ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG

Chương 8: ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN
CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG
§8.3. Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định
Phân tích chuyển động
Vận tốc và gia tốc của một điểm nằm trên vật rắn chuyển động quay quanh
trục cố định có thể xác định theo các bước sau:
Chuyển động góc
• Quy định chiều dương có hướng dọc theo trục quay và chỉ rõ bên cạnh các
phương trình động học được áp dụng.
• Nếu mối quan h
ệ giữa hai trong số 4 biến
,,
α
ωθ
và t đã biết thì biến thứ
ba có thể được xác định bằng cách sử dụng một trong các công thức động
học thể hiện mối quan hệ giữa các biến này
d
dt
θ
ω
=
,
d
dt
ω
α
=
,
dd
α

θωω
=


• Nếu gia tốc góc của vật rắn không đổi thì các phương trình sau có thể
được sử dụng
0 c
t
ω
ωα
=+
2
00
1
2
c
tt
θ
θω α
=+ +

)

22
00
2(
c
t
ω
ωαθθ

=+ −

• Khi lời giải đã thu được, thì hướng của
,,
α
ωθ

được xác định bằng dấu đại số giá trị số của
chúng.
Chuyển động của điểm P
• Trong hầu hết các trường hơp, vận tốc và hai
thành phần gia tốc của P có thể xác định từ các
phương trình vô hướng
vr
ω
=

t
ar
α
=

2
n
ar
ω
=

• Nếu việc hình dung bằng hình học của bài toán gặp khó khăn thì có thể sử
dụng các phương trình véctơ để tính toán.

p
=× =×v ω r ω r

tp
=× =×a α r α r

2
()
np
ω
=× × =−a ωωrr

BÀI TẬP
16-3. Vận tốc góc của một đĩa xác định bởi , t tính bằng
giây. Xác định độ lớn vận tốc và gia tốc của điểm A trên đĩa khi t=0.5 s
2
(5 2) /t rad s
ω
=+
Bài giải:
2
(5 2) /trad
ω
=+ s

Từ CT:
d
dt
ω
α

=

Y
t
10=
α

Thay t = 0,5s tính được:
ω = 3,25 rad/s
2
/5 srad=
α

Vận tốc của điểm A:
vr
ω
=

=
⇒
A
v
3,25.0,8 = 2,6 (m/s)
t
ar
α
=

)/(48,0.5
2

sma
t
=
=
⇒

2
n
ar
ω
=

)/(45,88,0.25,3
22
sma
n
=
=⇒

() ()
)/(35,9
2
22
smaaa
ntA
=+=

16-13. Một môtơ truyền cho đĩa A một gia tốc góc ;
với t tính bằng giây. Nếu vận tốc góc ban đầu của đĩa là
22
(0.6 0.75) /
A
trad
α
=+ s
0
6/rad s
ω
= , hãy xác
định độ lớn vận tốc và gia tốc của khối B khi t =2s.
Bài giải:

22
(0.6 0.75) /
A
trad
α
=+ s


Cttdt ++
∫
== 75,02,0
3
α
ω

Đk đầu:
t = 0,
ω
o
= 6 (rad/s) Y C = 6
ω = 0,2t
3
+ 0,75t + 6
thay t = 2s tính được
ω = 9,1(rad/s),
=
α
3,15(rad/s
2
)
Do khối B chuyển động tịnh tiến thẳng
v
B
= ωr = 9,1.0,15= 1,365 (m/s)

)/(472,015,0.15,3
2
smra
B
===
α

16-17. Cánh quạt trên cối xay gió có trục nằm ngang đang quay với vận tốc
góc

0
2/rad s
ω
= . Nếu cho trước gia tốc góc , hãy xác định vận tốc
góc và độ lớn gia tốc của điểm P trên đầu mút của cánh quạt khi t =3s.
2
0.6 /
C
rad s
α
=
Bài giải:












16-19. Bắt đầu từ trạng thái đứng yên khi s=0, Puli A quay với gia tốc góc
không đổi
. Hãy xác định vận tốc của khối nặng B khi nó được
nâng lên một đoạn s = 6 m. Puli có trục D được gắn cố định với C và quay cùng
với C.
2

6/rad s
α
=
Bài giải:



