011 gt12 ciii b1 nguyên hàm trac nghiem bo hdg chi tiet

C
H
Ư
Ơ
N

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

III
=
=
=I

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

III

BÀI 1. NGUYÊN HÀM

HỆ THỐNG BÀI TẬP

TRẮC NGHIỆM.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY

Câu 1:

Câu 2 (101-2023) Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

1
3

x dx x

4
3

1

C

4

3
x 3 dx  x 3  C

4
B.
. C.

.

x

1
3

1

2
3

dx  x  C

.

2

3
x 3 dx  x 3  C

2
D.
.

Lời giải
1

x 3 dx 
Ta có
Câu 2:

1
1
3 4
x3  C  x3  C
1
4

1
3
với C   .

1

Câu 2 (102-2023) Khẳng định nào dưới đây đúng?
5

A.

x dx 5x

4

C

5

.

B.

x dx x

6

C

1

x dx  x 6  C

6
C.
. D.
5

.

x5
x dx  ln 5  C .
5

Lời giải

1

5

x dx  6 x
Ta có
Câu 3:

6

C

, với C là hằng số.

Câu 4 (103-2023) Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

1 6
5
x dx 6 x  C . B.

5
x dx 

x5
C
ln 5
.

5

C.

x dx 5 x

4

C

5

.

D.

x dx x

6

C

.

Lời giải
Câu 4:

Câu 13 (104-2023) Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

1
3

x dx x

4
3

C

1
3 34
3
x
d

x

x C
x dx  x  C

4
B. 
.
C.
. D.
Lời giải

1
3

.

2
3

1
3 32
3
x
d
x

x C

2

.

x 1
x dx    1  C ,   1 .
Áp dụng công thức


Page 294
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 5:

Câu 4 (101-2023) Cho hàm số f ( x) cos x  x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

C.

f ( x)dx  sin x  x

f ( x)dx sin x  x

2

2

C

C

x2
f ( x)dx  sin x  2  C .
B.

.

.

f ( x)dx sin x 

D.

x2
C
2
.

Lời giải

f ( x)dx  cos x  x  dx sin x 
Ta có
Câu 6:

1 2
x C
2
với C   .

Câu 26 (102-2023) Cho hàm số

f  x  1  2cos 2 x

A.

f  x  dx x  2sin 2 x  C .

B.

f  x  dx x  sin 2 x  C .

C.

f  x  dx x  sin 2 x  C .

D.

f  x  dx x  2sin 2 x  C .

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Lời giải
Ta có
Câu 7:

f  x  dx  1  2 cos 2 x  dx 1dx +2cos 2 xdx x  sin 2 x  C

Câu 16 (103-2023) Cho hàm số

f  x  1  2cos 2 x

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

f  x  dx x  sin 2 x  C .

B.

f  x  dx x  2sin 2 x  C .

C.

f  x  dx x  2sin 2 x  C .

D.

f  x  dx x  sin 2 x  C .

Lời giải

cos 2 xd  2 x 

Ta có
Câu 8:

 1  2 cos 2 x dx 1dx  2 cos 2 xdx x  2

Câu 6 (104-2023) Cho hàm số
A.

C.

f  x  dx  sin x  x
f  x  dx sin x  x

2

2

C

C

.

.

f ( x ) = cos x - x

2

 x  sin 2 x  C

.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?
B.

f  x  dx sin x 

D.

x2
C
2
.

f  x  dx  sin x 

x2
C
2
.

Lời giải

f  x  dx sin x 

x2
C
2
.

VD-VDC-NGUYÊN HÀM

Page 295
Sưu tầm và biên soạn

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 9:

f  x

nhận giá trị dương trên khoảng 
f  x  ln f  x   x  f  x   f  x   , x   0;  

Câu 42 (101-2023) Cho hàm số
trên khoảng đó và thỏa mãn

f 2
giá trị   thuộc khoảng nào dưới đây?
12;14  .
4;6  .
A. 
B. 

C.

 1;3 .

D.

0;  

, có đạo hàm

. Biết

f  1  f  3

,

 6;8 .

Lời giải
Ta có


f  x  


f  x  ln f  x   x  f  x   f  x    ln f  x  x  1 
  ln f  x  x  1   ln f  x   
f  x 



  x   ln f  x   x  ln f  x    x   x ln f  x    x

.

1
x ln f  x  xdx  x 2  C
2
Từ đó
.
1
ln f  1   C

2
Cho x 1 ta được
9
3ln f  3   C
2
Cho x 3 ta được

Theo bài ra thì

f  1  f  3

, từ đó suy ra

C

1
3
3
x
2 2x
f
x

e


2 nên
.

7

Cho x 2 ta được

f  2  e 4 5, 75

Câu 10: Câu 48 (102-2023) Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương trên khoảng (0; ) , có đạo hàm trên

f ( x ) ln f ( x)  x  f ( x)  f ( x)  , x  (0; )
khoảng đó và thỏa mãn
. Biết f (1)  f (4) , giá trị
f (2) thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

 1;3 .

B.

 8;10  .

C.

 6;8 .

D.

 13;15 .

Lời giải

f ( x) 

f ( x ) ln f ( x) x  f ( x )  f ( x)   ln f ( x) x  1 
  ln f ( x) x  1  (ln f ( x))
f
(
x
)


Ta có
1 2
 ( x)ln f ( x)  x  ln f ( x)   x   x ln f ( x)   x  x ln f ( x ) xdx  2 x  C
.
1
ln f (1)   C
2
Cho x 1 ta được
.

Cho x 4 ta được 4 ln f (4) 8  C .

Page 296
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Theo đề
Vậy

f  x  e
nên suy ra 2  4C 8  C  C 2 nên

f  1  f  4 

f  2  e2 7,39

.

.

f  x

Câu 11: Câu 48 (103-2023) Cho hàm số
khoảng đó và thỏa mãn
trị

x 2

2 x

nhận giá trị dương trên khoảng

 0; 

f  x  ln f  x   x  2 f  x   f '  x   , x   0;  

. Biết

có đạo hàm trên

f  1  f  3

, giá

f  2

thuộc khoảng nào dưới đây?
 40; 42  .
 3;5 .
A.
B.

C.

 32;34  .

D.

 1;3 .

Lời giải
Ta có:

x   0;  

f  x  ln f  x  x  2 f  x   f '  x  

 f  x  ln f  x  2 xf  x   xf '  x 
 f  x  ln f  x   xf '  x  2 xf  x 
 ln f  x  

xf '  x 
2 x
f  x

  x ln f  x   ' 2 x

 x ln f  x   x 2  C

.

Có:
1ln f  1 1  C


3ln f  3 9  C

Vậy:

3ln f  1 3  3C

3ln f  3  9  C  0  6  2C  C 3 .

x ln f  x   x 2  3  ln f  x   x 

 f  x  e
f  2  e

2

x

3
2

3
x

33,12

.

Câu 12: Câu 42 (104-2023) Cho hàm số

f  x

trên khoảng đó và thỏa mãn

f  1  f  4 

3
x

, giá trị

f  2

nhận giá trị dương trên khoảng

f  x  ln f  x   x  2 f  x   f  x  

,

 0;  , có đạo hàm
x   0;  

. Biết

thuộc khoảng nào dưới đây?
Page 297
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A.

 54;56  .

B.

 74;76  .

C.

 10;12  .

D.

 3;5 .

Lời giải

Ta có
f  x  ln f  x   x  2 f  x   f  x    ln f  x  2 x  x
 ln f  x   x

f  x 

f  x 
f  x

2 x   x ln f  x    2 x

f  x

 x ln f  x   x 2  C
ln f  1 1  C
 4  1  C  16  C  C 4

4
ln
f
4

16

C
f  1  f  4 



Từ

ta có 
.
Do đó
Câu 13:

x

4
x

 f  2  e 4 54,598   54;56 

.

f  x  dx  cos x  C .
(MĐ 101-2022) Cho 
Khẳng định nào dưới đây đúng?
f  x   sin x
f  x   cos x
f  x  sin x
f  x  cos x
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn C
Ta có

Câu 14:

x ln f  x   x 2  4  f  x  e

sin xdx  cos x  C. Vậy f  x  sin x.

(MĐ 101-2022) Cho hàm số

f  x  dx e
f  x  dx e
C. 

x

A.

x

f  x  e x  2 x

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

2

 x C
 x2  C

f  x  dx e
f  x  dx e
D. 

.

x

B.

.

x

C

.

 2x2  C

.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

Câu 15:

f  x  dx  e

x

 2 x  dx e x  x 2  C

(MĐ 101-2022) Cho hàm số
A.

f  x  dx x  tan 2 x  C

f  x  dx x 
C.

f  x  1 

.

1
cos 2 2 x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
1

.

1
tan 2 x  C
2
.

f  x  dx x  2 cot 2 x  C .
B.
1

f  x  dx x  2 tan 2 x  C .
D.
Lời giải

Chọn C

Page 298
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1



Ta có,
Câu 16:

f  x  dx  1  cos

2


 dx 1dx 
2x 

(MĐ 102-2022) Cho hàm số

f  x  dx e

f  x  dx e
C. 

x

A.

f  x  e x  2 x

1

cos

2

x

C

.

B.

f  x  dx e

. D.

x

1

tan 2 x  C
2
.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

2

 2x  C

2x

dx x 

f  x  dx e

x

 x2  C

.

 x2  C

.
Lời giải

Chọn D
Có:
Câu 17:

f  x  dx  e

x

 2 x  dx e x  x 2  C
.

(MĐ 102-2022) Cho
A. f ( x)  sin x .

f ( x)dx  cos x  C . Khẳng định nào dưới đây đúng?
B. f ( x) cos x .

C. f ( x) sin x .
Lời giải

D. f ( x)  cos x .

Chọn C
Ta có:
Câu 18:

f  x    cos x   sin x

(MĐ 102-2022) Cho hàm số

.

f  x  1 

1
cos 2 2 x . Khẳng định nào dưới đây đúng

1

A.

f  x dx x  2 cot 2 x  C

C.

f  x dx x  2 tan 2 x  C

.

B.

f  x dx x  tan 2 x  C

1

.

D.
Lời giải

f  x dx x 

.

1
tan 2 x  C
2
.

Chọn D
1



Ta có:
Câu 19:

 1  cos

2

1

dx  x  tan 2 x  C
2x 
2
.

(MĐ 103-2022) Khẳng định nào dưới đây đúng?
x

e dx  xe
A. 

x

C

x

e dx e
B. 

.

x 1

C

x

e dx  e
C. 

.
Lời giải

x 1

C

x

.

e dx e
D. 

x

C

.

Chọn D
x

e dx e
Ta có: 
Câu 20:

x

C

.

(MĐ 103-2022) Hàm số

F  x  cot x

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên

 
 0; 
khoảng  2  ?

Page 299
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

A.

f2  x  

1
sin 2 x .

f1  x  

B.

1
cos 2 x .

C.
Lời giải

f1  x  

1

cos 2 x .

f 2  x  

D.

1
sin 2 x .

Chọn B
1
 cos x 
F  x   cot x   
 
sin 2 x .
 sin x 
Ta có
Câu 21:

(MĐ 103-2022) Cho hàm số
1
f  x  dx x  e x  C

2
A.
.

1

f  x  dx x  2 e

C.

2x

C

f  x  1  e 2 x

. Khẳng định nào sau đây đúng?

f  x  dx x  2e

B.

2x

C

.

f  x  dx x  e2 x  C
D. 
.
Lời giải

.

Chọn C

1

f  x  dx x  2 e
Áp dụng bảng nguyên hàm ta có
Câu 22:

2x

C

.

(MĐ 104-2022) Hàm số F ( x) cot x là một nguyên hàm của hàm số nào dươi đây trền

 
 0; 
khoàng  2  ?
1
f 2 ( x)  2
sin x
A.

B.

f1 ( x) 

1
cos 2 x

C.
Lời giải

f3 ( x) 

1
sin 2 x

D.

f 4 ( x) 

1
cos 2 x

Chọn C

f  x   F ( x)    cot x   
Câu 23:

1
sin 2 x .

(MĐ 104-2022) Khẳng định nào dưới đây là đúng?
x

x

e dx e  C .
e dx  e  C
C. 
.

A.

x

x 1

x

e dx xe
e dx e
D. 

x

B.

x

x 1

C

.

C

.
Lời giải

Chọn A

Câu 24:

(MĐ 104-2022) Cho hàm số
1
f  x  dx  x  e x  C

2
A.
.
C.

2x
f  x  dx x e  C

f  x  1  e 2 x

. Khẳng định nào dưới đây đúng?
B.

f  x  dx x  2e
1

.

2x

f  x  dx x  2e
D.

2x

C

C

.
.

Lời giải
Chọn D
Page 300
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1

 1  e  dx x  2e
- Ta có
2x

2x

C

.

***********************
Câu 25:

(TK 2020-2021) Cho hàm số
đúng?
f  x  dx 3x
A. 
1

3

f  x  dx 3 x
C.

3

f  x  3x 2  1.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
3

 x  C.

3

 C.

 x  C.

f  x  dx x
B. 

 x  C.

f  x  dx x
D. 
Lời giải

(3x
Áp dụng cơng thức ngun hàm cơ bản: ị
Câu 26:

(TK 2020-2021) Cho hàm số
1
f  x  dx  sin 2 x  C.

2
A.
C.

f  x  cos 2 x.

f  x  dx 2sin 2 x  C.

2

- 1)dx = x 3 - x + C

.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1

f  x  dx  sin 2 x  C.

2
B.

f  x  dx  2sin 2 x  C .
D. 
Lời giải
1

ò cos(2x)dx = 2 sin(2 x) + C .
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
Câu 27:

f  x  x2  4

(MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số
f  x  dx 2 x  C
f  x  dx  x 2  4 x  C
A. 
. B. 
.
C.

f  x dx 

Ta có
Câu 28:

x3

 4x  C
3
.

2
f  x dx  x  4 dx 

f  x dx e
f  x dx e
C. 
A.

x

Ta có
Câu 29:

f  x  dx  x 3  4 x  C
D. 
Lời giải
x3
 4x  C
3
.

(MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số
x 2

C

C

.

f  x dx  e

x

f  x dx e
f  x dx e
D. 

x

. B.

x

 2 dx e x  2 x  C

f  x  dx x

2

 3x  C

.

f  x  e x  2

 2x  C

. Khẳng định nào sau đây đúng?

.

 2x  C

.
Lời giải

.

(MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số
A.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

f  x  x 2  3

. Khẳng định nào sau đây đúng?
x3
f
x
d
x

 3x  C




3
B.
.
Page 301

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

f  x  dx x
C. 

Ta có
Câu 30:

3

 3x  C

2
f  x  dx  x  3x  dx 

f  x  dx e
f  x  dx e
C. 
Ta có:

x 1

x

C

. B.

 x C

f  x  dx  e

x

 x C

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

.

f  x  dx e x  C
D. 
.
Lời giải

.

 1 dx e x  x  C

3
f  x  dx x  x  C

f  x  dx x
C. 

2

 x C

.

B.

.

2
f  x  dx  x  1 dx 

C.

f  x  dx e

e
Có 

x

x

 3x  C

x 3

C

f  x  dx 

D.
Lời giải

x3
 x C
3
.

f  x  dx 2 x  C .

x3
 x  C.
3

(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số

f  x  dx e
A. 

Câu 33:

f  x  dx e

x

f  x  e x  1

2
(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số f  x   x  1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.

Câu 32:

x3
 3x  C
3
.

(MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số
A.

Câu 31:

f  x  dx 2 x  C
D. 
.
Lời giải

.

f  x  e x  3

f  x  dx e

B. 

.

. D.

 3dx e x  3x  C

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

f  x  dx e

x

x

C

.

 3x  C

.
Lời giải

.

(MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số

f  x  4 x3  3

4

. Khẳng định nào dưới đây đúng?
4

f  x  dx  x  3 x  C
A. 
.
f  x  dx 4 x  3 x  C
C. 
.

f  x  dx x  C
B. 
.
f  x  dx 12 x  C
D. 
.

3

2

Lời giải
Ta có;
Câu 34:

f  x  dx  4 x

3

 3 dx x 4  3 x  C

(MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số

f  x  dx  sin x  C .
f  x  dx 4 x  sin x  C
C. 
.
A.

.

f  x  4  cos x

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

f  x  dx 4 x  sin x  C .
f  x  dx 4 x  cos x  C
D. 
.
B.

Page 302
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Lời giải

Ta có
Câu 35:

f  x  dx  4  cos x  dx 4 x  sin x  C .

(MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số

f  x  2  cos x

f  x  dx 2 x  sin x  C .
f  x  dx  sin x  C
C. 
.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

f  x  dx 2 x  cos x  C .
f  x  dx 2 x  sin x  C
D. 
.

A.

B.

Lời giải

f  x  dx  2  cos x  dx 2 x  sin x  C .
Ta chọn đáp án
Câu 36:

A.

(MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số

f  x  dx x
A. 

4

 2x  C

f  x  dx 12 x
C. 

2

C

f  x  4 x 3  2

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

f  x  dx 4 x
B. 

.

f  x  dx x
D. 

.

4

3

 2x  C

C

.

.

Lời giải
Ta có:
Câu 37:

 f  x  dx  4 x

3

 2  dx  x 4  2 x  C

. Chọn A

(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f ( x) 1  cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng?
f  x  dx  sin x  C
f  x  dx x  sin x  C

A. 
.
B. 
.
C.

f  x  dx x  cos x  C .

D.

f  x  dx x  sin x  C .

Lời giải
Ta có:
Câu 38:

f  x  dx  1  cos x  dx dx  cos xdx x  sin x  C .

(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số
4

f  x  4 x 3  1.

Khẳng định nào dưới đây đúng?
2

f  x dx x  x  C.
f  x dx 4 x  x  C .
C. 

f  x dx 12 x  C.
f  x dx x  C.
D. 

A.

B.

3

4

Lời giải
Ta có:
Câu 39:

f  x dx x

4

 x  C.

(MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số
2

f  x  dx 12 x  C .
f  x  dx  x  4 x  C
C. 
.
A.

4

f  x  4 x 3  4

. Khẳng định nào dưới đây đúng?
3

f  x  dx 4 x  4 x  C .
f  x  dx  x  C
D. 
.
B.

4

Lời giải
Page 303
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
f  x  dx   4 x
Ta có 

Câu 40:

3

 4  dx  x 4  4 x  C

 2 x  5 khi x 1
f ( x)  2
3 x  4 khi x  1 . Giả sử
(MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số

hàm của f trên
A. 27.

 thỏa mãn F (0) 2 . Giá trị của F ( 1)  2 F (2) bằng
B. 29.

1

Ta có

F là nguyên

C. 12.
Lời giải

D. 33.

2

I  f ( x)dx  2 f ( x )dx F ( 1)  F (0)  2 F (2)  2 F (0)
0

0

.

Do đó I F (  1)  2 F (2)  3F (0) F (  1)  2 F (2)  6  F ( 1)  2 F (2) I  6 .

Mà

1

0

f ( x)dx 

 3x

0

2

 4  dx  5

1

2
2
1

2f ( x )dx 2   3x 2 +4  dx   2 x  5  dx  26
1
0


và 0
.

Suy ra I 26  5 21 .
Vậy F ( 1)  2 F (2) 21  6 27 .

Câu 41:

2 x  3 khi x 1
f ( x)  2
3x  2 khi x  1 . Giả sử F là nguyên
(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số

F  0  2
F   1  2 F  2 
hàm của f trên  thoả mãn
. Giá trị của
bằng:
A. 23 .
B. 11 .
C. 10 .
D. 21 .
Lời giải
2
 x  3 x  C1
F ( x)  3
f
 x  2 x  C2
Vì F là nguyên hàm của
trên  nên

Ta có:
Ta có

khi x 1
khi x  1

F (0) 2  C2 2 .
lim f  x  lim f  x   f  1 5

x  1

x 1

nên hàm số

f  x

liên tục tại x 1 .

Suy ra hàm số

f  x

liên tục trên  .

Do đó hàm số

F  x

F x
liên tục trên  nên hàm số   liên tục tại x 1 .

Suy ra

.

lim F ( x) lim F ( x) F (1)  5 4  C1  C1 1

x  1

x1

 x 2  3 x 1
F ( x)  3
 x  2 x  2
Vậy

.

khi x 1
khi x  1

.

Ta có: F ( 1)  2 F (2)  1  2  2  2(4  6 1) 21 .

Page 304
Sưu tầm và biên soạn

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 42:

(MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số

y  f  x ,

  1;6

và có đồ thị là
đường gấp khúc ABC trong hình bên.Biết F ( x) là nguyên hàm của f ( x) thoả mãn
F ( 1)  1 . Giá trị của F (5)  F (6) bằng

A. 23 .

C. 25
Lời giải

B. 21

liên tục trên

D. 19

x    1; 6
Xét hàm số f ( x) với
; từ đồ thị hàm số ta có:
2
f ( x) 

 2 x  10

Khi đó:

 1  x 4
4  x 6

 2 x  C1
F ( x )  2
  x  10 x  C2

 1  x 4
4 x 6

Hàm số f ( x ) liên tục tại x 4 nên hàm số F ( x) liên tục tại x 4 , ta có:
lim F ( x)  lim F ( x) F (4)

x  4

x 4

suy ra:

8  C1 24  C2

 C1  2  1  C1 1
Mặt khác: F ( 1)  1
Từ

8  C1 24  C2 ta có: C2  15

 1  x 4
2 x  1
F ( x)  2
4  x 6
  x  10 x  15
Vậy:

Suy ra F (5)  F (6) 19 .
Câu 43:

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên
khoảng K nếu
A. F '( x)  f ( x), x  K .
B. f '( x) F ( x), x  K .
C. F '( x)  f ( x), x  K .

D. f '( x)  F ( x ), x  K .
Lời giải

Chọn C
Page 305
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Theo định nghĩa thì hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng K nếu
F '( x)  f ( x), x  K .
2

Câu 44:

x dx
(Mã 101 - 2020 Lần 1) 
bằng
1 3
x C
B. 3
.

A. 2x  C .

3
C. x  C .
Lời giải

3
D. 3x  C

Chọn B
Câu 45:

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số
4

2

A. 4x  C .

B. 3x  C .

f  x  x3
4

C. x  C .
Lời giải

là

1 4
x C
D. 4
.

Chọn D
3
x dx 

Ta có
Câu 46:

x4
C
4
.

x 4 dx
(Mã 103 - 2020 Lần 1) 
bằng
1 5

x C
3
A. 5
B. 4x  C

5
C. x  C

5
D. 5x  C

Lời giải
Chọn A
1

5
4
x dx 5 x  C .

5

Câu 47:

(Mã 104 - 2020 Lần 1)

x dx

bằng

1 6

x C
B. 6
.

4

A. 5x  C .

6
C. x  C .
Lời giải

6
D. 6x  C .

5
C. 5x  C .
Lời giải

3
D. 20x  C .

Chọn B
4

Câu 48:

5x dx
(Mã 101- 2020 Lần 2) 
1 5

x C
A. 5
.

bằng

5
B. x  C .

Chọn B
4

Ta có

5x dx x

5

C

.
Page 306
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
5

Câu 49:

6x dx
(Mã 102 - 2020 Lần 2) 
bằng
6

1 6
x C
C. 6
.
Lời giải

6

A. 6x  C .

B. x  C .

4
D. 30x  C .

Chọn B
5

6x dx x

Ta có:

6

C

.
2

Câu 50:

(Mã 103 - 2020 Lần 2)
3

3x dx

bằng

B. 6x  C .

A. 3x  C .

C.
Lời giải

1 3
x C
3
.

3
D. x  C .

Chọn D

x3
3 x dx 3.  C x 3  C

3
Ta có:
2

3

Câu 51:

(Mã 104 - 2020 Lần 2)

4 x dx bằng
1 4
x C
B. 4
.

4

A. 4x  C .

2
C. 12x  C .
Lời giải

4
D. x  C .

Chọn D
3

4 x dx  x
Ta có 

Câu 52:

4

C .

(Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số
1 5 1 3
x  x C
4
2
3
A. 5
B. x  x  C

f  x  x 4  x 2

là

5
3
C. x  x  C .
Lời giải

3
D. 4 x  2 x  C

Chọn A
1
1
4
2
 x5  x3  C
f
x
dx

x

x
dx






5
3
.

Câu 53:

f x 2 x  4

(Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số  
là
2
2
2
A. x  C .
B. 2x  C .
C. 2 x  4 x  C .

2
D. x  4 x  C .

Lời giải
Chọn D
Ta có
Câu 54:

f  x  dx  2 x  4  dx x

2

 4x  C

.

(Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

f  x  2 x  6

là

Page 307

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2
A. x  C .

2
B. x  6 x  C .

2
C. 2x  C .
Lời giải

2
D. 2 x  6 x  C .

Chọn B

 2 x  6  dx x
Câu 55:

2

 6x  C

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số
2

f  x  cos x  6 x

2

A. sin x  3 x  C .

2

B.  sin x  3x  C . C. sin x  6 x  C .
Lời giải

là

D.  sin x  C .

Chọn A

f  x  dx  cos x  6 x  dx sin x  3x
Ta có 
Câu 56:

(Mã 105 2017) Tìm ngun hàm của hàm số

2 sin xdx  2 cos x  C
2 sin xdx sin x  C
C. 

2

C

.

f  x  2 sin x

.

2 sin xdx 2 cos x  C
2 sin xdx sin 2 x  C
D. 

A.

B.

2

Lời giải
Chọn A
Câu 57:

(Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số
1 4 1 2
x  x C
2
2
A. 4
B. 3x  1  C

f  x  x3  x

là

3
C. x  x  C
Lời giải

4
2
D. x  x  C

Chọn A

 x
Câu 58:

3

1 4 1 2
 x 2  dx  4 x  2 x  C
.

f  x  2 x  3
(Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
là
2
2
2
2

A. x  3 x  C .
B. 2 x  3x  C .
C. x  C .
D. 2x  C .
Lời giải
Chọn A

 2 x  3  dx  x
Ta có 
Câu 59:

2

 3x  C

.

f  x   2 x  1.
(Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
2
1
f  x  dx   2 x  1 2 x  1  C.
f  x  dx   2 x  1 2 x  1  C.


3
3
A.
B.
1

f  x  dx  3
C.

2 x  1  C.

1

f  x  dx  2
D.

2 x  1  C.
Page 308

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Lời giải
Chọn B
1
1
2 d  2 x  1
2
x

1


2

1
  2 x  1 2 x  1  C
3
.

f  x  dx  2 x  1dx 

Câu 60:

f  x  x 2 

(Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

x3 1
f  x  dx  3  x  C .
A.
x3 1
f
x
d
x

 C



3 x
C.
.

2
x2 .

x3 2
f  x  dx  3  x  C .
B.
x3 2
f
x
d
x

 C



3 x
D.
.
Lời giải

Chọn B

x3 2
 2 2 
 x  x 2  dx  3  x  C
Ta có 
.
Câu 61:

(Mã 110 2017) Tìm ngun hàm của hàm số
dx
1
 ln 5 x  2  C

A. 5 x  2 5
dx

1

 ln 5 x  2  C

2
C. 5 x  2

1
5x  2 .
dx
ln 5 x  2  C

B. 5 x  2
dx
5ln 5 x  2  C

D. 5 x  2

f  x 

Lời giải
Chọn A

dx

1

 ln ax  b  C  a 0 

Áp dụng công thức ax  b a

Câu 62:

(Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

dx

1

 ln 5 x  2  C

ta được 5 x  2 5
.

f  x  cos 3 x
sin 3 x
C
3

A.

cos 3xdx 3 sin 3x  C

cos 3xdx 
B.

C.

cos 3xdx sin 3x  C

cos 3xdx 
D.

sin 3 x
C
3

Lời giải
Chọn B

cos 3xdx 
Ta có:

sin 3 x
C
3

Page 309
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 63:

(Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số
1 4 1 3
x  x C
2
3
A. 4
B. 3x  2 x  C

f  x  x3  x 2

là

3
2
C. x  x  C
Lời giải

4
3
D. x  x  C

Chọn A
Câu 64:

(Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
x

x

A. e  1  C

f  x  e x  x

ex 

2

B. e  x  C

C.
Lời giải

là

1 2
x C
2

1 x 1 2
e  x C
2
D. x  1

Chọn C
Câu 65:

(Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 x  5 là
2
2

2
2
A. x  C .
B. x  5 x  C .
C. 2 x  5 x  C .
D. 2x  C .
Lời giải
Chọn B
2
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 x  5 là F ( x)  x  5 x  C .

Câu 66:

(Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
C.

x
7 dx 

7x
C
ln 7

B.

7 x 1
C
x 1

7 dx 7
D. 

x
7 dx 

x

x 1

x

x

7 dx 7

f  x  7 x

.

C

ln 7  C

Lời giải
Chọn A

Áp dụng công thức
Câu 67:

x
a dx 

ax
 C ,  0  a 1
ln a
ta được đáp án B

(Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số
3
A. 4 x  1  C

5
2
B. x  x  C

f  x  x 4  x

là
1 5 1 2
x  x C
2
C. 5
Lời giải

4
D. x  x  C

Chọn C

 x
Ta có
Câu 68:

4

1
1
 x  dx  x 5  x 2  C
5
2
.

2
(Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) 3x  1 là

Page 310
Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

x3
 x C
B. 3

3
A. x  C

C. 6x  C

Lời giải

3
D. x  x  C

Chọn D

 3x
Câu 69:

2

 1 dx x 3  x  C .

(Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số

f ( x)

1 
\ 
2
xác định trên

thỏa mãn

2
, f  0  1, f  1 2
f   1  f  3
2x  1
. Giá trị của biểu thức

bằng
ln15
2

ln15
3

ln15
A.
B.
C.
D. 4  ln15
Lời giải
f  x  

Chọn C
2

2 x  1 dx ln 2 x  1  C  f  x 
Với

x

1
2 , f  0  1  C 1 nên f   1 1  ln 3

1
x  , f  1 2  C 2
f  3 2  ln 5
2

Với
nên

f   1  f  3 3  ln15

Nên

3

F  0 
x
f
(
x
)

e

2
x


F
x
2.
Câu 70: (Mã 105 2017) Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
Tìm F  x  .
A.

C.

F  x  e x  x 2 

1
2

F  x  e x  x 2 

3
2

B.
D.

F  x  e x  x 2 

5
2

F  x  2 e x  x 2 

1
2

Lời giải
Chọn A
Ta có

F  x   e x  2 x  dx e x  x 2  C

3
1
F  0  1  C   C 
2
2.
Theo bài ra ta có:

Câu 71:

(Mã 104 2017) Tìm ngun hàm

F  x

của hàm số

f  x  sin x  cos x

 
F   2
thoả mãn  2 
.
Page 311

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A.

F  x   cos x  sin x  3

C.

F  x   cos x  sin x  1

B.

F  x   cos x  sin x  1

D.
Lời giải

F  x  cos x  sin x  3

Chọn C
Có

F  x  f  x  dx  sin x  cos x  dx  cos x  sin x  C



 
F    cos  sin  C 2  1  C 2  C 1
 F  x   cos x  sin x  1
2
2
Do  2 
.
Câu 72:

(Mã 123 2017) Cho hàm số
dưới đây đúng?
A.

f  x  3 x  5 cos x  15

C.

f  x  3 x  5 cos x  5

f  x

thỏa mãn

f '  x  3  5 sin x

B.
D.
Lời giải

và

f  0  10

. Mệnh đề nào

f  x  3 x  5 cos x  2
f  x  3 x  5 cos x  2

Chọn C
f  x   3  5 sinx  dx 3x  5cos x  C

Ta có

Theo giả thiết
Vậy
Câu 73:

f  0  10

nên 5  C 10  C 5 .

f  x  3x  5 cos x  5.

(Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết
Khi đó

F  x  e x  x 2

là một nguyên hàm của hàm số

f  x

trên  .

f  2 x  dx bằng

x

1 2x
e  x 2  C.
2
B.

2

A. 2e  2 x  C.

1 2x
e  2 x 2  C.
2
C.
Lời giải

2x
2
D. e  4 x  C.

Chọn C
Ta có:

F  x  e x  x 2


Câu 74:

là một nguyên hàm của hàm số

1

x

1

f  2 x  dx  2 f  2 x  d 2 x  2 F  2 x   C  2 e

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết
Khi đó

1

f  x

F  x  e x  2 x 2

2x

trên 

 2 x 2  C.

là một nguyên hàm của hàm số

f  x

trên  .

f  2 x  dx bằng
2

A. 2e  4 x  C.

1 2x
e  4 x 2  C.
2
B.

2x

2

C. e  8 x  C.
Lời giải

1 2x
e  2 x 2  C.
2
D.
Page 312

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Chọn B

F  x  e x  2 x 2
Ta có:

f  x

là một nguyên hàm của hàm số

trên 

Suy ra:

f  x  F  x   e x  2 x 2   e x  4 x  f  2 x  e 2 x  8 x


Câu 75:

f  2 x  dx  e

2x

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết
đó

1
 8 x  dx  e 2 x  4 x 2  C.
2
F  x  e x  x 2

là một nguyên hàm của hàm số

f  x

trên  . Khi

f  2 x  dx bằng

1 2x
e  2x2  C
A. 2
.

2x

2

B. e  4 x  C .

x

1 2x
e  x2  C
D. 2
.

2

C. 2e  2 x  C .
Lời giải

Chọn A

1
1

1
 f  2 x  d  2 x   F  2 x   C  e 2 x  2 x 2  C
f
2
x
d
x


2
2
2
Ta có 
.
Câu 76:

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết

F  x  e x  2 x 2

là một nguyên hàm của hàm số

f  x

trên  .

f  2 x  dx bằng

Khi đó
2x

2

A. e  8 x  C .

1 2x
e  2x2  C
B. 2e  4 x  C .
C. 2
.
Lời giải
x

2

1 2x
e  4x2  C
D. 2
.

Chọn D
Đặt

t 2 x  dt 2dx  dx 
1

dt
2

1

1

f  2 x  dx  2 f  t  dt  2 F  t   C  2  e
Câu 77:

t

1
1
2
 2t 2   C  e 2 x   2 x   C  e 2 x  4 x 2  C
2
2
.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 1; 
A.
C.

x2
x  1 trên khoảng

là

x  3ln  x  1  C .
x

f ( x) 

3

 x  1

2

B.

 C.

x  3ln  x  1  C.
x

D.

3

 x  1

2

 C.
Lời giải

Chọn A
Page 313
Sưu tầm và biên soạn