Khóa luận tốt nghiệp toán học: Một số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này, em đã nhận được sự hướng
dẫn chỉ bảo tận tình của giảng viên - Thạc sĩ Nguyễn Đình Yên, sự giúp
đỡ, tạo điều kiện của các giảng viên trong khoa Toán - Lí - Tin và sự ủng
hộ, động viên, giúp đỡ của các bạn sinh viên K50 - Đại học sư phạm Toán.
Đồng thời việc hoàn thành khóa luận này em cũng đã nhận được sự giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian và các tài liệu tham khảo
của Phòng đào tạo, phòng QLKH và QHQT, ban chủ nhiệm khoa Toán - Lí
- Tin, Thư viện và một số phòng, ban trực thuộc trường Đại học Tây Bắc.
Nhân dịp này cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các
thầy cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên đã ủng hộ và giúp đỡ em
hoàn thành khóa luận trong thời gian qua.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2013
Người thực hiện
Phạm Thị Hải Yến
1
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU 4
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 6
1.1 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Module con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Module thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Đồng cấu module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phạm trù module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Tổng trực tiếp -Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Định nghĩa dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Dãy khớp ngắn chẻ ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Một số bổ đề về dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Module tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Hàm tử Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1 Cấu trúc nhóm trên Hom(X, Y ) . . . . . . . . . . . . 24
1.7.2 Khái niệm về hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.3 Các hàm tử Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÃY NỬA KHỚP VÀ ĐỒNG ĐIỀU 28
2.1 Phức và đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Dãy nửa khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Phạm trù các phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Đồng luân dây chuyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Các hàm tử đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Dãy đồng điều khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Dãy khớp các phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
2.2.2 Dãy đồng điều khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Các ví dụ về dãy đồng điều khớp . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Phép giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Phép giải tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Phép giải xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
KẾT LUẬN 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO 45
3
LỜI MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ toán học, nó có vị trí
đặc biệt quan trọng trong đại số hiện đại. Đồng điều là công cụ dùng để đo
mức độ mà một dãy nửa khớp đi chệch so với một dãy khớp. Các hàm tử
Hom và Tenxơ là các hàm tử nửa khớp. Để đo mức độ mà các hàm tử này
đi chệch so với một hàm tử khớp người ta xây dựng hàm tử dẫn xuất tương
ứng Ext và Tor. Các hàm tử ngày nay đã trở thành những công cụ trụ cột

của nhiều lĩnh vực nghiên cứu trong hình học, tôpô, đại số, lý thuyết số
Để học tốt những mảng kiến thức này, mỗi sinh viên phải tự trang bị cho
mình các kiến thức liên quan và phương pháp chủ yếu là tìm đọc các tài liệu,
tự nghiên cứu các nội dung liên quan.
Là một sinh viên ngành toán muốn trau dồi kiến thức em đã tìm đọc thêm
các tài liệu: Giáo trình "Nhập môn đại số đồng điều" - sách dịch và "Đại số
đồng điều" của Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên. Nhưng các vấn đề về dãy
nửa khớp và đồng điều còn trình bày hết sức đơn giản và tóm tắt gây khó
khăn cho các bạn muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về nó.
Xuất phát từ những lí do trên em đã chọn và nghiên cứu đề tài "Một số
vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều". Nhằm mục đích có điều kiện tìm hiểu
sâu hơn và trang bị thêm kiến thức mà trong quá trình học chưa có điều kiện
để nghiên cứu.
2. Đối tượng, mục đích, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu.
2.1 Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là một số vấn đề về dãy nửa khớp và
đồng điều.
2.2 Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống và chi tiết một số vấn đề về
dãy nửa khớp và đồng điều.
2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu.
Với mục đích như trên, em đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày một
cách có hệ thống và logic, chứng minh lại một cách đầy đủ và chặt chẽ các
mệnh đề, định lý liên quan đến một số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều.
2.4 Phương pháp nghiên cứu.
Do đăt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù của môn Toán, em chọn cho
mình phương pháp nghiên cứu lí thuyết, sưu tầm, đọc các tài liệu liên quan,
4
ghi chép, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, tổ bộ môn, và các bạn
sinh viên về các vấn đề liên quan tới dãy nửa khớp và đồng điều. Từ đó tổng

hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế
hoạch hoàn thành khóa luận.
3 Bố cục của đề tài.
Bố cục của đề tài được sắp xếp như sau: ngoài phần mở đầu, kết luận, mục
lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài gồm hai chương:
Chương I: Một số kiến thức cơ sở.
Chương này trình bày hệ thống lại một số kiến thức, khái niệm cơ bản như:
Module, module con, module thương, đồng cấu module, hàm tử Hom, dãy
khớp Trong chương này cũng đã trình bày các phép chứng minh một số
định lý, tính chất quan trọng cần thiết cho chương sau.
Chương II: Một số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều.
Đây là chương chính, chứa đựng hầu hết các kết quả quan trọng của đề tài.
Toàn bộ chương đã đưa ra một loạt các khái niệm, định lý, mệnh đề của một
số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều.
4 Đóng góp.
Khóa luận đã trình bày đầy đủ, có hệ thống kèm theo chứng minh chi tiết
các định lý và các kết quả liên quan. Qua đó phần nào giúp ích được các bạn
sinh viên trong việc học tập và nghiên cứu lý thuyết đại số.
5
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Module
1.1.1 Module
Định nghĩa 1.1. Cho vành R có đơn vị (đơn vị của R kí hiệu là 1). Nhóm
cộng aben (X,+) sẽ được gọi là module trái trên vành R nếu trên X ta đã xác
định được một tác động trái từ R, tức có ánh xạ:
µ : R × X −→ X
(r, x) −→ rx
Ngoài ra cần thỏa mãn các tiên đề sau: :
(rr


