Nâng cao chất lượng học tập môn Toán lớp 10 và 11 thông qua hình thức Seminar “Các chuyên đề Toán 10, 11 trong đề thi Đại học, Cao đẳng”

.
PHầN 1. Mở ĐầU
1. Lý do chn ti: Nm hc 2012-2013 l nm hc tip tc thc hin cỏc cuc vn
ng Hc tp v lm theo tm gng o c H Chớ Minh, cuc vn ng Mi
thy, cụ giỏo l mt tm gng o c, t hc v sỏng to; cựng vi phong tro xõy
dng "Trng hc thõn thin, hc sinh tớch cc". Ngh quyt TW 2 khúa VIII ó khng
nh "i mi mnh m phng phỏp giỏo dc v o to, khc phc li dy hc truyn
th mt chiu, rốn luyn np t duy cho ngi hc, tng bc ỏp dng phng phỏp tiờn
tin, ng dng cng ngh thụng tin vo quỏ trỡnh dy hc". Do ú trong quỏ trỡnh dy
hc ũi hi cỏc thy cụ giỏo phi tớch cc hc tp; khụng ngng nõng cao nng lc
chuyờn mụn; i mi phng phỏp dy hc theo hng phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc,
ch ng sỏng to ca hc sinh; bi dng kh nng t hc, sỏng to; kh nng vn dng
kin thc, em li s say mờ, hng thỳ hc tp cho cỏc em.
Trong quỏ trỡnh ging dy mụn toỏn lp 10, 11 tụi nhn thy hc sinh c trang
b rt nhiu kin thc nhng kh nng ỏp dng v hiu bit cỏc vn cũn hn ch.
Nhm kim tra, khai thỏc tớnh sỏng to, tớch cc v tng cng kh nng hot ng nhúm
ca hc sinh .
Tụi mnh dn nờu ra mt cỏch hc ch ng, cú hiu qu i vi hc sinh c bit l i
vi hc sinh lp chn thụng qua SEMINAR vi ch :
NNG CAO CHT LNG HC TP MễN TON LP 10 V LP 11
THễNG QUA HèNH THC SEMINAR
Các chuyên đề toán 10, 11 trong đề thi đại học, cao đẳng.
2. i tng v phm vi nghiờn cu:
i tng nghiờn cu: i tng nghiờn cu trong ti l hc sinh lp 11B8
Trng THPT Bm Sn Thanh Húa.
Phm vi nghiờn cu: Phm vi nghiờn cu ca ti l hỡnh thc: SEMINAR
Các chuyên đề toán 10, 11 trong đề thi đại học, cao
đẳng.

1
.

PhÇn 2: néi dung
1. Phương pháp tiến hành:
1.1. Sau khi học sinh được học xong phần đại số tổ hợp, các em đã có cái nhìn sơ
bộ về các nội dung trong cấu trúc đề thi đại học của chương trình lớp 10+11. Giáo
viên chia nhóm học sinh và nội dung “seminar” như sau:
Nhóm 1 : PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
STT Hä vµ tªn STT Hä vµ tªn
1
Tống Thị Ngọc Anh
6
Tống Xuân Cường
2
Nguyễn Hà Anh
7
Hoàng Văn Cường (nhóm trưởng)
3
Nguyễn Mai Anh
8
Đinh Tiến Đạt
4
Lê Mai Anh
9
Lê Xuân Dương
5
Nguyễn Việt Cường
10
Đào Xuân Giang
Nhóm 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
STT Hä vµ tªn STT Hä vµ tªn
1

Mai Trường Giang
6
Trần Đại Hiệp
2
Nguyễn Thị Hà
7
Trịnh Xuân Hưng
3
Phạm Thị Thanh Hằng
8
Nguyễn Lan Hương
4
Phùng Thị Thu Hằng
9
Hà Trung Kiên
5
Nguyễn Thị Hậu
10
Vũ Thuỳ Linh (nhóm trưởng)
Nhóm 3 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
STT Hä vµ tªn STT Hä vµ tªn
1
Vũ Đức Linh
6
Lê Trương Nam
2
Nguyễn Thị Linh
7
Vũ Thanh Nga
3

Nguyễn Quang Minh
8
Lê Thị Quỳnh Nga
4
Hoàng Tuấn Minh (nhóm trưởng)
9
Phan Như Ngọc
5
Tống Công Minh
10
Lê Thị Nguyệt
Nhóm 4 : ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN.
STT Hä vµ tªn STT Hä vµ tªn
1
Phạm Thị Ánh Nguyệt
6
Lê Thế Sơn (nhóm trưởng)
2
Lê Thanh Phong
7
Mai Khả Tâm
3
Nguyễn Văn Phong
8
Hoàng Văn Thắng
4
Vũ Hồng Quân
9
Mạc Anh Thanh
5

Trần Anh Quang
Nhóm 5 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP .
STT Hä vµ tªn STT Hä vµ tªn
1
Nguyễn Ngọc Thảo
5
Nguyễn Kim Oanh
2
Trương Thị Thoa
6
Nguyễn Anh Tuấn
3
Nguyễn Huy Tiến
7
Nguyễn Tiến Thành

2
.
4
Vũ Thị Quỳnh Trang
8
Trần Thị Hải Vân (nhóm trưởng)
1.2 Giáo viên hướng dẫn:
• Tập hợp và lựa chọn bài (mỗi học sinh sáng tạo 5 bài) theo hướng dẫn về dạng bài
và cách thức sáng tạo. (thời gian 10 ngày).
• Mỗi nhóm có 1 nhóm trưởng phân công cho 3 học sinh chịu trách nhiệm về nội
dung bài, phân công các thành viên làm từng nội dung cụ thể (thời gian 3 ngày cho
các nhóm biên tập và đánh máy).
• Giáo viên hướng dẫn cách trình bày nội dung gồm:
• Lý thuyết cơ bản.

