Hàm lồi và tính chất cực trị của chúng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
==========






TRẦN THỊ HUỆ




HÀM LỒI VÀ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ
CỦA CHÚNG








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
==========






TRẦN THỊ HUỆ




HÀM LỒI VÀ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ
CỦA CHÚNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC












Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a, b ∈ R
n
a, b ∈ R
n

x ∈ R
n
{x|x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} .
C ⊆ R
n
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R
2
R
3
x
1
, x
2
, , x
k
x =
k

j=1
λ
j
x
j
, λ
j
≥ 0, ∀j = 1, , k,
k


j=1
λ
j
= 1.
∀k ∈ N, ∀λ
1
, , λ
k
> 0 :
k

j=1
λ
j
= 1, ∀x
1
, , x
k
∈ C ⇒
k

j=1
λ
j
x
j
∈ C.
C ⊆ R
n
R

n
R
m
A ∩ B = {x|x ∈ A; x ∈ B} ,
λa + βb = {x|x = λa + βb, a ∈ A, b ∈ B, λ, β ∈ R} ,
A × C = {x ∈ R
m+n
|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a, b ∈ R
n
x ∈ R
n
{x|x = λa + (1 − λb), λ ∈ R} .
M ∈ R
n
∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ M.
{x
0
}
R
n
M = ∅ M = L+a
a ∈ M
R

x ∈ R
n
|a
T

x = α

.
a ∈ R
n
α ∈ R
α
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

x ∈ R
n
| a
T
x ≥ α

a = 0 α ∈ R

x|a
T
x > α

x
1
, x
2
, , x
k
x =
k


j=1
λ
j
x
j
,
k

j=1
λ
j
= 1, λ
j
∈ R.
C ⊆ R
n
affC.
C = ∅
affC =

k

j=1
λ
j
x
j
x
1
, x

2
, , x
k
∈ C,
k

j=1
λ
j
= 1, ∀k ∈ N

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
, x
1
, , x
k
A ∈ R
n
dimA ≤ n
∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C.
C ⊆ R
n
x ∈ C
N
C
(x) = {ω|ω, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} .
N

C
(x)
C x
R
2
C = R
2
+
N
C
(0) = {ω|ω, y − 0 ≤ 0, ∀y ∈ C}
=

ω|
2

i=1
ω
i
y
i
≤ 0

= {ω|ω
i
≤ 0, i = 1, 2} .
C
C C
C
C ⊆ R

n
a ∈ C
C U ⊆ C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C intC
intC = {x|∃r > 0 : x + rB ⊂ C} ,
a C a
C C
C C
C
C C
C C
R
n
C
R
n
affC
a ∈ C
C C
C
riC = {a ∈ C|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
riC = {a ∈ affC|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} .
C C C \riC
C C
C = riC
C riC = intC
R
3

C =

x ∈ R
3
| − 1 ≤ x
1
≤ 1, −1 ≤ x
2
≤ 1, x
3
= 0

.
(x
1
, x
2
) R
3
affC =

x ∈ R
3
|x
3
= 0

.
intC = ∅
riC =


x ∈ R
3
| − 1 < x
1
< 1, −1 < x
2
< 1, x
3
= 0

= ∅
C ⊆ R
n
C ⊆ R
n
x ∈ riC
y ∈ C
riC 0 ≤ λ < 1 (1 − λ)riC + λC ⊂
riC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
D =

x ∈ R
n
|a
j
, x ≤ b
j
, j = 1, , m


.
m a
j
(j = 1, , m)
b
T
= (b
1
, , b
m
)
D = {x ∈ R
n
|Ax ≤ b} .
R
n
S ⊆ R
n
S
k + 1
S
k
=

x ∈ R
k
|x ≥ 0,

k

j=1
x
j
≤ 1

x
j
R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F ⊆ C
C F
∀x, y ∈ C : tx + (1 − λ)y ∈ F, ∃0 < t < 1 ⇒ [x, y] ⊂ F.
C F
(x, y) F [x, y]
F C F = ∅, F = C
x
0
∈ C
x, y ∈ C
x
0
= λx + (1 − λ)y, 0 < λ < 1.
C C
C V (C)
C
C =

(x, y, z) ∈ R
3

|x, y, z ∈ [0, 1]

F
1
=

(x, y, z) ∈ R
3
|x, y ∈ [0, 1], z = 0

C
F
2
=

(x, y, z) ∈ R
3
|y ∈ [0, 1], x = 1, z = 0

C
x
0
∈ C a
T
x = α
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C x
0
a
T

x
0
= α, a
T
x ≥ α, ∀x ∈ C.
C x
0
∈ C x
0
C a
T
x ≥ α
C x
0
C
i
⊆ R
m
(i = 1, , k)
C = C
1
× × C
k
F = F
1
× × F
k
F
i
C

i
d = 0
∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0 ⇒ x + λd ∈ C.
∃x ∈ C, ∀λ ≥ 0 ⇒ x + λd ∈ C.
V (C) U(C)
C = coV (C) + coneU(C),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
T
x = α
a
T
x ≤ α ≤ a
T
y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
a
T
x = α
a
T
x < α < a
T
y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
a
T
x = α
sup
x∈C
a
T

x < α < inf
y∈D
a
T
y.
R
n
C ∩ D = ∅
C ⊂ R
n
x
0
∈ C t ∈ R
n
, t = ∅
t, x ≥ t, x
0
, ∀x ∈ C.
C ∩ D = ∅
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C ⊂ R
n
0 ∈ C t ∈ R
n
, t = 0 α > 0
t, x ≥ α > 0, ∀x ∈ C.
m × n
a ∈ R
n
Ax ≥ 0, a

