣơng trình và sách giáo khoa hiện hành. Cụ thể là:
- Tận dụng triệt để những cơ hội sẵn có trong sách giáo khoa nhƣ những tình
huống lý thuyết, bài tập thực hành…để đƣa các bài tốn có nội dung thực tiễn vào
giảng dạy. Khai thác các tình huống ứng dụng Tốn học vào thực tiễn cịn ẩn tàng.
- Trong sách giáo khoa có khá nhiều bài tập nhƣng trong đó các bài tập có nội
dung thực tiễn cịn ít cần đƣợc bổ sung thêm cho phù hợp.
Tuy nhiên, cũng cần chú ý rằng: hệ thống bài tập không đƣợc làm thay đổi tới
hệ thống chƣơng trình sách giáo khoa cũng nhƣ kế hoạch dạy học hiện hành.
II.1.2. Giúp học sinh nắm vững tri thức và có những kỹ năng cơ bản trong
chƣơng 2 Đại số và Giải tích 12 - THPT.
Giúp học sinh nắm vững các kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản của chƣơng
trình là một trong những nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu của giáo dục Toán học trong
nhà trƣờng.
Tri thức đóng vai trị cơ sở của giáo dục vì không thể thực hiện tốt việc rèn
luyện kỹ năng, phát triển năng lực trí tuệ, trau dồi các phẩm chất nhân cách cho học
sinh nếu nhƣ không làm cho họ nắm vững các kiến thức cơ bản.
Cùng với vai trò cơ sở của tri thức thì kỹ năng cũng đóng vai trị rất quan trọng
vì mơn Tốn đƣợc coi là môn học công cụ trong nhà trƣờng, muốn nắm đƣợc công cụ
cần phải tăng cƣờng luyện tập tri thức và rèn luyện kỹ năng.
Nhƣ vậy chúng ta thấy rằng, giúp học sinh nắm vững các kiến thức và kỹ năng
toán học cơ bản không những là nhiệm vụ quan trọng mà còn là cơ sở cần thiết để
thực hiện tốt tồn diện các nhiệm vụ khác của giáo dục Tốn học trong nhà trƣờng.
Vì vậy, mọi hoạt động dạy học, ở tất cả các nội dung, trƣớc hết phải chú ý làm cho
học sinh nắm chắc các kiến thức và kỹ nãng cõ bản.
II.1.3. Các bài tốn có chứa nội dung gắn với những mơn học trong trƣờng

phổ thơng, có liên hệ với đời sống thực tế.
Việc tăng cƣờng rèn luyện và bồi dƣỡng ý thức ứng dụng Toán học cho học
sinh đƣợc thực hiện chủ yếu thông qua các bài tập có nội dung thực tiễn. Qua các bài
tập này, học sinh đƣợc luyện tập sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để giải
quyết bài toán thực tiễn trong đời sống và trong lao động sản xuất. Để đảm bảo tính
khả thi và tính hiệu quả, những tình huống này phải đơn giản, gần gũi, quen thuộc với
học sinh.Vì vậy, khi xây dựng hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn cần phải
chọn lọc các bài tốn là những tình huống sát với sách giáo khoa hay những tình
9


huống sát với đời sống lao động và sản xuất của học sinh. Những tình huống đó phải
là những tình huống xuất hiện trong thực tế.
Sự đa dạng về nội dung của hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn đƣợc thể
hiện ở sự đa dạng các tình huống, phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất đời sống
phản ánh trong hệ thống các bài tập. Sự đa dạng đó làm cho học sinh thấy đƣợc ứng
dụng rộng rãi và sâu sắc của các bài tập có nội dung thực tiễn trong nhiều lĩnh vực
khác nhau để làm nổi bật ứng dụng của Toán học.
II.1.4. Hệ thống bài tập đƣợc chọn lựa vừa sức cả về số lƣợng và độ khó để
có thể sử dụng trong dạy học
Tính hiệu quả của việc xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong
dạy học Tốn đƣợc hiểu là sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo trong việc giải
các bài tập có nội dung thực tiễn của học sinh, hình thành và phát triển cho họ thói
quen và hứng thú vận dụng kiến thức Tốn học vào các tình huống học tập, lao động
sản xuất và trong đời sống.
Để đạt đƣợc hiệu quả này, cần chú ý đến không chỉ nội dung, số lƣợng mà cả
mức độ khó của các bài tập, đồng thời có những biện pháp sử dụng hệ thống bài tập
một cách hợp lý trong thực tế giảng dạy ở trƣờng THPT. Đây chính là một trong
những điều kiện để có thể đƣợc tính khả thi của hệ thống bài tập.Vì vậy, hệ thống bài
tập có nội dung thực tiễn cần phải đƣợc tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số