240
075,0
6
05,0
15,0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
A
θ

TừCT:

dd
α
θωω
=







)/(67,53240.6.2 srad
A
==
ω










16-22. Một môtơ tạo cho bánh răng A một gia tốc góc
trong đó
32
(0.25 0.5) /
A

rad s
αθ
=+
θ
được tính bằng rad. Nếu bánh răng A ban đầu
quay với vận tốc góc
0
( ) 20 /
A
rad s
ω
= , hãy xác định vận tốc góc của bánh răng B
khi bánh răng A quay được 10 vòng.
Bài giải:

TừCT:
dd
α
θωω
=

()
θθωω
θω
ω
dd
A
A
∫
+=

∫
1
0
0
3
5,025,0


8,62
0
42
0
2
)5,0
4
25,0
(
2
1
2
1
θθωω
+=−
AA



§8.4 Chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn

8.4.1 Phân tích sự liên hệ chuyển động: Vận

tốc
Hình 8-5a
Phân tích vận tốc
Sơ đồ động học
• Xác định (thiết lập) các hướng của các tọa
độ cố định x, y và vẽ sơ đồ động học của
vật thể. Chỉ rõ trên vật thể các vận tốc v
A
,
v
B
của các điểm A, B, vận tốc góc ω và
véc tơ định vị tương đối r
B/A
.
• Nếu các độ lớn của v
A
, v
B
hoặc ω chưa biết, hãy phán đoán và giả thiết
hướng của các véc tơ đó.
Phương trình vận tốc
• Để áp dụng , ta biểu diễn các véc tơ trong tọa độ Đề các
rồi thay các véc tơ này vào phương trình. Tính tích hữu hướng rồi cân
bằng các thành phần i, j để nhận được hai phương trình vô hướng.
/BA B
=+×vvω r
A
• Nếu nghiệm nhận được mang dấu âm đối với các biến chưa biết, điều này
chỉ sự phán đoán về hướng là sai và chiều thực sự của nó phải ngược với

chiều ta chọn ban đầu.
BÀI TẬP
16-50. Nếu đã biết h và
θ
và vận tốc của A và B là v
A
= v
B
= v, xác định vận
tốc góc
ω
của vật và hướng
φ
của v
B
.
Bài giải
Áp dụng CT liên hệ vận tốc
/
B
A
=+×vvω r
BA
(1)
Trong đó:
jvivv
B
r
r
r

φ
φ
sincos +−=

jvivv
A
r
r
r
θ
θ
sincos +=

(
)
()
ihjhkr
AB
r
r
r
r
r

/
ωωω
−=−×−=×

Thay vào CT (1), ta được:
ihjvivjviv

r
r
r
rr
.sincossincos
ω
θ
θ
φ
φ
−
+
=
+
−
Do
, , i
r
j
r
k
r
là các véc tơ độc lập tuyến tính, đồng nhất các hệ thức theo i
r
,
, j
r
k
r
được

Từ phương trình (2) tìm được
θ
φ
=

thay vào phương trình (1) được
θω
cos
2
h
v
=

16-54. Một máy tiện được thiết kế để các chu kỳ cắt chậm hơn và nhanh
chóng quay trở về lưỡi tiện được gắn vào con trượt tại C. Xác định vận tốc của
con trượt tại C khi
θ
= 60
0
, nếu thanh AB quay với vận tốc góc 4 rad/s.
Bài giải:
• Phân tích véc tơ
• Sơ đồ động học: Thanh AB chuyển động
quay xung quanh trục cố định tại A. Do
đó, vận tốc tại điểm B
∈ thanh AB sẽ có

phương vuông góc với thanh AB chiều
theochiều quay của
ω. Con chạy C
chuyển động tịnh tiến dọc theo rãnh nên
v
C
có phương theo phương nằm ngang
chiều từ phải sang trái
* Áp dụng CT liên hệ vận tốc
BCBC
vvv
/
rrr
+=
(1)
Trong đó:
ivv
CC
r
r
.=

()
()
jik
rv
o
ABBAB
rr
r

r
r
r
0
/
60sin3,060cos3,04 +×=
=×=
ω


{
}
ij
rr
36,06,0 −=


BCBCBC
rv
///
r
r
r
×=
ω


(
)
()

jikv
oo
CBBC
r
r
r
r
45sin125,045cos125,0
/
+−×=
ω

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−= jiv
CBCBBC
rr
r
2
2
125,0.
2
2
125,0.

/
ωω

Thay các số hạng trên vào (1) được
()
(
)
jiiv
CBCBC
r
r
r
ω
ω
0884,06,00884,004,1
−
+
−
−=

Đồng nhất các số hạng theo
, i
r
j
r
,
k
r
được:

CBC
v
ω
0884,004,1 −−=


CB
ω
0884,06,00 −=

)/(79,6
0884,0
6,0
srad
CB
=⇒
ω


Thay vào trên tính được: v
C
= - 1,64 (m/s)


16-58.
Nếu thanh CD quay với vận tốc góc
ω
DC
= 8 rad/s, xác định vận tốc góc
của thanh AB và CB tại vị trí như trong hình 16-58.

Bài giải:
Sơ đồ động học: Thanh AB chuuyển động quay xung quanh trục cố định qua A.
Điểm B
∈ AB, vận tốc điểm B có phương vuông góc với AB chiều theochiều
quay của
ω
AB
. Thanh CD chuyển động quay xung quanh trục cố định qua D.
Điểm C
∈ CD, vận tốc điểm
C có phương vuông góc với
CD chiều theo chiều quay
của
ω
DC
Thanh BC chuyển
động song phẳng
Áp dụng CT liên hệ vận tốc
CBCB
vvv
/
rrr
+=


ABAB
vvv
/
rrr
+=

Trong đó:
v
= 0
A
(
)
(
)
jikv
oo
DCC
r
r
r
r
30sin2,030cos2,0 −−×=
ω

(
)
(
)
jikv
ABB
r
r
r
r

00
45sin15,045cos15,0 +×=
ω

(
)
()
jikv
BCCB
r
r
r
r
θθω
sin4,0cos4,0
/
+−×=

Từ hình vẽ: ABsin45
o
+ CDsin30
o
= BCsinθ
Giải hệ 3 pt

θ = 31
o

16-60. Thanh AB có vận tốc góc là 2 rad/s. Xác định vận tốc của khối C khi
θ
=
45
0
. Vẽ vị trí của thanh BC khi
θ
= 60
0
, 45
0
và 30
0
để chứng tỏ chuyển động
phẳng tổng quát của nó.
Bài giải:
Sơ đồ độnghọc:
Thanh AB chuyển động quay xung
quanh trục cố định qua A, v
B
có
phương vuông góc với AB chiều
trên hình vẽ. Con chạy C chuyển
động tịnh tiến dọc theo rãnh, v
C
có
phương chiều trên hình vẽ. Thanh
BC chuyển động song phẳng, v
CB
có

phương vuông góc với BC
Từ CT liên hệ vận tốc
BCBC
vvv
/
rrr
+=
(1)
Chiếu (1) lên phương BC

o
CB
vv 45cos=
)/(3015.2. sinrv
ABABB
===
ω

2
2
30
C
v=

)/(43,42 sinv
C
=
⇒

*16-68. Nếu nút C của dây thừng bị kéo xuống dưới với vận tốc v
C
= 120
mm/s, hãy xác định vận tốc góc ròng rọc A
và B và vận tốc của khối D. Giả sử rằng dây
thừng không trượt trên các ròng rọc.
Bài giải:

L = 2s
B
+ s
C
02 =+
CB
vv


↑=−=⇒ )/(60
2
smm
v
v
C
B


v
D
= v
B

= 60(mm/s)

ròng rọc A chuyển động quay xung quanh
trục A cố định
AAC
rv
ω
=
)/(4
30
120
srad
r
v
A
c
A
===⇒
ω



Gọi I là điểm tiếp xúc giữa ròng rọc B và dây cố định. Do I ∈ dây cố định nên v
I

= 0.
Áp dụng CT liên hệ vận tốc
IBIB
vvv
/

rrr
+=

Do
↑↑ . Nên ta có:
I
v
r
B
v
r
v
B
= v
B/I
60 = ω
B
.r Y
)/(1
60
60
srad
B
==
ω


16-75. Khối trụ B lăn không trượt trên một khối trụ A cố định . Nếu thanh
nối CD quay với vận tốc góc
ω

