HÀNH TRÌNH học TOÁN của DAVID

A) HÀNH TRÌNH HỌC TOÁN CỦA DAVID
David bắt được 2 con kiến bỏ vào trong cái lọ để nuôi. David muốn chúng
phải đẻ ra thêm 1 con kiến khác nữa và David biết rằng để làm dc điều đó thì
2 con kiến đó phải là 1 con kiến đực và 1 con kiến cái. Ko may là David ko có
cách nào để kiểm tra giới tính của 2 con cả. Thế là David đã tự hỏi mình 1
câu hỏi :" Xác suất để 2 con kiến đó là đực và cái là bao nhiêu?". David liền
viết ra những khả năng có thể về giới tính của 2 con kiến :
- TH1 : Là 2 con đực (Đực - Đực)
- TH2 : Đực - Cái (OK)
- TH3 : Cái - Cái
Trong 3 trường hợp trên, David nhận thấy rằng chỉ có duy nhất trường hợp 2
là điều mà anh ta mong muốn. Như vậy xác suất để có cả 2 con cái và con
đực sẽ là (1 trường hợp)/(3 trường hợp) = 1/3 = 33.33%
David cảm thấy xác suất quá thấp, nên anh ta quyết định bắt thêm 1 con
kiến nữa bỏ vào lọ. Như vậy trong lọ sẽ có tổng cộng là 3 con kiến. David
tiếp tục tự hỏi điều tương tự rằng: Liệu bây giờ xác suất sẽ là bao nhiêu để
chúng có thể đẻ thêm 1 con kiến nữa( tức là phải có ít nhất 1 con đực và ít
nhất 1 con cái)? Lần này sẽ có 4 khả năng là :
- TH1 : Đực - Đực - Đực
- TH2 : Đực - Đực - Cái (OK)
- TH3 : Đực - Cái - Cái (OK)
- TH4 : Cái - Cái - Cái
Và chỉ có 2 trường hợp thỏa mãn mong muốn của David, đó là TH2 và TH3.
Do đó xác suất sẽ là 2/4 ( =1/2) = 50%
Vì xác suất vẫn ko đảm bảo, nên David lại tiếp tục bắt thêm 1 con kiến nữa,
tổng cộng là 4 con. Cũng như cách suy luận trên, thì ta có được 3 trường hợp
trên 5 trường hợp thỏa mãn yêu cầu. Xác suất : 3/5 = 60%
Sau đó, David đã tiếp tục thử bắt với nhiều lần khác nhau. David thu được
kết quả
Nếu có 5 con, thì xác suất để có ít nhất 1 cái và 1 đực là 4/6 (66.7%)
Nếu có 6 con, thì xác suất để có ít nhất 1 cái và 1 đực là 5/7 (71.4%)

Nếu có 7 con, thì xác suất để có ít nhất 1 cái và 1 đực là 6/8 (75%)

Đến đây thì anh ta quan sát những kết quả thu được : 1/3 ; 2/4 ; 3/5 ; 4/6 ;
5/7 .v.v Và anh ta chợt rút ra 1 điều :
Nếu gọi x là số lượng kiến có trong lọ và y là xác suất để chúng có thể
đẻ thêm những con kiến khác (có cái-đực) thì
David là 1 người có kiến thức căn bản về mặt phẳng tọa độ, anh ta đã thử vẽ
hàm y= (x-1)/(x+1) trên trục x,y.
Với x luôn là số tự nhiên 1,2,3,4 David có được đồ thị dưới đây
David có những nhận xét sau:
1) Dù số lượng kiến có nhiều đến mấy thì xác suất vẫn không bao giờ chạm
được 100% (tức 1)
2) Nếu chỉ có 1 con kiến trong lọ thì xác suất sẽ là 0%.
3) Nếu số lượng kiến ở trong lọ càng nhiều thì xác suất để chúng có cái-đực
càng cao

B) HÀNH TRÌNH HỌC TOÁN CỦA TUẤN
Hôm nay Tuấn đến trường để học Toán. Tiết toán hôm nay Tuấn sẽ học về
hàm phân thức P(x)/Q(x). Đó là dạng hàm số dc viết dưới dạng tỉ số của 2
hàm đa thức. Và hàm được xác định khi Q(x) khác 0, rồi đường tiềm cận
ngang dọc sẽ là bla bla.
Cô giáo yêu cầu Tuấn và các bạn hãy vẽ đồ thị của hàm y= (x -1)/ (x+1)
(với x thuộc N), sau đó hãy tìm giao điểm của đồ thị và trục hoành (x), tìm
lim của hàm nếu x tiến tới +oo, hàm số sẽ đồng biến, nghịch biến trên
khoảng nào
Sau khi vẽ xong, Tuấn nhận xét:
1) Lim x->+oo f(x) = 1
2) Giao điểm là (1,0)
3) Hàm số đồng biến(tăng) trên [0 ;+oo

So sánh :
Bây giờ chúng ta hãy so sánh CÁCH HIỂU và TIẾP CẬN của David và Tuấn về
cùng 1 vấn đề, về hàm y= (x-1)/(x+1) (x thuộc N)
a/ CÁCH HIỂU
Hãy lần lượt xem 3 nhận xét của 2 người khác nhau ở chỗ nào :
Nhận xét 1:
David : Dù số lượng kiến có nhiều đến mấy thì xác suất vẫn không bao giờ
chạm được 100% (tức 1)
Tuấn : Lim x->+oo f(x) = 1
Sự khác biệt giữa 2 người về chữ "hiểu" về việc tại sao giới hạn của hàm khi
x tiến tới vô cực sẽ bằng 1 nằm ở chỗ:
- David đã có 1 cách hiểu vô cùng đơn giản và thú vị, đó là
Các bạn có thể thấy ai ai, GIỎI TOÁN hay KHÔNG GIỎI TOÁN cũng có thể
hiểu được điều này. Đây là 1 cách hiểu khác về đường tiệm cận y=1. Nó giải
thích tại sao giá trị của y ko bao giờ đạt được 100% (tức 1) mà không cần
đụng tới những công cụ Toán học. Cách hiểu của David là cách hiểu về 1 vấn
đề thực tế gắn liền trong cuộc sống của con người, nó rất gần gũi.
Bây giờ hãy xem cách giải thích thông thường của Tuấn
Đây là những cách giải toán học thuần túy mà hầu hết chúng ta đều sử dụng
trong ghế nhà trường. Tới đây thì có thể thấy là bạn cần phải có học và thuộc
những quy tắc, kiến thức để có thể hiểu được cách giải của Tuấn. Cách hiểu
duy nhất của Tuấn là cách hiểu theo góc độ "Toán học", chấm hết. Ngoài ra
Tuần chẳng có 1 sự HÌNH DUNG hay LIÊN TƯỞNG nào khác về những gì Tuấn
đang học.
Nhận xét 2 :
David : Nếu chỉ có 1 con kiến trong lọ thì xác suất sẽ là 0%.
Tuấn : Giao điểm là (1,0)
Tương tự, ta có cách hiểu của David như sau
Và của Tuấn
Các bạn thấy sự khác biệt chứ? David luôn có sự liên tưởng về những thứ

mình đang làm, về vấn đề bao quanh nó chứ ko chỉ về mặt Toán học như
Tuấn.
Nhận xét 3 :
David: Nếu số lượng kiến ở trong lọ càng nhiều thì xác suất để chúng có cái-
đực càng cao
Tuấn: Hàm số đồng biến(tăng) trên [0 ;+oo
Bằng trực giác ,(intuitively), ko cần tính toán hay nhìn đồ thị, David vẫn biết
được ngay là khi x tăng thì y tăng, đơn giản là vì "số kiến càng đông thì xác
suất để có con đực và con cái càng cao". Còn Tuấn thì phải khảo sát đồ thị,
hoặc dùng f ' (x) để xét hàm số đồng biến hay nghịch biến trên 1 điểm hay 1
khoảng nào đó.
[Và còn vô số nhận xét khác nữa mà bạn có thể thấy sự khác biệt]
Tóm lại, cách hiểu của David là cách hiểu ko chỉ riêng về Toán mà còn vấn đề
liên quan tới nó.
Cách hiểu của Tuấn là cách hiểu thuần túy toán học, không có sự liên tưởng
nào khác.
b) TIẾP CẬN
Ở phần trên, chúng ta hay nói rằng " David có sự liên tưởng về những thứ
anh đang làm". Tại sao lại như vậy? Hãy cùng nhau nhìn lại quá trình học
Toán của 2 người nhé.
David : đầu tiên, anh đã TỰ TÌM HIỂU 1 VẤN ĐỀ THỰC TẾ rồi sau đó anh mới
rút ra LÝ THUYẾT .Hãy nhớ lại cách David tiếp cận toán như thế nào : ban
đầu anh có 2 con kiến,anh muốn chúng đẻ con, anh đã tự đặt những câu hỏi
và tự xét từng trường hợp rồi cuối cùng rút ra được công thức y=(x-1)/(x+1)
này. Chính vì thế, David mới có được SỰ LIÊN TƯỞNG giữa THỰC TẾ và LÝ
THUYẾT. Do đó, David càng hiểu rõ hơn về bản chất những gì mình đang
làm/học.
Tuấn : anh được dạy trực tiếp về điều này mà không cần thông qua 1 vấn đề
nào (hãy nhìn SGK của nước ta thì các bạn sẽ thấy rõ). Cô giáo của anh chỉ
nói về những khái niệm và định nghĩa của hàm này 1 cách đơn thuần. Anh

đến trường chỉ để học cách giải những bài toàn khác nhau bằng những công
cụ toán học thuần túy. Vì không được thông qua 1 vấn đề nào cả với những
gì anh đang học, nên anh hoàn toàn chỉ gói gọn mình trong mớ công thức đó
và hoàn toàn ko có sự LIÊN TƯỞNG nào giữa THỰC TẾ và LÝ THUYẾT. Tuấn
ko thể hiểu rõ hoàn toàn bản chất những gì Tuấn đang học/làm.
Ví dụ nhé, khi bạn thấy 1 hàm số có dạng y = ax+b thì bạn có thể liên tưởng
ngay đến s(t)=vt + xo đúng ko? Cái này dễ!
Bây giờ giả sử cái hàm ở trên của David và Tuấn, y = (x-1)/(x+1). Mình dám
chắc rằng ko phải ai cũng có thể hình dung đến 1 vấn đề tương tự như vấn
đề về xác suất con kiến ở trên.
Phức tạp hơn 1 chút nữa, y = (x²+x)/(x-1)² có thể áp dụng được cho cái gì?
Nói thẳng ra là các bạn chẳng hiểu quái gì về nó ngoại trừ về góc độ toán học
cả.
Sợi dây kết nối giữa Thực tế và Lý thuyết làm cho việc học trở nên hứng thú
hơn, nó sẽ phát triển và hoàn thiện những tiềm năng của con người đến mức
cao hơn , chẳng hạn như kích thích trí sáng tạo.
Ví dụ vấn đề về con kiến ở trên, nó kích thích ta tự đặt những câu hỏi vô
cùng sáng tạo để từ đó tìm ra những cái mới ( những câu hỏi này không nhất
thiết phải có câu trả lời):
1) Ta thấy rằng giả sử trong lọ có 2 con kiến, ta bắt thêm 1 con bỏ vào lọ là
thành 3 con, khi đó xác suất sẽ tăng từ 33% đến 50%, tăng gần 20% . Trong
khi đó giả sử trong lọ có 200 con kiến, ta bắt thêm 1 triệu con vào thì xác
suất chỉ tăng từ 99% đến 99.99%, chỉ tăng có 0.99%.
=> Tại sao ta chỉ bắt thêm 1 con mà xác suất nó lại tăng cao như vậy, trong
khi ta bắt thêm cả triệu con thì xác suất vẫn ko thay đổi đáng kể? Lẽ nào
càng về sau thì "giá trị" của những con kiến càng giảm ?
2) David sau khi đã tìm được xác suất để có con đực, con cái trong lọ là
y=(x-1)/(x+1), anh đã tự hỏi tiếp 1 câu hỏi thú vị khác " Vậy xác suất để
chúng đẻ ra con đực, con cái là bao nhiêu?"
3) Sáng tạo ko chỉ về mặt suy nghĩ, mà con về cái "nhìn", trí tưởng tượng

(imagination). chẳng hạn như đã nói, càng về sau thì xác suất tăng càng
chậm. Lúc đó ta sẽ có 1 "hình ảnh" trong đầu như thế này :
.v.v
KẾT LUẬN:
Đây chỉ là 1 ví dụ đơn giản (còn rất nhiều vấn đề phức tạp khác) để chỉ ra sự
khác biệt giữa 2 cách học khác nhau mà mình muốn chia sẽ với các bạn. Tôi
thấy nhiều bạn nói toán học là một môn rất khô khan, nhưng thật ra, chính
tay bạn đã làm toán khô khan vì chính bạn đã lấy đi "dòng nước" của toán
học. Tôi muốn các bạn khi học toán, các bạn hãy để dòng nước đó chảy trong
suy nghĩ của bạn và đừng bao giờ đánh mất nó.
Tôi không nói rằng kỹ năng giải toán là ko quan trọng, cả 2 đều quan
trọng. Ý tôi muốn nói ở đây là, kỹ năng giải toán của bạn sẽ chẳng có
ý nghĩa gì nếu như bạn chẳng "hiểu" gì về nó .Nếu bây giờ cho thang
điểm 10 về GIẢI TOÁN và HIỂU TOÁN, tôi thà sở hữu 5/10 kỹ năng giải toán
và 9/10 hiểu toán còn hơn là 10/10 kỹ năng giải toán và 2/10 hiểu toán.
Thú thật là khi tôi gặp ai đó có khả năng giải toán cực giỏi, dc mệnh danh là
thợ giải toán, tôi chẳng bao giờ cảm thấy nể họ cả. Vì tôi biết rằng những
người người như vậy nhiều lắm, còn những người như David thì rất hiếm và
ít. Và thực tế thì chính những người hiểu toán mới làm nên những thành tụ vĩ
đại, vì họ luôn có cái nhìn sáng tạo và luôn có khuynh hướng đi tìm cái mới
chứ ko rập khuôn như những người thợ giải toán.
Y= x-1/ x+1