Sáng kiến kinh nghiệm về phương trình lượng giác trường chuyên quảng bình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.01 MB, 116 trang )
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
1
NĂM HỌC 2010 - 2011
S
Ở GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Đồng Hới, tháng 5 năm 2011
Người thực hiện: Trần Xuân Bang
Tổ Toán
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
2
Phần thứ nhất.
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm trong
toàn bộ nội dung chương trình Toán THPT. Trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại
học và Cao đẳng, phương trình lượng giác luôn luôn có mặt. Một tập hợp các
phương trình lượng giác trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng của
các trường Đại học trước đây và của Bộ giáo dục và Đào tạo từ 2002 đến nay là
một món quà quý cho học sinh ôn luyện thi, cũng là một tài liệu để các thầy cô
giáo tâm huyết với nghề nghiệp tham khảo. Với lý do đó tôi đã cố gắng tập hợp,
sữa chữa, biên tập "Phương trình lượng giác" hơn một năm nay và đã hoàn thành ở
một mức độ nhất định.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC bao gồm:
1. Phương trình lượng giác cơ bản: Với 4 phương trình lương giác cơ bản, mỗi
phương trình đều có trình bày cách lấy nghiệm, ví dụ minh họa và các chú ý.
2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Với 65
phương trình có lời giải chi tiết.
3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a
2
+ b
2
> 0): Với 22 phương trình có lời giải
chi tiết.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Với 13 phương trình có lời giải
chi tiết.
5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0: Với 9 phương trình có lời
giải chi tiết.
6. Phương trình asin
2
x + bcos
2
x + csinxcosx = d: Với 15 phương trình có lời giải
chi tiết.
7. Phương trình:
asin
3
x + bcos
3
x + csin
2
xcosx + dsinxcos
2
x + dsinx + ecosx = 0: Với 5 phương
trình có lời giải chi tiết.
8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan
2
x + cot
2
x) + c = 0: Với 1 phương trình có
lời giải chi tiết.
9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan
2
x + cot
2
x) + c = 0: Với 1 phương trình có
lời giải chi tiết.
10. Các phương trình lượng giác khác:
10.1 Biến đổi về tích: Với 80 phương trình có lời giải chi tiết.
10.2 Biến đổi thẳng về phương trình lượng giác cơ bản: Với 20 phương trình
có lời giải chi tiết.
10.3. C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc: Với 27 phương trình có lời
giải chi tiết.
11. Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi Tuyển sinh vào các
trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2008: Với 42 phương trình có lời giải chi
tiết.
12. 26 phương trình lượng giác trong các kỳ thi chính thức Tuyển sinh vào các
trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2010.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
3
13. 95 phương trình lượng giác trong bộ đề thi tuyển sinh vào các trường Đại
học và Cao đẳng.
Phần thứ hai.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
1.1. cosx = m.
1
m
: Vô nghiệm(vn)
1
m
: Gọi T =
1 2 3
0, , , , 1
2 2 2
Nếu
m T
thì chọn
sao cho
os
c m
. Khi đó nghiệm của phương trình là:
2
x k
, (
k
).
Nếu
m T
thì nghiệm của phương trình là:
arccos 2
x m k
, (
k
).
VD1.
a) Phương trình cosx =
1
2
2 ;( )
3
x k k
.
b) Phương trình
3
osx = - 2 ;( )
2 6
c x k k
.
c) Phương trình
5 5
osx = - arccos - 2 ;( )
2 2
c x k k
.
d) Phương trình
10
osx = -
3
c : vn vì
10
1
3
.
Chú ý 1:
i) Phương trình
osx = 0 ;( )
2
c x k k
.
ii) Phương trình
osx = 1 2 ;( )
c x k k
.
3i) Phương trình
osx = - 1 2 ;( )
c x k k
.
Chú ý 2:
Phương trình
osx = cos 2 ;( )
c x k k
.
Tổng quát: Phương trình
osu(x) = cosv(x) ( ) ( ) 2 ;( )
c u x v x k k
.
VD2.
a) Phương trình
1
os(2x-1) = 0 2 1 ;( )
2 2 4 2
c x k x k k
.
b) Phương trình
0 0 0 0 0
os(x-15 ) = 1 x-15 360 x=15 360 ;( )
c k k k
.
c) Phương trình
0
1 1 1
os(x-15 ) = os x- x- arccos 2 ;( )
3 12 3 12 3
c c k k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
4
d) Phương trình
2
6
os 2x- = cos x- 2x- x- 2 ( )
4 12 4 12
2
9 3
x k
c k k
x k
1.2. sinx = m.
1
m
: vn
1
m
: Gọi T =
1 2 3
0, , , , 1
2 2 2
Nếu
m T
thì chọn
sao cho
sin
m
. Khi đó nghiệm của phương trình là:
2
x k
hoặc
2
x k
;
k
.
Nếu
m T
thì nghiệm của phương trình là:
arcsin 2
x m k
hoặc
arcsin 2
x m k
;
k
.
VD1.
a) Phương trình sinx =
1
2
2
6
( )
5
2
6
x k
k
x k
.
b) Phương trình
2
3
3
sinx = - ( )
4
2
2
3
x k
k
x k
.
c) Phương trình
5
arcsin - 2
2
5
sinx = - ( ).
2
5
arcsin - 2
2
x k
k
x k
.
d) Phương trình
11
sinx =
3
: vn vì
11
1
3
.
Chú ý 1:
i) Phương trình
sinx = 0 ;( )
x k k
.
ii) Phương trình
sinx = 1 2 ;( )
2
x k k
.
3i) Phương trình
sinx = - 1 2 ;( )
2
x k k
.
Chú ý 2:
Phương trình
2
sinx = sin ( )
2
x k
k
x k
.
Tổng quát: Phương trình
( ) 2
sinu(x) = sinv(x) ( )
( ) 2
u x k
k
v x k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
5
VD2.
a) Phương trình
1
sin(2x - 1) = 0 2 1 ;( )
2 2
x k x k k
.
b) Phương trình
0 0 0 0 0 0
sin(x - 15 ) = 1 x - 15 90 360 x=105 360 ;( )
k k k
.
c) Phương trình
0
1
x - arcsin 2
12 3
1 1
sin(x - 15 ) = sin x -
3 12 3
1
x - arcsin 2
12 3
1
x = +arcsin 2
12 3
( )
13 1
x = - arcsin 2
12 3
k
k
k
k
k
d) Phương trình
2x - x - 2
4 12
sin 2x - = sin x -
4 12
2x - x + 2
4 12
2
6
( )
4
2
9 3
k
k
x k
k
x k
1.3. tanx = m.
Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T =
1
0, , 1, 3
3
Nếu
m T
thì chọn
sao cho
tan
m
. Khi đó nghiệm của phương trình là:
x k
,
k
.
Nếu
m T
thì nghiệm của phương trình là:
arctan
x m k
,
k
.
VD1.
a) Phương trình tan x =
3
;( )
3
x k k
.
b) Phương trình tan x = -
1
3
;( )
6
x k k
.
c) Phương trình tan x =
2
arctan 2 ;( )
x k k
.
Chú ý:
Phương trình
tanx = tan ;( )
x k k
.
Tổng quát: Phương trình
tanu(x) = tanv(x) ( ) ( ) ;( )
u x v x k k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
6
VD2.
a) Phương trình tan 2x =
3
2 ;( ) ;( )
3 6 2
x k k x k k
b) Phương trình tan (x - 45
0
) = -
1
3
0 0 0 0 0
45 30 180 15 180 ;( )
x k x k k
c) Phương trình tan (x - 45
0
) =
2
arctan 2 +arctan 2 ;( )
4 4
x k x k k
e) Phương trình tan(2x + 1) = tan60
0
1
tan(2 1) tan 2 1 ;( )
3 3 2 6 2
x x k x k k
1.4. cotx = m.
Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T =
1
0, , 1, 3
3
Nếu
m T
thì chọn
sao cho
cot
m
. Khi đó nghiệm của phương trình là:
x k
,
k
.
Nếu
m T
thì nghiệm của phương trình là:
arcot 2 ;( )
x k k
VD1.
a) Phương trình cotx =
3
;( )
6
x k k
.
b) Phương trình cotx = -
1
3
;( )
3
x k k
.
c) Phương trình cotx = - 2
arcot(-2) ;( )
x k k
.
Chú ý:
Phương trình
cotx = cot ;( )
x k k
.
Tổng quát: Phương trình
cotu(x) = cotv(x) ( ) ( ) ;( )
u x v x k k
.
VD2.
a) Phương trình cot2x =
3
2 ;( ) ;( )
6 12 2
x k k x k k
.
b) Phương trình cot(x - 45
0
) = -
1
3
0 0 0 0 0
45 60 180 15 180 ;( )
x k x k k
.
c) Phương trình cot(x - 45
0
) =
5
arcot - 5 +arcot - 5 ;( )
4 4
x k x k k
.
e) Phương trình cot(3x - 2) = cot60
0
2
cot(3 2) cot 3 2 ;( )
3 3 3 9 3
x x k x k k
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
7
2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác.
Dạng:
( ) 0
A x B
2
[ ( )] ( ) 0
A x B x C
.
2
3
[ ( )] ( ) ( ) 0
A x B x C x D
Trong đó,
( )
x
là sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x).
VD1. Giải phương trình cos2x + 2sin
2
x + sin2x = 0.
HD. Phương trình đã cho
2 2
2cos 1 2sin 2sin2x = 0 1 sin 2 0
2 2 ,( ).
2 4
x x x
x k x k k
VD2. Giải phương trình
6 6
sin x cos x sin 2x
.
HD. Phương trình đã cho
2 2
3
1 sin 2x sin 2x 3sin 2x 4sin2x 4 0
4
1 2
x arcsin k
sin 2x 2 (vn)
2 3
(k )
sin 2x 2 / 3 1 2
x arcsin k
2 2 3
VD3. Giải phương trình
2
(3 2sin x)cosx (1 cos x)
1
1 sin2x
.
HD. Điều kiện:
sin 2x 1
Phương trình đã cho
2 2
cosx 1
3cos x sin2x 1 cos x 1 sin2x cos x 3cosx 2 0
cosx 2 (vn)
cosx 1 x k2 ; (k )
VD4. Giải phương trình
5cosx cos2x 2sin x 0
.
HD. Phương trình đã cho
2 2
sin x 0
5cosx cos2x 2sin x
5cosx (2 cos 1) 4sin x
2 2 2
sin x 0 sin x 0
5cosx (2 cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx 3 0
sin x 0
sin x 0
x k2 ; (k )
cosx 3 (vn)
3
cosx 1/ 2
cosx 1/ 2
VD5. Giải phương trình
2
2
1 1
cos x 2 cosx 2 0
cosx
cos x
.
HD. Ñieàu kieän :
0x
cos
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
8
Phương trình đã cho
2 2
1 1 1 1
cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx
cosx cosx cos x cosx
1
cosx 0 (1)
cosx
1
cosx 2 (2)
cosx
.
2
(1) 1 cos 0 (vn)
x
2 2
(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 ; (k )
x x x x x k
VD6. Giải phương trình
x
1
x
x
1
x
2
2
cos
cos
cos
cos
.
HD. Ñieàu kieän :
0x
cos
.
Phương trình đã cho
2 2
1 1 1 1
cosx 2 cosx cosx cosx 2 0
cosx cosx cosx cosx
1
cosx 1 (1)
cosx
1
cosx 2 (2)
cosx
.
2
(1) cos cos 1 0 (vn)
x x
2 2
(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 (k )
x x x x x k
VD7. Giải phương trình
2
2
1 1
cos x 2 cosx 1
cosx
cos x
.
HD. Ñieàu kieän :
0x
cos
.
Phương trình đã cho
2
1 1
cosx 2 2 cosx 1
cosx cosx
2
1 1
cosx 2 cosx 1 0
cosx cosx
01
x
1
x01
x
1
x
2
cos
cos]
cos
[cos
01xx
2
coscos
1 5
cosx (vn)
1 5
2
x arccos k2 ; (k )
2
1 5
cosx
2
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
9
VD8. Giải phương trình
2
2
1 1
2 cos x 7 cosx 2 0
cosx
cos x
.
HD. Ñieàu kieän :
0x
cos
.
Phương trình đã cho
2
2
1 1
2 cosx 2 7 cosx 2 0
cosx cosx
1 1
2 cosx 7 cosx 6 0
cosx cosx
1
cosx 2 (1)
cosx
1 3
cosx (2)
cosx 2
.
2
cos 1 2
(1) cos 2cos 1 0 arccos( 1 2) 2 ; (k )
cos 1 2 (vn)
x
x x x k
x
VD9. Giải phương trình
2
2
1 1
sin x sin x 0
sin x
sin x
.
HD. Ñieàu kieän :
0x
sin
.
Phương trình đã cho
2
1 1
sin x sinx 2 0
sin x sin x
1
sin x 1 (1)
sin x
1
sin x 2 (2)
sin x
.
2
(1) sin sin 1 0 (vn)
x x
2 2
(2) sin 2sin 1 0 (sin 1) 0 sin 1 2 ; (k )
2
x x x x x k
VD10. Giải phương trình
2
2
1 1
4 sin x 4 sin x 7 0
sin x
sin x
.
HD. Ñieàu kieän :
0x
sin
.
Phương trình đã cho
2 2
1 1 1 1
4 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0
sin x sinx sin x sin x
Trn Xuõn Bang - Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh
Phng trỡnh Lng giỏc
10
1 3
sin x (1)
sin x 2
1 5
sin x (2)
sin x 2
.
2
(1) 2sin 3sin 2 0 (vn)
x x
2
sin x 2(vn)
(2) 2sin x 5sin x 2 0
1
sin x
2
x k2
6
(k
7
x k2
6
)
VD11. Gii phng trỡnh
0
4
3
x2x2
22
cossin
.
HD. Phng trỡnh ó cho
03x214x214
2
)cos()cos(
03x24x2403x244x244
22
coscoscoscos
1
cos2x
2
2x k2 x k ; (k )
3 6
3
cos2x (vn)
2
VD12. Gii phng trỡnh
03xtg4xtg
24
2
2
x k
tgx 1
tg x 1
4
(k )
tg x 3
tgx 3
x k
3
VD13. Tỡm nghieọm cuỷa phửụng trỡnh :
4 4
sin x cos x cos2x (1)
thoỷa maừn baỏt phửụng trỡnh :
2
1
2
1 log (2 x x ) 0 (2)
HD. Phng trỡnh ó cho
4 4 2 2
1
sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2cos2x 1 0
2
cos2x 1 x k
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2 x x 0
2 x x 0
1 log (2 x x ) 0
log (2 x x ) 1
x x 0
1 x 2
1 x 2
x 1
1 x 0
x 0
Trn Xuõn Bang - Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh
Phng trỡnh Lng giỏc
11
Nghieọm cuỷa (1) thoỷa (2) khi
1 k 2
k 0
1 k 0
. Vaọy
x 0
.
VD14. Gii phng trỡnh:
03xx5x212
)
cos
(sin
)
sin
(
.
HD. Phng trỡnh ó cho
03xx5xx2
2
)cos(sin)cos(sin
sin x cosx 1
2
sin x
3
4 2
sin x cosx (vn)
2
x k2
x k2
4 4
(k )
2
3
x k2
x k2
4 4
VD15. Gii phng trỡnh:
07xx12x215
)
cos
(sin
)
sin
(
.
HD. Phng trỡnh ó cho
07xx12xx5
2
)cos(sin)cos(sin
x k2
4 4
3
2
x k2
sin x
sin x cosx 1
4 4
4 2
(k )
7
7
sin x cosx
7
x arcsin k2
sin x
5
4
5 2
4
5 2
7
x arcsin k2
4
5 2
.
x k2
x k2
2
(k )
7
x arcsin k2
4
5 2
3 7
x arcsin k2
4
5 2
VD16. Gii phng trỡnh
x22x2
24
coscos
.
HD. Phng trỡnh ó cho
2
4 2
2
cos 2x 1
cos 2x cos 2x 2 0
cos 2x 2(vn)
sin 2 0 2 ; (k )
2
k
x x k x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
12
VD17. Giải phương trình
03x4x2
42
sincos
.
HD. Phương trình đã cho
03x4x21
422
sin)sin(
03x4x4x41
442
sinsinsin
2
sin 1 cos 0 ; (k )
2
x x x k
VD18. Giải phương trình
2 2
cos x cos 2x 1
.
HD. Phương trình đã cho
011x4x4x011x2x
242222
coscoscos)cos(cos
2
4 2
2
cos x 0
4cos x 5cos x cosx 0 x k (k )
5
2
cos x (vn)
4
VD19. Giải phương trình
x231x2
4
coscos
.
HD. Phương trình đã cho
)coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2
244224
5
2
x21
0x
5
2
x2
0x
5
1
x
1x
01x6x5
2
2
2
24
cos
sin
cos
sin
cos
cos
coscos
x k
sin x 0
(k )
1 3
3
x arccos k2
cos2x
2 5
5
.
VD20. Giải phương trình
07x213x8
4
cossin
.
HD. Phương trình đã cho
06x26x807x2113x8
2424
sinsin)sin(sin
4 2 2 2 2
1 1 1
4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3(vn) 2sin x 1 cos2x
4 2 2
1
cos2 2 2 ; (k )
2 3 6
x x k x k
.
VD21. Giải phương trình
2xgxtg
22
cot
2
xtg
1
xtg
2
2
(1) .
HD. Ñieàu kieän : 0tgx
.
(1) 01xtg01xtg2xtg
2224
)(
2
tg x 1 tgx 1 x k ; (k )
4
VD22. Giải phương trình
(1)
cos
2
x
1
xtg4
2
4
.
HD. Ñieàu kieän :
0x
cos
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
13
2
4 2 4 2
2
tg x 1
(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0
3
tg x (vn)
4
tgx 1 x k ; (k )
4
VD23. Giải phương trình
8
1
xx
88
cossin
.
HD. Phương trình đã cho
8
1
xx2xx
8
1
xx
442442424
cossin)cos(sin)(cos)(sin
4
2 2 4 2 4
1 1 1 1 1
(1 sin 2x) 2(sin x cosx) 1 sin 2x sin 2x 2 sin2x
2 8 4 2 8
1x2x22x288
8
1
x2
8
1
x2
4
1
x21
442442
sinsinsinsinsinsin
2
4 2
2
sin 2x 1
sin 2x 8sin 2x 7 0
sin 2x 7 (vn)
0x2
cos
2 ; (k ).
2 4 2
k
x k x
VD24. Giải phương trình
cos 4x 6sin x cos x 1
.
HD. Phương trình đã cho
2
sin2x 0
1 2sin 2x 3sin2x 1 0 sin2x 0 x k
2
sin2x 3/ 2 (vn)
.
VD25. Giải phương trình
2
cosx(2sin x 3 2) 2cos x 1
1 (1)
1 sin 2x
.
HD. Đieàu kieän :
sin 2x 1 x k
4
.
2 2
(1) sin2x 3 2 cosx 2cos x 1 1 sin2x 2cos x 3 2 cosx 2 0
x k2
cosx 2 (vn)
4
x k2
4
cosx 2 / 2
x 2k (loaïi)
4
;
( )
k
VD26. Giải phương trình
1
2tan x cot 2x 2sin 2x
sin 2x
.
HD. Ñieàu kieän :
cosx 0
sin 2x 0
sin 2x 0
.
Phương trình đã cho
2
sin x cos2x 1 sinxsin2x
2 2sin 2x 2 cos2x 2sin 2x 1 0
cosx sin2x sin 2x cosx
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
14
2 2 2
4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 1 0 2(1 cos2x) cos2x 3 cos 2
x 0
2
cos2x 1 (loaïi,vì sin2x 0)
1
2cos 2x cos2x 1 0 cos2x
2
cos2x 1/ 2
2
2x 2k x k
3 3
;
( )
k
.
VD27. Giải phương trình
2
tan x tan x.tan3x 2
.
HD. Ñieàu kieän :
cosx 0
cos3x 0
Phương trình đã cho
2
sin xsin2x 2sin x cosx
tan x(tan x tan3x) 2 2 2
cosx cos x cos3x cosx cosx cos3x
2 2 4 2 4 2
sin x cosx cos3x cos x 1 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x 1 0
2 2
k
(2cos x 1) 0 cos2x 0 2x k x
2 4 2
;
( )
k
VD28. Giải phương trình
2
(sin2x 3 cos2x) 5 cos 2x
2
.
HD. Phương trình đã cho
2
1 3
4( sin 2x cos2x) cos 2x 5 0
2 2 2
.
2
cos 2x 5/ 4 (vn)
6
4cos 2x cos 2x 5 0
6 6
cos 2x 1
6
7
2x 2k x k
6 12
;
( )
k
.
VD29. Giải phương trình
0,25 4
x x
log sin sin x log sin cos2x 0
2 2
.
HD. Phương trình đã cho
4 4
x x
log sin sin x log sin cos2x
2 2
x k2
1
6
sinx
2
7
x k2
6
;
( )
k
VD30. Giải phương trình
2 2
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0 (1)
cosx
.
HD. Ñieàu kieän :
cos x 0
2 2
(1) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 9 3cos2x 0 2cos 2x 3cos2
x 1 0
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
15
2
cos2x 1 1 cos2x 0
2cos x 0
cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2
cos2x 1/ 2
cosx 0 (loaïi)
x k ; (k )
3
cos2x 1/ 2
VD31. Giải phương trình
cos3x 1 3sin3x
.
HD. Phương trình đã cho
2 2 2
1 3 sin3x 0 sin3x 3 / 3
cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x 4sin 3x 2 3 sin3x 0
k
sin3x 0 3x k x
3
;
( )
k
.
VD32. Giải phương trình
2
cotx tan x 4sin 2x (1)
sin 2x
HD. Ñieàu kieän :
k
sin 2x 0 x
2
cosx sinx 2 2cos2x 2
(1) 4sin2x 4sin 2x
sin x cosx sin2x sin2x sin2x
2 2 2
2cos2x 4sin 2x 2 cos2x 2(1 cos 2x) 1 2cos 2x cos2x 1
0
cos2x 1 (loaïi do sin 2x 0)
x k ; (k )
1
6
cos2x
2
VD33. Giải phương trình
2
5sin x 2 3(1 sin x)tan x (1)
HD. Ñieàu kieän :
cosx 0 x k
2
2 2
2 2
sin x sin x
(1) 5sinx 2 3(1 sin x) 5sin x 2 3(1 sin x)
cos x 1 sin x
2
2 2
3sin x
5sinx 2 (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x 2 0
1 sin x
sin x 2 (vn)
x 2k
6
(k )
1
5
sinx
x 2k
2
6
VD34. Giải phương trình
3cosx cos2x cos3x 1 2sin xsin2x
.
HD. Phương trình đã cho
2 3 2
3t 2t 1 4t 3t 1 4(4 t )t (t cosx)
2
t 0 cosx 0
x k
2t 2t 0 (k )
2
t 1 cosx 1
x 2k
.
Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
16
VD35. Tìm x thuộc đoạn
x 0;2
nghiệm đúng phương trình :
cos3x sin 3x
5 sin x cos2x 3 (1)
1 2sin 2x
HD. Điều kiện :
1 2sin2x 0 sin2x 1/ 2 (2)
(1) 5 sin x 2sin xsin2x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2s
in2x)
5 sin x cosx cos3x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin 2x
)
5 sin x sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin 2x)
5cosx 1 2sin2x (cos2x 3)(1 2sin 2x) 5cosx cos2x 3
2 2
cosx 2 (vn)
5cosx 2cos x 2 2cos x 5cosx 2 0
cosx 1/ 2 (thỏa đk (2))
x 2k
3
; ( k
)
Vì
x 0;2
nghiệm của phương trình là:
x
3
,
5
x
3
.
VD36. Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos
4
x + sin
4
x).
HD. Phương trình đã cho
Ta có: 2(cos
4
x + sin
4
x) = 2[(cos
2
x + sin
2
x)
2
– 2sin
2
xcos
2
x]
= 2
2
1
1 sin 2
2
x
= 2 – sin
2
2x
Phương trình đã cho tương đương sin
2
2x + sin2x -1 = 0
Đặt t = sin2x với điều kiện -1 t 1 ta được phương trình:
t
2
+ t – 1 = 0 t =
1 5
2
. Giá trị
1 5
2
< -1 nên bị loại.
Với t =
1 5
2
ta có phương trình sin2x =
1 5
2
Phương trình này có nghiệm: x =
1 1 5
arcsin
2 2
k
, (k )
x =
1 1 5
arcsin
2 2 2
k
, (k ).
VD37. Giải phương trình sin
2
x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
HD. Điều kiện: cosx 0
Chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta được:
tan
2
x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan
2
x)
tan
3
x – tan
2
x = 5tanx – 3 – 2 tan
2
x
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
17
tan
3
x + tan
2
x – 5tanx + 3 = 0
Đặt t = tanx ta được phương trình.
t
3
+ t
2
– 5t +3 = 0 (t – 1)(t
2
+ 2t – 3) = 0
1
3
t
t
Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm
4
x k
, k
Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã
cho có các nghiệm x =
4
k
, x = arctan(-3) + k, k
VD38. Giải phương trình:
3 3
2 3 1 3 1
sin cos sin 2 sin cos
3 2 2 3
x x x x x
HD. Phương trình đã cho tương đương
3 3
2 3 1 3 3 2
sin cos 2sin cos sin cos
3 2 6
x x x x x x
= 0
3 2 2 3 2 2
2 2
sin 3sin cos sin cos cos sin cos 3sin cos 0
3 3
x x x x x x x x x x
2 2
2
sin 3sin cos cos (sin cos ) 0
3
x x x x x x
2 2
sin cos 0 (1)
2
sin 3sin cos cos 0 (2)
3
x x
x x x x
(1)
x =
3
4
+k, k
(2)
sin
2
x -
3
sinxcosx +
2
3
cos
2
x = 0
i) cosx = 0 không thoả mãn phương trình.
ii) cosx 0, chia hai vế của phương trình cho cos
2
x, ta được:
tan
2
x -
2
3 tan 0
3
x
Phương trình đã cho có nghiệm:
x =
3
,
4 6
k x k
, x = arctan
2 3
3
+ k, k .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
18
VD39. Giải phương trình:
2
3 4 2sin2
2 3 2(cotg 1)
sin2
cos
x
x
x
x
.
HD. Đk:
2
x k
Phương trình đã cho tương đương với:
2
2 2
2
2
4
3 1 2 3 2
sin2
2(sin cos )
3 3 2
sin cos
3 2 3 0
tg cotg
tg cotg
tg tg
x x
x
x x
x x
x x
x x
3
3
1
3
6
tg
tg
x k
x
x
x k
(k
)
So sánh với điều kiện, ta có nghiệm :
6 2
x k
; (k
).
VD40. Giải phương trình
2
4x
os os
3
c c x
.
HD. Phương trình đã cho
2 2
3 2
2 1 os2x 2 1 1 2x
2cos 1 2cos 1 os3.
3 2 3 2 2 3
2 2 2
4cos 4cos 3cos 3 0
3 3 3
2
2
cos 1
3
2
3
3
( ).
3
2
2 3
cos
4 2
3 6
3 2
x c x
c
x x x
x
x
x k
k
k
x
x k
x
k
VD41. Giaûi phöông trình
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
.
HD. ĐK:
2
x k
,
Phương trình đã cho
02cos312cos1(312cos22
2
xxx
kx
k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2
( )
k
Trn Xuõn Bang - Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh
Phng trỡnh Lng giỏc
19
2
k
x tha K khi ch khi
x m
Vy (1) cú 3 h nghim l:
; ,( , )
6
x m x k m k
.
VD42. Giaỷi phửụng trỡnh 1
cos
1
sin2)1cos2(cos1
x
xxx
.
HD. K :
cos 1 2
x x k
,
( )
k
Phng trỡnh ó cho
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21
22
xxxxxx
2sin
2
2
sin02sin2sin2
2
xxxx (loi)
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
( )
k
VD43. Giaỷi phửụng trỡnh
2
3 2 3(1 ).cot
cosx cosx x
.
HD. K :
x k
,
( )
k
Phng trỡnh ó
cho
x
x
xx
2
2
sin
cos
)cos1(322cos3
2
2
cos
3cos2 2 3(1 cos )
1 cos
x
x x
x
02coscos6
cos
1
cos3
2cos3
2
2
xx
x
x
x
2)
3
2
arccos(
2
3
3
2
cos
2
1
cos
kx
kx
x
x
( )
k
VD44. Giaỷi phửụng trỡnh
6 6 2
sin 2 1
x cos x cos x
.
HD.
4
1
2cos
4
3
2sin
4
3
1)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
32
3
266
x
xxxxxxx
xxxx
Phng trỡnh ó cho 012cos42cos32cos
4
1
2cos
4
3
22
xxxx
2
3
1
arccos
2
1
3
1
2cos
12cos
kx
kx
x
x
( )
k
VD45. Tỡm caực nghieọm treõn khoaỷng
0;
cuỷa phửụng trỡnh
Trn Xuõn Bang - Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh
Phng trỡnh Lng giỏc
20
sin3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1
x x
cosx x
x
HD. K : sinx
2
12
2
12
5
2
1
mx
mx
( )
k
)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin
33
xxxxxxxxxxxx
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin
xxxxxxx
xx
x
xx
cossin
1
2
sin
2
3cos3sin
Phng trỡnh ó cho
)sin21(4sin72cos4)coscos(sin7
2
xxxxxx
3sin
2
1
sin03sin7sin2
2
xxxx (loi)
2
6
5
2
6
2
1
sin
kx
kx
x
( )
k
Trong khong
;0 ta c hai nghim ca phng trỡnh l:
6
5
;
6
xx
VD46. Cho phửụng trỡnh
cos2 (2 1)sin 1 0 (*)
x m x m
.
a) Giaỷi phửụng trỡnh khi m = 2.
b) Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh (*) coự nghieọm treõn khoaỷng
;2
Phng trỡnh ó cho 01sin)12(sin21
2
mxmx
0sin)12(sin2
2
mxmx
a) Khi m = 2: Phng trỡnh ó cho
2
2sin 5sin 2 0
x x
1
2
in
6
2
5
s nx = 2
2
6
x k
s x
i
x k
( )
k
b) Tỡm m PT (*) cú nghim trờn khong
;2
:
t sinx = t.
012; tx
.
Phng trỡnh ó cho tng ng
2
2 (2 1) 0, [-1; 0)
t m t m t
1
2
t
t m
Vy ta phi cú :
1; 0
m
VD47. Giaỷi phửụng trỡnh
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
21
HD. ĐK:
2
x k
,
Phương trình đã cho
02cos312cos1(312cos22
2
xxx
kx
k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2
( )
k
2
k
x thỏa ĐK khi chỉ khi
x m
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là:
; ,( , )
6
x m x k m k
.
VD48. Giaûi phöông trình 1
cos
1
sin2)1cos2(cos1
x
xxx
.
HD. ĐK :
cos 1 2
x x k
,
( )
k
Phương trình đã cho
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21
22
xxxxxx
2sin
2
2
sin02sin2sin2
2
xxxx (loại)
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
( )
k
VD49. Giaûi phöông trình
2
3 2 3(1 ).cot
cosx cosx x
.
HD. ĐK :
x k
,
( )
k
Phương trình đã
cho
x
x
xx
2
2
sin
cos
)cos1(322cos3
2
2
cos
3cos2 2 3(1 cos )
1 cos
x
x x
x
02coscos6
cos
1
cos3
2cos3
2
2
xx
x
x
x
2)
3
2
arccos(
2
3
3
2
cos
2
1
cos
kx
kx
x
x
( )
k
VD50. Giaûi phöông trình
6 6 2
sin 2 1
x cos x cos x
.
HD.
4
1
2cos
4
3
2sin
4
3
1)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
32
3
266
x
xxxxxxx
xxxx
Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
22
Phương trình đã cho 012cos42cos32cos
4
1
2cos
4
3
22
xxxx
2
3
1
arccos
2
1
3
1
2cos
12cos
kx
kx
x
x
( )
k
VD51. Tìm các nghiệm trên khoảng
0;
của phương trình :
sin3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1
x x
cosx x
x
HD. ĐK : sinx
2
12
2
12
5
2
1
mx
mx
( )
k
)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin
33
xxxxxxxxxxxx
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin
xxxxxxx
xx
x
xx
cossin
1
2
sin
2
3cos3sin
Phương trình đã cho
)sin21(4sin72cos4)coscos(sin7
2
xxxxxx
3sin
2
1
sin03sin7sin2
2
xxxx (loại)
2
6
5
2
6
2
1
sin
kx
kx
x
( )
k
Trong khoảng
;0 ta được hai nghiệm của phương trình là:
6
5
;
6
xx
VD52. Cho phương trình :
cos2 (2 1)sin 1 0 (*)
x m x m
.
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
;2
HD. Phương trình đã cho 01sin)12(sin21
2
mxmx
0sin)12(sin2
2
mxmx
a) Khi m = 2: Phương trình đã cho
2
2sin 5sin 2 0
x x
1
2
in
6
2
5
s nx = 2
2
6
x k
s x
i
x k
( )
k
b) Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng
;2
:
Đặt sinx = t.
012; tx
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
23
Phương trình đã cho tương đương
2
2 (2 1) 0, [-1; 0)
t m t m t
1
2
t
t m
Vậy ta phải có :
1; 0
m
VD53. Giải phương trình
x x
x
x x
2
cos2 sin2
3 cot 3
sin cos
.
HD. Điều kiện
x
x
sin 0
cos 0
x m
2
(1).
Phương trình đã cho
x x x x x
x x
x
2
2
cos cos2 .cos sin2 .sin
3 3.
sin .cos
sin
x x
x x
x
2
2
cos cos
3 3.
sin .cos
sin
x x
2
2sin 3sin 1 0
x
x
sin 1
1
sin
2
x k loaïi
x k
x k
2 ( )
2
2
6
5
2
6
( )
k
Vậy phương trình có nghiệm
x k x k
5
2 ; 2
6 6
,
( )
k
VD54. Giải phương trình
x x
2
3tan 1 3 tan 1 0
HD.
x
x k
x x
x
x k
2
tan 1
4
1
3 tan 1 3 tan 1 0
tan
3
6
VD55. Giải phương trình
x x
x
cos2 3cos 2
0
2sin 3
.
HD.
Điều kiện: x x
2
3 1
sin cos
2 4
(*)
Phương trình đa cho tương đương:
x
x x x x k k
x loaïi
2
cos 1
2cos 3cos 1 0 cos 1 2 ,( )
1
cos ( )
2
VD56. Giải phương trình cos2x - cosx - 2 = 0.
HD. Phương trình đã cho tương đương:
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
24
2
2cos cos 3 0
cos 1
3
cos (vn)
2
cos 1
2 ,( )
x x
x
x
x
x k k
VD57. Giải phương trình
cos2 3cos 2 0
x x
HD. Phương trình đã cho tương đương:
2
2cos 3cos 1 0
x x
cos 1
cos 1
1
cos os
cos
3
2
x
x
x cx
2
2
3
x k
k
x k
VD58. Giải phương trình
2 2
2cos 2 3cos 4 0
x x
HD. Phương trình đã cho tương đương:
2 2 2
cos2 1
2cos 2 3(2cos x - 1) + 1 = 0 2cos 2 3 os2x + 1 = 0
1
cos2
2
x
x x c
x
2 2
2 2
3 6
x k x k
k
x k x k
.
VD59. Giải phương trình 2sin
2
x + cosx – 1 = 0.
HD. Phương trình đã cho tương đương:
2( 1 – cos
2
x) + cosx – 1 = 0 –2cos
2
x + cosx + 1 = 0
cosx = 1 x = k2 ( k
)
cosx = –
1
2
x k
x k
2
2
3
2
2
3
( k
)
Nghiệm của phương trình là: x = k2;
x k x k
2 2
2 ; 2
3 3
(k
).
VD60. Giải phương trình
2
2sin 5cos 1 0
x x
.
2
2cos 5cos 3 0
x x
cos 3
1
cos
2
x
x
(loaïi)
2
2 ( )
3
x k k
.
VD61. Giaûi phöông trình
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác
25
HD. ĐK:
2
x k
,
Phương trình đã cho
02cos312cos1(312cos22
2
xxx
kx
k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2
( )
k
2
k
x thỏa ĐK khi chỉ khi
x m
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là:
; ,( , )
6
x m x k m k
.
VD62. Giaûi phöông trình 1
cos
1
sin2)1cos2(cos1
x
xxx
.
HD. ĐK :
cos 1 2
x x k
,
( )
k
Phương trình đã cho
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21
22
xxxxxx
2sin
2
2
sin02sin2sin2
2
xxxx (loại)
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
( )
k
VD63. Giaûi phöông trình
2
3 2 3(1 ).cot
cosx cosx x
.
HD. ĐK :
x k
,
( )
k
Phương trình đã
cho
x
x
xx
2
2
sin
cos
)cos1(322cos3
2
2
cos
3cos2 2 3(1 cos )
1 cos
x
x x
x
02coscos6
cos
1
cos3
2cos3
2
2
xx
x
x
x
2)
3
2
arccos(
2
3
3
2
cos
2
1
cos
kx
kx
x
x
( )
k
VD64. Giaûi phöông trình
6 6 2
sin 2 1
x cos x cos x
.
HD.