CD
= 5 rad/s, hãy xác định vận tốc góc của khối
trụ B.
Bài giải:
Gọi I là điểm tiếp xúc giữa bxe A và
bxe B
I
∈ bxe A cố định nên v
I
= 0
D
∈ tay quay CD. CD chuyển động
quay xung quanh
trục cố định qua A nên v
D
= ω
CD
.AD
hay v
D
= 5.0,4 = 2(m/s) và DAv
D
⊥
v


Áp dụng CT liên hệ vận tốc
IDID
vvv
/

rrr
+=

Do
↑↑ . Nên ta có:
I
v
r
D
v
r
v
D
= v
D/I
2 = ω
B
.r Y
)/(67,6
3,0
2
srad
B
==
ω

8.4.2. Tâm tức thời có vận tốc bằng không ( Tâm vận tốc tức thời)
Vận tốc của một điểm trên vật chịu ràng
buộc chuyển động phẳng tổng quát, có thể
được xác định bằng cách xác định vị trí của
tâm quay tức thời có vận tốc bằng không,
miễn là vị trí của IC được xác định đầu tiên
bằng cách sử dụng một trong ba phương
pháp
đã nêu trên.
• Khi vẽ trên sơ đồ động học trong hình
16-19, vật được hình dung là “kéo dài
và chốt” tại IC sao cho tại thời điểm
khảo sat, nó quay quanh chốt này với
vận tốc góc
ω
.
• Độ lớn vận tốc của các điểm A, B và C bất kì trên vật có thể được xác định
bằng cách sử dụng phương trình v =
ω
r, trong đó, r là khoảng cách theo
các tia từ IC tới mỗi điểm đó.
Phương chiều của mỗi véc tơ vận tốc v vuông góc với đường thẳng theo các
tia liên quan r, và vận tốc có hướng - dẫn tới làm di chuyển điểm đó theo hướng
nhất quán với vận tốc góc
ω
của đường thẳng theo các tia

16-79.
Một máy tiện được thiết kế để các chu kỳ cắt chậm hơn và nhanh

chóng quay trở về lưỡi tiện được gắn vào con trượt tại C. Xác định vận tốc của
con trượt tại C khi
θ
= 60
0
, nếu thanh AB quay với vận tốc góc 4 rad/s.
Bài giải:



















Áp dụng định lý hàm sin để tìm CQ và BQ
00
30sin45sin
BCBQ

=

)(78,1762.125 mmBQ ==⇒


QC = BCsin45
o
+ BQcos30
o

=
)(3,239
2
2
2
2
125
2
2
125 mm=+

Điểm B
∈AB Y v
B
= ω
AB
.AB = 4.300 = 1200 (mm/s)
Điểm B
∈BC Yv
B

= ω
BC
.BQ Y

ω
BC
= )/(8,6
78,176
1200
srad
BQ
v
B
==
Điểm C
∈BC Yv
C
= ω
BC
.CQ Yv
C
=6,8.239,3 =1624(mm/s) = 1,63 (m/s)
16-81. Tại vị trí như hình 16-61/62, xe tải chuyển động sang phải với vận tốc
3 m/s trong khi tại B ống lăn không trượt ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc
ω
= 8 rad/s. Xác định vận tốc tâm G của ống.

16-87. Đĩa có bán kính r được giới hạn lăn k
ài giải:
hông trượt tại hai điểm A và B.
Nếu các tấm có vận tốc như hình vẽ, hãy xác định vận tốc góc của đĩa.

B















16-90. Chứng minh rằng nếu vành bánh xe và trục bánh xe luôn tiếp xúc với
ba thanh khi bánh xe quay thì sẽ xảy ra hiện tượng trượt tại A nếu không xảy ra
hiện tượng trượt tại B. Với những điều kiện này, nếu vận tốc góc của bánh xe là
ω
thì vận tốc của điểm A bằng bao nhiêu.
ài giải: B

ếu không xảy ra hiện tựơng trượt tại B thì tại B sẽ có vận tốc v
B
= 0. Khi
đó điểm B chính là tâm vận tốc tức thời B ẽ sơ đồ động học nhận thấy
tại A có vận tốc v
A,
do đó tại A sẽ xảy ra hiệ ng trượt.









N
LIC. V
n tượ

16-94. Cho biết vận c góc của thanh AB là tố
ω
AB
= 4 rad/s, hãy xác định vận
tốc C
ọc
của vòng đệm tại C và vận tốc góc của thanh B tại thời điểm như hình vẽ.
Biết thanh CB nằm ngang ở thời điểm này.
Bài giải:
Sơ đồ động h

oo
cb
45sin75sin
=
mmc 2,256
=
⇒
oo
db
60sin75sin
=
mmd 8,313
=
⇒

= 500mm

a



















16-102. Nếu con trượt A chuyển động sang phải với vận tốc v
A
= 8 ft/s, hãy
xác


định vận tốc của con trượt B và C tại vị trí như trong hình
Bài giải:

8.4.3. Phân tích mối liên hệ chuyển động: Gia tốc

hệ gia tốc có thể áp dụng cho hai điểm A và B trên một vật
bằn
c góc
Trình tự phân tích.
Phương trình liên
g cách hoặc sử dụng phép phân tích vectơ Đề các, hoặc bằng cách viết trực
tiếp phương trình các thành phần vô hướng x và y.
Phân tích vận tốc
• Xác định vận tố
ω
của vật bằng cách sử dụng phương pháp phân tích

Phân tích vectơ
ng cho các toạ độ x, y cố định và vẽ sơ đồ động học của vật.
vectơ như đã thảo luận trong phần 16.5 hoặc 16.6. Đồng thời xác định vận
tốc v
A
và v
B
của các điểm A và B nếu các điểm này chuyển động trên các quỹ
đạo cong.
Sơ đồ động học
• Thiết lập hướ
Biểu diễn các thành phần a
A
, a
B
,
ω
,

α
, và r
B/A
.
Nếu các điểm A và B chuyển đ ng theo các q• ộ uỹ đạo tròn thì gia tốc của
Ph
trình a
B
= a
A
+
chúng có thể được phân tích thành hai thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến,
tức là, a
A
= (a
A
)
t
+ (a
A
)
n
và a
B
= (a
b
)
t
+ (a
b

)
n
.
ương trình gia tốc
• Áp dụng phương α
×
r
B/A
r
B/A
để biểu diễn các vectơ
• ết quả âm đối với một biến chưa biết nào đó thì ta phải
Phân tích vô hướng
ụng phương trình a
B
= a
A
+ (a
B/A
)
t
+ (a
B/A
)
n
thì cần phải thiết
2
ω
−
dưới dạng vectơ Đề các và thay chúng vào phương trình. Tính tích hữu

hướng và cân bằng(đồng nhất) các thành phần i và j để thu được hai phương
trình vô hướng.
Nếu bài toán cho ta k
đổi hướng của vectơ trong sơ đồ động học.
Sơ đồ động học
• Nếu muốn áp d
lập độ lớn và hướng của các thành phần gia tốc tương đối (a
B/A
)
t
và (a
B/A
)
n
.
Để làm được điều này, ta phải vẽ sơ đồ động học như trong hình 16-23c. Do
vật được coi là bị chốt tức thời tại điểm cơ sở A, nên độ lớn của các thành
phần gia tốc là (a
B/A
)
t
=
α
r
B/A
và (a
B/A
)
n
=

2
ω
r
B/A
Hướng của chúng được
thiết lập từ sơ đồ động học đó là, (a
B/A
)
t
có phương vuông góc với r
B/A
, tuân
theo chuyển động quay
của vật, và (aα
B/A
)
n
có hướng từ B đến A.*
Phương trình gia tốc
• Biểu diễn các vectơ trong phương trình a
B
= a
A
+ (a
B/A
)
t
+ (a
B/A
)

n
dưới dạng
đồ thị bằng cách biểu diễn hướng và độ lớn của chúng dưới mỗi số hạng. Các
phương trình vô hướng được xác định từ các thành phần x và y của các vectơ
này.
16-107. Tại thời điểm cho trước, đỉnh thanh tại A có vận tốc và gia tốc như
hình 16-107. Hãy xác định gia tốc của chân thanh tại B và gia tốc góc của thanh
tại thời đi
ểm đó.
Bài giải:
* Phân tích vận tốc:
Sơ đồ động học;
Từ sơ đồ động học tìm được tâm v
tốc tức thời IC
.
ận
AICv
ABA
.
ω
=


AIC = 10cos60
o
= 5 (ft)

BIC = 10sin60
o
= 8,66(ft)

)/(1
5
5
AIC
srad
v
A
AB
===⇒
ω

)/(66,866,8.1. sf
t
BI
C
v
ABB
=
=
=
ω
→

Phân tích vô hướng

Áp dụng CT liên hệ gia tốc

a

B
= a
A
+ (a
B/A
)
t
+ (a
B/A
)
n
(1)

Chiếu (1) lên hai trục toạ độ xy
()
(
)
o
n
AB
o
t
ABB
aaa 60cos30cos0
//
−
+
=
⎯
→

⎯
+
(2)

()
(
)
o
n
AB
o
t
AB
aa 60sin30sin70
//
++−=↑+
(3)

Trong đó:
a
A
= 7 ft/s
2

(a
B/A
)
t
=
α

r
B/A

(
)
10.
/
α
=
t
AB
a
(ft/s
2
)

(a )
B/A n
= r
2
ω
B/A
()
1010.1
2
/
=
=
n
AB

a (ft/s
2
)
Thay vào hệ phương trình (2) và (3)
2
1
.10
2
3
10 −=
α
B
a
2
3
10
2
1
1070 ++−=
α

giải hệ trên tìm được
α = - 0,332 (rad/s
2
)
a
B
= - 7,88 (ft/s
2
)

16-110.
Hãy xác định gia tốc góc của thanh AB khi
θ
= 90
0
, nếu con trượt C
có vận tốc v
C
= 4 ft/s và gia tốc a
C
= ft/s
3
2
như trên hình 16-110.
Bài giải:

16-114. Đĩa chuyển động sang trái với gia tốc góc
α
= 8 rad/s
2
và vận tốc
góc
ω
= 3 rad/s tại thời điểm như hình vẽ. Nếu không xảy ra trượt tại A; Hãy
xác định gia tốc của điểm D.

Bài giải:

16-121. Tại thời điểm cho trước, thanh AB chuyển động quay như hình vẽ.
Hãy xác định vận tốc và gia tốc của con trượt C tại thời điểm này.

16-126. Đĩa lăn không trượt có gia tốc góc
α
= 4 rad/s
2
và vận tốc góc
ω
= 2
rad/s tại thời điểm như hình vẽ. Hãy xác định gia tốc của điểm A, B trên thanh và
gia tốc góc của thanh tại thời điểm trên. Giả sử rằng điểm A nằm trên vành đĩa
cách tâm C 150mm.

∞







IC ở ∞ nên 0=
AB
ω














8.4.4. Phân tích sự liên hệ chuyển động khi sử dụng các trục quay

Trình tự phân tích.
Các trục toạ độ.
• Chọn một vị trí thích hợp của gốc toạ độ và hướng hợp lý của các trục đối
với cả hệ toạ độ X, Y, Z và hệ toạ độ động x, y, z.
• Thông thường lời giải có được dễ dàng nhất nếu chú ý các điểm sau:
(1) Các gốc toạ độ trùng nhau
(2) Các trục tương ứng cùng nằm trên một đường thẳng
(3) Các trục tương ứng song song với nhau
• Hệ toạ độ động nên chọn cố định với vật rắn hoặc các thiết bị mà dọc theo đó
xảy ra chuyển động tương đối.
Các phương trình động học
• Sau khi xác định gốc toạ độ A của hệ toạ độ động và xác định điểm B chuyển
động, phương trình 16-24 và 16-27 nên được viết dưới dạng kí hiệu
(symbolic form).
v
B
= v
A
+ Ω
×
r
B/A
+ (v
B/A
)
xyz

a
B
= a

A
+ × rΩ
&
B/A
+ Ω
×
(Ω
×
r
B/A
) + 2 Ω
×
(v
B/A
)
xyz
+ (a
B/A
)
xyz

• Các thành phần Đề các của tất cả các véc tơ này có thể được biểu diễn dọc
theo các trục X, Y, Z hoặc các trục x, y, z. Các vectơ đơn vị ta chọn tuỳ ý, nhất
quán.
• Chuyển động của hệ toạ độ động được biểu diễn bằng các thành phần v
A
, a
A
,
, và ; và chuyển động của điểm B trong hệ toạ độ động được biểu diễn

bằng các thành phần r
Ω Ω
&
B/A
, (v
B/A
)
xyz
và (a
B/A
)
xyz
.
BÀI TẬP
1
6-131. Khối A gắn với một dây thừng nhỏ chuyển động dọc theo một rãnh
của thanh hình chữ U nằm ngang. Tại thời điểm khảo sát, dây thừng bị kéo
xuống qua một lỗ tại O với gia tốc 4 m/s
2
và vận tốc của nó là 2 m/s. Hãy xác
định gia tốc của khối A tại thời điểm này. Thanh quay quanh O với vận tốc góc
không đổi
ω
= 4 rad/s.
Bài làm:
*Các trục toạ độ: Gốc toạ độ của
các hệ toạ độ đặt tại O. Chuyển động
của khối A trong rãnh là chuyển
đối. Hệ toạ độ động ox được
trình động học