• Trình bày sơ đồ tư duy trong chuyên đề.
• Các bài tập theo từng chủ đề.
C, Học sinh thảo luận trước lớp vào các giờ tự chọn:
* Thời gian thực hiện vào các giờ tự chọn:
• Nhóm 1: 3 tiết.
• Nhóm 2: 3 tiết.
• Nhóm 3: 4 tiết.
• Nhóm 4: 4 tiết.
• Nhóm 5: 3 tiết.
Tổng số tiết thực hiện: 17.
* Mỗi nhóm cử thành viên lên thuyết trình nội dung và giải đáp các ý kiến thắc
mắc.
* Để hấp dẫn hơn sau khi hoàn thành việc thuyết trình cho 5 chuyên đề lớp sẽ bầu
chọn học sinh thuyết trình ấn tượng nhất để trao thưởng (kinh phí của GV phụ trách).
* Giáo viên đóng vai trò tổng biên tập và cố vấn: Hướng dẫn các thuyết trình về
cách thức làm, các bài tập tương ứng. Giải đáp các thắc mắc và tổng hợp các vấn đề.
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
LÍ THUYẾT CƠ BẢN
I. Phương trình vô tỉ :
1) Phương trình vô tỉ dạng cơ bản
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x
f x g x
≥



∗ = ⇔

=



( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0; 0; 0
2
f x g x h x
f x g x h x
f x g x f x g x h x
≥ ≥ ≥


∗ + = ⇔

+ + =


Chú ý: - Nếu là phép tương đương trước căn có dấu dương.
- Nếu f(x), g(x), h(x) có nhân tử chung là (x + x
0
) thì thực hiện nhóm, chú ý dấu
của biểu thức.

3
.

. , 0
. , 0
ab a b a b
ab a b a b
= ≥
= − − ≤
2. Một số dạng và phương pháp thường dùng:
( ) ( )
) . 0f x f x
α β γ
∗ + + =
Đặt
( )
0y f x= ≥
( ) ( )
) . 0f x a f x b
α β γ
∗ + + + =
Đặt y = f(x), điều kiện của y.
*) PT có chứa
( ) ( )
,f x g x
và
( ) ( )
. co sf x g x n t k= =
Đặt
( ) ( )
0
k

y f x g x
y
= ≥ ⇒ =
*)PT có chứa
( ) ( )
f x g x±
và
( ) ( )
.f x g x
.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2
.
2
t
y f x g x f x g x
α
−
= ± → =
Hoặc đặt
( )
( )
a f x
b g x

=


=




( ) ( )
. .f x g x a b⇒ =
*)
( ) ( ) ( )
axf x b g x= +
(f(x), g(x) là hàm số bậc hai hoặc bậc ba). Đặt
( )
y g x=
Pt có 2 ẩn: x và y và biệt thức
∆
là số chính phương.
II. Bất phương trình vô tỉ:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
0, 0 0, 0
)
{ 0; }
g x f x g x f x
f x g x f x g x
f x g x g x f x g x
≥ ≥ ≤ ≥
 


∗) ≤ ⇔ ∗ ≥ ⇔


≤ ≥ ≥


 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0; 0; 0
) ( )
2 .
f x g x h x
f x g x g x
f x g x h x g x h x
≥ ≥ ≥

∗ ≥ + ⇔

≥ + +



*) Chú ý:- Chỉ bình phương 2 vế nếu chúng có nghĩa và cùng không âm.
- Không xét BPT hệ quả.
Các ví dụ
VD 1. Giải các phương trình:
2

1, 4 5 11x x x− − = +

2, 1 2 2 3x x x− − − = −

VD 2. Giải các phương trình:
2 2 2
1, 3 2 3x x x x x x− + − = +

2 3 2
2, 3 5 3 5x x x x x+ − = + −

2 2
3, 4 7 10 2 4x x x x− + − + = −

2 2
4, 4 24 4 12 8 12 6x x x x x x− + − − = − + + −

VD 3. Giải các phương trình:

2
1, 5 2 7 4 7 44x x x x x+ + + + + =

2 2
2,4 12 3 2 5x x x x− + − + =

2
3,5 7 7x x x x+ − + = −

2 2
4,2 2 3 33x x x x+ + − = −

VD 4. Giải các phương trình:
( )
2 2
1,2 2 1 4 1 4x x x x x− + + = −

3
3
3, 4 5 5 4x x+ = −

VD 5. Cho PT:
( ) ( )
2
8 2 6x x x x m− + − − − =
. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt.
VD 6. Giải các phương trình:
2 2
1, 4 1 4x x x x− + − + =

2 2
2,2 5 1 4 0x x− + − =

VD 7. Giải các phương trình:
2
1, 4 28 52 2 5 8 2x x x x− + − = − + −

2
2, 8 24 3 1 5 3x x x x− + = − + −

4

.
VD 8. Giải các phương trình:
2 2 2 2
1, 2 2 2 1 2 2 3x x x x x x x x+ + + + − = − + − +

2
2, 1 5 2 5 3 2x x x x x x+ + + = + +

VD 9. Giải các phương trình:
1, 4 2 2 2x x x− − − = +

2, 2 1 4 5x x x+ − − = −

2 2 2 2
3, 4 2 3x x x x x x x x+ + + = + + +

4, 2 1 2 3 5 9x x x x− + + = + + +
VD 10. Giải các phương trình:

2 2 2 2
1, 1 15 7 2, 2 4 6x x x x x x x x+ − + + + = − − + + =
( )
( ) ( )
2
4
3
2
1
3, 2 3 5 4 2 4, 6 3 3 3
4

3 2
5, 1 1 2 1
1 1
x x x x x x x x
x x
x x x
x x x
+ + = + + − + + + + = +
−
+ + = − −
+ + − +
VD 11. Giải các phương trình:

2 2 2 3 2
2 3 2 3 2
1, 3 2 4 2 3 1 1 2,3 6 9 3 1
3,3 9 2 5 2 6 4,3 4 9 5 2 3 2 3 0
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
− + = − + + + − − = + − −
− + = − − + + − + − =
VD 12. Giải các bất phương trình:

2 2
2 2 2
2 2
1, 2 3 2, 3 2 2 1 3, 5 3 2
4, 4 5 5 1 5, 4 10 3 1 6, 6 1
7, 3 3 11 2 1 8, 2 15 27 3
x x x x x x x x

x x x x x x x x
x x x x x x
+ ≤ − − > − + + ≤ +
− + ≥ + + ≤ + − − < +
+ − > + + + < +
VD 13. Giải các bất phương trình:
2
2 2
6 6 2 1 1
1, 1 2, 1 3,
3 3 1
2 3 2 4 2
x x x
x x
x x x x
+ + +
≥ ≥ <
+ −
+ − − +

VD 14. Giải các bất phương trình:
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
1, 4 3 3 2, 3 9
4 3
3 9

3, 7 10 4 4, 6 2
6
2 4
x x
x x x x x
x
x
x x
x x x x x
x
x
− − ≥ − − − + − ≥
−
− −
− + + + ≤ − + < +
+
+ +
VD 15. Giải các bất phương trình:
1, 7 1 3 2, 2 1 1 2
3, 10 3 2 4,2 5 2
x x x x x x
x x x x x x
+ ≥ + + − + ≥ − + −
+ < − + + > − + +
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I, Hệ gồm một phương trình bậc nhất,một phương trình bậc cao
*Hệ có dạng
Ax 0 (1)
f(x;y)=0 (2)
By C+ + =




* Phương pháp
- Từ pt (1) rút x theo y hoặc y theo x, thay vào pt (2) ta dược pt bậc 2 hoặc 3 đối với x hay y
- Giải pt bậc cao với x hoặc y
II, Hệ đối xứng loại I

5
.
- Ta có hệ
( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
g x y
=


=

Trong đó
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
f x y f y x
g x y g y x
=


=


- Phương pháp
+, Đặt
x y S
xy P
+ =


=

( ĐK: S
2
≥
4P)
+, Giải hệ
( ; ) 0
( ; ) 0
h S P
k S P
=


=

S, P là nghiệm ( kiểm tra ĐK)
+, Nghiệm của hệ là nghiệm của phương trình : X
2
– S.X + P = 0
III, Hệ đối xứng loại II
- Dạng (I)
( ; ) 0 (1)

( ; ) 0 (2)
f x y
f y x
=


=


* Nếu (x
0
; y
0
) là nghiệm hệ thì (y
0
;x
0
)cũng là nghiệm của hệ
- Phương pháp
+, (1) -(2) ta được: (x- y).h(x; y) = 0
(I)
⇔
( )
( ; ) 0
x y
II
f x y
=



=

hoặc
( )
( ; ) 0
( ; ) ( ; ) 0
h x y
III
f x y g x y
=


+ =

IV, Hệ đẳng cấp
- Phương pháp:
+, Tìm để thoả mãn x= 0 (y= 0)
+, x
≠
0 (y
≠
0) Đặt : y = tx (x = ty)
+Chú ý với hệ
2 2
2 2
Ax
' ' ' '
Bxy Cy D
A x B xy C y D


+ + =


+ + =


*Có thể khử hệ số tự do đưa về pt dạng : Ax
2
+ Bxy + Cy
2
= 0 tính x theo y hoặc y
theo x.
*Có thể khử x
2
hoặc y
2
khi cộng hoặc trừ vế với vế của 2 pt trong hệ, sau dó rút y
theo x hoặc x theo y thay vao hệ.
V, Hệ phương trình không mẫu mực
- Là hệ không thể biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả từ đầu đến cuối.
- Tuỳ từng bài toán ta có thể : Đặt ẩn phụ hoặc biến đổi tương đương hoặc đánh giá.
Các ví dụ
VD 1. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2
4 0
3 4 9 0
x y
x xy y
+ =



+ − + =

2,
2 2
2 2
2 2 0
1
x y xy x y
x y

− − + + =


+ =


VD 2. Giải các hệ phương trình:
1,
3 2
2
2 5 8 6 0
1 ( 2)
x xy x y
x y y

− + − − =



− = +


2,
3 3
2 2
7 42 0
2 8 7 10 0
x y xy x y
y x xy y x

+ + − + − =


− + − + − =


VD 3. Giải các hệ phương trình:

6
.
1,
3 2
2 2
3 5 7 9 15 0
2 2
y xy xy x y
x x y y

− + − + − =



+ = −


2,
2 2
2
2 6 2 7
4 4 5 29
x y y xy x
x y xy y

+ + = +


+ + =


VD 4. Cho HPT:
2 2
2
2 3
4 8 12 3
x y my mx xy
x xy x m

+ = − +



− − = +


1, Tìm m để hệ trên có 2 nghiệm phân biệt
2, Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt
VD 5. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2
3 1
5 7
x y xy
x y xy

+ − =−

+ − =

2,
2 2
2 2
( 5) ( 5) 8 3( )( 1) 5
4 5
x x y y xy x y xy
x y xy

+ + + + + + + =


+ + =



VD 6. Cho hệ
2 2 2
2 2
2 2 11 14 4
x y a
x y a a
+ = −


+ = − +

. Tìm max : P = xy
VD 7. Tìm m để hệ:
3 3
2 2
3 3 0
x y m
x y xy

+ =


+ + + =


có nghiệm : x + y =
1
2
−

VD 8. Cho hệ phương trình
2 2 2
2 2
10 19
x y m
x y xy m m
+ = +


+ + = + +

. Tìm max, min của: P = 3xy - 2x
2
- 2y
2
VD 9. Giải các hệ phương trình:
1,
3 2 2
3 2 2
2 2 1
2 2 1
x y x y
y x xy

+ + =


+ + =



2,
3 2
3 2
0
0
x y x x
y x y y

− − =


− − =


3,
4 2 3
4 2 3
2 2 1
2 2 1
x x xy
y y x y

+ + =


+ + =



VD 10. Cho hệ phương trình:
2
2
x y m
y x m

+ =


+ =


1, Giải hệ khi m = 1 2, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
VD 11. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2
2 2
3 2 15
1
8 8
2
x xy y
x xy y

− + =


+ + =



2,
3 3
3 2 2 3
2 1
2 2
x y
x x y xy y

+ =


+ + + =


3,
2
3 2 2 2 2
3
5 11 5
x xy x y
x y xy x y x y

+ = −


+ = −



VD 12. Giải các hệ phương trình:

1,
2
3 6 3
3 6
x
y x y
y
x x y x y

− = + +



+ + = + −

2,
1 4 4
2 2 1
x
y x y
y
x x y x y

− = − −



− − = − +

3,

2
2 2 2 2
4 2 4 6
x xy x y y x y
y x y x y

+ − − = +


+ + = + −


VD 13. Giải các hệ phương trình:
1,
2
( 2)( 2 ) 15
3 2 8
x x x y
x x y
+ + =


+ + =

2,
2
2
( 2 )( 3 ) 6
1
x y x y

x x y

+ − =−


+ − =



VD 14. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2 2
2
2 2
2 3
x y x x xy
x xy y x y

− = −


− − = − −


2,
3 3 2 2
2 2
4 3 3
4 8
x y x y xy x y

x y x y xy

− = + + + −


+ + = − −


VD 15. Giải các hệ phương trình:

7
.
1,
2 2 4 2
2 4 2
8 2 2 2
( ) 4 1
xy x y x x y
x y x y

− − = +


+ + + = −


2,
2
4
4

32 3
32 24 6
x x y
x x y

+ − = −


+ − = −


VD 16. Giải các hệ phương trình:
1,
2 2 2 2
2 2 3 2 2
4 5 ( )( ) 3 0
9( ) 0
x y x x x y x x y
x y x x xy x y

+ + + + + + + =


+ + + − + =


2,
2 2
2 1 0
3 3 2 0

xy y
x y xy x
+ + =


− + + =

VD 17. Tìm m sao cho HPT sau có nghiệm:
1,
4 1 5
4
x y
x y m

− + − =


+ =


2,
3 2 2 1 2
3 2 3
x y m
x y m

− + + =


+ =



3,
2 2
2 2 8
( 2)( 2)
x y x y
xy x y m

+ + + =

+ + =

VD 18. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :





−=−+
=++−
myxx
mxyxyx
21
)2(2
2
23
( §H.KTQD.11)

VD 19. Cho hai số thực x,y thỏa : x

2
+ xy + y
2
= 1. Tìm GTLN, GTNN của A = x
2
- xy + y
2
.
VD 20. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa:
( )
3
4 2xx y y+ + ≥
.
Tìm GTNN của
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
3 2 1A x y x y x y= + + − + +
VD 21. Cho
; ; 0
3
x y z
x y z
≥


+ + =

. T×m GTNN cña
2
3 11 4 2021A x x yz xy xz= − − + + +

VD 22. Cho a, b d¬ng tho¶ mãn:
2 2 2 2 2 2 2 2
6( ) 5 ( )( 4)a b ab a b a b a b+ = + + +
.
T×m GTNN cña biÓu thøc:
2 2
2 2
2 2013
a b a b
P
b a b a
 
= + − + +
 ÷
 
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. LÝ THUYẾT
1. Phương trình đưa về bậc 2, bậc 3
– Dạng:
2
at bt c 0+ + =
hoặc:
3 2
at bt ct d 0+ + + =

{ }
t sin x; cosx; tan x; cot x∈
– Các công thức sử dụng:
• Công thức nhân đôi, nhân ba. • Công thức hạ bậc.
• Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.

– Phương pháp:
• Đưa về một hàm một cung.
• Nếu có cung đặc biệt thì làm mất cung đặc biệt.
2. Phương trình thuần nhất với sinx và cosx
– Dạng:
asin x bcosx c+ =
(1) (với
2 2 2
a b c+ ≥
)
– Phương pháp:

8
.
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
a b c a b
(1) sin x cosx cos ; sin
a b a b a b a b a b
c
sin x
a b
 
⇔ + = α = α =
 ÷
+ + + + +
 
⇔ + α =
+

– Trường hợp đặc biệt:
sin x 3cosx 2sin x 2cos x
3 6
π π
   
• + = + = −
 ÷  ÷
   
sin x cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
π π
   
• ± = ± = ±
 ÷  ÷
   
m
sin x 3 cos x 2sin x 2cos x
3 6
π π
   
• − = − = − +
 ÷  ÷
   
3. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3
– Dạng:
2 2
asin x bsin x.cosx ccos x d 0+ + + =

hoặc:
3 2 2 3

asin x bsin x.cosx csin x.cos x dcos x 0+ + + =
– Các công thức sử dụng:
2
2
1
1 tan x
cos x
• + =
2
2
1
1 cot x
sin x
• + =
– Phương pháp: Xét
cosx 0
=
• Nếu
cosx 0
=
không thoả mãn: Chia cả hai vế cho
2
cos x
2 2
2
(1) a tan x btan x c d d tan x
(a d) tan x btan x c d 0
⇔ + + = +
⇔ − + + − =
• Nếu

cosx 0=
thoả mãn:
2
(1) cosx 0 asin x d⇔ = ∨ =
4. Phương pháp hạ bậc
– Công thức hạ bậc:
2
2sin x 1 cos2x• = −
2
2cos x 1 cos2x• = +
3
4sin x 3sin x sin3x• = −
3
4cos x cos3x 3cosx• = +
– Phương pháp: Nếu có mũ chẵn thường sẽ hạ bậc.
5. Phương pháp nhóm nhân tử chung
– Các công thức sử dụng
• Công thức nhân đôi, nhân ba. • Công thức hạ bậc.
• Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.
2
sin x (1 cos x)(1 cosx)
• = − +

2
cos x (1 sin x)(1 sin x)• = + −

( )
2
1 sin 2x sin x cosx
• ± = ±

6. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

9
.
– Dạng:
( )
( )
F sin x; cosx; tan x; cot x
G sin x; cosx; tan x; cot x
– Phương pháp: • Đặt điều kiện.
• Biến đổi phương trình về dạng đơn giản.
• Kết hợp điều kiện : Phương pháp hình học; Phương pháp nghiệm nguyên.
Các ví dụ
VD 1. Giải các phương trình sau:
( ) ( )
3
2 4
1,tan x 3tan x 0
cos2x 1 tan x / 4 .tan x 3 / 4
− − − =
+ + π + π
2,
cos2x cos3x cos4x cos5x cos6x cos7x cos8x cos9x cos10x 0+ + + + + + + + =
3,
2 2
3 tan x sin x cos2x.tan x 4cos x
+ − =
VD 2. Giải các phương trình sau:
1,
2

cos4x cos2x tan x.tan 2x 1
0
sin x cos x 1
− − +
=
− +
2,
2 2
3sin x cos x sin x 3sin 2x cosx
+ = − +
3,
sin8x sin4x 2 3cos6x cos2x+ = −
4,
3
2 cos x 2cosx
4
π
 
+ =
 ÷
 
5,
cosx sin 2x
3
cos2x sin x
−
=
+
6,
4 1 2

4 0
sin x cosx sin 2x
+ + + =
VD 3. Giải các phương trình sau:
1,
2 3
3sin x 4cosx 2cos x 3sin 2x 4cos x 1− + + + =
2,
4 2 4
sin x 3cos x 5cos x 1 0+ − + =
3,
2
cosx.(cosx 1) sin x 2 cosx cosx 1
+ + + = +
4,
2 2
3sin 2x sin x.(15cos x 8sin 2x 20cosx 4sin x 5) 0− + − − + =
VD 4. Giải các phương trình sau:
1,
cosx 2sin x.cosx 1
sin x cos x 1
sin x cosx
+ −
= + +
+
2,
2
2sin 2x cos 2x 3sin4x= +
3,
cos2x cosx 2sin 2x.(2cosx 1) 0

+ + − =
4,
2
3sin x sin x.cosx 2cos2x 0− − =
VD 5. Giải các phương trình sau:
1,
2
4sin3x.(3 2cos x) 2cos4x.(4sin3x 2cosx) 3cosx cos3x 0− − + + + =
2,
2
17 3
3sin x sin3x sin x.sin x sin2x.cosx 2cos x 0
2 2 2
π π
   
− + + + − − =
 ÷  ÷
   
VD 6. Giải các phương trình sau:
1,
2
14sin x 20sin x 5sin2x 6cosx 6 0− + − + − =
2,
2 3
2cos x 4cos x 2cos x sin x sin2x sin3x 0− + + + + =

10
.
3,
( )

( )
3 3 2 2
tan x cot x 3 tan x cot x 3 tan x cot x 10 0− − + − − + =
VD 7. Giải các phương trình sau:
1,
cos3x 1 cosx sin x
cosx sin x 2cosx 1
− −
=
+ +
2,
3 3
3cos x sin x 6cosx 5sin x 0− − + =
3,
3
2sin x cos2x 6sin x 7 0− + − =
4,
2
6sin x 2 3sin2x 3 2 3+ = − −
VD 8. Giải các phương trình sau:
1,
2 2 3
6sin x.cosx 5sin x.cos x sin x sin x cosx− − = −
2,
2 2
10sin x.cosx 2sin x.cos x 5sin x 4sin2x cosx 4− − = − −
3,
2
3cosx.sin2x 2cos x.sin x sin x 2cos x 0− − − =
VD 9. Giải các phương trình sau:

1,
2 2
cos x cosx sin 2x sin 2x+ + =
2,
cos4x 2sin2x 1 0+ − =
3,
1 sin x cosx cot x 0
+ + + =
4,
tan x.sin x cot x.cosx
1
cosx sinx
+
= −
+
VD 10. Giải các phương trình sau:
1,
2
1 2sin x sin x cos x 0+ + − =
2,
3
4cos x 2sin x 3sin 2x 4cosx 3
0
sin 2x 1
+ + − −
=
−
3,
2
cos3x 5sin x 19cosx 24

0
cosx 1
+ + −
=
−
4,
2cos2x 3sin 2x
2
(1 sin x)(1 sin x) 1
−
=
− + −
VD 11. Giải các phương trình sau:
1,
3 2 2
cos x 4cos x.sin x 3sin x.cosx sin x 4cosx 6 0− + + − + =
2,
3 3 2 2 2
32cos 6x 16cos 2x 5sin 6x 16sin 9x 24sin x 43 0
2
π
 
+ − + + + − =
 ÷
 
3,
( )
4 2
4cos x sin3x.(sin x cosx) cos3x. sin x 3 3(sin3x 1) sin x cosx 3cos x 0
− + + + − + − − − =

4,
( ) ( )
3 3
2sin x 4 2cos x sin 2x 2 3 2 cosx 3 2 sin x
 
− = + − −
 
Chuyên đề: ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN.
A. ĐƯỜNG THẲNG.
1, PT ∆ qua A(x
0
;y
0
) và có VTPT
n
r
(a;b)
⇒
∆:a(x-x
0
)+ b(y-y
0
)=0
2, ∆:ax+by+c=0; d
⊥
∆
⇒
d:bx-ay+c’=0. d//∆
⇒
d: ax+by+c’=0.

3,
a
r
(x
a
;y
a
);
b
r
(x
b
;y
b
)
⇒
cos(
a
r
;
b
r
)=
.a b
a b
r r
r r
.
4,
a

r
+
b
r
a b+
r r
, dấu “=” xảy ra
⇔
k 0:
a kb
=
r r
.
5, Tìm M d: (MA+MB)min;

11
.
*A, B cùng phía. MA+MB AB
⇒
ycbt M=AB d.
*A, B khác phía. Lấy C đối xứng A qua d
⇒
M:MA=MC
⇒
MA+MB=MC+MB
⇒

ycbt M=CB d.
6, Tìm M d:
MA MB

−
max
*A, B cùng phía.
MA MB
−
AB
⇒
ycbt M=ABd.
*A. B khác phía.Lấy C đối xứng Aqua d
⇒
:MA=MC
⇒
MA MB
−
=
MC MB BC
− ≤

ycbt M=CB d.
7, Tìm M : E=
1. 1 2 2 n
x A x A x A
n
M M M+ +…+
uuuur uuuuur uuuuur
min
F=
2 2 2
1. 1 2 2 n
(x A x . A x . A )

n
M M M
+ +…+
max (
1 2 n
x +x x 0+ + >
)
PP: Tìm I sao cho
1. 1 2 2 n
x IA x IA x IA 0
n
+ +…+ =
uuur uuur uuur r
E=
1 2 n
x +x x
+ +
MI.
F=
2 2 2 2
1 2 n 1. 1 2 2 n
(x +x x ) x IA x . A x . A
n
MI I I
+ + + + +…+

⇒
ycbt MI min M là hình chiếu của I lên d
8, Khi có phân giác thì thường lấy đối xứng,
Khi có trung tuyến hay trung điểm thì hay sử dụng tọa độ trung điểm, tọa độ trung

điểm.
Khi có đường cao thì sử dụng tính chất vuông góc.
Khi có trung trực thì sử dụng tọa độ trung điểm, tính đối xứng và tính vuông góc.
Khi có trọng tâm ∆ thì dùng CT tính tọa độ trọng tâm (1/3tổng tọa độ 3 đỉnh ∆).
B. ĐƯỜNG TRÒN.
1, PT(C) có tâm I(a;b); bán kính R: (C):
( ) ( )
2 2
2
x a y b R
− + − =
*(C):
2 2
2 2 0x y ax by c+ + + + =
Tâm I(-a;-b); R=
2 2
a b c
+ −
2, Đường tròn tiếp xúc với d tại A thì tâm đường tròn nằm trên đường ∆ d tại A.
3, PT tiếp tuyến đi qua A(x
o
;y
0
) của (C) tâm I, bán kính R
4, PTTT chung của (C) và (C’):
Các ví dụ(1)
(về đường thẳng)
VD 1: Cho ∆ABC có trung tuyến d
1
:x+3y-8=0, và đường phân giác d

2
: x+y-2=0 đều xuất
phát từ A. C(1; 2). Tìm phương trình các cạnh?
VD 2: Cho ∆ABC có C(0;1), trung tuyến qua A d:x+y+1=0, AB=
5
. Tìm B?
VD 3: Cho ∆ABC có d
1
: x-y+1=0; d
2
: 2x+y+2=0 lần lượt là đường cao trung tuyến xuất
phát từ A. Cho C(1;1). Tìm B?
VD 4: Lập phương trình các cạnh ∆ABC biết A(-1;1) và các đường cao qua đỉnh B;C lần
lượt là d
1
: 2x+y+12=0, d
2
: 5x-y-5=0.

12
.
VD 5: Cho ∆ABC biết pt AB: 3x-2y-11=0. Các đường cao qua các đỉnh A và B lần lượt
là d
1
: x-5y+5=0, d
2
: x-y-5=0. Lập phương trình các cạnh ∆ABC.
VD 6: Lập phương trình các cạnh ∆ABC biết A(3;4). Đường cao và trung tuyến kẻ từ 2
đỉnh tam giác lần lượt là d
1

: 2x+y+1=0 và d
2
: 4x+y-2=0.
VD 7: Lập phương trình các cạnh ∆ABC biết A(3;4), đường cao và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh ∆ABC có pt d
1
: 3x+y-4=0, d
2
: 2x+y-3=0.
VD 8: Cho ∆ABC có đỉnh A(1;4). Hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt có
phương trình d
1
: x+y-1=0 và d
2
: x+2y+1=0. Viết phương trình cạnh BC.
VD 9: Viết phương trình các cạnh của ∆ABC và tính S
ABC
? Biết B(2;1), đường trung
tuyến và đường cao xuất phát từ 1 đỉnh có phương trình là ∆
1
: x-3y+5=0; ∆
2
: 2x+y+1=0.
VD 10: Cho ∆ABC có A(3;9). Có trung tuyến ứng với cạnh huyền AB va AC lần lượt là
d
1
: y-3=0, d
1
: x-3y+3=0. Xác định các đỉnh còn lại ∆ABC .
VD 11: Lập phương trình các của ∆ABC biết B(2;3). Phương trình đường cao hạ từ A và

trung tuyến từ C lần lượt là: d
1
: 3x+y+3=0, d
2
: x-2y+1=0.
VD 12: Cho ∆ABC , trung tuyến của AB là M(-1;3). Đường cao BH: x+y-1=0. ∆ qua A
và // BC có dạng x+2y+5=0. Tìm tọa độ các đỉnh.
VD 13: Cho ∆ABC có A(1;2), B(0;2), C(3;4). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N
lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC. Viết phương trình đi qua các điểm H, M, N.
VD 14: Cho ∆ABC có A(1;2); C(4;-3) và đường phân giác trong xuất phát từ B là d:x-y-
3=0. Lập phương trình các cạnh của ∆ABC và tọa độ điểm B, trọng tâm G của ∆ABC .
VD 15: Cho ∆ABC có B(7;2) và phương trình các đường trung tuyến AM: 3x-5y+2=0;
CN: x+y-3=0.
1, Viết phương trình đường trung tuyến xuất phát tại B và tìm tọa độ A và C.
2, Với A, B, C vừa tìm được. viết phương trình đường thẳng d chứa đườn phân
giác trong của góc A và C?
3, Tìm tọa độ điểm M
∈
d sao cho tứ giác ABMC là hình thang.
VD 16: Cho ∆: x+2y-1=0. Tìm I
∈
∆ sao cho I cách d:3x-4y+6=0 một khoàng bằng 3.
VD 17: cho d
1
: x+2y-11=0, d
2
:3x-y-3=0. M(5,2). Tìm A
∈
d
1

; B
∈
d
2
sao cho
3MA MB
=
uuur uuur
.
VD 18: Tìm GTNN của:
1, y=
2 2
6 10 2 26x x x x
− + + − +
2, y=
2 2
13 17
5
2 9
x x x x
− + + + +
3,y=
2 2
4 20 2 26x x x x
− + + + +
4, y=
2 2
5 / 2 3 9 / 2x x x x
− + + + +

Các ví dụ(2)
(về đường tròn)
VD 1: Cho phương trình (C):
2 2
( 1) ( 2) 9x y− + + =
. Viết phương trình tiếp tuyến:
1, qua A(0;1) 2, qua B(3;2)
3, song song với d:3x-4y+1=0 4, vuông góc d: 6x-8y+3=0
VD 2: Cho đường tròn (C):
2 2
x y
+
-2x+4y-4=0 và 2 đường thẳng: ∆
1
:x+y-1=0 và
∆
2
: 2x+2y-7=0. Lập phương trình (C’) có tâm I
∈
(C) và (C’) tiếp xúc với ∆
1
, ∆
2
.
VD 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC biết: AB:6x+y-5=0, AC: 12x-y-4=0,
BC: 3x-y+2=0.

13
.
VD 4: Lập phương trình đường tròn nội tiếp A(1;7), B(1;-5), C(-5;1).

VD 5: lập đường tròn nội tiếp ∆ biết A(1;3), B(5;2), trọng tâm G(3;1/2).
VD 6: Cho (C
1
):
2 2
( 2) ( 3) 4x y− + − =
, (C
2
):
2 2
( 1) ( 1) 9x y+ + + =
. Viết PTTT chung của 2
đường tròn.
VD 7: Cho (C):
2 2
x y
+
-2x+4y-4=0, (C
1
):
2 2
x y
+
-4x-2y-4=0
1, Tìm giao điểm của (C)và (C
1
). 2, Tìm tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
VD 8: Cho (C):
2 2
x y

+
-6x-2y+1=0, A(-1,3)
1, Gọi đường thẳng d qua A và là tiếp tuyến với (C) lần lượt tại B, C.
Lập d và tìm tọa độ của B, C.
2, Tìm S
ABC
.
VD 9: Cho (C):
2 2
( 3) ( 2) 16x y− + − =
; M(5;-2). Gọi T
1
,T
2
là tiếp điểm của (C) qua M. Viết
phương trình T
1
T
2
.
VD 10: Cho đường tròn (C):
2 2
x y
+
-4x+2y+1=0 và d:2x-3y+1=0. Viết phương trình
đường thẳng d’ song song với d và cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN=2.
VD 11: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;2) và đường tròn (C) có tâm I(1;5), R=3.
1, Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.
2, Gọi M.N là các tiếp điểm. Tính độ dài MN.
VD 12: Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn tiếp tuyến xuất phát từ A(3;5) đến đường

tròn (C):
2 2
x y
+
-2my = 0 bằng 2.
VD 13: Cho (C):
2 2
( 3) ( 1) 9x y− + + =
. Cho (C’) có tâm I’
∈
d:3x+y-2=0. (C’)∩(C)=A,B.
Cho A(0;1). Tìm (C’) sao cho AB=1.
VD 14: Cho (C):
2 2
x y
+
+4x-2y-4=0, d: x - y = 0 cắt (C) tại B,C. A
∈
(C) (≠B,C). H là trực
tâm ∆ABC. Tính AH.
VD 15: Cho (C):
2 2
x y
+
-36y-8=0 có tâm I, dây cung AB A(1;7), d
(I;AB)
=1 (AB có giao
điểm với Ox). Gọi d
1
vuông góc B, d

