Các phương pháp tìm Min,Max của hàm số và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
^]








BÙI LÊ PHẠM MỸ PHƯƠNG
LỚP DH5A2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP
Khóa :2004 – 2008


CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ VÀ ỨNG DỤNG






Giảng viên hướng dẫn: Th. S Vương Vĩnh Phát

Long Xuyên, An Giang
05 - 2008

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin gởi lời cám ơn chân thành đến thầy Vương Vĩnh Phát –
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận của
mình.
Em cũng chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, toàn
thể thầy cô trong khoa sư phạm đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Toán đã tạo
điều kiện để em có thể thực hiện khóa luận này.
Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đóng góp ý kiến
cho khóa luận của em để em được học hỏi thêm, biết được những sai sót của bản
thân mà khắc phục, chuẩn bị cho công việc dạy học và giáo dục sau khi ra trường.
Kế đến, em xin cảm ơn các thầy cô trường THPT Nguyễn Khuyến đã tạo điều
kiện và sẵn sàng giúp đỡ, đ
óng góp ý kiến cho luận văn của em để em được tiến hành
khảo sát.

Cuối cùng, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, thầy cô, bạn bè –
tất cả những người đã động viên, giúp đỡ công sức và tinh thần cho công việc nghiên
cứu của con được hoàn thành tốt đẹp.
Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cô luôn hoàn
thành tốt các nhiệm vụ được giao.
Chân thành cả
m ơn !













Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1
I. Lí do chọn đề tài ................................................................................... 1
II. Đối tượng nghiên cứu............................................................................ 2

III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2
IV. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 2
V. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 2
VI. Giả thuyết khoa học............................................................................... 2
VII. Lợi ích của luận văn .............................................................................. 2
VIII. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2
PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... ...4
A. Cơ sở lí luận .......................................................................................... 4
I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấ
t của hàm số......................... 4
II. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất......................... 4
1. Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số ....................................... 4
2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức.............................................. 6
2.1. Bất đẳng thức Cauchy ............................................................. 6
2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski.................................................... 7
2.3. Các bất đẳng thức lượng giác..................................................8
2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản.....................................9
3. Phương pháp miền giá trị của hàm số............................................... 9
4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ
chẵn................................... 10
5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm .............................. 11
6. Phương pháp tọa độ - vectơ ........................................................... 13
7. Phương pháp lượng giác hóa .......................................................... 14
B. Một số bài toán minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất..................................................................................... 17
C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải toán ........ 33
I. Ứng dụng vào việc giải và biện luận phương trình, bất phương
trình, ....................................................................................................... 33
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương
II. Ứng dụng vào việc tìm điều kiện để hàm số có chứa tham số đồng
biến hoặc nghịch biến trên một khoảng xác định................................... 37
III. Ứng dụng vào một số bài toán trong thực tế ................................... 40
D. Khảo sát thực tế ..................................................................................... 50
I. Mục đích của việc nghiên cứu ......................................................... 50
II. Biện pháp nghiên cứu ...................................................................... 50
III. Kết quả ........................................................................................... 50
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................. 56
HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO.................................................................... 58
PHỤ L
ỤC ......................................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................



Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1 :
TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc
#" #"
PHIẾU HỎI Ý KIẾN GIÁO VIÊN
Em tên : Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MSSV : DTN040604
Em đang thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp : “Các phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó vào thực tiễn “

Kính mong các thầy cô cho biết một số ý kiến về đề tài này :
1/- Đối với học sinh, bài toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài
toán :
A/ Rất khó B/ khó C/ dễ D/ Rất dễ

2/- Số lượng các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các sách giáo
khoa là :
A/ Rất nhiều B/ Nhiều C/ ít D/ Rất ít
3/- Chúng ta có thường gặp bài toán “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ trong các
cuộc thi ( thi tốt nghiệp, đại học, thi học sinh giỏi, … ) hay không ?
A/- Thường xuyên B/ thỉnh thoảng C/ ít khi D/ Không
có
4/- Cung cấp một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là
việc làm :
A/ Rất cầ
n thiết B/ cần thiết C/ ít cần D/ Không cần
5/- Thầy có nhìn nhận gì về mức độ hiểu biết của học sinh đối với các ứng dụng của
toán học trong thực tế, đặc biệt là dạng toán: “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” ?

6/- Theo thầy, việc chỉ ra cho học sinh biết được ứng dụng của việc tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhấ
t trong thực tiễn có ý nghĩa như thế nào ? ( biết liên hệ giữa bài
học và thực tiễn, tăng hứng thú trong học tập, … )

7/- Ý kiến khác về đề tài :

GV ký và ghi rõ họ tên
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

PHỤ LỤC 2:


TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc
#" #"
PHIẾU THĂM DÒ
Họ và tên : …………………………………………Lớp : ………………………
Trường : ………………………………………….. Học lực : ………………….
Xin bạn vui lòng chọn câu trả lời mà bạn cho là thích hợp.
1/- Em có cảm thấy thích giải toán hơn khi có các phương pháp để giải nó ?
A/ Rất thích B/ thích C/ Không thích lắm D/ không
2/- Tự em có nghĩ đến việc hệ thống lại các phương pháp giải một dạng toán nào đó
hay không ?
A/ Thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ không có
3/- Thầy ( cô ) của em có thường hệ thống lại các phương pháp giải từng dạ
ng bài
tập cho các em hay không ?
A/ thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ không có
4/- Đối với bản thân em bài toán : “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài
toán :
A/Rất khó B/ khó C/ dễ D/ rất dễ
5/- Đối với bài toán : “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ , em đã được làm :
A/ nhiều B/ Ít C/ rất ít D/ không có
6/- Em hiểu biết bao nhiêu về ứng dụng của toán học trong thực tiễn ?
A/ Nhiều B/ ít C/ rất ít D/ không biết
7/-
Thầy ( cô ) của em có thường giới thiệu cho các em ứng dụng của toán học trong
thực tiễn hay không ?

A/ Thường xuyên B/ thỉnh thỏang C/ ít khi D/ không có
8/- Nếu biết được một vài ứng dụng của toán học nói chung, của bài toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói riêng thì em có cảm thấy thích học môn toán hơn hay
không ? Vì sao ?


Ký tên


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

PHỤ LỤC 3 :

MỘT SỐ Ý KIẾN

CỦA GIÁO VIÊN

VÀ HỌC SINH

PHỔ THÔNG

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bittinger, Morrel – Applied calculus – third edition.
[2] Doãn Minh Cường (chủ biên). 2003. “ Toán ôn thi đại học ” . NXB Đại
Học Sư phạm.
[3] Hoàng Chúng (chủ biên). 1993. “ Các bài toán cực trị ” . NXB Giáo Dục.
[4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2000. “Tuyển tập 599 bài toán lượng giác ”.
NXB Hải Phòng
[5] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2001. “ Tuyển tập 670 bài toán rời rạc và
cực trị ”. NXB Hải Phòng.
[6] Nguyễn Hữu Điển. 2005. “ Giải toán bằng Đại lượ
ng phương pháp cực
biên ” . NXB Giáo Dục.
[7] Nguyễn Thái Hòe. 2004. “ Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán ”.
NXB Giáo Dục.
[8] Nguyễn Văn Nho. 2002. “ Lê Hoàng Phò – Phương pháp giải toán tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất ”. NXB Giáo Dục.
[9] Phạm Trọng Thư. 2007. “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đại số ”. NXB Đại Họ
c
Sư Phạm.
[10] Phan Huy Khải. 2005. “ Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ”. NXB
Giáo Dục.
[11] Trần Văn Hạo (chủ biên). 2005. “ Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào
đại học ” . NXB Giáo Dục.
[12] Võ Đại Mau – Võ Đại Hoài Đức. 2000. Các phương pháp đặc biệt tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. NXB Trẻ.
[13] Vũ Hữu Bình. 2007. “ Nâng cao và phát triển toán 9 ” .
NXB Giáo Dục.
[14] Ngô Thúc Lanh ( chủ biên ). 2000. Giải tích 12 . NXB Giáo Dục.
[15] Toán học và tuồi trẻ (từ tháng 4 đến tháng 12/2007, từ tháng 1 đến tháng
4/2008 .
[16] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán Học & Tuồi trẻ ( Quyển 1 & Quyển 2) –
NXB Giáo Dục.



Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 1


PHẦN MỞ ĐẦU

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Mục đích của việc giảng dạy môn toán ở trường trung học là dạy học sinh
về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán, giúp học sinh khai
thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn toán và hình thành tư duy logic

cho học sinh.
Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải bài tập. Từ đó, yêu
cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy học sinh ph
ương pháp giải các dạng toán.
Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Trong đó
có rất nhiều dạng rất khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận về số nghiệm của
phương trình, bất phương trình, ... Và dạng bài : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số đó. Các dạng bài tập này được gọi chung
là bài toán tìm cực tr
ị hay bài toán cực trị. Đây thực sự là một chuyên đề khó của
chương trình toán trung học bởi vì các bài toán cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên
cứu của vấn đề này lại rất rộng. Và nó lại là một trong những dạng toán được quan
tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế.
Thế nhưng, sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện
khách quan mà sách giáo khoa không hệ th
ống lại các phương pháp giải. Do đó, việc
cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng toán : “ Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ”. Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài
toán cực trị.
Việc giải các bài toán này đòi hỏi người làm phải vận dụng kiến thức hợp lí,
nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Nó đưa chúng ta xích gần lại với các bài toán
thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “ nhất ” trong những điều kiện nhất định
( nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, … ). Chính điều đó làm cho học sinh
thấy được tính thiết thực của toán học trong cuộc sống. Đồng thời, nó cũng tạo nên
sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải toán.
Trong tương lai, khi vào đời học sinh buộc phải giải quyết nhiều vấn đề do
thự
c tiễn cuộc sống đặt ra. Cho nên, học sinh cần có cách giải quyết tối ưu mới mang
lại thành công trong cuộc sống ( Cách giải quyết tối ưu là những giải pháp đúng nhất,
ít hao phí nhất về : vật liệu, thời gian, công sức, năng lượng, chi phí thiệt hại … ).

Chẳng hạn, những người đi thuyền buồm trên biển phải xác định buồm và bánh lái
sao cho thời gian đến đích là ngắn nhất, nhà s
ản xuất luôn muốn giảm tối đa chi phí
sản xuất, nguyên vật liệu mà vẫn đạt lợi nhuận cao nhất … Những lúc như vậy,
phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tỏ ra hữu ích.
Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy toán trong
tương lai, tôi xin hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
thông qua việc nghiên cứu đề tài : “
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO
THỰC TIỄN.”
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 2

II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng
của nó trong thực tế.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :
Hệ thống hóa các phương pháp giải dạng toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của một đại lượng ”.
Giới thiệu một số ứng dụng của nó trong thực tiễn.
IV. MỤC
ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng toán : “ Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” để học sinh giải toán tốt hơn. Nhờ đó, chất lượng
học tập và giảng dạy môn toán được nâng cao.
Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như ứng dụng của các phương
pháp giải bài toán cực trị nói riêng và của toán học nói chung trong cu
ộc sống. Điều

đó làm cho các em thích thú, say mê học toán hơn, giờ học cũng sinh động hơn. Các
em sẽ học tập tốt hơn.
Rèn luyện kĩ năng tư duy của học sinh khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất ,
giá trị nhỏ nhất.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau :
Nghiên cứu lý luận : Tôi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán
h
ọc, tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn toán, các sách giáo khoa và các
tài liệu hướng dẫn giảng dạy.
Điều tra thực tế.
Trò chuyện, phỏng vấn.
Thống kê toán học.
VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC :
Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớ
n
nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những
bài toán cực trị và học sinh sẽ hứng thú học toán hơn.
VII. LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN :
Luận văn này đề ra các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
mà dựa vào đó, học sinh có thể hệ thống lại các kiến thức có liên quan và có thể giải
được các bài toán cực trị
, kể cả các bài toán trong thực tế. Đồng thời, luận văn này
còn giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ và sự gần gũi giữa toán học và thực tiễn.
VIII. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN :
Lời cảm ơn.
Mục lục.
Phần mở đầu.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 3

Phần nội dung.
A. Cơ sở lý luận.
B. Một số bài toán minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất.
C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải toán.
D. Khảo sát thực tế.
Phần kết luận.
Hệ thống bài tập tham khảo.
Phụ lục.
Tài liệu tham khảo.


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 4


PHẦN NỘI DUNG


A. CƠ SỞ LÝ LUẬN

I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
* Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu :
xD
M = max f(x)

∈
hay
xD
M = max y
∈
) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
11
xD:f(x)M
x D:f(x ) = M
∀∈ ≤
⎧
⎨
∃∈
⎩

* Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu :
xD
m = min f(x)
∈
hay
xD
m = min y
∈
) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
22
xD:f(x)m
x D: f(x ) = m
∀∈ ≥
⎧
⎨

∃∈
⎩

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT :
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng ta có thể sử dụng nhiều
phương pháp khác nhau. Ở đây, tôi xin trình bày bảy phương pháp chính như sau :
1. Phương pháp đạo hàm
:
* Cơ sở của phương pháp này
: chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát
chiều biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng với các giá trị đặc biệt
trên tập xác định của hàm số mà suy ra kết quả.
* Bài toán:
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Hãy tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất.
* Cách giải
:
- Tính
y
′
. Cho
y
′
= 0, tìm các nghiệm
12 n
x , x , ..., x D∈ .
- Lập bảng biến thiên.
- Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số.

* Nếu f(x) có tập xác định D = [a; b] thì không cần lập bảng biến thiên :
- Tìm các điểm tới hạn
12 n
x , x , ... , x
của f(x) trên [a; b].
- Tính
12 n
f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )
.
- Kết luận :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 5

•
}
{
12 n
x[a;b]
max f(x) = max f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )
∈
.
•
}
{
12 n
x[a;b]
min f(x) = min f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )
∈
.

* Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Hàm f
tăng (giảm) trên (a; b) nếu
''
f (x) 0 ( f (x) 0 )
≥≤
với mọi x thuộc đoạn [a; b]
( dấu “ = ” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn [a; b] ).
- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì
xD
min f(x) f(a)
∈
=
và
xD
max f(x) f(b)
∈
=
.
- Nếu f(x) giảm trên đoạn [a; b] thì
xD
min f(x) f(b)
∈
=
và
xD
max f(x) f(a)
∈
=
.

Ví dụ 1
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y x 18 2x
=− −
.
Giải
Tập xác định :
D = [ 3; 3]
−
. Ta có:
2
22
18 2x 2x
4x
y' 1
218 2x 18 2x
−+
−
=− =
−−
.

22
y' 0 18 2x 2x 0 18 2x = 2x=⇔ − + =⇔ − −

22 2
x0
x0 x0
x3

x3
18 2x 4x x 3
x3
≤
⎧
≤≤
⎪
⎧⎧
⎡
⇔⇔⇔⇔=−
=
⎨⎨⎨
−= =
⎢
⎩⎩
⎪
=−
⎢
⎣
⎩
.
Ta có : x =
−
3 thì y =
−
3.
x = 3 thì y = 3.

x = 3−
thì

y = 3 3−
.
Vậy, giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 3 và giá trị nhỏ nhất của y
là
−33
, đạt được khi
−x = 3
.
Ví dụ 2
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2
x+1
y =
xx1++
.
Giải
Tập xác định:
D = 
. Ta có :
22
22 22
2
(x 1) (2 1)( 1) x 2
y' = =
(x 1) (x 1)
x = 0
y' = 0 x 2x = 0
x = 2
x xx x
xx

++ − + + − −
++ ++
⎡
⇔− − ⇔
⎢
−
⎣

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 6

1
0

1
3
−

0

−
2

+
∞

−∞
x

y'


y
0 0

−

+
−
0
Bảng biến thiên:






Dựa vào bảng biến thiên, ta được:
•

Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x = 0.
•

Giá trị nhỏ nhất của y là
1
3
−
, đạt được khi x =
−

2.
LƯU Ý : Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Dùng phương pháp đạo hàm có thể giải
hầu hết các bài tập dạng này.

2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức :
2.1. Bất đẳng thức Cauchy :
Với
i
a0
≥
với mọi i = 1, 2, … , n ta có :
n
12 n 12n
a + a + ... + a n a a ...a≥

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
= =
12 n
a a ... = a
.
* Nếu
12 n
a a ...a = P
không đổi thì
12 n
a + a +...+ a = S
đạt giá trị nhỏ nhất là
n
nP

khi và chỉ khi
n
12 n
a a ... = a P== =
.
* Nếu
12 n
a + a + ... + a = S
không đổi thì
12 n
a a ... a = P
đạt giá trị lớn nhất
là
n
S
n
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
khi và chỉ khi
12 n
S
a a ...=a
n
= ==
.
Ví dụ
: Tìm giá trị nhỏ nhất của
x1 2x
y = 3 3

+ −
+
.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm
x+1
3
và
2x
3
−
, ta được :
x1 2x x1 2x 3
y = 3 3 23 .3 23 63
+− +−
+≥ = =
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
x1 2x
1
33 x12xx
2
+−
= ⇔+=−⇔=
.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là
63
, đạt được khi
1
x

2
=
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 7

LƯU Ý : Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần đặc biệt chú ý đến điều kiện
các
i
a
phải không âm. Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi
phải biến đổi một số bước mới có thể áp dụng trực tiếp.

2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski :
Với
ii
a ,b (i 1, ... , n)
∈ ≥

:
22 2 22 2
11 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b ... a b a a ... a . b b ... b
+++ ≤+++ +++
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
12 n
12 n
aa a

...
bb b
===
.
LƯU Ý
:
Khi dùng bất đẳng thức Bunhiacopski thì có lúc ta chỉ có thể tìm được
giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
A2x3y
= +
biết
22
2x 3y 5
+ ≤
.
Giải :
Ta có :
()
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
222 22
2
2
A2x3y 2.2x3.3y 2 3 x2 y3=+ = + ≤ + +
( Bất đẳng thức Bunhiacopski ).
hay

( )
222
A(23)2x3y 5.525
≤+ + ≤ =
.

2
22
22
x2 y3
xy
xy1
A25
23
xy 1
2x 3y 5
2x 3y 5
⎧
=
==
=
⎧
⎡
⎪
=⇔ ⇔ ⇔
⎨⎨
⎢
==−
+=
⎣

⎩
⎪
+=
⎩
.
Do
2
A25≤ nên
5A5− ≤≤
.
Vậy :min A 5 x y 1=− ⇔ = =− .
max A 5 x y 1
= ⇔==.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
21
A
1x x
= +
−
với
0x1< <
.
Giải :
Ta có :
()()
22
22
21 2 1
A.1xx

1x x 1x x
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎡ ⎤
⎢⎥
=+= + −+ ≥
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎢ ⎥
⎣ ⎦
−−
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦


2
21
.1 x . x
1x x
⎛⎞
≥−+
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
( Bất đẳng thức Bunhiacopski ).
hay
( )
2

A21 A322≥+ ⇒≥+.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 8

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
()
22
2
2
21
21
1x x
2x (1 x)
1x x x
1x
−
=⇔ = ⇔ =−
−
−


21
x x⇔ =−
(vì
0x1
<<
)

( )

x211 x 21
⇔ +=⇔= −
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
322
+
khi và chỉ khi
x21=−
.


2.3. Các bất đẳng thức lượng giác :
* sin u(x) 1
≤
với mọi x D
∈
.
* cos u(x) 1
≤
với mọi
xD∈
. ( trong đó D là tập xác định của u(x) )
* sin u(x) + cos u(x) 2
≤
.
22
2tanx 2tanx
*sin 2x 1
1 tanx 1tanx
= ⇒≤

++
.
22
22
1tanx 1tanx
* cos 2x = 1
1tanx 1tanx
−−
⇒≤
++
.

Ví dụ
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = sin x + cos x
.
Giải
Với mọi
x,
∈

ta có :
2
0sin x1 sinxsin x
≤≤⇒≤
.
và
2
0 cos x 1 cos x cos x
≤≤⇒≤

.
Do đó :
22
y = sin x + cos x sin x + cos x = 1
≥
.
Dấu “ = ” xảy ra khi
⎧
=
=
⎧ ⎧=
⎪⎪⎪
⇔∨
⎨⎨⎨
=
=
=
⎪⎪
⎪
⎩⎩
⎩
2
2
sin x sin x
sin x 0
sin x 1
cos x 1
cos x 0
cos x cos x

⎡
π
⇔ ⇔= ∈
⎢
⎣

sin x = 0
xk(k )
cos x = 0
2
.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi
k( )
2
xk
π
=∈

.
Xét
( )
2
2
y sin x cos x 1 2 sin x . cos x 1 sin 2x 2
=+ =+ =+≤
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
sin 2x 1 x n (n )
42

π π
= ⇔= + ∈

.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 9

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là
2
khi
xn(nZ)
42
π π
= +∈
.

2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản :
(1) a 0.
(2) a b a b .
(3) a b a b .
≥
+≤+
− ≤−

Ở (1) : Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
Ở (2), (3): Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
≥
ab 0
.

LƯU Ý : Dạng (2), (3) cần sử dụng thêm tính chất
= −
aa
;
≤
aa
;
aa
−≤
.

Ví dụ
: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) x 1 x 3 x 5 x 7
= −+ −+ −+ −
.
Giải
Xét
f(x) x 1 x 3 x 5 x 7
=−+−+−+−
.
và
1
f(x) x1 x5 x1 x5 x1x5 4
=−+−=−+−+≥−−+=
.

2
f(x) x3 x7 x3 x7 x3x7 4
=−+−=−+−+≥−−+=

.
Do đó :
12
f(x) f (x) f (x) 4 4 8
= +≥+=
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
(x 1).(5 x) 0 1 x 5
3x5
(x 3).(7 x) 0 3 x 7
−−≥ ≤≤
⎧⎧
⇔ ⇔≤≤
⎨⎨
−−≥ ≤≤
⎩⎩
.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của f(x) là 8, đạt được khi
∈
x[3;5]
.

3. Phương pháp miền giá trị của hàm số
:

Định nghĩa miền giá trị của hàm số : Cho hàm số y = f(x) có miền xác
định D. Khi đó hàm số có miền giá trị :
{ }
f(D) y /y f(x),x D
=∈ = ∈


.

Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là
tìm điều kiện để phương trình
0
yf(x)
=
có nghiệm ( với
0
y là một giá trị tùy ý của
hàm số
yf(x)=
trên tập xác định D ). Sau đó, từ điều kiện tìm được biến đổi về một
trong các dạng sau :
1.

Nếu
0
yM
≤
thì
xD
max f (x) M
∈
=
.
2.

Nếu

0
m
y
≥
thì
xD
min f (x) m
∈
=
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 10

3.

Nếu
0
my M
≤ ≤
thì
xD
max f(x) M
∈
=
và
xD
min f (x) m
∈
=

.
LƯU Ý :
Phương trình
( )
2
ax +bx + c = 0 a 0
≠
có nghiệm khi và chỉ khi
∆≥0
.
Phương trình
asin x + b cos x = c
có nghiệm khi và chỉ khi
222
abc
+≥
.

Ví dụ
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
2x x 1
y
xx1
+−
=
−+
.
Giải :

Tập xác định :
D = 
( do
2
2
13
xx1x
24
⎛⎞
− += − +
⎜⎟
⎝⎠
> 0 với mọi
x ∈ 
).
Gọi
0
y là một giá trị bất kì của hàm số đã cho. Khi đó, có
x
∈

sao cho
phương trình
2
0
2
2x x 1
y
xx1
+ −

=
− +
có nghiệm.
hay phương trình
2
000
(2 y )x (1 y )x 1 y 0 (1)
−++−−=
có nghiệm x.
0
y2:
=
(1) trở thành
330 1x x− =⇔=
. Do đó nhận
0
2y
=
. (*)
0
y2:
≠
(1) có nghiệm khi và chỉ khi
2
000
(1 y ) 4(2 y )(1 y ) 0
+ +− + ≥


2

00
0
96y 3y 0
1y 3.
⇔ +− ≥
⇔− ≤ ≤

Do đó, với
00
y [ 1;3](y 2),
∈ −≠
phương trình (1) có nghiệm. (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
0
y [ 1;3]
∈−
.
Vậy min y = – 1 và max y = 3.

4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn :
Ta biến đổi đưa về các biểu thức có số mũ chẵn dạng :
(1)
2k 2l
M = m +A +B ( k, l ,
+
∈

m là hằng số ). Khi đó :
Mm
≥

.
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là m khi và chỉ khi
A=0
B=0
⎧
⎨
⎩
.
(2)
2k 2l +
M = m A B ( k, l ,
−− ∈

m là hằng số ). Khi đó :
Mm
≤
.
Vậy M đạt giá trị lớn nhất là m khi và chỉ khi
A=0
B=0
⎧
⎨
⎩
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 11


Ví dụ 1

: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
22
A = 4 5x 2y 2xy 8x 2y
− −+++

với
x,y∈

.
Giải :
Ta có :
22
A = 4 5x 2y 2xy 8x 2y
−−+++


22 2 2
4 (x y 2xy) (4x 8x) (y 2y)
=− + − − − − −


222
= 9 (x y) 4(x 1) (y 1) 9
− −−−−−≤
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
xy0
x1 x y1
y1
−=

⎧
⎪
= ⇔==
⎨
⎪
=
⎩
.
Vậy giá trị lớn nhất của A là 9, đạt được khi x = y = 1.

Ví dụ 2
: Cho 2 số x, y thỏa mãn
22
2
1
84
4
xy
x
+ +=
. Xác định x, y để tích xy
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải :
Ta có :
()
22 2 22
22
11
8x y 4 4x 2 4x y 4xy 4xy 2 0
4x 4x

⎛⎞
++ =⇔ + −+ ++ − −=
⎜⎟
⎝⎠

()
2
2
11
4xy2x 2xy 22xy
2x 2
⎛⎞
⇔=− ++−≥−⇔≥−
⎜⎟
⎝⎠

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
111
2x x x
2x 2 2
2x y y 1 y 1
⎧⎧⎧
= ==−
⎪⎪⎪
⇔∨
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
−= =− =
⎩⎩⎩

Vậy giá trị nhỏ nhất của xy là
1
2
− , đạt được khi và chỉ khi

()
1
x,y ; 1
2
⎛⎞
= −
⎜⎟
⎝⎠
hoặc
()
1
x,y ;1
2
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
.

5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm :

Hàm lồi :
- Định nghĩa
: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D . f(x) gọi là lồi
với mọi

12
12 1 2
xx
x D x ,x D : f(x ) f(x ) 2f
2
+
⎛⎞
∈⇔∀ ∈ + ≥
⎜⎟
⎝⎠
.
- Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lồi với mọi x D
∈ là:
y" f "(x) 0=> với mọi x
∈D.
- Tính chất :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 12

12 n
12 n 1 2 n
x x ... x
x , x ,..., x D,f(x ) f (x ) ... f (x ) nf
n
+++
⎛⎞
∀∈+++≥
⎜⎟
⎝⎠

.
Nếu
12 n
x x ... x
nf m
n
+++
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(hằng số) thì tổng
12 n
S f(x ) f(x ) ... f(x )= +++
có giá trị nhỏ nhất là m, đạt được khi
12 n
x x ... x= ==
.

Hàm lõm :
- Định nghĩa
: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D . f(x) gọi là lõm
với mọi
12
12 1 2
xx
xD x,x D:f(x)f(x)2f
2
+
⎛⎞

∈⇔∀ ∈ + ≤
⎜⎟
⎝⎠
.
- Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lõm với mọi
Dx ∈
là:
y" f "(x) 0=<
với mọi x
∈
D.
- Tính chất
:
12 n
12 n 1 2 n
x x ... x
x , x ,...,x D,f (x ) f (x ) ... f (x ) nf
n
+++
⎛⎞
∀∈+++≤
⎜⎟
⎝⎠
.
Nếu
12 n
x x ... x
nf M
n
+++

⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
( hằng số ) thì tổng
12 n
S f(x ) f (x ) ... f (x )=+++có giá trị lớn nhất là M, đạt được khi
12 n
x x ... x===.
Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Jensen.

BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN :
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và n điểm
12 n
x , x , ...,x
tùy ý trên [a; b],
các số thực không âm
12 n
, , ..., (n 2)λ λλ≥ sao cho
12
+ + ...+ =1.
n
λ λλ

Nếu
f "(x) > 0
trong khoảng (a; b) thì :
( )
11 2 2 n n 11 22 nn
f(x ) + f(x ) +... + f(x ) f x + x +... + xλλ λ≥λλ λ

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12
x ...
n
x x
= ==.
Nếu
f "(x) < 0
trong khoảng (a; b) thì :
( )
11 2 2 n n 11 22 nn
f(x ) + f(x ) + ... + f(x ) f x + x +...+ xλλ λ≤λλ λ.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12 n
x x ... x= == .
Khi giải toán ta cũng có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Jensen nhưng để
cho đơn giản ta thường dùng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức này.

Ví dụ
: Cho tam giác ABC là tam giác nhọn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = tan A + tan B + tan C.
Giải
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 13

Xét hàm số :
f(x) = tan x , x 0; .
2

π
⎛⎞
∈
⎜⎟
⎝⎠
Ta có :

2
1
f '(x)
cos x
=
.

43
2cos x. sin x 2sin x
f "(x) = 0
cos x cos x
= >
với mọi
x0;
2
π
⎛⎞
∈
⎜⎟
⎝⎠
.
Do đó f(x) là hàm lồi trên
x0;

2
π
⎛⎞
∈
⎜⎟
⎝⎠
.
Suy ra :
A + B + C
f(A) + f(B) + f(C) 3f
3
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
.
hay
A + B + C
tan A + tan B + tan C 3tan 3tan 3 3
33
π
⎛⎞
≥==
⎜⎟
⎝⎠
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
A = B = C =
3
π

.
Vậy min M =
33
khi A = B = C = ( ABC
3
π
∆
đều ).

6. Phương pháp tọa độ - vectơ:
Cho hai vectơ
12
a(a,a)=
r
và
12
b (b ,b )=
r
. Ta có các bất đẳng thức sau :
(1)
a. b a . b
≤
rr r r
. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
12 21
ab ab 0
−=
.
(2)
ab a b

+ ≤+
rr r r
. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a , b
ur ur
cùng hướng
hay
12 21
11
22
ab ab 0
ab 0
ab 0
− =
⎧
⎪
≥
⎡
⎨
⎢
⎪
≥
⎣
⎩
.

Ví dụ 1
: Tìm giá trị nhỏ nhất của
44 2 2
A = cos x cos y sin x sin y+++ với
mọi x, y∈


.
Giải :
Xét các vectơ :
22 2 2
a (cos x;cos y), b (sin x;0), c (0;sin y)===
r rr
.
a b c (1;1)++=
r rr
.
Ta có :
abc a b c ++ ≤ + +
rrr r r r
.
hay
44 4 4
2 cos x cos y sin x sin y≤+++
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 14

4422
cos cos sin sin 2xyxy⇔+++≥
.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a, b, c
r ur r
cùng hướng
x k
(k, l )

y l
=π
⎧
⇔∈
⎨
=π
⎩

.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là
2
, đạt được khi và chỉ khi
xk,yl(k,l )= π=π ∈


LƯU Ý :
*
Ta cũng có thể biến đổi
2
2
AB AB=
uuur
, kết hợp với các qui tắc vectơ, các
hằng đẳng thức, các bất đẳng thức hiển nhiên để đánh giá. Chú ý các điểm chèn:
trung điểm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, …
* Khoảng cách giữa
AA
A(x ;y )
và
BB

B(x;y)
là :
22
BA B A
AB (x x ) (y y )=−+−
.
* Khoảng cách từ điểm
000
M(x;y)
đến đường thẳng
():Ax By C 0∆++=

là:

00
22
Ax By C
d
AB
+ +
=
+
.
*
AB BC AC
+≥
. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn AC.
* Các dạng phương trình đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng Oxy.

Ví dụ 2

: Cho
ABC
∆
và M là điểm tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của
222
P = MA + MB + MC .
Giải
Gọi G là trọng tâm của
ABC∆
. Ta có :
( ) ( ) ( )
()
22 2
222
2222 222
P = MA + MB + MC = MG +GA + MG +GB + MG + GC
= 3MG + GA + GB + GC + 2MG GA + GB GC GA + GB + GC .
=
+≥
uuuur uuur uuuuruuur uuuuruuur
uuuur uuur uuur uuur
Dấu “ = ” xảy ra khi
MG
≡
.
Vậy
222
min P GA GB GC
=++
khi

MG≡
.

7.

Phương pháp lượng giác hóa :
Thông thường, bằng cách đặt ẩn phụ, một số bài toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất có thể đưa về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ
thuận lợi hơn nhờ các công thức và bất đẳng thức quen thuộc.
LƯU Ý :
•
Cần lưu ý đến giới hạn cung, góc, điều kiện.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 15

•
Dựa vào điều kiện ta có thể đặt ẩn phụ như sau :
x1≤→
đặt
xsinthayxcost
= =
.
≤→
x a
đặt
xasint hay xacost= =
.
22
xy1

+=→
đặt
xsint=
và
xcost
=
.
22 2
xy a
+=→
đặt
xasint=
và
yacost
=
.
x ∈→

đặt
xtant hayxcott= =
.

Ví dụ 1
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
()
6
3
2
1x
y =

1x
+
+
.
Giải :
Đặt x tan=α, ta có :
()()
()
24
624
24
32
22
4
4224
2
22 22
2
sin sin
1
1tan 1tan tan
cos cos
y
1
1tan 1tan
cos
cos sin .cos sin
sin cos 3sin .cos
3
1sin2.

4
α α
−+
+α−α+α
α α
== = =
+α +α
α
=α−αα+α=
=α+α−αα=
=− α

Vì
2
0sin2 1≤α≤ nên
2
13
1sin21
44
≤ −α≤.
Vậy, max y = 1 khi và chỉ khi
sin 2 0α=
hay k(k )
2
π
α =∈

và min y =
1
4

khi và chỉ khi
22
sin 2 1 cos 2 0 k
42
π π
α= ⇔ α= ⇔α= +
.
Ví dụ 2
: Cho x, y thỏa
22
x2y4+ = . Tìm giá trị lớn nhất của
2
f(x,y) x y
2
=− .
Giải
Ta có:
2
2
22
xy
x2y4 1
2
2
⎛⎞
⎛⎞
+=⇔ + =
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠
⎝⎠
. Đặt x2cosa,y 2sina==.
Khi đó :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 16

()
221
f x, y 2cosa . 2 sin a 2cos a sin a 5 cosa sin a
2
55
⎛⎞
=− =−= −
⎜⎟
⎝⎠
.
Mà
22
21
1
55
⎛⎞⎛⎞
+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
nên có thể đặt
21
cos b, sin b

55
=−=.
Do đó :
( ) ( ) ( )
f x, y 5 cos b.cosa sin b.sin a 5 cos a b 5=+=−≤.
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
245 10
ab k2 x 2. ,y
55
5
−= π⇒= = =− .
Vậy
max f (x, y) 5=
.

#
Các phương pháp nêu trên đều có ưu, nhược điểm riêng. Tùy theo đặc điểm
của từng bài mà ta có thể lựa chọn phương pháp phù hợp nhất.

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát

SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 17


B. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA CÁCH DÙNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT :

I. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM :

Bài 1: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c 3+ +≤. Tìm giá trị lớn nhất
của
222
222
a1aa 1 b1bb 1 c1cc 1
P
a1 b1 c1
++ + ++ + ++ +
=++
+++
.
Giải :
Ta có :
222
222
a1aa 1 b1bb 1 c1cc 1
P
a1 b1 c1
+ ++++++++
=++
+++
=
=
222
a1 b1 c1
abc
a1 b1 c1
+ ++
+ ++++

+++
.
Đặt T =
222
a1 b1 c1
a1 b1 c1
+++
++
+ ++
.
Xét hàm số
2
x1
f(x)
x1
+
=
+
có tập xác định là D =

.
2
2
2
22
x
x1 (x1)
x1
1x
f'(x)

x1
(x 1) x 1
+− +
+
−
==
+
+ +
.
f'(x) 0 x 1=⇔=.
Bảng biến thiên:




Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :
f(x) 2≤ với mọi x ∈

.
Suy ra :
2
a1
2. (1)
a1
+
≤
+

1
+∞

−∞
f(x)
x
f(x)
′
0
−
+
2
1
−
1