CÁC DẠNG bài tập về TÍCH PHÂN

Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:


Page 1

BS: Cao Văn Tú
Blog: www.caotu28.blogspot.com

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP
1. Các tính chất.

       
, , , ,
D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy  


  
.

   
. , . ,
DD
k f x y dxdy k f x y dxdy
 
.
 Nếu
12
D D D
với D
1

và D
2
không có điểm chung thì :
     
12
, , ,
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
  
.
2. Các tính chất tích phân kép trong tọa độ đề-các.
 Trường hợp 1:
 
 
, : ,D M x y a x b c y d    
và
 
,z f x y
liên tục trên D thì:

     
, . , , (1)
b d b d
D a c a c
f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx




    

.
 Hoặc:
     
, . , , (2)
d b d b
D c a c a
f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy




    
.
*) Chú ý :-Trong biểu thức (1) khi tính
 
,
d
c
f x y dy

thì ta coi x là hằng số.
- Trong biểu thức (2) khi tính
 
,
b
a
f x y dx

thì ta coi y là hằng số.
- Nếu

     
,.f x y g x h y
và
:,D a x b c y d   
thì:
     
,.
bd
D a c
f x y dxdy g x dx h y dy
  

 Trường hợp 2:
     
 
12
, : ,D M x y a x b y x y y x    
và
 
,z f x y
liên tục trên D thì:

   
 
 
 
 
 
22
11

, . , , (3)
y x y x
bb
D a y x a y x
f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx





    

 Trường hợp 3:
     
 
12
, : ,D M x y x y x x y c y d    
và
 
,z f x y
liên tục trên D thì:

   
 
 
 
 
 
22
11

, . , , ( 4)
x y x y
dd
D c x y c x y
f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy





    

3. Đổi biến số trong hệ đề-các.
 Phương pháp:
 Bước 1: Đặt
 
 
,
,
x x u v
y y u v







.
 Bước 2: Tính

''
''
.
uv
uv
xx
J dxdy J du dv
yy
  

Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:


Page 2

BS: Cao Văn Tú
Blog: www.caotu28.blogspot.com
 Bước 3: Xác định
   
'
,,x y u v
DD
.
 Bước 4: Tính
   
 
'
, , , . .
D
I f x u v y u v J dudv



4. Tích phân trong tọa độ cực.
DÊu hiÖu nhËn biÕt:
 
,
D
f x y dxdy

mà D chứa biểu thức:
22
22
22
;
xy
xy
ab

.
 Phương pháp:
 Đặt:
cos
sin
xr
yr









 Tính:
''
''
cos sin
.
sin cos
r
r
xx
r
J r dxdy rdr d
yy
r






    
.

 Xác định
   
'
,,x y r
DD



.

 Tính
 
'
cos , sin . .
D
I f r r rdrd
  



 Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D.

Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền
(D). Giả sử là:
1


,
2



 
12



suy ra cận

:
12
  


Thay
cos
sin
xr
yr







vào biên D.
       
 
1 2 1 2
,.r r r r r r
   
   
suy
ta cận r:
   
12

r r r


.
Vậy:
   
12
12
':D
r r r
  








(Tính theo r
trước,

sau).

 Trường hợp 2: Gốc cực O nằm trong miền D.
Luôn có:

02



.
 Thay
cos
sin
xr
yr







vào biên D
 
rr


. Khi đó:
 
0 rr



 Vậy
 
02
':
0
D

rr









.
 Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trên biên của miền D.
Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:


Page 3

BS: Cao Văn Tú
Blog: www.caotu28.blogspot.com

 
 
0
0
r
rr
rr





   




Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền
(D). Giả sử là:
1


,
2



 
12


suy ra cận

:
12
  


Thay
cos
sin

xr
yr







vào biên D


Vậy:
 
12
':
0
D
rr
  







