(Skkn 2023) phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“Phát triển năng lực tư duy cho học sinh
thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong thực tế ”.

Lĩnh vực

: Toán học

Người thực hiện

: Đậu Phi Quân

Tổ

: Toán – Tin

Điện thoại

: 0974982106

Năm thực hiện: 2022 - 2023

1


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................... 2

1.1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 2
1.2. Tính mới của đề tài ................................................................................... 2
1.3. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài .................................................... 3
1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................ 3
1.5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 3
PHẦN II. NỘI DUNG ........................................................................................... 3
2.1. Cơ sở khoa học ......................................................................................... 3
2.1.1. Cơ sở lý luận ......................................................................................... 3
2.1.2. Cơ sở thực tiễn ...................................................................................... 4
2.2. Một số kiến thức chuẩn bị ........................................................................ 4
2.2.1. Một số kiến thức về giải tích tổ hợp. .................................................... 4
2.2.2. Định nghĩa và cách tính xác suất . ........................................................ 5
2.2.3. Khai thác và phát triển một số bài toán xác suất trong thực tế ............ 8
2.3. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................ 30
2.4.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 29
2.4.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................ 29
2.4.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 30
2.4.3.1. Đối tượng thực nghiệm ................................................................. 30
2.4.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm ................................................... 30
2.4.3.3. Tổ chức thực hiện ......................................................................... 30
2.4.3.4. Kết quả thực nghiệm ..................................................................... 30
PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ................................................................ 33
1. Kết luận ...................................................................................................... 33
2. Kiến nghị.................................................................................................... 34

1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1.

Lý do chọn đề tài

Điều 7, khoản 2, Luật Giáo dục ghi: “Phương pháp giáo dục phải khoa học,
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng
cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thực hành, lịng say mê học tập
và ý chí vươn lên”. Yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học tích cực theo định hướng
phát triển năng lực là một yêu cầu cần thiết đối với mỗi giáo viên.
Trong quá trình dạy học mơn tốn ở trường trung học phổ thông, tôi nhận thấy
tầm quan trọng của việc rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh thông qua các bài
tốn về xác suất. Và đặc biệt trong chương trình tốn học phổ thơng 2018 đã xác
định các bài tốn về xác suất cổ điển và thống kê cơ bản là một trong ba mạch kiến
thức chính. Đây là nội dung rất quan trọng khi thường xuyên xuất hiện trong đề thi
học sinh giỏi và đề thi tốt nghiệp THPT hiện nay. Tuy nhiên với thực tế giảng dạy
thì tơi nhận thấy rằng các em học sinh khi giải quyết các bài tốn xác suất đang cịn
gặp nhiều khó khăn trong việc tư duy, định hướng giải quyết bài toán. Các em đang
cịn tư duy máy móc, rập khn và chưa có cái nhìn cái nhìn mở hơn với những bài
tốn xác suất.
Vì vậy, tơi đã tiến hành nghiên cứu đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho
học sinh thơng qua việc khai thác các bài tốn xác suất trong thực tế” nhằm giúp
học sinh hiểu sâu hơn về các bài toán xác suất gắn liền với thực tế và phát triển năng
lực tư duy cho học sinh.
1.2.

Tính mới của đề tài

- Thứ nhất, đề tài trình bài cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn về vấn đề phát triển
năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong
thực tế.
- Thứ hai, đề tài khai thác những tài toán xác suất gắn liền với thực tiễn tạo sự

gần gũi, hứng thú cho học sinh để từ đó phát triển lên những bài toán tương tự và
mở rộng nhằm phát triển và rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh.
- Thứ ba, đề tài xây dựng hệ thống bài tập và đưa ra những phân tích nhận xét
thể hiện mỗi bài tốn là một mơ hình bài tốn.
1.3.

Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài

- Đề tài có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông:
học sinh khá, học sinh giỏi, học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT và các thầy/cô giáo dạy
toán THPT tham khảo.
1.4.
1.5.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh khối 10, 11 và 12 trường THPT Hoàng Mai 2.
Phương pháp nghiên cứu
2


- Phương pháp điều tra, phân tích; phương pháp thực nghiệm.
- Các bài toán về xác suất cổ điển trong chương trình Tốn phổ thơng.
PHẦN II. NỘI DUNG
2.1.

Cơ sở khoa học

2.1.1. Cơ sở lý luận
Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần, đem
những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật

chất, làm cho người ta có nhận tức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó. Tư
duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán,
lý luận,… Phát triển năng lực tư duy là hình thành và rèn luyện cho học sinh 4 yếu
tố cơ bản của tư duy gắn liền với việc hình thành và phát triển cho học sinh các thao
tác của tư duy, các phẩm chất của tư duy, các kỹ năng của tư duy.
Từ các bài toán và phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng, học sinh có thể
tự tìm tịi lời giải phù hợp và cao hơn là có thể khai thlác và phát biểu thành bài tốn
mới.
2.1.2. Cơ sở thực tiễn
Qua thực tiễn, chúng tơi thấy:
- Học sinh cịn yếu mơn Tốn do kiến thức thụ động, máy móc, thiếu tính tích
cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Chuyên đề xác suất là một trong những chun đề khó vì phải vận dụng
nhiều kiến thức, địi hỏi học sinh phải phát huy tính tích cực, chủ động và địi hỏi
tính tư duy logic cao. Nhiều học sinh chỉ quan tâm đến kết quả, thường hài lịng với
lời giải của mình mà ít tìm tịi lời giải khác đồng thời mở rộng và khai thác các bài
toán vừa giải quyết..
2.2. Một số kiến thức chuẩn bị
2.2.1. Một số kiến thức về giải tích tổ hợp
2.2.1.1 Quy tắc cộng
Giả sử một cơng việc nào đó có thể thực hiện theo k phương án khác nhau.
Phương án thứ nhất có n1 cách thực hiện, phương án thứ hai có n2 cách thực hiện,…,
phương án thứ k có nk cách thực hiện.
Khi đó số cách thực hiện cơng việc sẽ là: n1 + n2 + n3 +…+ nk (cách)
2.2.1.2. Quy tắc nhân
Nếu một cơng việc nào đó phải hồn thành qua k bước thực hiện liên tiếp, trong
đó bước thứ nhất có m1 cách thực hiện, bước thứ hai có m2 cách thực hiện,…
bước thứ k có mk cách thực hiện.
3

Khi đó, số cách để hồn thành cơng việc là: m1 . m2 . m3 … mk (cách)
2.2.1.3. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
 Hoán vị: Mỗi cách sắp xếp n phần tử cho trước theo một thứ tự nhất định gọi
là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu số các hốn vị của n phần tử đã cho
là Pn.
 Số hoán vị của n phần tử là Pn = n!
 Chỉnh hợp: Mỗi bộ sắp xếp thứ tự gồm k phần tử khác nhau, lấy từ n phần tử
đã cho gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛). Kí hiệu số
các chỉnh hợp chập k của n phần tử là 𝐴𝑘𝑛 .
𝑛!
 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là 𝐴𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!
 Tổ hợp: Mỗi tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử đó (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛). Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần
tử là 𝐶𝑛𝑘 .
 Số các tổ hợp chập k của n phần tử là 𝐶𝑛𝑘 =

𝐴𝑘
𝑛
𝑘!

=

𝑛!
𝑘!.(𝑛−𝑘)!

.

2.2.2. Định nghĩa và cách tính chất của xác suất
2.2.2.1. Biến cố và phép thử ngẫu nhiên

 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn được trước kết quả của
nó , mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của phép thử đó.
 Khơng gian mẫu của phép thử là tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của phép
thử và được kí hiệu là Ω
 Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu. Thường được kí hiệu bằng chữ
cái in hoa A,B,C,…và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng
lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
 Tập  được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không ).
 Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
 Phép toán trên biến cố
 Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A. Kí hiệu là A
 Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B
 Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết tắt
là A.B .
 Nếu A  B   thì ta nói A và B là hai biến cố xung khắc.
 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này đều không ảnh hưởng đến xác suất xảy
ra của biến cố kia.
2.2.2.2. Định nghĩa của xác suất
 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển: Giả sử phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn
các kết quả đồng khả năng xẩy ra. A là một biến cố liên quan đến phép thử.
4


Khi đó, xác suất của biến cố A là 𝑃(𝐴) =

𝑛(𝐴)
𝑛(𝜔)

; trong đó n(A) là số biến cố sơ

cấp thuận lợi cho A; n() là số biến cố sơ cấp của không gian biến cố sơ cấp
 Định nghĩa xác suất theo hình học: Xét một phép thử có khơng gian các biến
cố sơ cấp là miền hình học W (đoạn thẳng, hình phẳng, khối khơng gian,…)
có số đo ( độ dài, diện tích, thể tích,…) hữu hạn khác khơng. Giả sử xét một
điểm rơi ngẫu nhiên vào miền W. Xét miền con A của W. Khi đó xác suất để
điểm rơi vào miền A là:
𝑃(𝐴) =

𝑆ố đó 𝑚𝑖ề𝑛 𝐴
.
𝑆ố đ𝑜 𝑚𝑖ề𝑛 𝑊

2.2.2.3. Tính chất của xác suất
Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết
quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó,
1. 𝑃(∅) = 0; 𝑃(Ω) = 1.
2. 0 ⩽ 𝑃(𝐴) ⩽ 1.
3. Nếu 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ thì 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).
4. 𝑃(𝐴‾) = 1 − 𝑃(𝐴).
5. Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵 thì 𝑃(𝐵 ∖ 𝐴) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴). Do đó 𝑃(𝐴) ⩽ 𝑃(𝐵).
6.

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).

2.2.2.4. Xác suất có điều kiện
Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện B là một số đo khả
năng xẩy ra của biến cố A khi biến cố B xẩy ra, được kí hiệu là ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) và xác
ℙ(𝐴𝐵)
định bởi công thức: ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) =

, ℙ(𝐵) > 0.
ℙ(𝐵)

Định lý: Giả sủ 𝐴, 𝐵 là các biến cố, ℙ(𝐵) > 0. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(1). 0 ⩽ ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) ⩽ 1.
(2). Nếu 𝐵 ⊂ 𝐴 thì ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) = 1. Đặ biẹt ℙ(Ω ∣ 𝐵) = 1.
(3). Nếu (𝐴𝑛 ) là dãy các biến cố đồi một xung
∞ khắc thì
ℙ(∪∞
𝑛=1 𝐴𝑛 ∣ 𝐵) = ∑   ℙ(𝐴𝑛 ∣ 𝐵).
𝑛=1

(4). ℙ(𝐴‾ ∣ 𝐵) = 1 − ℙ(𝐴 ∣ 𝐵).
2.2.2.5. Công thức nhân xác suất

Cho 𝐴 và 𝐵 là hai biến cố bất kỳ của một phép thử. Ta ln có:
ℙ(AB) = ℙ(A) × ℙ(B ∣ A) = ℙ(B) × ℙ(A ∣ B)
5


 Nếu 𝐴 và 𝐵 độc lập ta có: ℙ(AB) = ℙ(A) × ℙ(B).
 Mở rộng: Giả sử 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑛 là các biến cố với ℙ(A1 ⋅ A2 … An ) > 0.
Khi đó,
ℙ(A1 ⋅ A2 … An ) = ℙ(A1 ) ⋅ ℙ(A2 ∣ A1 ). ℙ(A3 ∣ A1 A2 ) … ℙ(An ∣ A1 … An−1 )
 Nhóm các biến cố độc lập tồn phần: 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 được gọi là độc lập toàn
phần và chỉ khi:
ℙ(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 ) = ℙ(𝐴1 ) × ℙ(𝐴2 ) × … × ℙ(𝐴𝑛 )
2.2.3 Khai thác và phát triển một số bài tốn xác suất trong thực tế.
Bài tốn 1: (Phiên tịa giả định) Trường THPT Hoàng Mai 2 đã tổ chức
chương trình phiên tịa giả định để tun truyền, phổ biến pháp luật đến toàn thể

học sinh trong nhà trường. Và để các em học sinh hiểu rõ hơn về pháp luật nên
hội đồng đã quyết định mời các em học sinh xuất sắc của trường là Diệp, Ánh,
Trang tham gia vào bồi thẩm đoàn 3 người. Bồi thẩm đoàn 3 nguời đưa ra các
quyết định bằng cách suy lý một cách độc lập với xác suất đưa ra quyết định
đúng của Diệp, Ánh, Trang lần lượt là 0,8; 0,7 và 0,5. Tính xác suất đưa ra quyết
định đúng của bồi thẩm đoàn, biết bồi thẩm đoàn làm việc theo nguyên tắc đa số.

Phân tích bài tốn: Nhận thấy rằng bồi thẩm đoàn làm việc theo nguyên tắc đa số
nên chúng ta sẽ xét các trường hợp để có ít nhất 2 người đưa ra quyết định đúng.
Lời giải
Gọi A là biến cố “bồi thẩm đoàn đưa ra quyết định đúng”
Trường hợp 1: Diệp và Ánh đều đưa ra quyết định đúng
Suy ra xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đồn sẽ là:
0,8 × 0,7 = 0,56
Trường hợp 2: Diệp và Trang đưa ra quyết định đúng, Ánh đưa ra quyết định sai.
Suy ra xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đồn sẽ là:
0,8 × 0,5 × 0,3 = 0,12
Trường hợp 3: Trang và Ánh đưa ra quyết định đúng, Diệp đưa ra quyết định sai.
Suy ra xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đồn sẽ là:
0,7 × 0,5 × 0,2 = 0,07
Vậy xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đoàn là:
𝑃(𝐴) = 0,56 + 0,12 + 0,07 = 0,75.
6


Hình ảnh minh họa cho bồi thẩm đồn 3 người
Phát triển bài tốn số 1. Bồi thẩm đồn gồm 3 người trong đó có hai thành viên
phán xét nghiêm túc đưa ra quyết định bằng các suy lý một cách độc lập với xác
suất đưa ra quyết định đúng của mỗi người lần lượt là 𝑝1 , 𝑝2 . Người thứ 3 đưa ra
quyết định dựa vào kết quả tung một đồng xu cân đối đồng chất. Bồi thẩm đoàn

làm việc theo nguyên tắc đa số. Tính xác suất quyết định đúng của “Bồi thẩm
đoàn”
Lời giải
Gọi 𝐴𝑖 là biến cố "Bồi thẩm viên nghiêm túc thứ 𝑖 quyết định đúng". Khi đó,
ℙ(𝐴1 ) = 𝑝1 , ℙ(𝐴2 ) = 𝑝2 .
Gọi 𝐴3 là biến cố "Bồi thẩm viên thú 3 quyết định đúng". Khi đó,
1

ℙ(𝐴3 ) = .
2

Gọi 𝐴 là biến cố "Bồi thẩm đoàn 3 người quyết định đúng". Ta có
ℙ(𝐴)

̅̅̅1 𝐴2 𝐴3 )
= ℙ(𝐴1 𝐴2 ) + ℙ(𝐴1 ̅̅̅
𝐴2 𝐴3 ) + ℙ(𝐴
̅̅̅2 )ℙ(𝐴3 ) + ℙ(𝐴
̅̅̅1 )ℙ(𝐴2 )ℙ(𝐴3 )
= ℙ(𝐴1 )ℙ(𝐴2 ) + 𝑃(𝐴1 )ℙ(𝐴
1 𝑝1 + 𝑝2
= 𝑝1 𝑝2 + [𝑝1 (1 − 𝑝2 ) + (1 − 𝑝1 )𝑝2 ]. =
2
2

Vậy xác suất Bồi thẩm đoàn đưa ra quyết định đúng là

𝑝1 +𝑝2
2

Nhận xét:
 Nếu 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝 thì xác suất quyết định đúng của Bồi thẩm đoàn 3
người bằng xác suất quyết định đúng của Bồi thẩm viên nghiêm túc.
 Chúng ta có thể xây dựng mơ hình bài tốn tương tự trên xác suất quyết
định đúng của Bồi thẩm viên thứ 3 là 𝑝3 ∈ (0,1)
7


Bài tốn số 2: (Bầu - Cua – Tơm - Cá). Trị chơi bầu cua tơm cá là một trị chơi
đánh bạc được chơi rất phổ biến ở nước ta . Người chơi có thể đặt cược vào bất kỳ
một trong các ô “Bầu, Cua, Tôm, Cá, Nai, Gà”. Ba viên xúc xắc được tung lên.
Nếu hình của người chơi đặt cược đúng với một, hai hoặc ba hình xuất hiện trên
viên xúc xắc, thì người đó sẽ nhận được lần lượt một, hai hoặc ba lần tiền cược ban
đầu của mình cộng với số tiền của chính mình. Nếu số của người chơi đặt cược
không đúng với các số của viên xúc xắc thì anh ta mất tiền đặt cọc. Mức lỗ dự kiến
của người chơi trên mỗi đơn vị tiền cược là bao nhiêu? (Trên thực tế, người chơi
có thể chia tiền đặt cược thành nhiều phần khác nhau, nhưng mỗi số tiền đặt cược
như vậy có thể được coi là một phần đặt cược riêng biệt.)
Phân tích bài toán: Ở bài toán này chúng ta thấy rằng số tiền thắng cược trên
mỗi đơn vị tiền cược ở mỗi lần chơi sẽ phụ thuộc vào số lần xuất hiện của các hình
con vật trên xúc xắc. Vì vậy ta sẽ định hướng xét tới các khả năng xảy ra trên mỗi
con xúc xắc để giải quyết bài toán.
Lời giải:
Giả sử người chơi đặt vào mỗi ô 1 đơn vị tiền.
Khi đó,
+) Nếu 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì người chơi sẽ bị thua lỗ 2
đơn vị tiền trong 6 đơn vị tiên đặt cược.
+) Nếu 2 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì người chơi sẽ bị thua lỗ 1
đơn vị tiền trong 6 đơn vị tiên đặt cược.
+) Nếu 3 con xúc xắc có hình xuất hiện khác nhau thì người chơi sẽ bị thua lỗ 0

đơn vị tiền trong 6 đơn vị tiên đặt cược.
Dễ thấy xác suất để
+) 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau là:
6
1
=
.
6 × 6 × 6 36
+) 3 con xúc xắc có hình xuất hiện khác nhau là:
6×5×4 5
= .
6×6×6 9
+) 3 con xúc xắc có 2 con có hình giống nhau là:
1−(

1 5
5
+ )= .
36 9
12

Suy ra mức lỗ dự kiến của người chơi trên tổng số đơn vị tiền cược là:
5 1 5 1 1
17
𝔼𝑋 = 0 × + ×
+ ×
=
≈ 0,08.
9 6 12 3 36 216
8

Vì vậy, mức lỗ dự kiến của người chơi sẽ là 8% tổng đơn vị tiền cược.

Nhận xét:
 Với mô hình bài tốn này chúng ta có thể thay đổi tỉ lệ tiền
thắng cược để được được bài toán mới.
 Chúng ta có thể tổng qt lên cho mơ hình bài tốn này nếu như
chúng ta là nhà cái thì sẽ điều chỉnh tỉ lệ một cách hợp lí với tỉ
lệ tổng quát cho trò chơi là x, 2x, 3x. Từ đó chúng ta sẽ đưa ra
được tỉ lệ tiền thắng phù hợp với tính tốn của mình để có lợi
nhuận hợp lí.

Hình ảnh minh họa cho trị chơi “ Bầu – Cua - Tơm - Cá”
Phát triển bài tốn số 2: Trị chơi bầu cua tơm cá là một trò chơi đánh bạc được
chơi rất phổ biến ở nước ta. Người chơi có thể đặt cược vào bất kỳ một trong các ô
“Bầu, Cua, Tôm, Cá, Nai, Gà”. Ba viên xúc xắc được tung lên. Nếu hình của
người chơi đặt cược đúng với một, hai hoặc ba hình xuất hiện trên viên xúc xắc,
thì người đó sẽ nhận được lần lượt một, hai hoặc ba lần tiền cược ban đầu của
mình cộng với số tiền của chính mình. Nếu số của người chơi đặt cược không đúng
9


với các số của viên xúc xắc thì anh ta mất tiền đặt cọc. Giả sử bạn là người tạo ra
trị chơi hãy viết hàm biểu diễn để tính được mức lỗ dự kiến của người chơi trên
mỗi đơn vị tiền cược là bao nhiêu để điều chỉnh cho hợp lí?
Lời giải.
Giả sử người chơi đặt 1 đơn vị tiền cược
Thay vì để người đó nhận được lần lượt 1, 2, 3 lần đơn vị tiền cược nếu thắng thì ta
sẽ đặt số tiền người đó nhận được lần lượt là x, 2x, 3x lần tiền cược.

+) Nếu 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì nhà cái thua 3x đơn vị tiền
cược và thắng 3 đơn vị tiền cược. Nhà cái nhận được

3−3𝑥
6

đơn vị tiền cược

+) Nếu 2 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì nhà cái thua 3x đơn vị tiền
cược và thắng 4 đơn vị tiền cược. Nhà cái nhận được

4−3𝑥
6

đơn vị tiền cược

+) Nếu 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì nhà cái sẽ thua 3x đơn vị
tiền cược và thắng 5 đơn vị tiền cược. Nhà cái nhận được

5−3𝑥
6

đơn vị tiền cược

Dễ thấy xác suất để
+) 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau là:
6
1
=
.

6 × 6 × 6 36
+) 3 con xúc xắc có hình xuất hiện khác nhau là:
6×5×4 5
= .
6×6×6 9
+) 3 con xúc xắc có 2 con có hình giống nhau là:
1−(

1 5
5
+ )= .
36 9
12

Suy ra mức lỗ dự kiến của người chơi trên tổng số đơn vị tiền cược là:

𝔼𝑋 =

5 3 − 3x 5 4 − 3x 1 5 − 3x 125 x
×
+
×
+
×
=
−
9
6
12
6

36
6
216 2

Ta suy ra đồ thị mức lỗ dự kiến của người chơi trên tổng đơn vị tiền cược.

10


Đồ thị mức lỗ dự kiến của người chơi trên tổng đơn vị tiền cược
Trục y là biểu thị khoản lời lỗ dự kiến. Trục x là tỉ lệ giá trị số tiền người chơi
thắng so với mức cược ban đầu
Nhận xét:

 Nhìn đồ thị ta có thể thấy ở bài toán ban đầu nếu ta giữ nguyên tiền cược ban
đầu (tức là nhận được lần lượt một, hai hoặc ba lần tiền cược ban đầu khi đặt
trúng) ta sẽ được khoản lỗ dự kiến là 0.08 ( Được biểu thị ở điểm C).
 Và nếu x = 1, 16 thì nhà cái sẽ hịa vốn. ( Được biểu thị ở điểm B )
 Nếu x > 1, 16 thì nhà cái sẽ lỗ.

Bài toán số 3. (Lễ hội đua thuyền). Nhân ngày lễ kỉ niệm 10 năm thành lập thị xã
Hoàng Mai. Thị xã đã quyết định tổ chức một giải đấu đua thuyền gồm 8 phường,
xã tham gia. Trong đó các đội đua xếp thành từng cặp để thi đấu như trong một
giải đấu quần vợt. Trong 8 đội đua tham gia giải đấu đua thuyền thì có hai đội là
đối thủ truyền kiếp của nhau đó là đội đua Quỳnh Phương và đội đua Quỳnh Lập.
Xác suất để hai đội là đối thủ truyền kiếp này gặp nhau trong giải đấu.
Phân tích bài tốn: Ở bài tốn này chúng ta thấy rằng giải sẽ trải qua 3 vịng đấu
vì vậy khả năng để 2 đội gặp nhau có thể là tại vịng 1, vịng 2 hoặc vịng 3 nên
chúng ta sẽ đi phân tích các trường 2 đội gặp nhau ở mỗi vòng đấu để giải quyết
bài toán này.

Lời giải

11


Giả sử đã chỉ định một ví trí cho đội đua Quỳnh Phương và bốc thăm vị trí cho đội
đua Quỳnh Lập.
Gọi 𝐻1 là biến cố "Chọn được vị trí cho đội đua Quỳnh Lập để hai đội gặp nhau ở
vòng 1";
Gọi 𝐻2 là biến cố " Chọn được vị trí cho đội đua Quỳnh Lập hai đội có cơ hội gặp
nhau ở vòng 2";
Gọi 𝐻3 là biến cố " Chọn được vị trí cho đội đua Quỳnh Lập hai đội có cơ hội gặp
nhau ở vịng 3".
Khi đó, 𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 lập thành họ đầy đủ các biến cố và
1
2
4
ℙ(𝐻1 ) = ; ℙ(𝐻2 ) = ; ℙ(𝐻3 ) = .
7
7
7
Gọi 𝐴 là biến cố " đội đua Quỳnh Phương và đội đua Quỳnh Lập gặp nhau 1 trận
trong giải đấu". Khi đó
ℙ(𝐴) = ℙ(𝐻1 )ℙ(𝐴 ∣ 𝐻1 ) + ℙ(𝐻2 )ℙ(𝐴 ∣ 𝐻2 ) + ℙ(𝐻3 )ℙ(𝐴 ∣ 𝐻3 ),
trong đó,
1
1
1
1
)

=
;
ℙ(𝐴
∣
𝐻
=
=
.
3
22 4
24 16
Thay số vào ta có xác suất để đội Quỳnh Lập và đội Quỳnh Phương gặp nhau trong
giải đấu là
ℙ(𝐴 ∣ 𝐻1 ) = 1; ℙ(𝐴 ∣ 𝐻2 ) =

ℙ(𝐴) =

1
2 1 4 1
1
×1+ × + ×
= .
7
7 4 7 16 4

12


Hình ảnh minh họa cho lễ hội đua thuyền

Nhận xét:
 Với mơ hình bài tốn này chúng ta có thể thay 8 bởi 16, 32, 64 … để
được bài toán tương tự.
 Chúng ta có thể tổng quát lên cho mơ hình bài tốn này nếu thay 8 bởi
2𝑛 và bằng cách chứng minh tương tự chúng ta sẽ tính được xác suất
để đội đua Quỳnh Phương và đội đua Quỳnh Lập gặp nhau trong giải
đấu.
Phát triển bài toán số 3. (Lễ hội đua thuyền). Nhân ngày lễ kỉ niệm 10 năm thành
lập thị xã Hoàng Mai. Thị xã quyết định tổ chức một giải đấu đua thuyền gồm 2𝑛
phường, xã tham gia. Trong đó các đội đua xếp thành từng cặp để thi đấu như
trong một giải đấu quần vợt. Trong 2𝑛 đội đua tham gia giải đấu đua thuyền thì có
hai đội là đối thủ truyền kiếp của nhau đó là đội đua Quỳnh Phương và đội đua
Quỳnh Lập. Xác suất để hai đội là đối thủ truyền kiếp này gặp nhau trong giải
đấu.
Lời giải
Ta thấy rằng với 𝑛 = 1 thì giải đấu tổ chức với 2 đội tham gia nên họ chắc chắn sẽ
gặp nhau. Với 𝑛 = 2 thì giải đấu tổ chức với 4 đội tham gia dễ dàng để ta tính
1
được rằng xác suất để 2 đội gặp nhau là bằng . Với 𝑛 = 3 thì giải đấu tổ chức với
2

1

1

4

22

8 đội tham gia chúng ta đã tính được rằng xác suất để họ gặp nhau là =

.

Do đó, ta có thể dự đốn đối với một giải đấu có 2𝑛 đội tham gia xác suất gặp nhau
1
của họ là 𝑛−1.
2

Ta sẽ chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp.
1

Giả sử với giải đấu có 2𝑛−1 đội tham gia thì xác suất gặp nhau của họ là 𝑛−2 (1).
2
Đầu tiên chúng ta sẽ xét trường hợp 2 đội nằm khác nhánh đấu.
2𝑛−1

Xác suất để 2 đội nằm khác nhánh đấu nhau là 𝑛
2 −1
Nếu họ khác nhánh đấu thì 2 đội chỉ có thể gặp nhau trong trận chung kết.
1
Một đội đua có xác suất vào trận chung kết là 𝑛−1 vì anh ta phải thắng 𝑛 − 1 trận
2
đấu.
Khi đó cơ hội để cả 2 đội lọt vào trận chung kết là:
1

2

1

(2𝑛−1) = 22𝑛−2,
Do đó xác suất để họ nằm khác nhánh đấu và gặp nhau là:
13


2𝑛−1
1
⋅
2𝑛 − 1 22𝑛−2
Đối với trường hợp 2 hiệp sĩ song sinh nằm cùng nhánh đấu.
Xác suất để họ ở cùng nhánh đấu là:

2𝑛−1 −1
2𝑛 −1

,

Và theo giả thuyết quy nạp xác suất gặp nhau của 2 đội gặp trong một giải đấu có
1
2𝑛−1 đội tham gia là 𝑛−2
2

Suy ra ta có xác suất gặp nhau của 2 đội là:
2𝑛−1
1
2𝑛−1 − 1 1
1
1
1
𝑛−1

⋅
+
⋅
=
+
2
−
1)
=
. (2)
(
2𝑛 − 1 22𝑛−2
2𝑛 − 1 2𝑛−2 (2𝑛 − 1)2𝑛−2 2
2𝑛−1
Từ (1) và (2) ta suy ra giả thiết là đúng.
Vậy xác suất 2 đội gặp nhau với một giải đấu có 2𝑛 đội tham gia là

1
2𝑛−1

.

Bài tốn số 4. ( Tại sao khơng nên chơi đề ). Đánh đề là một vấn nạn trong xã
đang diễn ra khá nhiều hiện nay. Vì sao nó lại có sức hấp dẫn lớn đối với mọi
người như vậy? Theo khảo sát thơng tin thu thập được thì có nhiều bạn đã nói rằng
“Bỏ ra 10.0000 đồng chơi cho vui mà thắng thì được 7.000.000 đồng thua mất có
100.000 đồng” cũng có một nhóm bạn nói rằng “ Thích chơi đề vì nhìn dễ ăn
nhưng chẳng hiểu sao chơi cứ toàn thua”. Vậy chúng ta sẽ sử dụng phương pháp
xác suất thống kê để tính tốn và phân tích cho 2 câu nói của các nhóm bạn trên?
Phân tích bài toán: Trước tiên chúng ta cần hiểu rõ luật chơi của chơi đề như sau.

Chúng ta có 100 con số từ 00 đến 99 khi người chơi đặt cược 100.000( đồng ) vào
một số trong 100 con số đó nếu như con số người chơi đặt cược trùng với 2 chữ số
cuối cùng của giải đặc biệt do xổ số kiến thiết Miền Bắc phát hành lúc 18h30
trong ngày đó thì người chơi sẽ nhận được 70 lần số tiền đầu tư ban đầu, tính cả
tiền đã đặt cược. Nếu con số người chơi đặt khơng trùng thì người chơi sẽ mất đi
số tiền đặt cược.
Lời giải
Vì chỉ có 1 con số trong 100 con số sẽ trúng thưởng vì vậy ta có xác suất để người
1
chơi sẽ được trúng đề sẽ bằng
= 1%
100

Từ đây ta suy ra được rằng xác suất người chơi sẽ thua sẽ bằng 99%.
Chúng ta giả sử rằng mỗi lần chơi sẽ đặt cược 100.000 đồng khi đó ta
Ta có bảng thống kê như sau:

14


Thắng

Thua

Xác suất

0,01

0,99

Lỗ

-6900000

100000

Từ đây ta suy ra mức lỗ dự kiến của người chơi trên đơn vị tiền cược là:
𝔼𝑋 = 0,1.

−6.900000
100000
+ 0,99.
= 0,3
100000
100000

Nhận xét:
 Như vậy nếu giả sử mỗi lần ta chơi 100.000 đồng thì trung bình ta sẽ
lỗ 30.000 đồng.
 Người chơi đã bị sai lầm vì nghĩ rằng số tiền bỏ ra 100.000 đồng nếu
thắng thì sẽ lời được 6.900.000 đồng cịn mất thì chỉ mất 100.000
đồng như vậy là rất lời.
 Và sai lầm ở đây chính là người chơi khơng tính đến xác suất để
trúng đề rất là thấp và khi đó người chơi sẽ đánh hồi mà vẫn khơng
thể thắng được.
 Chúng ta có thể mở rộng cho mơ hình bài tốn này nếu thay đổi tỉ lệ
chơi và kiểm tra xem lợi nhuận thu được sẽ là bao nhiêu?
Và bài tốn trên chính là câu trả lời cho câu hỏi “Tại sao đánh lô đề luôn thua”

15

Phát triển toán số 4. Với vấn nạn chơi đề hiện nay đang rất là nhiều và phổ biến ở
các nơi, đặc biệt với thời đại công nghệ 4.0 nên rất nhiều app điện tử đã mở ra chơi
đề online trực tuyến. Và để thu hút, hấp dẫn số lượng lớn người chơi thì ngồi đánh
đề ra cịn có trị chơi đánh lô cũng là một vấn nạn cần cảnh báo hiện nay. Để cảnh
tính cho các thế hệ trẻ hiểu được rằng chơi không nên chơi “Lô – Đề”. Sử dụng
phương pháp xác suất và thống kê để ta chỉ ra điều đó.
Phân tích bài tốn: Trước tiên chúng ta cần hiểu rõ luật chơi của chơi lô như sau.
Chúng ta có 100 con số từ 00 đến 99 khi người chơi sẽ mua một số trong 100 con
số với giá 1 điểm là 23.000 đồng nếu như con số người chơi đặt cược trùng với 2
chữ số cuối trong tổng 27 giải do xổ số kiến thiết Miền Bắc phát hành lúc 18h30
trong ngày đó thì người chơi sẽ nhận được số tiền là 80.000 đồng, tính cả tiền đã
đặt cược. Nếu con số người chơi đặt không trùng thì người chơi sẽ mất đi số tiền
đặt cược.
Lời giải
Vì mỗi giải chỉ có 1 con số trong 100 con số sẽ trúng thưởng vì vậy ta có
Xác suất để người chơi sẽ trúng 1 lô sẽ bằng 0.01 = 1%
Từ đây ta suy ra được rằng xác suất người chơi sẽ thua 1 lô sẽ bằng
0.99 = 99%.
Nễu có 𝑘 con lơ trùng với số bạn đã đặt cược thì số người ta gọi là bạn đã trúng " 𝑘
nháy". Mỗi "nháy", chủ lô trả cho bạn 80000 (đồng)
Giả sử chúng ta đánh 1 điểm lô. Ta sẽ chi hết 23000. Dễ thấy đánh lô là một phép
thử Bernoulli.
𝑘
Xác suất để anh ta trúng đúng 𝑘 nháy (𝑘 = 0,1, … ,27) là 𝐶27
(0,01)𝑘 (0,99)27−𝑘
Nếu trúng, người chơi được 80000. 𝑘 (đồng). Như vậy lãi :

80000. 𝑘 − 23000 (đồng)

Vậy trung bình người chơi lãi:
27
𝑘
𝔼𝑋 = ∑   [𝐶27
⋅ (0,01)𝑘 (0,99)27−𝑘 ⋅ (80𝑘 − 23)]
𝑘=0
27
𝑘
= 80 ∑   [𝑘𝐶27
⋅ (0,01)𝑘 (0,99)27−𝑘 ⋅] − 23
𝑘=1
26

27
𝑘
= 80 ⋅
⋅ (0,01)𝑘 (0,99)26−𝑘 ⋅] − 23 = 8.2,7 − 23 = −1,4(ngàn)
∑   [𝐶26
100
𝑘=0

16


Nhận xét:
 Như vậy nếu giả sử mỗi lần đánh 1 điểm lơ thì trung bình người chơi sẽ
lỗ 1.400 đồng tức là xấp xỉ 6% giá trị tiền cược.
 Mức lỗ trung bình của chơi lơ là ít hơn nhiều so với chơi đề.
Bài toán số 5: (Chiến thuật nào để dành chiến thắng tối ưu) Ba bạn Trung, Yến
và Thiên sau khi học xong đã rủ nhau đi đánh cầu lông. Để cỗ vũ tinh thần thi đấu

cho Thiên nên Trung và Yến đã đề ra kèo đấu như sau: Trung và Yến sẽ đấu luân
phiên với Thiên trong một loạt 3 set chơi nếu như Thiên có thể chiến thắng 2 trận
đấu liên tiếp thì sẽ được Trung và Yến mời đi ăn ốc. Biết rằng xác suất mà Thiên
dành chiến thắng khi đấu với Yến và Trung lần lượt là 0,4 và 0,3. Hãy chỉ ra phương
án thi đấu tối ưu nhất để Thiên có thể thắng kèo.
Phân tích bài tốn: Với luật đấu ln phiên trong loạt 3 set chơi thì Thiên sẽ có 2
lựa chọn để thi đấu: Kịch bản 1: Trung - Yến – Trung
Kịch bản 2: Yến – Trung - Yến
Bây giờ chúng ta sẽ xét xem với 2 kịch bản này thì kịch bản nào Thiên sẽ có xác suất
để dành chiến thắng cao hơn.
Lời giải
Để Thiên có thể dành chiến thắng thì sẽ có 3 khả năng xẩy ra đó là Thiên phải
thắng cả 3 trận đấu, hoặc Thiên thắng trận 1,2 và thua trận 3 hoặc Thiên thua trận 1
và thắng trận 2,3.
Ta xét với kịch bản 1
Xác suất để Thiên thắng cả 3 trận đấu là:
0,3 × 0,4 × 0,3 = 0,036
Xác suất Thiên thắng trận 1,2 và thua trận là:
0,3 × 0,4 × (1 − 0,3) = 0,084
Xác suất Thiên thua trận 1 và thắng trận 2,3 là:
(1 − 0,3) × 0,4 × 0,3 = 0,084
Suy ra xác suất Thiên thắng kèo với kịch bản 1 là:
0,036 + 0,084 + 0,084 = 0,204
Ta xét với kịch bản 2
Xác suất để Thiên thắng cả 3 trận đấu là:
0,4 × 0,3 × 0,4 = 0,048
17

(1)

Xác suất Thiên thắng trận 1,2 và thua trận là:
0,4 × 0,3 × (1 − 0,4) = 0,072
Xác suất Thiên thua trận 1 và thắng trận 2,3 là:
(1 − 0,4) × 0,3 × 0,4 = 0,072
Suy ra xác suất Thiên thắng kèo với kịch bản 2 là:
0,048 + 0,072 + 0,072 = 0,192 (2)
Từ (1) và (2) chúng ta suy ra rằng xác suất để Thiên thắng kèo khi chơi với kịch
bản 1 sẽ cao hơn. Thiên nên chọn kịch bản 1 đề thi đấu để có thể tối ưu cơ hội
thắng kèo của mình.
Phát triển bài tốn số 5: (Chiến thuật nào để dành chiến thắng tối ưu) Để khuyến
khích sự nghiệp cầu lơng đầy hứa hẹn của Yến, cha Yến sẽ trao cho Yến một giải
thưởng nếu như cơ ta thắng ít nhất hai set quần vợt liên tiếp trong một loạt 3 set chơi
với cha mình và nhà vô địch câu lạc bộ với lượt đấu luân phiên theo hai kịch bản sau
Kịch bản 1: Cha – Nhà vô địch – Cha
Kịch bản 2: Nhà vô địch – Cha – Nhà vô địch
Biết rằng nhà vô địch là người chơi giỏi hơn cha của Yến. Hỏi Yến nên chọn kịch
bản nào để thi đấu.
Lời giải
Nhìn nhận một cách trực giác chúng ta thấy vì nhà vơ địch chơi tốt hơn cha, nên
Yến chọn kịch bản nào mà càng phải chơi ít set với nhà vơ địch hơn thì càng có lợi
cho Yến đồng nghĩa với việc Yến nên chọn kịch bản thứ nhất. Tuy nhiên lời giải của
bài toán này sẽ cho chúng ta thấy sự suy luận không đúng. Thật vậy,
Gọi 𝐶 là biến cố “Yến thắng nhà vơ địch ở một trận đấu nào đó” với 𝑃(𝐶) = 𝑐
Gọi 𝐹 là biến cố “Yến thắng cha ở một trận đấu nào đó” với 𝑃(𝐹) = 𝑐
Gọi W1 là biến cố “Yến dành chiến thắng ở kịch bản thứ nhất”. Khi đó ta có
= ℙ(𝐹𝐶𝐹 ∪ 𝐹𝐶𝐹‾ ∪ 𝐹‾ 𝐶𝐹)
= ℙ(𝐹𝐶𝐹) + ℙ(𝐹𝐶𝐹‾ ) + ℙ(𝐹‾ 𝐶𝐹)
= ℙ(𝐹)ℙ(𝐶)ℙ(𝐹) + ℙ(𝐹)ℙ(𝐶)ℙ(𝐹‾ ) + ℙ(𝐹‾ )ℙ(𝐶)ℙ(𝐹)
= 𝑓 2 𝑐 + 2𝑓𝑐(1 − 𝑓) = 𝑐𝑓(2 − 𝑓).

Gọi 𝑊2 là biến cố "Yến giành chiến thắng khi chọn kịch bản thứ hai". Khi đó,
ℙ(𝑊1 )

ℙ(𝑊2 )

= ℙ(𝐶𝐹𝐶 ∪ 𝐶𝐹𝐶‾ ∪ 𝐶‾ 𝐹𝐶)
= ℙ(𝐶𝐹𝐶) + ℙ(𝐶𝐹𝐶‾ ) + ℙ(𝐶‾ 𝐹𝐶)
= ℙ(𝐶)ℙ(𝐹)ℙ(𝐶) + ℙ(𝐶)ℙ(𝐹)ℙ(𝐶‾ ) + ℙ(𝐶‾ )ℙ(𝐹)ℙ(𝐶)
= 𝑐 2 𝑓 + 2𝑓𝑐(1 − 𝑐) = 𝑐𝑓(2 − 𝑐).
18


Vì nhà vơ địch chơi tốt hơn cha của Yến nên khả năng Yến thắng cha của mình sẽ
lớn hơn khả năng Yến thắng nhà vô địch ở mỗi ván đấu tức là:

f  c  2  f  2  c  fc(2  f )  fc(2  c)
Do vậy Yến nên chọn kịch bản thứ 2 để xác suất nhận được giải thưởng cao hơn.
Nhận xét:
 Vì phải thắng 2 trận liên tiếp nên bắt buộc anh ta phải thắng trận đấu thứ
3 của loạt 3 trận đấu. Do đó, với căn cứ này chúng ta có thể suy đốn
Yến chọn kịch bản thứ 2 sẽ có cơ hội dành chiến thắng chung cuộc cao
hơn. Và với lời giải như trên chúng ta cũng đã chỉ ra được điều này.

Bài toán số 6: ( Thử nghiệm cho đến khi thành công ). Thực hiện gieo một con
xúc xắc cân đối đồng chất một cách độc lập. Tính trung bình số lần tung cho đến
khi xuất hiện mặt 6 chấm.

Lời giải
Gọi 𝑝 là xác suất tung xúc xắc được mặt 6 chấm trong mỗi lần thử nghiệm. Khi đó,
Thử nghiệm

Xác suất thành cơng

1

𝑝

2

𝑞𝑝

3

𝑞2𝑝

⋮

⋮

trong đó 𝑞 = 1 − 𝑝.
Ta có
𝑝 + 𝑞𝑝 + 𝑞 2 𝑝 + ⋯ = 𝑝(1 + 𝑞 + 𝑞 2 + ⋯ ).

Áp dụng cơng thức tính tổng của dãy cấp số nhân ta có
19

(1)


𝑛

𝑞𝑛 − 1
𝑆𝑛 = ∑   𝑞 =
.
𝑞−1
𝑖

𝑖=0

Do 𝑞 ∈ (0,1) nên cho 𝑛 → ∞, ta được 𝑆𝑛 →

1

hay
1
1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ =
.
1−𝑞
Kết hợp điều này và (1), ta có,
1−𝑞

𝑝 + 𝑝𝑞 + 𝑝𝑞 2 + ⋯ = 𝑝 ⋅ (1 + 𝑞 + 𝑞 2 + ⋯ ) = 𝑝 ⋅
Gọi m là trung bình số phép thử. Khi đó ta có

1
1
= 𝑝 ⋅ = 1.
1−𝑞
𝑝

𝑚 = 𝑝 + 2𝑝𝑞 + 3𝑝𝑞 2 + 4𝑝𝑞 3 + ⋯

(2)

(3)

Suy ra,
𝑞𝑚 = 𝑝𝑞 + 2𝑝𝑞 2 + 3𝑝𝑞 3 + 4𝑝𝑞 4 + ⋯

(4)

Trừ từng vế của (4) cho (3) ta được
𝑚 − 𝑞𝑚 = 𝑝 + 𝑝𝑞 + 𝑝𝑞 2 + ⋯ (5)
Kết hợp (2) và (5) ta được

1
𝑚(1 − 𝑞) = 1 hay 𝑚𝑝 = 1 ⇒ 𝑚 = . (∗)
𝑝
1
Ở bài toán này, ta có 𝑝 = nên suy ra 𝑚 = 6.
6

Vậy trung bình ta phải tung con xúc sắc cân đối đồng chất 6 lần để nhận được mặt
6 chấm.

Nhận xét: Chúng ta có thể mở rộng bài tốn trên cho các mơ hình tương tự dựa

trên bài tốn sau: “Thực hiện các phép thử ngẫu nhiên độc lập cho đến khi xuất
hiện thành cơng thì dùng lại. Biết rằng xác suất thành cơng ở mỗi phép thử là
như nhau, tính số lần thưc hiện phép thử trung bình để xuất hiện phép thử thành

cơng.”

Phát triển bài tốn số 6: Trong mỗi hộp ngũ cốc có 1 phiếu thưởng và mỗi phiếu
được đánh số từ 1 đến 5 , và để được giải thưởng thì phải thu thập được một bộ đủ
cả 5 số. Vậy trung bình phải có bao nhiêu hộp để tạo thành một bộ hoàn chỉnh?
Lời giải
Chúng ta nhận được một trong những con số trong hộp đầu tiên.
20


4

Bây giờ cơ hội nhận được một số mới từ hộp tiếp theo là
5
Sử dụng kết quả (*) của bài tốn số 6 ta có:
Trung bình số hộp cần mở để có được số mới thứ 2 là:
1 5
= .
4 4
5

Tương tự ta có
Trung bình số hộp cần mở để có được số mới thứ 3 là:
1 5
=
3 3
5
Trung bình số hộp cần mở để có được số mới thứ 4 là:
1 5
= .

2 2
5
Trung bình số hộp cần mở để có được số mới thứ 5 là:
1 5
= .
1 1
5
Do đó trung bình số hộp cần mở để tạo thành một bộ hoàn chỉnh là:
5 5 5 5
1 + + + + ≈ 11,42.
4 3 2 1
Nhận xét Ở bài tốn này chúng ta có thể tổng qt lên với trường hợp n phiếu. Và
hồn tồn có thể giải quyết tương tự với kết quả (*) của bài toán số 6

Bài toán số 7 ( Câu hỏi giờ giải lao ). Vào lúc nghỉ giữa giờ một nhóm bạn gồm
Của, Thiên, Dương, Lập đang ngồi chém gió với nhau về bài tốn xác suất. Bỗng
nhiên Của nói răng “ Mấy con gà này dăm ba cái bài toán dễ ẹc mà khơng biết, có
gì khó thì cứ hỏi anh”. Nghe vậy Dương liền nói “Bạn thì ghê rồi, bạn là nhất. Vậy
bạn giải đáp giúp mình câu hỏi này xem nào”. So sánh xác suất xuất hiện ít nhất 1
mặt 6 chấm khi tung con xúc xắc cân đối đồng chất 6 lần và xác suất xuất hiện ít
nhất 2 mặt 6 chấm khi tung con xúc xắc cân đối đồng chất 12 lần. Nghe xong câu
hỏi của Dương thì Của cười và nói “ Q dễ, chưa cần tính cũng biết bằng nhau
rồi”. Hãy kiểm tra xem kết quả mà Của nói có chính xác khơng?
Phân tích bài toán : Đầu tiên ta thấy rằng bạn Của đã tự tin về câu trả lời của
mình nhưng khơng biết rằng mình đã bị nhầm lẫn trong tính tốn. Việc Của nghĩ
rằng xác suất ít nhất 1 lần xuất hiện 6 chấm khi tung xúc xắc 6 lần và ít nhất 2 lần
21


khi tung xúc xắc 12 lần là giống như nhau là hồn tồn sai lầm. Và để chỉ ra điều

đó chúng ta sẽ phân tích cụ thể bài tốn như sau:
Lời giải
a) Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất 6 lần ta có số phần tử khơng gian mẫu:
𝑛(Ω) = 66 .
Gọi 𝐴 là biến cố "Tung con xúc xắc 6 lần mà không xuất hiện mặt 6 chấm".
Suy ra 𝐴‾ là biến cố "Tung con xúc xắc 6 lần mà có ít nhất một mặt 6 chấm xuất
hiện".
Tung 1 con xúc sắc không xuất hiện mặt 6 chấm thì có 5 khả năng xuất hiện.
Khi đó, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐴 là:
𝑛(𝐴) = 56 .
Xác suất tung xúc xắc 6 lần mà không có mặt 6 chấm là:
𝑛(𝐴) 56
ℙ(𝐴) =
=
𝑛(Ω) 66
Suy ra xác suất tung con xúc xắc 6 lần có xuất hiện ít nhất 1 mặt 6 chấm là:
56
≈ 0,665.
66
b) Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất 12 lần ta có số phần tử khơng gian
mẫu: 𝑛(Ω) = 612 .
ℙ(𝐴‾) = 1 − ℙ(𝐴) = 1 −

Gọi 𝐵1 là biến cố "Tung con xúc xắc 12 lần mà không xuất hiện mặt 6 chấm" Tung
1 con xúc sắc không xuất hiện mặt 6 chấm thì có 5 khả năng xuất hiện. Khi đó, số
biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐵1 là: 𝑛(𝐵1 ) = 512
Gọi 𝐵2 là biến cố "Tung con xúc xắc 12 lần có 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm".
Khi đó, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐵2 là:
1
𝑛(𝐵2 ) = 𝐶12

⋅ 511

Gọi B là biến cố "Tung con xúc xắc 12 lần có nhiều nhất 1 lần xuất hiện mặt 6
chấm". Suy ra 𝐵‾ là biến cố "Tung con xúc xắc 12 lần có ít nhất 2 lần xuất hiện mặt
6 chấm".
Ta có, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐵 là:
1
𝑛(𝐵) = 𝑛(𝐵1 ) + 𝑛(𝐵2 ) = 512 + 𝐶12
⋅ 511

Xác suất tung con xúc xắc 12 lần có nhiều nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm là:
1
512 + 𝐶12
⋅ 511
ℙ(𝐵) =
612

22


Suy ra xác suất tung xúc xắc 12 lần có ít nhất 2 xuất hiện mặt 6 chấm là:
ℙ(𝐵‾) = 1 − ℙ(𝐵) = 1 −

1
512 + 𝐶12
⋅ 511
≈ 0,619.
612

 Nhận xét: Với mơ hình bài tốn này chúng ta có thể phát triển mở rộng

bài tốn với trường hợp có n mặt 6 chấm khi tung 6n lần.
Phát triển bài tốn số 7: Tính xác suất xuất hiện ít nhất n mặt 6 chấm khi tung
6n lần.
Lời giải
Gọi 𝐴𝑖 là biến cố “tung xúc xắc 6n lần xuất hiện 𝑖 lần mặt 6”, 𝑖 = {0,1,2, … ,6}
Gọi 𝐵 là biến cố “Có ít nhất n mặt 6 chấm khi tung 6n lần”
Khi tung xúc xắc 6𝑛 lần ta có số phần tử của khơng gian mẫu là:
n(Ω) = 66𝑛 .
Khi tung xúc xắc 6𝑛 lần mà khơng có mặt 6 ta có số khả năng xảy ra là: 56𝑛
Xác suất khi tung xúc xắc 6𝑛 lần mà không có mặt 6 là
56𝑛
66𝑛
Xác suất khi tung xúc xắc 6𝑛 lần mà xuất hiện 1 lần mặt 6 là:
𝑃(𝐴0 ) =

1
𝐶6𝑛
⋅ 56𝑛−1
𝑃(𝐴1 ) =
66𝑛
Xác suất khi tung xúc xắc 6𝑛 lần mà xuất hiện 2 lần mặt 6 là:
2
𝐶6n
⋅ 56𝑛−2
𝑃(𝐴2 ) =
66𝑛
.

.
.

Xác suất khi tung xúc xắc 6𝑛 lần mà xuất hiện 𝑖 lần mặt 6 là (𝑖 = 𝑛 − 1):
𝑖
𝑛−1
𝐶6𝑛
⋅ 56𝑛−𝑖 𝐶6𝑛
⋅ 55𝑛+1
𝑃(𝐴𝑖 ) =
=
66𝑛
66𝑛

Suy ra xác suất có ít nhất n mặt 6 chấm khi tung n lần là:
𝑛−1
∑𝑛𝑖=0    𝐶6𝑛
⋅ 55𝑛+1
𝑃(𝐵) = 1 −
66𝑛

23


Bài tốn số 8: ( Đồng xu hình vng ). Trong một trò chơi, người chơi tung một
đồng xu từ khoảng cách khoảng 5 feet trên bề mặt của một cái bàn hình vng có
3
keo dính cạnh 1 inch. Nếu đồng xu có đường kính inch đó rơi hồn tồn vào bên
4
trong hình vng, người chơi nhận được 5 xu nhưng khơng lấy lại xu của mình, nếu
khơng anh ta mất xu của mình. Xác suất giành chiến thắng của anh ấy là bao nhiêu?
Phân tích bài tốn : Chúng ta thấy rằng để dành chiến thắng thì đồng xu phải nằm
hồn tồn trong hình vì vậy khi đó tập hợp tất cả các điểm mà tâm đồng xu rơi xuống

để dành chiến thắng sẽ tạo nên một hình vng. Và từ đó chúng ta sẽ tính diện tích
hình vng đó và áp dụng định nghĩa xác suất hình học để giải quyết bài tốn này.
Lời giải
Minh họa trị chơi được biểu diễn như hình vẽ sau:
Gọi A là biến cố “Đồng xu rơi nằm gọn trong mặt bàn”.
3
Vì đồng xu có bán kính là inch nên khoảng cách từ tâm đồng xu đến các cạnh.
8

3

hình vng phải lớn hơn hoặc bằng inch nếu người chơi muốn thắng. Xét hình
8
1
vng 𝐻1 có cạnh inch có tâm trùng với tâm mặt bàn.
4

Khi đó để đồng xu nằm gọn trong mặt bàn thì tâm của đồng xu khi rơi xuống phải
nằm trong hình vng 𝐻1 . Trường hợp thuận lợi của biến cố A là hình vng được
tơ đậm biểu diễn trong hình vẽ.
Do đó, áp dụng định nghĩa xác suất bằng phương pháp hình học, xác suất để người
chơi chiến thắng trong trò chơi này là:
1 2
1
ℙ(𝐴) = ( ) = .
4
16

Nhận xét:
 Với mơ hình bài tốn này chúng ta có thể thay đổi kích thước, hình dạng

của đồng xu hay bề mặt bàn để trở thành bài toán mới.
 Chúng ta có thể tổng qt lên bài tốn với các kích thước là a,b,… và giải
tương tự để tính xác suất theo a và b.

Phát triển bài toán số 8: Trong một trò chơi, người chơi tung một đồng xu từ
khoảng cách khoảng 5 feet trên bề mặt của một cái bàn hình vng có cạnh 𝑛 inch.
𝑎
Nếu đồng xu có đường kính bằng inch đó rơi hồn tồn vào bên trong hình
𝑏
vng, người chơi nhận được 5 xu nhưng khơng lấy lại xu của mình; nếu khơng
anh ta mất xu của mình. Nếu đồng xu rơi vào bàn, xác suất giành chiến thắng là
𝑎
bao nhiêu, với < 𝑛?
𝑏

24