mở rộng của giá trị tuyệt đối phi archimede trên một trường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________________





ĐẶNG THỊ THANH THẢO





MỞ RỘNG CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI
ARCHIMEDE TRÊN MỘT TRƯỜNG




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC






NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2009
THƯ
VIỆN
LỜI CẢM ƠN


Luận văn được thực hiên sau quá trình tích luỹ kiến thức ở lớp cao học
khóa 17 tại trường Đại Học Sư Phạm TPHCM.
Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất đến
PGS.TS Mỵ vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm TP. Hồ
Chí Minh và Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận
tình gi
úp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp
đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn này.
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn 1
Mục lục 2

LỜI NÓI ĐẦU 3
Chương 1- KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Một số định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối trên trường 5
1.2. Giá trị tuyệt đối phi Archimedean 9
1.3. Một số tính chất cơ bản của giá trị tuyệt đối phi Archimedean 14
Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO
ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG
2.1. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archi
medean trên bao đủ 16
2.2. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên bao đóng đại số 25
Chương 3 - NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ
3.1. Nhóm giá trị 39
3.2. Trường thặng dư 45
3.3. Ví dụ 53
KẾT LUẬN 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55








LỜI NÓI ĐẦU

Như ta đã biết, theo định lý Ostrowski: “ Mọi giá trị tuyệt đối trên trường Q
hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với
giá trị tuyệt đối p” . Nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối thông thường ta
được trường R , lấy bao đóng đại số của R ta được trường C. Còn nếu làm đầy

đủ Q theo giá trị tuyệt đối phi Archi
medean p ta được trường
p
Q , lấy bao
đóng đại số của
p
Q rồi làm đầy đủ trường này ta được trường
p
C .
Trong trường hợp tổng quát, thay Q bởi trường F bất kì cùng với giá trị
tuyệt đối phi Archimedean |.|. Lấy K là một mở rộng của F , liệu có tồn tại giá
một trị tuyệt đối phi Archimedean ||.|| trên K là mở rộng của |.| ? Và nếu tồn
tại thì có tồn tại duy nhất hay không? Giả sử đã có giá trị tuyệt đối mở rộng
đó rồi thì mối liên quan giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của chúng như
thế nào? Đây
là những vấn đề khá cơ bản để xây dựng các trường với các giá
trị tuyệt đối phi Archimedean. Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức cơ bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối ,
giá trị tuyệt đối phi Archimedean, các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt
đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, một số tính chất cơ bản và đặc biệt là
hai ví dụ về giá trị tuyệt đối p-adic trên
Q và giá trị tuyệt đối trên trường các
phân thức hữu tỉ


Kx.
Chương 2: Mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đủ và bao đóng đại số của
một trường: trình bày định lý xây dựng trường bao đủ của một trường, định lý
mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đóng đại số, tính duy nhất của các mở rộng
này,…

Chương 3: Nhóm giá trị và trường thặng dư: trình bày các khái niệm
nhóm giá trị, trường thặng dư, phân loại các giá trị tuyệt đối dựa vào nhóm
giá trị; so sánh nhóm giá trị, trường thặng dư của một trường với trường bao
đủ, trường bao đóng của nó,…
Vì thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn có thể có những
thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và
lượng thứ.



Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT
ĐỐI TRÊN TRƯỜNG
Định nghĩa 1.1.1: Cho F là trường, ánh xạ
|.|:FR được gọi là giá trị
tuyệt đối trên trường F nếu thoả các điều kiện sau:
i.
||0 ; ||0 0xxFxx 
ii.
|.|| |.| | ,
x
yxy xyF
iii.
|||||| ,
x
yx y xyF   
Ví dụ 1.1.2: Trường Q, R, C với giá trị tuyệt đối thông thường là một giá trị
tuyệt đối theo nghĩa trên.
Ví dụ 1.1.3: Cho trường F bất kì. Định nghĩa:

là giá trị tuyệt đối trên F, gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường.
Từ định nghĩa ta có một số tính chất cơ bản sau:
1) |1|=1
2)
1
1
||
||
x
x


