Topic In Olympiad Inequalities

© 2009 By Red Devils
MathScope.Org







Topic In Olympiad Inequalities
Volume 1

MathScope, Tháng 9- 2009
Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
2


Lời nói đầu

Topic In Olympiad Inequalities là cuốn sách gồm nhiều tập ghi lại những bài
toán bất đẳng thức qua các kì thi Oympiad được các thành viên của Diễn đàn
MathScope
(1)
đề xuất đề bài và lời giải
(2)
. Sở dĩ chúng tôi chọn các bất đẳng thức trong
các kì thi Olympiad vì bất đẳng thức là một lĩnh vực rộng, tuy nhiên cũng vì thế mà có
quá nhiều các bất đẳng thức được tạo ra một cách vô tội vạ và thiếu tính thẩm mĩ, do vậy,
một cách chủ quan chúng tôi thấy rằng những bất đẳng thức đã được chọn lọn qua các kì
thi Olympiad ít nhiều đảm bảo được độ thẩm mĩ và chất lượng.
Dù đã có nhiều nỗ lực cố gắng, xong chắc chắn cuốn sách vẫn không tránh khỏi những
sai sót. Vì vậy chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến phản hồi của các bạn về địa
chỉ: hoặc liên hệ qua diễn đàn MathScope- Red Devils.
Ngày 5 tháng 9 năm 2009
Tác giả

.

(1)

(2)
Chi tiết xem tại:
Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
3

MỤC LỤC
Lời nói đầu…………………………………………………………………… 2
Mục lục………………………………………………………… ……… 3
Phần Một: Bài toán…………………………………………………………………… 4
Phần Hai: Lời giải ……………………………………………………………………… 8
Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………20

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
4



















Phần Một
Bài Toán

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
5

Bài toán 1. (Posted by Red Devils)
Cho n số thực tuỳ ý
1 2
, , ,
n
x x x
¼ . Chứng minh rằng:
1 2
2 2 2 2 2
1 1 2 1
1 1 1
n
n
x
x x
n
x x x x x
+ + + <
+ + + + + +
L
L

IMO Shortlist 2001
Bài toán 2. (Posted by Red Devils)
Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
2 2 2
1
8 8 8
a b c

a bc b ca c ab
+ + ³
+ + +

IMO Shortlist 2001
Bài toán 3. (Posted by Red Devils)
Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
8 8 8
3 3 3
1 1 1
a b c
a b c a b c
+ +
+ + £

IMO LongList 1967
Bài toán 4. (Posted by Red Devils)
Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức a+b+ c=1. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
ab c c bc a a ca b b ab bc ca
+ + ³
+ + + + + + + +

14
th
Turkish Mathematical Olympiad, 2006
Bài toán 5. (Posted by Hung_DHSP)
Cho a, b, c, d là các số thực có tổng bằng 0. Chứng minh rằng:

( ) ( )
2
12 6
ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd
+ + + + + + ³ + + +
Bài toán 6. (Posted by caube94)
Cho
2 2 2
, , 0; 4
a b c a b c abc
³ + + + =
. Chứng minh rằng:
0 2
ab bc ca abc
£ + + - £

USAMO 2001
Bài toán 7. (Posted by Conan Edogawa)
Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
4 4 4
4 6 6 3 3 2 4 6 6 3 3 2 4 6 6 3 3 2
3 3 3
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b
+ + £
+ + + + + + + + +

Olympic 30/4 năm 2006

Bài toán 8. (Posted by trungdeptrai)
Cho a, b, c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1 1
a b c
b c a
æ öæ öæ ö
- + - + - + £
ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè ø

IMO Shortlist 2000
Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
6

Bài toán 9. (Posted by trungdeptrai)
Với a, b, c dương. Chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3
a b c
b c c a a b
æ ö æ ö æ ö
+ + ³
ç ÷ ç ÷ ç ÷
+ + +

è ø è ø è ø

MOP 2002
Bài toán 10. (Posted by Hung_DHSP)
Cho
, , 0
x y z
³
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
7 7 6
5 2 6 5 4 2 2 6 7
1
2 2 2
x z y z
P
x y z y y z x z x x yz
= + +
+ + +

Đề chọn ĐT vòng 2 Khối THPT chuyên ĐH KHTN- ĐHQG HN
Bài toán 11. (Posted by xiloxila)
Cho a, b, c là các số thực không âm tùy ý. Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3
5
1
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
a b c abc
a b c a c a a b b c c a
+ + + ³

+ + + + + +

***
Bài toán 12. (Posted by Conan Edogawa)
Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
3 3
1 1 1 3
(1 ) (1 ) (1 )
(1 )
a b b c c a
abc abc
+ + ³
+ + +
+

USAMO Summer Program 2006
Bài toán 13. (Posted by Conan Edogawa)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:
3 3 3
1 1 1 1
6 6 6b c a
a b c abc
+ + + + + £

IMO Shortlist 2004
Bài toán 14. (Posted by Conan Edogawa)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn
1
abc
³

. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
1 1 1
a b b c c a
+ + £
+ + + + + +

Romania 2005
Bài toán 15. (Posted by caube94)
Cho
, , 0; 1
a b c ab bc ca
³ + + =
. Chứng minh rằng:
3 3 3
2
a a b b c c a b c
+ + + + + ³ + +

Iran TST 2008
Bài toán 16. (Posted by Minh Tuấn)
Cho
1
, , 0,
3
a b c ab bc ca
> + + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2

1 1 1
3
1 1 1
a bc b ca c ab
+ + £
- + - + - +

China TST 2005
Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
7

Bài toán 17. (Posted by Minh Tuấn)
Cho x, y, z>0 và x+y+z=1. Chứng minh rằng:
2
2
xy yz zx
xy yz yz zx zx xy
+ + £
+ + +

China TST 2006

Bài toán 18. (Posted by trungdeptrai)
Cho x, y, z dương và xyz=1.Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3
3
1 1 1 1 1 1 4

x y z
y z z x x y
+ + ³
+ + + + + +

IMO Shortlist 1998
Bài toán 19. (Posted by Red Devils)
Cho x, y, z> 0. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2
3( )( )( ) ( ) ( )
x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx
+ + + + + + ³ + + + +
Ấn Độ 2007
Bài toán 20. (Posted by Red Devils)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
a b c
£ £
. Chứng minh rằng với mọi
, , 0
x y z
³
thì:
2
2
( )
( ) ( )
4
a c x y z
x y z ax by cz
ac a b c

+
æ ö
+ + ³ + + + +
ç ÷
è ø

Austria 1971

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
8












Phần Hai
Lời giải
Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
9

Bài toán 1. (Posted by Red Devils)
Cho n số thực tuỳ ý
1 2
, , ,
n
x x x
¼ . Chứng minh rằng:
1 2
2 2 2 2 2
1 1 2 1
1 1 1
n
n
x
x x
n
x x x x x
+ + + <
+ + + + + +
L
L

IMO Shortlist 2001
Lời giải. (Posted by Conan Edogawa)
Đặt
2 2
0 1 1
1, 1 . , 1
i i i i i

y y x x i n x y y
-
= = + + + " £ £ Þ = - .
BĐT tương đương với:
1 0 1
2 1
1 2

n n
n
y y y y
y y
n
y y y
-
- -
-
+ + + <

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được:

1 0 12 1
1 0 1
2 1
2 2 2
1 2 1 2
.,, . .
n n
n n
n n

y y y yy y
y y y y
y y
n
y y y y y y
-
-
-
æ ö
- -
-
+ + + £ + + +
ç ÷
è ø

Cần chứng minh:
1 0 1
2 1
2 2 2
1 2
. 1
n n
n
y y y y
y y
y y y
-
- -
-
+ + + <

Dễ thấy:
1 0 12 1
0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
n n
n n n n n
y y y yy y
VT
y y y y y y y y y y y y y
-
- -
- -
-
£ + + + = - + - + + - = - <

Vậy
1 2
2 2 2 2 2
1 1 2 1
1 1 1
n
n
x
x x
n
x x x x x
+ + + <
+ + + + + +

L
L
.

Bài toán 2. (Posted by Red Devils)
Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab
+ + ³
+ + +

IMO Shortlist 2001
Lời giải. (Posted by Red Devils and Conan Edogawa)
Ta sẽ đi chứng minh bài toán tổng quát hơn sau:
Bài toán tổng quát. (Posted by trungdeptrai)
Với
, , 0
a b c
>
và
8
k
³
. Chứng minh rằng:
2 2 2
3
1

a b c
k
a kbc b kca c kab
+ + ³
+
+ + +

Lời giải.
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta được:
(
)
( )
2
2
2
a
a a kbc a
a kbc
æ ö
+ ³
ç ÷
+
è ø
å å å

Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
(
)
(
)

( )
( )
2 2
2 3 3
( )
a a kbc a a kabc a a kabc
+ = + £ +
å å å å

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
10

Do đó:
( )
( )
(
)
( )
2 2
2
4
3 2
2 2
( )
a a
a a kabc a a kbc a
a kbc a kbc
æ ö æ ö

+ ³ + ³
ç ÷ ç ÷
+ +
è ø è ø
å å å å å å

(
)
( )
3
2
3
2
( )
a
a
a kabc
a kbc
æ ö
Û ³
ç ÷
+
+
è ø
å
å
å

Cần chứng minh:
(

)
(
)
3
3
( 1) 9 ( )
k a a kabc
+ ³ +
å å

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 3
8 3 1 27
k a b c k a b b c c a kabc
Û - + + + + + + + ³ (đúng vì
8
k
³
)

Bài toán 3. (Posted by Red Devils)
Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
8 8 8
3 3 3
1 1 1
a b c
a b c a b c
+ +
+ + £

IMO LongList 1967
Lời giải. (Posted by Red Devils)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 3 3 2 3 3 2 3 3 8 8 8
a b c b c a c a b a b c
+ + £ + +
.
Áp dụng BĐT AM-GM ta được:
8 8 8 8 8 8 8 8
2 3 3 8 8 8
2 3 3
8 8 8 8
a a b b b c c c
a b c a b c
+ + + + + + +
£ = + +

Tương tự:
2 3 3 8 8 8

2 3 3 8 8 8
2 3 3
8 8 8
2 3 3
8 8 8
b c a b c a
c a b c a b
£ + +
£ + +

Cộn từng vế của 3 BĐT trên cho ta đpcm.

Bài toán 4. (Posted by Red Devils)
Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức a+b+ c=1. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
ab c c bc a a ca b b ab bc ca
+ + ³
+ + + + + + + +

14
th
Turkish Mathematical Olympiad, 2006
Lời giải. (Posted by Minh Tuấn)
Ta có:
(
)
2
2 2

3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2
2 2 6 2
ab
a b
VT
a b a b c a b c a b a b c abc ab
= ³
+ + + +
å
å
å å

Cần chứng minh:
(
)
3
3 3 2 2 2
6 2
ab a b a b c abc ab
³ + +
å å å
2 2 2
3 ( )( )( ) 6 2 ( )
abc a b b c c a a b c abc ab bc ca
Û + + + ³ + + +
Bất đẳng thức cuối đúng vì
2 2 2
3
( )( )( ) 6
4

abc a b b c c a a b c
+ + + ³
và
Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils

Trang
11

9
( )( )( ) 2 ( )
4
9( )( )( ) 8( )
9(1 )(1 )(1 ) 8( )
9 (*)
abc a b b c c a abc ab bc ca
a b b c c a ab bc ca
c a b ab bc ca
ab bc ca abc
+ + + + +
+ + + + +
- - - + +
+ +

(*) ỳng vỡ
2
3
3 ( ) 9
ab bc ca abc abc
+ + , do
3

1
3 3
a b c
abc
+ +
Ê =
.
Vy bt ng thc c chng minh.

Bi toỏn 5. (Posted by Hung_DHSP)
Cho a, b, c, d l cỏc s thc cú tng bng 0. Chng minh rng:
( ) ( )
2
12 6
ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd
+ + + + + + + + +
Li gii. (Posted by ll931110)
Xột phng trỡnh:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
f x x a x b x c x d

= - - - - =

(
)
(
)
4 2
0
x ab x abc x abcd
+ - + =
ồ ồ
(do
0
a
=
ồ
)
(
)
(
)
3
( ) 4 2 0 (1)
f x x ab x abc
Â
ị = + - =
ồ ồ

Do f(x) cú 4 nghim, nờn theo nh lớ Rolle phng trỡnh f'(x) = 0 cú 3 nghim, gi s cỏc
nghim ú l p, q, r.

Ta cú:
(
)
(
)
3 2
( ) 4( )( )( ) 4 4 4 4 0 (2)
f x x p x q x r x p x pq x pqr
Â
= - - - = - + - =
ồ ồ

ng nht (1) v (2) ta c
0, 2 , 4
p q r ab pq abc pqr
+ + = = =
ồ ồ ồ

V BT ó cho tng ng vi
(
)
( )
( )
2
2
2
3 6
3 6
( , , ) 3 6 0
pq pqr

pq pqr
f p q r pq pqr
+
+
= + -
ồ
ồ
ồ

BT hin nhiờn ỳng nu tn ti 1 s bng 0. BT cng ỳng nu trong 3 s p, q, r cú 1
s õm. Do vy ta ch cn xột TH cũn li: cú ỳng 1 s dng trong 3 s p, q, r v khụng
mt tớnh tng quỏt, gi s p > 0.
Xột hiu
( ) ( )
2
2
7 3
, , , , 0
2 2 16 4 4
q r q r p qr p
f p q r f p q r
ổ ử
+ +
ổ ử
- = - - +
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ

Cho nờn BT s ỳng nu ta cm c
, , 0
2 2
q r q r
f p
+ +
ổ ử

ỗ ữ
ố ứ

( )
(
)
2
4 3 2
3 8 16 0 2 3 4 4 0
p p p p p
- + = - - +
(ỳng)
Vy BT c chng minh.


Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
12

Bài toán 6. (Posted by caube94)
Cho

2 2 2
, , 0; 4
a b c a b c abc
³ + + + =
. Chứng minh rằng:
0 2
ab bc ca abc
£ + + - £

USAMO 2001
Lời giải. (Posted by trungdeptrai)
Trong ba số
1, 1, 1
a b c
- - -
luôn có ít nhất 2 số cùng dấu.Giả sử hai số đó là
1, 1
a b
- -
.
Ta có:
(
)
(
)
1 1 0
c a b
- - ³
abc ac bc c
Þ ³ + -

Lại có:
2 2 2 2 2 2
2 4 2
a b ab a b c abc ab c abc
+ ³ Þ = + + + ³ + +

2
ab c
Þ £ -

Vậy
(
)
2 2
ab bc ca abc c bc ca ac bc c
+ + - £ - + + - + - =

Trong ba số
1, 1, 1
a b c
- - -
luôn có ít nhất 1 số không dương vì nếu cả 3 số đều dương
thì
2 2 2
4
a b c abc
+ + + >
. Không mất tổng quát giả sử:
1 0

a
- £
.
Khi đó:
(
)
(
)
1 0
ab bc ca abc bc a a b c
+ + - = - + + ³

Vậy
0 2
ab bc ca abc
£ + + - £
.
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 7. (Posted by Conan Edogawa)
Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
4 4 4
4 6 6 3 3 2 4 6 6 3 3 2 4 6 6 3 3 2
3 3 3
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b
+ + £
+ + + + + + + + +

Olympic 30/4 năm 2006
Lời giải. (Posted by Red Devils)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
(
)
(
)
3 3
6 6 3 3 2 6 6 3 3 3 3 6 3 3 6 3 3 2 2 2 2
3 3
( )( ) ( )( )( )
a b a c a b c a c a a c c b a a a c a b
+ + = + + + ³ + = +

Tương tự:
6 6 3 3 2 2 2 2 2
3
( )( )
b c b a a b b c
+ + ³ +

6 6 3 3 2 2 2 2 2
3
( )( )
c a c b b c c a
+ + ³ +
Suy ra:
4 4 4
4 6 6 3 3 2 4 6 6 3 3 2 4 6 6 3 3 2

3 3 3
4 2
4 2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )

1
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b
a a
a a c a b a b c
+ + £
+ + + + + + + + +
£ = =
+ + + +
å å

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài toán 8. (Posted by trungdeptrai)
Cho a, b, c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1 1
a b c
b c a
æ öæ öæ ö
- + - + - + £
ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè ø

IMO Shortlist 2000

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
13

Lời giải. (Posted by Red Devils)
Vì abc=1 nên đặt , ,
y z x
a b c
z x y
= = =
.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
(
)
(
)
(
)
x y z x y z z y z xyz
- + + - + + - £ (Đây là BĐT Schur)

Bài toán 9. (Posted by trungdeptrai)
Với a, b, c dương. Chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3
a b c
b c c a a b

æ ö æ ö æ ö
+ + ³
ç ÷ ç ÷ ç ÷
+ + +
è ø è ø è ø

MOP 2002
Lời giải. (Posted by Conan Edogawa)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương:
2
2
3
3
1 3 3
2 2 2 2
b c b c b c a b c b c
a a a a a
+ + + + + +
æ ö æ ö
+ + ³ Þ ³
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

2 2
3 3
2 3 2 3( )
3
a a a a b c
b c a b c b c a b c
+ +

æ ö æ ö
Þ ³ Þ ³ =
ç ÷ ç ÷
+ + + + + +
è ø è ø
å
(đpcm).

Bài toán 10. (Posted by Hung_DHSP)
Cho
, , 0
x y z
³
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
7 7 6
5 2 6 5 4 2 2 6 7
1
2 2 2
x z y z
P
x y z y y z x z x x yz
= + +
+ + +

Đề chọn ĐT vòng 2 Khối THPT chuyên ĐH KHTN- ĐHQG HN
Lời giải. (Posted by nbkschool)
Đặt
1
, ,
y

a b xz c
x yz
= = =
thì abc=1
Khi đó BĐT trên trở thành:
( )
2 5
1
1
1a a b
³
+
å

Do abc=1 nên tồn tại các số m, n, p để
2 2 2
, ,
np pm nm
a b c
m n p
= = =
.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart ta có:
13 16 8 8 8 2
2 2 9 5 8 2 2 12 5 8 3 2 2 12 5 8 3
( )
2 2 2
m m m n p
P
n p m n p n p m n p m n p m n p m

+ +
= ³ =
+ + +
å å
å å

Theo BĐT AM-GM:
16 16 16 2 2 12
8 8 8 8 8 8 5 8 3
m n p n p m
m n n p p m n p m
+ + ³
+ + ³
å
å

Vậy
1
P
³
. Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu là 1,đạt được khi
1
x y z
= = =
.

Topic In Olympiad Inequalities â 2009 by Red Devils

Trang
14

Bi toỏn 11. (Posted by xiloxila)
Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tựy ý. Chng minh rng:
3 3 3
3 3 3
5
1
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
a b c abc
a b c a c a a b b c c a
+ + +
+ + + + + +

***
Li gii. (Posted by Red Devils)
t , ,
b c c a a b
x y z
b c c a a b
- - -
= = =
+ + +
. Khi ú ta cú ng thc
0
x y z xyz
+ + + =
.
li cú:
2 2 2
1 ,1 ,1

b c a
x y z
b c c a a b
+ = + = + =
+ + +

BT cn chng minh tng ng vi:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 2
3 2
3 2
2 2 2
2
1 1 1 5 1 1 1 8
3 3 3 5 1 8
3 3 5 0

3 3 5 0
1
3 5 0
2
x y z x y z
x x x x xy xyz
x x x xy
x xyz x xy
x y z x y y z z x x xy
+ + + + + + + + +
+ + + + + + +
+ + +
- + +
ộ ự
+ + - + - + - + +
ở ỷ
ồ ồ ồ ồ ồ
ồ ồ ồ ồ
ồ ồ ồ
ồ ồ

Khụng mt tng quỏt gi s
a b c

.
Ta cú:
(
)
(
)

(
)
( )( )( )
0
a b b c c a
x y z
a b b c c a
- - -
+ + = -
+ + +

Vỡ vy ch cn chng minh
2
3 5 0
x xy
+
ồ ồ
(1)
Trng hp
0
xy yz zx
+ +
: (1) hin nhiờn ỳng.
Trng hp
0
xy yz zx
+ + Ê
:
( ) ( ) ( )
2

1 3 0
VT x y z xy yz zx
= + + - + +

Vy bt ng thc c chng minh.

Bi toỏn 12. (Posted by Conan Edogawa)
Cho a, b, c>0. Chng minh rng:
( ) ( ) ( )
( )
3 3
1 1 1 3
1 1 1
1
a b b c c a
abc abc
+ +
+ + +
+

USAMO Summer Program 2006
Li gii. (Posted by Red Devils)
Ta cú:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
1
1 1 1 1 1
1 3

1 1 1 1 1 1
b c
abc a ab a
abc
a b b c c a a b a b b
ổ ử
+
+ + + +
+ + + + = = +
ỗ ữ
ỗ ữ
+ + + + + +
ố ứ
ồ ồ ồ
p dng BT AM-GM ta c:
( )
(
)
3
3
1
1 3
3
1 1
b c
a
abc
a b b
abc
+

+
+ +
+ +
ồ ồ

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
15

Do đó:
( ) ( ) ( )
( )
3
3
3 3
3
3 3
1 1 1 3
1 1 1 1
1
abc
abc
a b b c c a abc
abc abc
+ -
+ + ³ =
+ + + +
+
(đpcm).

Bài toán 13. (Posted by Conan Edogawa)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:
3 3 3
1 1 1 1
6 6 6b c a
a b c abc
+ + + + + £

IMO Shortlist 2004
Lời giải. (Posted by Minh Tuấn)
Áp dụng BĐT Holder cho vế trái ta có:
( ) ( )
( ) ( )
3
3 3 3
3
3 3
3 3 3
1 1 1
6 6 6
1 1 1
1 6 1 6 1 6 1 1 1
27.
27 27 . . 1
3

b c a
a b c
ab bc ca

a b c
ab bc ca
abbc ca
abc a b c
abc abc
æ ö
+ + + + + £
ç ÷
ç ÷
è ø
æ ö
£ + + + + + + + + + =
ç ÷
è ø
+ +
æ ö
ç ÷
è ø
= = £ =


Bài toán 14. (Posted by Conan Edogawa)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn
1
abc
³
. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
1 1 1

a b b c c a
+ + £
+ + + + + +

Romania 2005
Lời giải. (Posted by Red Devils)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2
b c c a a b b c c a
a b b c c a a b c
ab a b bc b c ca c a abc a b c
+ + + + £ + + + + + +
Û + + + ³ + + +
Û + + + + + + ³ + + +
å

Vì
1
abc
³
nên
2 2
abc
³
, do đó chỉ cần chứng minh:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
ab a b bc b c ca c a a b c
+ + + + + ³ + +

(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2

2
c a b a b c b c a a b c
Û + + + + + ³ + +

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Jensen ta có:
Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
16

(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3
3 3 3
2
2 2 2
3
2 2 2
2 2.3. 6.
3 3 3
3
2 . 2
3
c a b a b c b c a c ab a bc b ca

a b c a b c a b c
abc a b c
abc
a b c a b c
+ + + + + ³ + + =
æ ö
+ + + + + +
æ ö æ ö
= + + ³ = ³
ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
è ø
³ + + ³ + +

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài toán 15. (Posted by caube94)
Cho
, , 0; 1
a b c ab bc ca
³ + + =
. Chứng minh rằng:
3 3 3
2
a a b b c c a b c
+ + + + + ³ + +

Iran TST 2008
Lời giải. (Posted by Conan Edogawa)

Áp dụng BĐT Mincowski ta có:
( ) ( )
3 3 2
2 2
3
( ) ( )
3 ( ) 9
a a a a ab bc ca a a b c abc
a a b c abc a b c abc
+ = + + + = + + + ³
³ + + + = + + +
å å å
å

Cần chứng minh:
3
( ) 9 2 ( )( )
a b c abc a b c ab bc ca
+ + + ³ + + + +
3
( ) 9 4( )( )
a b c abc a b c ab bc ca
Û + + + ³ + + + +
(Đây là BĐT Schur)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài toán 16. (Posted by Minh Tuấn)
Cho
1
, , 0,

3
a b c ab bc ca
> + + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
3
1 1 1
a bc b ca c ab
+ + £
- + - + - +

China TST 2005
Lời giải. (Posted by Red Devils)
Ta có:
(
)
( )
2 2 2
2
2 2
2
1 1 3
.
1 3 3 2 3 3
3 3
. 1 .
2 2
1
2 3 3 32 32 2

ab bc ca
a bc a bc ab ca a bc ab ca
a a b c
a ab ca
a bc ab ca a bc ab ca
+ +
= = =
- + + + + +
+ +
æ ö
æ ö
- - -
= + = -
ç ÷
ç ÷
+
+ +
+ + +
è ø
è
+
ø
+

BĐT cần chứng minh tương đương với:
( )
( )
2
2
3 3

3. 3
2 2 3 3
1 (1)
2 3 3
2
a
a b c
a bc ab ca
a
a b c
a bc ab ca
- + + £
+ +
Û + + ³
+ +
+
+
å
å

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
17

BĐT (1) đúng vì:
(
)
2
2

2 2 2 23
2
3
3 3 3 3 32 2 32
1
a
a a
a bc ab ca a bc a b ca a bc a b ca
a c
a
b
a
= ³
+ + + + + ++ +
=
+ +
+
å
å å
å

Vậy
2 2 2
1 1 1
3
1 1 1
a bc b ca c ab
+ + £
- + - + - +
.

Bài toán 17. (Posted by Minh Tuấn)
Cho x, y, z>0 và x+y+z=1. Chứng minh rằng:
2
2
xy yz zx
xy yz yz zx zx xy
+ + £
+ + +

China TST 2006
Lời giải. (Posted by Red Devils)
Ta có:
( )( )
2 2
2
2
xy x y x y x y
A
x z x y x z
xy yz
+
= = =
+ + +
+
å å å

( )( ) ( )( )
(
)

( )( )( )
2
2 2
2
2
2
2
2
y z x y
x y x y x y
A
x y x z x y x z x y y z x z
+
+
æ ö
Þ £ = =
ç ÷
+ + + + + + +
è ø
å
å å å

Cần chứng minh:
(
)
( )( )( )
2
2
1
2

y z x y
x y y z x z
+
£
+ + +
å

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
4
x y z x y y z x z y z x y
Û + + + + + ³ +
å

( )
2
0
yxy x -
Û ³
å
, đúng.

Vậy
2
2
xy yz zx
xy yz yz zx zx xy
+ + £
+ + +
.

Bài toán 18. (Posted by trungdeptrai)
Cho x, y, z dương và xyz=1.Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3
3
1 1 1 1 1 1 4
x y z
y z z x x y
+ + ³
+ + + + + +

IMO Shortlist 1998
Lời giải. (Posted by caube94)
Áp dụng BĐT AM-GM ta được:
3
1 1 3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z
x
y z
+ +

+ + ³
+ +

( )( )
( )
3
3 1 1
1 1 4 8 4
x
x y z
y z
Þ ³ - + -
+ +

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
18

Tương tự:
( )( )
( )
3
3 1 1
1 1 4 8 4
y
y z x
z x
³ - + -
+ +

( )( )
( )
3
3 1 1
1 1 4 8 4
z
z x y
x y
³ - + -
+ +

Cộng từng vế của 3 BĐT trên ta được:
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
3 3 3
3
1 3 1 3 3
.3
1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 4
x y z
x y z xyz
y z z x x y
+ + ³ + + - ³ - =
+ + + + + +
(đpcm)

Bài toán tổng quát. (Posted by Red Devils)
Với x, y, z là các số thực dương có tích bằng 1, n là số nguyên không nhỏ hơn 3. Chứng

minh rằng:
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
n n n
x y z
A
y z x z x y
= + + ³
+ + + + + +

(IMO Shortlist 2001)
Lời giải. (Posted by Red Devils)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho n số ta có:
2 3
1 1 1 (1 )(1 ).1
( 3).
(1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ).8 .4 4
n n
n
n
x y z x y z nx
n n
y z y z
-
+ + + +
+ + + - ³ =
+ + + +

Tương tự ta có hai bất đẳng thức với y, z rồi cộng từng vế suy ra:
3

3 3 ( )
( 3).
4 4 4 4
( 1).3
( 1)( ) 3( 2) 3( 2) 3( 1) 3( 2) 3
4 4 4 4 4 4 4
x y z n x y z
A n
n xyz
n x y z n n n n
A
+ + + +
+ + + - ³
-
- + + - - - -
Þ ³ - ³ - = - =

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
x y z
= = =
.

Bài toán 19. (Posted by Red Devils)
Cho x, y, z> 0. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2
3( )( )( ) ( ) ( )
x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx
+ + + + + + ³ + + + +

Ấn Độ 2007
Lời giải.
Cách 1. (Posted by Minh Tuấn)

Xét tam giác ABC diện tích là S với M là điểm Torricelli trong tam giác và MA=x,
MB=y, MC=z. Theo định lí hàm số cos ta tính được:
2 2 2 2 2 2
, ,
a BC y yz z b CA z zx x c AB x xy y
= = + + = = + + = = + +

Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
19

Ta cũng tính được:
1 3
sin120 ( ) ( )
2 4
4 3
3
S xy yz zx xy yz zx
xy yz zx S
= ° + + = + +
Þ + + =

Và:
2 2 2
2

2 2 2 2 2 2
2( ) 4( )
( )
2
3( ) 4 3
2 2
x y z xy yz zx
x y z
a b c xy yz zx a b c S
+ + + + +
+ + = =
+ + + + + + + +
= =

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với:
2 2 2 2 2 2 2
8
3 ( 4 3 )
3
a b c S a b c S
³ + + +

Ta đã có:
2 2 2
3 4
abc a b c S
³ + + và
2 2 2
4 3
a b c S

+ + ³
nên:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
16( ) 8( 4 3 )
3
3 3
a b c S a b c S S
a b c
+ + + + +
³ ³
(đpcm)

Cách 2. (Posted by Red Devils)
Thay
, ,
x a y b z c
= = =
. Ta sẽ chứng minh:
2 2 2 2 2 2 2 2
3( )( )( ) ( ) ( )
a ab b b bc c c ca a a b c ab bc ca
+ + + + + + ³ + + + +

Ta có:
( )
2
2 2
3
4

a ab b a b
+ + ³ +

Suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
81
3( )( )( ) ( ) ( ) ( )
64
a ab b b bc c c ca a a b b c c a
+ + + + + + ³ + + +

Ta sẽ chứng minh:
( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
81
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
64
81
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
64
81( ) ( ) ( ) 64( ) ( ) ( ) 128 ( )( )( ) 64
17( ) ( ) ( ) 128 ( )( )(
a b b c c a a b c ab bc ca
a b b c c a a b b c c a abc
a b b c c a a b b c c a abc a b b c c a a b c
a b b c c a abc a b b c c

+ + + ³ + + + +
Û + + + ³ + + + +
Û + + + ³ + + + + + + + +
Û + + + ³ + + +
2 2 2
) 64a a b c+
Bất đẳng thức này đúng vì:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16( ) ( ) ( ) 128 ( )( )( )
v ( ) ( ) ( ) 64à
a b b c c a abc a b b c c a
a b b c c a a b c
+ + + ³ + + +
+ + + ³

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
20

Bài toán 20. (Posted by Red Devils)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
a b c
£ £
. Chứng minh rằng với mọi
, , 0
x y z
³

thì:
2
2
( )
( ) ( )
4
a c x y z
x y z ax by cz
ac a b c
+
æ ö
+ + ³ + + + +
ç ÷
è ø

Austria 1971
Lời giải. (From Mathvn)
Ta có:
2
4 ( )
x y z x y z
ac ax by cz ax by cz ac
a b c a b c
æ ö
æ ö æ ö
+ + + + £ + + + + +
ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø è ø
è ø

Ta cần chứng minh:
( )( )
( )( ) 0
x y z y a b b c
a c x y z ax by cz ac
a b c b
- -
æ ö
+ + + ³ + + + + + Û ³
ç ÷
è ø
(đúng).



Topic In Olympiad Inequalities © 2009 by Red Devils

Trang
21


Tài liệu tham khảo

[1] Mathlinks []
[2] MathScope []
[3] MathVn []
[4] Diễn đàn Toán học []
[5] Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
[6] Trần Nam Dũng- Tuyển chọn các bài toán và bài viết chủ đề Olympiad Toán học

[7] Rumanian Mathematical Competitions 1996- 2008
[8] Toán học & Tuổi trẻ- Tuyển tập các bài toán thi HSG Quốc Gia Việt Nam
[9] Phạm Kim Hùng- Sáng tạo bất đẳng thức
[10] Phạm Văn Thuận- Lê Vĩ- Bất đẳng thức Suy luận và Khám phá.







The End