Bộ công thức toán ôn thi thpt quốc gia

`”

đồng, hợp, kiến thức đöán,

Iz1.Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1.(a+ 6)` =a? +2ab
+ bÊ

1ˆ. A'<0: Phương trình vơ nghiệm.
IV A'=0:

2. (a—b)* =a* —2ab +b”

Phương

.-

3.a°—b* =(a+ bYa—b)

trình

có nghiệm

kép:

a

4. (a+b)? =a? +3a°b + 3ab + bŸ
5. (a—b)® =a° —3a°b+ 3ab? — pỀ

x=

6.a°+b° =(a+ ba’ —ab+b’)
7.aŠ— bỀ =(a— b)\(4` +ab+ b`)

“=".—....\Y

1 xy =————

a

a

/

® đhúý
ax? +bx +e=0=a(x— xị)(X — X;)

với x;,x; là hai nghiệm

I8
TT Phương †rình bậc hai:

bậc 2: ax?+øx+e=0

ax” +bx
+ = 0(a
# 0)
/
H
t

|

!
I
I

|'

!

3.Định lí Vie†:

,1.Cơng thức nghiệm của phương †rình bậc hai:,
A=ø?—4ac

% A<0: Phuong †rình vơ nghiệm.

Y A=0: Phuong
6
Kame
1
2
2a

trinh có nghiém

`

kép:

'

x=

\

-b-VA
2a

1x

2a

⁄2.Cơng thức nghiệm thu gọn của phương trinhs
bậc hai:

Nếu "b chẩn" (ví dụ ø = 4;2^Í3:2m;—2(m + 1);...)
†a dùng cơng thức nghiệm thu gọn.

1

I

|
'
ị

\'
Ị
!

Ị

ax”+øx+c=0 có 2 nghiệm x,,x; Thì:
6
S=xi†+x¿=——

€
a

P=x¿(x¿=—

!

I

—b+VA

===~~~~~~~~ `

Nếu phương trình bậc 2
I

A>0: Phương †rình có 2 nghiệm phân

biệt:

của phương trình

'
!

7 @ “Téng bà, tích ca" 'Ị
'Ị
|'

Ị

Ị

1

,4.Các †rường hợp đặc biệt của phương †rình -..
bậc 2:

Ý Nếu

z+ø+c=0

thì phương

trình có

thì phương

trình có

x¡=1

nghiệm:

V Nếu

c
x¿=—
a

z-ø+c=0
x¡=-1

N


31 géng hep hisn thite Toan
““—

5.Dấu của nghiệm số: --~-~-~~~ N | 27T TT TT TT rrrrrrrrrrrz==rz===z=====ee `

\
'Ị
ax” + 6x +c =0(4
# 0)
'{
'
V Phương trình có 2 nghiệm trái dấu I'
Ị
x¡ <0'Ị
V Phương trình có 2 nghiệm dương phân 'Ị'
{
biệt 0< x¡

'
'
A>0
'
SP >0
1
Ị
s>0
'{
'
/ Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt Ị'
{
'Ị
x¡'Ị
A>o
'Ị
c©ll>o
'Ị
'I
s<0

#(x)
A>0

í!
Ị

woot

x

'
!

Ị ax+b
Ị

1.Dấu cửa nhị thức bậc nhất: ------ `
f(x) =ax+b(a

=

°

—

|†rái dấuaO

b

#0)

'I

i
i

*Phải cùng, trái trái"

mm...

„===

'
!
'

¡|
!

Ị

Ị

A<0

x_|-=

F(x)

`

oe

cùng dấu a

+

3%

cùng dấuaO_

*%

+

trái dấua

O cùng

“.......ƠƠ,,...

7
3.Dấu của đa thức bậc >3:

Bắt đầu từ ơ bên phải cùng dấu với hệ sốa
của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu,

IVbiểu kiện để †am thức
không đổi dấu trên I§

Cho tam thtic bac hai:
F(x) =ax* + bx +c (a #0)

a>0

f()>0XxeR ©

A<0

a>0

Z(x)>0VxelR

2.Dấu của †am thức bac hai: ------., `

F(x) = ax® + bx +c(a #0)

cùng dấu a

“Trong †rái, ngồi cùng”

| mi

'
I

cùng dấu a

O0

qua nghiệm kép khơng đổi dấu.

I

*

a

x9

#(x)

Trrr=====r=========================z

EE==z I1I.Dấu của da thúc:

cùng dấua

'
'
!

|I
'

!

'

A<0

F(x)<0VxERS
#(x)<0VxelR

©

a<0
A<0
a<

0

A<0

2


N21

gag hopkiénthie
Tan

ˆ

Bai 56 ud Giai th
mmm

~VPhuong trinh va bit

a VI.Phuong trinh và bất phương trình #4

phương †rình chứa †rị tuyệt đối
A
HI=

,khi AZO

—A ,khi A

i
Ị
|
'

|

4>0

\

4=8

* ||=#@©

chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

v

1, Phng rỡnh ----------- X

J2=se|

B20
A=8

;

I

4>0(2>0
vJ4=Jzolf?96>9i

A=8

t%
Vi

A<8

A
v A>ze|
Azze|

4>-8
ASB
4>-8
4<-8
4>8
4<-8
4>8

|4|<|e|4?<ứ?4?-ứe?â (A-BYA+8)<0

đ
đ%

v ice

Gâ

2.Bt phng trỡnh

ằ
IV

OO

ằ
%
WMA

1

R
Vv

RF

N

C

%
A
VM

CC

BD
A

|
^
Il

....