3) Nếu trường F hữu hạn thì trên F có duy nhất một giá trị tuyệt đối là giá
trị tuyệt đối tầm thường.
Định nghĩa 1.1.4:
1) Cho F là trường, |.| là giá trị tuyệt đối trên F. Khi đó dễ dàng chứng
minh được d(x,y) = |x-y| là một mêtric trên F và được gọi là một mêtric
cảm sinh từ giá trị tuyệt đối. Hai giá trị tuyệt đối
12
|.|,|.|
được gọi là
|x| =
1 nếu 0
x

0 nếu x = 0
tương đương nếu topo cảm sinh bởi hai mêtric trên là như nhau. Kí
hiệu
12

|.|~|.|
.
2) Dãy


n
x
trên trường F được gọi là dãy Cauchy nếu
,
lim | | 0
mn
mn
xx

,
nghĩa là
00
0, / , | |
mn
nN mnn x x


       
.
3) Dãy


n
x
trên trường F được gọi là hội tụ về

x
F

nếu
,
lim | | 0
n
mn
xx


 ,
nghĩa là
00
0, / | |
n
nN nn xx


      
Kí hiệu :
lim
n
n
x
x



Ta có thể chứng minh được rằng một dãy hội tụ là dãy Cauchy và các

tính chất quen thuộc về dãy Cauchy như tổng, tích hai dãy Cauchy là dãy
Cauchy … Ngoài ra, cũng có thể chứng minh các kết quả về giới hạn như
như giới hạn của tổng, tích,…
Định lý 1.1.5: ( Các điều kiện tương tương đương của giá trị tuyệt đối)
Cho
12
|.|,|.| là các giá trị tuyệt đối trên trường F, các mệnh đề sau tương
đương:
1)
12
||1 || 1
x
xxF  

2)
12
||1 || 1
x
xxF  
3) Tồn tại hằng số c>0 sao cho
12
||||
c
x
xxF


4)



n
x
là dãy Cauchy đối với giá trị tuyệt đối
1
|.|



n
x
 là dãy Cauchy đối với giá trị tuyệt đối
2
|.|

5)
12
|.|~|.| .
Chứng minh:


12 Phản chứng. Giả sử
1
||1x

nhưng
2
|| 1x  .
Ta có:
11
2211

||1| |1| |1||1xx x x

   (trái giả thiết).
Vậy
12
||1 || 1xx 
.


21 Làm tương tự


12


13
 Trường hợp một trong hai giá trị tuyệt đối là tầm thường . Giả sử
1
|.|

tầm thường suy ra
1
:| | 1xF x

 
(


\
0FF


 )
Nếu
2
|| 1x  thì


1
||1!x 
Nếu
2
|| 1x  thì


11
211
||1||1||1!xxx

  
Như vậy
22
|| 1|.|x  tầm thường suy ra
21
10:||||
c
cxx 
 Nếu
1
|.|
không tầm thường

001 02
:| | 1 | | 1.xFx x    

Đặt
01 02
||;||ax bx



11
,| | log | |
a
x
Fx a x



   . Ta chứng minh
2
||
x
b


. Thật vậy:

,
m
n
m

rQr aa
n


  
01 1
||||
m
n
x
x
01 1
||||
mn
x
x (lấy mũ n 2vế )
01 02
|. |1|. |1
nm nm
xx xx


202 202 2
|| | | ||| | ||
mm
nm
nn
x
xxxxb  
Lấy dãy



,,
nn n
rQr nr


,theo chứng minh trên
2
||
n
r
x
b . Cho
n  ta có


2
|| 1xb

 .
 Tương tự ta có với
,
m
rQr
n


 thì
2

||
m
n
x
b


2
|| 2xb

 .
Từ


1 và


2 suy ra
2
||
x
bxF




Vậy




log
log
211
|| || || log 0
a
a
b
b
c
a
xa x xc b

.


35 Ta có :






111
,:|| :||
cc
Bar x F x a r x F x a r   






22
:| | ,
cc
x
Fxa r Bar   
Do đó


11
,,
A
aABar A


   



2
2
,,
c
aABar A
A


  


Vậy
12 12
|.| ~|.|

 .


51 Ta có :
11
||1 || 0
n
xx khi n 

0
n
x

theo giá trị tuyệt đối
1
|.|

0
n
x
theo giá trị tuyệt đối
2
|.|

2
|| 0

n
xkhi n 

2
|| 1x.

34 Lấy dãy


n
x
F là dãy Cauchy theo giá trị tuyệt đối
1
|.|
Khi đó
1
lim | | 0
mn
n
xx

 suy ra
1
lim | | 0
c
mn
n
xx




2
lim | | 0
mn
n
xx




n
x
 là dãy Cauchy theo giá trị tuyệt đối
2
|.|


41
11
:| | 1 | | 0
n
xFx x    khi n 

0
n
x
theo giá trị tuyệt đối
1
|.|



n
x
 là dãy Cauchy theo
1
|.|


n
x
 là dãy Cauchy theo
2
|.|
1
2
||0
nn
xx

 khi n 
2
|( 1)| 0
n
xx khi n 
22
|||(1)| 0
n
xx khi n 
0

n
x

theo giá trị tuyệt đối
2
|.|
2
|| 0
n
xkhi n .
2
|| 1x
.
Tương tự ta cũng có nếu
21
|| 1 ||1xx


. □

1.2. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN
Định nghĩa 1.2.1 : Trường F với ánh xạ
|.|:FR được gọi là giá trị tuyệt
đối phi Archimedean nếu :
i.
||0 ; ||0 0xxFxx 
ii.
|.|| |.| | ,
x
yxy xyF

iii.


||max||,|| ,
x
yxyxyF  
Như vậy giá trị tuyệt đối phi Archimedean là giá trị tuyệt đối với điều
kiện iii) thoả bất đẳng thức tam giác mạnh .
Ví dụ 1.2.2: Giá trị tuyệt đối tầm thường trên F là phi Archimedean. Thật
vậy :
iii. Nếu


||0||max||,||
x
yxy xy
Nếu
0||1
||1 0
0||1
xx
xy xy
yy










Do đó


||max||,||
x
yxy
Vậy


||max||,|| ,
x
yxyxyF  .
Ví dụ 1.2.3 : Cho p là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên 0a  ta ký hiệu
p
Ord a là số nguyên không âm lớn nhất m sao cho 0(mod )
m
ap . Qui ước
0
p
Ord . Với
p
pp
a
x
Q Ord x Ord a Ord b
b
   không phụ thuộc vào
phần tử đại diện

,ab. Với 01


 , trên Qta xét ánh xạ |.| như sau:
||
p
Ord x
x
xQ

. |.| là một giá trị tuyệt đối phi Archimedeanan trên Qvà
với các

khác nhau ta được các giá trị tuyệt đối khác nhau nhưng đều tương
đương với nhau. Thật vậy :
i.
,| | 0
p
Ord x
xQx

   ( hiển nhiên )
||0 0 0
p
Ord x
p
xOrdxx

  
ii.

,:
p
pp
x
yQ OrdxyOrdxOrdy  
|| . ||.||
ppppp
Ord xy Ord x Ord y O rd x Ord y
x
yxy
 

   
iii.




,: min ,
ppp
x
y Q Ord x y Ord x Ord y 






min ,
|| max ,,

pp
ppp
Ord x Ord y
Ord x y Ord x Ord y
xy
 

   (vì
01


)


||max||,||
x
yxy
Vậy |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên Q.
Với
12
0,1

, ta có
11 2 2
|| ; ||
pp
Ord x Ord x
x
xxQ




.
Ta chứng minh
12
|.|;|.| là hai giá trị tuyệt đối tương đương. Thật vậy :




1
2
1
2
2
log
log
11 2 2 2 1
:| | | | ( log 0)
p
pp
Ord x
Ord x Ord x
c
xQx x c






  

Nếu
1
p

 thì giá trị truyệt đối |.|
p
trên Q là :
1
||
p
p
Ord x
Ord x
p
x
pxQ
p






.
Ví dụ 1.2.4 : Cho
1



, F là trường, Fx




là vành đa thức, với
f
Fx





.
Đặt :
deg
||
f
f

 . ( qui ước deg0  )




1
.:, ; 0Fx s fg fg Fx g


  


là trường các phân thức với hệ số thuộc
F. Đặt :
1
||| |.||sfg


Khi đó |.| là giá trị tuỵêt đối phi Archimedean trên


Fx
. Thật vậy :
i.


1
.:||0sfg Fxs

  
(hiển nhiên).

1
||0 | |.|| 0 | |0 deg 0 0sfg f f fs

   .
ii.
12
,
f
fFx




, ta có


12 1 2
deg . deg deg
f
fff



12
12 1 2
deg .
deg deg deg deg
12 1 2
|.| . ||.| |
ff
ff f f
f
fff
 

   
. Do đó


11

1112 22
.; .sfgsfg Fx

   , ta có:









1
11 1
12 11 22 12 12 12 12
| . || . . . || . . . || . |. . |ss fg f g f f gg f f gg

 


11 1 1
122 1 11 22 12
| |.| |.| | .| | | |.| | .| |.| | | |.| |
f
fg g fg fg ss
  

iii.
12

,
f
fFx



, ta có




12 1 2
deg max deg ,deg
f
fff






12
12
max deg ,deg
deg deg
12 12
| | max , max | |,| |
ff
ff
f

fff

  
.
Do đó


11
1112 22
.; .sfgsfg Fx

   , ta có:









11
1 2 12 21 12 12 21 12
| ||. ||. .|.|. |ss fg fg gg fg fg gg


   






1
12 21 12
max | . |,| . | .| . |fg fg gg




 


11
12 12 21 12
max | . |.| . |,| . || . |fg gg fg gg





11
11 22
max | |.| | ,| |.| |fg fg




12
max | |,| |ss .
Với

12
,1

 thì ta được hai giá trị tuyệt đối tương đương. Thật vậy:


1
2
2
log
deg deg
1112 2
log 0:| | | |
ff c
f
Fx c f f





     

.
Suy ra



1
11

111 2 2 2
. ,||| |.|| | |.|| ||.
cc c
sfg Fxs f g f g s


    
Chú ý : Lấy
01


; qui ước deg0

 thì định nghĩa trên vẫn là giá trị
tuyệt đối trên


Fx.
Định lý 1.2.5 : ( Các điều kiện tương đương của tính phi Archimedean )
Cho F là trường , |.| là giá trị tuyệt đối trên F . Các điều kiện sau tương
đương :
1) |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean .
2)
|2| 1 .
3)
||1nnN.
4) Tập N bị chặn , tức tồn tại c>0 sao cho
||nc nN.
Chứng minh:



12


|2| |1 1| max |1|,|1| 1 


23 nN , ta có:




21
01 2
.2 .2 .2 0; 0;1 ,2 2
sss
ss i
na a a a a a n

     

|| 1ns.Thật vậy :


0,1 | | 1
ii
aai

. Do đó :

2
01 2
| | | .2 .2 .2 |
s
s
naa a a  

2
01 2
| | | |.|2| | |.|2| | |.|2|
s
s
aa a a  


11.11.1 1.1 1s

 .
Ngoài ra
1
2
s
n

 nên kN

 ta có




1
1
22
k
sk
ks k
nn



Giả sử




21
01 2
.2 .2 .2 0; 0;1 ;2 2
kttkt
tt i
nbb b b b b n

     
Sử dụng kết quả trên ta được :
|| 1
k
nt


Mà







1
11 2 2
sk
tk
tsk n

   do


|| 1
k
nsk || 1
kk
ns k 
khi||1nk 


34 Hiển nhiên khi chọn c = 1.


41
,
x
yF

, ta có:


00
||| || |||.||.||
nn
n
nkknkkknk
nn
kk
x
yxy Cxy Cxy



  


  


do1.max||,|| ( | |
n
kk
nn
nC xy CNCC   hằng số






|| 1 max||,||
nn
x
yn C xy 
Cho
n  ta có


||max||,||
x
yxy
Vậy |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean. □
Hệ quả 1.2.6 : Nếu trường F có đặc số p thì mọi giá trị tuyệt đối là phi
Archimedean .
Chứng minh:
Xét N={1,2,…} ( ở đây e = 1 )


, , 0,1, , 1nN npqr r p    
Ta có :
||| || |||||npqrpq rr 
Do r chỉ nhận hữu hạn giá trị


0,1, , 1p

nên tập N bị chặn.
Áp dụng Định lý 1.2.5 suy ra điều phải chứng minh .□

1.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI
ARCHIMEDEAN
Cho F là trường , |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên F
Mệnh đề 1.3.1 :


, , |||| | |max||,||
x
yF x y xy x y   .
Chứng minh :
Giả sử |x| > |y|. Ta có:



||| |max| |,|| | |
x
xyy xyy xy   ( vì |x| > |y| )



||max||,||||
x
yxyx 
Do đó


||||max||,||
x
yx xy 
Làm tương tự nếu |x| < |y|.

Vậy


, , |||| | |max||,||
x
yF x y xy x y   . □
Mệnh đề 1.3.2 : Dãy


n
x
F là dãy Cauchy


1
0
nn
xx


khi n 
Chứng minh :
Giả sử


n
x
là dãy Cauchy trong F suy ra
,
lim | | 0

nm
nm
xx


Chọn m = n + 1 suy ra


1
0
nn
xx


 khi n 
Ngược lại giả sử


1
0
nn
xx


 khi n  suy ra

0
0, nN

   sao cho

01
,| |
nn
nnx x




Khi đó
0
,,mn n m n k


thì
||| |
mn nkn
x
xx x

 








112 1
| |

nk nk nk nk n n
x
xxx xx
  
   




112 1
max | |,| |, ,| |
nk nk nk nk n n
xx x x xx

 
  


,
lim | | 0
mn
mn
xx


Vậy


n
x

là dãy Cauchy. □
Mệnh đề 1.3.3 :


n
x
là dãy Cauchy trong F
i. Nếu
lim 0
n
n
x


thì
lim | | 0
n
n
x



ii. Nếu
lim 0
n
n
x

 thì



||
n
x
là dãy dừng
Chứng minh :
i.
Nếu lim 0
n
n
x

 thì lim | 0| 0 lim | | 0
nn
nn
xx
 

 .
ii.
Nếu lim 0
n
n
x

 thì 0

 sao cho có dãy con





k
nn
x
x mà
||
k
n
x



Vì


n
x
là dãy Cauchy trong F nên
00
/
,:| |
mn
nN mnnx x


  


Chọn

0
0k
nn
, suy ra :
0
nn

 thì




00 00 0
||| |max| |,||||
nnnn nnn n
x
xx x xx x x   (do
00
||,||
nn n
xx x


 
, sử dụng mệnh đề 1.3.1 ). □

Chương 2: MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN
BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG
2.1. MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN
TRÊN BAO ĐỦ
Định lý 2.1.1: Cho |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên trường F .
Tồn tại duy nhất trường mở rộng L của F với giá trị tuyệt đối ||.|| là sự mở
rộng của giá trị tuyệt đối trên F thoả:
i) L đầy đủ
ii) F trù mật trong L
Khi đó L còn được gọi là bao đủ của F.
Chứng minh
Chứng minh sự tồn tại:
Trước tiên
ta đi xây dựng trường L như sau:
Đặt





/,
nn n
SxxFxlà dãy Cauchy theo |.|


Trên S ta định nghĩa một quan hệ tương đương:




~lim||0
nn nn
n
xy xy


Khi đó





/~ , ,
nn n
LS x x Fx 
là dãy Cauchy theo |.|


Trên L ta định nghĩa hai phép toán:
Phép cộng:







nn nn
x
yxy
Phép nhân:







nn nn
x
yxy với mọi




,
nn
x
yL
Hai định nghĩa trên là tốt. Thật vậy: Lấy









,', ,'
nnnn
x
xyy
là các dãy
Cauchy trong
F theo giá trị tuyệt |.| sao cho








~'; ~'
nnnn
x
xy y

Suy ra
lim| '| 0;lim| '| 0
nn nn
nn
xx yy
 




Do đó


lim | ( ) ( ' ' )|
nn n n
n
x
yxy




lim | ( ' ) ( ' )|
nn nn
n
x
xyy





max lim | ' |,lim | ' |
nn nn
nn
xx yy
 


=0




~' '
nn n n
x
yxy 
Như vậy phép cộng được định nghĩa tốt.

|. .' .' '.'|
nn n n n n n n
x
yxy xy xy
=
|.( ')( ').'|
nn n n n n
x
yy xxy



max | |.| ' |;| ' |.| ' |
nnnnn n
xyyxx y
Mà
|'|0
nn
yy

khi n ; và


n
x
là dãy Cauchy nên
0
n
x 
hoặc
lim 0
n
n
x

 thì


||
n
x
là dãy dừng lim | |.| ' | 0
nnn
n
xyy


Tương tự ta có
lim| '|.| '| 0
nn n

n
xx y

 suy ra lim | . ' . ' | 0
nn n n
n
xy x y







.~'.'
nn n n
x
yxy
Như vậy phép nhân được định nghĩa tốt.
Khi đó L với hai phép toán trên là trường vì:






,,
nnn
x
yz L

i)






nn n
x
yz








nn n
x
yz



nnn
x
yz





nnn
x
yz




nnn
x
yz
2i)












nnnnnnnn
x
yxyyxyx
3i) phần tử 0 là lớp



n
x
với lim 0
n
n
x



4i)


n
x
L phần tử đối là


n
x
 . Thật vậy:












0
nnnn
xxxx   
5i)







nn n
x
yz








nn n
x
yz




nnn
x
yz





nnn
x
yz





nnn
x
yz
6i)














nn nn nn nn
x
yxyyxyx
7i) Phần tử đơn vị


11
8i)






0, lim 0 | |
nn n n
n
x
xL x x


là dãy dừng
Suy ra tồn tại
0
nN
sao cho
0

,| | 0
n
nnx a



Khi đó

1
nn
y
x


trong đó 0
n
y

nếu
0
nn



1
n
n
y
x


nếu
0
nn

Ta sẽ chứng minh


n
y
là dãy Cauchy và


n
y
là nghịch đảo của


n
x
.
Thật vậy:


0
||
11
,,| || || |
.||.||
mn mn
nm

nm nm n m
x
xxx
nm n y y
x
xxx xx

  
.
Vì
,
lim | | 0
nm
nm
xx


 và
2
||.||
nm
x
xa

là hằng số nên
,
lim | | 0
nm
nm
yy


 .Suy ra


n
y
là dãy Cauchy.

0
1
,|.1||. 1|0lim|.1|0
nn n nn
n
n
nnxy x xy
x

   




.~1
nn
xy
Vậy


n
y

là nghịch đảo của


n
x
.
Bây giờ ta đi xây dựng giá trị tuyệt đối| |.|| trên L và chứng minh (L,||.||)
thoả hai điều kiện đã cho như sau:
Đặt ||.|| :
LR


|| || lim | |
nn
n
x
xx x


Định nghĩa này tốt vì :

Kiểm tra tồn tại lim
Nếu


0
n
xx thì





~ 0 lim | | 0
nn
n
xx


Nếu


0
n
xxthì lim 0
n
n
x


theo mệnh đề 1.3.3 dãy


||
n
x
dừng
tại
0
||
n

x
. Do đó
0
lim | | | |
nn
n
x
x



Lấy dãy Cauchy




~
nn
x
y , ta chứng minh
lim | | lim | |
nn
nn
x
y
 

.
Thật vậy :
|| | | || | |

nnnn
x
yxy

lim || | | || lim | | 0
nn nn
nn
xy xy
 


lim | | lim | |
nn
nn
x
y
 


lim | |
n
n
x

 không phụ thuộc vào phần tử đại diện.
||.|| được định nghĩa trên là giá trị tuyệt đối, thật vậy:
i)


,|| || lim| | 0

nn
n
xx Lx x

   





|| || 0 lim | | 0 ~ 0 0
nn
n
xxxx

  
ii)




,
nn
x
xy y L  

||.||lim| . |lim| |.lim| |||||.||||
nn n n
nnn
x

yxy xyxy
  
 .
iii)




,
nn
x
xy y L  




|| || lim | | lim max | |,| |
nn n n
nn
xy x y x y
 
  


max lim | |,lim | |
nn
nn
x
y
 




max || ||,|| ||
x
y .
Ta chứng minh


,||.||L là trường mở rộng của


,|.|F
Xét
: FL





x
x ,tất cả các phần tử của dãy là x

,,
x
yFxy . Ta chứng minh





x
y

 , thật vậy:










x
yxyxy






00lim||0
n
xy xy xy xy


    
Suy ra



x
không tương đương


y





x
y

 là đơn ánh.











,,
x
yF xy xy x y x y


    














,,. . . .
x
y F xy xy x y x y

   
Vậy

là đơn cấu trường nên có thể xem F là trường con của L .




,
x
Fx x  thì || || lim | | | |

n
x
xx




||.|| là giá trị tuyệt đối mở rộng của |.|
Chứng minh


,||.||L đầy đủ:
Giả sử


0
n
n
x


là dãy Cauchy trong L với

0
nkn
k
xx


 là lớp các dãy

Cauchy trong F. Vì


0
n
n
x


là dãy Cauchy trong L nên
,
lim || || 0
nm
nm
xx

 suy ra lim | | 0
kn km
k
xx


 khi
,mn
.
Với mỗi

0
,
nkn

k
nx x


 là dãy Cauchy trong F nên
in
x

sao cho
1
,| |
kn in
kix x
n
   . Đặt
in n
x
z


Khi đó


n
z
zL và lim
n
n
x
z



. Thật vậy:








||| |
n m n kn km m kn km
zz zx x z x x     


max | |,| |,| |
in kn km jm kn km
xx x x xx
Với k đủ lớn thì
1
||
in kn
xx
n


;
1
||

km jm
xx
m



Do đó khi
k thì
11
||max,,| |0
n m kn km
zz x x
nm

  


khi ,nm.


n
z
 là dãy Cauchy trong F


n
z
zL 

lim || || limlim | | limlim | |

nknkknik
nnk nk
x
zxz xx
    
   




limlim | |
kn kk kk ik
nk
x
xxx
 



limmax | |,| |
kn kk kk ik
k
x
xxx

 khi n 



max lim | |,lim | |

kn kk kk ik
kk
x
xxx
 
khi n 
= 0
lim
n
n
x
z

.
Chứng minh
F
trù mật trong
L
:


,
n
x
Lx x  với
n
x
F . Ta sẽ chứng minh lim
n
n

x
x


theo ||.|| ( ở đây
xem
n
x
là lớp


n
x
L ). Thật vậy :Với mỗi
,|| || lim | |
nkn
k
nxx x x

 

Vì


n
x
là dãy Cauchy trong F nên
00
0, / , :| |
nk

nN nknxx



    
Cố định
n suy ra lim | |
kn
k
xx


 || ||
n
xx

  lim || || 0
n
n
xx


Do đó
lim
n
n
x
x



.
Chứng minh tính duy nhất:
Nếu


',||.|| 'L là trường mở rộng của


,|.|F thỏa hai điều kiện trên thì
tồn tại đẳng cấu trường
:'LL


 bảo toàn giá trị tuyệt đối. Thật vậy :


,
nn
x
LxxxF    ,


n
x
là dãy Cauchy trong 'FL đầy đủ
n
x
 hội tụ về '
x
L theo giá trị tuyệt đối

||.||'
. Do đó ta xác định

như sau

:'LL





'
x
xx




Giả sử


,
nn
x
xLx hội tụ về ''
x
L

theo giá trị tuyệt đối
||.||'

trong
'L . Lấy






, ~ lim | | lim || || ' 0
nnn nn nn
nn
yFy x xy xy
 

Khi đó




lim || ' ||' lim || ' ||'
nnnn
nn
xy xx x y
 
 



max lim || ' ||',lim || || ' 0
nnn

nn
xx x y
 


lim '
n
n
y
x

 theo giá trị tuyệt đối ||.|| '
Suy ra

là ánh xạ.






,;','
nnnn
x
xy y Lx xy y     theo ||.||' trong 'L









lim ' ' lim lim
nn n n
nnn
x
yxyxyxyxy

  
     








. lim . '. ' lim .lim .
nn n n
nnn
x
yxyxyxyxy

  
 
Suy ra

là đồng cấu trường .









ker / 0
n
xx L x

  






/
lim 0 0
nn
n
xx L x

  
Suy ra

là đơn cấu.


''
x
L , vì F trù mật trong 'L nên tồn tại dãy


n
x
F
hội tụ về '
x
.


n
x
hội tụ


n
x

là dãy Cauchy . Do đó


n
x
xL

 thoả



'
x
x



Suy ra

là toàn cấu.
Vậy

là đẳng cấu trường.






,'
n
x
xLxx

   , ta có :


|| ||' || '|| ' lim | | || ||
n
n

x
xxx


 
Suy ra

bảo toàn giá trị tuỵêt đối. □
Chú ý : Nếu không sợ nhầm lẫn ta vẫn kí hiệu giá trị tuyệt đối ||.|| trên L là |.|
Ví dụ 2.1.2 : Áp dụng định lý 2.1.2 cho trường Q với giá trị tuyệt đối
|.|
p
.Trường bao đủ của nó kí hiệu là
p
Q

, khi đó:





,,
p
nn n
QxxxQx 
là dãy Cauchy đối với giá trị tuyệt đối

|.|
p


Giá trị tuyệt đối trên
p
Q : | | lim | |
p
np
n
x
x

 .

lim
n
n
x
x

 với mêtric cảm sinh từ giá trị truyệt đối.
Định lý 2.1.3: Nếu
12
|.|,|.| là hai giá trị tuyệt đối phi Archimedean tương
đương trên trường F. Giả sử


11
,||.||L và



22
,||.||L là hai bao đủ của hai giá
trị tuyệt đối tương ứng. Thế thì:
a.
12
LL

b.
12
||.|| ~||.||
Chứng minh
a) Theo chứng minh định lý 2.1 ta có:





111
~,
nn
LS x x là dãy Cauchy đối với
1
|.| trong F








222
~,
nn
LS x x là dãy Cauchy đối với
2
|.|
trong F


Ta chứng minh
12
SS ;
1
~ tương đương với
2
~ .




1n
x
S,


n
x
là dãy Cauchy đối với
1
|.|

trong F , nghĩa là
1
,
lim | | 0
nm
nm
xx


1
,
lim | | 0
c
nm
nm
xx


2
,
lim | | 0
nm
nm
xx


 ( do
12
|.|~|.| nên
21

|.| |.|
c
 )


n
x

là dãy Cauchy đối với
2
|.| trong F . Do đó


2n
x
S

Như vậy
12
SS .











11 1
,;~lim||0
nn n n nn
n
xyS x y xy

 
1
lim | | 0
c
nn
n
xy


2
lim | | 0
nn
n
xy







2
~
nn

x
y
Như vậy
1
~
tương đương với
2
~
.
Từ hai điều trên ta suy ra
12
(LL đặt = )L
b)


,
n
x
Lx x  ta có :