T
x < 0 x ∈ R
n
A
T
y = α, y ≥ 0 y ∈ R
n
.

x|a
T
x ≥ 0

{x|Ax ≥ 0}
α
A
T
x ≥ 0 ⇒ a
T
x ≥ 0 A
T
y = α, y ≥ 0.
C ⊂ R
n
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}
domf = {x ∈ C|f(x) < +∞} .
domf f
epif = {(x, µ) ∈ C × R|f(x) ≤ µ} .
epif
f(x) = +∞ x ∈ C f

domf = {x ∈ R
n
|f(x) < +∞} ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
epif = {(x, µ) ∈ R
n
× R|f(x) ≤ µ} .
∅ = C ⊆ R
n
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}
f epif R
n+1
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
f [λx + (1 − λ)y] < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
η > 0 ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) :
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) −
1
2
ηλ(1 − λ)  x − y 
2
.

f −f
f(x) = a
T
x+α, a ∈ R
n
, α ∈
R ∀x, y ∈ R
n
, ∀λ ∈ (0, 1)
f [λx + (1 − λ)y] = a
T
(λx + (1 − λ)y) + α
= λa
T
x + (1 − λ)a
T
y + α
≤ λa
T
x + (1 − λ)a
T
y + λα + (1 − λ)α
≤ λ[a
T
x + α] + (1 − λ)[a
T
y + α]
≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
f R
n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∀x, y ∈ R
n
, ∀λ ∈ (0, 1)
−f [λx + (1 − λ)y] = −a
T
(λx + (1 − λ)y) − α
= −λa
T
x − λα − (1 − λ)a
T
y − (1 − λ)α
≤ −λf(x) − (1 − λ)f(y)
≤ λ(−f)(x) + (1 − λ)(−f)(y).
−f R
n
f R
n
C = ∅
f(x) =



0 x ∈ C
+∞ x ∈ C
δ
C
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) δ
C
(x) = 0, δ

C
(y) = 0.
λx + (1 − λ)y ∈ C
δ
C
[λx + (1 − λ)y] = 0 = λδ
C
+ (1 − λ)δ
C
(y).
∀x ∈ C, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1)
δ
C
(x) = 0, δ
C
(y) = +∞, δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ +∞.
δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ λδ
C
+ (1 − λ)δ
C
(y).
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1)
δ
C
(x) = +∞, δ
C

(y) = +∞, δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ +∞.
δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ λδ
C
+ (1 − λ)δ
C
(y).
δ
C
R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞} C
∀x, y ∈, ∀α > f(x), ∀β > f(y), ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα+(1−λ)β.
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
C ∈ R
n
η η
f ∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ C
f [(1 − λ)x + λy] ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) −
1
2
ηλ(1 − λ)  x − y 
2
.

η = 0 f f
η > 0 f η
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
domf = ∅ f(x) > −∞, ∀x
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
epif R
n+1
f
f
e
(x) =



f(x) x ∈ C
+∞ x ∈ C
f
e
(x) = f(x), ∀x ∈ C f
e
R
n
f
e
f f
e

f
f R
n
domf domf
R
n
epif
domf = {x|∃µ ∈ R : (x, µ) ∈ epif} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f R
n
L
f
(α) = {x|f(x) ≤ α} , l
f
(α) = {x|f(x) < α} .
α ∈ R ∪ {−∞, +∞}
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}
R
n
f (λx) = λf(x), ∀x ∈ R
n
, ∀λ > 0.
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}
f (x + y) ≤ f(x) + f(y), ∀x, y.
f(x) = x , x ∈ R
n
∀x ∈ R
n
, λ > 0

f(λx) = λx = λ  x = λf(x).
∀x, y ∈ R
n
f(x + y) = x + y ≤ x  +  y  .
f
f R
n
f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}
x ∈ C x
k
⊂ C, x
k
→ x
lim inf f(x
k
) ≥ f(x).
f x −f
x
f x ∈ C x
k
⊂ C, x
k
→ x
lim sup f(x
k
) ≤ f(x).
f x
x

f
f g R
n
g
f epig = epif.
f epif = epif f
f.
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
epif R
n+1
f = f.
α L
α
(f) = {x|f(x) ≤ α}
f R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f R
n
f x ∈ ri(domf)
f : R
n
→ R
x x
 f(x) − f(y) ≤ L  x − y , ∀x, y ∈ U.
f
f R
n

D ⊆ domf
f
f : R
n
→ R f
R
n
f g −∞
∀x ∈ C
(f + g) = f(x) + g(x),
(λf) (x) = λf(x), ∀0 = λ ∈ R.
f g
A ∩ B = ∅ (λf) + (βg) A ∩ B, ∀λ, β > 0
f
i
: C → R (i ∈ N) {f
i
(x)}
x ∈ C f(x) = lim
i→−∞
f
i
(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên