ỔN ĐỊNH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (777.38 KB, 95 trang )
B GIÁO DC VÀ ÀO TO
TRNG I HC VINH
Vinh – 2008
2
LI NÓI U
Vic tính toán và thit k các công trình nói chung, c bit là thit k nhà
cao tng không ch thit k theo iu kin bn và iu kin cng mà mt iu
quan trng là phi m bo iu kin n nh và rung ng. c bit là tác ng
ca gió bão, ng t. Xut phát t nhng yêu cu ó vic trang b cho k s
xây dng nhng kin thc c bn v n nh và ng lc hc công trình là ht
sc cn thit.
Tài liu “n nh và ng lc hc công trình” biên son là chuyên
hp nhm bi dng thêm kin thc v thit k n nh và dao ng ca công
trình. Tài liu c biên son vi ni dung chính bao gm:
Phn 1: n nh công trình
Phn 2: ng lc hc công trình
Tác gi xin chân thành cm n “ D án giáo dc i hc theo nh hng
ngh nghip Vit Nam - Hà Lan” ã tài tr v kinh phí cho cun tài liu hoàn
thành và chân thành cm n GS.TS Nguy n V!n Phó, PGS.TS Dng V!n Th
ã có nhiu ý kin óng góp cho vic biên son tài liu và ã c bn tho cho
bn in này. Tuy ã có nhiu c g"ng song không tránh kh#i nhng thiu sót rt
mong bn c quan tâm góp ý kin.
Tác gi
Nguyn Trng Hà - B môn kt cu xây dng
(*) Tài liu biên son trong chng trình d án giáo d$c i hc nh hng
ngh nghip Vit Nam – Hà Lan.
3
MC LC
Li nói u………………………………………………………………………….
M$c l$c……………………………………………………………………
Kí hiu dùng trong tài liu…………………………………………………
CHNG 1: M U MÔN HC N NH CÔNG TRÌNH
1.1 M% u…………………………………………………………………
1.2 Mt s khái nim v C hc kt cu, n nh công trình……………….
1.3 Phân loi v mt n nh công trình…………………………………….
1.3.1 Mt n nh loi mt…………………………………………………….
1.3.2 Mt n nh loi hai……………………………………………………
1.4 Khái nim v b&c t do…………………………………………………
1.4.1 Khái nim………………………………………………………………….
1.4.2 Mt s ví d………………………………………………………………
1.5 Các tiêu chí v s cân bng n nh…………………………………….
1.5.1 Biu hin tnh hc…………………………………………………………
1.5.2 Tiêu chí di dng nng lng………………………………………….
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 1………………………………………
CHNG 2: CÁC PHNG PHÁP NGHIÊN CU
2.1 M% u………………………………………………………………….
2.2 Ni dung các phng pháp nghiên cu…………………………………
2.2.1 Các phng pháp tnh hc……………………………………………….
2.2.2 Các phng pháp nng lng…………………………………………
2.2.3 Các phng pháp ng lc hc…………………………………………
2.3 V&n d$ng phng pháp t'nh hc khi gii bài toán n nh……………
2.3.1 Phng pháp thit lp và gii các phng trình vi phân……………
2.3.2 Phng pháp thit lp và gii các phng trình i s……………
2.3.3 Phng pháp Sai phân hu hn…………………………………………
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 2………………………………………
CHNG 3: N NH CA CÁC THANH THNG
3.1 M% u………………………………………………………………….
3.2 Phng trình tng quát ca (ng àn hi trong thanh chu un dc….
3.3 n nh ca các thanh th)ng có liên kt % hai u khác nhau………….
3.3.1n nh thanh thng có liên kt cng hai u……………………….
3.3.2 n nh thanh thng có liên kt àn hi……………………………….
2
3
6
8
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
11
11
12
12
12
12
12
12
12
13
14
18
20
21
21
21
22
22
24
4
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 3………………………………………
CHNG 4: N NH CA H THANH THNG
3.1 M% u…………………………………………………………………
3.2 Mt s gi thit khi tính toán n nh khung ph)ng…………………….
3.2 Cách tính n nh khung ph)ng theo phng pháp lc…………………
3.2.1 Các cách xác nh chuyn v trong thanh chu un cùng vi nén
hoc kéo……………………………………………………………………………
3.2.2 Tính n nh ca khung theo phng pháp lc………………………
3.3 n nh khung ph)ng theo phng pháp chuy*n v…………………….
3.3.1 Thit lp phn t m!u cho dùng cho phng pháp chuyn v……….
3.3.2 Tính n nh ca khung theo phng pháp chuyn v………………
3.3.3 n nh ca dm liên tc trên gi cng theo phng pháp chuyn
v………………………………………………………………………………………
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 4………………………………………
CHNG 5: M U V NG LC HC CÔNG TRÌNH
5.1 M% u………………………………………………………………….
5.2 Các dng ti trng ng…………………………………………………
5.3 Các dng dao ng……………………………………………………
5.4 Khái nim v phng pháp tính toán c bn trong dao ng công trình
5.4.1 Phng pháp tnh…………………………………………………………
5.4.2 Phng pháp nng lng……………………………………………….
5.5 B&c t do ca h àn hi………………………………………………
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 5………………………………………
CHNG 6 DAO NG CA H CÓ MT BC T DO
6.1 M% u………………………………………………………………….
6.2 Phng trình vi phân tng quát ca dao ng…………………………
6.3 Dao ng t do không lc cn………………………………………….
6.3.1 "nh ngha dao ng t do………………………………………………
6.3.2 Phng pháp xác nh……………………………………………………
6.4 Dao ng t do có lc cn………………………………………………
6.5 Dao ng cng bc không lc cn chu lc kích thích P(t) = Psinrt…
6.5.1 M u……………………………………………………………………
6.5.2 Phng pháp xác nh phng trình dao ng ……………………
6.5.3 Cách xác nh h s ng………………………………………………
28
29
29
29
30
30
31
33
33
35
39
40
41
41
41
41
42
42
43
43
43
44
44
44
45
45
45
47
47
48
48
48
5
6.6 Mt s ng d$ng trong k thu&t ca lý thuyt dao ng………………
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 6………………………………………
CHNG 7: DAO NG CA H CÓ MT S BC T DO
7.1 M% u…………………………………………………………………
7.2 Phng trình vi phân tng quát ca dao ng có n b&c t do………….
7.3 Dao ng riêng ca h có n b&c t do…………………………………
7.3.1. Phng trình c bn ca dao ng riêng……………………………
7.3.2 Cách s dng tính cht i xng ca h……………………………….
7.4 Dao ông cng bc ca h chu lc P(t) = Psinrt………………………
7.4.1 Nhim v bài toán………………………………………………………
7.4.2 Biu thc ni lc ng và chuyn v ng……………………………
7.4.3H phng trình chính t#c xác nh các lc quán tính……………
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 7………………………………………
CHNG 8 DAO NG CA KHUNG VÀ DM LIÊN TC
8.1 M% u………………………………………………………………….
8.2 Dùng phng pháp chuy*n v * tính dao ng ca khung…………….
8.2.1 Dao ng c$ng bc……………………………………………………
8.2.2 Phng trình biên chuyn v và ni lc khi chu ti trng c$ng
bc……………………………………………………………………………………
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 8………………………………………
PH LC…………………………………………………………………
TÀI LIU THAM KHO………………………………………………
49
51
52
52
53
53
53
54
54
56
57
57
57
58
62
63
63
64
68
72
95
6
CÁC KÝ HIU VÀ I LNG DÙNG TRONG TÀI LIU
1. H to
z Tr$c thanh
x, y H tr$c chính trung tâm tit din
;
ρ θ
To cc
2. Các c trng v t liu
E Môdun àn hi khi kéo nén (môdun Young);
µ
H s bin dng ngang
G Môun àn hi khi trt
α
H s gin n% vì nhit ca v&t liu
3. Các c trng hình hc
A Din tích mt c"t ngang
S Mômen t'nh ca tit din
I Mômen quán tính
W Mômen chng un
S
x
, S
y,
Mômen t'nh i vi tr$c x và tr$c y
I
x
, I
y
Mômen quán tính i vi tr$c x và tr$c y
W
x
Mômen chng un ca tit din trong mt ph)ng yz
W
y
Mômen chng un ca tit din trong mt ph)ng xz
4. Ngoi lc và ph!n lc
P Ti t&p trung
q Ti phân b
M Mômen t&p trung
m Mômen phân b
R Phn lc gi ta
R
Phn lc gi ta n v
P
tc
Ti trng tiêu chu+n
P
t
Ti trng tính toán
5. Các "ng su#t
, ,
p
σ τ
,ng sut toàn phn, ng sut pháp, ng sut tip
tl
σ
Gii hn t- l
ch
σ
Gii hn chy
b
σ
Gii hn bn
7
6. Ni lc
M,N,Q Các thành phn ni lc trong bài toán ph)ng
, ,
M N Q
Các thành phn ni lc do lc n v gây ra
7. Bi$n dng và chuy%n v
Ψ
Bin dng xoay t- i
ε
Bin dng dc t- i
γ
Bin dng trt t- i
l
∆
Bin dng dài on thanh
θ
Góc xo"n t- i ca thanh
km
∆
Chuy*n v tng ng vi v trí và phng ca lc P
k
do lc P
m
km
δ
Chuy*n v tng ng vi v trí và phng ca lc P
k
do lc P
m
8
PHN I N NH CÔNG TRÌNH
CHNG 1: M U V MÔN HC N NH CÔNG TRÌNH
1.2 M& 'u
Khi thit k kt cu công trình, nu ch ki*m tra iu kin bn và iu kin
cng không thôi thì cha * phán oán kh n!ng làm vic ca công trình.
Trong nhiu tr(ng hp, c bit kt cu chu nén hoc cùng nén un. Khi ti
trng cha t n giá tr phá hoi và có khi còn nh# hn giá tr cho phép v
iu kin bn và iu kin cng nhng kt cu v.n mt kh n!ng bo toàn hình
dng ban u % trng thái bin dng mà chuy*n sang dng cân bng khác. Ni
lc trong dng cân bng mi ó s/ phát tri*n rt nhanh và làm cho công trình b
phá hoi. Thì ó là hin tng kt cu b mt n nh.
Trong chng m% u này chúng ta s/ nghiên cu nhng vn sau:
- Mt s khái nim v c hc kt cu, n nh công trình
- Phân loi mt n nh
- Các tiêu chí v s cân bng n nh.
1.2 Mt s( khái nim v) C* hc k$t c#u, +n nh công trình
* nghiên cu bài toán n nh công trình trc ht ta i tìm hi*u nhng
khái nim c bn sau ca c hc công trình:
a. Khái nim v bn công trình: iu kin nhm m bo cho công trình
không b phá hoi di s tác ng ca các nguyên nhân bên ngoài: Ti trng,
chuy*n v…
b. Khái nim v cng công trình: iu kin nhm m bo cho công trình s0
d$ng mt các bình th(ng trong quá trình s0 d$ng di s tác ng ca các
nguyên nhân bên ngoài: Ti trng, chuy*n v…
c. Khái nim v n nh công trình: iu kin nhm m bo cho công trình
có kh n!ng gi c v trí ban u hoc gi c dng cân bàng ban u trong
trng thái bin dng tng ng vi ti trng tác d$ng.
1.3 Phân loi v) m#t +n nh công trình
T hai quan nim khác nhau v trng thái ti hn ng(i ta phân loi thành
mt n nh loi mt và mt n nh loi hai nh sau:
1.3.1 Mt n nh loi mt
9
Các c trng v hin tng mt n nh loi mt hai gi là mt n nh Euler
nh sau:
- Dng cân bng có kh n!ng phân nhánh
- Phát sinh dng cân bng mi khác dng cân bng ban u v tính cht
- Trc trng thái ti hn dng cân bng ban u là duy nht và n nh sau
trng thái ti hn dng cân bng ban u là không n nh.
Mt s ví d$ v các dng mt n nh loi mt nh:
- Mt n nh chu nén úng tâm
- Mt n nh bin dng i xng
- Mt n nh dng un ph)ng.
1.3.2 Mt n nh loi hai
Các c trng ca hin tng mt n nh loi hai nh sau:
- Dng cân bng không phân nhánh
- Bin dng và cân bng ca h không thay i v tính cht.
Nh v&y nhim v$
chính ca môn hc này là
nghiên cu các phng
pháp xác nh ti trng
ca công trình. Thông s
ti hn là an toàn v
mt n nh ca công trình i vi mt nhóm lc nht nh.
1.4 Khái nim v) b c t do
1.4.1 Khái nim
B&c t do ca h là thông s hình hc c l&p * xác nh tt c các
i*m ca h khi h mt n nh.
1.4.2 Mt s ví d
H gm hai thanh tuyt i cng liên kt vi nhau trên (hình 1.3) có mt
b&c t do vì % trng thái mt n nh ((ng nét t) ta có th* xác nh c v
! "
#
$$
10
trí ca toàn b h theo mt thông s (chuy*n v
1
y
ca khp hay góc xoay
1
ϕ
ca
mt trong hai thanh.
Trong thc t công trình xây dng là h có
vô cùng b&c t do song trong nhiu tr(ng hp
ta có th* a h v mt s b&c t do hu hn *
nghiên cu gn úng.
1.5 Các tiêu chí v) s cân b,ng +n nh
Trong bài toán n nh công trình có hai tiêu chí v cân bng n nh là
tiêu chí cân bng bi*u hin t'nh hc và tiêu chí cân bng bi*u hin n!ng lng.
1.5.1 Biu hin tnh hc
S cân bng c mô t di dng phng trình cân bng t'nh hc. Song
các iu kin cân bng này cha nói lên c dng cân bng ó là n nh hay
không n nh. * kh)ng nh vn này ta cn kho sát nó % trng thái lch
kh#i dng cân bng ang nghiên cu. * hi*u rõ vn này ta hãy xét mt ví d$
Cho thanh tuyt i cng không trng lng,
thanh c liên kt hai u (hình 1.4). cng liên
kt ngàm àn hi (giá tr ca mômen xut hin trong
liên kt khi tit din % liên kt xoay mt góc bng
n v) bng k. Kho sát s cân bng khi
; ;
k k k
P P P
l l l
< = >
.
Xét thanh % trng thái lch gn vi trng thái cân bng ban u lúc này
thanh b nghiêng mt góc
θ
, trong liên kt ngàm àn hi xut hin phn lc
k
−
θ
.
Thit l&p iu kin cân bng
0
. sin
M P k P l k
δ θ θ θ
= ∗ − = ∗ −
Nhng góc
θ
là góc nh# nên
sin 0
θ
=
, do ó ta có:
0
P l k
θ θ
∗ − =
suy ra
k
P
l
∗
=
;
ó là lc cn thit * gi cho h % trng thái lch v&y ta có:
khi
k
P
l
<
, tc là
P P
∗
<
thì h % trng thái cân bng n nh;
khi
k
P
l
=
, tc là
P P
∗
=
thì h % trng thái cân bng phim nh;
khi
k
P
l
>
, tc là
P P
∗
>
thì h % trng thái cân bng không n nh.
%
ϕ
&'()*
θ
δ
+
, /
11
1.5.2 Tiêu chí di dng nng lng
Nh ta ã bit, nguyên lý chuy*n v kh d' và tính cht th n!ng toàn phn
ca h t giá tr cc tr là nhng bi*u hin v s cân bng. Tuy nhiên, c hai
bi*u hin này u cha nói lên c trng thái cân bng ang xét là n nh hay
không n nh. * gii quyt vn ó ta phi dùng nguyên lý Lgi!ng -
irichlê.
Nu h % trng thái cân bng n nh thì th n!ng toàn phn t giá tr cc
ti*u so vi tt c các v trí ca h % lân c&n v trí ban u vi nhng chuy*n v vô
cùng bé. Nu h % trng thái cân bng không n nh thì th n!ng toàn phn t
giá tr cc i còn nu % trng thái cân bng phim nh thì th n!ng toàn phn
không i.
Xét trng thái lân c&n sau:
U V T
δ δ δ
= −
(1.1)
Trong ó,
U
δ
- s gia ca th n!ng bin dng,
T
δ
- s gia ca công ngoi lc.
Nh v&y theo nguyên lý Lgi!ng - irichlê.
Nu
V T
δ δ
>
thì trng thái cân bng là n nh.
Nu
V T
δ δ
<
thì trng thái cân bng là không n nh.
Nu
V T
δ δ
=
thì trng thái cân bng là phim nh.
Trong giáo trình này s cân bng n nh ch yu ch xét bi*u di n di
dng t'nh hc còn bi*u di n di dng n!ng lng ch có tính cht tham kho.
CÂU H-I ÔN TP VÀ THO LUN NHÓM CHNG 1
1. Khái nim v n nh và mt n nh?
2. S cn thit nghiên cu n nh công trình?
3. Các tiêu chí v n nh công trình?
4. B&c t do ca h?
12
CHNG 2: CÁC PHNG PHÁP NGHIÊN CU
2.1 M& 'u
Hin nay, khi gii quyt các bài toán n nh công trình ta có th* v&n d$ng
nhiu phng pháp tính khác nhau. Nguyên lý ca các phng pháp này u xây
dng trên c s% các bi*u hin v s cân bng n nh.
Trong chng này chúng ta s/ c nghiên cu nhng phng pháp s0
d$ng bi*u hin cân bng n nh di dng t'nh hc gi là phng pháp tnh
hc. Nhng phng pháp s0 d$ng bi*u hin cân bng n nh di dng n!ng
lng gi là phng pháp nng lng. Còn nhng phng pháp s0 d$ng bi*u
hin cân bng n nh di dng ng lc hc là phng pháp ng lc hc.
2.2 Ni dung các ph*ng pháp nghiên c"u
2.2.1 Các phng pháp tnh hc
Ni dung ca phng pháp này nh sau: To cho h ang nghiên cu mt
h trng thái cân bng lch kh#i dng cân bng ban u, xác nh giá tr ca lc
(lc ti hn) có kh n!ng gi h % trng thái cân bng mi. Lc ti hn c xác
nh t các phng trình c trng hay gi là phng trình n nh bi*u th iu
kin dng cân bng mi.
Có th* v&n d$ng các phng pháp t'nh hc di nhiu hình thc khác nhau
tuy nhiên chúng ta s/ nghiên cu các phng pháp sau:
- Phng pháp trc tip thit l&p và gii các phng trình vi phân.
- Phng pháp thit l&p và gii các phng trình i s.
- Phng pháp sai phân.
2.2.2 Các phng pháp nng lng
Theo các phng pháp này ta cn cho trc dng bin dng ca h % trng
thái lch, c!n c vào dng bin dng gi thit này ta thit l&p các bi*u thc th
n!ng bin dng và công ca ngoi lc * vit iu kin ti hn ca h theo các
bi*u hin di dng n!ng lng ã xét % chng 1, t iu kin ti hn ta xác
nh dc ti trng ti hn cn tìm.
2.2.3 Các phng pháp ng lc hc
Ni dung tóm t"t ca phng pháp này nh sau: Áp d$ng các phng pháp
nghiên cu trong ng lc hc công trình, thit l&p phng trình giao ng riêng
ca h thanh chu lc nén, xác nh ti trng ti hn t iu kin tn s giao
ng riêng bng không.
2.3 V n d.ng ph*ng pháp t/nh hc khi gi!i bài toán +n nh
13
2.3.1 Phng pháp thit lp và gii các phng trình vi phân
Theo phng pháp này ta tin hành theo th t 5 bc nh sau:
1. Thit l&p phng trình vi phân ca (ng bin dng ca h % trng thái
bin dng lch kh#i trng thái ban u.
2. Tìm nghim ca phng trình vi phân.
3. Thit l&p các phng trình xác nh nhng hng s tích phân và phn lc
gi ta cha bit t các iu kin biên. Tt nhiên s lng iu kin biên
cn thit phi bng tng s các hng s tích phân và các phn lc liên kt
cha bit.
4. nh thc ca các h s ca h phng trình thun nht phi bng không
( ) 0
D
α
=
(2.1)
α là h s ca phng trình, ph$ thuc các c trng hình hc và ph$ thuc ti
trng di dng hàm siêu vit. Phng trình (2.1) là phng trình c trng hay
phng trình n nh ca h theo phng pháp t'nh.
5. Phng trình n nh (2.1) * tìm các lc ti hn.
Cách gii này th(ng c áp d$ng cho nhng h có vô cùng b&c t do, do
ó v mt lý thuyt ta có th* tìm c vô s lc ti hn, song ch có lc ti hn
th nht (nh# nht) mi là lc ti hn có ý ngh'a thc ti n.
Phng pháp này là phng pháp chính xác, áp d$ng thích hp cho nhng
thanh n gin. Trong các chng di ây, khi nghiên cu s n nh ca các
kt cu c$ th* ta s/ v&n d$ng phng pháp này là ch yu.
Ví d 2.1
Xác nh lc ti hn nh# nht ca thanh có mt u t do và mt u ngàm
nh trên (hình 2.1), EI=const
* xác nh lc
th
P
trc tiên ta cn thit l&p phng trình vi phân ca
(ng àn hi. Cho thanh lch kh#i dng cân bng (ng th)ng và tìm mômen
un ti tit din bt k1 có hoành z:
( ) ( )
M z P y
δ
= − −
.
T giáo trình Sc bn v&t liu ta ã bit:
"
( )
EJy M P y
δ
= − = −
Do ó phng trình vi phân ca (ng bin dng có
dng nh sau:
" 2 2
y y
α α δ
+ = . Vi
P
EJ
δ
=
$ /
+
δ
0
0
%
%
14
Nghim ca phng trình vi phân
" 2 2
y y
α α δ
+ =
là
cos sin
y A z B z
α α δ
= + +
,
trong ó, A và B (là các hng s tích phân) và δ là i lng cha bit. * xác
nh chúng ta vit các iu kin biên:
khi z = 0 ; y = 0 và y’= 0
khi z = l ; y =
δ
T ó suy ra:
0
0
cos sin
A
B
A l B l
δ
α
α α δ δ
+ =
=
+ + =
Phng trình n nh:
1 0 1
( ) 0 1 0 cos 0
cos sin 0
D l
l l
α α
α α
= = − =
suy ra
(2 1)
2
l k
π
α
= −
vi
1,2,3
k
=
Lc ti hn nh# nht tng ng vi khi cho
1
k
=
. Nh v&y, ta tìm c
.
2
P
l l
EJ
π
α
= =
suy ra
2
2 2
2,467
4
th
EJ EJ
P
l l
π
= =
2.3.2 Phng pháp thit lp và gii các phng trình i s
Theo phng pháp này ta tin hành theo th t sau:
1. To cho h mt trng thái bin dng lch kh#i dng ban u. Trng thái
này c xác nh theo các chuy*n v ti mt s hu hn các i*m.
2. C!n c vào các iu kin cân bng, iu kin bin dng ta thit l&p c
h phng trình i s liên h gia các chuy*n v ti nhng i*m kho sát.
Nu xác nh chuy*n v ti n i*m và b# qua các vô cùng bé b&c cao ca
các chuy*n v thì h phng trình i s ó có th* a v dng tng quát
nh sau:
11 11 12 2 1
21 11 22 2 2
1 11 2 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
i i n ni
i i n ni
n n i nn i ni
a y a y a y
a y a y a y
a y a y a y
λ
λ
λ
− + + + =
+ − + + =
+ + + − =
(2.2)
Trong ó
1
λ
- i lng ph$ thuc thông s ca lc ti hn th i,
15
ki
y
- chuy*n v ti i*m th k ca (ng bin dng tng ng vi ti trng
ti hn th i,
kn
a
- các h s ph$ thuc kích thc hình hc và cng ca h.
H phng trình thun nht (2.2) c th#a mãn vi hai tr(ng hp:
* Tr%ng hp th nht: Tt c các nghim
ki
y
u bng không. Lúc này h ang
xét không có dng cân bng n nh mi khác dng ban u ngh'a là h cha
mt n nh.
* Tr%ng hp th hai: Các nghim
ki
y
tn ti. Lúc này h ang xét có dng cân
bng mi khác dng ban u ngh'a là h % trng thái ti hn. iu kin * cho
h phng trình thun nht (2.2) có các nghim
ki
y
khác không là nh thc các
h s ca (2.2) phi bng không.
11 12 1
21 22 2
1 2
( )
( )
0
( )
i n
i n
n n nn i
a a a
a a a
D
a a a
λ
λ
λ
−
−
= =
−
(2.3)
Phng trình (2.3) là phng trình c trng hay phng trình n nh ca
phng pháp thit l&p và gii phng trình i s.
Gii phng trình n nh (2.3) ta s/ xác nh c n giá tr ca
i
λ
và t ó suy
ra n giá tr ca lc ti hn.
Mun tìm bin dng ca h tng ng vi lc ti hn
i
P
, ta thay giá tr ca
i
P
vào (2.2) ta s/ c h phng trình liên h gia các chuy*n v
ki
y
. H
phng trình này không xác nh nhng nu cho trc giá tr ca mt chuy*n v
nào ó, ch)ng hn cho trc
li
y
thì ta có th* xác nh các chuy*n v còn li theo
li
y
và s/ tìm c dng bin dng ca h.
* Nhn xét: Phng pháp này th(ng c áp d$ng cho nhng h có s b&c t
do hu hn.
Ví d 2.2
Xác nh giá tr ca lc ti hn và dng mt n nh tng cho h v/ trên
(hình 2.2a), cho bit cng ca các thanh bng vô cùng còn cng ca c hai
liên kt àn hi bng k.
H có hai b&c t do ta dùng chuy*n v
1
y
và
2
y
còn các gi àn hi làm hai
thông s * tính toán (hình 2.2b). Lúc này phn lc ti các liên kt àn hi:
1 1
R ky
=
;
2 2
R ky
=
(a)
16
Còn phn lc ti các gi cng A và B c xác nh t iu kin cân bng
ca toàn h:
1 2
1 2
2
3
2
3
y y
A k
y y
B k
+
=
+
=
(b)
T các phng trình cân bng mômen i vi khp I (xét phn trên) và i
vi khp II (xét phn di) ta có:
&
&
&
1
1
"
!
1
1
$
%
%
"
!
1%
1%
$
%2
%2
$
%2
%2
$
$
33
3
$$ /
1
2
0
3
0
3
I
II
l
M Py A
l
M Py B
= − =
= − =
(c)
suy ra:
1
3
Py
A
l
= ;
2
3
Py
B
l
= (c)
ng nht (b) và (c) ta c
1 2
1 2
2
( ) 0
9 9
2
( ) 0
9 9
kl kl
P y y
kl kl
y P y
− + =
+ − =
(d)
Phng trình n nh:
2
( )
9 9
0
2
( )
9 9
kl kl
P
D
kl kl
P
−
= =
−
(e)
Sau khi khai tri*n nh thc ta c:
17
2 2 2
1
9 4 0
3
P klP k l
− + =
Phng trình b&c hai này cho ta hai giá tr lc ti hn:
1,
9
th
kl
P
=
;
2,
3
th
kl
P
=
* xác nh dng mt n nh, ta hãy tìm s liên h gia
1
y
và
2
y
. T
phng trình u ca (d), ta có:
2 1
2
3( 3 )
3
.
kl
P
y y
kl
−
= −
Nu cho
1
1
y
=
thì tng ng vi khi
9
kl
P
=
ta có
2
1
y
= −
, còn khi
3
kl
P
=
ta có
2
1
y
=
. Các dng mt n nh v/ trên (hình 2-2c, d)
Ví d 2.3
Xác nh lc ti hn cho thanh có mt u ngàm mt u t do và chu lc
nén P % u thanh. (Bài toán ã xét trong ví d$ 2.1)
*Nhn xét: H cho trong ví d$ là h có vô s b&c t do nên khi áp d$ng cách gii
này s/ cho ta kt qu gn úng
To cho h mt trng thái lch ban u
δ
.
* Tr%ng hp th nht: Nu ta xem P gây ra bi*u
mômen dng tam giác. Tính chuy*n v do P gây ra
bng cách nhân bi*u :
. 2
. . . .
2 3
P
EI l l
δ
δ
=
hay
2
.
0
3
P l
EI
δ
− =
Do ch có mt phng trình i s nên:
2
3
th
EI
P
l
= .
Nh v&y sai s so vi kt qu chính xác là 20%
* Tr%ng hp th hai: Nu ta xem P gây ra bi*u mômen dng Parabol b&c 2.
Tính chuy*n v do P gây ra bng cách nhân bi*u
2 . 5
. . . .
3 8
P
EI l l
δ
δ
= hay
2
5 .
0
12
P l
EI
δ
− =
Do ch có mt phng trình i s nên:
2
2,4
th
EI
P
l
= . Nh v&y sai s so vi kt
qu chính xác là 2,80%
%
0
δ
δ
δ
1
2
$& /
18
2.3.3 Phng pháp Sai phân hu hn
Ni dung phng pháp sai phân là thay th vic gii phng trình vi phân
bng vic gii h phng trình i s thit l&p di dng phng trình vi phân.
Theo phng pháp này ta tin hành tng bc nh sau:
1. Thay phng trình vi phân cân bng % trng thái lch bng các phng
trình sai phân.
2. Gi thit chuy*n v ti mt s i*m ca h % trng thái lch ri s0 d$ng
các phng trình sai phân * thit l&p phng trình i s thun nht vi
các +n s là chuy*n v.
3. Thit l&p các phng trình n nh bng cách cho nh thc ca h
phng trình i s bng không.
4. Gii phng trình n nh * tìm lc ti hn.
i vi các thanh, khi thay (ng chuy*n v là (ng cong thành (ng
gãy khúc vi khong chia
z
∆
u nhau dc chiu dài tr$c, ta có sai phân
(hình 2.4).
Ta có
( )
1
1
1 1
i i
i i
i i i i
i
y y y
y y y
tg
z z
y y y y y
tg
z z z
α
α
−
−
+ −
∆ = −
∆ −
= =
∆ ∆
∆ − −
∆ = ∆ = −
∆ ∆ ∆
Nên
2
1 1
2 2 2
.
i i i i
y y y y y y
z z z z z
+ −
∆ ∆ ∆ − −
= = −
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Nu phng trình vi phân (ng bin dng ca h có dng
2
2
2
0
d y
y
dz
α
+ =
(2.4)
vi
2
P
EI
α
= (2.5)
thì ti m2i i*m i sau khi thay
2 2
2 2
d y y
dz z
∆
=
∆
và thay y bng
i
y
ta c các phng
trình sai phân
2
1 1
2
2
0
i i i
i i
y y y
y
z
α
+ −
− +
+ =
∆
, vi
2
i
i
P
EI
α
=
0 0
%
4
%
%
5
$,678
19
hay
2
1 1
( 2) 0
i i i i
y y y
β
− −
+ − + =
, vi
1,2, ( 1)
i n
= −
(2.6)
trong ó,
2 2 2 2
.
i i
i
P
z z
EI
β α
= ∆ = ∆
(2.7)
* Nhn xét: Phng pháp này áp d$ng có hiu qu cho nhng tr(ng hp h có
tit din thay i theo quy lu&t phc tp, * t!ng mc chính xác ca phng
pháp ta có th* v&n d$ng công thc sai phân b&c cao hoc t!ng s lng on
chia, và tt nhiên khi lng tính toán c3ng t!ng lên.
* hi*u rõ phng pháp này ta xét ví d$ sau:
Ví d 2.4
Dùng phng pháp sai phân hu hn * xác nh lc ti hn cho thanh có
mt u ngàm mt u t do ch lc nén P (hình 2.5)
Chia i*m chia và ch h tr$c to nh trên (hình 2.5). Chia thanh thành 3
on chia bng
3
l
tc là
3
n
=
thì s
phng trình bng
1 2
n
− =
còn s +n
s bng
1 4
n
+ =
. Do ó, cn có hai
iu kin biên.
iu kin biên ti u t do:
0
0
y
=
.
iu kin biên ti u ngàm: Ti ngàm góc xoay bng không do ó ta có th*
t%ng tng kéo dài thanh thêm mt on ri vit iu kin
4 2
y y
=
(hình 2.5).
Nh v&y ta có th* l&p 3 phng trình vi s +n s là
1 2
,
y y
và
3
y
.
2
1 2
2
1 2 3
2
2 3 2
0 ( 2) 0
( 2) 0
( 2) 0
y y
y y y
y y y
β
β
β
+ − + =
+ − + =
+ − + =
Phng trình n nh:
2
2 2 2 2
2
( 2) 1 0
1 ( 2) 1 ( 2) ( 2) 3 0
0 2 ( 2)
D
β
β β β
β
−
= − = − − − =
−
Nghim nh# nht ca phng trình:
2
0,268
β
=
2
2 2
. . 0,268
9
P P l
z
EI EI
β
= ∆ = =
v&y
%
& &
&
&
% %
$
%
&
%2%
, $
0
$9 /
20
2
2,41
EI
P
l
=
so sánh vi kt qu chính xác
2
2,47
EI
P
l
= , sai s là
0
0
2,43
.
Kt thúc chng này ta ã có nhng khái nim c bn ca phng pháp
nghiên cu bài toán n nh. Trong chng tip theo ta tip t$c nghiên cu các
phng pháp tính n nh ca các thanh và h thanh.
CÂU H-I ÔN TP VÀ THO LUN NHÓM CHNG 2
1. Tìm hi*u li v phng pháp thông s ban u trong Sc bn v&t liu?
2. Phng trình vi phân tng quát ca h chu un dc?
3. Phng pháp thit l&p và gii phng trình vi phân?
4. Phng pháp thit l&p và gii phng trình i s?
21
CHNG 3: N NH CA CÁC THANH THNG
3.1 M& 'u
Trong chng 2 chúng ta ã tin hành nghiên cu các phng pháp nghiên
cu bài toán n nh công trình. Trong chng này chúng ta s/ s0 d$ng nhng
phng pháp nghiên cu ó * i tìm n nh cho các thanh th)ng.
Ni dung ch yu ca chng này nh sau:
- Phng trình tng quát ca (ng àn hi trong thanh chu un dc.
- n nh ca các thanh th)ng có liên kt % hai u khác nhau.
- Kt lu&n và ng d$ng trong tính toán công trình.
3.2 Ph*ng trình t+ng quát c0a 1ng àn h2i trong thanh chu u(n dc
* tìm các phng trình tng quát ca (ng àn hi trong thanh chu un
dc mt n nh, ta nghiên cu thanh chu lc nén P % trng thái cân bng bin
dng vi các chuy*n v nh#. Gi s0 % trng thái bin dng, u trái ca thanh có
chuy*n v theo phng tr$c y là
(0)
y
và chuy*n v góc là
'(0)
y
, ng th(i ti
u trái ca thanh c3ng xut hin mômen un
(0)
M
và lc c"t
(0)
Q
vuông góc
vi v trí ban u ca thanh (hình 3.1)
%
0
%:
;+<
;+<
=
;+<
;+<
%
%
0
=
5
%
0
&>?@ABCBBD
Mômen ti tit din bt kì ca thanh % trng thái bin dng:
[
]
( ) (0) (0) (0)
M z M Q z P y y
= + + −
T phng trình vi phân ca (ng àn hi (trong Sc bn v&t liu)
"
M
y
EI
= −
ta có:
[
]
(0) (0) (0)
"
M Q P y y
y
EI
+ + −
= −
hay:
22
2
(0) (0) ) (0)
"
M Q z Py
y y
EI
α
+ −
+ = −
(3.1)
Trong ó,
2
P
EI
α
= (3.2)
Nghim ca phng trình vi phân trên có dng:
2
(0) (0) (0)
( ) sin cos
M Q z Py
y z A z B z
EI
α α
α
+ −
= + − (3.3)
Trong ó,
A
và
B
là các hng s tích phân c xác nh theo các iu
kin biên % u trái khi
0
z
=
. Mun v&y trc tiên ta hãy ly o hàm ca
y
theo
z
, ta có:
2
(0)
"( ) cos sin
Q
y z A z B z
EI
α α α α
α
= − − (3.4)
T (3.3) và (3.4) ta có th* vit iu kin biên % u trái khi
0
z
=
nh sau:
2
(0) (0)
(0)
M Py
y B
EI
α
−
= −
2
(0)
'(0)
Q
y A
EI
α
α
= −
suy ra
3
'(0) (0)
y Q
A
EI
α α
= + ;
2
(0)
M
B
EI
α
= .
Thay các giá tr va tìm c vào
A
và
B
vào (3.3) ta c phng trình
ca (ng àn hi:
2 3
'(0) (0) (0)
( ) (0) sin (1 cos ) ( sin )
y M Q
y z y z z z z
EI EI
α α α α
α α α
= + − − − −
(3.5)
Trong phng trình (3.5) các i lng
(0), '(0), (0)
y y M
và
(0)
Q
c
gi là các thông s ban u.
T phng trình (3.5) ta tìm c phng trình góc xoay và t ó suy ra
phng trình mômen un trong thanh:
2
(0) (0)
'( ) '(0)cos sin (1 cos )
M Q
y z y z z z
EI EI
α α α
α α
= − − − (3.6)
(0)
( ) "( ) . '(0)sin (0)cos sin
Q
M z EIy z EI y z M z z
α α α α
α
= − = − + (3.7)
T iu kin cân bng lc nh trên (hình 3.1) ta xác nh c lc c"t
( )
Q z
theo s thanh không bin dng:
23
( )
( ) (0)
dM z dy
Q z P Q
dz dz
= − =
(3.8)
3.4 n nh c0a các thanh th3ng có liên k$t & hai 'u khác nhau
3.3.1n nh thanh thng có liên kt cng hai u
Trong thc t, các thanh th)ng chu nén có th* có liên kt % hai u di
các hình thc khác nhau nh sau:
1. Thanh có hai u là khp.
2. Thanh có mt u t do mt u ngàm.
3. Thanh có mt ngàm, mt u ngàm trt theo phng vuông góc vi tr$c
thanh.
4. Thanh có mt ngàm, mt u ngàm trt dc theo tr$c thanh.
5. Thanh có mt u ngàm và mt u khp.
* xác nh lc ti hn cho nhng thanh liên kt nói trên, ta có th* áp d$ng
phng pháp t'nh hc hoc các phng pháp khác nh phng pháp n!ng lng
ã trình bày trong chng 2. 4 ây ta áp d$ng phng pháp t'nh hc ng th(i
s0 d$ng các phng trình tng quát ã thit l&p % m$c 3.2, * gii quyt chính
xác bài toán.
Ch)ng hn xét tr(ng hp th nht là thanh có liên kt khp % hai u nh
(hình 3.2)
i vi tr(ng hp này các thông s ba u có các tr(ng hp nh sau:
(0) 0, "(0) ?
(0) 0, '(0) ?
y y
M Q
= =
= =
Do ó, t phng trình tng quát (3.5), ta có:
sin
( ) '(0)
z
y z y
α
α
=
Theo iu kin biên khi
, ( ) 0
x l y l
= =
, ta c:
sin
( ) '(0) 0
l
y l y
α
α
= =
iu kin này th#a mãn vi hai kh n!ng
'(0) 0
y
=
hoc
sin 0
l
α
=
nu
'(0) 0
y
=
thì
( ) 0
y z
≡
, lúc này thanh v.n th)ng cha b mt n nh. Mun cho
lc P t ti giá tr ti hn tng ng vi trng thái mt n nh thì trong h
phi tn ti trng thái cân bng khác vi trng thái cân bng ban u, do ó
'(0)
y
phi khác không .V&y
sin 0
l
α
=
T ó rút ra
l k
α π
=
và t (3.2) ta xác nh c
;+<
%:
0
&$ /
24
2 2
2
th
k EI
P
l
π
=
vi
1, 2,
k
= ∞
;
Ti trng nh# nht tng ng vi khi k = 1:
2
2
th
EI
P
l
π
=
Công thc này là công thc Euler ã quen bit trong giáo trình Sc bn v&t liu.
C3ng áp d$ng phng pháp trên ta có th* tìm c ti trng ti hn cho
bn tr(ng hp còn li, ta có th* bi*u th lc ti hn cho c n!m tr(ng hp trên
di dng nh sau:
2
2
( )
th
EI
P
l
π
µ
= (3.9)
Trong ó,
µ
là h s ph$ thuc vào dng liên kt % u thanh có giá tr cho %
Bng 3.1
S*
2
thanh
µ
1 2 1 0,5 0,7
3.3.2 n nh thanh thng có liên kt àn hi
Trong thc t, ngoài nhng thanh có liên kt cng ã nghiên cu % trên, ta
còn nhng thanh có liên kt àn hi. Trong m$c này ta s/ nghiên cu cách tính
n nh ca thanh có các dng liên kt àn hi th(ng gp nh sau:
3.3.2.1 Thanh có mt u t do mt u liên kt ngàm àn hi
Trong tr(ng hp này, các thông s ban u có giá tr nh sau:
(0) ?, '(0) ?
(0) 0, (0) 0
y y
M Q
= =
= =
Các phng trình (3.5) và (3.6) có dng:
'(0)
( ) (0) sin
'( ) '(0)cos
y
y z y z
y z y z
α
α
α
= +
=
25
iu kin biên: khi
, ( ) 0
z l y l
= =
và
'( )
y l
ϕ
=
Nu gi
ϕ
là h s àn hi ca liên kt tc là góc xoay ca ngàm àn hi
do mômen bng n v gây ra thì trong tr(ng hp này, vì mômen ti ngàm àn
hi bng
(
)
. 0
P y
−
%
ϕ
%
;+<
0
-
-
-
-
-
π
$
π 3π
$
&& /
β
Nên
(0).
Py
ϕ ϕ
= −
Theo các iu kin biên ta l&p c h hai phng trình thun nht nh sau
* xác nh
(0)
y
và
'(0)
y
.
sin
(0) '(0) 0
'(0)cos (0).
l
y y
y l Py
α
α
α ϕ
+ =
= −
T iu kin tn ti các thông s
(0)
y
và
'(0)
y
ta c phng trình n nh
sin
1
( ) 0
cos
l
D
P l
α
α
α
ϕ α
= =
−
Sau khi tri*n khai nh thc trên ta có
cos .sin 0
P
l l
ϕ
α α
α
− =
hay
.
l
l tg l
EI
α α
ϕ
=
Nu t
l v
α
=
và
1
l
EI tg
ϕ θ
= thì phng trình n nh có dng:
cot
gv vtg
θ
=
* gii phng trình siêu vit trên ta dùng phng pháp th vi bin s
là v. Nghim có ý ngh'a thc t là nghim cho lc ti hn có giá tr nh# nht.
Ta có giá tr ca lc ti hn khi
0
ϕ
=
thì
2
th
v
π
=
, do ó:
2
2
4
th
EI
P
l
π
=
3.3.2.2 Thanh có mt u ngàm cng mt u có liên kt àn hi
Các thông s ban u:
