Chủ đề số phức và các phép toán vận dụng cao

1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC

A – TĨM TẮT LÍ THUYẾT:

I. SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN:
2
1. Khái niệm số phức: Số phức z là biểu thức có dạng z a  bi với a, b  R, i  1 .
Trong đó: a , b lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của z, i là đơn vị ảo.



 . Ta thấy    .

  a  bi a, b  , i 2  1

Tập hợp các số phức được kí hiệu là  với
 Nếu a 0 thì z bi được gọi là số thuần ảo.



Nếu b 0 thì z a được gọi là số thực.
Nếu a b 0 thì z 0 vừa là số thực, vừa là số thuần ảo.
Ví dụ 1: Cho số phức z 3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của z.
Hướng dẫn giải:
Số phức z có phần thực a 3 , phần ảo b  2 .
z  2m  1  i  n  1
Ví dụ 2: Cho số phức
với m, n   . Tìm m để z là số thuần ảo; tìm m

để z là số thực; tìm m để z vừa là số thực, vừa là số thuần ảo.
Hướng dẫn giải:
Số phức z có phần thực a 2m  1, phần ảo b n  1 .
z là số thuần ảo

 a 2m  1 0  m 

1
;
2 z là số thực  b n  1 0  n 1.

1

a 0  m 


2
b 0
 n 1
z vừa là số thực, vừa là số thuần ảo
.
2. Số phức và hình học:
a) Điểm biểu diễn số phức: Cho số phức z a  bi , khi đó điểm

M  a; b 
mặt phẳng

là điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng phức, hay

 Oxy  .

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

1


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
M  a; b 
b) Môđun của số phức: Cho số phức z a  bi với điểm biểu diễn
, khi đó mơ-đun số

z  OM OM  a 2  b 2
z  a  bi  a 2  b 2
phức z là:
hay
.
Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm M và tính độ dài OM biết rằng M là điểm biểu diễn của số phức
z 4  3i trong mặt phẳng  Oxy  .

Hướng dẫn giải: Ta có:
3. Số phức liên hợp:

M  4;  3

2

và

OM  z  4  3i  4 2    3 5.

Cho số phức z a  bi , khi đó kí hiệu z a  bi được gọi là số phức liên hợp của z.
 Một số tính chất:
z z
 z  z và
.
 Oxy  , điểm biểu diễn của hai số phức z và z đối xứng nhau qua trục hồnh.
 Trên mặt phẳng
Ví dụ 4: Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức z khi biết số phức liên hợp z 4  6i .
Hướng dẫn giải:
z a  bi  a, b   
Gọi
. Ta có: z 4  6i  a 4, b  6  a  b  2 .
4. Hai số phức bằng nhau: Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương
ứng bằng nhau.
a c
a  bi c  di  
b d và a  bi 0  a b 0 .
Ta có:
 x; y  thỏa mãn hệ thức x  y  2i 2 x  1   3 y  x  1 i .
Ví dụ 5: Tìm cặp số thực
Hướng dẫn giải:


 x  y 2 x  1  x  y 1
 x 1
x  y  2 i 2x  1   3 y  x  1 i  



.






2

3
y

x

1
x

3
y

1
y

0
b
c




a
d


Ta có:

II. CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP SỐ PHỨC:
1. Phép cộng, phép trừ, phép nhân các số phức: Cho các số phức z a  bi, w c  di . Ta có:
z  w  a  bi    c  di   a  c    b  d  i;

z  w  a  bi    c  di   a  c    b  d  i;
z.w  a  bi  .  c  di  ac  adi  bci  bdi 2  ac  bd    ad  bc  i.
Ví dụ 6: Thực hiện các phép tính sau:
 2  3i    3  4i  .
a)
 3  1

 1  i     6i  .

b)  2   2
HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

2


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC

 2  4i  .  1  4i  .

c)

2

 2  3i   i3  2i 4  3i 5 .
d)
Hướng dẫn giải:
 2  3i    3  4i   2  3    3  4  i 5  7i .
a) Ta có:
1 15
 3  1
  1  3

 1  i     6i   1      6  i   i
2 2 .
  2  2

b) Ta có:  2   2
c) Ta có:

 2  4i  .  1  4i  2  8i  4i  16i 2  2  16    4  8  i 18  4i.

 2  3i 
Ta có:

d)

2

2

 i 3  2i 4  3i5 22  2.2.3i   3i   i 2 .i  2i 2 .i 2  3i 2 .i 2 .i

4  12i  9  i  2  3i  3  10i .
 Tóm lại: Phép cộng, phép trừ, phép nhân các số phức có tất cả tính chất của phép cộng, phép
2
trừ, phép nhân các số thực; trong đó ta luôn lưu ý rằng i  1 .
 Các hằng đẳng thức đáng nhớ: Cho các số phức z , w, t , ta có:

 z w 

2

z 2 2 zw  w2

 z  w
;

3

z 3  3z 2 w  3zw2  w3

 z  w
;

3

 z 3  3z 2 w  3zw2  w3

.

z  w  z  w  .  z  w  ; z  w  z  w  .  z  zw  w  ; z  w  z  w  .  z  zw  w  .
2

3

2

2

3

2

2

2

3

3

2

2

3

z 2  w2  z  w   2 zw  z  w   2 zw z 3  w3  z  w   3zw  z  w 
;
.

 z  wt

2

 z 2  w2  t 2  2  zw  wt  zt 

.

 Đúc kết 1: Cho z a  bi và z là hai số phức liên hợp, ta có:
z  z  a  bi    a  bi 

hay z  z 2a ;


z.z  a  bi   a  bi  a 2  b 2i 2 a 2  b 2

z.z  z

2

hay
.
Ta nhận thấy rằng tổng và tích của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

i 4 n 1, i 4 n 1 i, i 4 n 2  1, i 4 n 3  i
n


Nhận xét: Với
thì:
.
2. Phép chia số phức cho một số phức khác 0:
Cho số phức z a  bi và w c  di 0 . Ta có:
z a  bi  a  bi   c  di   ac  bd    bc  ad  i



w c  di  c  di   c  di 
c2  d 2
z

z ac  bd bc  ad
 2
 2
.i
2
c d2 .
hay w c  d

3  5i
1 i .

Ví dụ 7: Tìm mơđun số phức z biết rằng
Hướng dẫn giải:

3  5i  3  5i   1  i  3  3i  5i  5i 2  2  8i
z



 1  4i
1 i
1 i 1 i
1 i2
2

Ta có:
.
HỒNG XN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

3


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
Suy ra:

z   1  4i  17

.

 Đúc kết 2: Cho hai số phức z a  bi và w c  di 0 , ta có:



z.w  a  bi   c  di    ac  bd    bc  ad  i   ac  bd    bc  ad  i
;
z.w  a  bi   c  di   ac  bd    bc  ad  i

. Vậy z.w z.w .

 z   a  bi   ac  bd bc  ad  ac  bd bc  ad
 2
.i   2
 2
.i
  
  2
2
2
2
2
w
c

di
c

d
c

d
c


d
c

d







;

z a  bi  a  bi   c  di   ac  bd    ad  bc  i ac  bd bc  ad
z z



 2
 2
i
 
2
2
2
2
c d
c d
c d

 w w
w c  di  c  di   c  di 
. Vậy
.

III. CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI SỐ PHỨC:
1. Căn bậc hai của số phức:
a) Căn bậc hai của số thực âm: Cho số phức z a  bi . Khi b 0, a  0 thì z a là một số
thực âm, ta có

z a  a i 2 . a

nên z có hai căn bậc hai là:

i a i  a

.

2

2
 3i  9i 2  9 . Tương tự z  15 15i 2
Ví dụ 1: z  9 9i có hai căn bậc hai là 3i ; vì



i 15
có hai căn bậc hai là i 15 vì



2

15i 2  15

.

b) Căn bậc hai của số phức: Cho số phức z a  bi , khi đó w x  yi được gọi là một căn bậc
2
hai của z nếu w  z . Ta có:

 x  yi 

2

 x 2  y 2 a
a  bi  x 2  y 2  2 xyi a  bi  
2 xy b
(*).

 x ; y  ,  x2 ; y2  thỏa mãn đề bài. Ta kết luận
Giải hệ phương trình (*), ta được hai cặp số thực 1 1
số phức z a  bi có hai căn bậc hai là x1  y1i và x2  y2i .
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của số phức z 6  8i .
Hướng dẫn giải:

w  x  yi  x, y   

2

w2 z   x  yi  6  8i
là căn bậc hai của z, ta có
 2   4 2
x  
 6 (1)
 x 2  y 2 6

 x 
 x 2  y 2  2 xyi 6  8i  

2 xy  8
 y  4

x


Gọi

 x 2 8 (n)
(1)  x 4  6 x 2  16 0   2
 x  2 (l) .
Ta có:

HỒNG XN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

4


1

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
 x 2 2, y  2

2
x  2 2, y  2
x

8
Với
thì 
. Vậy z có hai căn bậc hai là 2 2  i 2 và  2 2  i 2 .
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực:
2
2
Cho phương trình bậc hai az  bz  c 0 (*) với a, b, c  , a 0 . Xét:  b  4ac .
 Nếu  0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phức (cũng là số thực) trùng nhau là

z1 z2 

b
2a .

 Nếu   0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phức (cũng là số thực) phân biệt:
z1,2 

z1,2 

 b  

2a .

 b i  
2a
.

 Nếu   0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phức phân biệt:
 Nhận xét:
 Nếu phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c   có các nghiệm là số phức z1 , z2 (   0 ) thì

z  z2 , z2  z1 ).
hai nghiệm này là hai số phức liên hợp của nhau (tức là 1
 Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (khơng nhất thiết phân biệt).
*
 Tổng quát: Mọi phương bậc n (với n   ) đều có n nghiệm phức (khơng nhất thiết phân biệt).
2
Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 x  x  1 0 .
Hướng dẫn giải:
2

Ta có:

   1  4.2.1  7  0

. Do đó phương trình có hai nghiệm số phức là:

 b  i   1  i 7 1
7
 b  i   1  i 7 1
7


 
i x2 

 
i
2a
2.2
4 4 ;
2a
2.2
4 4 .
IV. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC:
1. Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường thẳng:
x1 

M  x; y 
Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn
. Khi đó:
x
,
y
Kết luận
Nếu
thỏa mãn phương trình
2
2
ax  by  c 0  a  b  0 
M thuộc đường thẳng có phương trình ax  by  c 0 .
c

m  a 0 
a
c
by  c 0  y  n  b 0 
b
ax  c 0  x 

M thuộc đường thẳng vng góc với Ox và có phương

trình x m .

M thuộc đường thẳng vng góc với Oy và có phương
trình y n .

x 0

M thuộc trục Oy .

y 0

M thuộc trục Ox .
M thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng với

ax  by  c  0

a

2

 b2  0

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

hoặc

phương trình ax  by  c 0 .
5


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
ax  by  c 0 ; ax  by  c  0 ;
ax  by  c 0
Đặc biệt: Nếu MA MB với A, B cố định thì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
2. Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn:
M  x; y 
a) Đường tròn: Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn
. Khi đó:
x
,
y
Nếu
thỏa mãn
Kết luận
phương trình
2
2

 x  a    y  b  R 2
M thuộc đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R .
x 2  y 2  2ax  2by  c 0

M thuộc đường trịn có tâm

I  a; b 

, bán kính

R  a 2b 2  c
0

.

M  x; y 
b) Hình trịn: Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn
. Khi đó:
x
,
y
Nếu
thỏa mãn
Kết luận
phương trình
2
2
 x  a    y  b  R 2
M thuộc hình trịn có tâm I  a; b  , bán kính R .
x 2  y 2  2ax  2by  c 0

M thuộc hình trịn có tâm I  a; b  , bán kính

R  a 2b 2  c
0

.

c) Phần trong và ngồi đường trịn:

M  x; y 
Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn
. Khi đó:
x
,
y
Nếu
thỏa mãn
Kết luận
phương trình

 x  a

2

2

  y  b  R2

x 2  y 2  2ax  2by  c  0

M thuộc phần trong đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R .
M thuộc phần trong đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính

R  a 2b 2  c
0

 x  a

2

2

  y  b  R

2

x 2  y 2  2ax  2by  c  0

M thuộc phần ngồi đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R .
M thuộc phần ngồi đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính

R  a 2b 2  c
0

Đặc biệt: Nếu

.

z  a  bi r  0

.

thì ta nói tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường trịn có

I   a;  b 
tâm
và bán kính bằng r.
3. Tập hợp điểm biểu diễn là một đường cong khác:
M  x; y 
Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn
. Khi đó:
x
,
y
Nếu
thỏa mãn
Kết luận
phương trình
HỒNG XN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

6


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
y ax 2  bx  c  a 0 

2
M thuộc parabol có phương trình y ax  bx  c

x ay 2  by  c  a 0 

2
M thuộc parabol có phương trình x ay  by  c

x2 y2
 2 1
2
b
M thuộc elip có phương trình chính tắc a
z  a  bi  z  c  di T  F1F2
F   a;  b  , F2   c;  d 
Đặc biệt: Nếu
với 1
thì tập hợp điểm M
là elip có hai tiêu điểm là F1 , F2 .
x2 y 2

1
a 2 b2

 a  b  0

V. ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MƠ-ĐUN:
1. Các đẳng thức mơ-đun: Cho các số phức z a  bi, w c  di lần lượt có các điểm biểu diễn

M  a; b  , N  c; d 




. Ta có:

z.w  z . w
;

 


z  w  OM  ON  OE  2OI 2OI

z
z

w w

với w 0 ;

với E là là một đỉnh của hình bình hành OMEN và I là

trung điểm đoạn thẳng MN.
 

z  w  OM  ON  NM MN



.
2. Bất đẳng thức vectơ (bất đẳng thức tam giác):
 
z  w  z  w  OM  ON  OM  ON  OE  OM  ON  OE  OM  ME

.


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi OM ngược hướng với ON (hay z k .w với k  , k  0
).

z w  z  w

. Bất đẳng thức này được chứng minh tương tự, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi


OM cùng hướng với ON (hay z k .w với k  , k  0 ).
 


z  w  z  w  OM  ON  OM  ON  OE OM  ON  OE OM  ME

.


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi OM cùng hướng với ON (hay z k .w với k  0 ).
 Đúc kết: Cả ba bất đẳng thức trên đều được xây dựng từ một tính chất cơ bản trong tam giác:
 Với một tam giác bất kỳ, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba (hiệu hai cạnh luôn nhỏ hơn
cạnh thứ ba.
 Với ba điểm bất kỳ tạo nên ba cạnh (có thể ba điểm thẳng hàng hoặc tạo thành tam giác),

tổng hai cạnh luôn không nhỏ hơn cạnh thứ ba (hiệu hai cạnh không vượt quá cạnh thứ ba).


Ví dụ 1: Cho hai số phức z, w có
nhất thì z a  bi . Tính a  b .

z 10

zw
và w  3  4i . Biết rằng khi
đạt giá trị nhỏ

Hướng dẫn giải:
Ta có:

z  w  z  w  10  5 5

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

. Do đó

z  w min 5

.
7


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
 z k   3  4i   3k  4ki
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z k .w với k  0
.
z 

  3k 

2

2

   4k  10  5 k 10  k  2  k  0 

Khi đó:
Vậy z 6  8i  a 6, b 8  a  b 14.

.

3. Bất đẳng thức AM-GM:
 a  b 2 ab với mọi a, b 0 . Đấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
3
 a  b  c 3 abc với mọi a, b, c 0 . Đấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
2

 2  i
z

w . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 2: Cho hai số phức z , w thỏa mãn 1  i
2

T z  w

2

.
Hướng dẫn giải:
2

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

2

2

2

T  z  w 2 z . w 2 z . w

.

2

 2  i   zw  1  i 2  i 2 7  i
z

  
zw  49  1 5 2

w
Ta lại có: 1  i
. Suy ra
.
T 2 z . w  T 10 2
T 10 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z  w .
Vậy
. Do đó min
4. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

 Cho các cặp số

 a; x  ,  b; y  , ta có:

ax  by 

a b

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y

a; x  ,  b; y   c; z 
 Cho các cặp số 
,
, ta có:

2

P  z 1  z  2  i

2

 b2   x 2  y 2 

 x. y 0 

z  2  i 2

.

a x
  b. y 0 
hay b y
.

a

ax  by  cz 

a b c
 
x
y z
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn

a

 x. y.z 0 

2

 b2  c 2   x 2  y 2  z 2 

.

.

, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

2

.

Hướng dẫn giải:
Gọi

z  x  yi

 x,

y  

2

. Theo giả thiết:

2

z  2  i 2   x  2    y  1 4

(1).

2
2
2
2
2
P  z  1  z  2  i  x  1  y 2    x  2    y  1 


Ta có:

2 x  1    4 x  4  2 y  1 6 x  2 y  4 6  x  2   2  y  1  10

.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars, ta có:

HỒNG XN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

8


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
6  x  2   2  y  1 

Suy ra



2
2

36

4
x

2

y

1

          40.4 4 10


4
.

 4 10 6  x  2   2  y  1 4 10  10  4 10 6  x  2   2  y  1  10 10  4 10
        
P

.

 MaxP 10  4 10

MinP 10  4 10
10

4
10

P

10

4
10
Ta có:
nên 
.
x  2 y 1

 x  3 y  1 0
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6
(2).
Giải hệ phương trình (1), (2) ta tìm được các số phức z1 , z2 thỏa mãn.

Chủ đề i. số phức và các phép toán
Dạng 1: Tính toán, rút gọn biểu thức số phức dựa vào chu kỳ hoặc quy luật dãy số.
Phương pháp:
Học sinh cần nắm vững các tính chất và cơng thức sau:



i 4 n 1, i 4 n 1 i, i 4 n 2  1, i 4 n 3  i
Với n   thì:
.

u1 , u2 , u3 ..., un



Xét cấp số cộng với công sai d như sau:



Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu

Sn 




. Khi đó

u1

un  u1
1
d
.

, cơng sai d là:

 u1  un  n   2u1   n  1 d  .n
2

2

.

u
Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu 1 , cơng bội q là:

Sn 

u1  1  q n 
1 q

.

Khai triển nhị thức New-tơn:
n
 a  b  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b2  .........  Cnn 1ab n 1  Cnnb n .
Dạng liệt kê:
n
 1  x  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  .........  Cnn 1 x n 1  Cnn x n (*).
Đặc biệt:

 a  b
Dạng tổng qt:

VÍ DỤ 1.

n

n

Tìm phần ảo của số phức

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

n

 Cnk a n  k b k
k 0

.
VÍ DỤ MINH HỌA:

z  1  i 

100

  2  2i 

201

.
9

1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
201
A. 2 .

50
B.  2 .

z  1  i 

Ta có:

100

  2  2i 

25

250.  i 2   2201.   2i 

100

201

50
C.  2 .
Hướng dẫn giải:

301
D.  2 .

50

2
201
50
2
  1  i    2201  1  i   2i   2 201   1  i  





 1  i   250  2201.   2 

100

. i2 

50

100

1 i 

 1  i   250  2301.  1  i 

 250  2301  2301.i.
301
Do đó phần ảo của số phức z là  2 . Chọn D.

VÍ DỤ 2. Cho số phức
A. 1024 .

z  i 5  i 4  i 3  i 2  i  1

, z bằng với:
B.  1024 .
C. 1024i .
Hướng dẫn giải:
2

Ta có:

20

D.  1024i .

2

i 5  i 4  i 3  i 2  i  1  i 2  i   i 2   i 2i  1  i  1 i  1  i  i i  1

Do vậy

z  1  i 

20

 1  2i  i

2 10



210.i10 210.  i

2 5



.

5

210   1  1024.

Chọn B.

33

10
 1 i 
z 
  1 i 
 1 i 
VÍ DỤ 3. Tìm mơ-đun số phức
.

z 33
z 32
z 31
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải:

D.

z 34

.

33

33

 1  2i  i 2 
 1 i 
33
2 16


 i  i  .i i



2
1 i 
 1 i 
Ta có: 
;

1 i

10

5

2

5

 1  2i  i 2    2  .i 5  25.  i 2  .i  32i

.

33

10
2
 1 i 
2
z 
   1  i  i  32i  31i  z  0    31 31.
 1 i 
Do vậy

Chọn C.
3
6
2025
VÍ DỤ 4. Tính tổng S 1  i  i  ...  i .
A. S 0 .
B. S i .
C. S  i .
D. S  1 .
Hướng dẫn giải:
3
S là tổng của một cấp số nhân gồm n phần tử ( u1 1, q i ).
Ta thấy số mũ của các số hạng được xếp theo cấp số cộng: 0, 3, 6,…, 2025
2025  0
 1 676
3
nên số phần tử xuất hiện trong tổng S là:
.

S
Vì vậy

u1  1  q 676 
1 q

1  1   i 3 
 
1  i3

676




1   i

1 i

676

2
1  i 676 1   i 


1 i
1 i

338

1 1

0
1 i
. Chọn A.

0
2
4
6
98

100
VÍ DỤ 5. Giá trị của biểu thức C100  C100  C100  C100  ...  C100  C100 bằng
100
50
100
50
A.  2 .
B.  2 .
C. 2 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

10


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
100

0
1
2
100
 iC100
 i 2C100

 ...  i100C100
 1  i  C100
Ta có:
0
2
4
100
1
3
5
99
 C100
 C100
 C100
 ...  C100
 C100
 C100
 C100
 ...  C100
i



 

1 i

100



2 50

  1  i  



 2i 

50

250.  i 2 

.

25

 250 .
Mặt khác:
0
2
4
6
98
100
50
Vậy C100  C100  C100  C100  ...  C100  C100  2 . Chọn B.
k
2 n Cn0  iCn1  Cn2  iCn3    i nCnn 32768i
VÍ DỤ 6. Biết

, với Cn là các số tổ hợp chập k của n
k k
2
T
và i  1 . Đặt Tk 1 i Cn , giá trị của 8 bằng



A. 8i .
Ta có:



B.  8i .

C.  36i .
Hướng dẫn giải:
n
0
1
2
3
2 Cn  iCn  Cn  iCn    i nCnn 32768i



D. 36i .



n

n
15
 2n  Cn0  iCn1  i 2Cn2  i 3Cn3    i nCnn  32768i  2  1  i  2 i

 * .

 k   .
Trương hợp 1: n là số tự nhiên lẻ, tức là n 2k  1

Ta có:

1 i

n

n

k

2
k
  1  i    1  i   2i   1  i  2 k i k  1  i 


Khi đó:
.
i
22 k 1.2k i k  1  i  215 i  23k  14  k

i 1 i
Thay vào (*):
(điều này khơng thỏa vì vế phải ln là
số phức với phần ảo khác 0, vế trái là số thực).
 k   .
Trương hợp 2: n là số tự nhiên chẵn, tức là n 2k

1 i

 1  i 

 1  i 

2 k 1

2k

k

2
k
  1  i    2i  2k i k


. Thay vào (*), ta được:

7 7
22 k .2k .i k 215 i  23k i k 215 i  k 5  n 10 . Khi đó: T8 i C8  8i . Chọn B.

x

2

 x  1

2024

VÍ DỤ 7. Khai
triển
của
biểu
thức
được
viết
2
4048
a0  a1 x  a2 x  ...  a4048 x . Tổng S a0  a2  a4  a6  ...  a4046  a4048 bằng:
1012
A.  2 .

x
Ta có

2

 x  1

2024

a0  a1 x  a2 x 2  ...  a4048 x 4048

 i 2  i 1
Cho x i ta được
i

2

 i  1

2024
C. 2 .
Hướng dẫn giải:

B. 0 .

2024

  1  i  1

2024

2024

 i



  1

1012

1

D. 1 .

.

a0  a1i  a2  a3i  a4  a5i  a6  ...  a4048

2 1012

thành

mà

nên

a0  a1i  a2  a3i  a4  a5i  a6  ...  a4048 1 .
 a0  a2  a4  a6  ...  a4046  a4048 1

a  a  a  a  ...  a4047 0
Suy ra:  1 3 5 7
.

Vậy

S a0  a2  a4  a6  ...  a4046  a4048 1 . Chọn D.

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

11


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
VÍ DỤ 8. Gọi T a  b với a, b lần lượt là phần thực, phần ảo của số phức
w i  2i 2  3i 3  ...  2025i 2025 . Tính giá trị của T.
A. T 2025.
B. T  1.
C. T 0.
D. T 2024 .
Hướng dẫn giải:
2
2024
2
2024
w i 1  2i  3i  ...  2025i
iz
Ta có:
với z 1  2i  3i  ...  2025i .
x 2025  1 x 2026  x

x

2
3
2025

x 1
x  1 (1).
Xét tổng cấp số nhân sau: f ( x)  x  x  x  ...  x





2

2024

Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta có: f ( x) 1  2 x  3x  ...  2025 x
2026 x 2025  1  x  1   x 2026  x  2025 x 2026  2026 x 2025  1



2
2
 x  1
 x  1
(2).
2
2024
Thay x i vào (2): z 1  2i  3i  ...  2025i



2025i 2026  2026i 2025  1

 i  1

2



2025  i 2 

1013

 2026  i 2 
 2i

1012

.i  1



 2025  2026i  1
1013  1012i
 2i

.

w iz i  1013  1012i  1012  1013i
Do vậy:
. Suy ra a 2012, b 2013 .
Khi đó: T a  b 1012  1013  1 . Chọn B.

Dạng 2: Lập phương trình hoặc hệ phương trình để xác định số phức
Phương pháp:
Học sinh cần nắm vững các tính chất và cơng thức sau:



VÍ DỤ 9.

a  bi  a 2  b 2

.
z a  bi là số thực  b 0 .
z a  bi là số thuần ảo  a 0 .

a  bi  2i  a  bi   4 i
Cho số phức z a  bi , với a, b là các số thực thỏa mãn
, với i
2

là đơn vị ảo. Tìm mơ đun của  1  z  z .
 229
  229
  13
A.
.
B.
C.
.
Hướng dẫn giải:
a  2b  4

a  bi  2i  a  bi   4 i  a  bi  2ai  2b  4 i  

b

2
a

1

Ta có:

D.

 13

.

 a 2

b  3 .

2
Suy ra z 2  3i . Do đó:  1  z  z  2  15i .

Vậy

 

  2

2

2

   15   229

. Chọn A.
z  2a  b  4    a  b  6  i

Cho số phức
, với a, b   , i là đơn vị ảo. Biết rằng z là số
2
2
thuần ảo và z  2  i là số thực. Tính S a  b .
A. S 13 .
B. S 5
C. S 20 .
D. S 36 .

VÍ DỤ 10.

HỒNG XN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

12


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
Hướng dẫn giải:
2a  b  4 0  1
Ta có: z là số thuần ảo nên
.
z  2  i  2a  b  6    a  b  5  i
a  b  5 0  2 
Ngoài ra:
là số thực, suy ra:
.
2a  b  4 0 a  3


a

b

5

0

b  2 . Do vậy S a 2  b 2 13 . Chọn A.
Từ (1) và (2) ta có
 a, b   thỏa mãn z  1 1 và  1  i  z  1 có phần thực bằng
VÍ DỤ 11. Gọi số phức z a  bi ,
1 đồng thời z khơng là số thực. Khi đó a.b bằng :
A. a.b  2 .
B. a.b 2 .
C. a.b 1 .
D. a.b  1 .

Hướng dẫn giải:
Điều kiện: z không là số thực suy ra b 0 .



 a  1

z  1 1 

2



2

 b 2 1   a  1  b 2 1

Theo giả thiết:
(1).
w  1  i  z  1  1  i   a  1  bi   a  b  1   a  b  1 i
Xét số phức
; w có phần thực bằng 1
nên a  b  1 1  b 2  a (2) .





 a 1
2

  2  a  1  2a 2  6a  4 0  
 a 2 .
Thay (2) vào (1):
Với a 1 thì b 1 . Suy ra a.b 1 . Chọn C.
Với a 2 thì b 0 (khơng thỏa điều kiện).

 a  1

2

VÍ DỤ 12. (Mã đề 110, Đề thi THPT QG 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z  2  i |2 2
2
z  1

và
là số thuần ảo?
0
A. .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải:
 x, y    .
Gọi z  x  yi
Ta có:

z  2  i 2 2 

 x  2
2

2

2

2

2

2

  y  1 2 2   x  2    y  1 8

(1).

2

  x  1  yi    x  1  y 2   2  x  1 yi


Mặt khác:
là số thuần ảo nên
y

x

1

2
 x  1  y 2 0  

 y  x  1 .

 z  1

2

2

x  2    x  2  8  2 x 2  8 8  x 0.
Trường hợp 1: y  x  1 , thay vào (1) , ta được: 
Suy ra y  1. Ta tìm được z z1  i .
2
2
x  2     x  8  2 x 2  4 x  4 8

(1)
y

x

1
Trường hợp 2:
, thay vào
, ta được:



 

 x  1  3. Ta có: z  z2   1  3  2 

Vậy có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D.

HỒNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44





3 i z  z3   1 
;

 



3  2 3 i

.

13


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
z  3i  13
VÍ DỤ 13. (Mã đề 105, đề TN THPT QG 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và

z
z  2 là số thuần ảo?
A. 0 .
B. 2 .
C. Vô số.
D. 1 .
Hướng dẫn giải:
2
z a  bi,  a, b   
z  3i  13  a  bi  3i  13  a 2   b  3 13
Gọi
. Ta có:
2
2
 a  b  6b  9 13  a 2  b 2 4  6b  1
.
2  a  2  bi 
z
2
2
1 
1 
1 
2
z 2
z 2
a  2  bi
 a  2   b2 .
Ta lại có:
2

a  2   b 2  2a  4

2b
a 2  b 2  2a
2b


i


i
2
2
2
2
2
2
2
 a  2  b
 a  2  b
 a  2   b  a  2   b2 .
2
2

a 2  b 2  2a
a  b  2a 0  2 
z
0  
2
2

2
a

2

b
a  2   b 2 0  3





z

2
Do
là số thuần ảo nên
.
 1 vào  2  ta có 4  6b  2a 0  a 3b  2 . Thay vào  1 , ta được:
Thay
 b 0

 b 3
2
2
2
3
b

2


b

4

6
b

0

10
b

6
b

0


5.

Với b 0 thì a  2 , không thỏa mãn (3).
3
1
1 3
b
a 
z   i
5 thì
5 , suy ra

5 5 . Vậy có một số phức z thỏa mãn. Chọn D.
Với

z  z  z 1
VÍ DỤ 14. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
?
A. 0 .
B. 1 .
C. 4 .
Hướng dẫn giải:
 x, y     z x  yi  z  z 2 x .
Gọi z  x  yi
 z 1


 z  z 1

D. 3 .

 x 2  y 2 1
2
2
 x  y 1 


1
 x 
 2 x 1

2 .

Theo giả thiết :
1
3
1
 y 2 1  y 
x 
2 thì 4
2 .
Với
1
3
1
3
1
3
1
3
z1  
i z2  
i z3  
i z4  
i
2 2 ,
2 2 ,
2 2 ,
2 2 .
Vậy có 4 số phức thỏa mãn là
Chọn C.
z  1 z  3i


1
z i
VÍ DỤ 15. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  i
?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

14


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
Hướng dẫn giải:

 a, b    .
Gọi z a  bi
 z 1
 z  i 1

 z  1  z  i

 a  1 2  b 2 a 2   b  1 2


 z  3i 1  z  3i  z  i  
2
2
2
2
 z  i
a   b  3 a   b  1
Ta có:
  2a  1  2b  1
 a 1


  6b  9 2b  1
b 1 . Vậy có một số phức thỏa mãn là z 1  i . Chọn B.
 a, b    thỏa
(Đề tham khảo THPT QG 2018) Cho số phức z a  bi
z  2  i  z  1  i  0
z 1
mãn
và
. Tính P a  b .
A. P  1 .
B. P  5 .
C. P 3 .
D. P 7 .
Hướng dẫn giải:
z  2  i  z  1  i  0   a  2    b  1 i  z  i z
Ta có:
a  2  a 2  b 2
 a  2  z

 1



b  1  a 2  b 2
 2
b  1  z
 1 trừ  2  theo vế ta được: a  b  1 0  b a  1 . Thay vào  1 ta được:
Lấy
a  2 0
a  2 0
 a  1
2
a  2  a 2   a  1   2
 2
 
2
 a 3 .
a  4a  4 2a  2a  1 a  2a  3 0
z  1  z 1
z 1
Với a  1 thì b 0 . Khi đó:
(khơng thỏa điều kiện
).
 z 5  1
z 1
Với a 3 thì b 4 . Khi đó z 3  4i
(thỏa điều kiện
).
P


a

b

3

4

7
Vậy
. Chọn D.
z 1 z2 2
z  z 3
z  z
z z
VÍ DỤ 17. Cho hai số phức 1 , 2 thỏa mãn 1
,
và 1 2
. Giá trị của 1 2 là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3.
Hướng dẫn giải:
z a1  b1i,  a1 , b1    z2 a2  b2i,  a2 , b2   
Giả sử 1
,
.
 2

 a12  b12 1
a1  b12 1

 z1 1


  a22  b22 4
 a22  b22 4

 z2 2

 2
2
2
2
2
2
 a1  a2    b1  b2  9

 a 1 b1  a 2 b2  2  a1a2  b1b2  9

z  z 3
 1
4
Ta có:  1 2
VÍ DỤ 16.

 a12  b12 1

  a22  b22 4

 a a  b b 2
z  z 
 1 2 1 2
. Khi đó, ta có: 1 2

HỒNG XN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

 a1 

2

a2    b1  b2 

2

15


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC

a

2
1

 b12    a22  b22   2  a1a2  b1b2   1  4  2.2

1 . Vậy z1  z2 1 .
z  z 2
2 z  3 z2
z  z2  3
z, z
VÍ DỤ 18. Cho các số phức 1 2 thỏa mãn 1
và 1 2
. Tính 1
.
A. 52 .
B. 53 .
C. 5 2 .
D. 51 .
Hướng dẫn giải:
2
2
a  b 3
z1  z2  3   2
2
z a  bi, z2 c  di  a, b, c, d   
c  d 3 .
Gọi 1
. Ta có:
z  z 2   a  c    b  d  i 2
Mặt khác: 1 2


 a  c



2

2

  b  d  2  a 2 b 2  c 2  d 2  2  ac  bd  4  ac  bd 1
3

Khi đó:

3

2 z1  3 z2   2a  3c    2b  3d  i 

 2a  3c 

2

  2b  3d 

.

2



 4 a 2 
4b 2  9 c2  9d 2  12  ac
 bd   12  27 12.1  51

4.3
9.3
 1 
. Chọn D.

Dạng 3: Phương pháp lấy mô-đun hai vế đẳng thức
Phương pháp:
Học sinh cần nắm vững các tính chất và cơng thức sau:
Cho các số phức z, w:



z w
Nếu z w thì
(điều ngược lại khơng chắc đúng).
z
z

zw  z . w w
w
;
.

1 1
1
 
w
VÍ DỤ 19. Cho hai số phức z , w thỏa mãn
và z w z  w . Khi đó
bằng:

1
1
A. 3 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải:

z 3

1 1
1
zw
1
2

 


  z  w   zw
2
2

z

w

zw

0

z
w
z

w
zw
z

w
Ta có:
2
2
 1
3 
1   3i 
1
3i

  z  w  
w   z  w 
w  z    i  w
2   2 
2
2

 2 2  (*).
1
3
z   i w
2 2

  

 z  w 3 . Chọn A.
z  4  1  i  z   4  3z  i
Tìm mơđun của số phức z biết
.

Lấy mơ-đun hai vế của (*), ta được:
VÍ DỤ 20.

2

1 
3 2

 z  w   w
2 
4


HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

1

16


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
z 

A.

Ta có:

1
2.

z 4
.
C.
.
Hướng dẫn giải:
z  4  1  i  z   4  3 z  i   1  3i  z  z  4   z  4  i
B.

z 2

Lấy mô-đun hai vế của (1), ta được:

 10 z 

2

 z  4   z  4

2

D.

2

2

2

2

 10 z 2 z  32  8 z 32  z 4  z 2

 1 , ta được:  z  6 
Lây môđun hai vế của
2



2

2

1
4.

(1).
 1  3i  z  z  4   z  4  i

Chọn B.

VÍ DỤ 21. (Mã đề 104, TN THPT QG 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa:
z  z  5  i   2i  6  i  z
?
A. 1 .
B. 3 .
C. 4 .
Hướng dẫn giải:
z  z  5  i   2i  6  i  z   z  6  i  z 5 z   z  2  i  1
Ta có :



z 

2

2

 1. z  25 z   z  2 
4

3

.

D. 2 .

2

2

 z  12 z  37 z 26 z  4 z  4  z  12 z  11 z  4 z  4 0
 z 1  z 10,97

 z 0, 62  z  0,59 . Vì z 0 nên z  0,59 bị loại.

z
Ta thấy, (1) là phương trình bậc nhất đối với số phức z nên với mỗi giá trị thực
tìm được, khi
thay vào (1), ta ln tìm được duy nhất một số phức z thỏa mãn. Vậy có ba số phức z thỏa mãn đề
bài. Chọn B.
z   1  3i  z  3  i  4 10 z  1
z
VÍ DỤ 22. Cho số phức z thỏa mãn 
,
. Tính .
1  65
 1  65
1  65
z 
z 
2 .
2
4 .
A.
B.
C.
.
D.
Hướng dẫn giải:

z   1  3i  z  3  i  4 10  z   z  3   3 z  1 i  4 10
Ta có: 
(1).
2
2
2
2
2


z  z  3   3 z  1 4 10  z   z  3   3 z  1  160
Lấy mô-đun hai vế của (1):
 2  1  65
0
z 
2

 2  1  65
 1  65
4
2
1,879
0  z 
z 
 10 z  10 z  160 0
z 1
2

2
( thỏa

).
Chọn C.
10
 1  2i  z   2  i
z
VÍ DỤ 23. (Trích đề Tham khảo THPT QG 2017) Xét số phức z thỏa mãn
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
z 

 1  65
4
.

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

z 

17


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
1
3
z 
2.
A. 2

3
 z 2
z 2
B. 2
.
C.
.
Hướng dẫn giải:
10
10
 1  2i  z   2  i  z  2   2 z  1 i 
z
z
Ta có:
(1).

z  2   2 z  1 i 
Lấy mô-đun hai vế của (1), ta được:

D.

10

z

z 

2

1
2.

 z  2    2 z  1

2



10
z

 z 2 1  0
  z  2    2 z  1  2  z 5 z  5 10  5 z  5 z  10 0   2
 z  2  0
z

.
1
3
2
z 
z 1  z 1
z 0
2 . Chọn A.
Ta nhận
vì
. Vậy 2
2

2

10

2



2

4



2

Dạng 4: Phương pháp tạo số phức liên hợp
Phương pháp:
Học sinh cần nắm vững các tính chất và công thức sau:
Cho các số phức z, w:
2



z. z  z  z 2

; z z .

z z
z w  z w; z.w z.w;   

 w w .

 2a z  z với a là phần thực của z.

 Nếu z là số thực thì z  z . Ngược lại, nếu z  z thì b 0 với b là phần ảo của z.
 Nếu z là số thuần ảo thì z  z 0 . Ngược lại, nếu z  z 0 thì a 0 với a là phần thực của z.
2

z 3  2i z 0
VÍ DỤ 24. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
.
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải:

D. 6 .

 z 0
2
z 3  2i z 0  z 3  2iz z 0  z  z 2  2iz  0   2
 z  2iz 0  1
Ta có:
 1 có: x 2  y 2  2 xyi  2i  x  yi  0
Gọi z  x  yi  z  x  yi với x, y   . Thay vào
 x 2  y 2  2 y 0
2
2

x


y

2
y

0


 x 2  y 2  2 y  2 x  y  1 i 0  
   x 0

  y  1
 2 x  y  1 0

 x 0  x 0 (3) 
(2)  
 
y

0

 y 2 ;
Ta có:
HỒNG XN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

  x 0
(2)
 2

  y  2 y 0
  y  1

(3)
  x 2  3 0

.

 x  3

 y  1 .
18


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
Vậy có bốn số phức z thỏa mãn là: z 0  z 2i  z  3  i . Chọn A.
z 4 z2 3 z3 2
z z z
VÍ DỤ 25. Cho các số phức 1 , 2 , 3 thỏa mãn điều kiện 1
,
,
và
4 z1 z2  16 z2 z3  9 z1 z3 48
P  z1  z2  z3
. Giá trị của biểu thức
bằng:
8

2
A. 1 .
B. .
C. .
D. 6 .
Hướng dẫn giải:
2
2
2
z1 4 z2 3 z3 2
z1.z1  z1 16 z2 .z2  z2 9 z3 .z3  z3 4
Ta có
,
,
nên
,
,
.
4 z1 z2  16 z2 z3  9 z1 z3 48  z3 z1 z2 z3  z1 z1 z2 z3  z2 z1 z2 z3 48
Khi đó:
  z3  z1  z2  z1 z2 z3 48  z3  z1  z2 . z1 . z2 . z3 48  z3  z1  z2 2
.
P  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3 2
Vậy
. Chọn C.
z  2w 3 2 z  3w 6
z  4w 7
VÍ DỤ 26. Cho hai số phức z , w thỏa mãn
,
và

. Tính giá trị của
biểu thức P  z.w  z.w .
A. P  14i .
B. P  28i .
C. P  14 .
D. P  28 .
Hướng dẫn giải:
2
z  2w 3  z  2w 9   z  2w  . z  2w 9   z  2w  . z  2w 9
Ta có:
 z.z  2 z.w  z.w  4 w.w 9  z 2  2 P  4 w 2 9  1
.
2
2 z  3w 6  2 z  3w 36   2 z  3w  . 2 z  3w 36
Tương tự:
2
2
 4 z  6 P  9 w 36  2 
.
2
2
z  4w 7   z  4w  . z  4w 49  z  4 P  16 w 49  3
.
2
 z 33

 P  28
 2
w 8
1  2   3


Giải hệ phương trình gồm
,
,
ta có: 
. Vậy P  28 . Chọn D.
z 1
z
VÍ DỤ 27. Cho số phức z thỏa mãn z  1 là số thuần ảo. Tìm .
1
z 
z 2
z 1
z 3
2.
A.
.
B.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
z 1  z 1 
z 1 z 1
z 1

w

0

 0 
z

1
z

1


z  1 , vì w thuần ảo nên w  w 0 . Ta có:
z 1 z 1
Đặt



















 z  1  z  1   z  1  z  1 0 

Suy ra:
z 1
Vậy
. Chọn C.

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44



2

z.z  z  z  1  z.z  z  z  1 0  2 z.z 2  z 1

.

19


1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12

20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC
z 5
VÍ DỤ 28. Cho số phức z thỏa mãn
và iz  4 là số thuần ảo, tìm số phức nghịch đảo của z biết
rằng z có phần thực dương.

3
4
3
4
4
3
4
3
z 1  
i
z 1   i
z 1  
i
z 1   i
25 25 .
25 25 .
25 25 .
25 25 .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
iz  4   iz  4  iz  4   iz   4 0
Đặt w iz  4 , vì w thuần ảo nên w  w 0 . Ta có:
8
 iz  8  i.z 0  iz  8  i.z 0  i z  z  8  z  z  8i
i
 a  bi   a  bi  8i
z a  bi  a, b     2bi 8i  b 4

với
(1).
2
2
z 5  a  b 25 (2)
Ta lại có:
. Thay (1) vào (2) suy ra a 3 , mà a  0 nên a 3 .
1
1
3
4
z 3  4i  z  1  
 
i
z 3  4i 25 25 . Chọn B.
Khi đó:
1
z 1
VÍ DỤ 29. Cho số phức z khác 1 và
. Tìm phần thực của số phức 1  z .
1
1

A. 2 .
B.  2 .
C. 2 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
1
Gọi a là phần thực của số phức 1  z , suy ra:





1
1
1
1  z 1  z
1  z 1  z
2 z z
 1 
2a 





1

2
1  z  1  z  1  z 1  z 1  z  z  z. z 1  z  z  z
2 z  z
Vậy

2a 1  a 

1
z z

2.4 

1
z z

có phần thực bằng 4. Tính
1
D. 2 .

.



1
1
8  z  .
z
8

HOÀNG XUÂN NHÀN
ZALO: 0969 34 33 44

z

.

 1 
1
 


z  z  z  z 

có phần thực bằng 4 nên
z  z z  z
2 z  z z
2 z  z z
1
1
1


 2



2
z  z z  z z  z .z  z .z  z .z 2 z  z z  z
z
z 2 z  z z

Do vậy:

z.z  z 1

1
2 . Chọn D.

VÍ DỤ 30. Cho số phức z có phần ảo khác 0, biết rằng số phức
1
1

A. 4 .
B. 8 .
C. 1 .
Hướng dẫn giải:

Vì

2

vì







.

Chọn B.

20