O
+
động
tương
gắn với thanh
* Các phương
v
A
= v Ω
×
r
A/O
+ (v
A/O
)
xyz
(1)
a
A
= a
O
+
×
rΩ
&
A/O
+ Ω
×
(Ω
×

r
A/O
) + 2 Ω
×
(v
A/O
)
xyz
+ (a
A/O
)
xyz
(2)
Xác định các thành phần trong biểu thức (2)

Chuyển động của hệ
toạ độ di động
Chuyển động của A
so với hệ toạ độ di
động
v
O
= 0
a
O
= 0
Ω = {4 k} rad/s
2
Ω
&

= {0} rad/s
2
r
A/O
= {0,1i} m
(v
A/O
)
xyz
= {- 2i} m/s
(a
A/O
)
xyz
= {-4i} m/s
2
Từ phương trình 2, gia tốc Coriolit được xác định như sau:
a
Cor
= 2
×
(v
Ω
A/O
)
xyz
= 2 (4 k)
×
(-2i) = {-16j} m/s
2

{
}
{
}
{
}
ijikka
r
r
r
r
r
r
3161,04400
A
−−+××++=

(
)
2
A
m/s }166,5{ jia
r
r
r
−−=

16-134. Khối B chuyển động dọc theo rãnh trên tấm tròn với tốc độ không
đổi là 2 ft/s được tính tương đối so với tấm theo hướng như trên hình vẽ. Nếu
tấm quay với vận tốc góc không đổi
ω
= 5 rad/s, hãy xác định vận tốc và gia tốc
của khối tại thời điểm
θ
= 60
0
.
Bài giải:

Các trục toạ độ. Gốc toạ độ của hệ toạ độ cố định và chuyển động được đặt tại
điểm O. Hệ trục cố định X, Y, Z và hệ động x, y, z chọn như trên hình vẽ.

Các phương trình động học.
v
B
= v
O
+
Ω
× r
B/O
+ (v
B/O
)
xyz
(1)

a
B
= a
O
+ × rΩ
&
B/O
+ Ω
×
(
Ω

×
r
B/O
) + 2
Ω

×
(v
B/O
)
xyz
+ (a
B/O
)
xyz
(2)

Tất cả các vectơ được biểu diễn dưới dạng các thành phần i, j, k.

Chuyển động của hệ toạ
độ di động
Chuyển động của C so
với hệ toạ độ di động
v
o
= 0
a
o
= 0
Ω = {5k} rad/s
Ω
&
= {0} rad/s

2
r
B/O
= {
3
2
i+2j} m
(v
B/O
)
xyz
= {-2 i }m/s
(a
C/D
)
xyz
= 0 m/s
2

Thay vào phương trình (1) và (2) được:
v
B
= v
O
+ × rΩ
B/O
+ (v
B/O
)
xyz

{}
{}{ }
)/(1278,522
3
2
50 smijijikv
B
r
r
r
rr
r
v
−=−+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+×+=

a
B
= a
O
+
×
r

Ω
&
B/O
+
×
(
Ω Ω
×
r
B/O
) + 2
Ω

×
(v
B/O
)
xyz
+ (a
B/O
)
xyz

{}
{
}
{}
ikjikka
B
r

r
rr
r
r
r
2522
3
2
5500 −×+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+××++=

()
2
m/s}709,28{ jia
B
rr
r
−

−=


16-139. Thanh AB quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc không đổi
ω
= 3 rad/s. Hãy xác định vận tốc và gia tốc của điểm C nằm trên vòng trượt
kép khi
θ
= 45
0
. Vòng trượt bao gồm hai con trượt được gắn chốt với nhau và bị
ràng buộc chuyển động dọc theo quỹ đạo tròn và thanh AB.
Bài giải: