Các đặc trưng của hàm lồi và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC


NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG



CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI
VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ QUỲNH CHANG


CÁC ĐẶC TRƢNG CỦA HÀM LỒI
VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG




Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG



THÁI NGUYÊN – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC
Trang

Lời nói đầu 1-2
Chƣơng 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3
1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3

1.2 Một số đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 10
1.3 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng 23
1.4 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua dưới vi phân 37
Chƣơng 2 Đặc trƣng hàm lồi qua dƣới vi phân Frechet và dƣới
vi phân Mordukhovich 40
2.1 Một số định nghĩa cơ bản 41
2.2 Điều kiện cần cấp hai 46
2.3 Điều kiện đủ cấp hai 48
2.4 Đặc trưng của hàm lồi mạnh 57
Kết luận 61
Tài liệu tham khảo 62

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích lồi với nền tảng cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã được nghiên
cứu và triển khai ứng dụng vào bài toán tối ưu hóa, các bài toán kinh tế và
quản lí, từ những năm 70 của thế kỉ trước.
Nhiều nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng dẫn tới nhu cầu mở rộng khái
niệm hàm lồi. Nhiều lớp hàm lồi suy rộng (tựa lồi, giả lồi, ) đã được
Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, nghiên cứu cách đây 50 năm. Ngày
nay, đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của các lớp hàm lồi, mối liên quan
của tính lồi với tính đơn điệu của đạo hàm (suy rộng) bậc nhất và tính xác
định dương của đạo hàm (suy rộng) bậc hai vẫn đang được các nhà toán học
trên thế giới và ở Việt Nam quan tâm mạnh mẽ.
Các hàm số gặp trong các bài toán ứng dụng nói chung thường có dạng
phức tạp, vì vậy thường là không khả vi. Điều này dẫn tới phải mở rộng khái
niệm đạo hàm. Các đạo hàm suy rộng thường gặp là đạo hàm theo hướng, đạo
hàm Dini, dưới vi phân Clark, dưới vi phân Rockaffelar, dưới vi phân
Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng là những công

cụ tốt để nghiên cứu nhiều vấn đề của giải tích ứng dụng, trong đó có đặc
trưng hàm lồi.
Luận văn Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng có mục đích
trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi (thông qua các tính chất hình
học và giải tích, thông qua đạo hàm và dưới vi phân suy rộng, ).
Nội dung chính của Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng
Chương 1 trình bày định nghĩa các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng và
quan hệ giữa chúng. Trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi và hàm
lồi suy rộng thông qua các tính chất giải tích và hình học. Đặc biệt trình bày
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
các đặc trưng của hàm lồi thông qua công cụ đạo hàm (gradien, Hessian,
gradient suy rộng, đạo hàm theo hướng, ).
Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua dưới vi phân Frechet và dưới vi phân
Mordukhovich.
Một hướng mở rộng khá tự nhiên và hữu hiệu khái niệm đạo hàm là
khái niệm đối đạo hàm và dưới vi phân Mordukhovich. Gần đây, nhóm
nghiên cứu của Giáo sư Nguyễn Đông Yên đã sử dụng thành công khái niệm
dưới vi phân Mordukhovich cấp hai để đặc trưng hàm lồi và hàm lồi mạnh.
Chương hai trình bày các đặc trưng này dựa trên hai bài báo [10] và [11].
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS-TS Tạ Duy
Phượng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn.
Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học cùng các
Thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học
Toán K3 Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên cứu
một cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian,
cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không tránh khỏi

những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo
và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2011


Nguyễn Thị Quỳnh Chang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
CHƢƠNG I HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG
1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng
1.1.1 Tập lồi
Tập
n
S  
được gọi là tập lồi nếu
S
chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của
nó, tức là với mọi
12
,x x S
thì
12
(1 )x x S

  
với mọi
 

0,1 .



1.1.2 Hàm nửa liên tục dƣới
Hàm
:fS 
được gọi là nửa liên tục dưới tại
n
xS
nếu
liminf ( ) ( )
n
n
xx
f x f x



với mọi dãy
 
n
xS
hội tụ đến
.x
Điều này tương đương với: với mọi
0



tồn tại
0


sao cho
0
( ) ( )f x f x


đúng với mọi
0
( , ) .x B x S



Nếu
f
nửa liên tục dưới tại mọi điểm
xS
thì ta nói
f
là hàm nửa liên tục
dưới trên
.S

1.1.3 Hàm lồi
Định nghĩa 1.1 Hàm
f
xác định trên một tập lồi
n

S  
được gọi là hàm lồi
(convex function) trên
S
nếu
1 2 1 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x
   
    

với mọi
12
,.x x S

1.1.4 Hàm lồi chặt
Định nghĩa 1.2 Hàm
f
được gọi là lồi chặt (strictly convex) trên tập lồi
n
S  
nếu
1 2 1 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x
   
    

với mọi
12
,x x S
và mọi

 
0,1 .



Hàm
f
được gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu
f
là lồi (lồi chặt).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
Hàm tuyến tính
( ): ,
T
f x a x c
với
n
a
là một vectơ và
c
là một số, thỏa
mãn đẳng thức
1 2 1 2
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )f x x f x f x
   
    
nên vừa là hàm lồi
vừa là hàm lõm nhưng nói chung nó không phải là hàm lồi chặt hoặc lõm

chặt. Thí dụ, hàm hằng
()f x c
là tuyến tính, vừa lồi vừa lõm nhưng không
phải là hàm lồi chặt cũng không phải là hàm lõm chặt.





















Hình 1.1 Hàm lồi
12
(1 )xx



1
x

1
()fx

2
()fx

12
( (1 ) )f x x



()fx

x

12
( ) (1 ) ( )f x f x



2
x

0
Hình 1.2 Hàm lõm
1

()fx

1
x

2
()fx

12
( (1 ) )f x x



()fx

x

12
( ) (1 ) ( )f x f x



2
x

0
12
(1 )xx



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
1.1.5 Hàm tựa lồi
Định nghĩa 1.3 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi
n
S  
. Hàm
f
được gọi là
tựa lồi (quasiconvex) trên
S
nếu:
Với mọi
12
,,x x S

1 2 1 2 2
( ) ( ) ( (1 ) ) ( )f x f x f x x f x

    

với mọi
 
0,1



(1.1)
hay:
Với mọi
12
,,x x S

 
1 2 1 2
( (1 ) ) max ( ), ( )f x x f x f x

  

với mọi
 
0,1 .



Hàm
f
được gọi là tựa lõm (quasiconcave) nếu
f
là tựa lồi hay nếu với
mỗi cặp
12
,x x S

1 2 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( (1 ) )f x f x f x f x x


    
với mọi
 
0,1 .



1.1.6 Hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex)
Định nghĩa 1.4 Hàm
f
xác định trên một tập lồi
n
S  
được gọi là hàm tựa
lồi chặt (strictly quasiconvex) trên
S
nếu
1 2 1 2
( (1 ) ) max{ ( ), ( )}f x x f x f x

  

với mọi
12
,,x x S

12
,xx

 

0,1 .


Điều này tương đương với
1 2 1 2 2
( ) ( ) ( (1 ) ) ( )f x f x f x x f x

    
với mọi
 
0,1 .



Hàm
f
được gọi là tựa lõm chặt nếu
f
là tựa lồi chặt hay
1 2 1 2 2
( ) ( ) ( (1 ) ) ( )f x f x f x x f x

    
với mọi
 
0,1 .



Định lý 1.1 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi chặt và hàm tựa lồi)

Cho
f
là hàm xác định trên tập lồi
n
S  
. Nếu
f
tựa lồi chặt trên
S
thì
f

tựa lồi trên
.S
Điều ngược lại nói chung không đúng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chứng minh
Vì
f
là hàm tựa lồi chặt nên theo định nghĩa ta có
1 2 1 2
( (1 ) ) max{ ( ), ( )}f x x f x f x

  
với mọi
12
.xx

Suy ra
 
1 2 1 2
( (1 ) ) max ( ), ( )f x x f x f x

  
với mọi
12
xx
và
 
0,1 .



Trường hợp
12
xx
là hiển nhiên.
Chiều ngược lại không đúng được chỉ ra ở ví dụ sau.
Ví dụ 1.1 Xét hàm số
, 0;
()
0, 0.
x
x
fx
x
x










Dễ thấy
f
là hàm tựa lồi, nhưng không tựa lồi chặt.
1.1.7 Hàm nửa tựa lồi chặt (semistrict quasiconvex)
Định nghĩa 1.5 Hàm
f
xác định trên một tập lồi
n
S  
được gọi là hàm
nửa tựa lồi chặt (semistrictly quasiconvex) trên
S
nếu với mọi
12
,x x S
mà
12
( ) ( )f x f x
thì
 
1 2 1 2

( (1 ) ) max ( ), ( )f x x f x f x

  

với mọi
 
0,1 .


Điều này tương đương với: với mọi
12
,x x S
mà

12
( ) ( )f x f x
thì
1 2 1
( ) ( (1 ) )f x f x x

  
(1.2)
với mọi
 
0,1 .



Hàm
f

được gọi là nửa tựa lõm chặt nếu
f
là nửa tựa lồi chặt, tức là với
mọi
12
,x x S
mà
12
( ) ( )f x f x
thì
 
1 2 1 2
( (1 ) ) min ( ), ( )f x x f x f x

  

với mọi
 
0,1 .




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
Mối liên hệ giữa hàm nửa tựa lồi chặt và hàm tựa lồi
1) Không phải mọi hàm nửa tựa lồi chặt cũng là hàm tựa lồi.
Ví dụ 1.2 Cho hàm
f

xác định trên
1

:

1, 0;
()
0, 0.
x
fx
x







Hàm
f
là hàm nửa tựa lồi chặt trên
1

vì với mọi
12
,x x S
mà
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) 0, ( ) 1f x f x f x f x   
(do

()fx
chỉ nhận hai giá trị 0 và 1),
vậy
1
0,x 

2
0.x 

Với mọi
 
0,1


ta có
1 2 1
(1 ) 0x x x x

  
    

2
( ) 0 ( ).f x f x

  

Tuy nhiên hàm
f
không tựa lồi vì với
12

, , 0x a x a a   
ta có
12
( ) ( ) 0f x f x
nhưng
1 2 2
11
( ) (0) 1 ( ).
22
f x x f f x   

2) Hàm tựa lồi có thể không phải là hàm nửa tựa lồi chặt.
Ví dụ 1.3 Hàm
, 0 1;
()
1, 1 2.
xx
fx
x







Hàm
f
là hàm không giảm nên nó là hàm tựa lồi trên tập
 

0;2 .S 
Nó
không phải là hàm nửa tựa lồi chặt vì
(0) 0 (2) 1ff  
nhưng
1 1 3
[ .0 (1 ).2] ( ) 1 (2)
4 4 2
f f f    
(không nhỏ hơn
(2)f
).
3) Tuy nhiên nếu thêm điều kiện
f
nửa liên tục dưới trên
S
thì một hàm nửa
tựa lồi chặt là hàm tựa lồi trên
.S
Ta có định lý sau.
Định lý 1.2 (Mối liên hệ giữa hàm nửa tựa lồi chặt và hàm tựa lồi)
Cho
f
là hàm xác định trên tập lồi
n
S  
và nửa liên tục dưới trên
.S
Khi
đó nếu

f
nửa tựa lồi chặt thì
f
là hàm tựa lồi trên
.S

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Chứng minh
Cho
12
,.x x S
Nếu
12
( ) ( )f x f x
thì do
f
là nửa tựa lồi chặt nên (1.2) thỏa
mãn. Chứng tỏ (1.1) được thỏa mãn. Như vậy ta chỉ còn phải kiểm tra (1.1)
khi
12
( ) ( ).f x f x

Giả sử
12
( ) ( )f x f x
và
f
không phải là tựa lồi, tức là điều kiện (1.1) không

thỏa mãn. Khi đó tồn tại
 
0 1 2
,x x x
sao cho
1 2 0
( ) ( ) ( ).f x f x f x

Chọn
01
0 ( ) ( )f x f x

  
thì
01
( ) ( ).f x f x



Do
f
nửa liên tục dưới trên
S
nên
f
nửa liên tục dưới tại
0
,x
tức là với mọi
0



tồn tại
0


sao cho
0
( ) ( )f x f x


đúng với mọi
0
( , ).x B x


Chọn
 
1 0 0
, ( , )x x x B x


thì do tính chất nửa tựa lồi chặt của
f
trên khoảng
 
10
,x x x
ta có
 

0 1 0
( ) max ( ), ( ) ( ).f x f x f x f x

Vì
 
02
,x x x
nên do tính chất nửa tựa lồi chặt của
f
trên
 
2
,xx
ta có
 
02
( ) max ( ), ( ) ( ).f x f x f x f x
Mâu thuẫn. Vậy
f
là hàm tựa lồi trên
.S

Định lý 1.3 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi chặt và hàm nửa tựa lồi chặt)
Cho
f
là hàm xác định trên một tập lồi
.
n
S  
Nếu

f
tựa lồi chặt trên
S

thì
f
là hàm nửa tựa lồi chặt trên
.S

Mối liên hệ giữa các lớp hàm lồi suy rộng và hàm lồi với giả thiết hàm
f
là
nửa liên tục dưới được nêu trong sơ đồ trong Hình 1.3 dưới đây.





Hình 1.3 Mối liên hệ giữa các loại hàm lồi suy rộng nửa liên tục dưới
Lồi chặt
Tựa lồi chặt
Lồi
Nửa tựa lồi
chặt
Tựa lồi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
1.1.8 Hàm tựa lồi hiển (explicitly quasiconvex)
Định nghĩa 1.6 Hàm

f
xác định trên một tập lồi
n
S  
được gọi là hàm tựa
lồi hiển (explicitly quasiconvex) trên
S
nếu
i)
f
tựa lồi trên
.S

ii) Với
12
,,x x S

12
( ) ( )f x f x
thì
2
( ) ( )f x f x
với mọi
 
12
,.x x x

Điều kiện ii) tương đương với: Nếu
12
( ) ( )f x f x

thì
 
12
( ) max ( ), ( )f x f x f x
với mọi
 
12
,.x x x

Như vây, hàm
f
là tựa lồi hiển nếu nó vừa là tựa lồi vừa là nửa tựa lồi chặt.
Nhận xét 1.1
• Một hàm nửa tựa lồi chặt chưa chắc đã tựa lồi hiển (vì hàm nửa tựa lồi chặt
có thể không tựa lồi, do đó không tựa lồi hiển, xem ví dụ 1.2).
• Theo định nghĩa, hàm
f
tựa lồi hiển trên
S
thì tựa lồi nhưng một hàm tựa
lồi trên
S
chưa chắc đã là tựa lồi hiển.
Ví dụ 1.4 Cho hàm
f
xác định trên
1



1, 0 1;
()
0, 1.
x
fx
x







Dễ thấy
f
tựa lồi trên
1
,


nhưng
f
không nửa tựa lồi chặt.
Thật vậy, chọn
1
2x 
,
2
0x 
ta có

(2) 0 (0) 1ff  
nhưng
12
1 3 1
( ) ( ) 1 (0) 1.
4 4 2
f x x f f    

Do vậy
f
cũng không tựa lồi hiển.
Định lý 1.4 (Quan hệ giữa lồi và tựa lồi hiển, tựa lồi và nửa tựa lồi chặt)
Cho
f
là hàm lồi xác định trên tập lồi
.
n
S  
Khi đó
f
tựa lồi hiển, tựa lồi
và cũng nửa tựa lồi chặt nhưng điều ngược lại không đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Ví dụ 1.5 Hàm
2
( ) ,f x x

1

x


nửa tựa lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi hiển
nhưng không lồi.
Thật vậy,
f
là hàm giảm chặt trên
1


nên
f
là nửa tựa lồi chặt.
Kết hợp với
f
liên tục trên
1


ta có
f
là tựa lồi hiển.
Nhưng
f
là lõm chặt trên
1


và không phải là hàm lồi trên

1
.



Định lý 1.5 Nếu
f
là hàm lồi không âm,
g
là hàm lõm dương xác định trên
tập lồi
n
S  
thì hàm
F
xác định bởi
()
()
()
fx
Fx
gx

là hàm tựa lồi hiển trên
.S

1.2 Một số đặc trƣng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng
1.2.1 Đặc trƣng không qua đạo hàm
Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Jensen)
i) Điều kiện cần và đủ để hàm

f
xác định trên tập lồi
n
S  
là hàm lồi trên
S
là
11
( ) ( )
ii
mm
ii
ii
f x f x





với mọi
1
, 0, 1,2 , , 1.
ii
m
i
i
x S i m


   



ii) Điều kiện cần và đủ để hàm
f
xác định trên tập lồi
n
S  
là hàm lồi
chặt trên
S
là
11
( ) ( )
ii
mm
ii
ii
f x f x





với mọi
1
, 0, 1,2 , , 1.
ii
m
i
i

x S i m


   



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Quan hệ giữa hàm lồi nhiều biến và hàm lồi một biến
Định lý 1.7 Cho
f
là hàm xác định trên tập lồi
.
n
S  
Điều kiện cần và đủ
để
f
là hàm lồi trên
S
là với mọi
12
,,x x S
hàm một biến
 
: 0;1

 

xác
định bởi
12
( ) ( (1 ) )f x x
   
  
là hàm lồi trên
 
0,1 .

Định lý 1.8 Tổ hợp tuyến tính dương các hàm lồi trên
S
là hàm lồi trên
,S

tức là: Nếu
, 1,2,
i
f i m
là các hàm lồi trên
n
S  
và
0
i


với mọi
1,2 ,im
thì hàm

f
xác định bởi
1
( ) ( )
m
ii
i
f x f x




cũng là hàm lồi trên
.S

Hơn nữa
f
lồi chặt nếu một trong các hàm
i
f
lồi chặt.
Kí hiệu trên đồ thị (epigraph) của hàm
:fS 
là tập
 
1
epi , {( , ): , , ( ) }.f S x x S f x
  
   

Ta có
Định lý 1.9 (Mối liên hệ giữa hàm lồi và trên đồ thị của nó)
Hàm
f
xác định trên tập lồi
n
S  
là hàm lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị của
nó là tập lồi trong
1
.
n


Định lý 1.10 Nếu
 
,
i
f i I
là họ các hàm lồi trên tập lồi
n
S  
thì hàm
f

xác định bởi
( ) sup ( )
i
iI
f x f x



cũng là hàm lồi trên
.S

Định lý 1.11 (Điều kiện cần để hàm
f
lồi)
Cho
f
là hàm lồi xác định trên tập lồi
.
n
S  
Khi đó tập mức dưới

 
: , ( )S x x S f x


  

là tập lồi với mỗi số thực
.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
Chú ý rằng điều kiện để một hàm là hàm lồi trong Định lý 1.11 chỉ là điều

kiện cần, nói chung không phải là điều kiện đủ. Ví dụ hàm lõm đơn điệu tăng,
có tập mức dưới lồi nhưng không phải là hàm lồi.
Định lý 1.12 (Điều kiện cần và đủ để hàm
f
là tựa lồi)
Cho hàm
f
xác định trên tập lồi
.
n
S  
Hàm
f
là tựa lồi trên
S
nếu và
chỉ nếu tập mức dưới của nó là tập lồi với mỗi số thực
.


Định lý 1.13 Cho hàm
f
xác định trên tập
.
n
S  
Hàm
f
tựa lồi trên
S

nếu và chỉ nếu với
, 1, ,
i
x S i n
ta có

{1, , }
1
( ) max ( ),
n
i i i
in
i
f x f x






1
1, 0, 1, , .
n
ii
i
in


  


(1.3)
Hơn nữa,
f
là nửa tựa lồi chặt trên S nếu và chỉ nếu dấu “

” trên được thay
bởi dấu “<”.
Chứng minh (bằng qui nạp)
Với
2n 
hiển nhiên
f
tựa lồi theo định nghĩa.
Giả sử
f
tựa lồi và (1.3) thỏa mãn với
,n
ta phải chứng minh (1.3) đúng với
1,n 
tức là nếu
1
1
1, 0, , 1, , 1
n
i i i
i
x S i n




    

thì
1 1 1 1
{1, , 1}
( ) max ( ).
n n n n i
in
f x x x f x
  


   
(1.4)
Nếu
1
0
n



thì
1
11
1, 0
nn
i i i
ii
  



  

và (1.4) trở thành
11
{1, , 1}
( ) max ( ).
n n i
in
f x x f x


  

Điều này đúng vì theo qui nạp
11
{1, , } {1, , 1}
( ) max ( ) max ( ).
n n i i
i n i n
f x x f x f x

  
   
.
Nếu
1
1
n




thì (1.4) trở thành
1
{1, , 1}
( ) max ( ).
ni
in
f x f x




Điều này hiển nhiên đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
Nếu
 
1
0;1
n



thì
01
0.
n

  
   
Ta có
01
1
n



và
1
0
1.
n
i
i






Đặt
1
1
00
.
n
n
y x x



  
Vì
1
0
1
n
i
i





và
0
0
i



với mọi
1, ,in
nên
1
1
00
.
n

n
y x x S


   

Theo qui nạp ta có
 
{1, , }
( ) max ( ) .
i
in
f y f x


Suy ra
0 1 1 1
{1, , 1}
( ) max{ ( ), ( ) max ( )
n n n i
in
f y x f y f x f x

  

  
(đpcm).
Định lý 1.14 (Liên hệ giữa hàm tựa lồi nhiều biến và hàm tựa lồi một biến)
Hàm
f

tựa lồi trên tập lồi
n
S  
nếu và chỉ nếu với mỗi
12
,,x x S
hàm


xác định bởi
12
( ) ( (1 ) )f x x
   
  
là hàm tựa lồi trên
 
0,1 .

Định nghĩa 1.7 (Cực tiểu địa phương và cực tiểu toàn cục của hàm lồi)
Cho tập
n
S  
. Điểm
xS
được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm
f
trên
S
nếu tồn tại một


-lân cận
()Nx

của điểm
x
sao cho
 
()f x f x

với mọi
( ).x S N x


Nếu điểm
xS
thỏa mãn
 
()f x f x
với mọi
xS
thì
x
được gọi là điểm cực tiểu toàn cục của
.f

Nếu thay dấu
""
bởi dấu
""
ta được định nghĩa điểm cực tiểu địa phương

chặt và điểm cực tiểu toàn cục chặt.
Điểm cực đại địa phương và cực đại toàn cục được định nghĩa tương tự.
Định lý 1.15 Cực tiểu địa phương của hàm lồi
f
trên một tập lồi là cực tiểu
toàn cục. Tập tất cả các điểm cực tiểu là một tập lồi.
Định lý 1.16 Một hàm lồi chặt trên tập lồi
n
S  
nếu có cực tiểu thì cực tiểu
đạt tại duy nhất một điểm trên
.S

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
Định lý 1.17 Giả thiết
f
là hàm tựa lồi chặt xác định trên tập lồi
S
và
f
đạt
cực tiểu địa phương tại
0
.xS
Khi đó
f
đạt cực tiểu toàn cục trên
S

tại
0
.x

Hơn nữa, nếu
f
là nửa liên tục dưới thì tập tất cả các điểm cực tiểu là một
tập lồi.
Hơn nữa, ta có (xem [12])
Định lý 1.18 (Mở rộng của Định lý 1.17) Nếu
f
là hàm tựa lồi chặt xác định
trên tập lồi
S
và
f
đạt cực tiểu địa phương tại
0
xS
thì
0
x
là điểm cực tiểu
toàn cục duy nhất của
f
trên
.S

Định lý 1.19 Dạng toàn phương
()

T
Q x x Bx
với
B
là ma trận đối xứng là
hàm lồi trên
n

nếu và chỉ nếu
B
là ma trận nửa xác định dương.
Hệ quả 1.1 Dạng toàn phương
()
T
Q x x Bx
với
B
là ma trận đối xứng xác
định dương là hàm lồi chặt trên
.
n


Nhận xét 1.2 Hàm lồi
f
xác định trên một tập lồi
n
S  
chưa chắc đã liên
tục tại mọi điểm của

.S

Ví dụ 1.6 Hàm lồi
f
cho bởi công thức
2
2, 1;
()
,1
x
fx
xx









xác định trên tập
 
1 1 .S x x   
Hàm này không liên tục tại hai điểm biên
1
1x 
và
2
1x 

của
.S

Tuy nhiên, ta có
Định lý 1.20 Hàm lồi xác định trên tập lồi mở
n
S  
thì liên tục trên
.S

Do phần trong của một tập lồi
n
S  
bất kỳ đều là tập lồi mở nên ta có hàm
f
xác định trên tập lồi
n
S  
thì liên tục trên phần trong của
.S

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
1.2.2 Đặc trƣng qua đạo hàm
Định nghĩa 1.8 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi
n
S  

, điểm
0
int .xS
Kí
hiệu
00
0
1
( ) ( )
( ) ( , , )
T
n
f x f x
fx
xx



là véctơ cột có các phần tử là đạo hàm
riêng của
f
theo từng biến tại điểm
00
01
( , , ) .
T
n
x x x

Nếu đạo hàm riêng cấp một (cấp hai) của

f
theo từng biến tồn tại và là các
hàm liên tục thì ta nói
f
khả vi liên tục cấp một (cấp hai) tại
0
.xx

Giả sử
f
khả vi liên tục hai lần. Ma trận
0
22
1 1 1
2
00
22
1
( ) ( )
n
n n n
xx
ff
x x x x
f x H x
ff
x x x x








  







  


được gọi là ma trận Hessian của
f
tại
0
.xx

Cho
0
.xS
Hướng
,
n
v
1v 
được gọi là hướng chấp nhận được tại

0
x

nếu
0
x tv S
với
0t 
đủ nhỏ.
Định nghĩa 1.9 Cho hàm
f
xác định trên tập
n
S  
,
0
,xS
v
là hướng
chấp nhận được. Nếu giới hạn
00
0
0
( ) ( )
( ) lim
v
t
f x tv f x
D f x
t





tồn tại thì ta nói
f
khả vi theo hướng
v
tại
0
.xS

Kí hiệu
T
xy
hay
xy
là tích vô hướng của hai véctơ
x
và
.y

Nếu
00
( ) ( )
T
v
D f x v f x
với mọi hướng chấp nhận được
v

thì ta nói
f
khả
vi tại
0
.x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Định lý 1.21 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S  
Hàm
f

là lồi trên
S
nếu và chỉ nếu với mỗi
0
,xS


0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ),
T
f x f x f x x x   

.xS

(Hoặc với mọi
12
,,x x S

2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
T
f x f x f x x x  
).
Định lý 1.22 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S  
Hàm
f

là hàm lồi chặt trên
S
nếu và chỉ nếu với mọi
12
,,x x S

12
,xx

2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ).
T
f x f x f x x x  

Định lý 1.23 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S  
Hàm
f

là lồi trên
S
nếu và chỉ nếu với mọi
12
,,x x S

 
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) 0.
T
f x f x x x   

Định lý 1.24 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.

n
S  
Hàm
f

là lồi chặt trên
S
nếu và chỉ nếu với mọi
1 2 1 2
, , ,x x S x x

 
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) 0.
T
f x f x x x   

Định lý 1.25 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi
,
n
S  
điểm
0
.xS

Điểm
0
x

là điểm cực tiểu toàn cục của
()fx
trên
S
nếu và chỉ nếu
00
( ) ( ) 0
T
f x x x  
với mọi
.xS

Định lý 1.26 (Điều kiện cần và đủ để một hàm vô hướng là lồi)
Giả sử hàm

xác định và khả vi trên khoảng mở
1
.D  
Hàm

là lồi trên
D
nếu và chỉ nếu đạo hàm


của nó là hàm không giảm trên
D
hay
( ) 0x




với mọi
.xD



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Định lý 1.27 (Điều kiện cần và đủ để một hàm khả vi là tựa lồi)
Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S  
Hàm
f
là tựa lồi trên
S
nếu và chỉ nếu với mọi
12
,,x x S

1 2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0.
T
f x f x f x x x   

Định lý 1.28 Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S  
Nếu
f

là tựa lồi thì với mọi
12
,x x S
ta có
12
( ) ( ),f x f x

1
( ) 0fx



1 2 1
( ) ( ) 0.
T
f x x x  

Định lý 1.29 Cho hàm
f
xác định và khả vi liên tục hai lần trên tập lồi mở
.

n
S  
Hàm
f
là lồi trên
S
nếu và chỉ nếu ma trận Hessian
()Hx
là nửa
xác định dương trên
.S

Định lý 1.30 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
,
n
S  
tựa lồi và khả vi
liên tục hai lần trên
.S
Khi đó với mỗi
,xS
ma trận Hessian
2
()fx
có
nhiều nhất một giá trị riêng âm.
Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng điều kiện của Định lí trên không là điều kiện đủ.
Ví dụ 1.7 Cho hàm số

22
12
()f x x x
với
2
.x

Ta có
 
12
( ) 2 , 2 .f x x x  
Ma trận Hessian
2
20
()
02
fx





của nó có một
giá trị riêng âm
1
2


và một giá trị riêng dương
2

2.


Chọn
 
1
0; 1x 

và
 
2
0;1x 
và
 
0 1 2
11
0;0 .
22
x x x  
Hàm
22
12
()f x x x
không phải là
hàm tựa lồi trên
2

vì
   
12

1;f x f x  

 
   
 
0 1 2
0 1 max ;f x f x f x   
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Một điều kiện cần khác để một hàm khả vi liên tục hai lần là hàm tựa lồi được
đưa ra trong định lý dưới đây. (xem [2])
Định lý 1.31 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
n
S  
là tựa lồi và khả vi
liên tục hai lần trên
.S
Khi đó tính chất sau được thỏa mãn:
, , ( ) 0
nT
x S y y f x   
suy ra
2
( ) 0.
T
y f x y

Định lý 1.32 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
n
S  
là tựa lồi và khả vi
liên tục hai lần sao cho
( ) 0fx
với mọi
.xS
Khi đó
f
tựa lồi trên
S
khi
và chỉ khi
, , ( ) 0
nT
x S y y f x   
suy ra
2
( ) 0.
T
y f x y

Hàm giả lồi, giả lồi chặt
Một điểm tới hạn của hàm lồi (điểm dừng, điểm
0
x

mà
0
( ) 0fx
) cũng là
điểm cực tiểu toàn cục. Tính chất này không được thỏa mãn đối với hàm tựa
lồi, hàm tựa lồi chặt và hàm nửa tựa lồi chặt (ví dụ, điểm tới hạn của hàm tựa
lồi chặt
3
()tt


không là cực tiểu toàn cục). Điều này dẫn tới việc nghiên
cứu một lớp suy rộng của hàm lồi là lớp hàm giả lồi. (xem [2])
Định nghĩa 1.10 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
n
S  
và khả vi trên
.S
Hàm
f
được gọi là giả lồi (pseudoconvex function) nếu với mọi
12
,,x x S

1 2 1 2 1
( ) ( ) 0 ( ) ( ).
T
f x x x f x f x    

Điều này tương đương với
2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0.
T
f x f x f x x x   

Nếu bất đẳng thức trên vẫn đúng khi
12
( ) ( )f x f x
thì hàm số được gọi là giả
lồi chặt, ta có định nghĩa sau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Hàm
f
được gọi là giả lồi chặt (strictly pseudoconvex function) nếu với mọi
12
,,x x S

12
,xx

1 2 1 2 1
( ) ( ) 0 ( ) ( ).
T
f x x x f x f x    

Điều này tương đương với: với mọi

12
,,x x S

12
,xx

2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0.
T
f x f x f x x x   

Hàm
f
được gọi là giả lõm (giả lõm chặt) nếu
f
là hàm giả lồi (giả lồi
chặt).
Chú ý rằng khi
21
( ) ( )f x f x
,
12
,x x S
,
12
xx
, từ tính giả lồi chặt suy ra
đạo hàm theo hướng
1 2 1
( ) ( )

T
f x x x
âm, suy ra
f
là hàm giảm tại
1
x
theo
hướng
21
.u x x
Đặc biệt, nếu
1
x
là điểm cực tiểu địa phương thì nó sẽ là
điểm cực tiểu địa phương chặt.
Định lý dưới đây sẽ chỉ ra rằng điểm tới hạn của một hàm giả lồi là điểm cực
tiểu toàn cục (tính chất tương tự như với hàm lồi). (Xem [2])
Định lý 1.33 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
,
n
S  
khả vi theo hướng
trên
S
và
0
xS

là một điểm tới hạn. Nếu
f
là giả lồi thì
0
x
là điểm cực tiểu
toàn cục của
.f
Hơn nữa
0
x
là duy nhất nếu
f
là hàm giả lồi chặt.
Chú ý rằng tính giả lồi yêu cầu phải thỏa mãn điều kiện
21
( ) ( )f x f x


1 2 1
( ) ( ) 0
T
f x x x  
tại tất cả các điểm thuộc miền xác định, trong khi đó
hàm tựa lồi thỏa mãn điều kiện trên khi
1
( ) 0fx
(theo Định lý 1.28). Theo
đó, mối liên hệ giữa hàm tựa lồi và hàm giả lồi được trình bày trong định lý
dưới đây.

Định lý 1.34 (Mối liên hệ giữa hàm tựa lồi và hàm giả lồi)
Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
.
n
S  

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
i) Nếu
f
giả lồi trên
S
thì
f
tựa lồi trên
.S

ii) Nếu
( ) 0fx
với mọi
xS
thì
f
giả lồi trên
S
khi và chỉ khi
f

tựa lồi
trên
.S

Chứng minh
i) Giả sử
f
không phải là hàm tựa lồi, khi đó tồn tại
12
,,x x S

12
( ) ( )f x f x

sao cho
1 2 1
( ) ( ) 0.
T
f x x x  
Đặt
1 2 1
( ) ( ( )),t f x t x x

  

 
0,1t
là hàm thu
hẹp của
f

trên đoạn thẳng
 
12
;.xx
Ta có
1 2 1 2 1
( ) ( ( )) ( ),
T
t f x t x x x x


    

suy ra
1 2 1
(0) ( ) .( ) 0,
T
f x x x


   
chứng tỏ

đạt cực đại tại một điểm
 
0
0,1 .t 
Ta có
0 0 1 2
( ) ( ) ( ) (0) ( ) (1)t f x f x f x

  
    

và
0 0 2 1
( ) ( ) ( ) 0,
T
t f x x x


   

trong đó
0 1 0 2 1
( ).x x t x x  

Mặt khác, do
0 0 2 0 1 2
( ) ( (1 ) ) ( )f x f t x t x f x   
nên áp dụng tính giả lồi của
f
tại các điểm
02
,xx
ta có
0 2 0
( ) .( ) 0
T
f x x x  



0 0 2 1
( ) (1 )( ) 0.
T
f x t x x   

Điều này mâu thuẫn với
0 0 2 1
( ) ( ) ( ) 0.
T
t f x x x


   
Vậy giả sử trên là sai.
ii, Ngược lại là hiển nhiên, theo Định lý 1.28.
Nếu
f
khả vi liên tục hai lần ta có một số đặc trưng sau. (xem [2])
Định lý 1.35 Cho

là hàm khả vi liên tục hai lần xác định trên khoảng mở
I  
. Khi đó

là giả lồi (giả lồi chặt) trên
I
nếu và chỉ nếu với mỗi
0

tI

sao cho
0
( ) 0,t




0
( ) 0t



hoặc
0
( ) 0t



thì
0
t
là cực tiểu địa phương
(hoặc cực tiểu địa phương chặt) tại
0.t 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

Định lý 1.36 Cho
f
là hàm khả vi liên tục hai lần xác định trên tập lồi mở
.
n
S  
Khi đó
f
là giả lồi (giả lồi chặt) trên
S
nếu và chỉ nếu với mỗi
xS
và
n
u
sao cho
( ) 0,
T
u f x

2
( ) 0
T
u f x u
hoặc
2
( ) 0
T
u f x u

thì hàm
( ) ( )t f x tu


đạt cực tiểu địa phương (hoặc cực tiểu địa phương
chặt) tại
0.t 

Định lý 1.37 Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
n
S  
khả vi liên tục hai
lần trên
.S
Khi đó
f
giả lồi (giả lồi chặt) trên
S
nếu và chỉ nếu các điều kiện
sau được thỏa mãn:
i)
, , ( ) 0
nT
x S y y f x   



2

( ) 0.
T
y f x y
(1.5)
ii) Nếu
0
xS
là điểm cực biên của
f
thì
0
x
là điểm cực tiểu địa phương
(cực tiểu địa phương chặt) của
f
trên
.S

Hệ quả 1.2 Cho
f
là hàm khả vi liên tục hai lần xác định trên tập lồi mở
.
n
S  
Nếu
( ) 0fx
với mọi
xS
thì
f

giả lồi trên
S
nếu và chỉ nếu
thỏa mãn điều kiện (1.5).
Trong trường hợp
f
chỉ khả vi theo hướng trên một tập
S
nào đó, người ta
đưa ra định nghĩa hàm giả lồi và giả lồi chặt như sau. (xem [12]).
Định nghĩa 1.11 Hàm khả vi theo hướng
f
xác định trên
S
được gọi là giả
lồi trên
S
nếu với mọi
0
, 1,x S v

0t 
,
0
( ) 0
v
D f x 
suy ra
00
( ) ( ).f x tv f x

(1.6)
Định nghĩa 1.12 Hàm
f
xác định và khả vi theo hướng trên
S
được gọi là
giả lồi chặt trên
S
nếu

0
, 1,x S v

0
0, ( ) 0
v
t D f x
suy ra
00
( ) ( ).f x tv f x
(1.7)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
Mangasarian (xem [6]) đã chỉ ra rằng hàm giả lồi cũng là hàm tựa lồi và nửa
tựa lồi chặt. Từ định nghĩa 1.10 và định nghĩa 1.11 ta có hàm giả lồi chặt là
hàm giả lồi. Ponstein (xem [6]) đã chỉ ra hàm vừa giả lồi vừa tựa lồi chặt là
hàm giả lồi chặt.
Định lý 1.38 (Mối liên hệ giữa hàm giả lồi và nửa tựa lồi chặt, tựa lồi)

Cho hàm
f
xác định và khả vi trên tập lồi mở
n
S  
. Nếu
f
giả lồi trên
S

thì
f
vừa nửa tựa lồi chặt, vừa tựa lồi trên
.S
Điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.8 Hàm
31
( ) ,f x x x
là tựa lồi, nửa tựa lồi chặt nhưng không giả
lồi. Thật vậy, ta có
2
( ) 3 0f x x


với mọi
1
x
. Suy ra
()fx
đồng biến

ngặt, nếu
12
xx
thì
1 2 2 1 2 2
(1 ) ( )x x x x x x
  
     
suy ra
1 2 2
( (1 ) ) ( ).f x x f x

  
Vậy
f
là hàm nửa tựa lồi chặt. Vì
f
liên tục nên
f
cũng là hàm tựa lồi trên
1
.

Hàm
()fx
không phải là hàm giả lồi trên
1

vì chọn
21

0, 0x a x  
ta có
3
21
( ) 0 ( )f x a f x  
nhưng
1 2 1 0 2 2
( )( ) ( ). 0. 0.f x x x f x x x

   

Định lý 1.39 (Tương tự tính chất của hàm lồi và tựa lồi chặt)
Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở
,
n
S  

f
là giả lồi. Khi đó cực tiểu
địa phương của
f
trên
S
cũng là cực tiểu toàn cục.
Định lý 1.40 (Mối liên hệ giữa hàm lồi và hàm giả lồi)
Cho hàm
f
xác định trên tập lồi mở

.
n
S  
Nếu
f
lồi và khả vi thì
f
giả
lồi trên
.S

Thí dụ lớp hàm vừa là hàm giả lồi vừa là hàm giả lõm trên
S

Cho
n
S  
là tập lồi. Hàm
F
trên
S
được xác định bởi
()
T
T
cx
Fx
dx





