nghiên cứu didactic việc dẫn nhập khái niệm phép biến hình ở trường phổ thông trong môi trường tích hợp phần mềm cabri

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
__________________________


Vũ Khánh Ly



NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẪN NHẬP
KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH Ở TRƯỜNG
PHỔ THÔNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH
HỢP PHẦN MỀM CABRI




Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán
Mã số: 60 14 10




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2008

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình chỉ
dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu
Hải, PGS. TS. Claude Comiti, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải
đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú
vị - Didactic Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng
viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học.
- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong đã tạo điều
kiện cho tôi trong suốt thời gian theo học cao học ở trường ĐHSP, đồng thời đã nhiệt tình hỗ trợ tôi
tiến hành thực nghiệm 2.
- Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Chí Thanh (TP.HCM) đã hỗ trợ giúp tôi tiến hành thực
nghiệm 1.
- Ths Trần Túy An, là đồng nghiệp và cũng là học viên khóa trước, đã động viên và chia sẻ cho tôi rất
nhiều kinh nghiệm quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó
khăn trong quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, những
người luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt.

VŨ KHÁNH LY


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

PBH : Phép biến hình
SGK : Sách giáo khoa
SBT : Sách bài tập
SGV : Sách giáo viên
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
CT : Chương trình
THPT : Trung học phổ thông
THCS : Trung học cơ sở
CNTT : Công nghệ thông tin
HĐ : Hoạt động


MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
“Hàm” là một khái niệm cực kì quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học Toán ở
trường THPT. Theo nhà toán học Khin-Sin: “Không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những
hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không
một khái niệm nào có thể thực hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại
như khái niệm tương quan hàm”.
Hơn nữa “trong hình học, quan điểm hàm thể hiện tường minh qua chủ đề PBH” [6, tr.167]. Với các
PBH, HS được biết một quan hệ hàm không phải là hàm số.
Đối với chủ đề PBH, chúng tôi có những ghi nhận sau:
- Thứ nhất, PBH trong CT cải cách giáo dục năm được tiến hành từ năm 1990 và CT chỉnh lí hợp nhất

năm 2000 được trình bày theo quan điểm hàm. Chúng tôi sẽ làm rõ thêm nhận xét này trong các phân
tích ở chương sau. Trong hai CT trên, PBH được phân bố ở cuối CT lớp 10. CT phân ban năm 2006 đặt
PBH ở đầu lớp 11. Câu hỏi đặt ra: ngoài sự thay đổi trật tự CT, có hay không sự thay đổi quan điểm
trình bày PBH?
- Thứ hai, PBH nghiên cứu hình học trong trạng thái vận động. Do đó việc sử dụng các phần mềm
hình học động để mô phỏng sự vận động là cần thiết. Trong các phần mềm hình học, Cabri lôi cuốn
chúng tôi nhiều nhất bởi nó có một giao diện thân thiện với các biểu tượng, câu lệnh dễ nhớ. Cabri có
thể tạo ra hình ảnh trực quan, và những hình ảnh này dễ dàng thay đổi hình dạng, vị trí bằng các thao
tác “kéo-rê” chuột.
- Thứ ba, một trong những yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy của Bộ giáo dục hiện nay là tích
hợp CNTT trong giảng dạy. Tuy nhiên, SGK chưa có các hoạt động với phần mềm dạy học. Trong thực
tế giảng dạy ở nhiều trường phổ thông, các phần mềm dạy học bước đầu được nhiều GV quan tâm sử
dụng như Cabri, Geospace, Geometer’s Sketchpad, Maple. Song “việc sử dụng của họ chỉ dừng ở mức
độ minh họa tính chất và mô phỏng các chuyển động của hình trong các bài giảng điện tử” [30]. Vấn
đề tương tác giữa học sinh với các phần mềm hầu như không được tính đến.

“Multimedia là một loại phương tiện tích hợp nhiều phương tiện như: chữ, hình ảnh, âm thanh, video,
hoạt hình/mô phỏng. Tuy nhiên, tính năng quan trọng nhất của multimedia là tương tác. Thiếu tương
tác thì đó chỉ là một giờ học với phương tiện đắt tiền
1
”.
Tại sao chúng ta phải quan tâm đến sự tương tác trong quá trình dạy và học? “Nói chưa phải là dạy và
nghe chưa phải là học” (ngạn ngữ). HS chăm chú lắng nghe bài giảng của thầy giáo, nghe một bài trình
bày toán mạch lạc, không đảm bảo là việc học sẽ xảy ra như mong đợi. Nếu không có phản hồi mà chỉ
có tác động một chiều thì chưa chắc việc học tập đã diễn ra. Không có phản hồi sẽ không có sự điều
chỉnh về nội dung và phương thức hoạt động của người học. Theo Bessot và Grenier (trích dẫn trong
Lê Văn Tiến [25]): “Tác động phản hồi là một thông tin đặc biệt có từ môi trường, nghĩa là một thông

1
Đỗ Mạnh Cường-Viện Nghiên Cứu Phát Triển Giáo Dục Chuyên Nghiệp, tham luận hội thảo “Các vấn đề dạy và học toán ở phổ

tin đến với HS như một xác nhận tích cực hay tiêu cực trên hành động của họ và cho phép họ điều
chỉnh hành động này, cho phép họ chấp nhận hay loại bỏ giả thuyết, hay tiến hành một lực chọn giữa
nhiều cách giải quyết”
Vậy, “môi trường” trong lí thuyết tình huống được hiểu như thế nào?
Theo G.Brousseau, [25]: “Trong tình huống didactic, môi trường là hệ thống đối kháng với HS, tức là
cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức theo cách mà HS không kiểm soát được”. Các yếu tố hình
thành nên môi trường có thể là vật chất hoặc phi vật chất [25].
Một trong những môi trường tạo sự tương tác hiệu quả đó là môi trường máy tính tích hợp các phần
mềm dạy học tương tác.
Theo Nguyễn Chí Thành [24], ý tưởng chủ đạo khi xây dựng các HĐ trong các tình huống là tạo ra một
môi trường cho sự tương tác giữa Cabri và HS. Sự tương tác đó có thể mô tả trong sơ đồ sau (theo C.
Laborde 1985):

Hình 1. Sự tương tác giữa HS và phần mềm
Theo sơ đồ trên, trong môi trường của Cabri, HS sẽ dịch chuyển hình vẽ hoặc các đối tượng, quan sát
các phản hồi của môi trường, sử dụng kiến thức đã có để giải thích cho các thông tin phản hồi của môi
trường, mặt khác qua các phản hồi HS có thể thay đổi các hành động của mình để tiến gần đến kết quả
cần tìm (kiến thức cần lĩnh hội) theo dụng ý của GV. Chính điều này gây nên sự hình thành kiến thức
mới, trong đó HS đóng vai trò chủ động. Các phản hồi cũng giúp GV điều khiển, hướng dẫn quá trình
học tập của HS.
Có thể nói, Cabri là phần mềm hình học động có tính năng tương tác cao. Chính vì điều này mà các tác
giả viết phần mềm này đã đặt tên cho nó là “Vở nháp tương tác” (Cahier de Brouillon Interactif).
Những ghi nhận trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát:
Q’1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong CT hình học ở Việt Nam? Có sự thay
đổi gì về nội dung PBH qua các lần cải cách gần đây nhất của chương trình phổ thông được thực hiện
từ những năm 1990, 2000 và 2006?
Q’2: Cách trình bày của các thể chế đã ảnh hưởng thế nào đến quan niệm của HS về khái niệm PBH?
Q’3: Vai trò của phần mềm Cabri đối với việc dạy và học PBH? Có thể vận dụng chức năng tương tác
của Cabri để xây dựng nội dung dạy học giúp HS tiếp cận với khái niệm PBH theo đặc trưng hàm hay

không?
2. Trình bày vấn đề nghiên cứu
2.1 Khung lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi vận dụng lí thuyết didactic toán, cụ

thông”, 09/2008
Kiến thức cần lĩnh hội
Các phản hồi của môi trường

Dịch chuyển hình



HS



Cabri II
Plus


thể là lí thuyết nhân chủng học và đồ án didactic (hay còn gọi là công nghệ didactic).
Tại sao lại là “Lí thuyết nhân chủng học”? Bởi vì hai trong số ba câu hỏi của chúng tôi đều liên quan
đến khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri
thức, tổ chức toán học.
Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn
phạm vi lý thuyết của mình.
2.1.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức
Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X
đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có đối với

O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao.
Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “khái niệm PBH”.
2.1.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức
Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một thể chế.
Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó mà có sự
tồn tại của X.
Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các ràng
buộc mà thể chế I có với tri thức O.
Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của
R(I,O).
Với những định nghĩa trên thì trả lời cho câu hỏi Q’1 và Q’2 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế
mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của HS với đối tượng O.
Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là:
- Thể chế dạy học theo CT cải cách giáo dục được tiến hành vào năm 1990 [I1].
- Thể chế dạy học theo CT chỉnh lý hợp nhất năm 2000 [I2].
- Thể chế dạy học theo CT phân ban được tiến hành đại trà năm học 2006-2007 [I3].
Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O)?
Theo Bosch và Chevallard.Y (1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với tri thức O sẽ làm
sáng tỏ mối quan hệ R(I,O). Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho
phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O.
Trong luận văn này, việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan đến các
PBH, sẽ cho phép chúng tôi:
- Vạch rõ các quan hệ của thể chế R(I1,O), R(I2,O), R(I3,O).
- Xác định mối quan hệ các nhân HS duy trì với O trong từng thể chế I1, I2, I3.
Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì?
2.1.3 Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây dựng một mô hình
cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa
vào khái niệm praxeologie.
Theo Chevallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ], trong đó: T là một kiểu

nhiệm vụ, là kĩ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kĩ thuật ,  là lí thuyết
giải thích cho  còn gọi là công nghệ của công nghệ 
Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học.
2.1.4 Đồ án didactic
Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactic là một tình huống dạy học được xây
dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc didactic tựa như công việc của người kỹ sư: nó
dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn
nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học.
Đồ án didactic cho phép thực hiện:
- Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactic trước đó.
- Một kiểm chứng về những xây dựng lí thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực
hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy.
Trong nghiên cứu của mình, để trả lời cho câu hỏi Q’3, chúng tôi xây dựng một đồ án nhằm giúp HS
tiếp cận với tri thức O.
2.2 Trình bày lại câu hỏi trong khung lí thuyết tham chiếu
Trong khuôn khổ lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi mà việc tìm
kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này:
Q1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong các thể chế I1(thể chế dạy học theo CT
1990), I2 (thể chế dạy học theo CT 2000), I3 (thể chế dạy học theo CT 2006)? Các tổ chức toán học
nào liên quan đến khái niệm PBH được triển khai trong các thể chế này? Có sự thay đổi nào về mối
quan hệ của các thể chế I1, I2, I3 với khái niệm PBH?
Q2:Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng ra sao đến mối quan hệ cá nhân của HS trong mỗi thể chế đối
với khái niệm PBH?
Q3: Chức năng của Cabri đối với việc dạy-học PBH? Có những kiểu nhiệm vụ nào với Cabri trong
việc dạy-học PBH? Các kĩ thuật nào và công nghệ toán học nào sẽ được đưa vào khi đưa ra các kiểu
nhiệm vụ đó? Trong các kĩ thuật thực hiện, kĩ thuật nào thể hiện đặc trưng hàm của PBH?
Q4: Có thể xây dựng một tình huống sử dụng chức năng tương tác của Cabri giúp học sinh tiếp cận với
khái niệm PBH với đặc trưng hàm của nó hay không?
3. Phương pháp nghiên cứu

 Phân tích CT và SGK toán các CT:
+ CT cải cách giáo dục năm 1990;
+ CT chỉnh lí hợp nhất năm 2000;
+ CT phân ban năm 2006;
Mục đích:
+ Biết được cách trình bày các vấn đề về PBH của các CT?
+ Thấy được sự giống và khác nhau về tổ chức toán học của các CT.
 Từ kết quả phân tích trên, chúng tôi đưa ra mối quan hệ thể chế đối với khái niệm PBH, đồng thời
rút ra giả thuyết nghiên cứu.
 Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra.

 Xây dựng thực nghiệm có sử dụng Cabri để tiếp cận với khái niệm PBH với các đặc trưng của nó.
4. Cấu trúc của luận văn
Nghiên cứu Chương 1 nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. Muốn thế, chúng tôi tiến hành phân tích CT, SGV,
tài liệu hướng dẫn giảng dạy, SGK, SBT toán qua các thời kì. Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ rõ các tổ chức
toán học liên quan đến khái niệm PBH. Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan
hệ của từng thể chế với khái niệm PBH, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu liên quan đến câu hỏi
Q3 về mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH dưới ràng buộc của thể chế.
Chương 2 dành để kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết trên bằng một thực nghiệm (được tiến
hành trong môi trường giấy-bút truyền thống) với HS, chúng tôi gọi đây là thực nghiệm thứ nhất.
Trong Chương 3, chúng tôi trình bày thực nghiệm thứ hai dưới dạng một đồ án. Thực nghiệm này
được tiến hành trong môi trường tương tác của phần mềm hình học động Cabri II plus nhằm mục đích
điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH đã được phân tích trong chương 1 và
chương 2.

CHƯƠNG 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH
Nghiên cứu chương này với mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2. Muốn thế,
nghiên cứu đó phải làm rõ mối quan hệ mà các thể chế I1, I2, I3 đối với khái niệm PBH. Việc này sẽ
được tiến hành thông qua phân tích CT và SGK của từng thể chế.
 Đối với thể chế I1:

Trong thời kì này, ba bộ SGK được sử dụng trong các trường phổ thông. Các trường PT ở miền Nam
đã lựa chọn sử dụng bộ sách do tác giả Trần Văn Hạo chủ biên. Do đó chúng tôi cũng sử dụng bộ sách
giáo khoa này để phân tích.
Tài liệu phân tích:
+ Hình học 10, Trần Văn Hạo, Vũ Thiện Căn, Cam Duy Lễ,1992, NXBGD [M1];
+ Sách giáo viên Toán 10, Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, 1990, NXBGD [P1];
+ Bài tập hình học 10, Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ,Vũ Thiện Căn,1993, NXBGD [E1];
 Đối với thể chế I2:
Năm 2000, cùng với sự chỉnh lý chương trình, các trường PT của cả nước sử dụng chung một bộ sách
giáo khoa chỉnh lý hợp nhất do tác giả Văn Như Cương chủ biên.
Tài liệu phân tích:
+ Hình học 10, Văn như Cương, Phan Văn Viện, 2000, NXBGD [M2];
+ Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, 2001 [P2];
+ Bài tập hình học 10, Văn như Cương, Phan Văn Viện, 2000, NXBGD [E2];
 Đối với thể chế I3:
Năm học 2006-2007, toàn bộ khối 10 trong cả nước thực hiện chương trình mới: chương trình phân
ban. Chương trình toán khối 10 phân thành hai chương trình: chương trình nâng cao và chương trình
cơ bản. Đến năm học 2007-2008, toàn bộ khối 11 tiếp tục thực hiện chương trình phân ban với sự phân
chia ban giống như khối 10. Nội dung PBH được trình bày trong SGK lớp 11.
Chúng tôi chọn phân tích bộ SGK lớp 11 theo CT cơ bản. Chúng tôi chọn CT này vì đối với chủ đề
PBH, hệ thống bài tập của các trường triển khai giảng dạy giống với hệ thống bài tập ban cơ bản, cho
dù đa số các trường chọn học toán theo ban nâng cao. Tài liệu phân tích:
+ Hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [M3];
+ Sách giáo viên Toán 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007,
NXBGD [P3];
+ Bài tập hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007, NXBGD [E3];
Do tính kế thừa giữa các bậc học của hệ thống dạy học, trong một số trường hợp, để làm sáng tỏ vấn đề
đang nghiên cứu, chúng tôi sẽ tham khảo các CT liên quan ở bậc THCS.
CT 1990 và 2000 ở bậc THPT kế thừa cùng CT bậc THCS được tiến hành cải cách “cuốn chiếu” bắt
đầu từ năm 1986, chúng tôi quy ước gọi là CT THCS 1986.

CT 2006 ở bậc THPT kế thừa CT bậc THCS được tiến hành đại trà bắt đầu từ năm 2002, chúng tôi quy
ước gọi là CT THCS 2002.
Các tài liệu tham khảo ở bậc THCS là:
- Đối với CT THCS 1986:

+SGK hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD;
+SGV hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD;
- Đối với CT THCS 2002:
+SGK Toán 8, tập 1, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD;
+SGV Toán 8, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD;
1.1. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC CHƯƠNG TRÌNH
1.1.1. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 1990
Đây là lần đầu tiên nội dung PBH được trình bày tập trung ở CT PT Việt nam trong chương 3 của lớp
10 với tên gọi Phép dời hình và phép đồng dạng. Đối với CT trước đó
2
, theo Lê Thị Hoài Châu (2004),
PBH được nghiên cứu rải rác từ cấp II đến cấp III với tư cách là một bộ phận của hình học tổng hợp.
Ví dụ: CT cấp II nghiên cứu phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng tâm; Đối với CT cấp
III, lớp 9 nghiên cứu phép tịnh tiến trong bài Đường thẳng và mặt phẳng song song, lớp 10 nghiên cứu
phép vị tự và và phép đồng dạng.
Theo Dự thảo chương trình của Viện khoa học giáo dục (1989), chương III chỉ có 11 tiết với các nội
dung:
Khái niệm về phép dời hình, tính chất phép dời hìn,; khái niệm về hai hình bằng nhau (5 tiết). Phép vị
tự. Khái niệm về phép đồng dạng, tính chất phép đồng dạng, khái niệm về hai hình đồng dạng (6
tiết)[P1, tr.54].
Các Noospherien cho rằng: “Ở các lớp 8, 9 trường PTCS, học sinh đã học phép đối xứng trục, đối
xứng tâm, tịnh tiến, quay và đã được chứng minh rằng trong các phép biến hình đó X’Y’=XY. Ở lớp 10,
những phép biến hình ấy được tổng kết lại và được xem như là những thí dụ của phép dời hình” [P1,
tr.56].
Bài “Đối xứng trục”, “Đối xứng tâm” được đưa vào giảng dạy ở lớp 8. Bài “Tịnh tiến theo vectơ” chỉ

là bài đọc thêm. “Phép quay” được dạy ở lớp 9.
“Đối xứng trục” được nói đến sau khi nghiên cứu hình thang. Những nội dung được xem xét là khái
niệm điểm đối xứng qua một đường thẳng, hình đối xứng qua một đường thẳng, vài tính chất của hình
đối xứng, cách dựng hình đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng. Hình thang cân được xem là
một ví dụ về hình có trục đối xứng.
Như vậy, “tư tưởng về sự tương ứng giữa các điểm chưa được xây dựng ở đây” [5, tr.164].
Thật vậy, SGV hình học 8 viết: “Sách giáo khoa không xây dựng vấn đề đối xứng trục theo tư tưởng
phép biến hình mà hạn chế trong việc tìm hiểu khái niệm hai hình đối xứng nhau với nhau qua một
đường thẳng”.
Có thể thấy đối với bậc THCS, PBH chỉ xuất hiện ngầm ẩn gắn liền với tính chất của một số hình cụ
thể như hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành.
Chính vì thế mà các tác giả của sách M1 đã đề nghị: “dành vài tiết để: -giới thiệu về ánh xạ và phép
biến hình; -ôn lại các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến và quay” [P1, tr.57].
Chương Phép dời hình và phép đồng dạng được dạy trong 12 tiết với 4 bài, bao gồm:
1. Đại cương về phép biến hình: 3 tiết 3. Phép vị tự: 3 tiết

2. Phép dời hình: 3 tiết 4. Phép đồng dạng: 3 tiết.
Trong bài Đại cương về phép biến hình , các nội dung chính là: khái niệm ánh xạ trong mặt phẳng;
khái niệm PBH; phép biến hình đồng nhất; ảnh của một hình qua một PBH; tích của hai PBH. Các
phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay được nhắc đến như các ví dụ về PBH (không
nhắc lại định nghĩa).
Giải thích cho việc đưa nội dung ánh xạ vào CT, [P1, tr.66] viết:“PBH là một song ánh trong mặt
phẳng. Ta cần phải giới thiệu khái niệm ánh xạ trong mặt phẳng, vì đây là thực chất của PBH”.
Vì thế sách M1 đưa vào khái niệm ánh xạ trước khi xây dựng khái niệm PBH:
Ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P được gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau
thì có hai ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P.
Theo cách tiếp cận này, thực chất của PBH trong mặt phẳng chính là ánh xạ biến mỗi điểm trong mặt
phẳng thành một điểm trong mặt phẳng đó. Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm điểm” để diễn tả
việc hiểu khái niệm PBH theo quan điểm này.
Bài Phép dời hình gồm các nội dung: định nghĩa phép dời hình; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, ảnh

của đường tròn; tích của hai phép dời hình; định nghĩa hai hình bằng nhau. Các phép đối xứng trục, đối
xứng tâm, tịnh tiến, phép quay cũng chỉ được nhắc đến như các ví dụ về phép dời hình.
Ở đây xuất hiện một mâu thuẫn. Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay chưa
thực sự được nghiên cứu ở bậc THCS. Ở đó, PBH chỉ xuất hiện ngầm ẩn gắn liền với tính chất của một
số hình cụ thể như: hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành. Trong khi đó ở bậc THPT, PBH lại
được hiểu theo “quan niệm điểm”. Vậy câu hỏi đặt ra là, liệu HS có hiểu được các phép phép đối xứng
trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay dưới góc độ ánh xạ điểm hay không?
Lê Thị Hoài Châu nhận xét: "Như thế, một định nghĩa khá trừu tượng về phép biến hình, phép dời hình
được đưa ra trong khi bước chuẩn bị những biểu tượng về nó chưa được làm kĩ càng từ trước. Thành
ra cái tổng quát thì nắm lơ mơ, cái cụ thể thì hiểu không đến nơi đến chốn, vận dụng nó vào giải toán
không thể có hiệu quả" [5 tr.165].
Thật ra nhóm tác giả biên soạn SGK cũng đã ý thức được điều này nên đã đề nghị: “các phép đối xứng
trục, đối xứng tâm, tịnh tiến và quay nên được giới thiệu lại (phần định nghĩa) như là thí dụ về ánh xạ
trong mặt phẳng và chúng được sử dụng để minh hoạ các tính chất của phép biến hình” [P1, tr.66].
Do đó các tác giả này đã đề nghị 5 ví dụ (bao gồm phần nhắc lại định nghĩa các phép: phép đối xứng
trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay và phép chiếu vuông góc) ngay sau phần định nghĩa ánh xạ.
Tuy nhiên các ví dụ này lại không có mặt trong SGK.
Phép vị tự là PBH duy nhất trong CT được trình bày chi tiết từ: định nghĩa, định lý, cách xác định ảnh
của đường thẳng, đường tròn, bởi lẽ đây là PBH mới đối với HS.
Nội dung bài Phép vị tự nhằm chuẩn bị cho HS kiến thực về một phép đồng dạng. Kết thúc của chương
là bài Phép đồng dạng với các nội dung: định nghĩa phép đồng dạng; tính chất phép đồng dạng (tính
chất bảo toàn hình dạng của các hình); liên hệ giữa phép dời hình, phép vị tự và phép đồng dạng; định
nghĩa hình đồng dạng.
Tiểu kết

2
CT trước cải cách giáo dục (theo hệ thống giáo dục 10 năm)

- Để định nghĩa PBH tổng quát, CT đưa vào khái niệm ánh xạ. Do đó khái niệm PBH ở bậc THPT
được trình bày theo “quan niệm điểm”.

- Trong các PBH: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự, chỉ duy
nhất phép vị tự được trình bày định nghĩa cũng như các tính chất. Các phép biến hình còn lại chỉ được
nhắc qua như các ví dụ về phép biến hình, phép dời hình. Như vậy, HS chưa nắm rõ được từng PBH cụ
thể mà đã nghiên cứu các PBH khái quát như phép dời hình.
1.1.2. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 2000
Dường như nhận thấy được sự mâu thuẫn trong CT 1990, các Noospherien của thể chế I2 đã thay đổi
về nội dung cũng như bố cục trình bày chủ đề PBH. Cụ thể, chủ đề PBH được dạy ở chương 3 của lớp
10 với tên gọi “Các phép dời hình và đồng dạng”, bao gồm 6 bài, được dạy trong 19 tiết:
1. Phép đối xứng trục (4 tiết). 4. Phép dời hình (2 tiết).
2. Phép đối xứng tâm (4 tiết). 5. Phép vị tự (4 tiết).
3. Phép tịnh tiến (2 tiết). 6. Phép đồng dạng (1 tiết). Ôn tập-kiểm tra(2 tiết)
Theo tinh thần “giảm tải” của Bộ giáo dục và Đào tạo, chương này được viết “nhẹ nhàng” hơn. Cụ
thể:“không trình bày những vấn đề có tính chất nặng về lí thuyết. Chúng ta không nêu ra các khái niệm
như: ánh xạ, biến hình, tích các phép biến hình, phép biến hình đảo ngược, sự xác định một phép dời
hình hoặc đồng dạng”
[P2, tr.12]
Chính vì thế CT 2000 không đưa vào khái niệm cũng như thuật ngữ Phép biến hình như CT 1990 mà
trình bày từng PBH cụ thể. Khi định nghĩa từng PBH cụ thể, “chúng ta không dùng từ “biến hình”,
thay vào đó ta dùng từ “phép đặt tương ứng”. Chẳng hạn ta nói: Phép đối xứng qua đường thẳng a là
phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ đối xứng với M qua a” [P2, tr.74].
Như vậy, tuy không đưa vào thuật ngữ Phép biến hình nhưng khái niệm các PBH cụ thể vẫn thể hiện
“quan niệm điểm” qua cụm từ “phép đặt tương ứng”.
Bài Phép đối xứng trục bao gồm các nội dung: định nghĩa phép đối xứng trục; các tính chất của phép
đối xứng trục (bảo toàn khoảng cách; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng
trục); hình có trục đối xứng. Các bài phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép vị tự cũng viết theo tinh
thần trên.
Bài Phép dời hình bao gồm các nội dung: định nghĩa phép dời hình; tính chất phép dời hình (bảo toàn
khoảng cách, bảo toàn tính thẳng hàng; ảnh của đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn); phép quay;
phép đối xứng trượt; dạng chính tắc của phép dời hình; khái niệm hình bằng nhau.
So với CT 1990, bài Phép dời hình của CT 2000 giới thiệu thêm một phép dời hình nữa là phép đối

xứng trượt. Việc đưa thêm phép dời hình trên nhằm trả lời cho câu hỏi “ngoài ba phép dời hình trên
còn có phép dời hình nào khác không?” [P2, tr.77].
Bố cục bài Phép đồng dạng cũng không thay đổi nhiều so với CT 1990.
Tiểu kết
- CT 2000 không đưa vào thuật ngữ và khái niệm PBH mà định nghĩa từng PBH cụ thể. Tuy nhiên,
việc định nghĩa từng PBH cụ thể vẫn thể hiện “quan niệm điểm” qua cách dùng từ “phép đặt tương
ứng”.

- Các PBH cụ thể: đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến được nghiên cứu một cách có hệ thống
trước khi đưa vào khái niệm phép dời hình. Việc này làm điểm tựa để HS nghiên cứu định nghĩa cũng
như các bất biến của phép dời hình. Như thế, HS được làm quen với từng phép dời hình cụ thể trước
khi đến với khái niệm phép dời hình tổng quát.
1.1.3. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 2006
Khác với các CT trước, PBH được dạy ngay chương đầu tiên của lớp 11. Điều này làm chúng tôi tự
hỏi: do đâu có sự thay đổi trên? SGV không đề cập đến vấn đề này, tài liệu bồi dưỡng giáo viên, trang
83, năm 2007 thì viết: “Trước đây nội dung của phần này được đưa vào cuối chương lớp 10 (theo sách
cải cách và sách chỉnh lí) nhưng xét chưa thật hợp nên đã được đưa lên phần đầu của chương chương
trình lớp 11. Nhìn chung phần biến hình trong mặt phẳng này vẫn còn khá khó đối với trình độ chung
của học sinh lớp 11”. Chưa thật hợp như thế nào thì sách không nói rõ. Trong diễn đàn Dạy học toán
của báo Tuổi trẻ (2006), Nguyễn Mộng Hy- một trong những nhà biên soạn SGK 2006 -nói: “Phép dời
hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng là phần tương đối khó đối với trình độ chung của học sinh
lớp 10. Thực tế trong những năm gần đây nhiều trường phổ thông trung học đã bỏ qua không dạy phần
này và trong các đề thi vào các trường đại học cũng không có nội dung này. Theo chương trình mới thì
nội dung các phép biến hình phẳng được đưa vào nội dung chương trình Hình học 11.”
Để tìm thêm lí do của việc chuyển đổi vị trí đặt chủ đề PBH trong CT THPT, chúng tôi xem xét mối
liên hệ của nội dung dạy học chủ đề này và các nội dung khác trong CT lớp 11. Nội dung hình học 11
được trình bày gồm hai phần. Phần thứ nhất là nội dung PBH trong mặt phẳng, phần thứ hai là nội
dung hình học không gian. Trong phần thứ hai, vấn đề PBH trong không gian hầu như không được đề
cập đến, chỉ duy nhất phép chiếu song song được nói đến ở cuối chương “Quan hệ song song”. Theo
cùng cách trình bày khái niệm PBH trong mặt phẳng, phép chiếu song song cũng được định nghĩa như

một ánh xạ:
Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với

sẽ cắt mặt phẳng (

) tại một điểm M’ xác định. [ ]Phép đặt tương ứng mỗi điểm M
trong không gian với hình chiếu M’của nó trên mặt phẳng (

) được gọi là phép chiếu
song song lên (

) theo phương

. [M3, tr.72].
Tuy nhiên, phép chiếu song song được đưa vào với mục đích tạo cơ sở để biểu diễn hình không gian
lên mặt phẳng hơn là mở rộng kiến thức về các PBH trong không gian.
Như vây, có thể nói, nội dung PBH nằm “đơn độc” với các nội dung hình học khác của CT lớp 11.
Từ những nhận xét trên, chúng tôi đoán lí do của sự thay đổi trên chỉ đơn thuần là do: HS lớp 10 phải
tiếp cận khá nhiều nội dung mới như: vectơ, góc lượng giác, hình học giải tích. Việc tiếp thu thêm
PBH- một nội dung mới và “tương đối khó” (theo nhận định của Noospherien) dường như quá tải, và
do đó nó được chuyển vào CT lớp 11.
Chương PBH gồm 8 bài, được dạy trong 11 tiết:
1. Phép biến hình 6.Khái niệm về phép dời hình
2. Phép tịnh tiến (2 tiết) và hai hình bằng nhau (1 tiết)
3. Phép đối xứng trục (1 tiết) 7.Phép vị tự (2 tiết)
4. Phép đối xứng tâm (1 tiết) 8.Phép đồng dạng (1 tiết). Ôn chương (2 tiết)

5. Phép quay (1 tiết)
Bố cục của chương không thay đổi nhiều so với CT 2000. Chúng ta xem xét một số thay đổi đáng chú
ý sau:

- Thứ nhất, CT dành riêng một bài để giới thiệu phép quay thay vì ghép vào bài phép dời hình như
trước. Vì thế, HS được tiếp cận với tất cả các phép dời hình cụ thể trước khi đến với khái niệm phép
dời hình tổng quát. Đây là bước trang bị cho HS những biểu tượng về những cái cụ thể trước khi học
về cái tổng quát.
Mặt khác, thời gian dành cho mỗi PBH cụ thể rút ngắn nhiều so với CT 2000, thay vì hai tiết một bài,
giờ thì mỗi bài chỉ dạy trong một tiết. Điều này cho thấy CT 2006 cũng không muốn đầu tư nhiều thời
gian cho nội dung PBH.
- Thứ hai, CT 2006 đưa vào thuật ngữ và khái niệm PBH. Đây lại là điểm tương đồng so với CT 1990.
Tuy nhiên CT 2006 không sử dụng thuật ngữ “ánh xạ” để định nghĩa PBH mà thay bằng “phép đặt
tương ứng”. Ví dụ: “PBH (trong mặt phẳng) là một qui tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác
định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy”[M3, tr.4].
Như vậy, PBH trong CT 2006 vẫn thể hiện “quan niệm điểm”.
- Thứ ba, điểm thay đổi đáng chú ý nhất và cũng chưa từng được áp dụng trong thể chế dạy học ở Việt
Nam từ trước đến nay, đó là sự xuất hiện của các biểu thức tọa độ trong PBH. CT 2006 giới thiệu
biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm với tâm là gốc tọa độ, phép đối xứng qua trục
Ox, Oy.
Giải thích cho việc đưa nội dung trên vào PBH, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11, trang 87 năm
2007 viết: “việc làm này bổ sung thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học, tiếp cận với
các khái niệm này bằng các công cụ và bằng các phương pháp khác nhau”.
Tuy nhiên, CT chỉ đưa biểu thức tọa độ của một số PBH vì “các phép khác thì vì biểu thức tọa độ khá
phức tạp nên không trình bày” [5, tr.162].
1.1.4. KẾT LUẬN

CT 1990 CT 2000 CT 2006
§1. Đại cương về phép
biến hình: 3 tiết
§2. Phép dời hình: 3 tiết
§3. Phép vị tự: 3 tiết
§4. Phép đồng dạng: 3
tiết.

§1. Phép đối xứng trục:4 tiết
§2. Phép đối xứng tâm:4 tiết
§3. Phép tịnh tiến:2 tiết
§4. Phép dời hình:2 tiết
§5. Phép vị tự:4 tiết
§6. Phép đồng dạng:1 tiết
Ôn tập-kiểm tra (2 tiết)
§1. Phép biến hình
§2. Phép tịnh tiến:2 tiết
§3. Phép đối xứng trục:1 tiết
§4. Phép đối xứng tâm:1 tiết
§5. Phép quay:1 tiết
§6. Khái niệm về phép dời hình và hai
hình bằng nhau: 1 tiết
§7. Phép vị tự:2 tiết

§8. Phép đồng dạng:1 tiết
Ôn chương:2 tiết

Tổng cộng: 12 tiết Tổng cộng: 19 tiết Tổng cộng: 11 tiết

Bảng 1.1 So sánh các CT qua từng thời kì

- CT 1990 giới thiệu khá nhiều nội dung như : khái niệm ánh xạ, khái niệm PBH, tích hai PBH. Trong
khi đó các PBH cụ thể như phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay lại không được
chú ý khai thác nhằm trang bị cho học sinh những biểu tượng ban đầu về phép dời hình trước khi tiếp
cận với khái niệm phép dời hình một cách tổng quát.
- PBH trong cả ba CT đều được hiểu theo quan “quan niệm điểm”.

- CT 2000 thay đổi về bố cục cũng như nội dung giảng dạy. Khái niệm PBH tổng quát không được
giới thiệu. CT dành nhiều thời gian (10 tiết) cho các PBH cụ thể như đối xứng trục, đối xứng tâm, phép
tịnh tiến. Sau đó phép dời hình tổng quát được trình bày.
- CT 2006 không có thay đổi nhiều so với CT 2000. Điểm khác nhau là thời gian dành cho chương
này bị cắt giảm rất nhiều so với CT 2000, từ 19 tiết nay chỉ còn 11 tiết, gần như mỗi bài chỉ học trong
một tiết. Số tiết như thế cũng phù hợp với yêu cầu của CT đặt ra đối với chương này, chỉ yêu cầu HS
nắm được các khái niệm cũng như các tính chất của các PBH khác nhau.
Một nét mới đáng chú ý là với CT 2006, lần đầu tiên biểu thức tọa độ được đưa vào nội dung PBH. Sự
xuất hiện này có làm thay đổi mối quan hệ thể chế I3 đối với khái niệm PBH hay không? Việc tìm
kiếm các yếu tố để có thể trả lời cho câu hỏi này, cũng là một phần của câu hỏi Q1, sẽ được tiến hành
trong phần phân tích SGK.
1.2. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Việc nghiên cứu các PBH ở THPT chỉ dừng ở phép dời hình và phép đồng dạng. Mặt khác, các tính
chất của các phép dời hình cụ thể tương đối giống nhau. Chúng tôi chọn phân tích SGK bài phép đối
xứng trục vì ở cấp THCS, HS đã được học khái niệm đối xứng trục. Do đó chúng tôi muốn xem xét
những điều kiện và ràng buộc của các thể chế I1, I2, I3 đã làm thay đổi mối quan hệ của HS với khái
niệm PBH, cụ thể đối với phép đối xứng trục như thế nào.
1.2.1. Khái niệm PBH trong SGK 1990:
Do CT 1990 không trình bày cụ thể từng PBH cụ thể nên chúng tôi chọn phân tích bài Đại cương về
phép biến hình.
Mở đầu, SGK đưa định nghĩa ánh xạ trong mặt phẳng. Sau đó, khái niệm PBH theo quan điểm ánh xạ
được trình bày:
Ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P được gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau
thì có hai ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P.
SGK đưa ví dụ: “Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay là một phép biến
hình” mà không có sự giải thích nào.

d
M
A

N
d'
M'
A
N'
Khái niệm ảnh của một hình qua phép biến hình cũng được định nghĩa, đó là Tập hợp tất cả các ảnh
của các điểm của hình H tạo thành hình H'. Như vậy để hiểu được khái niệm PBH, HS phải quan niệm
các hình hình học là tập hợp điểm.
Chúng tôi xin nhắc lại một số quan điểm về một hình hình học đã được hình thành trong lịch sử.
“Trong hình học của Euclide, một hình được xác định bởi ba yếu tố: vị trí, hình dạng và số đo. Sự thay
đổi vị trí không ảnh hưởng gì đến hai yếu tố kia. Các hình là những đối tượng cứng, được xem xét trong
tổng thể hình dạng và kích thước.” [6, tr.134]
Như vậy, từ thời Euclide, một hình được quan niệm là một khối tổng thể không phân rã. Tác phẩm
Phương pháp giải tích của Descartes và Fermat ra đời đã đem lại một sự thay đổi rất lớn trong quan
niệm về hình, nó giúp chuyển từ quan niệm “hình là một khối tổng thể” sang quan niệm “hình là một
tập hợp điểm”.
Đồng thời theo Đào Tam, "giáo trình hình học phẳng biên soạn theo quan điểm coi hình hình học là
một tập hợp điểm. Mặt phẳng là tập hợp điểm cho trước. Các hình hình học phẳng khác là những tập
hợp con của mặt phẳng” [22, tr.36].
Vậy, việc học khái niệm PBH theo “quan niệm điểm” gắn liền với quan niệm hình là một tập hợp điểm.
Khái niệm PBH đồng nhất và tích hai PBH cũng được trình bày. Những nội dung này không được chú
trọng trong CT. Các tác giả chú thích “có thể bỏ qua phần này” [P1, tr.69] khi nói đến phép đồng nhất
và “không nghiên cứu chủ đề tích của hai phép biến hình. Chỉ cần giới thiệu sơ lược cho học sinh có
khái niệm về tích của hai phép biến hình” [P1, tr.69].
Trong mục Cách giải các dạng toán thường gặp của SGK, hai tổ chức toán học liên quan đến khái
niệm PBH được xây dựng.
 Kiểu nhiệm vụ T1: Xác định ảnh của hình H qua PBH.
Ví dụ [M1, tr.75]:
Tìm ảnh của đường thẳng d (cho trước) trong phép tịnh tiến theo vectơ
v


(d không cùng phương với
v

)
Giải
Gọi M là điểm tùy ý trên d, M’ là ảnh của M qua T
v

, tức là:
'
MM v

 

Ta tìm tập hợp các điểm M’ khi M chạy trên d.
Gọi A là điểm cố định trên d, A’ là ảnh của A qua T
v

. A’ cũng là điểm
cố định.
Vì
' AA '
MM v
 
  
nên
' '
A M AM


 
(AMM’A’ là hình bình hành).
Suy ra: A’M’//AM.
Do đó, điểm M’ thuộc đường thẳng d’ qua A’ và song song với d. Đường
thẳng d’ này cố định.
Đảo lại, xét điểm N’ tùy ý thuộc d’. Gọi N là điểm trên d sao cho N’N//AA’. Suy ra ANN’A’ là hình bình
hành.
Do đó:
' AA '
NN v
 
  
, tức là N’ là ảnh của N qua T
v

.
Vậy: phép tịnh tiến theo vectơ
v

biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d.
Kĩ thuật : Giả sử điểm M’ là ảnh của điểm M qua PBH.

- Nếu
M H

thì
' '
M H

, H’ là một hình nào đó.

- Ngược lại, mọi điểm
' '
M H

phải có tạo ảnh
M H

.
Công nghệ : định nghĩa PBH, định nghĩa ảnh của hình qua một PBH.
Có thể thấy, kiểu nhiệm vụ T1 bao gồm kiểu nhiệm vụ con “Tìm quĩ tích của một điểm” được đưa
vào lớp 9.
Phân tích các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T1 trong M1 và E1 cho thấy ràng buộc ngầm ẩn của thể chế
đối với kiểu nhiệm vụ này là các PBH gặp trong các bài toán đều là các PBH quen thuộc như: phép đối
xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, đồng thời hình muốn tìm ảnh là đường thẳng,
đường tròn. Lí giải cho điều này, bởi vì CT lớp 9 chỉ nghiên cứu quĩ tích là đường thẳng, đường tròn và
cũng chỉ có nhóm các phép dời hình, đồng dạng mới giữ nguyên hình dạng của hình.
 Kiểu nhiêm vụ T’1: Chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua PBH.
T’1 là kiểu nhiệm vụ suy biến từ T1.
Theo Noospherien, mục đích thực hiện hai kiểu nhiệm vụ trên là: “biết phương pháp tìm ảnh của một
hình; hiểu kĩ hơn về phép tịnh tiến, phép đối xứng trục”. Theo chúng tôi, ưu điểm lớn mà kiểu nhiệm
vụ trên đem lại là nó thể hiện rõ tư tưởng “ánh xạ điểm” của PBH.
Để ý thấy, các PBH mà SGK đưa ra đều là các phép dời hình. Do đó chúng luôn bảo toàn hình dạng
của các hình (nghĩa là các PBH này biến một hình thành một hình bằng hoặc cùng dạng với nó, chúng
tôi quy ước gọi đó là tính chất bảo toàn hình dạng), tuy nhiên SGK không thể chế hoá tính chất đó.
Dường như tác giả xem kiểu nhiệm vụ T1, T’1 chỉ mang tính chất lý thuyết, do đó trước bài tập thuộc
kiểu nhiệm vụ này (trong sách E1), tác giả mở ngoặc viết: “bài tập bổ sung lý thuyết SGK”. Hơn nữa,
sau bài giải của nhiệm vụ “Tìm ảnh của đường thẳng

, đường tròn (C) qua phép đối xứng trục (đối
xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay

O
R

)” có phần khẳng định:
“Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng. […]Phép đối xứng trục biến đường tròn thành
đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho”[E1, tr.109]
 Kiểu nhiệm vụ T2: Vẽ ảnh của một hình qua PBH
Hình ở đây chỉ gồm đường tròn, đường thẳng
 T
2.1
: Vẽ ảnh của đường tròn (I; R) qua PBH.
Kĩ thuật 

: + Dựng I’ là ảnh của I qua PBH.
+ Dựng (I’; R)
 T
2.2
: Vẽ ảnh của đường thẳng

qua PBH.
Kĩ thuật 

: + Dựng ảnh M’ của điểm M bất kì trên

qua PBH.
+Xác định phương của đường thẳng ảnh. Dựng đường thẳng đi qua M’ và có
phương đã được xác định.
Đối với một vài PBH, điểm M có thể được chọn đặc biệt hơn một chút. Ví dụ: đối với phép quay thì M
là hình chiếu vuông góc của tâm quay xuống đường thẳng


; hoặc đối với phép đối xứng trục thì M là
giao điểm của

và trục đối xứng.
Việc xác định phương của đường thẳng ảnh sẽ tùy thuộc vào từng PBH cụ thể. Về vấn đề này, các tác
giả cũng nói đến:

“Phép tịnh tiến theo vectơ
v

biến đường thẳng d thành d’ song song với d” [M1, tr.76].
“Vậy, khi
d
 
thì ảnh của

qua S
đ
chính là

. […] Nếu

cắt d tại I thì
'

cũng qua I […]Nếu
//
d

thì

'//
d

và d cách đều

và
'

” [E1, tr.108-109].
Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy lời đề nghị một kĩ thuật khác thực hiện kiểu nhiệm vụ T
2.2
: “Sau đây
chúng ta xét những kĩ năng cơ bản cần rèn luyện cho học sinh :
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng dựng ảnh của đường thẳng, tia, đoạn thẳng, góc, đường tròn –
các hình đơn giản thường gặp khi giải các bài toán. […] Cách tổng quát dựa vào bất biến thẳng
hàng suy ra dựng ảnh của đường thẳng quy về dựng ảnh của hai điểm M, N thuộc đường thẳng
đó ; đường thẳng ảnh sẽ đi qua hai điểm M’, N’ ” [23, tr.145].
Kĩ thuật của hai kiểu nhiệm vụ T
2.1
và T
2.2
đều có chung công nghệ, đó là tính chất bảo toàn hình dạng
của phép dời hình và định nghĩa ảnh của hình qua PBH.
Qua kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “vẽ ảnh của một hình qua PBH”, chúng tôi nhận thấy để vẽ
(dựng) ảnh của một hình qua một PBH, HS chỉ lấy ảnh của một vài điểm thuộc hình đó, sau đó nối các
điểm ảnh vừa tìm theo hình dạng giống với hình ban đầu.
Điều này khác với “quan niệm điểm” của PBH, quan niệm mà muốn dựng ảnh của một hình qua một
PBH, HS phải lấy ảnh theo từng điểm.
Với quy tắc vẽ hình trên, PBH được hiểu là một phép biến đổi hình thành hình, trong đó hình với tư
cách là một khối tổng thể không phân rã. Trong phép biến đổi hình ở đây, ta thấy các tác giả có nói đến

việc biến đổi một vài điểm thuộc hình (cụ thể: một điểm bất kì trên đường thẳng; tâm đường tròn ).
Tuy thế hình vẫn không được quan niệm như một tập hợp điểm bởi vì:“Người ta có thể nói về “điểm
trên một đường” hay “điểm trên một hình”, nhưng không quan niệm rằng hình được tạo thành từ một
tập hợp điểm, mà chỉ xem nó như cái giá và có thể đặt các điểm lên trên đó”. [6, tr.134].
Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm hình” để nói về việc hiểu PBH theo nghĩa trên.
Như vậy, tổ chức toán học thuộc kiểu nhiệm vụ T2 giúp hình thành nên “quan niệm hình” của PBH.
So sánh kiểu nhiệm vụ T1 (T’1) và T2
Cả hai kiểu nhiệm vụ đều liên quan đến việc xác định ảnh của một hình qua một PBH. Song T1 được
yêu cầu trong tình huống chưa biết trước hình dạng ảnh của một hình qua PBH đó. Do đó, để thực hiện
kiểu nhiệm vụ này, HS phải lấy ảnh của từng điểm trên hình, điều này thể hiện qua việc tìm ảnh của
một điểm bất kì trên hình, sau đó tìm quĩ tích điểm ảnh đó. Chính vì thế kiểu nhiệm vụ T1 (T’1) thể
hiện “quan niệm điểm”.
Trong khi đó kiểu nhiệm vụ T2 được đặt trong ràng buộc phải biết trước hình dạng của ảnh. Khi đó, để
thực hiện kiểu nhiệm vụ này, HS không cần thiết phải tư duy theo từng điểm. Việc trong kĩ thuật thực
hiện có sử dụng thao tác lấy ảnh của một vài điểm trên hình chỉ nhằm xác định vị trí điểm đặt của hình-
ảnh cần vẽ hơn là việc xem hình là một tập hợp điểm và lấy ảnh của mọi điểm thuộc tập đó. Với kĩ
thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2, một hình vẫn chỉ là một khối thống nhất. Chính vì thể kiểu nhiệm vụ
T2 thể hiện “quan niệm hình”.
Trong sách M1 và E1, không có bài tập nào dành riêng cho kiểu nhiệm vụ T2. Kiểu nhiệm vụ này chỉ
được nhắc đến ngay sau lời giải của các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và T’1.
Như vậy, sách E1 xây dựng tổ chức toán học của kiểu nhiệm vụ này để làm gì?

Để trả lời cho câu hỏi này, chúng ta xét tiếp hai tổ chức toán liên quan đến khái niệm PBH có mặt trong
thể chế.
 Kiểu nhiệm vụ T3: Tìm tập hợp điểm bằng PBH
Kĩ thuật : Để tìm tập hợp điểm M:
+Xác định M=f(N)(f là PBH nào đó), trong đó tập hợp điểm N là một hình (H) (giả thiết đã cho
hoặc ta dễ dàng xác định được).
+ Suy ra tập hợp điểm M là hình (H’) là ảnh của hình (H) qua PBH f.
+ Vẽ hình (H’).

Công nghệ : Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH. Tính chất bảo toàn hình dạng của phép dời
hình.
 Kiểu nhiệm vụ T4: Dựng hình bằng PBH
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này: hình cần dựng là đường thẳng, đường tròn, tam giác (cân, vuông
cân, đều), tứ giác (hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông), hoặc có thể là những điểm thỏa điều
kiện nào đó.
Kĩ thuật : Việc dựng hình (H) đưa về dựng điểm
M H

thoả những tính chất nào đó.
+ Xác định M=f(N) với điểm N thuộc một đường l
1
nào đó đã cho trong giả thiết. Suy ra M thuộc
đường l’
1
=f(l
1
).
+ Vẽ đường l
1
.
+ Mặt khác M thuộc đường l
2
(giả thiết). Từ đó suy ra M=l
1

l
2
Công nghệ : Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH. Tính chất bảo toàn hình dạng của phép dời
hình.

Trong kĩ thuật thực hiện hai kiểu nhiệm vụ T3, T4 đều có bước “vẽ hình”, với những hình cần vẽ là
đường thẳng, đường tròn. Do đó, kiểu nhiệm vụ T2 xuất hiện trong vai trò một kiểu nhiệm vụ con của
T3 và T4.
Tại sao SGK và SBT lại không ưu tiên cho kiểu nhiệm vụ T2 mà nó chỉ “ẩn mình” trong các kiểu
nhiệm vụ khác?
Theo chúng tôi, có lẽ tác giả cho rằng kiểu nhiệm này đã được HS thực hiện ở bậc THCS. SGK hình
học 8 trang 16 (theo CT 1986) trình bày:
“-Muốn dựng đoạn thẳng A’B’ đối xứng của đoạn thẳng AB qua trục d, ta chỉ cần dựng hai điểm đầu
mút A’, B’ là đối xứng qua trục d (hoặc qua tâm O) của hai điểm A, B.
-Nếu các đỉnh của tam giác ABC lần lượt đối xứng qua trục d, với các đỉnh của tam giác A’B’C’ thì hai
tam giác đó đối xứng với nhau.
-Nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng qua trục d, với hai điểm của đường thẳng khác, thì hai
đường thẳng đó đối xứng với nhau.”
Với kĩ thuật vẽ hình như trên, có thể nói “quan niệm hình” của PBH đã xuất hiện ở bậc THCS. Đến bậc
THPT, cụ thể là trong thể chế I1, PBH được yêu cầu giảng dạy theo “quan niệm điểm”. Theo quan
điểm này, vẽ ảnh của một hình phải là vẽ theo từng điểm. Tuy nhiên, việc “vẽ ảnh theo từng điểm”
trong môi trường giấy bút là chuyện “không tưởng”. Chính vì thế mà các Noospherien né tránh quan
niệm điểm bằng cách giới thiệu các tính chất bảo toàn của phép dời hình (chỉ ngầm ẩn qua kết quả các

bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và T’1) .
Như vậy, mặc dù ý thức được “quan niệm điểm” của PBH, điều này thể hiện qua định nghĩa PBH, qua
hai kiểu nhiệm vụ T1 và T’1. Song, do việc dạy và học PBH chỉ hạn chế trong môi trường “giấy bút”,
cũng như yêu cầu đặt ra của chương chỉ dạy phép dời hình và đồng dạng, nên các PBH mà HS được
học đều có tính chất bảo toàn hình dạng của hình. Tính chất này đem đến một cái nhìn tổng quát cho
nhóm các phép dời hình và đơn giản hóa kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “Vẽ ảnh của một hình
qua PBH”. Nhưng cũng chính tính chất này mà “quan niệm hình” xuất hiện, bên cạnh “quan niệm
điểm” của PBH.

Quan niệm Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tổng cộng Tỷ lệ
T1 6

“quan niệm điểm”
T’1 3
9 42,86%
T3 6
“quan niệm hình”
T4 6
12 57,14%
Bảng 1.2 Phân loại các kiểu nhiệm vụ theo quan niệm
Tiểu kết:
- Về định nghĩa PBH, sách M1 trình bày theo “quan niệm điểm”.
- Sách M1 không nhắc lại chi tiết về phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay vì thể
chế cho rằng các phép này đã được học ở cấp THCS. Do đó các PBH trên chỉ được nhắc đến như một
ví dụ về một PBH cụ thể. Đây chính là điểm bất cập của CT 1990. Ở THCS, “SGK không xây dựng
vấn đề đối xứng trục theo tư tưởng phép biến hình mà chỉ hạn chế trong việc tìm hiểu khái niệm hai
hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng” [2, tr.39], trong khi đó PBH ở thể chế I1 được xây dựng
theo “quan niệm điểm”. Như vậy, từ THCS lên THPT diễn ra bước chuyển về quan niệm PBH, đó là
bước chuyển từ “quan niệm hình” sang “quan niệm điểm”. Vậy, HS có hiểu được các phép phép đối
xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay dưới góc độ ánh xạ điểm hay không?
- Trong I1 xuất hiện hai nhóm kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm PBH. Nhóm thứ nhất thể hiện
“quan niệm điểm” của PBH, bao gồm các kiểu nhiệm vụ T1 và T’1. Nhóm thứ hai thể hiện “quan niệm
hình” của PBH, bao gồm các kiểu nhiệm vụ T3 và T4. Chúng tôi xếp các kiểu nhiệm vụ T3, T4 vào
nhóm hai vì chúng chứa kiểu nhiệm vụ con T2, mà chính kiểu nhiệm vụ này làm nảy sinh “quan niệm
hình” của PBH.
Dựa vào bảng phân loại các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm PBH theo quan niệm, chúng tôi
nhận thấy tỷ lệ các nhiệm vụ giữa hai nhóm quan niệm không chênh lệch nhau nhiều lắm.
Từ đó cho thấy trong I1, tồn tại song song hai quan niệm của PBH, đó là “quan niệm điểm” và “quan
niệm hình”.
1.2.2.Khái niệm PBH trong SGK 2000
Không như CT 1990, CT 2000 không đưa vào thuật ngữ PBH mà định nghĩa trực tiếp từng PBH cụ thể.
CT dành riêng từng bài để giới thiệu từng PBH. Như đã giải thích ở trên, chúng tôi chọn phân tích bài

Phép đối xứng trục để xem xét việc trình bày khái niệm PBH.

Sách M2 định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M' đối xứng với M
qua đường thẳng d gọi là phép đối xứng trục.
Mặc dù M2 không sử dụng thuật ngữ “ánh xạ”, nhưng khái niệm phép đối xứng trục vẫn thể hiện
“quan niệm điểm”, điều đó thể hiện qua cụm từ “phép đặt tương ứng”.
Khái niệm ảnh của một hình qua phép đối xứng trục cũng được trình bày. Tương tự như thể chế I1, một
hình ở đây được hiểu là một tập hợp điểm.
Tiếp theo, sách M2 phát biểu và chứng minh một số tính chất của phép đối xứng trục. Trong đó, đáng
chú ý là nội dung hệ quả 2
Hệ quả 2. Phép đối xứng trục:
a. Biến một đường thẳng thành đường thẳng,
b. Biến một tia thành một tia,
c. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó,
d. Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó,
e. Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tròn bằng nó.
Trong I1, nội dung trên chỉ được xem như kết quả của một bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1. Trong I2,
nó đã được thể chế hóa trong hệ quả 2.
Tiếp theo, khái niệm trục đối xứng của một hình cùng với một số ví dụ về hình có trục đối xứng như
tam giác cân, hình vuông, hình tròn cũng được trình bày.
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đ
d
biến H thành chính nó.
Sau đó, M2 còn giải thích thêm: Điều đó có nghĩa là với bất kì điểm M nào của ảnh H, ảnh M’ của nó
(qua phép Đ
d
) cũng nằm trên H.
Như vậy, khái niệm trục đối xứng của một hình dựa trên “quan niệm điểm” của PBH.
Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phép đối xứng trục trong I2
Sự xuất hiện của hệ quả 2 trong sách M2 cung cấp cho HS kiến thức về ảnh của một hình (đường

thẳng, tam giác, đường tròn) qua phép đối xứng trục. Chính vì thế mà kiểu nhiệm vụ T1 “Xác định ảnh
của hình H qua PBH” hoàn toàn biến mất trong I2.
Kiểu nhiệm vụ T3 “Tìm tập hợp điểm bằng PBH” và T4 “Dựng hình bằng PBH” vẫn tiếp tục xuất hiện
trong M2.
Tương tự như thể chế I1, thể chế I2 cũng không có bài tập nào dành riêng cho kiểu nhiệm vụ T2.T2
cũng chỉ xuất hiện trong vai trò kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3 và T4. Điều này hoàn toàn dễ
hiểu vì CT THPT 1990 và 2000 đều kế thừa cùng CT THCS năm 1986.
Ngoài ra trong sách M2 và E2 xuất hiện thêm một số tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phép
đối xứng trục.
 Kiểu nhiệm vụ T5: Tìm trục đối xứng của một hình
Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên là: Tìm trục đối xứng của các hình sau: Hình chữ nhật ABCD;
Ngũ giác đều ABCDE; Lục giác đều ABCDEF; Hình thang cân ABCD; Hình gồm hai đường tròn
không đồng tâm; Hình gồm một đường thẳng và một đường tròn; Các hình là các chữ cái in hoa từ A
đến Z.
Chúng tôi không tìm thấy lời đề nghị kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T5 trong I2. Lời giải trong E2

cho bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này chỉ đưa ra kết quả trục đối xứng của các hình tương ứng mà không
kèm theo theo bất kì lời giải thích nào. Dường như thể chế cho rằng nội dung đối xứng trục đã được
dạy ở THCS, nên HS đã được trang bị các biểu tượng về các hình đối xứng qua trục.
Quay trở lại SGK và SBT hình học 8, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T5 đã tồn tại ở đó. Tương tự
như trong thể chế I2, kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ này cũng không được đề nghị.
Như vậy, kĩ thuật tìm trục đối xứng của hình là gì? Theo chúng tôi, đó chính là trực giác. Bằng trực
giác của mình, HS dự đoán một đường thẳng là trục đối xứng của hình. Vấn đề đặt ra là: cơ sở nào hình
thành nên trực giác về trục đối xứng ở HS. Theo Đoàn Hữu Hải (2007):“trẻ em có những kiến thức
không gian

trước cả khi người ta định dạy những kiến thức hình học cho nó.”
Ngay từ khi biết nhận thức, con người đã tiếp xúc với rất nhiều hình có trục đối xứng trong cuộc sống,
chỉ có tên gọi theo nghĩa toán học của các hình đó là chưa được biết đến (trong cuộc sống ta thường
gọi những hình có trục đối xứng là “hình có tính cân đối”). Chính vì thế khi được tiếp cận với thuật

ngữ toán học “hình có trục đối xứng” hay “trục đối xứng của một hình” cùng với định nghĩa của
chúng, HS nhanh chóng áp dụng các kiến thức đã hình thành trong cuộc sống để thực hiện kiểu nhiệm
vụ T5 “Tìm trục đối xứng của một hình”. Kiến thức hình học lúc bấy giờ chỉ đóng vai trò kiểm tra một
đường thẳng được chọn ra có thoả đáng là trục đối xứng của hình hay không.
Tiểu kết
Khác với thể chế I1, thể chế I2 không đưa khái niệm PBH tổng quát mà định nghĩa trực tiếp từng PBH
cụ thể, trong đó có phép đối xứng trục. Định nghĩa phép đối xứng trục vẫn thể hiện rõ “quan niệm
điểm” thông qua cách phát biểu “phép đặt tương ứng”.
Tính chất bảo toàn khoảng cách của phép đối xứng trục được trình bày. Từ đó kéo theo tính chất chất
bảo toàn hình dạng của hình qua phép đối xứng trục (nội dung hệ quả 2).
Sự xuất hiện của hệ quả 2 dẫn đến sự biến mất của kiểu nhiệm vụ T1“Tìm ảnh của hình H qua PBH”
và T’1“Chứng minh H’ là ảnh của hình H qua PBH”. Kiểu nhiệm vụ T2 vẫn tồn tại trong vai trò kiểu
nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3 và T4, là hai kiểu nhiệm vụ tiếp tục xuất hiện trong thể chế I2.
Như vậy trong I2, khái niệm PBH vẫn thể hiện rõ “quan niệm điểm”. Tuy nhiên, đến khi triển khai các
kiểu nhiệm vụ thì chúng tôi nhận thấy các kiểu nhiệm vụ liên quan đến quan niệm này hoàn toàn vắng
bóng. Thay vào đấy là sự vượt trội của các kiểu nhiệm vụ liên quan đến “quan niệm hình”. Có thể thấy,
trong I2, “quan niệm hình” lấn lướt “quan niệm điểm” của PBH.
1.2.3. Khái niệm PBH trong SGK 2006
Trong phần này, chúng tôi phân tích bộ sách M3 trong đó có liên hệ với hai bộ sách M1 và M2.
Khác với M2 nhưng lại tương đồng với M1, sách M3 đưa vào thuật ngữ và định nghĩa PBH tổng quát.








Bảng 1.3 So sánh giữa M1 và M3 về khái niệm PBH
Về quan điểm trình bày khái niệm PBH, cả hai bộ sách đều theo “quan niệm điểm”.

Bên cạnh phần trình bày định nghĩa, cả hai bộ sách đều nêu ví dụ về các PBH cụ thể. Trong đó:
- Sách M1 đưa ví dụ về các PBH cụ thể: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép
quay. Tuy nhiên phần ví dụ chỉ nêu tên các PBH trên chứ không nhắc lại định nghĩa từng phép theo
quan điểm biến hình.
- Trong khi đó trong phần mở bài, sách M3 đưa ra Hoạt động 1 nhằm giới thiệu một phép chiếu vuông
góc (cả phần định nghĩa) theo quan điểm biến hình.
Phần cuối bài, sách M3 còn đưa ra Hoạt động 2:
Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’=a. Quy tắc đặt
tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình không?
Với hoạt động trên, một lần nữa, SGK muốn học sinh ôn lại định nghĩa của PBH.
Ngay trong việc cho ví dụ, chúng tôi thấy rằng sách M3 quan tâm hơn đến việc trình bày định nghĩa
PBH. Thật vậy, cách xác định điểm M’ trong hoạt động 2 không phải là một PBH, điều này chỉ có thể
nhận ra nếu HS nắm vững định nghĩa PBH.
So sánh bài Phép đối xứng trục trong M2 và M3
Phần lí thuyết
 Điểm giống nhau:
- Về định nghĩa phép đối xứng trục, M3 cũng trình bày theo “quan niệm điểm”: “Cho đường thẳng d.
PBH biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là
đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối
xứng trục d” [M3, tr.8].
- Về tính chất, sách M3 cũng trình bày tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì của phép
đối xứng trục. Do đó tính chất bảo toàn hình dạng của hình của phép đối xứng trục (nghĩa là phép đối
xứng trục biến một hình thành một hình giống hình ban đầu) cũng được trình bày giống sách M2.
- Khái niệm trục đối xứng của hình cũng được trình bày tương tự M2. Cả hai bộ sách đều đưa nhiều ví
dụ về các hình có trục đối xứng.
 Điểm khác nhau
- Sau phần định nghĩa phép đối xứng trục, sách M3 đưa ra nhiều ví dụ và hoạt động (có kèm theo hình
ảnh minh họa) giúp HS củng cố định nghĩa phép đối xứng trục, biết cách xác định ảnh của một điểm
qua phép đối xứng trục mặc dù ở THCS, HS đã được làm quen với phép đối xứng trục. Tuy nhiên, ở
THCS, “SGK không xây dựng đối xứng trục như một phép biến hình mà chỉ xét hai hình đối xứng với

M1 M3
-Định nghĩa ánh xạ
-Định PBH theo ánh xạ

-Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH
-PBH đồng nhất
-Định nghĩa tích các PBH
-Không có
-Định nghĩa PBH thông qua cách trình
bày “phép đặt tương ứng”
-Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH
- PBH đồng nhất
-Không có

nhau qua một đường thẳng và hình có trục đối xứng” [2, tr.118]. Như vậy, phép đối xứng trục ở THCS
không được trình bày theo quan điểm biến hình mà chỉ là một bộ phận của hình học tổng hợp, gắn liền
với tính chất của một số hình. Do đó các tác giả của bộ sách M3 đề nghị: “khái niệm biến hình là một
khái niệm mới đối với HS lớp 11. Do đó khi thấy GV dạy một phép biến hình cụ thể nào đó thì việc
quan trọng đầu tiên là cần làm cho HS nắm thật chắc định các nghĩa của từng phép biến hình đó” [6,
tr.86]. Chính vì yêu cầu này mà nhiều ví dụ xuất hiện trong M3 liên quan đến khái niệm phép đối xứng
trục.
Ví dụ 1. Trên hình 1.11 ta có các điểm A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của các điểm A, B, C qua phép đối
xứng trục d và ngược lại. [ ] Hoạt động 1. Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua
phép đối xứng trục AC [M3, tr.9].
- Sách M3 đưa vào định nghĩa khác của phép đối xứng trục, định nghĩa thông qua biểu thức vectơ
dưới dạng nhận xét:
1) Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M
0
là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Khi
đó: M’= Đ

d
(M)
0 0
'
M M M M
  
 
. [M3, tr.9].
Sau khi được giới thiệu, biểu thức vectơ chỉ xuất hiện một lần trong CT để chứng minh cho tính chất:
M’= Đ
d
(M)

M=Đ
d
(M) với mục đích“giúp học sinh hiểu rõ hơn về phép đối xứng trục qua biểu thức
vectơ của nó” [P3, tr.32]. Sau đó chúng tôi không tìm thấy dấu vết của nội dung này trong các nội
dung tiếp theo của phép đối xứng trục.
- Sách M3 đưa vào biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Đây là điểm khác biệt đáng chú ý nhất
của bộ sách M3 so với tất cả các bộ SGK trước đây ở Việt Nam. Cùng với sự xuất hiện của biểu thức
tọa độ, nhiều tổ chức toán học mới xoay quanh kiến thức này xuất hiện trong bộ sách M3.
Tuy nhiên, SGK chỉ giới thiệu biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox và Oy chứ không đưa ra
trục đối xứng bất kì. SGV 2006 theo chương trình cơ bản không nói về vấn đề này nhưng trong Tài liệu
bồi dưỡng giáo viên lớp 11 năm 2006 dành cho chương trình nâng cao có viết:
"Phép tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm có biểu thức tọa độ khá đơn giản nên có đưa vào sách giáo
khoa, các phép khác thì vì biểu thức tọa độ khá phức tạp nên không trình bày, hoặc chỉ trình bày trong
các trường hợp đặc biệt (đối xứng qua trục tọa độ)”.
Theo chúng tôi, ngoài việc“bổ sung thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học” [6, tr 87] và
việc kéo theo rất nhiều bài tập liên quan đến phương pháp tọa độ (chiếm 50% tổng số bài tập của bài
Phép đối xứng trục), việc đưa biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục (với trục Ox và Oy) vào CT

hoặc chỉ đưa biểu thức tọa độ của một vài trong số các PBH được học là việc làm không triệt để. Thật
vậy, như chúng ta đã biết, trong nghiên cứu hình học, lợi thế của phương pháp tọa độ là lời giải mang
tính khái quát cao vì nó không phụ thuộc vào hình vẽ. Trong khi đó ngay việc chỉ giới thiệu biểu thức
tọa độ đối xứng qua trục Ox, Oy cũng thiếu tính khái quát, nó để lại câu hỏi: trong tình huống phải đối
mặt với trục đối xứng bất kì, ta phải làm thế nào? Hơn nữa, các bài tập liên quan đến biểu thức tọa độ
trong CT chủ yếu đổi vỏ ngôn ngữ từ tổng hợp sang tọa độ. Thay vì trước đây yêu cầu vẽ ảnh của
đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục thì bây giờ yêu cầu viết phương trình ảnh của đường
thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục. HS chỉ thấy được sự đa dạng của các dạng bài tập mà không
thấy được ưu điểm của phương pháp tọa độ trong PBH.

Như vậy, so với sách M2, M3 giới thiệu thêm hai cách xây dựng khái niệm phép đối xứng trục, đó là:
biểu thức vectơ và biểu thức tọa độ. Song chỉ có biểu thức tọa độ tiếp tục được khai thác trong phần bài
tập, biểu thức vectơ hoàn toàn biến mất sau phần định nghĩa của nó.
- Về các ví dụ hình có trục đối xứng: M2 cho ví dụ là tam giác cân, tam giác đều, hình vuông, đường
tròn. M3 cho ví dụ là hình thang cân, hình bát giác, hình ngôi sao, hình con bướm, hình lôgô. Ngoài ra,
M3 còn đưa ví dụ về một số hình không có trục đối xứng và xây dựng hoạt động yêu cầu HS tìm ra các
hình có trục đối xứng trong các hình đã cho, tìm những tứ giác có trục đối xứng.
Như thế, ví dụ của M3 đa dạng hơn về hình dạng của các hình, nó vượt ra khỏi các hình hình học thông
thường để đến với những hình trong thực tế. Điều này giúp học sinh kết nối được kiến thức hình học
với kiến thức không gian về trục đối xứng mà HS thường gặp trong cuộc sống.
Phần bài tập
 Điểm giống nhau:
Tuy bố cục bài đối xứng trục của hai bộ sách M2 và M3 tương đối giống nhau nhưng do yêu cầu của
mỗi chương trình dành cho chủ đề PBH là khác nhau nên sự có mặt của các kiểu nhiệm vụ của hai bộ
sách không giống nhau nhiều lắm.
Các kiểu nhiệm vụ giống nhau là T2“Vẽ ảnh của một hình qua PBH”, T3 “Tìm tập hợp điểm bằng
PBH”, T4 “Dựng hình bằng PBH”, T5 “Tìm trục đối xứng của một hình”.
 Điểm khác nhau:
- Không như sách M2, các kiểu nhiệm vụ của kiểu nhiệm vụ T2 đã xuất hiện tường minh trong M3.
Bên cạnh hai kiểu nhiệm vụ con T2.1 “Vẽ ảnh của đường tròn qua PBH” và T2.2 “Vẽ ảnh của đường

thẳng qua PBH”, trong M3 còn xuất hiện thêm một kiểu nhiệm vụ con khác, đó là:
 Kiểu nhiệm vụ T2.3: Vẽ ảnh của tam giác qua phép đối xứng trục.
Kĩ thuật : +Xác định ảnh của ba đỉnh của tam giác qua phép đối xứng trục.
+Vẽ tam giác nhận 3 điểm ảnh làm đỉnh.
Công nghệ : Tính chất bảo toàn hình dạng của phép đối xứng trục.
Như vậy, “quan niệm hình” của PBH càng được thể hiện rõ nét trong bộ sách M3.
- Do sách M3 đưa vào biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục qua trục Ox, Oy nên trong M3 và E3
xuất hiện một số tổ chức toán học liên quan đến biểu thức tọa độ.
 Kiểu nhiệm vụ T6:Viết phương trình ảnh của một hình qua phép đối xứng trục.
 Kiểu nhiệm vụ T6.1:Tìm tọa độ ảnh M’ của điểm M(x;y) qua phép đối xứng trục.
 Kiểu nhiệm vụ T6.1.1: Tìm tọa độ ảnh M’ của điểm M(x;y) qua phép đối xứng trục Ox hoặc trục
Oy.
Kĩ thuật .1.1: Gọi M’(x’;y’)=Đ
Ox
(M) hay M’(x’;y’)=Đ
Oy
(M)
Sử dụng công thức:
'
'
x x
y y



 

hay
'
'

x x
y y
 





Công nghệ .1.1: Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox, Oy.
 Kiểu nhiệm vụ T6.1.2: Tìm tọa độ ảnh M’ của điểm M(x;y) qua phép đối xứng trục d có phương
trình ax+by+c=0.
Kĩ thuật .1.2: Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và vuông góc với d.