(Skkn 2023) góp phần hình thành một số năng lực tư duy toán học cho học sinh trường thpt tương dương 1 thông qua dạy học chủ đề khoảng cách trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 1
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

GĨP PHẦN HÌNH THÀNH MỘT SỐ
NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 1 THÔNG QUA
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
LĨNH VỰC: TỐN HỌC

Tác giả: Hồng Đăng Tùng
Tổ chun mơn: Tốn Tin
Số điện thoại: 0915.420.680
Năm học: 2022 - 2023

Tương Dương, tháng 04 năm 2023


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1

1.1. Lý do chọn đề tài

1

1.2. Tính mới và đóng góp của đề tài

2

1.3. Mục đích nghiên cứu

2

1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu

3

1.5. Đối tượng nghiên cứu

3

1.6. Phương pháp nghiên cứu

3

PHẦN II. NỘI DUNG

4

2.1. Cơ sở lí luận

4

2.1.1. Năng lực

4

2.1.2. Năng lực tốn học

4

2.1.2.1. Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học

4

2.1.2.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực toán học của học sinh THPT

4

2.1.3. Năng lực tư duy và lập luận toán học

4

2.1.3.1. Khái niệm tư duy

4

2.1.3.2. Các thao tác của tư duy

5

2.1.3.3. Năng lực tư duy

6

2.1.3.4. Năng lực tư duy toán học

6

2.1.3.5. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học

6

2.2. Cơ sở thực tiễn

6

2.2.1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên

6

2.2.2. Thực trạng học tập của học sinh

7

2.3. Cơ sở lí thuyết về khoảng cách trong hình học không gian

7

2.3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

7

2.3.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

8

2.3.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

8

2.3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

8

2.4. Giải pháp và tổ chức thực hiện

9

2.4.1. Bồi dưỡng cho học sinh kiến thức cơ bản về khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng trong hình học khơng gian

9


2.4.1.1. Thiết kế hoạt động khởi động nhằm kích thích tính tị mị, tạo
hứng thú tiếp cận và học tập cho học sinh

11

2.4.1.2. Thiết kế hoạt động hình thành, củng cố khái về khoảng cách từ

một điểm đến một mặt phẳng theo từng bước hoạt động nhận thức

13

2.4.2. Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh khả năng nhận dạng bài toán
và lựa chọn cách giải tối ưu phù hợp với học sinh

15

2.4.2.1. Phân loại bài tốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng thành các dạng từ dễ đến khó

15

2.4.2.2. Sử dụng cơng cụ là bài tốn khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng để giải quyết các bài tốn khoảng cách khác trong khơng gian

29

2.4.3. Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng tương tự hóa, khái qt
hóa thơng qua giải và xây dựng thuật tốn cho bài tốn về khoảng cách
trong hình học khơng gian

35

2.4.3.1. Thuật tốn cho bài tốn về khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng

36

2.4.3.2. Thuật toán cho bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nha

41

2.4.4. Tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực
tiễn, để HS rèn luyện tư duy và lập luận toán học qua các bài toán thực tế

44

2.5. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất

46

2.5.1. Mục đích khảo sát

46

2.5.2. Nội dung và phương pháp khảo sát

46

2.5.2.1. Nội dung khảo sát

46

2.5.2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá

46

2.5.3. Đối tượng khảo sát

47

2.5.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã
đề xuất

47

2.5.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất

47

2.5.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất

48

2.6. Thực nghiệm sư phạm

49

2.6.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm

49

2.6.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm

49

2.6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm

50


2.6.3.1. Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm

50

2.6.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm

50

2.6.3.3. Nội dung kiểm tra đánh giá

50

2.6.4. Đánh giá về kết quả thực nghiệm

51

2.6.4.1. Một số nhận xét chung

51

2.6.4.2. Phân tích định tính

51

2.6.4.3. Phân tích định lượng

52

PHẦN III. KẾT LUẬN

55

3.1. Kết luận

55

3.1.1. Tính mới của đề tài

55

3.1.2. Tính khoa học

56

3.1.3. Tính hiệu quả và phạm vi áp dụng

56

3.2. Một số kiến nghị và đề xuất

56

3.2.1. Đối với nhà trường

56

3.2.2. Đối với giáo viên

56

Tài liệu tham khảo
Phụ lục


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông 2018 và bộ mơn Tốn nói riêng là
giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ
năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành
nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa... Trong những năm gần đây, tốc
độ phát triển nhanh chóng của tri thức nhân loại và sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật,
đặc biệt là công nghệ thông tin làm cho mơ hình dạy học theo tiếp cận nội dung
khơng cịn phù hợp nữa. Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực của học sinh là
một bước ngoặt lớn đánh dấu sự chuyển mình mạnh mẽ về chất của ngành Giáo dục
và Đào tạo nước ta trong giai đoạn hiện nay. Mục tiêu dạy học chuyển từ việc chủ
yếu trang bị kiến thức sang hình thành, phát triển phẩm chất và năng lực người học.
Để thực hiện thành công Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam 2011-2020,
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ VIII
Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI đã thơng qua Đề án “Đổi mới căn bản,
tồn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong
điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”. Trong
Chương trình hành động của ngành Giáo dục, có những nội dung triển khai các dự
án, đề án về đổi mới phương pháp dạy học, hướng dẫn và thu hút nhiều học sinh
Trung học phổ thông nghiên cứu khoa học kỹ thuật, tổ chức nhiều “sân chơi” trí tuệ
cho học sinh.
Thực tế cho thấy có nhiều giáo viên vẫn nặng nề về truyền thụ kiến thức, chưa

hoặc ít sử dụng các phương pháp dạy học tích cực. Phần lớn học sinh mới chỉ giải
quyết trực tiếp các bài tập mà chưa khai thác được tiềm năng của bài tập đó. Học
sinh mới chỉ giải quyết vấn đề một cách rời rạc hầu như chưa xâu chuỗi chúng lại
với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn hơn. Do đó chưa phát triển được tư duy
sáng tạo cho học sinh. Vì vậy việc bồi dưỡng, rèn luyện các thao tác tư duy là việc
làm rất quan trọng với học sinh phổ thơng. Điều này giúp học sinh tích lũy được
nhiều kiến thức, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lơgic. Qua đó
từng bước hình thành và phát triển năng lực tư duy cho người học. Nói cách khác,
hệ thống giáo dục phải linh hoạt hơn, cần phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách
học, cách tư duy nói chung và tư duy Tốn học nói riêng, tạo điều kiện cho học sinh
có phương pháp tư duy tốt để các em có thể tiếp tục tự học suốt đời.
Trong chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng, Hình học khơng gian là
một trong những chủ đề khó nhưng lại ln có mặt trong các kỳ thi THPT Quốc gia
và các kì thi chọn học sinh giỏi. Đặc biệt bài tốn khoảng cách trong hình học khơng
gian lại gây nhiều khó khăn và lúng túng cho học sinh. Để học tốt chủ đề này học
sinh ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có thêm nhiều kỹ năng
giải tốn, có năng lực tư duy toán học. Ngược lại học sinh học tốt mơn tốn nói
chung chủ đề hình học khơng gian nói riêng thì sẽ góp phần phát triển năng lực tư
1


duy. Vì vậy, trong quá trình dạy học chủ đề khoảng cách giáo viên nếu biết cách
khai thác và vận dụng khéo léo các phương pháp dạy học tích cực kết hợp với việc
sử dụng hệ thống bài tập khoảng cách trong hình học khơng gian từ các bài tập đơn
giản thì khơng những giúp cho học sinh học tập có hiệu quả mà cịn tạo hứng thú
học tập góp phần quan trọng trong việc hình thành các năng lực tư duy toán học.
Trường THPT Tương Dương 1 là một trường ở huyện miền núi khó khăn với
hơn 80% học sinh người dân tộc thiểu số. Tại các kì thi THPT Quốc gia và các kì
thi chọn học sinh giỏi của học sinh trường THPT Tương Dương 1, phổ điểm của các
bài toán về khoảng cách và các bài toán có sử dụng khoảng cách trong hình học

khơng gian ln ở mức rất thấp. Đây cũng là điều trăn trở của các giáo viên dạy
Toán ở trường THPT Tương Dương 1 trong những năm qua.
Từ những lí do trên, tơi lựa chọn đề tài: “Góp phần hình thành một số năng
lực tư duy Toán học cho học sinh trường THPT Tương Dương 1 thông qua dạy
học chủ đề khoảng cách trong Hình học khơng gian”.
1.2. Tính mới và đóng góp của đề tài
Thứ nhất, đề tài đã trình bày cơ sở lí luận và thực tiễn về vấn đề góp phần hình
thành một số năng lực tư duy Tốn học cho học sinh trường THPT Tương Dương 1
thông qua dạy học chủ đề khoảng cách trong Hình học khơng gian.
Thứ hai, đề tài đã xây dựng được lớp bài toán và các định hướng xử lý bài
tốn định tính và định lượng về khoảng cách trong hình học khơng gian phù hợp với
học sinh trường THPT Tương Dương 1.
Thứ ba, đề tài đã xây dựng lớp các bài toán về ứng dụng bài toán liên quan
đến khoảng cách để xử lý các bài tốn hình học khơng gian phù hợp với học sinh
trường THPT Tương Dương 1.
Thứ tư, đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn, nâng cao kết
quả đại trà kì thi THPT Quốc gia và các kì thi chọn học sinh giỏi cho học sinh trường
THPT Tương Dương 1.
1.3. Mục đích nghiên cứu
"Các bài toán về khoảng cách" là một bài tập định lượng quan trọng và khó
của bộ mơn hình học khơng gian lớp 11. Khi chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm,
học sinh không đơn giản chỉ là "tô" vào một trong 4 đáp án, để có được câu trả lời,
bắt buộc học sinh vẫn phải thực hiện các khâu và các bước làm bài giống một bài tự
luận bình thường. Vậy để đảm bảo được thời gian của một bài thi trắc nghiệm, yêu
cầu học sinh phải nắm vững các lớp bài tốn về khoảng cách để có hướng giải quyết
vấn đề một cách nhanh nhất.
Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho
học sinh các bài toán gốc, bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những
bài tốn khó và phức tạp hơn. Qua đó, phát triển cho các em năng lực tư duy và lập
2

luận tốn học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học;
năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán. Qua
đây cũng rèn luyện thêm cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống
mới.
Phát triển tư duy tốn học cho học sinh thơng qua việc sử dụng nhiều hướng
giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian.
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đề tài có nhiệm vụ tổng hợp một số cơ sở lí luận và thực tiễn về tư duy, tư
duy toán học và việc phát triển tư duy toán học cho học sinh. Đề xuất một số biện
pháp sư phạm (kết hợp ví dụ cụ thể) góp phần hình thành một số năng lực tư duy
Toán học cho học sinh trường THPT Tương Dương 1.
- Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với học sinh, giáo viên tốn qua đó thấy được
hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học
nội dung khoảng cách trong không gian cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng học
nội dung khoảng cách trong khơng gian nói riêng cũng như học mơn tốn nói chung
tại trường THPT Tương Dương 1.
1.5. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh bậc trung học phổ thơng nói chung và học sinh tại trường THPT
Tương Dương 1 nói riêng.
- Giáo viên dạy tốn bậc trung học phổ thơng nói chung và Giáo viên dạy tốn
tại trường THPT Tương Dương 1 nói riêng.
- Tài liệu về Phương pháp giảng dạy, về khoảng cách trong không gian.
1.6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, phân tích.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp thực nghiệm.

3


PHẦN II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Năng lực
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân
được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn luyện, cho phép
con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như
hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành cơng một loại hoạt động nhất định, đạt kết
quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.
Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có
tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng
những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả
tốt đẹp trong một tình huống nhất định.
2.1.2. Năng lực tốn học
2.1.2.1. Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học
Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập
luận toán học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học;
năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.
2.1.2.2. u cầu cần đạt về năng lực toán học của học sinh THPT
Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học
sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và
bối cảnh khác nhau. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú
trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ
động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá
nhân. Mơn Tốn cấp THPT nhằm giúp học sinh phát triển năng lực toán học với các
yêu cầu cần đạt.
Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các
phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau

trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được mơ hình tốn học để mơ tả tình huống,
từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề tốn học đặt ra trong mơ hình được thiết lập;
thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp
đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hố được cho vấn đề
tương tự; sử dụng được cơng cụ, phương tiện học toán, khám phá và giải quyết vấn
đề toán học.
2.1.3. Năng lực tư duy và lập luận toán học
2.1.3.1. Khái niệm tư duy
Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng”.
4


Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức
một cách đặc biệt là bộ não, là q trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các
khái niệm, phán đốn, lí luận. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu
tượng hố, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách
giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm. Kết quả của quá
trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.
2.1.3.2. Các thao tác của tư duy
Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng”.
a. Các giai đoạn hoạt động của tư duy
Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy
sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người.
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.

b. Các thao tác tư duy
Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngồi, cấu trúc bên
ngồi của tư duy. Cịn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác sau:
+ Phân tích và tổng hợp. Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống
thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết
(trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt
của một quá trình thống nhất.
+ So sánh và tương tự. So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa
các sự vật hiện tượng. Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các
đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối
với các đối tượng kia.
+ Trừu tượng hóa. Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi
những đặc điểm không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây
mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động).
+ Khái qt hóa và đặc biệt hóa. Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối
tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc
điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Đặc biệt hóa là chuyển từ việc
5


khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng
nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu.
2.1.3.3. Năng lực tư duy
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa,
khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá
trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn.
2.1.3.4. Năng lực tư duy toán học
Năng lực tư duy toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức

tốn học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các
vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh
hoạt; khả năng phân tích, suy luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin một cách hiệu
quả thơng qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề tốn học trong các tình
huống, hồn cảnh khác nhau.
2.1.3.5. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận tốn học
Theo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Bộ GD-ĐT, 2018), biểu
hiện và u cầu cần đạt về năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh THPT
được tổng hợp ở bảng sau:
Năng lực tư duy và lập luận toán
Yêu cầu cần đạt của học sinh cấp THPT
học thể hiện qua việc:
- Thực hiện được các thao tác tư duy
như: so sánh, phân tích, tổng hợp,
đặc biệt hố, khái qt hố, tương
tự; quy nạp, diễn dịch.

- Thực hiện được tương đối thành thạo các
thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự
tương đồng và khác biệt trong những tình
huống tương đối phức tạp và lí giải được kết
quả của việc quan sát.

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết - Sử dụng được các phương pháp lập luận,
lập luận hợp lí trước khi kết luận. quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách
thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
- Giải thích hoặc điều chỉnh được - Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải
cách thức giải quyết vấn đề về quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều
phương diện tốn học.
chỉnh được giải pháp thực hiện về phương

diện toán học.
2.2. Cơ sở thực tiễn
2.2.1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy mơn Tốn, giao lưu chun mơn với nhiều
6


trường bạn tôi thấy vấn đề phát triển tư duy tốn học cho học sinh cịn nhiều hạn
chế. Nó xảy ra ở cả phương pháp giảng dạy của giáo viên và cách học tập của học
sinh.
Trong quá trình dạy học luyện tập ở trường phổ thơng, vẫn cịn nhiều giáo
viên chỉ chữa bài tập đơn lẻ cho học sinh, hoặc chỉ ra bài tập mang tính áp dụng, rập
khn, máy móc về cách giải chưa thực sự chú trọng để khai thác, phát triển và sáng
tạo ra bài toán mới. Do đó khơng phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó
hình thành và phát triển năng lực tư duy cho học sinh. (Kết quả điều tra khảo sát
ở phụ lục 3).
2.2.2. Thực trạng học tập của học sinh
Học sinh Trường THPT Tương Dương 1 cịn ngại học Tốn, yếu Toán là do
kiến thức bị hổng từ các cấp dưới, hơn nữa chưa chịu khó suy nghĩ, ít tư duy trong
q trình học tập;
Học sinh vẫn cịn thụ động, thiếu tích cực, máy móc, thiếu độc lập, ít sáng tạo
của bản thân; Rất nhiều học sinh chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp vào các hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức mới nên kết quả học tập vẫn
chưa cao;
Đa số học sinh khi học tập giải bài tập Toán, chỉ quan tâm đến kết quả bài
tốn đúng hay sai, hoặc là hài lịng với lời giải của mình; ít tìm tịi lời giải khác,
khơng khai thác để phát triển bài tốn, sáng tạo ra bài tốn mới nên khơng phát huy
được nhiều tính tích cực, độc lập và sáng tạo của bản thân.
2.3. Cơ sở lí thuyết về khoảng cách trong hình học khơng gian
Khoảng cách trong hình học khơng gian lớp 11 là khoảng cách giữa các đối

tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Đối với khoảng cách giữa hai điểm; khoảng
cách giữa một điểm và một đường thẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng song
song là các bài toán học sinh đã giải quyết rất nhiều bằng các kiến thức hình học
phẳng. Trong nội dung đề tài này trước hết tác giả muốn học sinh nắm được một loại
khoảng cách rất quan trọng, có thể coi là bài tốn nền tảng xuất phát để giải quyết
các bài tốn khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 là khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
2.3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
𝑑(𝑀;(𝑃)) = 𝑀𝐻 ( H là hình chiếu của M lên (P) )
M

H
P

7


2.3.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
∆ ⫽ (𝑃)
⇒ 𝑑(∆;(𝑃)) = 𝑑(𝑀;(𝑃))
{
∀𝑀 ∈ ∆
M

H
P

2.3.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
∆ ⫽ (𝑃)
⇒ 𝑑(∆;(𝑃)) = 𝑑(𝑀;(𝑃))

{
∀𝑀 ∈ ∆
P

M

Q

H

2.3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa: 𝑑(𝑎;𝑏) = 𝑀𝑁 (𝑎, 𝑏 chéo nhau; 𝑀𝑁 là đoạn vng góc chung)
+) Nhận xét 1:
𝑎, 𝑏 𝑐ℎé𝑜 𝑛ℎ𝑎𝑢
{𝑏 ⊂ (𝑃), 𝑎 ⫽ (𝑃) ⇒ 𝑑(𝑎;𝑏) = 𝑑(𝑎;(𝑃)) = 𝑑(𝑀;(𝑃))
∀𝑀 ∈ 𝑎
M
a

b
P

+) Nhận xét 2:
𝑎, 𝑏 𝑐ℎé𝑜 𝑛ℎ𝑎𝑢
⇒ 𝑑(𝑎;𝑏) = 𝑑((𝑃);(𝑄)) = 𝑑(𝑀;(𝑃))
{ 𝑎 ⊂ (𝑃), 𝑏 ⊂ (𝑄)
(𝑃) ⫽ (𝑄), ∀𝑀 ∈ (𝑄)

8

Q

b

M

a
P

Nhận xét: Từ hệ thống kiến thức đã nêu ở trên ta đi đến kết luận quan trọng
sau:“ Về mặt lý thuyết có thể quy các loại khoảng cách trong không gian như khoảng
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng”
2.4. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Để hình thành, phát triển năng lực tư duy tốn học cho học sinh, trong q
trình dạy học luyện tập hoặc dạy học bài tập toán, giáo viên luôn chú trọng định
hướng để học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy, tìm tịi nhiều cách giải cho
một bài toán, khai thác và phát triển để sáng tạo ra nhiều bài toán mới và chọn được
phương pháp giải tối ưu, độc đáo từ bài toán đã cho.
Trong phạm vi đề tài, tôi lựa chọn một số biện pháp sau đây thơng qua khai
thác các bài tốn về khoảng cách trong hình học khơng gian.
2.4.1. Bồi dưỡng cho học sinh kiến thức cơ bản về khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng trong hình học khơng gian
Để giải được bài tập về khoảng cách trong hình học không gian việc cần thiết
đầu tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa, tính chất về khoảng cách trong hình
học khơng gian. Để đạt được nhiệm vụ chung nói trên, giáo viên có nhiệm vụ giúp
học sinh hiểu một cách sâu sắc và nắm vững định nghĩa, tính chất về khoảng cách
trong hình học khơng gian. Trong thực tiễn giảng dạy tại trường THPT Tương

Dương 1, chúng tôi nhận thấy đa số học sinh có kiến thức về khoảng cách trong hình
học khơng gian thiếu tính bài bản và hệ thống, điều này dẫn đến việc các em hay
mắc những lỗi sai kiến thức cơ bản trong quá trình định hướng giải và lập luận giải
toán. Hoặc nhiều em học sinh nắm kiến thức cơ bản một cách máy móc, khơng thể
vận dụng kiến thức vào giải tốn.
Việc lựa chọn kiến thức gốc, cơ bản, trọng tâm về khoảng cách trong hình học
khơng gian để bồi dưỡng kiến thức cho học sinh và giúp học sinh nắm được một
cách sâu sắc sẽ là tiền đề cho học sinh giải quyết tốt các bài tốn về khoảng cách
trong hình học không gian.
Kiến thức cơ bản mà tác giả muốn học sinh tiếp cận và giải quyết thật tốt đó
là bài toán nền tảng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
9


Vấn đề đặt ra là trong quá trình dạy học, giáo viên cần thiết kế bài giảng như
thế nào nhằm hình thành và phát triển phẩm chất và năng lực tư duy toán học cho
học sinh.
Quay lại với khái niệm dạy học phát triển năng lực chúng ta nhận thấy đặc
điểm quan trọng nhất của dạy học phát triển năng lực là xác định và đo lường được
“năng lực” đầu ra của học sinh. Dựa trên mức độ làm chủ kiến thức, kỹ năng và thái
độ của học sinh trong quá trình học tập. Người giáo viên cần phải hiểu được các đặc
điểm nổi bật sau của dạy học theo định hướng phát triển năng lực:
+) Đặc điểm về mục tiêu: Chú trọng hình thành phẩm chất và năng lực thơng
qua việc hình thành kiến thức, kỹ năng; mục tiêu dạy học được mơ tả chi tiết và có
thể đo lượng và đánh giá được. Dạy học để biết cách làm việc và giải quyết vấn đề.
+) Đặc điểm về nội dung dạy học: Nội dung được lựa chọn nhằm đạt được
các mục tiêu năng lực đầu ra. Chú trọng các kỹ năng thực hành, vận dụng vào thực
tiễn. Nội dung chương trình dạy học có tính mở tạo điều kiện để người dạy và người
học dễ cập nhật tri thức mới.
+) Đặc điểm về phương pháp tổ chức:

Người dạy chủ yếu đóng vai trị là người tổ chức, cố vấn, hỗ trợ người học
chiếm lĩnh tri thức; chú trọng phát triển khả năng giải quyết vấn đề.
Đẩy mạnh tổ chức dưới dạng các hoạt động, người học chủ động tham gia các
hoạt động nhằm tìm tịi khám phá, tiếp nhận tri thức mới.
Giáo án được thiết kế có sự phân hóa theo trình độ và năng lực của người học.
Người học có nhiều cơ hội được bày tỏ ý kiến, quan điểm và tham gia phản
biện.
+) Đặc điểm về khơng gian dạy học: Khơng gian dạy học có tính linh hoạt,
tạo khơng khí cởi mở, thân thiện trong lớp học. Lớp học có thể trong phịng hoặc ở
ngồi trời… nhằm dễ dàng tổ chức các hoạt động nhóm.
+) Đặc điểm về đánh giá: Tiêu chí đánh giá dựa vào kết quả “đầu ra”, quan
tâm tới sự tiến bộ của người học. Chú trọng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào
thực tiễn. Ngoài ra một đặc điểm quan trọng trong đánh gia đó là: Người học được
tham gia vào quá trình đánh giá, nâng cao năng lực phản biện, một phẩm chất quan
trọng của con người thời kỳ hiện đại.
+) Đặc điểm về sản phẩm giáo dục:
Tri thức người học có được là khả năng áp dụng vào thực tiễn.
Phát huy khá năng tự tìm tịi, khám phá vừ ứng dụng nên người học không bị
phụ thuộc vào học liệu.
Người học trở thành những con người tự tin năng động và có năng lực.
10


2.4.1.1. Thiết kế hoạt động khởi động nhằm kích thích tính tị mị, tạo hứng
thú tiếp cận và học tập cho học sinh.
Khởi động là hoạt động đầu tiên, hoạt động này nhằm giúp học sinh huy động
những kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm của bản thân về các vấn đề có nội dung liên
quan đến bài học mới. Hoạt động khởi động sẽ kích thích tính tị mị, sự hứng thú,
tâm thế của học sinh ngay từ đầu tiết học. Hoạt động khởi động thường được tổ chức
thông qua hoạt động cá nhân hoặc hoạt động nhóm sẽ kích thích sự sáng tạo, giúp

học sinh hình thành năng lực hợp tác, tinh thần học hỏi, giúp đỡ nhau khi thưc hiện
nhiệm vụ. Chuẩn bị phần khởi động như thế nào cho hiệu quả phải dựa vào nội dung
bài, đối tượng học sinh và cả điều kiện của giáo viên. Vai trò thứ hai của hoạt động
khởi động là huy động vốn tri thức, kĩ năng nền tảng của học sinh. Bởi dạy học là
một quá trình kiến tạo. Nếu ví tri thức, kĩ năng học sinh tiếp nhận được ví như ngơi
nhà, thì nền móng sẽ xuất phát từ những tri thức, kĩ năng vốn có, nền tảng của người
học. Quan điểm dạy học kiến tạo đặc biệt chú ý đến việc huy động kiến thức, kĩ
năng, hệ giá trị nền tảng của cá nhân người học tạo tiền đề cho việc tiếp nhận kiến
thức mới. Vì vậy, một khởi động bài học hiệu quả nên tạo ra cơ hội cho các em tự
làm sống lại những kiến thức nền đã có, cần thiết cho việc học bài mới. Sau đây tác
giả xin nêu một số ví dụ về hoạt động khởi động dạy học khái niệm khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ: Yêu cầu một nhóm học sinh đề ra giải pháp và thực hiện việc đo khoảng
cách từ một điểm trên lan can phòng học ở tầng 2 đến sân trường. Quay video clip
việc chuẩn bị và đo đạc, thuyết minh không quá 2 phút. Cử một bạn trình bày trước
lớp khi giáo viên yêu cầu.

11


Hình ảnh học sinh thực hiện hoạt động đo đạc
Đường link videoclip:
/>Sau khi học sinh trình bày video clip của nhóm. Giáo viên hướng đích cho
học sinh: Coi điểm trên lan can là điểm M và sân trường là mặt phẳng  P  , qua hoạt
động này các em hãy nêu cách xác định khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng
 P  (với M   P  ). Từ đó học sinh sẽ nêu được quy trình để xác định khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Kẻ đường thẳng đi qua M , vng góc với mặt phẳng  P  và cắt  P  tại H .
M

H
P

- Tính khoảng cách MH  d  M ,  P   .
Học sinh hiểu được: Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng  P  (với
M   P  ) là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng  P  .
Rõ ràng bài toán mở đầu này, rất gần gũi với học sinh, nó kích thích được sự
tị mị, mong muốn tìm hiểu, mong muốn giải quyết của học sinh. Giáo viên khéo
léo dẫn dắt học sinh từng bước để dần dần đi đến hình thành kiến thức mới về khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
12


Các ví dụ khác: Chẳng hạn yêu cầu học sinh nêu phương án đo khoảng cách
từ đỉnh cột cờ đến sân trường, đo khoảng cách từ một điểm trên sàn cầu treo đến mặt
nước suối …

Hình ảnh minh họa
2.4.1.2. Thiết kế hoạt động hình thành, củng cố khái về khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng theo từng bước hoạt động nhận thức.
13


Quá trình tiếp cận kiến thức mới về khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng chưa kết thúc ở đó. Một khâu rất quan trọng là củng cố kiến thức; khâu này
thường được thực hiện bằng các hoạt động sau:
+) Nhận dạng và thể hiện khái niệm:
Yêu cầu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB
là tam giác vuông cân và SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  . Tìm khoảng
cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC  .

u cầu 2: Trong phịng học hãy tìm một thí dụ về khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng.
+) Hoạt động ngôn ngữ: Hãy phát biểu lại kiến thức mới về khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng bằng lời lẽ của của mình? Hãy phát biểu lại ở cách
diễn đạt khác?
+) Quy trình hóa:
Thực tế việc tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có thể khơng
cần xác định điểm H bằng việc vận dụng cơng thức thể tích, tọa độ hóa của chương
trình lớp 12, hoặc sử dụng tính chất tứ diện vuông ... tuy nhiên chuyên đề này tác
giả muốn hướng học sinh hướng đến phương án giải quyết trực tiếp là xác định điểm
H . Do vậy hướng cho học sinh đến quy trình hóa giải quyết bài tốn bằng hai bước
sau:
Bước 1 - Định tính: Xác định hình chiếu H của M lên mặt phẳng  P  .
M

H
P

Bước 2 - Định lượng: Tính khoảng cách MH  d  M ,  P   . Sử dụng các tính
chất hình học phẳng để tính MH . Ta thường gắn MH vào một tam giác.

14


Đến đây sau khi cung cấp cho học sinh kiến thức cơ bản về bài toán xác định
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Ta tiếp tục hướng đến giải pháp tiếp
theo là hướng dẫn cho học sinh khả năng nhận dạng và lựa chọn cách giải.
2.4.2. Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh khả năng nhận dạng bài toán và
lựa chọn cách giải tối ưu phù hợp với học sinh.

2.4.2.1. Phân loại bài tốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
thành các dạng từ dễ đến khó.
Việc nhận dạng và phân loại bài tập về khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng là vơ cùng quan trọng, nó giúp học sinh định hướng phương pháp giải quyết
từ đó đưa ra được phương án giải cho bài toán.
Đối tượng là học sinh đại trà thuộc vùng miền núi nên trong quá trình hoạt
động hình thành và luyện tập kiến thức mới giáo viên sẽ lồng ghép ơn tập các kiến
thức hình học đã học trước đó cho học sinh. Đây cũng là một hoạt động rất cần thiết.
Bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta thường gặp
trên hai đối tượng hình đa diện là hình chóp và hình lăng trụ, tuy nhiên ta có thể tách
bài tốn trên hình lăng trụ về bài tốn đối với hình chóp. Nên ở nội dung phương
pháp ta tập trung vào cho đối tượng hình chóp. Nên để giải quyết tốt bài toán này
trước hết học sinh cần nhận dạng đúng các đối tượng sau:
- Đỉnh.
- Đường cao.
- Chân đường cao.
- Mặt phẳng đáy.
Vì vậy việc giúp học sinh phân loại các dạng toán về khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng là rất cần thiết. Ở trong nội dung chủ đề này tác giả mạnh dạn
chia bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thành 4 lớp có mối quan
hệ với nhau và xếp theo từ mức độ dễ đến khó như sau:
- Khoảng cách từ một điểm trên đường cao đến mặt phẳng đáy.
- Khoảng cách từ một điểm trên đáy đến một mặt phẳng chứa đường cao.
- Khoảng cách từ chân đường vng góc đến một mặt phẳng.
- Khoảng cách từ một điểm bất kì đến một mặt phẳng bất kì.
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm trên đường cao đến mặt phẳng đáy.
Đây là một bài toán ta đã biết đường cao. Chẳng hạn: Tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (P) biết H là hình chiếu của M trên (P).
Cách giải: Ta gắn MH vào một tam giác nào đó và sử dụng hệ thức lượng
(thường là tam giác vuông)

15


M

H

I

P

Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng (BCD).

A

B

D
H

I

C
Giải:
Gọi H là hình chiếu của M trên (BCD). Gọi I là trung điểm CD.
Ta thấy H là trọng tâm tam giác BCD. BI, AI là đường cao của các tam giác
đều cạnh a  AI  BI 

a 3

2

AH là đường cao của tam giác ABH có AI  BI 
Nửa chu vi tam giác ABH là: p 

a 3
; AB  a .
2

AB  AI  BI a  a 3

2
2

Áp dụng cơng thức hê rơng ta có diện tích tam giác ABH là:
S

p  p  AB  p  AI  p  BI  

1
2

Mặt khác: S  AH .BI  AH 

a 2
4

2S
a


BI
6
16


Nhận xét:
+) Học sinh lưu ý kiến thức sau để đưa ra kết quả nhanh trong giải toán: “
Tam giác đều ABC có cạnh bằng x thì chiều cao của tam giác đều bằng

x 3
”.
2

+) Trong bài toán ta đã vận dụng các cơng thức khác nhau về diện tích tam
giác. Đồng thời dùng cơng thức diện tích để tính đường cao tam giác.
Giáo viên để xuất bài toán tương tự: Tính chiều cao của hình chóp đều
S.ABCD biết cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.
Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm trên đáy đến một mặt phẳng chứa
đường cao.
Bài tốn: Tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) biết M nằm trong
mặt phẳng đáy (Q) và mặt phẳng (P) chứa đường cao.
+) Nhận dạng bài toán: Dựa vào ba yếu tố
- Đường cao
- Mặt phẳng chứa đường cao
- Mặt phẳng đáy
+) Phương pháp: Dựng trực tiếp đoạn vng góc kẻ từ điểm M đến giao tuyến
của mặt phẳng (P) và (Q). Đoạn vừa dựng là khoảng cách cần tìm.
P

H

Q

M

+) Tư duy tiến trình giải quyết bài tốn
Bước 1: Dựng hình
Bước 2: Chứng minh (Đó là khoảng cách cần tìm khơng phải dựng bừa)
Bước 3: Tính khoảng cách: Thường gắn vào tam giác và sử dụng các cơng cụ
quen thuộc như tính chất tam giác, tính đồng dạng, định lí Talel ...
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA   ABCD  . Đáy là hình chữ nhật
có AB  a, AD  a 3 , O là tâm của đáy, G là trọng tâm tam giác ABC .
a. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  .
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SAB  .
17


c. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng  SAD  .
d. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  .
Giải:
S

K

A

D

H
G

O
C

B

- Nhận dạng câu a: Đây là bài tốn dạng 2.
Tư duy phân tích: Ta phải dựng đường thẳng đi qua C và vuông góc với giao
tuyến của  SAB  và đáy  ABCD  là AB . Dễ nhận ra đoạn cần dựng đã có sẵn chính
là CB vì ABCD là hình chữ nhật.
a. Từ giả thiết suy ra: BC  AB ( Do ABCD là hình chữ nhật).
BC  SA (Do SA   ABCD  ).

 BC   SAB  .

Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  là

CB  a 3 .

- Nhận dạng câu b: Đây là bài toán dạng 2.
Tư duy phân tích: Ta phải dựng đường thẳng đi qua O và vng góc với giao
tuyến của  SAB  và đáy  ABCD  là AB .
b. Từ O kẻ đường thẳng vng góc với AB tại H .
OH  AB
 OH   SAB  .
OH  SA

Ta có: 

OH là đường trung bình của tam giác BAD .

1
a 3
 OH  AD 
.
2
2

Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SAB  là OH 

a 3
.
2

Nhận xét: Câu b ta sử dụng qua 3 bước
18


Bước 1: Dựng hình.
Bước 2: Chứng minh.
Bước 3: Tính khoảng cách - Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
- Nhận dạng câu c: Đây là bài toán dạng 2.
Tư duy phân tích: Ta phải dựng đường thẳng đi qua G và vng góc với giao
tuyến của  SAD  và đáy  ABCD  là AD .
c. Từ G kẻ đường thẳng vng góc với AD tại K .
GK  AD
 GK   SAD  .
GK  SA

Ta có: 

GK  AD
 GK AB (Theo định lí Ta-let).
 AB  AD

Ta có: 


GK DG
.

AB
DB

G là trọng tâm tam giác ABC nên


DG 2

DB 3

Suy ra

BG 2
 .
BO 3

.

GK 2


AB 3

nên GK 

2a
.
3

2a
Vậy khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng  SAD  là GK  .
3

Nhận xét: Ở phần định lượng (tính GK ) ta đã sử dụng tính chất trọng tâm
tam giác và định lí Ta-let trong tam giác. Đây là những kiến thức công cụ thường
gặp trong bài toán định lượng khoảng cách.
- Nhận dạng câu d: Đây là bài toán dạng 2.
Tư duy phân tích: Đến đây học sinh có thể dễ dàng nhận ra khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng  SAC  chính là khoảng cách từ điểm B đến giao tuyến AC
của mặt phẳng  SAC  và đáy  ABCD  . Đó chính là chiều cao của tam giác vuông
BAC với BA  a, BC  a 3 .
Học sinh tự đưa ra lời giải bằng việc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông.
Nhận xét: Để thuận tiện trong việc tiếp nhận kiến thức giáo viên nên quy ước
cho học sinh sử dụng kí hiệu tốn học như sau:
- Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a kí hiệu là d(M;a).
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) kí hiệu là d(M;(P)).
19


- Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b kí hiệu là d(a;b).

- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) kí hiệu là d(a;(P)).
Bài tập 3: Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' . Gọi H là trung điểm AB , A ' H   ABC  .
Tam giác ABC vuông tại C , AC  a 3 , BC  a . Khoảng cách từ  SAB  đến mặt
phẳng  SAB  bằng
A.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 3
.
3

D.

a 3.

- Nhận dạng: Tách riêng hình chóp A'.ABC ta thấy: A ' H là đường cao và
mặt phẳng  ABC  là mặt phẳng đáy của hình chóp A'.ABC . Từ đó khẳng định đây là
bài tốn dạng 2.
Tư duy phân tích: Học sinh có thể dễ dàng nhận d  A;  A ' HC    d  A; HC  . Ta

quy về bài tốn tìm chiều cao tam giác AHC qua đỉnh A .
C'

A'

B'

A
K

C
H
B

Giải:
Từ A kẻ đường thẳng vng góc với HC tại K .
 AK  HC
 AK  A ' H

Ta có: 

 AK   A ' HC  .

AB
Tam giác ABC vuông tại C nên AB  AC 2  BC 2  2a và HC 
a.
2

Diện tích tam giác ABC bằng: SABC

1
a2 3
 AC.BC 
.
2
2
1
2

Diện tích tam giác AHC bằng: SAHC  SABC 
Mà

S AHC 

1
AK .HC
2

nên AK 

a2 3
.
4

2SAHC a 3

.
HC
2
20

Vậy d  A;  A ' HC    AK 

a 3
. Ta chọn đáp án B.
2

Nhận xét: Qua bài toán này học sinh được rèn luyện sử dụng cơng thức diện
tích tam giác để tính chiều cao tam giác, định lí Pitago, tính chất đường thẳng vng
góc với mặt phẳng.
Dạng 3: Khoảng cách từ chân đường vuông góc đến một mặt bên.
Ta chọn bài tốn điển hình: Với hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy
(ABC). Hãy xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC).
+) Nhận dạng bài toán: Học sinh phải xác định rõ được 3 yếu tố
- Đường cao.
- Chân đường cao.
- Mặt bên.
+) Phương pháp: Ta đặt tên cho học sinh dễ nhớ là “Phương pháp 3 đường
kẻ”.
Đường kẻ 1: Từ A kẻ đường thẳng AK vng góc với BC là giao tuyến của
mặt bên  SBC  và mặt đáy  ABC  (với K  BC ).
Đường kẻ 2: Nối SK .
Đường kẻ 3: Dựng AH  SK  H  SK  .
Khoảng cách cần tìm là AH .
S

H
C

A
K
B

+) Tư duy tiến trình giải quyết bài tốn
Bước 1: Dựng hình (Có quy trình)
Bước 2: Chứng minh (Sử dụng quan hệ vng góc)
21