tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn toán

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 1





Tài Liệu














Năm học 2008 - 2009

Lưu V
ăn Chung

MÔN TOÁN

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 2

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 3
BÀI TẬP CĂN THỨC

Bài 1 Cho A =
1 1 1
4
1 1
a a
a a
a a a
 
 
 
  
 
 
 

 
 
 

a. Tìm điều kiện có nghóa của A
b. Rút gọn A
c. Tính giá trò A khi a =
(4 15)( 10 6) 4 15
  
Bài 2
a. Chứng minh x –
4( 1) 0 1
x x
   

b. Cho A =
2
4( 1) 4( 1)
1
. 1
1
4( 1)
x x x x
x
x x
    
 

 


 
 

1. Tìm điều kiện có nghóa của A
2. Rút gọn A
Bài 3 Chứng minh
2 2 2 2 2
2 2 2 2
   
  
<
1
3

 Hd: Đặt a =
2 2 2 2
  


a
2
– 2 =
2 2 2
 
Bài 4
Cho A =
1 1 9
9 1
3 1 3 1
x x

x
x x
 

 
 
 

 
 
:
3 2
1
3 1
x
x
 


 
 

 

a. Rút gọn A
b. Tìm x để A =
6
5

Bài 5 Cho A =

3
1
9
x x
x
 


 
 

 
:
9 3 2
6 2 3
x x x
x x x x
 
  
 
 
 
   
 

a. Tìm điều kiện có nghóa của A .
b. Rút gọn A
c. Tìm x để A < 1
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 4

Bài 6 Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
  
 
   

a. Tìm điều kiện có nghóa của A
b. Rút gọn A c. Chứng minh A


2
3

Bài 7 Cho A =
3 9 3 1 2
2 2 1
a a a a
a a a a
   
 
   

a. Rút gọn A b. Tìm a

Z để A có giá trò nguyên
Bài 8
Cho A =

1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
x x
x x x x x
   
 
      

a. Rút gọn A b. So sánh A và
1
2

 Hd : Chứng minh A –
1
2
> 0
Bài 9 Cho A =
1 2
1 :
1
1 1
a a
a
a a a a a
   
 
   
   

   

   

a. Rút gọn A b. Tìm a để A < 1
c. Tính giá trò của A khi a =
19 8 3


Bài 10 Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
 
 
   

a. Rút gọn A b. Tìm giá trò lớn nhất của A
Bài 11 Cho A =
1 3 2
1 1 1
x x x x x
 
   

a. Rút gọn A b. Chứng minh
3
1
4
A
 

Bài 12
Cho A =
1 4
: .
2
y xy
x y x y y x
x y
x y y xy xy x
 
 
 
 
 
 

  
 

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 5
a. Rút gọn A
b. Tính giá trò của A khi x =
7 3
4

và y =
6 24
25



Bài 13 Cho A =
2
3
1 1 2
1
2(1 ) 2(1 )
a
a
a a

 

 

a. Rút gọn A b. Tìm giá trò nhỏ nhất của A
Bài 14
Cho A =
1 2 1 2
1 : 1
2 1 2 1 2 1 2 1
x x x x x x
x x x x
   
   
   
   
   
   

   

a. Rút gọn A b. Tính giá trò của A khi x =
3 2 2
2


Bài 15 So sánh A và B biết :
A =
2
3 3 1
( 1)
1
x x x x
x
x
  
 

B =
2 2
1
1
x x x x
x x x x
  
  

Bài 16 Cho A =
5 25 3 5

1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
   
   
  
   
   

   
   

a. Rút gọn A b. Tìm x

Z để A nhận giá trò nguyên
Bài 17 Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
  
 
   

a. Rút gọn A b. Tìm các giá trò của a để A < 1
c. Tìm a


Z để A nhận giá trò nguyên
Bài 18 Cho A =
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
a a a a a
a a
a a a
   
   
  
   
   
 
  
   

a. Rút gọn A b. So sánh A và
1
A

Bài 19 Cho A =
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
   

 
   
 
 
 
   
 
 

a. Rút gọn A b. Tìm x để A = 6
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 6
Bài 20 Cho biểu thức :
ab
ba
aab
b
bab
a
A







a. Tìm điều kiện a , b để biểu thức A có nghóa
b. Rút gọn A
c. Tính A khi a =

4 2 3
 và b =
4 2 3

d. Chứng minh nếu




1ab5ba 
thì A không đổi
Bài 21 Tính giá trò của biểu thức :

82x4x
22x
82x4x
22x
A
22






khi x = 3
Bài 22 Cho biểu thức : D =
21x
3x




a. Rút gọn D b. Tính giá trò của D khi x = 4(2 – 3 )
c. Tìm giá trò nhỏ nhất của D
Bài 23 Cho biểu thức : A = 1x2xx  ( x

0 )
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tính giá trò biểu thức A khi x = 6 – 2
5
và x = 3 – 2
7

Bài 24 Cho biểu thức : M =
3
1 2
x
x

 
( x

1 ; x

3 )
a. Rút gọn M b. Tính giá trò M khi x =
2(6 2 3)


c. Tìm giá trò nhỏ nhất của M

Bài 25 Cho 2

a

6 . Chứng minh :
22a4a22a4a  = 4
Bài 26 a. Rút gọn : A =
1 3 2 2 3
2 3 3 2 2 3

 

b. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :
y =
1 2 2 7 6 2
x x x x
      

c. Giải phương trình :
2 1 1
2
1 2 2
x
x x
  



Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 7

Bài 27 Rút gọn các biểu thức :
A =
2 2
4 4
x x x x
    
với x

2

B =
2
:( )
a a b b b
ab a b
a b a b
 

  
 
 
 
 
với a

0 ; b

0
Bài 28 Cho M =
1 1 8 3 2

:(1
9 1
3 1 1 3 3 1
a a a
a
a a a
 
 
  
 
 

  
 

a. Rút gọn M b. Tìm các giá trò của a để M =
6
5

Bài 29 Cho N =
3 3 2
( )
:
x y x y xy
x y
y x
x y x y
 
  


 

 

 
 

a. Rút gọn A b. Chứng minh A

0
Bài 30 Cho biểu thức :
A =
1 3 1 3
. :
ab ab a b
a b a a b b a b a a b b a ab b

 
     
 
   
 
   
 
   
 

a. Rút gọn A b. Tính A khi a = 16 ; b = 4
Bài 31 Cho M =
2 1 2

1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a
 
    
 
 
 

 
 

a. Rút gọn M b. Tính a khi B =
6
1 6


Bài 32 Cho biểu thức :
N =
3 3 1 ( 1)( )
:
2 2 2
a a a a b
a ab b a a b b a b a ab b
 
 
 

 
 
     
 

a. Rút gọn N b. Tìm a

Z để N có giá trò nguyên
Bài 33 Cho P =
3
3
2 1 1
.
1 1
1
a a a
a
a a a
a
 
 
 
 
 
 
 
 
  

 

 

a. Rút gọn P b. Chứng minh P. 1
a

< 0
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 8
Bài 34 Cho biểu thức : A =
1 1 1 2
:
1 2 1
a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 

a. Rút gọn A b. Tìm a để A >
1
6

Bài 35 Cho biểu thức :

A =
1 1 2 1 1
.
x y
x y x y
 
 
  
 
 
 

 
 
 
:
3 3
3 3
x y x x y y
x y y x
  


a. Rút gọn A b. Cho xy = 16. Xác đònh x , y để A có gtrò nhỏ nhất
Bài 36 Cho M =
3
2 1
.
2 2 2 1
x x x

xy y x x xy y x


    

a. Rút gọn M b. Tìm các giá trò x

Z để y =
625
và M < 0,2 .

PHNG TRÌNH CHỨA CĂN

Bài 1
1.
15 17
x x
  
2.
3 4 3 3
x x
   

3.
1
1x x
x
  
4.
2 2 2

3 6 7 5 10 14 1 2
x x x x x x
       

5.
2
7 2 7 35 2
x x x x x
     
( đặt
7
x x y
  
)
6.
2
2 3 3
x x x
   
( nhân hai vế cho 4 )
7.
2
2 5 2 2 3
x x x
   

8.
4 2
2005 2005
x x   ( cộng hai vế

2
1
4
x

)
9.
14
2 5 3
3 5
x
x
x

  
 
10.
3
24 12 6
x x
   

11.
3
2 1 1
x x
   
12.
2 2
17 17 9

x x x x
    

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 9
13.
4 2
2
9
8 25
2 3
x x
x
  
 

14.
(5 2 6) (5 2 6) 10
x x
   
( chú ý
1
5 2 6
5 2 6
 

)
15.
2 2
3 12 16 4 13 5

x x y y
     
( VT

5)
16.
2 2
3 2 2 1
x x x x x
    
( đặt
2
0
x x t
  
)
17.
3 4 1 8 6 1 5
x x x x
       

18.
2 2
25 15 2
x x
   
( tính
2 2
25 15 5
x x

   
)
19.
3
2 1 2 1
2
x
x x x x

     
20.
2 3 2 5 2 2 5 2 2
x x x x       
(nhân 2)
21.
2 2
3( 1) ( 1)
x x x x
    
( pt tích)
22.
2 2
4 6 2 8 12
x x x x
    
(nhân 2)
23.
2
10 21 4 6
x x x x

     
24.
15 2 1
x x
   

25.
(5 ) 5 ( 3) 3
2
5 3
x x x x
x x
    

  

26.
2 2
25 9 2
x x
   
27 .
2
6 3
3 2
1
x
x x
x x


  
 

28.
1 4 5 11 8 5 7
x x x x
       

29.
1
2 2005 2006 ( )
2
x y z x y z
       

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Bài 1 Giải các phương trình sau :
a. 4x
3
– 3x – 1 = 0 b. x
3
– 13x – 12 = 0
b. 3x
3
– 4x
2
– 28x – 16 = 0 c. x
3
+ x

2
– 10x – 12 = 0
Bài 2 Giải các phương trình sau :
a. 27x
3
= (x – 3)
3
+ (2x – 3)
3
b. 64x
3
= (x – 2)
3
+ (3x + 2)
3

b. (x – 1) + (2x + 3)
3
= 27x
3
+ 8
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 10
Bài 3 Giải các phương trình sau :
a. (x + 6)
4
+ (x + 4)
4
= 82 b. (x + 3)
4

+ (x + 4)
4
= 16
b. (x + 4.5)
4
+ (x – 5,5)
4
= 1
Bài 4 Giải các phương trình sau :
a. (x
2
+ 5x)
2
– 2(x
2
+ 5x) – 24 = 0
b. (x
2
– 2x – 5)
2
– 2(x
2
– 2x – 3) – 4 = 0
c. (x
2
– 5x + 7)
2
– (x – 2)(x – 3) = 1
Bài 5 Giải các phương trình sau :
a. (x

2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) = 12
b. b. x(x + 1)(x – 1)(x + 2) = 24
c. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
d. (x – 1)(x – 3)(x + 5(x + 7) = 297
e. (x + 2)(x + 3)(x + 8)( x + 12) = 4x
2

f. (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9
g. (x
2
+ x – 1)( x + 1)x = 56
Bài 6 Giải các phương trình sau :
a. x
4
+ 2x
3
– x
2
– 2x + 1 = 0 b. 4x
4
+ 12x
3
+ 12x + 4 = 47x
2

c. x
4

+ x
3
+ 4x
2
+ 5x + 25 = 0 d. x
4
+ 2x
3
– 7x
2
– 4x + 4 = 0
e. x
4
– 3x
3
– 6x
2
+ 3x + 1 = 0
f. 6x
4
+ 7x
3
– 36x
2
– 7x + 6 = 0
g. 2x
4
+ 3x
3
– 16x

2
+ 3x + 2 = 0
h. x
4
+ 3x
3
– 14x
2
– 6x + 4 = 0
i. x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 = 0
Bài 7 Giải các phương trình sau :
a. x
2
+
2
2
9
27
( 3)
x
x


b.

2
2
48
5
3 3 4
x x x
x
 
  
 
 

b.
2 2
2
2
2 2 5( 4)
1 1 2( 1)
x x x
x x x
  
   
 
   
  
   

c. x
2
(x – 1)

2
+ x(x
2
– 1) = 2(x + 1)
2

d. 2(x
2
+ x + 1)
2
– 7(x – 1)
2
= 13(x
3
– 1)
e. x
3
– x
2
–
3 2
8
x x

= 2
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 11
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI và ĐỊNH LÝ VI-ET
Bài 1
Cho phương trình bậc hai : x

2
– 2(m – 1)x – 3 = 0
a. Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m
b. Tìm m sao cho hai nghiệm x
1 ,
x
2
thõa mãn : x
1
2
+ x
2
2
= 10
Bài 2
Cho phương trình : (m – 1)x
2
+ 2(m – 1)x – m = 0
1. Đònh m để phương trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó
2. Đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Bài 3
Cho phương trình : x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0
1. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
2. Đònh m để ph/ trình có 2 nghiệm x
1
; x

2
thõa : 1 < x
1
< x
2
< 6
Bài 4
Cho phương trình : x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
1. Tìm a để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
2. Xác đònh a để phương trình có hai nghiệm lớn hơn – 1
Bài 5
Cho phương trình : (m + 2)x
2
– (2m – 1)x – 3 + m = 0
1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2. Tìm các giá trò m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao
cho nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia
Bài 6
Cho phương trình : x
2
– 2mx + m + 2 = 0
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm
2. Khi đó hãy tính giá trò biểu thức E =
1 2
x x

Bài 7
Cho phương trình : 3x

2
– mx + 2 = 0 . Tìm m để phương trình có hai
nghiệm thõa mãn : 3x
1
x
2
= 2x
2
– 2
Bài 8
Cho phương trình : 3x
2
– 5x + m = 0 . Tìm m để phương trình có hai
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 12
nghiệm thõa mãn : x
1
2
– x
2
2
=
5
9

Bài 9
Cho phương trình : x
2
– 2(m + 4)x + m
2

– 8 = 0. Xác đònh m để
phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thõa mãn :
1. A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2
đạt giá trò lớn nhất
2. B = x
1
2
– x
2
2


– x
1
x
2
đạt giá trò nhỏ nhất
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1

; x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 10
Cho phương trình : x
2
– 6x + m = 0 . Tìm m để phương trình có hai
nghiệm thõa mãn : x
1
3
+ x
2
3
= 72
Bài 11
Cho phương trình : (m + 2)x
2
– 2(m – 1)x + 3 – m = 0
1. Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thõa mãn hệ
thức x
1
2
+ x
2
2
= x

1
+ x
2

2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
3. Lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là :
X
1
=
1
1
1
1
x
x


và X
2
=
2
2
1
1
x
x




Bài 12
Cho phương trình : x
2
– (2m – 1)x + m – 1 = 0
1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2. Đònh m để phương trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó
3. Đònh m để ph/ trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thõa : –1 < x
1
< x
2
< 1
4. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 13
Cho phương trình : x
2
– 2(m – 1)x + m – 3 = 0
1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2. Đònh m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau
Bài 14

Cho phương trình : x
2
+ ax + b = 0.
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 13
1. Xác đònh a và b để phương trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
thõa
mãn : x
1
– x
2
= 5 và x
1
3
– x
2
3
= 35
2. Tìm các nghiệm với a và b vừa tìm được
Bài 15
Không giải phương trình : 3x
2
+ 17x – 14 = 0. Hãy tính giá trò biểu
thức : S =
2 2
1 1 2 2
2 2

1 2 2 1
3 5 3
4 4
x x x x
x x x x
 


( với x
1
và x
2
là 2 nghiệm của phương trình )
Bài 16
Cho phương trình : 2x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 9m + 39 = 0
1. Giải phương trình khi m = 9
2. Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
3. Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt mà
nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Tìm các nghiệm đó
Bài 17
Cho f(x) = (4m – 3)x
2
– 3(m + 1)x + 2(m + 1) = 0
1. Khi m = 1, tìm x để f(x) = 0
2. Xác đònh m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương
3. Giả sử phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x

1
, x
2
.
Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 18
Cho phương trình : x
2
– 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
1. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2. Xác đònh m để biểu thức E = x
1
2
+ x
2
2
+ 10x
1
x
2
đạt giá trò
nhỏ nhất . Tính giá trò nhỏ nhất đó
Bài 19
Cho phương trình : x
2
– (a – 1)x + 1 = 0

1. Xác đònh a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
sao cho biểu thức
M = 3x
1
2
+ 5x
1
x
2
+ 3x
2
2
đạt giá trò nhỏ nhất
2. Hãy tìm nghiệm của phương trình trong trường hợp trên
Bài 20
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 14
Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
thõa mãn các
hệ thức : 4x
1
x
2
= 5(x

1
+ x
2
) và (x
1
– 1)(x
2
– 1) =
1
1
a


( với a

– 1)
Bài 21
Cho phương trình : x
2
– 2mx – m
2
– 1 = 0 (1)
1. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x

2
không phụ thuộc vào m
3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thõa mãn :

1 2
2 1
5
2
x x
x x
  

Bài 22
Cho phương trình : (m – 1)x
2
– 2(m + 1)x + m = 0 (1)
1. Giải và biện luận phương trình (1) theo m
2. Khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Hãy tìm hệ
thức liên hệ giữa x
1
và x
2

không phụ thuộc vào m
3. Tìm m sao cho | x
1
– x
2
|

2
Bài 23
Cho phương trình : x
2
– 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 (1)
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm
2. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình . Xác đònh m để
biểu thức E = (x
1
+ 1)x
2
đạt giá trò lớn nhất

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 15



GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Bài 1
Hai đội công nhân cùng làm một con đường thì xong trong 4 ngày.
Nếu mỗi đội làm một mình thì đội I cần ít thời gian hơn đội II là 6
ngày để làm xong con đường. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu
xong con đường ?
Bài 2
Lấy một số tự nhiêncó hai chữ số chia cho số tự nhiên có thứ tự ngược
lại thì được thương là 4 và dư 15. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một
số bằng tổng bình phương của mỗi chữ số đó. Tìm số tự nhiên ấy ?
Bài 3
Một canô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B rồi chạy ngược lại
A mất tổng thời gian là 4 giờ.Tính vận tốc canô khi nước yên lặng biết
quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km / h.
Bài 4
Có hai thửa đất hình chữ nhật : thửa thứ nhất có chu vi 240 m, thửa
thứ hai có chiều dài và chiều rộng hơn chiều dài và chiều rộng của
thửa thứ nhất là 15 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mỗi thửa đất
biết tỉ số diện tích giữa hai thử đất là 5/ 8.
Bài 5
Người ta hòa 8 kg chất lỏng loại I với 6 kg chất lỏng loại II thì được
một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg / m

3
. Biết khối lượng riêng
của chất lỏng loại I hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 200
kg / m
3
. Tính khối lượng riêng của mỗi chất /
Bài 6
Trong giải “Hội khỏe Phù đổng” ở môn bóng đá các đội đấu với nhau
theo thể thức “vòng tròn một lượt” tức là mỗi đội sẽ đá với tất cả các
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 16
đội còn lại. Có tất cả 15 trận đấu. Hỏi có bao nhiêu đội bóng tham dự
giải ?
Bài 7
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể
trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ II chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ I là 4 giờ. Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể
trong bao lâu ?
Bài 8
Một phòng họp có 360 ghế ngồi đước xếp thành nhiều dãy và mỗi dãy
có số ghế bằng nhau.Nhưng do số người họp là 400 người nên phải
xếp thêm mỗi dãy 1 ghế nữa và phải tăng thêm 1 dãy nữa mới dủ chỗ
ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãûy có bao
nhiêu ghế ?
Bài 9
Tìm một số có hai chữ số , biết rằng chữ số đó gấp 7 lần chữ số hàng
đơn vò và nếu đem số đó chia cho tổng hai chữ số của nó thì được
thương là 4 và số dư là 3.
Bài 10
Tìm một số có hai chữ số biết rằng nếu chia chữ số đó cho tổng hai

chữ số của chúng thì được thương là 4 và dư 3. Còn nếu chia số đó
cho tích hai chữ số của chúng thì được thương là 3 và dư 5
Bài 11
Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một công việc. Nếu cùng làm thì hai
tổ hoàn thành 2/3 công việc trong 4 giờ. Nếu làm riêng thì tổ này sẽ
làm xong công việc trước tổ kia 5 giờ . Hỏi để làm xong việc thì mổi tổ
phải mất thời gian là bao lâu ?
Bài 12
Hai vật A và B chuyển động cùng một lúc trên hai cạnh của một góc
vuông và hướng về đỉnh góc vuông. Khi chưa chuyển động , vật A và B
cách đỉnh góc vuông lần lượt là 60 cm và 70 cm. Sau 3 giây thì khoảng
cách hai vật là 70 m; sau 2 giây tiếp theo thì khoảng
cách giữa hai vật là 50 cm. Tính vận tốc mỗi vật theo m / s.
Bài 13
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 17
Một canô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc là 30
km / h rồi chạy ngược lại A . Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngựoc là 1
giờ 20 phút. Tính quãng đường sông AB biết vận tốc dòng nước là 5
km / h và vận tốc riêng của canô khi xuôi và ngựoc đều bằng nhau.
Bài 14
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m, nếu tăng chiều dài thên
3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m
2
. Tính
chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ?
Bài 15
Dân số xã X hiện có 10.000 người. Người ta dự đoán 2 năm sau dân
số xã X là 10.404 người . Hỏi trung bình hằng năm dân số xã X tăng
thêm bao nhiêu người ?

Bài 16
Một đội xe chỏ 36 tấn hàng. Do được tăng cường thêm 3 xe nữa nên
mỗi xe chở ít đi 1 tấn hàngso với dự đònh. Hỏi lúc đầu đội có bao
nhiêu xe biết rằng số tấn hàng mỗi xe chở là bằng nhau.
Bài 17
Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông
hơn kém nhau 3 cm.Tính chu vi tam giác vuông đó ?
Bài 18
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể
trong 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ I chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ I là 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi chảy
đầy bể trong bao lâu ?
Bài 19
Một người đi xe đạp từ A đến B ,rồi trở về A ngay với vận tốc như lúc
đi. Nhưng sau khi từ B đi được 1 giờ thì nghỉ mệt 20 phút và đi tiếp về
A với vận tốc tăng thêm 4 km / h. Biết thời gian đi và về bằng nhau và
quãng đướng AB dài 60 km. Tính vận tốc lúc đi ?
Bài 20
Tính ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi là 12 cm và tổng
bình phương ba cạnh là 50cm
2
.
Bài 21
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 18
Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 3 giờ 36 phút.
Nếu người thứ I làm
1
3
công việc rồi để cho người thứ II làm tiếp thì

xong công việc trong 7 giờ.Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm
xong công việc trong bao lâu ?
Bài 22
Một lâm trường dự đònh trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ . Do
mỗi tuần trồng vướt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80
ha và hoàn thành kế hoạch sớm hơn một tuần . Hỏi mỗi tuần lâm
trường dự đònh trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 23
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi trở về vì ngược
gió nên vận tốc giảm bớt 4 km / h và thời gian về lâu hơn lúc đi 1 giờ.
Tính vận tốc lúc đi ?
Bài 24
Một hình chữ nhật có diện tích 600 m
2
. Nếu giảm mỗi cạnh 4m thì
diện tích còn 416 m
2
. Tính kích thước hình chữ nhật ban đầu ?
Bài 25
Tìm một số có hai chữ số biết nếu chia số đó cho tổng hai chữ số của
chúng thì được thương là 6. Nếu cộng tích hai chữ số với 25 thì được
số đảo ngược.
Bài 26
Một hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m và
tăng chiều dài thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 45 m
2
. Tính kích thước
hình chữ nhật đó ?
Bài 27
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km.Sau khi đi được 2 giờ

, người đó nghỉ 15 phút. Sau đó đi tiếp với vận tốc tăng thêm 4 km /h
so với ban đầu và đến B đúng giờ dự đònh. Tính vận tốc lúc đầu của
người đó ?
Bài 28
Một tổ học sinh dự đònh trồng 56 cây bạch đàn.Nhưng do có một bạn
ốm nghỉ nên mỗi bạn trong tổ phải trồng thêm 1 cây thì mới đủ số
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 19
cây dự đònh trồng.Hỏi tổ có bao nhiêu học sinh , biết số cây mỗi bạn
trồng đều bằng nhau.
Bài 29
Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1 m. Nếu tăng
thêm chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 3 m
2
.
Tính diện tích hình chữ nhật lúc đầu ?
Bài 30
Mỗi thợ may được giao phải may 30 cái áo. Mỗi ngày thợ A may
nhiều hơn thợ B 2 áo nên hoàn thành số áo được giao sớm hơn thợ B
nửa ngày.Hỏi mỗi thợ may hoàn thành công việc được giao trong bao
nhiêu ngày ?
Bài 31
Cùng một số tiền là 60000đ nếu mua vở giấy tốt thì được ít hơn mua
vở giấy xấu 3 cuốn. Biết giá một cuốn vở tốt nhiều hơn một cuốn vở
xấu 1000đ. Hỏi giá tiền một cuốn vở tốt là bao nhiêu ?
Bài 32
Một người dự đònh đi từ A đến B cách nhau 20 km với vận tốc không
đổi. Nhưng sau khi đi được 1 giờ, người đó giảm vận tốc 2 km / h nên
đến B muộn hơn dự đònh 15 phút.Tính vận tốc dự đònh của người đó ?
Bài 33

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 6 giờ. Nếu
làm riêng mỗi người nửa công việc thì tổng số giờ phải làm là 12 giờ
30phút.Hỏi mỗi người làm riêng thì bao lâu xong công việc đó ?
Bài 34
Một người đi từ A đến B cách nhau 375 km và trở về A. Sau khi đi
từ B về được 2 giờ thì người đó nghỉ 45 phút.Do đó để về A đúng thời
gian dự đònh người đó phải tăng vận tốc thêm 25 km/h. Tính vận tốc
khi đi ?




Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 20



BÀI TẬP HÌNH HỌC

BÀI TẬP HÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Bài 1
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B. Vẽ đường
kính AC và AD của (O) và (O’). Tia CA cắt đường tròn (O’) tại F , tia
DA cắt đường tròn (O) tại E. .
1. Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp
2. Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) và (O’) lần lượt tại M và N. Chứng
minh tỉ số
MC
NF
không đổi khi đường thẳng MN quay quanh A

3. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN
4. Gọi K là giao điểm của NF và ME. Chứng minh đường thẳng KI
luôn đi qua một điểm cố đònh khi đường thẳng MN quay quanh A
5. Khi MN // EF. Chứng minh MN = BE + BF
Bài 2
Cho hình vuông ABCD cố đònh . E là điểm di động trên cạnh CD
(E

C và D ). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F. Tia Ax vuông góc
với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K.
1. Chứng minh


CAF CKF

.
3. Chứng minh

KAF vuông cân
4. Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF
5. Gọi M là giao điểm của BD và AE. Chứng minh IMCF nội tiếp
6. Chứng minh khi điểm E thay đổi vò trí trên cạnh CD thì tỉ số
ID
CF

không đổi. Tính tỉ số đó?
Bài 3
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 21
Cho


ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . M là điểm thuộc
cung nhỏ AC. Vẽ MH

BC tại H , vẽ MI

AC tại I
1. Chứng minh


IHM ICM

2. Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K.Ch/ minh MK

BK
3. DF cắt EB tại M, HF cắt EC tại N.Chứng minh

MIH ~

MAB
4. Gọi E là trung điểm IH và F là trung điểm AB. Chứng minh tứ
giác KMEF nội tiếp . Suy ra ME

EF
Bài 4
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với
đường tròn ( B và C là hai tiếp điểm ).Vẽ CD

AB tại D cắt (O) tại
E. Vẽ EF


BC tại F; EH

AC tại H.
1. Chứng minh các tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp
2. Chứng minh EF
2
= ED. EH
3. Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp
4. Chứng minh MN

EF
Bài 5
Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn .Vẽ tiếp tuyến AM
và cát tuyến ACD ( tia AO nằm giữa hai tia AM và AD). Gọi I là trung
điểm CD.
1. Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn. Xác đònh tâm K.
2. Gọi H là giao điểm của MN và OA .Chứng minh CHOD nội tiếp
3. Đường tròn đường kính OA cắt (O) tại N. Vẽ dây CB

MO cắt
MN tại F. Chứng minh CFIN nội tiếp
4. Tia DF cắt AM tại K. Chứng minh KE

AM
Bài 6
Cho OM = 3R , MA , MB là hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O) tại
C , BC cắt MA tại F , AC cắt MB tại E.
1. Chứng minh MAOB nội tiếp
2. Chứng minh EB

2
= EC.EA
3. Chứng minh E là trung điểm MB
4. Chứng minh BC.BM = MC.AB
5. Tia CF là phân giác của

MCA

6. Tính S

BAD
theo R
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 22
Bài 7
Cho MA , MB là hai tiếp tuyến của (O). C là điểm thuộc cung nhỏ AB.
Vẽ CD

AB . CE

MA , CF

MB
1. Chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC
2. Chứng minh CE.CF = CD
2

3. AC cắt ED tại H, BC cắt DF tại K. Chứng minh CHDK nội tiếp
4. Chứng minh HK // AB
5. Chứng minh HK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp


CKF và

CEH
6. Gọi I là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (CKF) và (CEH).
Chứng minh đường thẳng CI đi qua trung điểm của AB
Bài 8
Cho đường thẳng d cắt (O;R) tại C và D. M là điểm di động trên d (M
ngoài đường tròn và MC < MD ). Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A và B
là hai điểm) , H là trung điểm CD
1. Chứng minh MIHF và OHEI là các tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh MA
2
= MC.MD
3. Chứng minh CIOD nội tiếp
4. Chứng minh 4IF.IE = AB
2

5. Chứng minh khi M di động thì đường thẳng AB luôn điểm qua
điểm cố đònh
Bài 9
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; hai
đường cao AD và BE cắt nhau tại H ( D

BC ; E

AC ; AB < AC )
1. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp
2. Chứng minh OC vuông góc với DE
3. CH cắt AB tại F. Chứng minh :

AH.AD + BH.BE + CH.CF =
2 2 2
2
AB AC BC
 

4. Đường phân giác trong AN của

BAC
cắt BC tại N , cắt đường
tròn (O) tại K.(K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

CAN. Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn
(O).
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 23
Bài 10
Cho (O;R) và dây BC = 2a cố đònh. M

tia đối tia BC. Vẽ đường tròn
đường kính MO cắt BC tại E , cắt (O) tại A và D (A

cung lớn

BC
).
AD cắt MO tại H , cắt OE tại N.
1. Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) và MA
2
= MB.MC

2. Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp
3. Tính ON theo a và R
4. Tia DE cắt (O) tại F. Chứng minh ABCF là hình thang cân
Bài 11
Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB . C là điểm chính giữa

AB

, K là trung điểm BC. AK cắt (O) tại M . Vẽ CI vuông góc với AM tại
I cắt AB tại D.
1. Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Suy ra số đo góc

OID

2. Chứng minh OI là tia phân giác của

COM

3. Chứng minh

CIO ~

CMB . Tính tỉ số
IO
MB

4. Tính tỉ số
AM
BM
. Từ đó tính AM , BM theo R

5. Khi M là điểm chính giữa cung BC.Tính diện tích tứ giác ACIO
theo R
Bài 12
Cho

ABC (AC > AB và

0
90
BAC 
). Gọi I , K lần lượt là trung
điểm AB và AC. Các đường tròn (I ) đường kính AB và (K ) đường kính
AC cắt nhau tại điểm thứ hai là D . Tia BA cắt (K) tại E ; tia CA cắt
(I) tại F .
1. Chứng minh B,C, D thẳng hàng
2. Chứng minh BFEC nội tiếp
3. Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với với đường tròn ngoại
tiếp

AEF. So sánh DH và DE
Bài 13
Cho đường tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài
đường tròn . Từ điểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 24
dây AB tại D. Tia CE cắt (O) tại điêm I. Các tia AB và FI cắt nhau tại
K
1. Chứng minh EDKI nội tiếp
2. Chứng minh CI.CE =CK.CD
3. Chứng minh IC là tia phân giác ngoài đỉnh I của


AIB
4. Cho A , B , C cố đònh. Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổi
nhưng vẫn đi qua A , B thì đường thẳng FI luôn đi qua một điểm
cố đònh
Bài 14
Cho

ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D . Vẽ đường tròn (O)
đường kính CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) tại E. AE cắt
(O) tại F.
1. Chứng minh ABCE nội tiếp
2. Chứng minh


BCA = ACF

3. Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đường
thẳng BC. Chứng minh BMCN nội tiếp
4. Xác đònh vò trí của D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có
bán kính nhỏ nhất
Bài 15
Cho

ABC có

B
và

C

nhọn . các đường tròn đường kính AB và AC
cắt nhau tại H. Một đường thẳng d tùy ý đi qua A lần lượt cắt hai
đường tròn tại M và N.
1. Chứng minh H

BC
2. Tứ giác BCNM là hình gì ? Tại sao?
3. Gọi I và K là trung điểm của BC và MN. Chứng minh bốn điểm A ,
H, I , K

một đường tròn .Từ đó suy ra quỹ tích của I khi d quay
quanh A
1. Xác đònh vò trí của d để MN có độ dài lớn nhất
Bài 16
Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại
A và B. Vẽ cát tuyến qua B cắt (O) tại E , cắt (O’) tại F.
1. Chứng minh AE = AF
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 25
2. Vẽ cát tuyến BCD vuông góc với AB (C

(O) ; D

(O’) ), Gọi K
là giao điểm của CE và FD. Chứng minh AEKF và ACKD là các
tứ giác nội tiếp
3. Chứng minh

EKF cân
4. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh I , A , K thẳng hàng

5. Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào?

Bài 17
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với
(O). Vẽ dây BD // AC. AD cắt (O) tại K. Tia BK cắt AC tại I.
1. Chứng minh IC
2
= IK.IB
2. Chứng minh

BAI ~

AKI
3. Chứng minh I là trung điểm AC
4. Tìm vò trí điểm A để CK

AB
Bài 18
Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố đònh với OA = 2R. BC là đường
kính quay quanh O. Đường tròn ngoại tiếp

ABC cắt đường thẳng AO
tại I.
1. Chứng minh OI.OA = OB.OC. Suy ra I là điểm cố đònh
2. Trường hợp AB , AC cắt (O) tại D và E. DE cắt OA tại K.
a. Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp
b. Tính AK theo R
c. Gọi N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp

ADE

với OA. Chứng minh tứ giác BOND nội tiếp . Suy ra N
là điểm cố đònh
3. Tìm vò trí của BC để diện tích

ABC lớn nhất
4. Tìm vò trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp

ABC nhỏ nhất.
Bài 19
Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố đònh. M là điểm di chuyển trên
cung lớn

AB
. Vẽ hình bình hành MABC. Vẽ MH

BC tại H cắt (O)
tại K. BK cắt MC tại F.
1. Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp . Suy ra K là trực tâm của

MBC
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 26
2. Tia phân giác của

AMB
cắt (O) tại E và cắt tia CB tại N.Chứng
minh

MBN cân. Suy ra N thuộc một cung tròn cố đònh tâm O’
khi M di chuyển trên cung lớn


AB

3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của (O’)
4. Khi AB = R
3
. Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R

Bài 20
Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố đònh ( AB < 2R ) . Một
điểm M tùy ý trên cung lớn AB ( M

A , B ) . Gọi I là trung điểm
của dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A.
Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N ,
P.
1. Chứng minh IA
2
= IP.IM
2. Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành
3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)
4. Chứng minh khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố
đònh
Bài 21
Cho

ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đường
tròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng
d quay quanh A cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N sao cho
A nằm giữa M và N.

1. Chứng minh H

BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông
2. Chứng minh tỉ số
HM
HN
không đổi
3. Gọi I là trung điểm MN , K là trung điểm BC. Chứng minh 4
điểm A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn và I di chuyển trên
một cung tròn cố đònh
4. Xác đònh vò trí của đường thẳng d để diện tích

MHN lớn nhất
Bài 22
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng
d thay đổi cắt Ax tại M , cắt By tại N sao cho AM.BN = a
2
.
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 27
1. Chứng minh

AOM ~

BON và

MON
vuông
2. Gọi H là hình chiếu của O trên MN. Chứng minh đường thẳng d

luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố đònh tại H.
3. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp

MON chạy trên
một tia cố đònh
4. Tìm vò trí của đường thẳng d sao cho chu vi

AHB đạt giá trò lớn
nhất , tính giá trò lớn nhất đó theo a
Bài 23
Cho

ABC có ba góc nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành
BHCD. Đường thẳng qua D và // BC cắt đường thẳng AH tại E.
1. Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC , chứng minh


BAE OAC
 và BE = CD
3. Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng AM cắt OH tại G.
Chứng minh G là trọng tâm của

ABC
Bài 24
Cho ba điểm cố đònh A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự đó ). Một
đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B, C . Từ điểm A kẻ các
tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn (O). Đường thẳng MN cắt AO và

AC lần lượt tại H và K
1. Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố đònh
2. Gọi I là trung điểm BC. Vẽ dây MD // BC. Chứng minh DN đi qua
điểm cố đònh
3. Chứng minh đường tròn (OHI) luôn đi qua 2 điểm cố đònh
Bài 25
Cho

ABC có

0
45
A 
, BC = a . O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC B’ và C’ là chân các đường cao hạ từ B và C xuống các cạnh
tương ứng .Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’.
1. Chứng minh A , B’ , O’ , C’ cùng thuộc một đường tròn tâm I
2. Tính B’C’ theo a
3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a
Bài 26
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 28
Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp
tuyến MA và MB với (O)
1. Chứng minh

AMB đều và tính MA theo R
2. Qua điểm C thuộc cung nhỏ


AB
vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tại
E và cắt MB tại F. Chứng minh chu vi

MEF không đổi khi C
chạy trên cung nhỏ AB
3. OF cắt AB tại K , OE cắt AB tại H. Chứng minh EK

OF.
4. Khi sđ

BC
= 90
0
. Tính EF và diện tích

OHK theo R
Bài 27
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố đònh. Điểm A di chuyển trên
cung lớn

BC
.Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
1. Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn
2. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại M
và N. Chứng minh MN // ED và 4 điểm B, C , M , N cùng thuộc
một đường tròn
3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua một
điểm cố đònh
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi qua

một điểm cố đònh O’
5. Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O)
Bài 28
Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R
3
.Vẽ đường tròn (M) đường
kính BC. Lấy điểm A

(M) (A ở ngoài (O) ). AB , AC cắt (O) tại D và
E. Đường cao AH của

ABC cắt DE tại I.
1. Chứng minh AD.AB = AE.AC
2. Chứng minh I là trung điểm DE
3. AM cắt ED tại K. Chứng minh IKMH nội tiếp
4. Tính DE và tỉ số
AH
AK
theo R
5. Tìm vò trí điểm A để diện tích

ADE lớn nhất
Bài 29
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung
gần P của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với (O’) tại
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 29
B. Tiếp tuyến cỏa (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ hai là D (D

P),

đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại K. Chứng minh :
1. Bốn điểm A , B , Q , K cùng thuộc một đường tròn
2.

BPK cân
3. Đường tròn ngoại tiếp

PQK tiếp xúc với PB và KB

Bài 30
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến chung
gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại C và D.
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và (O’) tại M
và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P
và Q; các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Chứng minh :
1. Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2.

EPQ cân
Bài 31
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ).
Đường tròn tâm (O’) tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với hai cạnh
AB và AC tại I và K . Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với (O).
1. Chứng minh ME là tia phân giác

AMC

2. Tia phân giác Mx của


BMC
cắt IK tại F . Chứng minh tứ giác
FKCM và FIBM nội tiếp
3. Chứng minh

BIF ~

FKC
4. Chứng minh FM
2
= MB.MC
5. Chứng minh tia CF là phân giác

BCA

Bài 32
Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB và CD vuông góc với
nhau . I là điểm di động trên bán kính OB ( I

B và O ).Tia CI cắt
đường tròn tại E.
1. Chứng minh OIED nội tiếp
2. Chứng minh CI.CE = 2R
2

3. DB cắt CE tại H. AE cắt CD tại K. Chứng minh HK // AB
4. Chứng minh diện tích tứ giác ACIK không đổi khi I di động trên
OB ( I


O và B )
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 30
Bài 33
Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB cố đònh . Gọi M là điểm
chính giữa cung nhỏ

AB
. Lấy điểm C tùy ý trên trên cung nhỏ

MB
,
kẻ tia Ax vuông góc với tia CM tại H , cắt đường thẳng BC tại K.
1. Chứng minh CM là tia phân giác của

ACK

2. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABK và sđ

AKB

không phụ thuộc vào vò trí điểm C
3. Tia KM cắt tia AB tại E và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F.
Chứng minh tích ME.MF không đổi khi C di động và tính tích
đó theo R và

MAB




Bài 34
Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp
tuyến MA và MB với (O)
1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO

AB
2. Chứng minh

AMB đều và tính MA theo R
3. Qua điểm C thuộc cung nhỏ

AB
vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA
tại E và cắt MB tại F. OF cắt AB tại K .OE cắt AB tại H.
Chứng minh EK

OF
4. Chứng minh EF = 2HK
Bài 35
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ).
Đường cao BE của tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) tại K . Kẻ KD
vuông góc với BC tại D .
1. Chứng minh 4 điểm K ; E ; D ; C cùng thuộc một đường tròn .
Xác đònh tâm của đường tròn này
2. Chứng minh KB là phân giác của


AKD

3. Tia DE cắt đường thẳng AB tại I . Chứng minh KI

AB
4. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA , cắt AB tại H .
Chứng minh CH // KI
Bài 36
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M , N là hai điểm di động trên AD và
DC sao cho

0
45
MBN  . BM , BN cắt AC lần lượt tại E và F.
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 31
1. Chứng minh NE

BM
2. Gọi H là giao điểm của ME và NF. Chứng minh
HF.HM =HE.HN
3. Tia BH cắt MN tại I. Tính BI theo a. Suy ra đường thẳng MN
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh.
4. Cho a = 5, AM = 2 . Tính EF.
Bài 37
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố đònh trên đường tròn . Một
góc nhọn

xAy
có số đo không đổi quay quanh A cắt đường tròn tại B

và C.Vẽ hình bình hành ABDC. Gọi E là trực tâm

BDC.
1. Chứng minh E thuộc đường tròn (O;R)
2. Gọi H là trực tâm của

ABC. Chứng minh EH , BC và AD
đồng quy tại một điểm I
3. Khi góc

xAy
quay quanh A sao cho Ax và Ay vẫn cắt (O;R) thì H
di chuyển trên đường cố đònh nào ?
Bài 38
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một đường thẳng d qua tâm O của hình
vuông cắt AD và BC tại E và F. Từ E kẻ đường thẳng song song với
BD , từ F kẻ đường thẳng song song với AC , chúng cắt nhau tại I.
1. Chứng minh A , I , B thẳng hàng
2. Kẻ IH

EF tại H. Chứng minh H luôn thuộc một đường tròn
cố đònh khi d quay quanh O
3. Đường thẳng IH cắt đường trung trực của AB tại K. Chứng
minh AKBH nội tiếp . Suy ra K cố đònh
4. Tìm vò trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác AKHB lớn
nhất
Bài 39
Cho đường tròn (O;R) và dây AB cố đònh . I là điểm chính giữa cung
lớn


AB
. M là điểm di động trên cung lớn

AB
. K là trung điểm AB. Vẽ
tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H cắt đường thẳng MB tại C.
1. Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp
2. Chứng minh

AMC là các tam giác cân
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 32
3. Chứng minh khi M di động thì C luôn thuộc một đường cố đònh
4. Gọi E là điểm đối xứng với A qua I và F là điểm đối xứng với B
qua đường thẳng MI. Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp
5. Tìm vò trí M để chu vi

ABM lớn nhất
6. Tìm vò trí M để chu vi

ACM lớn nhất
Bài 40
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm AO. Vẽ
đường thẳng Cx

AB tại C cắt đường tròn tại I, K là điểm di động
trên đoạn CI ( K

C và I), Tia AK cắt (O) tại M. Đường thẳng Cx cắt
đường thẳng BM tại D, cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại N

1. Chứng minh AK.AM = R
2

2. Chứng minh

NMK cân
3. Khi K là trung điểm CI. Tính diện tích

ABD theo R
4. Chứng minh khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn
ngoại tiếp

ADK thuộc một đường thẳng cố đònh.
Bài 41
Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB. I là điểm thuộc AO sao cho
AO = 3IO. Qua I vẽ dây CD

AB. Trên CD lấy K tùy ý . Tia AK cắt
(O) tại M.
1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp
2. Chứng minh đường thẳng AM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp

MKC
3. Chứng minh tâm P của đường tròn ngoại tiếp

CMK thuộc một
đường cố đònh
4. Tính khoảng cách nhỏ nhất của DP
Bài 42
Cho


ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm thuộc
cung nhỏ AC. Tia AM cắt tia BC tại D.
a. Chứng minh


ADC ACM

b. Chứng minh AC
2
= AM. AD
c. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

MCD
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 33
d. Lấy E là điểm thuộc tia đối của tia MB sao cho ME = MC.
Chứng minh ABDE nội tiếp .
e. Chứng minh C luôn thuộc một cung tròn cố đònh . Xác đònh
tâm của cung tròn này.
Bài 43
Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d không cắt đường tròn .
Vẽ OH

d tại H. M là điểm thuộc d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và
MB với (O) ( A , B là các tiếp điểm ).
1. Chứng minh tứ giác MAOH nội tiếp
2. Đường thẳng AB cắt OH tại I. Chứng minh IH.IO = IA.IB
3. Chứng minh I cố đònh khi M chạy trên đường thẳng d.
4. Cho OM = 2R , OH = a. Tính diện tích


MAI theo a và R
Bài 44
Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở ngoài đường tròn . Vẽ đường thẳng
d

OA tại A. Lấy điểm M

d . Vẽ tiếp tuyến MC với (O) C là tiếp
điểm ).
1. Chứng minh 4 điểm M , A , O , C cùng thuộc một đường tròn.
2. AC cắt (O) tại B, Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại E , cắt
đường thẳng d tại D. Chứng minh M, E, O, D cùng thuộc một
đường tròn
3. Chứng minh A là trung điểm MD
4. Chứng minh

EOD ~

COA.
5. Cho OM = 2R và OA = a. Tính DE theo a và R
Bài 45
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)( AB < AC ). Kẻ
đường cao AH và đường kính AD của đường tròn (O). Phân giác của

BAC
cắt (O) tại E.
1. Chứng minh AE là phân giác của


HAD

2. Chứng minh AB.AC = AH.AD
3. Chứng minh



HAD ABC ACB
 
4. EO cắt AC tại F , BF cắt AH tại M. Chứng minh

AFM cân
5. Cho AB = 4 , AC = 5 , R = 3. Tính BC (lấy 1 chữ số thập phân )
Bài 46
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 34
Cho

ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm trên cung nhỏ

BC
. Trên
dây AM lấy điểm E sao cho ME = MB .
1. Chứng minh

MBE đều
2. Chứng minh

CBM =


ABE
3. Tìm vò trí điểm M sao cho tổng MA + MB + MC lớn nhất
4. Khi M chạy trên

BC
nhỏ thì E chạy trên đường cố đònh nào
5. Gọi F là giao điểm của AM và BC. Chứng minh

1 1 1
MF MB MC
 

6. Chứng minh
2 2 2 2
6
MA MB MC R
  

Bài 47
Cho đường tròn (O;R) và dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với
AB tại K.( D thuộc cung nhỏ

AB
). M là điểm thuộc cung nhỏ

BC
.
DM cắt AB tại F.
1. Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp

2. Chứng minh DF. DM = AD
2

3. Tia CM cắt đường thẳng AB tại E. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt
AF tại I. Chứng minh IE = IF
4. Chứng minh
FB KF
EB KA

Hd : d) Chú ý F là trực tâm của

CDE .
Suy ra : KE.KF = KC.KD
Bài 48
Cho

ABC vuông tại A ( AB < AC ). Tia phân giác của

ABC
cắt AC
tại M. Đường tròn (O) đường kính MC cắt tia BM tại H, cắt BC tại N.
1. Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp
2. Chứng minh HC
2
= HM.HB
3. HO cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm NC
4. Cho AB = 5 cm , HC =
3 2
cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 49

Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với
nhau E là điểm thuộc

DB
nhỏ. AE cắt DC tại N , CE cắt AB tại M.
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 35
1. Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp
2. Chứng minh AN. AE = 2R
2

3. Chứng minh

ANC ~

MAC. Tìm vò trí của E để diện tích


NEN lớn nhất
4. Biết AM = 3BM. Tính DN và EB theo R
Bài 50
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) với AB < AC.
Phân giác của

BAC
cắt BC tại E và cắt (O) tại D. Tia OD cắt BC tại
K.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M .
1. Chứng minh tứ giác MAOK nội tiếp

2. Chứng minh MA
2
= MB.MC
3. Chứng minh MA = ME
4. Kẻ tiếp tuyến MF của (O) ( F là tiếp điểm ). Chứng minh tia
FE v đường thẳng DO cắt nhau tại điểm thuộc (O).
5. Biết BE = a và EC = b. Tính AM theo a và b.
Bài 51
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Phân giác của
góc

BAC
cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E.
Vẽ DK

AB và DM

AC tại K và M.
1. Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp và KM

AE
2. Chứng minh AD.AE = AB.AC
3. Chứng minh MK = AD. sin

BAC

4. So sánh diện tích tứ giác AKEM và diện tích


ABC
Bài 52
Cho điểm A

đoạn BC sao cho AB = 2AC . Vẽ đường tròn (O;R)
đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC.
1. Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc nhau
2. Lấy điểm H

đoạn OB sao cho OH =
1
5
OB. Vẽ tia Hx vuông
góc AB cắt (O) tại D. Tia DA cắt (O’) tại M. Vẽ đường kính
MN của (O’). OD cắt BN tại K. Chứng minh OD // MN và tính
OK theo R
3. Chứng minh BN là tiếp tuyến của (O’)
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 36
4. DA cắt BN tại E. Tính diện tích

BEA theo R

Bài 53
Cho

AOB cân tại O (

0
90

AOB  ). Trên cạnh AB lấy điểm M , vẽ
MC // OB và MD // OA. Vẽ đường tròn (C;CM) và đường tròn
(D;DM) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
1. Chứng minh A

(C ; CM) và B

(D;DM)
2. Chứng minh

ANB ~

CMD
3. Chứng minh N thuộc một đường cố đònh khi M chạy trên AB
4. Chứng minh

ONM vuông
Bài 54
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ đường cao
AH của

ABC , đường kính AD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu
của C và B lên AD. M là trung điểm BC.
1. Chứng minh các tứ giác ABHF và BFOM nội tiếp
2. Chứng minh HE // BD
3. Chứng minh S

ABC

=
. .
4
AB AC BC
R

4. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp

EFH
Bài 55
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố đònh , A là điểm di chuyển trên
cung lớn

BC
. Vẽ 2 đường cao BE và CF của

ABC cắt nhau tại H.
1. Chứng minh


AFE ACB


2. Vẽ bán kính ON

BC tại M ( N

cung nhỏ

BC

) . AN cắt BC
tại D. Chứng minh AB.NC = AN.BD
3. AH cắt (O) tại K . Chứng minh : BC. AK = AB.CK + AC.BK
4. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp

ADC luôn
thuộc một đường cố đònh khi A di chuyển trên cung lớn

BC

Bài 56
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’: r) (R > r) cắt nhau tại Avà B. Vẽ
đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O’). M là điểm thuộc
cung nhỏ BC. MB cắt (O’) tại N.
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 37
1. Chứng minh C , B , D thẳng hàng. Tính tỉ số
AN
AM
theo R và r
2. CM và DN cắt nhau tại E. Ch. minh tứ giác AMEN nội tiếp
3. Chứng minh điểm E thuộc một đường cố đònh khi M thay đổi
4. Chứng minh

AMB ~

AED
Bài 57
Cho


ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ đường tròn (O) đường
kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D .
1. Chứng minh AD.AC = AE.AB
2. Gọi H là giao điểm của BD và CE , K là giao điểm của AH và
BC. Chứng minh


BHK AED


3. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với (O) với M , N là các tiếp
điểm .Chứng minh KA là phân giác của

NKM

4. Chứng minh ba điểm M, N , H thẳng hàng
Bài 58
Cho (O;R) và điểm P trên đường tròn . Từ P vẽ hai tia Px , Py cắt
đường tròn tại A và B sao cho

xPy
là góc nhọn.
1. Vẽ hình bình hành APBM. Gọi K là trực tâm của

ABM.
Chứng minh K thuộc đường tròn (O)
2. Gọi H là trực tâm của

APB , I là trung điểm AB. Chứng minh
H , I , K thẳng hàng

3. Khi hai tia Px và Py quay quanh P sao cho Px và Py vẫn cắt
đường tròn và

xPy
không đổi thì H chạy trên đường cố đònh
nào.
Bài 59
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di
động trên trên cung nhỏ

BC
. Từ M kẻ MH

AB và MK

AC.
1. Chứng minh

MBC ~

MHK
2. Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh MD

BC
3. Tìm vò trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất .
Bài 60
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 38

Cho hai điểm A và B thuộc đường tròn (O) ( AB không đi qua O ) và
có hai điểm C và D lưu động trên cung lớn AB sao cho AD // BC ( C
và D khác A và B ; AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC.
Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I.
1. Chứng minh ba điểm I , O , M thẳng hàng
2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp

MCD không đổi
Bài 61
Cho (O;R) và dây MN cố đònh P là điểm chính giữa cung lớn

MN
.
Lấy điểm I thuộc

PN
nhỏ, kẻ tia Mx

PI tại K cắt tia NI tại E.
1. Chứng minh IP là tia phân giác của

MIE

2. Chứng minh E luôn chạy trên một cung tròn cố đònh khi I di
chuyển trên cung nhỏ

PN
. Xác đònh tâm của cung tròn này.
3. Tia EP cắt MN tại F, cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh
PM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp


MFG
4. Tính tích PF.PG theo R và

PMN



Bài 62
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố đònh thuộc (O). Vẽ tiếp tuyến
Ax, trên tia Ax lấy điểm Q. Vẽ tiếp tuyến QB với đường tròn (O) ( B là
tiếp điểm ).
1. Chứng minh QBOA nội tiếp và OQ

AB
2. Gọi E là trung điểm OQ. Tìm quỹ tích của E khi Q di chuyển
trên tia Ax
3. Vẽ BK

Ax tại K cắt OQ tại H. Tìm quỹ tích của H
4. Cho AQ = 2R. Tính HK theo R
Bài 63
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao
AD , BE , CF cắt nhau tại H . AH cắt (O) tại K. Đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại M.
1. Chứng minh MK // BC và DH = DK
2. Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC
3. Chứng minh :

1
HD HE HF
AD BE CF
  

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 39
4. Chứng minh
9
AD BE CF
HD HE HF
  

Bài 64
Cho

ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). Một đường thẳng d thay
đổi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của (O) ở M và N. Giả sử d cắt
đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi F là giao điểm của MC và
NB.
1. Chứng minh

MBA ~

CAN
2. Chứng minh tích MB.CN không đổi
3. Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp
4. Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua điểm cố đònh
Bài 65
Cho đường tròn (O;R) và đường kính AB cố đònh. MN là đường kính

thay đổi của (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BM và BN lần lượt tại E
và F. Gọi I là trung điểm EA và K là trung điểm AF.
1. Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp
2. Chứng minh IMNK là hình thang vuông. Tính EF theo R để
IMNK là hình chữ nhật
3. Chứng minh tích AI.AK không đổi khi MN thay đổi
4. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp

IBK luôn đi qua điểm cố
đònh ( khác điểm B )
Bài 66
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm M tùy ý thuộc bán kính
OC . Qua M vẽ dây AE vuông góc với BC. Từ A vẽ tiếp tuyến của (O)
cắt đường thẳng BC tại D.
1. Chứng minh EC là phân giác của

AED

2. Vẽ đường cao AK của

BAE . Gọi I là trung điểm của AK. Tia
BI cắt đường tròn (O) tại H. Chứng minh MH

AH
3. Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp
4. Chứng minh đường thẳng BD là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp

AHD
5. Khi M là trung điểm OC. Tính diện tích


MHC theo R
Bài 67
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 40
Từ điểm A ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với
đường tròn (B và C là hai tiếp điểm ). Vẽ cát tuyến AEF với đường
tròn (O). Vẽ dây ED

OB cắt BC tại M và cắt BF tại N. Gọi K là
trung điểm EF.
1. Chứng minh tứ giác KMEC nội tiếp và


KCE BNE


2. Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp
3. Chứng minh tia FM đi qua trung điểm của AB
Bài 68
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R)
(AB < AC ). Ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H.
1. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp . Xác đònh tâm I.
2. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh KF.KE
= KB.KC
3. AK cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh MFEA nội tiếp
4. Chứng minh M , H , I thẳng hàng.
Bài 69

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm C trên nửa đường
tròn ( CA > CB ). Kẻ CH

AB tại H. Đường tròn tâm K đường kính
CH cắt AC tại D và BC tại E , cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ
hai là F.
1. Chứng minh CH = DE
2. Chứng minh CA.CD = CB.CE
3. Chứng minh ABED nội tiếp
4. CF cắt AB tại Q. Hỏi K là điểm đặc biệt gì của

OCQ.
5. Chứng tỏ Q là một giao điểm của DE và đường tròn ngoại tiếp

OKF
Bài 70
Cho đường tròn (O, R) và dây BC . A là điểm thuộc cung lớn

BC
sao
cho

0
60
BAC  .Kẻ đường cao AH, BE , CF của

ABC.
1. Chứng minh BEFC nội tiếp đường tròn . Xác đònh tâm I
2. Chứng minh đường thẳng kẻ từ A và vuông góc với EF đi qua
một điểm cố đònh khi A chạy trên


AB

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 41
3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm EB và FC. Chứng minh
M , H, I , N cùng thuộc một đường tròn
4. Nếu IA là phân giác của

EIF
. Tính số đo

BCE

Bài 71
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chạy
trên cung nhỏ

BC
. Gọi E và F là hình chiếu của A lên đường thẳng
MB và MC. AH là đường cao của

ABC.
1. Chứng minh 4 điểm A , E , M , F cùng thuộc một đường tròn
2. Chứng minh khi M thay đổi thì tỉ số
AE
AF
không đổi

3. Chứng minh E , H , F thẳng hàng
4. Tìm vò trí M trên cung nhỏ

BC
để tổng AE.MB + AF.MC
lớn nhất.
Bài 72
Cho

ABC nội tiếp đường tròn (O) . D là điểm tùy ý trên

BC
không
chứa điểm A. Gọi (O’) là đường tròn tiếp xúc ngoài với (O) tại D.
Các tia AD , BD , CD lần lượt cắt đường tròn (O’) tại A’ ; B’ ; C’.
a. Chứng minh
' ' '
AA BB CC
AD BD CD
 

b. Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD
c. Gọi AA
1
, BB
1
, CC
1
là các tiếp tuyến của (O’) lần lượt vẽ từ
A , B , C ( A

1
, B
1
, C
1
là các tiếp điểm ). Chứng minh :
AA
1
.BC = BB
1
.AC = CC
1
.AB
Bài 73
Cho đøng tròn tâm O đường kính AB = 2R. Lấy điểm M

(O; R) sao
cho MA < MB. Phân giác góc AMB cắt đøng tròn tại D , cắt AB tại
K.
a. Chứng minh OD

AB và

ADB cân
b. Trên cạnh MB lấy điểm C sao cho MC = MA. Chứng minh tứ
giác DKCB nội tiếp
c. Vẽ phân giác BI của

MKB. Chứng minh D là tâm đøng tròn
ngoại tiếp tứ giác AICB

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 42
d. Vẽ đường kính DF của đøng tròn (O;R), MF cắt AI tại N. Biết
AM = R tính khoảng cách từ N đến đường thẳng AM
Bài 74
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đøng tròn (O;R). (AC < AC)
Tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại C của đøng tròn (O) cắt nhau tại D.
Tia OD cắt BC tại H
a. Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp và OD

BC tại H
b. Chứng minh HO.HD =
2
4
BC

c. Vẽ cát tuyến DMN với đøng tròn (O) song song với Abcắt AC
tại K. Chứng minh DM.DN = DB.DC
d. Chứng minh OK

MN
e. Cho

0
60
BAC  và

0

90
AOB  . Tính diện tích

BKC theo R
Bài 75
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp đøng tròn (O;R) (AB < AC).Phân giác
của góc BAC cắt BC tại D và cắt (O;R) tại M.
a. Chứng minh OM

BC tại I
b. Tiếp tuyến tại A cắt BC tại S. Chứng minh SA = SD
c. Vẽ đường kính MN của (O;R) cắt AC tại F , BN cắt AM tại E. Chứng
minh EF // BC
d. Vẽ tiếp tuyến SK của (O) (K là tiếp điểm , K

A). Chứng minh K ,
N , D thẳng hàng
e. Cho AB = 3 , BC = 5 , AC = 6. Chứng minh

SAB cân

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 43


MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10



Bài 1 Giải các pt và hệ phương trình :
a. x
4
– 44x
2
– 1280 = 0 b. (x – 3)
4
+ 5(x – 3)
2
= 36
c.
5 2 3
3
2 8
2
x y
x y
  



 



d.
2 2
2
16
x y
x y
 


 


Bài 2
Rút gọn A =
( 12 2 14 2 13 12 2 11)( 11 13)
    
Bài 3
Cho phương trình : x
2
– 2x + m
2
– 8 = 0.
a. Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
thõa mãn :

1 2 1 2
5 24
x x x x
  

Bài 4
Một canô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km.
Cùng lúc đó một bè nứa cũng trôi từ A về B với vận tốc dòng nước là
4 km/h. Khi đến B canô quay về ngay và gặp bè nứa tại điểm cách A
là 8 km.Tính vận tốc thực của canô (vận tốc canô khi nước yên lặng )
Bài 5
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm AO.
Vẽ đường thẳng Cx

AB tại C cắt đường tròn tại I, K là điểm di
động trên đoạn CI ( K

C và I), Tia AK cắt (O) tại M.Đường thẳng
Cx cắt đường thẳng BM tại D, cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại N
a. Chứng minh AK.AM = R
2

b. Chứng minh

NMK cân
1
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 44
c. Khi K là trung điểm CI. Tính diện tích


ABD theo R
d. Chứng minh khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn
ngoại tiếp

ADK thuộc một đường thẳng cố đònh.


Bài 1
Rút gọn : A =
( 22 26)( 7 13 6 11)
   
B =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
x x
x x x x x
   
 
      

Bài 2 Giải các phương trình và hệ phương trình :
a. x
4
– 10x
2
+ 25 = 0 b.
12 5 7
7 4 11
x y

x y
 


 


c. (x+1)
4
– 2(x+1)
2
– 8 = 0 d.





8
62
xy
yx

Bài 3
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và làm đầy bể
trong 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ I chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ I là 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi
chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 4
Cho (P) y =
1

4

x
2
và (D
m
) : y = mx + m
2
– 1
a. Vẽ (P) và (D
1
) khi m = 1
b. Chứng tỏ (D
m
) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Bài 5
Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB. I là điểm thuộc AO sao cho
AO = 3IO. Qua I vẽ dây CD

AB. Trên CD lấy K tùy ý . Tia AK
cắt (O) tại M.
a. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp
b. Chứng minh đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn ngoại
tiếp

MKC
2

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 45

c. Chứng minh tâm P của đường tròn ngoại tiếp

CMK thuộc
một đường cố đònh
d. Tính khoảng cách nhỏ nhất của DP.


Bài 1
Cho biểu thức : A =
2
1 1 1
.
2
2 1 1
x x x
x x x
   
 
 
   
   
 
   

a. Rút gọn B b. Tìm x để B = – 2
Bài 2 Giải các phương trình
a. 2x
4
– 5x
2

+ 2 = 0 b. (x + 1)(x + 2)(x – 3)(x – 4) = 84
Bài 3
Cho hệ phương trình :
( 1)
( 1) 2
m x y m
x m y
  


  


a. Giải hệ phương trình khi m = 3
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 4
Một xe lửa đi từ ga A đến ga B. Sau đó một giờ một xe lửa khác đi từ
ga B đến ga A với vận tốc lớn hơn vận tốc xe thứ nhất 5 km /h. Hai
xe lửa cùng đến ga C ở chính giữa hai ga A và B. Tính vận tốc mỗi
xe lửa biết quãng đường AB là 900km.
Bài 5
Tìm k để phương trình : x
2
– (k + 1)x + k = 0 có tổng bình phương các
nghiệm là 10
Bài 6
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; hai
đường cao AD và BE cắt nhau tại H (D

BC ; E


AC ; AB < AC )
a. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp
b. Chứng minh OC vuông góc với DE
c. AH cắt (O) tại F. Chứng minh : AB.CF + AC.BF = BC.AF
3
Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 46
d. Đường phân giác trong AN của

BAC
cắt BC tại N , cắt đường
tròn (O) tại K.(K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

CAN. Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường
tròn (O).


Bài 1 Cho biểu thức : A =
2 1 2
1 :
1
1 1
x x
x
x x x x x
   
 
   
   


   
   

a. Tìm điều kiện có nghóa của A b. Rút gọn A
b. Tính giá trò A khi x =
2006 8020


Bài 2 Cho phương trình : x
2
– 2(m + 2)x + m + 1 = 0 ( x là ẩn )
a. Giải phương trình khi m = – 1, 5
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = 2x
2
và đường
thẳng (d
m
) : y =
1
2
m
mx


a. Vẽ (P) và (d
m
) khi m = 2
b. Tìm điều kiện của m để (P) và (d

m
) cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt
Bài 4
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc dự đònh . Sau khi đi
được
1
3
quãng đường người đó tăng vận tốc thêm 10 km /h và đến B
sớm hơn dự đònh 24 phút. Tính vận tốc dự đònh của người đó biết
quãng đường AB dài 120 km.
Bài 5
Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố đònh ( AB < 2R ) Một điểm
M di động trên cung lớn AB ( M

A , B ) . Gọi I là trung điểm của
dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A.
Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N
và P.
4

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 47
a. Chứng minh IA
2
= IP.IM
b. Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành
c. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)
d. Chứng minh P luôn chạy trên một cung tròn cố đònh
Bài 6 Cho x =

3 3
20 14 2 20 14 2
  
.
Tính giá trò của biểu thức : B = x
3
– 6x


Bài 1
a. Rút gọn A =




53535353 
b. Tính giá trò 314a2a14B
2
 với
7
2
2
7
a 
c. Chứng minh :
2005 2006
2005 2006
2006 2005
  
Bài 2

Có hai thửa đất hình chữ nhật : thửa thứ nhất có chu vi 240 m, thửa
thứ hai có chiều dài và chiều rộng hơn chiều dài và chiều rộng của
thửa thứ nhất là 15 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mỗi thửa đất
biết tỉ số diện tích giữa hai thửa đất là
5
8

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = – x
2

và đường
thẳng (d
m
) : y = mx + m – 1
a. Xác đònh m để (d
m
) tiếp xúc với (P)
b. Vẽ (P) và (d) với m vừa tìm được ở câu a
c. Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) và đi qua
điểm A(0 ; 1)
Bài 4 Giải các phương trình và hệ phương trình :
a. x
4
– 8x
2
+ 15 = 0 b.
2 3 5
2 3
x y
x y

  


  


c. (x
2
+ x – 1)(x + 1)x = 56 d.
3 5
6
1 3
x x
 
 

5

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 48
Bài 5
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M , N là hai điểm di động trên AD và
DC sao cho

0
45
MBN  . BM , BN cắt AC lần lượt tại E và F.
a. Chứng minh NE

BM

b. MF và NE cắt nhau tại H. Chứng minh HF.HM =HE.HN
c. Tia BH cắt MN tại I. Tính BI theo a. Suy ra đường thẳng MN
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh.
d. Cho a = 5 , AM = 2. Tính EF.



Bài 1 Giải các phương trình và hệ phương trình :
a.
4 2
8 48 0
x x
  
b.
2
( 3 5) 15 0
x x
   

c.
2 5 3
3 2 14
x y
x y
 


 

d.

2 2
3
5
x y
x y
 


 


Bài 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = –
1
4
x
2

và đường
thẳng (d) : y = 2x + m – 1
a. Khi m = 5 vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b. Tìm m để (P) và (d) không có điểm chung
Bài 3
Một xe đi từ A đến B. Sau đó 24 phút , một xe khác đi từ B đến A với
vận tốc hơn xe đi từ A 10 k/h . Hai xe gặp nhau tại điểm chính giữa
AB. Tính vận tốc mỗi xe , biết quãng đường AB là 160 km.
Bài 4
a. Rút gọn biểu thức : A =
1 3 4
11 2 30 7 2 10 8 4 3

 
  

b. Giải phương trình :
2 3 5
x x
  

Bài 5
6

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 49
Cho

ABC vuông tại A ( AB < AC ). Tia phân giác của

ABC
cắt
AC tại M. Đường tròn tâm O đường kính MC cắt tia BM tại H, cắt
BC tại N.
a. Chứng minh tứ giác ABCH nội tiếp
b. Chứng minh HC
2
= HB.HM
c. HO cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm NC
d. Cho AB = 5 cm , HC =
3 2
cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 6

Tìm chu vi một hình chữ nhật biết đường chéo của nó hơn chiều dài 1
m và hơn chiều rộng 8 m .



Bài 1 Giải các phương trình và hệ phương trình :
a.
4 2
1
0
4
x x
  
b.
2
( 2)( 1) 360
x x x x   

c.
4 5 12
6 7 11
x y
x y
 


  

d.
3

2 9
6
1
5
x
y
x
y

 




  



Bài 2 Cho biểu thức : A =
1 1 2
4
2 2
x
x
x x
 

 

a. Rút gọn A b. Tính A khi x = 9 – 4

5

Bài 3 Cho (P) : y = –
1
2
x
2

và đường thẳng (d) : y =
1
4
x – 3
a. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán
Bài 4
Một hình chữ nhật có chu vi là 280 m . Người ta làm một con đường
rộng 2 m xung quanh khu đất ( thuộc đất của khu vườn ). Diện tích
đất còn lại là 4256 m
2
. Tính kích thước khu vườn ?
7

Tài liệu Luyện thi vào lớp 10
Gv : Lưu Văn Chung 50
Bài 5
Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với
nhau . E là điểm thuộc

DB
nhỏ. AE cắt DC tại N , CE cắt AB tại M.

a. Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp
b. Chứng minh AN. AE = 2R
2

c. Chứng minh

ACN ~

MAC. Tìm vò trí của E để diện tích

NEM lớn nhất
d. Biết AM = 3BM. Tính DN và EB theo R
Bài 6
Tìm m để phương trình : x
2
–(m + 1)x + 2m = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x
1
; x
2
sao cho x
1
và x
2
là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam
giác vuông có cạnh huyền bằng 5

Bài 1 Giải các phương trình và hệ phương trình :
a. x
4
– 13x
2
– 68 = 0 b.
2 3 8 5
3 4 5 5
x y
x y

 


  



c.
2 2
3 5
2 34
x y
x y
 


 

d.

2
( 1) 3 1 4 0
x x
    

Bài 2
a. Rút gọn A =
(8 2 3 14)(3 7) 8 3 7
  
b. Giải phương trình : x – 2
3
x

= 5
Bài 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y = – x
2

và đường thẳng
(d) : y = x – 6
a. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán
c. Tìm k để đường thẳng (D) : y = 2x – k và (P) tiếp xúc
Bài 4
8