lƣợng và nội dung.
Các bài tốn có nội dung thực tiễn cần đƣợc sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản
đến phức tạp, nhất là những bài tốn có nội dung thực tiễn đầu tiên ngƣời học tự
mình giải đƣợc một bài tập có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngƣợc lại, việc thất bại
ngay từ bài tập đầu tiên dễ làm cho học sinh mất hứng thú, sẽ gây tâm lý bất lợi cho
quá trình luyện tập tiếp theo. Sự thành công ở những bài tập đầu tiên tạo cho học sinh
thêm tự tin phấn khởi hào hứng thực hiện những yêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết
quả cao hơn. Chính vì vây, hệ thống bài tập phải đƣợc chọn lựa một cách thận trọng
và phù hợp mới đem lại hiệu quả cao trong quá trình thực hiện.
II.2. CÁC DẠNG BÀI TỐN CỤ THỂ
II.2.1. Bài toán gửi lãi suất ngân hàng
Dạng 1: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất r % mỗi tháng theo
hình thức lãi kép. Gửi theo hình thức khơng kì hạn. Tính số tiền lãi thu đƣợc sau
n tháng.
Lời giải tổng quát:
Cuối tháng thứ nhất số tiền trong tài khoản là: A1  a  a.r %  a 1  r %  .
Cuối tháng thứ hai số tiền trong tài khoản là:
A2  a 1  r %   a 1  r %  .r %  a 1  r % 

2

…
10

.


Cuối tháng thứ n số tiền trong tài khoản là:

An  a 1  r % 

n

.

Số tiền thu đƣợc sau n tháng là: a 1  r % n  a
Ví dụ 1: Ơng A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép kì hạn 1
năm với lãi suất 7, 65% / năm Gĩa sử lãi suất khơng đổi. Hỏi sau 5 năm Ơng A thu đƣợc
cả vốn và lãi là bao nhiêu triệu đồng.
A. 15.  0, 07655 triệu đồng.
B. 15. 1  2.  0, 0765  5 triệu đồng.
C. 15. 1  0, 765 5 triệu đồng. D. 15. 1  0, 07655 triệu đồng.
Trích đề thi thử – THPT Nguyễn Tất Thành Hà Nội.
Lời giải
Đáp án D
Áp dụng công thức trên ta có:
Số tiền Ơng A thu đƣợc cả vốn và lãi sau 5 năm là:
5

5
 7, 65 
A5  15 1 
  15. 1  0, 0765  .
100 


Dạng 2: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất x%  r mỗi tháng
theo hình thức lãi kép. Gửi theo hình thức có kì hạn m tháng. Tính số tiền cả gốc
và lãi thu đƣợc sau n kì hạn.
Chú ý: Ở dạng này, lãi suất sẽ khơng đƣợc cộng dồn từng tháng để tính lãi

cho tháng tiếp theo trong một kì hạn. Chỉ đƣợc cộng dồn khi hết kì hạn gửi mà
ngƣời gửi khơng lĩnh tiền thi ngân hàng sẽ tự động gia hạn với một kì mới bằng kì
hạn bằng với kì hạn mà ngƣời gửi gia hạn.
Từ “Chú ý ” ở trên ta thấy đƣa về môt ghi nhớ quan trọng: Trong cùng một kì
hạn, lãi suất sẽ giống nhau mà khơng đƣợc cộng vào vốn để tính lãi kép. Ví dụ kì hạn
là 3 tháng thì lãi suất tháng 1 là ar tháng 2 là ar tháng 3 là ar , sau hết kì hạn 3 tháng
mà khơng rút thì số tiền lãi một kì hạn sẽ đƣợc cộng dồn vào tiền gốc.
Lời giải tổng quát:
Cuối tháng thứ nhất số tiền trong tài khoản là: A1  a  a.m r  a 1  rm  .
Cuối tháng thứ hai số tiền trong tài khoản là:

A2  a 1  mr   a 1  mr  .mr  a 1  mr 

2

.

…..
Cuối tháng thứ n số tiền trong tài khoản là:

An  a 1  mr 

n

.

Ví dụ 2: Một ngƣời có 10 triệu đồng gửi vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng( 1
quý là 3 tháng ), lãi suất 6% / 1 quý theo hình thức lãi kép.( sau 3 tháng sẽ tính lãi cộng
vào gốc). Sau đúng 3 tháng ngƣời đó gửi thêm vào 20 triệu đồng cũng với hình thức
lãi suất nhƣ vậy. Hỏi sau 1 năm, tính từ lần gửi đầu tiên, ngƣời đó nhận đƣợc số tiền

gần nhất với kết quả nào?
A.

35 triệu.

B.

37 triệu.

C.

Lời giải
Đáp án C
11

36 triệu.

D.

38 triệu


Sau quý 1 số tiền trong tài khoản của ngƣời đó là:
10. 1  6%   20  30, 6 triệu đồng ( Do ngƣời đó gửi thêm vào

20

triệu đồng).

Sau quý 2 số tiền trong tài khoản của ngƣời đó là:

30, 6  30, 6.6%  30, 6. 1  6%  triệu đồng

Số tiền thu đƣợc sau 1 năm là:

30, 6 1  6%   36, 445 triệu
3

đồng.

Trên đây là bài tốn có kì hạn mà ngƣời gửi rút ra đúng kỳ hạn, vậy nếu rút
ra không đúng kì hạn thì sẽ ra sao?Theo quy ƣớc của ngân hàng thì “ Nếu ngƣời
gửi rút tiền trƣớc kì hạn trƣớc ngày đến hạn ) dù chỉ một ngày thì tồn bộ tiền lãi
của ngƣời gủi sẽ quy về lãi suất khơng kì hạn với số tiền lãi rất ít thƣờng là  1% .
Ta đến với ví dụ tiếp theo:
Ví dụ 3: Một bác nơng dân vừa bán một con trâu đƣợc số tiền là 20.000.000
đồng. Do chƣa cần dùng đến tiền nên bác nơng dân mang tồn bộ số tiền đó đi gửi
tiết kiệm ngân hàng với kỳ hạn 6 tháng với lãi suất kép 8, 5% / 1 năm theo hình thức lãi
kép. Hỏi sau 5 năm, 8 tháng bác nông dân nhận đƣợc bao nhiêu tiền kể cả gốc và lãi
(làm tròn đến hàng đơn vị). Biết rằng bác nơng dân đó khơng rút vón cũng nhƣ lãi
suất trong tất cả các định kì trƣớc và nếu rút trƣớc thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất
theo khơng kì hạn 0, 01% / 1 ngày( 1 tháng tính 30 ngày)?
A.

31803311 .

B.

32833110 .

C.

33083311 .

D.

30803311 triệu

(Trích đề thi thử – THPT Chuyên Trần Phú –Hải Phòng Lần 2).
Lời giải
Đáp án C
Một kỳ hạn có 6 tháng, mà một năm có
suất một kì hạn là: 8,5%  4, 25% .

12

tháng với lãi suất

8, 5% / 1 năm,

Do vậy lãi

2

năm, 8 tháng = 5 năm, 6 tháng + 2 tháng =11 kì hạn + 2 tháng.
Vậy sau 11 kì hạn thì số tiền ngƣời đó nhận đƣợc là: A  20.000.000 1  4, 25% 11
Vì ngƣời đó rút khi chƣa hết kì hạn thứ 12 , Do vậy 2 tháng khơng cịn kì hạn sẽ tính
theo lãi suất khơng kì hạn 0, 01% / 1 ngày, do vậy kết thúc kì hạn số tiền bác nơng dân
nhận đƣợc là: B  A. 1  0, 01% 60  31803310.72 .
Dạng 3: Mỗi tháng đều gửi vào ngân hàng số tiền a đồng theo thể thức lãi
kép với lãi suất x %  r mỗi tháng. Tính số tiền thu đƣợc sau n tháng.

Lời giải tổng quát
Cuối tháng thứ nhất số tiền nhận đƣợc là: A1  a  a.r  a 1  r  .
Cuối tháng thứ hai số tiền nhận đƣợc là: A2   a 1  r   a  1  r   a 1  r 2  a 1  r  .
….
Cuối tháng thứ n số tiền nhận đƣợc là:
5

12


An  a 1  r   a 1  r 
n

 a 1  r 

1  r 

n

n 1



 ...  a 1  r  .  a 1  r  1  r 

n 1

 1  r 

n2



 ...  1

1

r

Giải thích các bƣớc rút gọn ở trên là:
1  x  x 2  ...  x k  S  xS  x  x 2  x 3 ...  x k 1   x  1 S  x k 1  1  S 

Với

x  r  1; k  n  1

ta có: 1  r   1  r 
n 1

n2

1  r 
 ...  1 

n

x k 1  1
x 1

1

r

Ví dụ 4: Một ngƣời gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép nhƣ sau: Mổi tháng
ngƣời đó tiết kiệm một số tiền cố định là a đồng rồi gửi vào ngân hàng theo kì hạn
một tháng với lãi suất 0, 6% / tháng. Tìm a để sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên
ngƣời đó có tổng số tiền là 400 triệu đồng.( Biết rằng lãi suất không đổi trong suốt
thời gian gửi).
A. a  9.799.882 đồng.
B. a  9.292.288 đồng.
C. a  9.729.288 đồng.
D. a  9.927.882 đồng.
Lời giải
Đáp án D
Áp dụng cơng thức trên ta có:
Sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên số tiền nhận đƣợc là
A  a 1  0, 6% 

1  0, 6% 
.
0, 6%

36

1

 40.000.000  a  9.027.882

đồng.

Ví dụ 5: Ơng An gửi gói tiết kiệm tích lũy cho con tại một ngân hàng với số
tiền tiết kiệm ban đầu là: 200.000.000VNĐ với lãi suất 7% / năm. Từ năm thứ hai trờ đi,
mổi một năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền là 20.000.000VNĐ .Ơng khơng đi
rút lãi định kì hàng năm. Biết rằng lãi suất định kì hàng năm khơng đổi. Hỏi sau 18
năm số tiền ông An nhận đƣợc cả gốc và lãi là bao nhiêu?
A. 1.335.967.000VNĐ .

B. 1.686.898.000VNĐ .

C.

D.

743.585.000VNĐ .

739.163.000VNĐ .

Phân tích: Đây là bài tốn khác với bài tốn trên, bởi ban đầu ông đã sẵn
vốn trong tài khoản, do vậy ta thử làm bài toán này dƣới dạng xây dựng mô hnh
công thức nhƣ dƣới lời giải sau
Lời giải
Đáp án A
Sau năm thứ nhất số tiền mà ông An nhận đƣợc là: 200 1  7%   214 triệu đồng.
Đầu năm thứ hai, ông An gửi vào 20 triệu đồng, nên cuối năm thứ hai ông An nhận
đƣợc số tiền là  214  20 1  7%  triệu đồng.
Đầu năm thứ ba, ông An gửi vào 20 triệu đồng, nên cuối năm thứ ba ông An nhận đƣợc
số tiền là  214  20 1  7%   20 1  7%    214  20 1  7% 2  20 1  7%  triệu đồng.
13

Đầu năm thứ tƣ, ông An gửi vào
đƣợc số tiền là

triệu đồng, nên cuối năm thứ tƣ ông An nhận

20

 214  201  7%  20 1  7%  20 1  7%   214  201  7%  20 1  7%  20 1  7%
2

3

2

triệu đồng.

…
Sau 18 năm, số tiền ông An nhận đƣợc là:



A   214  20 1  7%   20 1  7%  1  1  7%   1  7%   ...  1  7% 
17

  214  20 1  7%   20 1  7% 
17

2

1  7% 

16

1

7%

15



 1335.967105

Đến đây ta có cơng thức tổng qt cho bài tốn “ Vốn có A đồng, bắt đầu từ tháng
thứ nhất mổi tháng gửi thêm a đồng với lãi suất r % thì sau n tháng số tiền thu đƣợc sẽ
là:
S   A  a 1  r %   a 1  r % 
n

1  r % 

n 1

1

r%

II.2.2. Bài toán vay lãi suất ngân hàng và Bài tốn mua trả góp
Dạng 4: Vay a đồng từ ngân hàng với lãi suất x %  r mỗi tháng. Hỏi hàng
tháng phải trả bao nhiêu để sau n tháng hết nợ.(Trả tiền vào cuối tháng).

Lời giải tổng quát
Cuối tháng thứ nhất số tiền ngƣời đó còn nợ là: N1  A 1  r   a .
Cuối tháng thứ hai số tiền ngƣời đó còn nợ là:
N 2  N1 1  r   a  A 1  r   a 1  r   a .
2

Cuối tháng thứ ba số tiền ngƣời đó cịn nợ là:
N3  N 2 1  r   a  A 1  r   a 1  r   a 1  r   a .
3

2

……
Cuối tháng thứ n số tiền ngƣời đó cịn nợ là:



N n  A 1  r   a 1  1  r   1  r   ...  1  r 
n

2

n 1

  A 1  r 

n

1  r 
a

r

n

1

.

Để hết nợ sau n tháng thì số tiền còn nợ sau n tháng bằng 0 tức là ta giải phƣơng trình
n
n
1  r  1
A 1  r  .r

n
( Số tiền phải trả hàng tháng).
A 1  r   a
0a
n
r
1  r   1
Ví dụ 6: Chị Minh vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phƣơng thức trả góp để
mua nhà. Nếu cuối mổi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất chị Minh trả 5, 5 triệu đồng
và chịu lãi số tiền chƣa trả là 0, 5% mổi tháng. (Biết rằng lãi suất khơng đổi ) thì sau
bao lâu, chị Minh trả hết số tiền trên.
A. 64 tháng
B. 64 tháng
C. 64 tháng.
D. 64 tháng.
(Trích đề thi thử SởGD&ĐT Bắc Ninh).

Áp dụng cơng thức vừa thiết lập ở bài tốn tổng qt thì ta có phƣơng trình:
14


300 1  0,5%   5,5
n

 n  log1,005

1  0,5% 

n

1

0,5%

 0  300.1, 005n  1100. 1, 005 n  1  0

.

11
 63,84984073
8

Lời giải
Đáp án A
Áp dụng cơng thức vừa thiết lập ở bài tốn tổng qt thì ta có phƣơng trình:
300 1  0,5% 

n

1  0,5% 
 5,5

n

0,5%

1

 0  300.1, 005n  1100. 1, 005 n  1  0

.

11
 n  log1,005  63,84984073
8

Ví dụ 7: Ơng A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12% / năm.
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kễ từ ngày vay ơng
bát đầu hồn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn nợ
ở mổi lần là nhƣ nhau và trả hết nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách
đó, số tiền m mà ơng A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mổi lần hồn nợ là bao nhiêu?
(Biết rằng lãi suất khơng đổi trong thời gian ơng A hồn nợ)
3
3
100. 1, 01
A. m 
triệu đồng. B. m  1, 013 triệu đồng.

3
1, 01  1
3
120. 1,12 
100.1,
03
C. m 
triệu đồng.
D. m 
triệu đồng.
3
3
1,12   1
(Trích đề minh họa lần 1 mơn Tốn của BGD&ĐT.)
Lời giải
Đáp án B
Lãi suất 12% / năm = 1% / tháng.
Áp dụng công thức vừa thiết lập ở bài tốn tổng qt thì mổi tháng số tiền m mà ông
A sẽ phải trả là
n
3
3
A 1  r  .r
100 1  0, 01 .0, 01
1, 01

.
m
m


n
3
3
1  r   1
1  0, 01  1
1, 01  1
II.2.3. Ứng dụng trong đời sống xã hội:
Theo nghiên cứu thì hằng năm dân số thế giới tăng theo hàm mũ theo thời gian
có dạng nhƣ sau: P  t   P  0  .ekt trong đó P  0  là dân số tại thời điểm chọn làm mốc,
P  t  là dân số thế giới sau t năm, và k là hệ số đƣợc xác định theo từng khoảng thời
gian.
Ví dụ 8: Dân số thế giới đƣợc ƣớc tính theo cơng thức S  A.er . N trong đó: A là
dân số của năm lấy mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỷ lệ tăng dân số hằng năm.
Cho biết năm 2001, dân số Việt Nam có khoảng 78.685.000 ngƣời và tỷ lệ tăng dân số
hằng năm là 1, 7 % một năm. Nhƣ vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm khơng đổi thì
đến năm nào dân số nƣớc ta ở mức khoảng 120 triệu ngƣời?
A. 2020 .
B. 2024 .
C. 2026 .
D. 2022
Trích đề thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội.
Lời giải:
15


Áp dụng cơng thức đã cho thì ta có 12000000  78685000.e1,7
 e1,7

0

0. N



0

0. N

12000000
 12000000 
 1, 7 0 0 .N  ln 

78685000
 78685000 

 12000000 
ln 

78685000 
N 
 24,825835545  25 .
1, 7 0 0

Nhƣ vậy sau 25 năm, tức là năm 2026 thì dân số nƣớc ta ở mức khoảng 120 triệu
ngƣời.
Lƣu ý: Hàm số tính độ gia tăng dân số thế giới trên càng về sau có độ chính
xác khơng nhiều nên để dự đoán các năm tiếp theo, ta cập nhập lại mốc thời gian
và tính tốn. Các hàm mũ và logarit thể hiện một cách rất rõ ràng mức độ biến
thiên của các đại lƣợng đặc trƣng tƣơng ứng trong từng dạng.
II.2.4. Ứng dụng trong khoa học kĩ thuật:

Trong vật lý, khái niệm nghiên cứu phóng xạ rất quen thuộc và trở thành ngành
đóng vai trị quan trọng trong sự phát triển của thế giới các năm trở lại đây. Trong
chƣơng trình Vật lý lớp 12, chúng ta cũng đã làm quen với dạng tốn về phóng xạ,
bài tốn xác định tuổi gỗ, xác định thời gian tồn tại,…
Bài toán thƣờng gặp nhƣ sau:
Giả sử tại thời điểm đầu, một loại chất phóng xạ có khối lƣợng m0 thì cơng thức để
tính khối lƣợng chất phóng xạ cịn lại sau thời gian t là m  t   m0 .e kt với k gọi là hằng
số phóng xạ phụ thuộc vào từng loại chất.
Chu kì bán rã là khoảng thời gian mà chất phóng xạ chỉ cịn lại một nửa lƣợng chất
ban đầu đƣợc tính bằng cơng thức: T  ln 2 .
k

Ví dụ 9: Bom nguyên tử là loại bom chứa Uranium-235 đƣợc phát nổ khi ghép
các khối Uranium-235 thành một khối chứa 50kg tinh khiết. Uranium-235 có chu kì
bán rã là 704 triệu năm. Nếu quả bom ban đầu chứa 64kg Uranium-235 tinh khiết và
sau t triệu năm thì quả bom khơng thể phát nổ. Khi đó t thỏa mãn phƣơng trình:
t

A.

t

50  1  704
  .
64  2 

B.

64  1  704
  .

50  2 

C.

t
64
  2  704 .
50

D.

t
50
  2  704 .
64

Lời giải:
Ở đây, sau t triệu năm quả bom không thể phát nổ, tức là trong khoảng thời
gian t triệu năm đó quả bom khơng nổ, quả bom nổ vào năm thứ t triệu tính từ thời
điểm ban đầu.
Do chu kỳ bán rã của Uranium-235 là 704 triệu năm nên ta có: 704  ln 2  k  ln 2
k

704

Sau t triệu năm quả bom không phát nổ nên
64.e



ln 2
t
704

 50  e



ln 2
t
704

t

t
50
50
50  1  704


  e ln 2  704 
  .
64
64
64  2 

Ví dụ 10: Ngƣời ta tìm đƣợc mẫu đồ cổ một lƣợng Cacbon và xác định đƣợc
nó mất 25% lƣợng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó bao nhiêu tuổi, biết chu
kỳ bán rã của 14C là 5730 năm.
A. 2378 năm.

B. 11460 năm.
C. 2371 năm.
D. 11461 năm
Lời giải:
16


Giả sử tại thời điểm ban đầu thì mẫu đồ cổ có chứa lƣợng Cacbon là m0 và tại thời
điểm t ( tính từ thời điểm ban đầu ), khối lƣợng đó là m  t  thì ta có:
m  t   m0 .e



ln 2
t
5370

 75 0 0 m0  m0 .e

3
ln   .5370
4
t   
 2378
 ln 2



ln 2
t

5370



ln 2

t
3
 m0 .e 5370
4

năm.

II.2.5. Ứng dụng khác:
a. Trong đời sống, một loại logarit đƣợc ứng dụng rất nhiều đó là logarit
nhị phân (logarit với cơ số 2). Trong tin học, hệ nhị phân đƣợc dùng xuyên suốt
trong tất cả các nội dung lý thuyết và ứng dụng. Những bài tốn có độ phức tạp
đƣợc đánh giá theo đại lƣợng là Big – O thƣờng có giá trị là log 2 n .
b. Bài toán vật lý về chu kỳ bán rã cũng xuất hiện dạng loagarit này.
Ví dụ 11: Trong tin học, độ hiệu quả của một thuật toán tỉ lệ thuận với thời
gian thực thi chƣơng trình tƣơng ứng và đƣợc tính theo cơng thức E  n  

n
với n
P n

là số lƣợng dự liệu đƣa vào và P  n  là độ phức tạp của thuật toán ứng với giá trị n .
Biết rằng một thuật tốn có độ phức tạp là P  n   log 2 n và khi n  300 thì để chạy nó,
máy tính mất 0, 02 giây. Hỏi khi n  90000 thì phải mất bao lâu để thực thi chƣơng
trình tƣơng ứng?

A. 3 giây.
B. 2 giây.
C. 1 giây.
D. 0, 06 giây
Phân tích
+/Thời gian tỉ lệ thuận với độ hiệu quả.
+/Cho thời gian khi n  300 , tính thời gian khi n  90000 . Vậy ta dùng biểu thức
tỉ lệ, từ đó tìm ra thời gian chạy khi n  90000 .
Lời giải:
300

 E  300   log 300
E  90000 
2
Ta có 

 150 (*)
E  300 
 E  90000   90000  300.300  150. 300

log 2 90000 2 log 2 300
log 2 300

Vì độ hiệu quả của thuật toán tỉ lệ thuận với thời gian thực thi chƣơng trình, nên ta
có:
E  90000 
t
t
(*)



150 
 t  150.0, 02  3
E  300 
0, 02
0, 02

giây

Ví dụ 12: Cƣờng độ động đất M ( Richter ) đƣợc cho bởi công thức
M  log A  log A0 với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là biên độ chuẩn ( hằng số).
Ngày 06 / 02 / 2023 tại Thổ-Nhĩ -Kỳ một trận động đất có cƣờng độ 7,8 độ Richter .
Ngày 03 / 03 / 2023 tại Lai Châu -Việt Nam xẩy ra trận động đất có cƣờng độ 4, 4 độ
Richter . Trận động đất ở Thổ - Nhĩ - Kỳ có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận
động đất ở Lai Châu?
17


A.

39
lần.
22

C. 107,8 104,4 lần.

B. 3, 4 lần.

D. 103,4 lần.

(Trích đề thi thử lần 1 Thanh Chƣơng 1 năm 2023 ,câu 45 ,mã đề 115)
Lời giải:
A1
A
 7,8  1  107,8
A0
A0
A
A
Cƣờng độ động đất ở Lai Châu là: M  log A2  log A0  log 2  4, 4  2  104,4
A0
A0

Cƣờng độ động đất ở Thổ-Nhĩ -Kỳ là: M  log A1  log A0  log

Từ (*) và (2*), suy ra :

A1 107,7

 103,4 lần.
A2 104,4

Ví dụ 13: Cƣờng độ của ánh sáng đi qua một mơi trƣờng khơng khí, chẳng hạn
nƣớc, sƣơng mù,… sẽ giảm dần tùy theo mức độ đày của môi trƣờng và một hằng số
x
với
 gọi là khả năng hấp thu tùy thuộc môi trƣờng theo công thức nhƣ sau: I  I 0 .e
x là độ dày của mơi trƣờng đó, với x tính bằng mét. Biết rằng mơi trƣờng nƣớc biển
có   1, 4 . Hãy tính xem cƣờng độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần từ độ sâu 2m
xuống đến độ sau 20m ?

A. e25,2 .
B. e25,2 .
C. e12,6 .
D. e12,6 .
Phân tích:
Đây là bài tốn u cầu tìm tỉ lệ giữa cƣờng độ ánh sáng giữa hai độ sâu. Sau đó kiểm
tra cách rút gọn biểu thức lũy thừa.
Lời giải:
Ở độ sâu 2m thì cƣờng độ ánh sáng là I1  I 0 .e  2
Ở độ sâu 20m thì cƣờng độ ánh sáng là I 2  I 0 .e  20 .
Khi đó ta có tỉ số

I1
e 2 
e 2 
1
 20  
 18   e18   e 25,2 .
10

2

I2 e
e  e

Cũng với bài tốn nhƣ ở ví dụ 3, thì ta có bài tốn ngƣợc nhƣ sau để kiểm
tra cách giải phƣơng trình mũ.
Ví dụ 14: Cƣờng độ của ánh sáng đi qua một mơi trƣờng khơng khí, chẳng hạn
nƣớc, sƣơng mù,… sẽ giảm dần tùy theo mức độ đày của môi trƣờng và một hằng số
x

với
 gọi là khả năng hấp thu tùy thuộc môi trƣờng theo công thức nhƣ sau: I  I 0 .e
x là độ dày của mơi trƣờng đó, với x tính bằng mét. Biết rằng môi trƣờng nƣớc biển
cƣờng độ ánh sáng giảm đi e25,2 lần từ độ sâu 2m xuống đến độ sau 20m, tìm hằng số
 là khả năng hấp thu ánh sáng trong mơi trƣờng nƣớc biển?
Lời giải:
Từ ví dụ 3, ta có phƣơng trình sau: e18   e25,2    1, 4 .
Ngồi các bài tốn trên, ta có một số bài tốn đơn giản ứng dụng khác của
hàm số mũ và hàm số logarit nhƣ sau:
Ví dụ 15: Chi phí tổng cộng của một cơng ty đƣợc tính nhƣ sau
C  t   90  50e  t (tỉ VNĐ) với t là thời gian tính bằng số năm kể từ khi cơng ty thành
lập. Chi phí cơng ty đã chi ra sau 10 năm xấp xỉ:
18


A. 89 tỉ VNĐ.
B. 90 tỉ VNĐ.
C. 1101233 tỉ VNĐ.
D. 1101232 tỉ VNĐ.
Lời giải:
Đây là bài toán khá đơn giản khi ta chỉ cần thay số vào.
Chi phí cơng ty phải chi ra trong 10 năm là:
C 10   90  50e10  90

Ví dụ 16: Một nghiên cứu đã cho thấy một nhóm học sinh đƣợc cho xem cùng
một danh sách các loài động vật và đƣợc kiểm tra lại xem học nhớ bao nhiêu % mỗi
tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đƣợc tính theo cơng
thức M  t   75  20.ln  t  1 , t  0  0 0  . Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ
danh sách đó là dƣới 10%?
A. 24 tháng.

B. 25 tháng.
C. 23 tháng.
D. 22 tháng.
Phân tích: Bài tốn là ứng dụng của giải phƣơng trình logarit.
Lời giải:
13
Ta có 75  20.ln  t  1  10  20.ln  t  1  65  ln  t  1  13  t  e 4  1  24, 79 tháng.
4

Bài toán tiếp theo đưa ra hàm số trong đó chứa các hàm số mũ tự nhiên. Trong ví dụ
này, ta cần chú ý cách giải phương trình mũ, chú ý tính chất
e a  eb  a  b

Ví dụ 17 : Một thành phố có các đƣờng dây điện đƣợc treo giữa các cột điện
liên tiếp cách nhau 60 ( đơn vị) ở bên đƣờng, đoạn dây giữa hai cột điện tạo nên một
đƣờng cong thƣờng đƣợc gọi là các mắt xích nối nhau. Khi đó, giả sử đồ thị hàm số
x

 x

y  30  e 60  e 60  ,  30  x  30 



là đồ thị của đƣờng cong dây điện (mắt xích) giữa hai

cột điện. Biết rằng khoảng cách giữa điểm thấp nhất trên mắt xích và trung điểm của
đoạn thẳng nối hai đỉnh của cột điện đƣợc gọi là độ trùng của dây điện ( nếu độ trùng
dây vƣợt quá 8 đơn vị thì sẽ vƣợt ra khỏi ngƣỡng an tồn). Hỏi ở thành phố này độ
trùng của dây là bao nhiêu đơn vị độ dài?