)x = r(r

x)
r(x + x

) = rx + rx

(r + r

)x = rx + r

x
1x = x
với ∀x, x

∈ X và r, r

∈ R.
Tác động trái từ R vào X cũng còn được gọi là phép nhân ngoài từ R vào
X. Vành R cũng được gọi là vành hệ tử hay vành các vô hướng. Các module
trái trên R cũng được gọi là các R-module trái. Hơn nữa khi vành hệ tử đã
xác định, để đơn giản, ta sẽ gọi các R-module trái là các module.
Ví dụ 1.1. (1) Giả sử R = K là trường. Mỗi không gian vectơ trên K là một
K-module.
(2) Mỗi nhóm cộng giao hoán (A, +) luôn luôn có thể xem là module trên
vành các số nguyên Z, trong đó tích của hệ tử n ∈ Z với phần tử a ∈ A là
6
bội nguyên n của a.
(3) Nhóm chỉ duy nhất phần tử 0 luôn luôn có thể xem là module trên bất kì

vành R nào. Ta gọi đó là module "không" và kí hiệu nó là 0.
1.1.2 Module con
Định nghĩa 1.2. Giả sử X là một R-module. Tập con A khác rỗng của X
được gọi là module con của X nếu A là module trên R với phép cộng và phép
nhân vô hướng của X hạn chế trên A.
Ví dụ 1.2. (1) Mọi nhóm con A của một nhóm Aben cộng X đều là một
module con của X xem như một module trên vành Z tất cả các số nguyên.
(2) X là một R-module. Khi đó X và {0} là hai module con của X và gọi
là các module con tầm thường.
Mệnh đề 1.1. Giả sử X là R-module; A ⊂ X, A = ∅. Khi đó A là module
con của X khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) A là nhóm con của nhóm cộng X
(ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ A ⇒ ax ∈ A.
Chứng minh. +) Giả sử N là module con của M thì hai điều kiện (i) và (ii)
luôn đúng
+) Ngược lại nếu A ⊂ X thỏa mãn hai điều kiện (i) và (ii). Khi đó ta có
(A, +) là một nhóm Aben.
Điều kiện (ii) xác định một ánh xạ:
R × A −→ A
(a, x) −→ ax
là phép nhân với vô hướng của X thu hẹp vào A; bốn điều kiện trong định
nghĩa module đúng với tất cả các phần tử của X do đó cũng đúng với các
phần tử của A.
Vậy A là R-module do đó là module con của X.
Mệnh đề 1.2. Nếu A là một module con của một module X trên R thì với
mọi phần tử α ∈ R và u ∈ X, ta có:
{α(u + a)|a ∈ A} ⊂ αu + A.
7
Chứng minh. Vì A là một module con của X, nên ta có αa ∈ A, ∀a ∈ A. Do
đó

α(u + a) = αu + αa ∈ αu + A, ∀a ∈ A.
Mệnh đề 1.3. Giao của họ khác rỗng các module con của module X lại là
module của X.
Chứng minh. Cho {A
α
}
α∈I
là họ không rỗng các module con của X.
Khi đó: ∀x, y ∈ ∩A
α
thì x, y ∈ A
α
, ∀α ∈ I nên x + y ∈ A
α
, ∀α ∈ I, tức
x + y ∈ ∩A
α
và ∀r ∈ R, ∀x ∈ ∩A
α
tức x ∈ A
α
, ∀α nên rx ∈ A
α
, ∀α, tức
rx ∈ ∩A
α
.
Vậy ∩A
α
là module con của X.

Cho X là module và tập S ⊂ X. Xét họ τ tất cả các module con của
X chứa S. Hiển nhiên họ τ khác rỗng bởi X ∈ τ. Giao của họ τ là một
module con của X, và chứa S. Ta kí hiệu module con đó là < S >, và gọi nó
là module con sinh bởi tập S. Ta cũng nói S là tập sinh (hay hệ sinh) của
module < S >.
Một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng hữu hạn dạng
r
1
x
1
+ r
2
x
2
+ · · · + r
n
x
n
trong đó r
1
, r
2
, · · · , r
n
∈ R và x
1
, x
2
, · · · , x
n

∈ S.
Định lý 1.1. Module con sinh bởi tập S ∈ X là module con gồm tất cả các
tổ hợp tuyến tính của S.
Chứng minh. Dễ thấy rằng tổng của hai tổ hợp tuyến tính của S là một tổ
hợp tuyến tính của S, tích của một hệ tử với một tổ hợp tuyến tính của S
lại là một tổ hợp tuyến tính của S.
Vậy, tập A tất cả các tổ hợp tuyến tính của S là một bộ phận ổn định
của X tức A là module con của X.
Hiển nhiên rằng S ⊂ A vì mỗi phần tử x ∈ S có thể xem là một tổ hợp
tuyến tính của S. Hơn nữa nếu B là module con của X chứa S thì mọi tổ hợp
tuyến tính của S
r
1
x
1
+ r
2
x
2
+ · · · + r
n
x
n
∈ B,
nhờ tính ổn định của B. Do đó A ⊂ B, tức A là module con nhỏ nhất chứa
S, hay A =< S >.
8
Bổ đề Zorn. Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn
toàn trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại.
1.1.3 Module thương

Giả sử A là một module con của R-module X. Khi đó A là nhóm con
của nhóm cộng Aben X. Do đó nhóm thương X/A là một nhóm cộng Aben,
các phần tử của nó là các lớp ghép x + A của A trong X và phép cộng xác
định bởi
(x + A) + (y + A) = (x + y) + A
Ta xác định một phép nhân vô hướng như sau:
a(x + A) = ax + A
Phép nhân vô hướng xác định như trên không phụ thuộc vào phần tử đại
diện của lớp ghép.
Thật vậy:
Nếu
x + A = x

+ A
thì x − x

∈ A
⇒ a(x − x

) = ax − ax

∈ A
⇒ ax + A = ax

+ A
Dễ dàng kiểm tra nhóm cộng Aben X/A cùng với phép nhân vô hướng như
trên là một R-module. Module X/A được gọi là module thương của X trên
A.
1.2 Đồng cấu module
Định nghĩa 1.3. Giả sử X, Y là các R-module. Khi đó ánh xạ f : X −→ Y

được gọi là ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu R-module nếu f thỏa mãn hai
điều kiện sau:
f(x
1
+ x
2
) = f(x
1
) + f(x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X
f(rx) = rf(x), ∀r ∈ R, ∀x ∈ X.
Một đồng cấu R-module còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần
thiết phải chỉ rõ vành cơ sở.
Đồng cấu f gọi là tự đồng cấu của X nếu X = Y.
9
Đồng cấu f gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn
ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Khi f là đẳng cấu thì ta nói X đẳng cấu
với Y và kí hiêụ X
∼
=
Y.
Đối với đồng cấu f : X −→ Y ta kí hiệu:
Imf = f(X)
Kerf = {x ∈ X | f(x) = 0} = f
−1

(0)
và gọi Imf là ảnh của f còn Kerf là hạt nhân của f.
Ví dụ 1.3. (1) Ánh xạ đồng nhất
id
X
: X −→ X
x −→ x
là một tự đồng cấu. Ngoài ra nó còn là một đẳng cấu .
(2) Giả sử N là module con của R-module M. Khi đó ánh xạ :
p : X −→ X/Y
x −→ x + Y
là một toàn cấu và được gọi là toàn cấu chính tắc. Còn ánh xạ :
j : Y −→ X
x −→ X
là một đơn cấu và được gọi là phép nhúng chính tắc.
(3) Ánh xạ
0 : X −→ Y
x −→ 0
hiển nhiên là đồng cấu. Ta gọi nó là đồng cấu tầm thường.
Định lý 1.2. Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Hơn nữa, tích của hai
đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
Chứng minh. Cho f : X −→ Y và g : Y −→ Z là các đồng cấu. Khi đó
∀x
1
, x
2
∈ X và ∀r
1
, r
2

∈ R ta có
gf(r
1
x
1
+ r
2
x
2
) = g[r
1
f(x
1
) + r
2
f(x
2
)]
= r
1
gf(x
1
) + r
2
gf(x
2
).
Vậy gf là đồng cấu.
10
Theo lý thuyết tập hợp: tích của hai ánh xạ đơn ánh (toàn ánh, song ánh)

là một đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Kết hợp với chứng minh trên ta có: tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng
cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
Định lý 1.3. Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = 0.
Chứng minh. Nếu f là đơn cấu thì Kerf = f
−1
(0) có không quá một phần
tử và do tính chất bảo toàn 0 của f, tức f(0) = 0, ta suy ra Kerf = 0.
Nếu Kerf = 0 và f(x
1
) = f(x
2
) thì
f(x
1
− x
2
) = f(x
1
) − f(x
2
) = 0
nên x
1
− x
2
∈ Kerf. Do đó x
1
− x
2

= 0, suy ra x
1
= x
2
.
Vậy f đơn cấu.
Định lý 1.4. Nếu đồng cấu f : X −→ Y là đẳng cấu thì f
−1
: Y −→ X
cũng là đẳng cấu.
Chứng minh. Vì f : X −→ Y là đẳng cấu nên f là song ánh và do vậy tồn
tại ánh xạ ngược f
−1
: Y −→ X với f
−1
cũng là song ánh. Để chứng minh
f
−1
đẳng cấu ta chỉ cần chứng minh f
−1
là đồng cấu.
Thật vậy, ∀y
1
, y
2
∈ Y và ∀r
1
, r
2
∈ R nếu gọi x

1
= f
−1
(y
1
), x
2
= f
−2
(y
2
)
thì:
f(r
1
x
1
+ r
2
x
2
) = r
1
y
1
+ r
2
y
2
.

Do đó
f
−1
(r
1
y
1
+ r
2
y
2
) = r
1
x
1
+ r
2
x
2
= r
1
f
−1
(y
1
) + r
2
f
−2
(y

2
)
tức f
−1
là đẳng cấu.
Mệnh đề 1.4. Cái hợp thành h = gf của hai đồng cấu f : X −→ Y và
g : Y −→ Z của các module X, Y, Z trên R là đồng cấu tầm thường nếu và
chỉ nếu
Imf ⊂ Kerg.
Chứng minh. [=⇒] Giả sử h = 0, y ∈ Imf. Theo định nghĩa ∃x ∈ X với
f(x) = y. Khi đó ta có
g(y) = g(f(x)) = h(x) = 0.
11
Do đó y ∈ g
−1
(0) = Kerg. Điều này chứng minh bao hàm thức
Imf ⊂ Kerg.
[⇐=] Giả thiết
Imf ⊂ Kerg.
Giả sử x ∈ X, ta có h(x) = g(f(x)). Vì
f(x) ∈ Imf ⊂ Kerg
nên ta được g(f(x)) = 0. Do đó h(x) = 0. Vì x là tùy ý, nên điều này chứng
tỏ rằng h = 0.
1.3 Phạm trù module
Định nghĩa 1.4. Một phạm trù P bao gồm một lớp nào đó các vật A, B,
C, X, Y sao cho với bất kỳ cặp vật có thứ tự (A, B) xác định được tập
Mor(A, B) các cấu xạ có nguồn là A và đích là B, mà nếu (A, B) = (X, Y )
thì Mor(A, B) ∩ Mor(X, Y ) = φ. Hơn nữa, với bất kỳ bộ ba có thứ tự các
vật (A, B, C) một luật lấy tích cấu xạ được xác định trên Mor(A, B) ×
Mor(B, C) lấy giá trị trong Mor(A, C); cụ thể là ∀(α, β) ∈ Mor(A, B) ×

Mor(B, C) xác định được tích βα ∈ Mor(A, C). Ngoài ra các tiên đề sau
được thỏa:
• PT1: Với mỗi vật A ∈ P, tồn tại cấu xạ đồng nhất 1
A
∈ Mor(A, A),
mà 1
A
.α = α và β.1
A
= β, nếu các tích 1
A
.α, β.1
A
là xác định.
• PT2: Luật lấy tích các cấu xạ có tính chất kết hợp, tức là nếu có tích
α(βγ) thì cũng có (αβ)γ và α(βγ) = (αβ)γ.
Ví dụ 1.4. (1) Phạm trù St các tập hợp và các ánh xạ, với các vật là các
tập hợp và các cấu xạ là các ánh xạ. Luật lấy tích các cấu xạ chính là lấy tích
các ánh xạ.Ta thấy St thỏa mãn tất cả các điều kiện còn lại của định nghĩa
phạm trù.
(2) Phạm trù Ab các nhóm Aben với các vật là các nhóm Aben và các cấu
xạ là các đồng cấu nhóm. Tích hai cấu xạ là tích hai đồng cấu nhóm.
(3) Phạm trù Gr các nhóm và các đồng cấu nhóm, với các vật là các nhóm
và các cấu xạ là các đồng cấu nhóm. Luật lấy tích các cấu xạ là lấy tích các
đồng cấu.
12
(4) Lớp các R-module trái, kí hiệu là
R
Mod (hay đơn giản là Mod) cũng
lập thành một phạm trù với các vật là các module và các cấu xạ là các đồng

cấu module. Ta gọi nó là phạm trù các R-module trái, hay đơn giản hơn là
phạm trù các module. Với Z là vành các số nguyên thì phạm trù
Z
Mod chính
là phạm trù Ab các nhóm aben.
1.4 Tổng trực tiếp -Tích trực tiếp
Định nghĩa 1.5. Cho một họ những R-module (X
i
/i ∈ I). Khi đó tích đề
các

I
X
i
= {(x
i
)/i ∈ I, x
i
∈ X
i
}. Cùng phép cộng và phép nhân với vô
hướng theo thành phần
(x
i
) + (y
i
) = (x
i
+ y
i

)
r(x
i
) = (rx
i
)
là một R-module gọi là tích trực tiếp của họ (X
i
/i ∈ I).
Định lý 1.5. (Tính chất phổ dụng)
Giả sử X là R-module,(X
i
)
i∈I
là họ các R-module họ các đồng cấu
ϕ
j
: X −→ X
j
. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu f : X −→

i∈I
X
i
sao cho
p
j
f = ϕ
j
(với p

j
là phép chiếu chính tắc) tức là biểu đồ sau giao hoán :

i∈I
X
i
p
j
//
X
j
X
f
aa
ϕ
j
@@
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Chứng minh. Xét ánh xạ
f : X −→

i∈I

X
i
x −→ (f
i
(x))
i∈I
+) f là đồng cấu vì ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ X ta có :
f(ax + by) = (f
i
(ax + by))
i∈I
= (af
i
(x) + bf
i
(y))
i∈I
= a(f
i
(x))
i∈I
+ b(f
i
(y))
i∈I
= af(x) + bf(y)
+) ∀x ∈ X : p
j
f(x) = p
j

(f
i
(x))
j∈I
= f
j
(x) ⇒ p
j
f = f
j
; ∀j ∈ I
+) Nếu tồn tại đồng cấu g : X −→

i∈I
X
i
sao cho p
j
g = f
j
thì
∀x ∈ X : p
j
g(x) = f
j
(x) = p
j
f(x) điều này chứng tỏ thành phần thứ i
củaf(x) và của g(x) trùng nhau. Do đó f(x) = g(x), ∀x ∈ X. Vậy f = g.
13

Định nghĩa 1.6. Giả sử (X
i
)
i∈I
và (Y
i
)
i∈I
là các họ R-module và họ
(f
i
: X
i
−→ Y
i
)
i∈I
các đồng cấu module. Khi đó tương ứng
f :

i∈I
X
i
−→

i∈I
Y
i
(x
i

)
i∈I
−→ (f
i
(x
i
))
i∈I
là một đồng cấu module, được kí hiệu là

i∈I
f
i
và gọi là tích trực tiếp của họ
các đồng cấu (f
i
: X
i
−→ Y
i
)
i∈I
.
Định nghĩa 1.7. Cho (X
i
)
I
là một họ những R-module. Tập con S của tích
Đề các


I
X
i
, gồm tất cả những phần tử (x
i
) mà x
i
= 0 hầu hết trừ một số
hữu hạn chỉ số i ∈ I, là một module con, được gọi là tổng trực tiếp (hay tổng
trực tiếp ngoài) của họ (X
i
)
I
và được kí hiệu bởi: ⊕
I
X
i
Trong trường hợp X
i
= X, ∀i ∈ I ta kí hiệu: ⊕
I
X
i
= X
(I)
với mỗi j ∈ I tương ứng
µ
j
: X
j

−→ ⊕
I
X
i
x
j
−→ (x
i
)
x
i
=



x
j
nếu i = j
0 nếu i = j
là một đơn cấu, gọi là nhúng chính tắc.
Định lý 1.6. (Tính chất phổ dụng)
Giả sử µ
j
: X
j
−→ ⊕
I
X
i
là phép nhúng chính tắc. Khi đó với mọi

module X và mọi họ đồng cấu (f
i
: X
i
−→ X)
I
, tồn tại duy nhất đồng cấu
f : ⊕
I
X
i
−→ X sao cho biểu đồ sau giao hoán:
X
j
µ
j
//
f
j

b
b
b
b
b
b
b
b
⊕
I

X
i
f
}}
X
Chứng minh. Xét ánh xạ:
f : ⊕
I
X
i
−→ X
(x
i
)
I
−→

I
f
i
(x
i
)
14
+) f là đồng cấu vì:
∀a, b ∈ R; ∀(x
i
)
I
, (y

i
)
I
∈ ⊕
I
X
i
ta có:
f(a(x
i
)
I
+ b(y
i
)
I
) =

I
f
i
(a(x
i
) + b(y
i
))
= a

I
f

i
(x
i
) + b

I
f
i
(y
i
) = af(x
i
)
I
+ bf(y − i)
I
+) Ta có fµ
j
= f
j
vì ∀j ∈ I, x
j
∈ X
j
: f(µ
j
(x
j
)) = f
j

(x
j
).
+) f là duy nhất. Thật vậy:
Giả sử g : ⊕
I
X
i
−→ X cũng là đồng cấu thỏa mãn gµ
j
= f
j
thì ∀x = (x
i
)
I
:
g(x) =

I
gµ
j
(x
j
) =

I
f
j
(x

j
) = f(x) ⇒ g = f.
Định nghĩa 1.8. (Hạng tử trực tiếp)
Module con A của module X được gọi là hạng tử trực tiếp của X nếu tồn
tại module con P của X sao cho X = A ⊕ P. Khi đó ta gọi P module con
phụ của A trong X.
Module X = 0 được gọi là module không phân tích được, hay còn gọi là
module đơn nếu và chỉ nếu X chỉ có hai module con là 0 và X.
Định lý 1.7. Giả sử X là R-module, A là module con của X. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương :
(i) A là hạng tử trực tiếp của X.
(ii) Tồn tại đồng cấu ϕ : X −→ X sao cho



ϕ
2
= ϕ
Imϕ = A
(iii) Tồn tại đồng cấu ψ : X −→ A sao cho ψ(x) = x, ∀x ∈ A.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử X = A ⊕ P . Khi đó ∀x ∈ X đều viết được
duy nhất dưới dạng x = a + p với a ∈ A, p ∈ P . Ta đặt:
ϕ : X −→ X
(a + p) −→ a
Rõ ràng ϕ là đồng cấu thỏa mãn các điều kiện đã cho.
(ii) ⇒ (iii) Vì Imϕ = A nên ta có thể định nghĩa đồng cấu
ψ : X −→ A
x −→ ψ(x) = ϕ(x)
15
Ta có: ∀x ∈ A ⇒ y ∈ X : ϕ(y) = x ⇒ ψ(x) = ϕ(x) = ϕ(ϕ(y)) = ϕ(y) = x.

(iii) ⇒ (i) Đặt P = Kerψ. Khi đó A ∩ P = 0.Thật vậy:
x ∈ A ∩ P ⇒

x ∈ A
x ∈ P
⇒

ψ(x) = x
ψ(x) = 0
⇒ x = 0.
Mặt khác ∃x ∈ X ta có:
ψ(x) ∈ A ⇒ ψ(ψ(x)) = ψ(x) ⇒ ψ(x − ψ(x)) = 0
⇒ x − ψ(x) ∈ P ⇒ x = ψ(x) + (x − ψ(x)) ∈ A + P
Vậy A là hạng tử trực tiếp của X.
Hệ quả 1.1. Giả sử A là tổng của những module con A
i
, A =

I
A
i
. Khi
đó A là tổng trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ
a
i
1
+ a
i
2
+ + a

i
n
= 0 a
i
n
∈ A
i
j
.
1.5 Dãy khớp
1.5.1 Định nghĩa dãy khớp
Định nghĩa 1.9. Một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) các đồng cấu module

//
A
f
//
B
g
//
C
//

được gọi là khớp tại module B nếu Imf = Kerg.
Vậy dãy là khớp tại module1 B nếu ảnh của đồng cấu vào tại đó bằng hạt
nhân của đồng cấu ra.
Dãy các đồng cấu trên được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi module
khác với hai đầu (nếu có) của dãy.
Định nghĩa 1.10. Dãy khớp dạng
0

//
A
f
//
B
g
//
C
//
0
được gọi là dãy khớp ngắn.
Ví dụ 1.5. a) Cho h : X −→ Y là đơn cấu mà không là đẳng cấu. Khi đó
Kerh = 0 và do vậy có dãy khớp ngắn:
0
//
X
h
//
Y
p
//
Y/Imh
//
0
16
b) Cho module X và A là module con của X. Khi đó dãy gồm các đồng cấu
nhúng i : A −→ X và đồng cấu chiếu p : X −→ X/A tạo thành dãy khớp
ngắn:
0
//

A
i
//
X
p
//
X/A
//
0
.
1.5.2 Dãy khớp ngắn chẻ ra
Định nghĩa 1.11. Dãy khớp ngắn
0
//
A
f
//
B
g
//
C
//
0
gọi là chẻ ra nếu và chỉ nếu Imf = Kerg là hạng tử trực tiếp của B tức là
tồn tại module B
1
sao cho: B = Imf ⊕ B
1
.
Định lý 1.8. Đối với mỗi dãy khớp ngắn

0
//
A
χ
//
B
σ
//
C
//
0
ba phát biểu sau là tương đương:
i) Dãy là chẻ ra.
ii) Đồng cấu χ có nghịch đảo trái.
iii) Đồng cấu σ có nghịch đảo phải.
Chứng minh. Nếu đồng cấu χ có nghịch đảo trái, tức là tồn tại đồng cấu
p : B −→ A sao cho pχ = 1
A
, thì tích hai đồng cấu:
A
χ
//
B
p
//
A
là đẳng cấu. Vậy B = Imf ⊕ Kerp, do đó dãy chẻ ra.
Nếu dãy chẻ ra, tức B = Imf ⊕ B
1
thì tồn tại phép chiếu

p
1
: B = Imχ ⊕ B
1
−→ Imχ.
Bởi χ là đơn cấu nên χ thực hiện đẳng cấu: A
∼
=
Imχ và do đó đồng cấu χ
1
(mà χ
1
(a) = χ(a), ∀a ∈ A) có đồng cấu ngược χ
−1
1
: Imχ −→ A.
Chọn p = χ
−1
1
p
1
thì pχ = 1
A
, tức χ có nghịch đảo trái.
Vậy i) tương đương với ii).
Một cách tương tự, nếu σ có nghịch đảo phải tức tồn tại đồng cấu q mà
σq = 1
C
thì tích của hai đồng cấu
C

q
//
B
σ
//
C
17
là đẳng cấu và do đó
B = Imq ⊕ Kerσ = Imq ⊕ Imχ,
tức dãy là chẻ ra.
Nếu dãy là chẻ ra thì tồn tại module con B
1
mà B = Imχ ⊕B
1
. Xét đồng
cấu σ
1
= σ | B
1
: B
1
−→ C. Bởi B
1
∩ Kerσ = 0 nên σ
1
là đơn cấu.
σ
1
cũng là toàn cấu vì: ∀c ∈ C, do σ là toàn cấu nên tồn tại b ∈ B mà
σ(b) = c. Vì B = Imχ ⊕ B

1
nên ∃a ∈ A, b
1
∈ B
1
mà b = χ(a) + b
1
. Hiển
nhiên σ
1
(b
1
) = c.
Vậy σ
1
: B
1
−→ C là đẳng cấu, do đó tồn tại đẳng cấu ngược σ
−1
1
: C −→
B
1
.
Chọn q = j
2
σ
−1
1
với j

2
: B
1
−→ Imχ ⊕ B
1
là phép nhúng thành phần B
1
vào tổng trực tiếp, ta có: σq = 1
C
, tức σ có nghịch đảo phải.
Vậy i) tương đương với iii).
Hệ quả 1.2. Nếu dãy khớp

//
A
f
//
B
g
//
C
//

chẻ ra tại B thì ta có:
B
∼
=
Imf ⊕ Img.
Chứng minh. Từ tính khớp và chẻ ra của dãy tại B ta dựng được dãy khớp
ngắn chẻ sau:

0
//
Imf
i
//
B
g
1
//
Img
//
0
trong đó i là phép nhúng Imf ⊂ B, còn
g
1
(b) = g(b), ∀b ∈ B.
Bởi i đơn cấu, g
1
toàn cấu, và đồng thời
Kerg
1
= Kerg = Imf = Imi
nên là dãy khớp. Và hiển nhiên Imf là hạng tử trực tiếp của B nên dãy là
chẻ ra. Theo phép chứng minh

iii) ⇒ i)

của định lý 1.8 ta có:
B = Imf ⊕ B
1

trong đó B
1
∼
=
Img.
Vậy B
∼
=
Imf ⊕ Img.
18
1.5.3 Một số bổ đề về dãy khớp
Định lý 1.9. (Bổ đề mạnh về bốn đồng cấu)
Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu:
A
α

f
//
B
β

g
//
C
γ

h
//
D
δ


A

f

//
B

g

//
C

h

//
D

hai dòng là khớp, ba hình vuông là giao hoán, α là một toàn cấu, và δ là một
đơn cấu thì ta có
(a) Imβ = g

−1
(Imγ),
(b) Kerγ = g(Kerβ).
Chứng minh. Để chứng minh (a), giả sử b

∈ Imβ là tùy ý cho trước. Thế
thì ∃b ∈ B với β(b) = b


. Do tính giao hoán của hình vuông giữa, ta có
g

(b

) = g

(β(b)) = γ(g(b)) ∈ Imγ.
Điều này kéo theo b

∈ g

−1
(Imγ). Vì b

∈ Imβ, nên ta được
Imβ ⊂ g

−1
(Imγ).
Đảo lại, giả sử b

∈ g

−1
(Imγ). Thế thì phần tử c

= g

(b


) nằm trong Imγ.
Do đó ∃c ∈ C với γ(c) = c

. Vì dòng dưới là khớp, nên ta có h

(c

) = 0. Do
tính giao hoán của hình vuông phải, ta có
δ(h(c)) = h

(γ(c)) = h

(c

) = 0.
Vì δ là một đơn cấu, nên điều này kéo theo h(c) = 0. Do đó ta được
c ∈ Kerh = Img.
Vì dòng trên là khớp. Theo định nghĩa của Img, ∃b ∈ B với g(b) = c.
Xét phần tử b

− β(b) trong module B’. Vì
g

(b

− β(b)) = g

(b


) − g

(β(b)) = b

− b

= 0
nên phần tử b

− β(b) bị chứa trong
Kerg

= Imf

∃a

∈ A với f

(a

) = b

− β(b). Vì α là một toàn cấu, nên ∃a ∈ A với
α(a) = a

.
19
Bây giờ ta hãy xét phần tử f(a) + b của module B. Do tính giao hoán của
hình vuông trái, ta có

β(f(a) − b) = β(f(a)) + β(b) = f

(α(a)) + β(b)
= f

(a

) + β(b) = b

− β(b) + β(b) = b

.
Điều này kéo theo b

∈ Imβ. Vì b

∈ g

−1
(Imγ), nên ta được
g

−1
(Imγ) ⊂ Imβ.
Điều này hoàn thành phép chứng minh của (a).
Để chứng minh (b), giả sử c ∈ Kerγ. Thế thì ta có γ(c) = 0. Do tính
giao hoán của hình vuông phải, ta có
δ(h(c)) = h

(γ(c)) = h


(0) = 0.
Vì δ là một đơn cấu, suy ra h(c) = 0 . Do đó ta được
c ∈ Kerh = Img.
Vì dòng trên là khớp. Theo định nghĩa của Img, ∃b ∈ B với g(b) = c.
Xét phần tử b

= β(b) ∈ B

. Do tính giao hoán của hình vuông giữa, ta
được
g

(b

) = g

(β(b)) = γ(g(b)) = γ(c) = 0.
Điều này kéo theo
b

∈ Kerg

= Imf

Vì dòng dưới là khớp. Vậy tồn tại một phần tử a

∈ A với f(a

) = b


. Vì α
là một toàn cấu, nên ∃a ∈ A với α(a) = a

.
Bây giờ ta hãy xét phần tử b − f(a) ∈ B. Do tính giao hoán của hình
vuông trái ta có
β(b − f(a)) = β(b) − β(f(a)) = β(b) − f

(α(a))
= b

− b

= 0
Điều này kéo theo b − f(a) ⊂ Kerβ. Mặt khác, ta cũng có
g(b − f(a)) = g(b) − g(f(a)) = c − 0 = 0
Điều này kéo theo c ∈ g(Kerβ)). Vì c ∈ Kerγ, nên ta được
Kerγ ⊂ g(Kerβ).
20
Đảo lại, giả sử c ∈ g(Kerβ)). Thế thì ∃b ∈ Kerβ với g(b) = c. Do tính
giao hoán của hình vuông giữa, ta có
γ(c) = γ(g(b)) = g

(β(b)) = g

(0) = 0.
Suy ra c ∈ Kerγ. Vì c ∈ g(Kerβ), nên ta được
g(Kerβ) ⊂ Kerγ.
Điều này hoàn thành phép chứng minh của (b).

Hệ quả 1.3. (Bổ đề năm đồng cấu)
Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau:
A
α
1

f
1
//
B
α
2

f
2
//
C
α
3

f
3
//
D
α
4

f
4
//

E
α
5

A

f

1
//
B

f

2
//
C

f

3
//
D

f

4
//
E


trong đó: các dòng là khớp, α
1
toàn cấu, α
5
đơn cấu. Khi đó nếu α
2
và α
4
đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì α
3
cũng là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
Chứng minh. Thật vậy, nếu α
4
đơn cấu, thì nhờ α
1
toàn cấu mà ta có thể
áp dụng bổ đề bốn đồng cấu cho α
1
, α
2
, α
3
, α
4
để có:
Kerα
3
= f
2
(Kerα

2
) = f
2
(0) = 0
do Kerα
2
= 0 bởi α
2
đơn cấu.
Vậy nếu α
2
, α
4
đơn cấu thì α
3
đơn cấu.
Nếu α
2
toàn cấu thì vì α
5
đơn cấu nên ta áp dụng bổ đề bốn đồng cấu
cho α
2
, α
3
, α
4
, α
5
ta được:

Imα
3
= f

−1
3
(Imα
4
) = f

−1
3
(D

) = C

do Imα
4
= D

bởi α
4
toàn cấu.
Vậy nếu α
2
, α
4
toàn cấu thì α
3
toàn cấu.

Hiển nhiên, từ các kết quả trên thì từ α
2
, α
4
đẳng cấu suy ra α
3
cũng
đẳng cấu.
Hệ quả 1.4. (Bổ đề năm ngắn)
Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau:
0
//
A
α

//
B
β

//
C
γ

//
0
0
//
A

//

B

//
C

//
0
Khi đó, nếu α, γ là đơn (toàn, đẳng) cấu thì β cũng là đơn (toàn, đẳng) cấu.
21
1.6 Module tự do
Định nghĩa 1.12. Cho module X. Tập S ⊂ X được gọi là hệ sinh của X
nếu < S >= X. Hay, S là hệ sinh của X nếu với bất kì phần tử x ∈ X thì
x = r
1
s
1
+ r
2
s
2
+ · · · + r
n
s
n
trong đó r
1
, r
2
, · · · , r
n

∈ R và s
1
, s
2
, · · · , s
n
∈ S, tức x biểu thị được dưới
dạng tổ hợp tuyến tính của S.
S ⊂ X là độc lập tuyến tính nếu
r
1
s
1
+ r
2
s
2
+ · · · + r
n
s
n
= 0
thì r
1
= r
2
= · · · = r
n
= 0.
Khi S ⊂ X không là độc lập tuyến tính, ta nói S là phụ thuộc tuyến

tính. Nói cách khác, tồn tại các phần tử s
1
, s
2
, · · · , s
k
∈ S, và các hệ tử
r
1
, r
2
, · · · , r
k
∈ R không đồng thời bằng 0 mà:
r
1
s
1
+ r
2
s
2
+ · · · + r
k
s
k
= 0
Một hệ sinh S của module X đồng thời là hệ độc lập tuyến tính được gọi
là cơ sở của module X.
Module X có cơ sở được gọi là module tự do.

Định lý 1.10. Tập S = {x
α
}
α∈I
các phần tử của module X là cơ sở của X
khi và chỉ khi mỗi phần tử x ∈ X chỉ có một cách biểu thị tuyến tính qua S.
Chứng minh. Nếu S là cơ sở của X thì mỗi phần tử x ∈ X đều biểu thị tuyến
tính được qua S : x =

α∈I
r
α
x
α
(trong đó hầu hết các r
α
= 0, trừ một số
hữu hạn).
Nếu x còn có cách biểu thị tuyến tính khác qua S : x =

α∈I
r

α
x
α
thì

α∈I
r

α
x
α
=

α∈I
r

α
x
α
⇒

α∈I
(r
α
− r

α
)x
α
= 0
Bởi S độc lập tuyến tính nên đẳng thức cuối cùng xảy ra khi và chỉ khi
r
α
− r

α
= 0, ∀α, tức là hai cách biểu thị tuyến tính của x qua S là như nhau.
Nếu S ⊂ X mà mỗi x ∈ X có một cách biểu thị tuyến tính qua S thì hiển

nhiên S là hệ sinh. Vì cách biểu thị tuyến tính của mỗi x ∈ X qua S là duy
nhất, thì nói riêng phần tử 0 cũng chỉ có một cách biểu thị tuyến tính qua
S, nên S là độc lập tuyến tính. Do vậy S là cơ sở.
22
Định lý 1.11. Nếu f : X −→ Y là đẳng cấu module và X là module tự do
thì Y cũng là module tự do. Hơn nữa, nếu S là cơ sở của X thì f(S) là cơ sở
của Y.
Chứng minh. Vì S là cơ sở của X, tức hệ sinh của X nên f(S) là hệ sinh của
Imf = Y .
Nếu có tổ hợp tuyến tính của f(S):

r
α
f(x
α
) = 0 ⇒ f(

r
α
x
α
) = 0 ⇒

r
α
x
α
= 0
do f là đẳng cấu.
Từ tính độc lập tuyến tính của S, đẳng thức cuối cùng


r
α
x
α
= 0 cho ta
r
α
= 0, ∀α. Vậy f(S) độc lập tuyến tính và do đó f(S) là cơ sở của module
Y.
Định lý 1.12. (tính chất phổ dụng)
Cho X là R-module tự do với cơ sở S = {s
α
}
α∈I
và A là R-module. Khi
đó mọi ánh xạ f : S −→ A đều mở rộng một cách duy nhất thành một đồng
cấu
ϕ : X −→ A.
Chứng minh. Đồng cấu ϕ : X −→ A được xác định bởi hệ thức
ϕ(

x
α
s
α
) =

x
α

f(s
α
)
Bây giờ nếu ψ : X −→ A là một đồng cấu mở rộng của f thì
ψ(s
α
) = f(s
α
), α ∈ I
và
ψ(

x
α
s
α
) =

x
α
ψ(s
α
) =

x
α
f(s
α
) = ϕ(


x
α
s
α
).
Điều này chứng tỏ ϕ = ψ.
Định lý 1.13. Giả sử S là một tập hợp, X là một R-module và µ : S −→ X
là một ánh xạ có tính chất: với mọi f từ S đến R-module bất kì Y đều tồn tại
một đồng cấu duy nhất ϕ : X −→ Y sao cho ϕµ = f.
Khi đó, µ là một đơn ánh và X là R-module tự do với cơ sở µ(S).
Định lý 1.14. Mỗi module X đẳng cấu với module thương của module tự do
nào đó.
Chứng minh. Xét module tự do F(X) sinh bởi tập X. Khi đó ánh xạ đồng
nhất
1
X
: X −→ X
23
có thể mở rộng tới đồng cấu
ϕ : F (X) −→ X.
Hiển nhiên ϕ là toàn cấu và do đó
X
∼
=
F (X)/Kerϕ.
Định lý 1.15. Module con của module tự do trên vành chính là module tự
do.
Hệ quả 1.5. Mọi nhóm con của nhóm aben tự do là nhóm aben tự do.
Chứng minh. Thật vậy, vì các nhóm aben tự do là các Z-module tự do và Z
là vành chính, nên kết luận của hệ quả được suy ra từ định lí trên.

1.7 Hàm tử Hom
1.7.1 Cấu trúc nhóm trên Hom(X, Y )
Cho X, Y là các R-module. Trên tập tất cả các đồng cấu từ module X tới
module Y, kí hiệu là Hom(X, Y ), ta đưa vào phép toán cộng như sau:
Với cặp đồng cấu bất kì f, g ∈ Hom(X, Y ) tổng (f + g) là ánh xạ từ X
tới Y xác định theo công thức:
∃x ∈ X, (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Phép cộng đưa vào ở trên xác định cho ta cấu trúc nhóm trên Hom(X, Y ),
với phần tử 0 là đồng cấu tầm thường và phần tử đối của đồng cấu f là (−f)
được xác định:
(−f)(x) = −f(x), ∀x ∈ X.
Vậy (−f) cũng là đồng cấu. Hơn nữa Hom(X, Y ) là nhóm cộng giao hoán.
Khi R là vành giao hoán thì có thể biến Hom(X, Y ) thành R-module với
phép nhân ngoài xác định như sau:
∀r ∈ R, ∀f ∈ Hom(X, Y ), (rf)(x) = rf(x), ∀x ∈ X.
Bây giờ cho đồng cấu α : A −→ B và X là module cố định. Ta xét các ánh
xạ cảm sinh từ α là α
∗
và α
∗
được xác định theo các công thức sau:
α
∗
: Hom(X, A) −→ Hom(X, B)
24
mà α
∗
(f) = αf, ∀f ∈ Hom(X, A),
α
∗

: Hom(B, X) −→ Hom(A, X)
mà α
∗
(g) = gα, ∀g ∈ Hom(B, X).
Có thể thấy các ánh xạ cảm sinh α
∗
, α
∗
là các đồng cấu nhóm.
1.7.2 Khái niệm về hàm tử
Cho các phạm trù P và C.
Định nghĩa 1.13. Hàm tử F : P −→ C là một quy luật, tương ứng mỗi vật
A ∈ P với một vật F (A) ∈ C và tương ứng mỗi cấu xạ α : A −→ B trong
phạm trù P với một cấu xạ F (α) : F (A) −→ F (B) trong phạm trù C. Hơn
nữa các tiên đề sau phải được thỏa mãn:
HT1: Với mỗi vật A ∈ P : F (1
A
) = 1
F (A)
,
HT2: F (βα) = F (β)F (α) với mỗi cặp cấu xạ (α, β) trong P mà xác định
được tích βα.
Các hàm tử đôi khi còn được gọi là hàm tử hiệp biến.
Ví dụ 1.6. Cho phạm trù P và vật X ∈ P . Hàm tử Mor(X, −) : P −→ St,
từ phạm trù P tới phạm trù các tập hợp St được xác định như sau:
• Mỗi vật A ∈ P được tương ứng với tập hợp Mor(X, A) ∈ St.
• Mỗi cấu xạ α : A −→ B được tương ứng với ánh xạ α
∗
: Mor(X, A) −→
Mor(X, B) mà α

∗
(β) = αβ, ∀β ∈ Mor(X, A). Ta thấy Mor(X, −) thỏa
mãn các tiên đề về hàm tử.
Vậy Mor(X, −) : P −→ St là hàm tử hiệp biến.
Định nghĩa 1.14. Phản hàm tử G : P −→ C là một quy luật, tương ứng
mỗi vật A ∈ P với một vật G(A) ∈ C và tương ứng mỗi cấu xạ α : A −→ B
trong phạm trù P với một cấu xạ G(α) : G(B) −→ G(A) trong phạm trù C.
Hơn nữa các tiên đề sau phải được thỏa mãn:
HT1’: Với mỗi vật A ∈ P : G(1
A
) = 1
G(A)
,
HT2’: G(βα) = G(α)G(β) với mỗi cặp cấu xạ (α, β) trong P mà xác định
được tích βα.
Ví dụ 1.7. Từ phạm trù P và vật X ∈ P ta cũng xác định được một phản
hàm tử trên P là Mor(−, X) : P −→ St như sau:
• Mỗi vật A ∈ P được tương ứng với tập hợp Mor(X, A) ∈ St.
25