\
'


t%

A<0

TT

I

!


Yd

ang, hep-kién
thite oan
ere

LOL

mums VII.LUONG GIAC
z

=

„z~~- 3.Các giá †rị lượng giác đặc biệT: --~~,

„~=~- 1.Định nghĩa giá †rị lượng giác: ----..
sin

Ss.

2|
8-----`

1

yr

1
i
i
' OLA
HAT

7 cos

sinữ = @&K

tana
= AT

cos =OH

cota =BS

„-~ 2.Các công thức lugng gidc co ban: -~,

=

2)cota =

2

8

1

0

1

®

cosa]

1

&

2

1

0

tanz|

0

4

1

5

ll

cota]

|] | vB]

1

Bi

0

2

2

2

2

2

2

4.Cơng thức cộng:

cos(a — ð) = cosacos6 + sin
a sin 6

cosa

sin(a
— 6) = sinacosb—sinbcosa

sing

1

cos

a=

2

3

sin(a
+ b) = sinacosb+ sinbcosa

cosa

4)l+tan® @ =—>
2

4

cos(a + b) = cosacosbh—sinasinb

sing

3)sin° a +cos” #ø =1

5)1+ cot"

6

sina]
S cos

3a
2

"

tana

o/Z)/Z/Z2Z),2

ot

Ir

a

0

0° | 30° | 45° | 60° | 90°

tan

4 B,

,

@

1
sin

6)tana@.cota =1

2

@

†an(a — 6) =
tan(a + b) =

tana—tanb
1+tanatanb
tana+tanb
1—†ana†an6


Yd

ang, hep-kién
thite oan
Đại aế và Giải í
5.Cơng thức nhân đơi:------~- `
'

!

sin2a =2sinacosa
cos2a
= cos”

2

a — sin”

a

Hệ quả: sin x.cosx = san

„2

cos
tan

-------

2
2

_atb

1—cos2x

2

1—cos2x

x =———————

1+cos2x

`ì
I
1
!

Ị!

I
iI
1I
1I
i1

7.Cơng thức nhân ba:

cos3a = 4cos”a— 3cosa

thức biến đổi tích thành †ổng: ---,
1

cosacosb= z|cs(4 —b)+cos(a+ 6)|
1
sinasinb= 2|eos(a —ð)— cos(a + Ø)]

sinacosb= plsin(a —ð)+ sin(a + 6)]

2

a-b

cos

21
. a-b

sin

20!

1

1

!

I
to
|
_atb
a-b
1 sina+sinb=2sin
cos

'

I

2

203

Ị

\

2

2

!
a+b
.a-b
| sina—sinb =2cos
sin

2x

1+cos2x
x=aes
2

1

'
!

sin3a = 3sina— 4sinŸ a

Z ~_8.Công

2

' cosa—cosbh=~—2sin

1—tan*a

1

I
1

2†ana

sin’ x =

a+b

| cosat+cosb=2cos
2

=2cos°a—1=1—2sin?a
tan2a =

h „--9.Cơng thức biến đổi †ổng thành tích: :~„ `

xe

10.Cung liên kết: ---------~

íI
'I Y Hai cung bù nhau: zvà z—ø
tI
sin(Z
— )= sinœ
'I

cos(Z—Œ)
=—cosœ
tI
'I
†an(Z—ØZ)
=—†anœ
tI
'I
co†—)
=—co†ữ
'I
'I v Hai cung đối nhau: ø và —œ
'I
cos(—Ø) = cosz
'I
sin(-@) =—sinøœ
'
†an(—#) = —†an

'
{
cot(—@) =—cota
I'
I'
I' *⁄ Hai cung phụ nhau: ø và “~—ø
2
I'
., | #
I'
sin) ——-@

|=cos@
t'
(;
)
II
t'
a
cos} ——@
|=sina@
II
(3
)
t'
II
au
ton{ Za) =cota
I'
2
I'
I'
Z
It
cot] —-@
|=tana@
N
2

'

Yd

ang, hep-kién
thite oan
Bai 56 ud Giai th
A1.Céng thitc tinh sinx,cos.x,tanx theo tans
í

!_

nnn nnn nn nn nn nn nn nnn nn nn nnn nnn sf 1

porn

I

sin(atz) =-sina

'

Ị

cos(a +7) =—cosa

I

'
!

i

if

=

i'

Sint +7)

-

sinx

!Ị

,kle

cosx

¡—s9s(x
+42)
1

,kchan

, kle

'

| tan(x+ Az) =†anx

keZ

1

=cotx

keZ

!

1

cot(x +k)

{mr

'| ¥ Hai . cung hơn
2.
kém —:
nay aay
'

sn(a+2)

!

cos|

11
i

a+—x7

cot

1

I

=-tana

=~V2sin

v

=—
=-V2cos|
coty-ttanx=

ar

——

.......
—————————

“|i

x

iv

4

x+ 24
1

I

= (sin? x +cos* x)

Ịị

!

1

!!

;

4

I ' v

Wy

£

1+ sinax =(sinx + cos x)

sin’ x +cos' x

t

1

2

Wy !

Wt

'

11

sin2x

1

Wt

‘Sin géc Ién = cos géc nhé - Cos géc lớn =|!

!

sinx —cosx

if

= cota

Bees «2

! VY cotx—tanx =2cot2x

Wt

2

2

I!

lì
!

Ị

z

yy | V

Z

ate

=

!

= cos

xz

x+ P
x

!

I

1

h
_
sinx +cos x=N2sin|

Ị

œ+— | =—sing

tf a+}

=

-- 12.Mộ† số công thức khác: --z

' v

|!

z

I

1-+

Ị !
|!
Wt
=

'

or :

tan x=

1+7

ft
,kchan kezZ

—sinx

I

2

‘SS WLU

!
yi

Hệ quả:
!

ap

1

ten(# +Z)= tạng
cot(œ+Z) =cota

2

oy

thì: sinx = oP

cosx = 1-7 ;

Wti}!

kém z : 7: ava ata
+
Ÿ Hai Hai cung hon hon kém

X

Nếu đặt t= tan

x

2

!

'!

'

—2sin” xcos” x

Ị
1

¿

'

=1-—sin"2x
|

Ly
1
H

\

6

2

sin ` x +cos”

!

6_

(...2

!
2

H

=| sinˆ x + cos” x

|

'

(sin x —sin® xcos* x +cos* x)|
3
=1—sin°2x

4

1
1

}

1
Ị


Nw

Tong hop kién thite Toan
Bai 56 ud Giai th

13.Phương trinh lugng giỏc c bn

sinu = sinv

sinu =a

u=v+k2z
â

u=z-v+k2z

đ Phng rỡnh cú chứa cotx: Điểu kiện

u=arcsina + ker
©

x#kZ

=Z~arcsina+ k2Z
ni

Đặc biệt:

=

cosy

°

°

u=v+k2z
u=-v+k2z

=

=~

:A

x

+ ker

u=—arccosa + ker
u== k2

2

cosu =1u=

cou =cofv

âu=v+kz

2

x

đ

sinx 40D

xX 4AT
aT

aT

=,=trEE

2

kiộn: mau #0

cos =0 >u=+kZ

tanu
= tanv

2

†anư = a ©

7 + k27r

ư = arc†ana + kZ

© cosx#z0âx#+Z
2

x

đ

tanx 40S

x #Âk

đ

cotxzO0<>xz#Ê^Z

b) Cỏch chuyn hm:
.

sin@ =cos|

cos =sin|

cou=a<>u =arccoa+kZ

2

2
a

-@
2
La

2

T

Tan a # = co co†| ——#
2

Luu y: ⁄

a) Khi giải phương †rình lượng giác †a phải

đặt điểu kiện nếu gặp mot trong hai †rường

hợp sau:

`...

`

TH2: Phuong trinh có chứa ẩn ở mẫu—>Điểu

u=arccosa
+ k2Z

cosư ==1<€

“%

2

=a

Đặc biệt:

“

z

sinu=0<©>u=kz

cos = cosy

`,

Phương trình có chứa cả tanx v cotx:
Leg

a
iu kin x

sinu=1âu=+k27

siny=1 ou

đ

TH: Phng trỡnh cú chứa hàm số tang
hoặc co†ang (†rừ phương †rình bậc nhất và
bậc hai theo 1 hàm số †ang hoặc co†ang)
® Phương trình có chứa †anx: Điểu kiện
a
x#—+kZ
2

c) Cách loại dấu trừ:

—sin ø = sin(~Ø)

—†an # = tan(—@)
—cota@ =cot(—a@)

Ngoại lệ: —cosø = cos(Zz — a)

~


Yd

ang, hep-kién
thite oan
Dai

e

N

.?e

®

,

LOL

40 VA

,14. Phương †rình bậc hai theo một hàm số-—.
Ị

!

lượng giác:

'

¡ Là phương †rình có dạng

Ị

|

Khi dé phuong trinh tré thanh:

1

asin’ x+bsinx +c=0

I

sinx.cos@ + sin@.cosx

1
'

'
Ị

Ị

acos” x + bcosx +e =0

'

H

atanđ x + btanx +Â=0

1

'

acot? x +bcotx+c=0

I


1
'
|
1
|

\



t=sinx(t=cosx)>Diộukiộn


!
-1<Â<1

!_?=anx(#=
cotx) > Khụng có điều kiện †.
'

'1

Các cơng thức cẩn nhớ:
„2

tỊ
x =1>
1 v sin’ x +cos*
Ị
ty

/

Ị

sinˆ x=1—cos”

2

cos“x =1—sin“

2

;

x
x

cos2x =2cos” x—1=1—2sinỄ x

V Điểu

¡

Ị

I

2

1 Va? +57

!1 vi ———
+
!
Va? +b?
I

+—c0s
6
Va? +b"

IỊ
Ị
IỊ
1'

'

1
Ị

\

2

Va’ +67

cosa =

cung @ sao cho
sina =

Là phương †rình có dạng
asin’ x +bsinx.cosx +ccos* x =0(*)
a
cosx=0<®>x=—+kZ
(sin? x =1) thé
2

'
!

Ị

va”+ø” †a !
I

Ị
!!

Va? +b

Ị

I

1 nén tén tai 1 '

a

'
I

ate

'

!
|

5

a+b

>

7-777 16Phuong trinh thuẩn nhất bac hai: ---~,

x = ———
<

+ ——|=
6

i

I

S

nghiệm:

sinacos B+sin Bcosa = sin(a + B)

! Là phương †rình có dạng asinx
+ bcosx =c.

+

có

⁄ Cơng thức cần nhớ:

Ị

sinx vd cosx

| sSsinx
=
sinx

kiện

ate

„--- 15. Phương †rình bậc nhất đối với-----~ ` THI:
\

¡ Chia 2 vế của phương trình cho
duge:
!

Na+

© sin(x +a) =

'

& Dat:

Sa

;

'
1

vào (*)

TH2:

cosx #0. Chia 2 vé (*) cho cos’x

ta

được phương †rình bậc 2 theo tanx

Lưu ý: Phương †rình
asinỄ x + Ðsinx.cosx +ecosẼ x = đ với

có thể đưa về dạng (*) bằng cách:
asin’ x +bsinx.cosx +ccos’x=d

© asin’ x + bsin x.cosx + ccos” x
ene

=đ(sinˆ

2

x +cos“ x)

J #0


Yd

ang, hep-kién
thite oan
eFe

fl

LOL
„„ 17. Phương trình đối xứng và phản xứng --~.
Là phương †rình có dạng
a(sinx +cos x) + 6sin xcosx +

& Dat:
>

an.

v

piéu kign —J2 <+< V2

.

> sinxcosx=

v

(sinx) =cosx

(sinu) =cosư.u'

(cosx) =-sinx

(cos uv)

sinư.ư"

(tan x) =1+ tan? x

(tan uv)

=(i+ tan® 0).u`

r-1
2

2

# VITTI.Cơng †hức tinh dao ham: 8

()
v

_ uy—wy`
về

(aww) =u' vw +uv'w-+uww'
:

(x*)'=n.x"

"

(x)'=1

(9) = et!

(a*) =a* Ina
(Inx)

eo

(a“) =a" Inaw'
m

=—

có

(Inv) =—.u'

x

1

(log, x) =

SỐ

“

(log, uv) =

xina

la

(#):
oxtd

(w) =u'v+uv'

ơ.

=-(1+cotđ u).u'

(e") =

1-7
2

wu

cos

(cotu) =

x

iu kin V2
() =0
(ku) = ku
(utv) =u'tv'

cos” x

sinˆư

4

sinx cos x =

1,

=

(cotx) =-(1+ cot? x)

†~sny —cesx — J8 en|x~ 5 ]¬»

>

1

=

z

.

(=

as.

=0

đó,
ulna

b

¿ 2| - az-œ

(ex+dy

(x+dy

ax? +bxte

ax?+p'x+e'
a
_— |4.

bl,
a
x +2)
6)
la’

x+

boe
6"

c]

(ax? +bixte'y
“anh ban ăn cơm bằng chén"

.


NYd

ang, hep-kién
thite án
Bai 56 ud Giai th
*

Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba

mm IX.Các dạng toán về hàm số. Em

y=ax`

,~- 1Các bước chung khỏo sát sự biến thiên - | | số

và vẽ đổ †hị hàm số

nghiệ

*

+bx”

a>0

+ex +dđ(a #0)

a<0

của

+ Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân
É

SN

m

+ Tập xác định:
thức

Vẽ để thị:

phươ

+b
ot 2z)

ng
+
Trình

y=“Š

y'=0

Đạo ham: y'

Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải
phương trình y'= 0†ìm nghiệm.
“22

ĐÀ

a

%

*⁄ Đếi với hàm phân thitc y =~

+b

oxtd

la

b
a

đ —b,

(x+đ}

(ex+đ)

=_—“L=-“—^“

oF

>o(hoặc

<0) VxeEd

+ Bảng biến thiên:
Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.

*_ Bảng giá tri:(5 điểm đối với hàm bậc 3,
bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức
y=

ax+b

oxtd

Các dạng đổ thị của hàm số bậc bén tring

phương y =ax” +øxŸ + c(a # 0)

a<0
Đi

O}

Yd

ang, hep-kién
thite oan

y'=0

cói1

Ịị

nghiệ

"(cx +d)
vào dấu của tử.

z có dấu phụ thuc

m

Ă

nht

Ă

nh

|

c t "=")


!

xỏc nh
ây'<0,Vxeéôâ>ad-cb<0_

! v Hm s ng bin trờn từng khoảng xác

duy

Các dạng đổ thị của hàm số phân thc
ôx +6

cx+g



(c # 0,ad
be # 0)

Ă

Lề

ây'>0,Vxeé<>ad-cb>0_

(Khụng

Hm s nghch bin trên từng khoảng

sớdấu "=2

(Không
+

*⁄ Hàm số y=Z(x) đạt cuc tri tai xạ ©
ein điểu kiện của tham sốm để hàm số đơn
điệu †rên từng khoảng xác định:

y''(%) <0

Hàm số y =Z(x) đạt cực †iểu tại xạ ©

Đạo hàm y'=3zx? +26x +c là 1 †am thức

màn

bậc 2.

déng

=rzexxeRel

VHàm

số

biến

b.Hàm nhất biến: y =

trên

R

Ay. <0
a>

nghịch

©y'<0,VxeR<©

y''(%) #0

[one

Tập xác định =ïR.

số

peo

Y Ham s& y=F(x) đạt cực đại tai xy

a.Ham bac 3: y = ax? +x? +x +d

v Hàm

`

0

biến
Ay. <0
a.<0

axt+b
otd

Tập xác định o= m\|-#}
€

y''Œœạ)>0

a.Hàm bậc 3: y = ax” + øx” +cx
+ đ(a # 0)
—=y'=3ax” +2bx +

trên

R

V Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực

tiểu)

¬

phương

nghiệm phân biệt<>

trình

y'=0

>0

có

2

4.50

Hàm số khơng có cực †rị <> Phuong
†rình y'=0

vơ nghiệm hoặc có nghiệm

A,. <0

1
I
'
'
'

'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
1


Yd

ang, hep-kién

thite oan

/
1 ‘ b.Ham bac 4 tring phuong:
1
1
1 y = ax +bx* +c(a #0)
1
1
1
=> y'=4ax? +2bx
1
1
1
1
Ta có: y'=0 © 4axŸ +2øx =0
1
1
1
©2x(2ax?+ø)=0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
2
'1
1
1
1
1 *⁄ Hàm số có 3 cực †rị <> Phương trình
1
1
1
y' =0có 3 nghiệm phân biệt Phương
1
1
1
†rình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác O
1
1
1
1
oso.
1
2a
1
1
1
Hàm số có 1 cực †rị <> Phương trình
1
1

y'=0 có 1 nghiệm <>Phương trình (2)
1
1
'
vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0
1
1
1
—b
1
<=—<0.
ụ

Íb.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

,

! hàm số y =Z(x) †rên 1 khoảng hoặc nửa
khodng (a: 6),(a:+20),(—20;5),[4:5),(a:b]

Y Tim tap xác định.

Y Tinh dao ham y'

VY Lép bang bién thién

⁄ Dựa vào bảng biến thién, so sénh va kết

z

5.Tìm giao điểm của hai đường.

iv Cho

|.

hai

đổ

thị

():y=§@9.

(4):y=#(x)

`
và

!⁄⁄ Phương trình hồnh độ giao điểm của
(4) và (4) là: á(x)= #(x)(*)

V Giải phương trình (*) †a được hoành
độ giao điểm, thế vào 1 trong 2 hàm
số y=#(x) hoặc y=#(x) được †ung
độ giao điểm.

\

„-~~ 6.Tìm điểu kiện của tham sốm để hai ---~

„ 4.Phương pháp †ìm giá †rị lớn nhất, giá †rị nhỏ...
/
nhất của hàm số:

|

a.Tìm giá trị lớn nhất, giá †rị nhỏ nhất cửa
v⁄ Hàm số liên tục †rên đoạn [a:ø]

Ị

⁄ Tính đạo hàm y'.

V Giải
Ị

|.

\

phương

nghiệmx,

trình

y'=0.

[a: ®](/ = 1,2,3...)

v/ Tính y(4), y(6), y()
*“ Sø sánh và kết luận.

¥ Cho

hai

dé

thị

(4):y=#(x)

và

(2):y =0).

V⁄ Phương trình hồnh độ giao điểm của

hàm số y =Z(x) xác định trên 1 đoạn [a:ø]

Ị

đường cong cắt nhau với số điểm cho †rước.

(4) và (4) là : 4(x)= #(x)Œ®)
v

Tìm

các

(4)

và (4)

cắt nhau tại ø điểm phân

biệt khi và chỉ khi phương †rình (*) có
nghiệm phân biệt.
+tưu
ý : Trục hồnh có phương †rình y =0


Yd

ang, hep-kién
thite oan
Đại aế và Giải í

--T.Dung dé thi bién ludin theo tham sém sé .,

7

Luu y: Ta phải †ìm được 3 đại lượng:

nghiệm của phương †rình.

Cho để thị (Z): y = Z(x). Dùng đổ thi (C), biện

luận

theo

m

số nghiệm

của

phương

trình

A(x,m)=0.

v Biến đổi phương

trình

ø(x,m)=0

về

dạng Z(x)
= ø(m)(*).
v Số nghiệm của phương trình (*) là số

giao

điển

y=fŒœ) —

ữ =ø(n)

⁄ Bảng kết quả :
gm)

m

của

()

hai

đổ

thị:

điểm

giao

hoành độ tiếp điểm xạ

⁄ Tính đạo hàm y'
⁄ Thay xạ vào y tính yo
v

Thay x) vao y' tinh £'(x)

Y Phuong

Số

tuyến:

Y Gidi phương †rình Z(x¿)= yạ tim xp.

tri của m để phương †rình có đúng 3

nghiệm, 4 nghiệm,.. †a khơng cẩn lập
bảng kết quả như †rên mà chỉ cẩn chỉ rỡ
các trường hợp thỏa đề (Ðựa vào đổ †h/

ta thay (C) va (d) cắt nhau tại đứng 3

điển, đứng 4 điểm ..)

v

Thay xạ vào y' †ính Z'(xạ)

Y Phuong
Y =F (XH Mx-

„„-8.Viết phương †rình tiếp tuyến của đổ Thị ~ `
hàm số:

¡ Cho hàm số y =Z(x) có đồ thị là đường cong
! (€). Phương †rình tiếp tuyến của đổ thị tại
-“

tiếp

tuyến:

0) + Yo

hệ số góc &.

6iả sử tiếp điểm là 4§(xo:yạ)
Y Gidi phuong trinh F'(x))= tim x9.
Thay xạ vào y †a †ìm được yo.
†rình

tiếp

tuyến:

VY =F (xox
— Xo) + Yo
Luu y:

Y Nếu tiếp tuyến song song với đường

thẳng y=ax+ø thì #'(xạ)=a.

Y Nếu tiếp tuyến vng góc với đường

thẳng

lề: y = #`(xạ)(x—
xạ)* Yo

trinh

Dang 3: Viết phương †rình tiếp tuyến khi biết

⁄ Phương

#b(:#a)

tiếp

độ tiếp điểm yp.

nghiệm

Lưu ý: Nếu bài oán chỉ yêu cẩu tim các giá

! điểm
\`

trinh

VY =F (xox
— x0) + Yo
Dang 2: Viết phương tiếp tuyén khi biét tung

(đ)
Số

Dạng 1: Viết phương †rình tiếp tuyến khi biết

y=ax + b(a #0)

#*)a=~—L©f'ạ)=—=.

thì


Yd

ang, hep-kién
thite oan
270

DP

LOL
Z

/

Am.
¡La =1

\b

1

Ị

(2")

a

(ab)"=a" 6"

”

iv Néu a>1 thi log, @ > log, BS a> PB

1

n

¡Y Nếu 0
a’ =Va

a’ =a"

2

log,a

10) a'°%* = 6%" Dae biét: a’? =b

! đắc tinh chất quan trong:

a

=q""

`

9) log, b.log, ¢ =log, ¢

đỔ{ze— mạn

An =a mạn

a

!
ae
ia" =—
a”
I
\
”
I
‘()

8) log, b=

1,Cơng thức lũy thtta: --------~

"—

1

!

thì log, ø > log,

© # < 8

| Céc tinh chat quan trong:

|\

Y Néu a>1 thia”

Ị
\\

>a%’ oa>ZB

Nếu 0
ø< 8

BE

XI Phương †rình và bất mm
phương trình mũ:

/
iỊ
'I
'Ị
'I
'Ị
'Ị
'Ị
'I
'Ị
!
1
I
'Ị
'I
'Ị
'I
'Ị
'Ị
†

\

1)

log,1=0

v

2) log,a=1

a* =b
VY a“#)=g>ƒ(x) =log,6

3) log, 6” = @log,b

va) =a#Œ) © Z(x)= ø(x)

x
1
Đặc biệt: log, [6 =—log, 6
n

1

4) log „6= Gi

b

5) log, (be) = log, b +109, ¢ (légarit cua tich

bằng tổng các légarit)
6) log, oe log, 6 — log, ¢
€

(légarit cua thương bằng hiệu các lơgari†)
log.

7) log, b= Oe?

b

log,a

2

a

(abi co sé)

;/

„======= 2.Bất phương †rình mũ: _~~~~~_ v

tý

a >b&x>log,b

nu a>1

1

af*)>p@â(x)>log,6 nu a>1

`\



'

'
1Y
a
>b&>xnộu
0\
!
ađ>p@>7(x)\
IY
a
5g & F(x)
> g(x) neu a>
'
Ă

Ă:

\

\
'
\|

a0) xa#đ
â (x)< 9x)

nu 0

}




Yd

ang, hep-kién
thite oan
Đại aế và Giải í

mmm XIZ.Phuong trinh va bat

mmm XITI.Céng thttc ngun ham ae

phương trình lơgori†:

tich phan
3> Cơng thức nguyên hàm:
Nguyên hàm cơ bản

v

log, xX =b<>x=a"

[t#x=x+£

Tin
—-.

fx

Y log, F(x) =log, g(x) > F(x) = glx)

ƒ—a=n|x|+

log, F(x) > b <> F(x) >a? néu a>1

V log, x > b> x
log, F(x) > b> F(x) Y log, F(x) > log, 9x) <> F(x) > 9x)
nếu a>1

Y log, F(x) > log, 9(x) © F(x) < 9%)
nếu 0
Lưu ý đặt điểu kiện cho phương trình,

phương trình mũ và lơgari†:

VY al ~› Khơng có điều kiện.
f(x)>0

/ logz¿„y ø(x) —> Điểu kiện:

4Z(x) #1
ø(x)>0

Đặt =a*

-> Điều kiện: >0

[tex+“%
-1 (x19) 7
a

1

VY log, x > b> x>a? neu a>

rộng

[adx=ax+£

vn

Y log, f(x) =b & f(x) =a?

Ngun hàm mở

\ì
ii
ii
ii
ii
ii
Ịi
ii

ii
ii
I
i
'
ii
ii
ii
Ịi
ii
ii
ii
ii
i

Y Dat z=log,x —> Khơng có điều kiện + !

;Ị

at+i

1
1
Í——~=—hlax+2|+
ax+b

x

1

J

—=—

[z~=#~+e

2Vaxtb +0

a

1

*

ax

we

=

1
+b) “

1

[

*

=——.Ố

[-s#=-—+e

a

at

.

4a ax+b

+ế

[costax +)øx
Jeosxdx =sinx +c

1
=—.sin(ax+b)+e

a

Jsinxax =-cosx +6

Ísintax

+ b)dx

1
=——.cos(ax+6)+£
a

J

1

J cos’ 7
x
=†anx+£

J

1

z—

sin’ x

đx =—co†x+

1

cos’ (ax +b)

dx

1
=—.†an(ax+6)+£

a

J
=

1

sin’*(ax +b)

dx

1 cot(ax +ø)+£

a


Yd

ang, hep-kién
thite oan
Bai 56 ud Giai th

feta

b

=e~+e

fota=

a

x

Inz

Sinx

+0

Thứ thự ưu tiên: Inx —> 2(x) —>|

I= J f(x)1#'(x)ax = J zϿ

¡Z2 ax
Q(x)

t(a)

4ột số cách đổi biến thường gặp:

v

v [£m~z= Đặt ?=Inx

x_

v

JF (tanx)

2 dx —

cos x

v

1
J Fcotx) mm
dx —
sin’ x

Dat t=cosx

Bac

cla

Q(x):

Chia

da

Bậc của (x)<

Bac cla Q(x):

>

Phan

P(x) _

P(x)
Qx)
(x-a)*(x—b)

Dat t=tanx

ats

=

Dat t=cotx

4⁄4 thì đặt =4
Y⁄ Khi tính tích phân dạng [ sin” xcos” xx:

©_ Nếu m và n chẩn †a dùng công thức
hạ bậc.

8

xa

1

Cc
+——

x-b

1 (

(x-a(x—ð)

1

a-b\x-a

1

)

x-b

> Tinh diện tích hình phẳng
x_ Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đổ thị
sốy =f(x), †rục hồnh,

hai đường

thẳng x=a,x=b.
b

Cơng thức:5 = [|£9|ax

x_ Hàm có chứa va” —xŸ thì đặt x=asin?

x_ Hàm có chứa Vx? a? thi đặt x=-—“—

x_ Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đổ
thị đổ thị hàm số y =Z(x),y= ø(x), hai

sint

hay a? +x?

(x-a}

s+

Đặc biệt:

hàm

©_Nếu m chẩn, n lẻ ta đặt z = sinx.
©_ Nếu m lẻ, n chẩn †a dat t =cosx.
> Phuong pháp đổi biến số dạng 2:

v Ham cé chtta Va*+x°

(x)>

sau:

⁄ Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa

dat x =atant

của

tich mau thành tích và biến đổi theo cách

V [ZGinx)cosxdx—> Đặt ?= sinx
1

Bậc

thức tử cho mẫu.

Ý⁄ [Z(”)e*4 —» Đặt r=e*
J #(cos.x) sin xdx >

x

3> Phương pháp tính †ích phân của hàm hữu tỉ:

10)

b

cosx
e

3> Phương pháp đổi biến số dạng 1

v

b

> Tich phan ting phan: fuav = wh - Ỉ v.du

thi

đường thẳng x =a,x =6
b

“ông thức: 5 = |\Fx) go|ax


Yd

ang, hep-kién
thite oan

> Tinh thé tich vat thể †ròn xoay: Cho hình

iv Phép nhân hai số phức:
(H) giới hạn bởi đổ thi hàm số y = f(x), truc '' (a+ b/).(a'+ b'/) = (aa'—
bb`) + (ab'+ ba`)/
hoành và hai đường thẳng x=a,x=6quay | |' Yˆ Phép chia hai số phức:
!

quanh truc hodnh tao thanh vat thé trén

an
là:

xoay có thể †ích

'l2

4

(phan cd tt va mau cho zy

4%

2,5

°b

H

1

—

a

'

Zz

ZZ

! vˆ Số phưc nghịch đảo của z là: ~=-^—

v =a) Fora
BSẪẨ“==== XIV.Số Phúc

sz

| „- 2.Gidi phương trình bậc hai với hệ số thực -.,
I

7

I Số phức là 1 biểu thức có dạng z=a+ø/,

'
\h 1
a

i

! trong dé a, là các số thực,/? =—1.
| a: được gọi là pha thye

1

| b: được gọi là phẩ đo

tị;
lŸ

|

yt

iv

Cho phương trình bậc hai az” + 6z +e=0
(a,,celR và az0)

A<0:

oO NEAL,
2a

ya

*

A

eg

pe

.

x-=8~Y-A/

¡ *ˆ Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi có |}!
i

|

''
'i

A=6'-4ac
'
Phương trình có 2 nghiệm phức

phan biet:

| ¥ Tap hop cdc sé’ phite dugc ky higula C |]!
! v Số phức có phẩn thực bằng O được gọi !|!

la s6 thudh do.

†rên tập số phức:

2-24

Itt

'

Ị
'
!'

¡ _ phẩn Thực băng nhau và phẩn do băng (|! v A =0: Phương trình có nghiệm kép †hực: }
1

a=a'

tft

|

nhau.
=a'+ bi / > fre
au. a+
a+ bf
bi=a

!

'

"Thực bằng thực, đo bằng do”

! ! Y A>0:

IV Môđun

của

[islet
1

số

phức

z=a+ø: !|!

| Vˆ Số phức liên hợp: của số phức z=a+ø¿

|

a z=a-6i

1

^

=_—

— "

' ⁄ Phép cộng hai số phức:
1

'
I
I

\

(a+Ø7)+(a'+ð'7)=(a+a`')+(b+ð')/

⁄ Phép trừ hai số phức:
(z+6ø7)—(a'+

6'7)=(a~=a)+(b=})/ ;

|!|!

|! Chay:
'

!

Phương trình có 2 nghiệm thực !

phân biệt:

yt

1

I

X==x„=—?
=
ba

sa.
NET
Tu
.

ove
PT

!

!

1

1

'

lŸ V Khi giổi phương trình †rùng phương '
{
i
'
az°+øz?+c=0
trên
tập
số
phức
C,
ta
it
I
tft
th

đặt z = z? (không cần điều kiện cho z )

1

I
i

1


1

đãng bepliántiứe
Foan
Tể hạp -Xác auất

EE====== I. Quy tic dé?

2. Chỉnh hợp: Từ n — lấy k -—> sắp thứ tự

Eo

1. Quy tắc cộng: —=———.
Một cơng việc được hồn thành bởi một †rong

hai phương án A hoặc B. Nếu có m cách thực
hiện phương án A, n cách †hực hiện phương án
B thì sẽ có m+n cách hồn thành cơng việc.

⁄ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phan

†ử (ø >1). Lấy ra k phẩn †ử và sắp xếp
chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi kết
quả thu được được gọi là một chỉnh hợp

chập k của n phần tử.

v⁄ Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
nt

4= (a—&@)I

=ñn„—1)..(n—&k+1)

(0
3. Tổ hợp: Từn —> lấy k

2. Quy tac nf
Một công việc được thực hiện qua hai hành

động liên tiếp A và B. Nếu có m cách †hực

⁄ Định nghĩa: Cho tập hợp A gổm n phẩn

†ử (ø >1). Lấy ra k phẩn †ử, mỗi kết quả
†hu được

hiện hành động A, n cách thực hiện hành

động B thì sẽ có m.n cách hồn thành cơng

được gọi là một chỉnh hợp

chập k của n phần tử.

v⁄ Số các †ổ hợp chập k của n phẩn tử:

việc.

ck=
——_
n

k\(n—k)!

Lưu ý: Đối với bài toán thành lập số ta phải
xét hai trường hợp nếu thỏa mãn 3 điều
kiện sau:

mmm

(0S kn)

IITT.Nhi thitc Niu-tcn

⁄ Để cho có chữ số 0.
v⁄ Số cần tìm có các chữ số khác nhau.

v số cẩn tìm là số chia hết cho 2 (số
chẩn) hoặc số chia hết cho 5.

ke I1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp mam
1. Hoán vị: Từ n phẩn tử —› sắp thứ tự

⁄ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phẩn
tử (z+>1). Mỗi cách sắp thứ tự n phẩn

†ử của tập A được gọi là một hốn vị

của n phẩn tử đó.

vVSế

hốn

vị

của

n

2 =nl=đn(n~—1)..2.1

nl: đọc là "n giai thừa”

phẩn

tử:

Y Céng thức nhị thức Niu - †ơn:
(a+b)" =Cpa" +a" b+ Cpa” *b +t
kn k

nd

Be +t Or ab" 4.076"

-Š2z»|-Š Š 24" ‘)
v sé hang tổng quát:
chat Bb

Z⁄4”“ø“

hoặc


1

đãng bepliántiứe
Foan
Tể hạp - Xiao andl

mum

IVXúcsuối

[i
Y Phép todn trén cdc biến cố:

Vv Phép thé ngdu nhién (gọi tắt là phép
thử)

là một

thí nghiệm,

một

phép

do

hay một sự quan sát hiện †ương nào đó

- AUB: Hop clia cdc bién c&A va B(AUB
xẩy ra © A xảy ra hoặc B xảy ra).
- 4ao8(hay 4.8): 6iao của các biến cố A

va B (ANB xdy ra © A và B đổng thời

ma:

- Kết quả của nó khơng đốn †rước được.

- Có thể xác định được tập hợp tat cả các

kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

xẩy ra).

- A8 =Ø thì †a nói A và B là 2 biến cố
xung khắc (không đổng thời xảy ra).
-A=Q\A

được gọi là biến cố đối của biến

cố A. (A và 4 xung khéc va AUA=Q)

⁄ Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết

*“ Xác suất của biến cế: 2(+) = “Œ9

n(©)

quả có thể xảy ra của một phép thử. Kí
hiệu © (6-mé-ga).

Trong đó:

- a(4): Số kết quả thuận lợi cho biến cố A.

- n(Q): Số phẩn tử của không gian mẫu.

v⁄ Biến cố: Là một †ập con của không gian

mẫu.

VY Tinh chất của xác suất:

- Biến cố không Ø là biến cố không bao

- P(D)=0,P(Q) =1

- Biến cố chắc chắn © là biến cố ln xảy

-

giờ xảy ra.

ra

- 0S P(A) <1, vai moi biEn cố A.

Nếu

A

và

B

(4J8)=P(4)+P(8)

xác suất)

xung

khắc

thi:

(công thức cộng

- ˆ(4)=1~P(4), với mọi biến cố A.

NYd
=1.

ang: hop kin thize án

Một số công thức thường ===

0 8c? = AB’ + AC? (Pitago)

dùng †rong hình học phẳng:
/

0 AB? = BH.BC AC =CH BC

„-- 1. Hệ thức lượng trong tam giác ---,

|Ị Cho AABC, ky higu

'

ỊỊ
!- R: bán kính đường †rịn ngoại tiếp
'
Ị

'I
!
' ,~ 3. TỶ số lượng giác của góc nhon: --s,

a? =b?+c?—2becosA

I

1

on

Ị ⁄ Định lí sin:
!

| ¥ Céng thc
I
Ị

Ị

I

co? =a° +b? —2abcos

'Ị

sinA

b
sinB

tinh d

'

'
!'

=-“—=z¿2
sinể

B

!

dài trung tuyến:!

I

ý =————————

I1 '

'
'

2 2a°+2c*— 4?
m, =————_

I
! |

'

2 2a° +26? —c?
m =

'
'
'

2

~“—=

C

'

Ị ⁄ Định lí cơsin: 4 6* =a" +c* —2accosB

Ị

QO AH.BC = ABAC

'

'- a,b, c: d6 dai 3 canh

Ị

© 4H? = BH.CH

\

26° +2c? a?

1 !

4
4

4

'
y

't

|

AC

an

sind

—

cosa

=—

BC

AB

8£

AC

——

48

'

cota

=——

|

AB

AC}

tam

giác vng,

đường

trung

tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng có

2. Hệ thức lượng †rong †am giác vng _

độ dài bằng ‡ cạnh huyển

⁄ Hình vng có độ dài đường chéo bằng

v

lcanh x2 .
Cạnh huyển của

†am giác vng cân có

lcạnh góc vng

2

độ dài bằng

⁄ Đường cao của †am giác đểu có độ dài
x

!

tana

|

4. Lưu ý: ~~~~~~~~~~~~~ N

—

V Trong

A

A

canh v3

bằng —