A. 7, 7 đơn vị.
B. 7 đơn vị.
C. 8 đơn vị.
D. 8, 7 đơn vị.
Lời giải:
Bài toán là sự kết hợp kiểm tra giữa khảo sát hàm số, tìm GTNN của hàm số,
kiểm tra các tính chất của hàm số mũ. Để tính đƣợc độ trùng của dây thì ta tìm tọa độ
điểm thấp nhất trên đồ thị hàm số trong đoạn  30;30 .
P
N
N
Gắn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ bên.
M
M


Ta có y '  30  1 e  1 e
x
60

 60

x

y '  0  e 60  e



x
60

x

60

60

0

 1
  e e
 2
x
60

x

60

x
x

 x0
60
60
y  30.  e0  e0   60

Nhận xét, khi x  0 thì
Kí hiệu nhƣ hình vẽ ta có:





M

M

M

M

O

(đơn vị).

N
M
M

Tung độ của điểm P bằng với tung độ của điểm
của N .
19

M,N .

x
N
M
M

Do vậy ta chỉ cần tìm tung độ


Mặt khác



N

x

nằm trên đồ thị hàm số y  30  e 60  e



x
60



30

 30

yN  y  30   30  e 60  e 60   67, 7



Vậy độ trùng dây điện là


 ,  30  x  30  ,


do vậy

(đơn vị)

67, 7  60  7, 7 (đơn

vị).

II.2.6. Hệ thống bài tập thực tiễn tự luyện dành cho học sinh.
Dạng 1: Bài tốn lãi suất
Câu 1. Ơng B gửi vào ngân hàng số tiền là 120 triệu đồng với lãi suất định kỳ hàng
năm là 12%/ năm. Nếu sau mỗi năm, ông khơng đến ngân hàng lấy lãi thì tiền
lãi sẽ cộng dồn vào vốn ban đầu. Hỏi đúng sau 12 năm kể từ ngày gửi, số tiền
lãi L (không kể vốn) ông sẽ nhận đƣợc là bao nhiêu? ( Giả sử trong thời gian
đó, lãi suất ngân hàng khơng thay đổi).
A. L  12.107 1,12 12  1 (VNĐ).
B. L  12.107 1,12 12  1 (VNĐ).
C.

L  12.107 1,12 

12

(VNĐ).

D. L  12.107 0,12 (VNĐ)

Câu 2. Một ngƣời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/ năm và lãi hàng năm đƣợc nhập
vào vốn, hỏi sau bao nhiêu tháng ngƣời đó thu đƣợc gấp đôi số tiền ban đầu
(lấy giá trị quy tròn).
A.

96 .

B.

97 .

C.

98 .

D.

99

Câu 3. Anh Phúc đầu tƣ 100 triệu đồng vào một công ty theo thể thức lãi kép với lãi
suất 15%/năm. Giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi. Hỏi sau 3 năm, số tiền
lãi của anh Phúc gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.

52,1

triệu.

B. 152,1 triệu.

C.

4, 6

triệu.

D. 104, 6 triệu.

Câu 4. Một ngƣời gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép nhƣ sau: Mỗi tháng ngƣời này
tiết kiệm một số tiền cố định là a đồng rồi gửi vào ngân hàng theo kì hạn một
tháng với lãi suất 0,6%/ tháng. Tìm a để sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên
ngƣời đó có đƣợc số tiền là 400 triệu đồng. ( Biết rằng lăi suất không đổi trong
suốt thời gian gửi).
A.

a  9.799.882

đồng.

B.

a  9.292.288

đồng.

C.

a  9.729.288

đồng.

D.

a  9.927.882

đồng.

Câu 5. Một bà mẹ Việt Nam anh hùng đƣợc hƣởng số tiền là 4 triệu đồng trên một
tháng ( chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1
năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và đƣợc tính lãi suất 1%
trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền ( gồm số
tiền của tháng 12 và số tiền gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu
tiền? (Kết quả làm t n theo đơn vị nghìn đồng).
A. 50 triệu 730 nghìn đồng.

B. 53 triệu 760 nghìn đồng.

C. 50 triệu 640 nghìn đồng.

D. 48 triệu 480 nghìn đồng.
20