1
cắt (C) tại M(M≠B) sao cho M có x
M
>0.Tính S
IMBH
.
VD 16: Đường tròn (C) qua A(2;3), B(- 4;3), d:x+1=0 là tiếp tuyến của (C). Viết phương
trình (C).
VD 17: Tìm ∆ qua M(2;1) cắt (C):
2 2
( 2) ( 1) 25x y− + − =
tại AB=2
5
.
VD 18: Cho (C):
2 2
x y
+
+4x-2y+1=0 và d:x-y-1=0. Tìm M
∈
d sao cho qua M vẽ được 2
đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho góc AMB là 60
0
.
VD 19: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
2 2
x y
+
+6x-2y+8=0 và
đường thẳng ∆: x+3my-m+2=0 với m là tham số. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm

m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho S
IAB
max, tính S
IAB
max?
VD 20: cho (C):
2 2
( 1) ( 2) 4x y− + − =
. Cho M(5;2) qua M kẻ 2 tiếp tuyến với (C) tại P và Q.
Cho S
PMQI
=6. Gọi A
∈
IM sao cho
1
3
AI AM
=
uur uuuur
. Tính S
PIQA
?
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP.
I. Qui tắc cộng
VD1. Từ tỉnh A đến tỉnh B có hai con đường. Từ tỉnh A đến tỉnh C có 3 con đường. Hỏi
có bao nhiêu cách để đi từ A đến các tỉnh khác. (Tỉnh A không có đường nào đến các tỉnh
khác ngoại trừ hai tỉnh B và C).

14
.

VD2. Một người được đi tham quan một trong các địa điểm như sau: Đi Châu âu: Anh,
Đức, Pháp, Hà lan, Thuỵ sỹ. Đi Châu Á: Trung quốc, Ấn độ, Ápganitstan, Mông cổ. Đi
Châu mỹ: Mỹ, Canada, Cuba, Brazil. Hỏi người đó có bao nhiêu cách đi du lịch.
II. Qui tắc nhân
VD1. Từ tỉnh A đến tỉnh B có 5 con đường, từ B đến tỉnh C có 4 con đường. Hỏi đi từ A
đến C có bao nhiêu cách đi (phải đi qua tỉnh B).
VD2. Một người có 5 các áo sơ mi và 6 cái quần dài. Hỏi người đó có bao nhiêu bộ trang
phục.
VD3. Sắp xếp 5 học sinh vào một hàng dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.
VD4. Từ các chữ số 1,2,…6. Lập được bao nhiêu số:
a) Có 3 chữ số. b) Có 3 chữ số khác nhau) Có 5 chữ số khác nhau.
Nhận xét. Quan trọng nhất trong qui tắc nhân là: Chúng ta biết chia công việc A
thành các công việc nhỏ. Và quan trọng hơn nữa là biết sắp xếp thứ tự công việc, cái
nào nên làm trước, cái nào làm sau
VD5. Cho các chữ số 0,1,2,…5. Lập được bao nhiêu số
a) Có 4 chữ số khác nhau b) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau
c) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau
III. Phối hợp hai qui tắc đếm
Nhận xét. Chủ yếu các bài toán là phối hợp hai qui tắc cộng và nhân. Khi đó chúng ta
cần biết phân chia công việc A thành các công việc nhỏ và cần nhận biết được mối
quan hệ giữa các công việc nhỏ
VD1. Cho các chữ số 0,1….6. Lập được bao nhiêu số:
a) Có 5 chữ số khác nhau b) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau c) Số lẻ có 5
chữ số khác nhau
d) Số có 5 chữ sô khác nhau và chia hết cho 5. e) Có 5 chữ số khác nhau và chữ số
đầu tiên bằng 5
f) Số có 5 chữ số khác nhau và chữ số đầu tiên khác 5 g) Có 5 chữ số khác nhau
và không có số 4
VD2. Cho các chữ số 1, 2, …5, 6. Lập một số thoả mãn:
a) Có 5 chữ số trong đó chữ số 1 được lặp lại hai lần.

b) Có 5 chữ số trong đó có một số được lặp lại hai lần.
c) Lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số này.
VD3. Cho các chữ số 0,1,…4,5. Lập một số thoả mãn:
a) Số tạo thành là số chẵn b) Số tạo thành là số lẻ. c) Số tạo thành không
chia hết cho 5.
d) Số tạo thành không chia hết cho 3.
VD4. (HVBCVT) Từ các chữ số 0, 1, …8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số
khác nhau, sao cho trong các số đó luôn có mặt chữ số 0 và 1.
VD5. Với các chữ số 1, 2, …, 7 lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau. Tính tổng
tất cả các số này. Chứng minh rẳng tổng các số chia hết cho 9.
VD6.(CĐKTĐN) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau được lập từ các số 1 ,2, 3, 4,
5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn không đứng liền nhau.

15
.
VD7. (ĐHHH) Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một nghế dài sao
cho: a) Bạn C ngồi chính giữa b) Hai bạn A, E ngồi hai đầu nghế
VD8.( ĐHTN) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của nó
là một số lẻ.
VD9.( ĐHSPHN) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6, trong đó các chữ số 1 và 6 được lặp lại hai lần.
VD10.( ĐHV) a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ sô khác nhau sao cho tổng các chữ số của
nó là một số chẵn.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau
luôn lớn hơn chữ số đứng liền trước.
VD11. (ĐHQGTPHCM) a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ
số đầu tiên là số lẻ.
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ
số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác số 0).
IV. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp

VD1. Một lớp học có 30 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả học sinh thành một hàng dọc.
b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh lần lượt làm lớp trưởng, bí thư và lớp phó.
c) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh đi dự hội nghị học sinh giỏi.
VD2. Trong mặt phẳng cho 8 điểm bất kỳ sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh trên.
b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai đỉnh trong các đỉnh trên.
VD3. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi lập được bao nhiêu số có 4 chư số và các chữ
số được xếp theo thứ tự tăng dần.
V. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp kết hợp với hai quy tắc đếm
VD1. (ĐH Huế) Một lớp học có 30 hs nam và 15 hs nữ. Chọn 6 hs làm thành một tốp ca.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) 6 hs được chọn bất kỳ. b) Số nam và nữ bằng nhau.
c) Đội văn nghệ gồm 4 nữ và 2 nam. d) Phải có ít nhất là 2 hs nữ
VD2. (ĐHYHN) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập
một đoàn công tác gồm 3 người sao cho cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và
vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách.
VD3. (ĐHTNguyên) Một đội văn nghệ gồm 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
a) Có đúng 2 người nam trong 5 người đó.
b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
VD4. (HVCTQGTPHCM) Có 10 hs trong đó 3 hs giỏi, 4 hs khá và 3 hs trung bình. Chọn
ngẫu nhiên ra một nhóm gồm 3 hs. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để:
a) Trong 3 học sinh được chọn có cả hs giỏi, khá, trung bình.
b) Trong 3 học sinh được chọn không có hs trung bình.

16
.
VD5. Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng có kích thước khác nhau (các viên bi khác nhau).
a) Có bao nhiêu cách chon ra 3 viên bi bất kỳ.

b) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên trong đó có đúng hai bi đỏ.
c) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
VD6. (ĐHQGTPHCM). Có 5 hoa vàng, 3 hoa trắng, 4 hoa đỏ (các bông khác nhau), chọn
ra 7 bông để làm thành một bó.
a) Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng một bông đỏ.
b) Có ít nhất một bông trắng.
VD7. Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 7 học sinh sao cho:
a) không phân biệt các học sinh. b) Có 5 nam và 2 nữ.
c) Nữ nhiều hơn nam. d) Có học sinh nam
VD8. (HVNH) Trong mặt phẳng cho đa giác đều T gồm có 20 cạnh. Xét các tam giác có
3 đỉnh lấy từ 20 đỉnh trên. Hỏi:
a) Có bao nhiêu tam giác như vậy. b) Có bao nhiêu tam giác có 1
cạnh là cạnh của T
c) Có bao nhiêu tam giác có 2 cạnh là cạnh của T d) Bao nhiêu tam giác không có
cạnh chung với T
VD9. Cho đa giác đều T gồm có n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Hỏi:
a) Có bao nhiêu đường chéo b) Tìm số giao điểm của các
đường chéo.
c) Tìm n biết số đường chéo bằng số cạnh
d) Có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của đa giác
VD10. (ĐHYHN) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập
một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ và cần có cả nhà toán học và vật lý. Hỏi
có bao nhiêu cách.
VD11. (HVKTQS) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm
công tác ở địa điểm A, 2 người làm địa điểm B, còn 4 người làm việc tại đồn. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công.
VI. Phương trình và bất phương trình
VD1. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a)
( 1)!

72
( 1)!
n
n
+
=
−
b)
!
( 2)!
20
n
n
n
= −
c)
! !
3
( 2)! ( 1)!
n n
n n
− =
− −
d)
! ( 1)! 1
( 1)! 6
n n
n
− −
=

−
e)
1 2 3
7
2
x x x
C C C x+ + =
f)
3
1
4
1 3
1
14
n
n
n
C
A P
−
−
+
<
h)
( )
1 1 1
1 1
: : 10: 2 :1
y y y y
x x x x

A yA A C
− − −
− −
+ =

i) (ĐHSPTPHCM)
2 1
14 14 14
2
k k k
C C C
+ +
+ =
j)
1 2
7 7 7
; ;
k k k
C C C
+ +
lập thành CSC
VII. Nhị thức Niu Tơn
1. Sử dụng công thức tổng quát để xác định hệ số
VD1. Cho khai triển (x
13
+xy)
15
.
a) Tìm số hạng tổng quát của khai triển. b) Tìm số hạng thứ 7 của khai
triển.

c) Tìm hai số hạng đứng chính giữa khai triển. d) Tìm số hạng chứa x
25
y
10
.

17
.
VD2. Cho biết hệ số của hạng tử thứ 3 trong khai triển nhị thức:
3
2
n
x
x x
x
 
+
 ÷
 ÷
 
bằng 36.
Hãy tìm hạng tử thứ 7 và tìm hạng tử không chứa x.
VD3. Cho khai triển
28
3
15
n
x x x
−
 

+
 ÷
 
. a) Tìm n biết
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
.
b) Tìm số hạng không phụ thuộc vào x
c) Tìm số hạng đứng chính giữa của khai triển.
VD4. Cho biết 3 hạng tử đầu tiên của khai triển
4
1
2
n
x
x
 
+
 ÷
 
có các hệ số là 3 số hạng
liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm các hạng tử có số mũ của x là số nguyên.
VD5. Tìm các hạng tử là số nguyên của khai triển:
( )
6

3 15−
VD6. Trong khai triển
( )
124
4
3 5+
có bao nhiêu hạng tử là số nguyên.
2. Giải phương trình
VD1. Tìm số thực x sao cho hạng tử thứ 4 của khai triển
6
12
(lg 1)
1
x
x
x
+
 
+
 ÷
 ÷
 
là 200.
VD2. Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ 6 của khai triển
1
1
2
2
7
1

;log (3 1)
log 9 7
5
2 2
x
x
−
+
−
+
+
 
+
 
 
là 84.
3. Tìm hệ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một khai triển
VD1. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển
( )
1
n
x+
có tỉ số
1
: 7:15
k k
n n
C C
+
=

. Khi đó hãy tìm hạng tử có hệ số lớn nhất trong khai triển.
VD2. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (1+x)
n
cho biết tổng của tất cả các hệ số là 4096.
VD3. Trong khai triển của
10
1 2
3 3
x
 
+
 ÷
 
thành đa thức : a
0
+a
1
x+….+a
10
x
10
. Hãy tìm hệ số a
k

lớn nhất.
4. Một số dạng khác
VD1. Khai triên S = (x+1)
12
+(x+1)
13

….+(x+1)
17
= a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
17
x
17
a) Tìm a
0
b) Tìm a
12
c) Tìm a
15
d) Tìm a
17
VD2. Khai triển (x-2)
100
=a
0
+a
1
x+a
2

x
2
+…+a
100
x
100
a) Tìm a
97
b) T= a
0
+a
1
+…+a
100
c) S=a
0
-a
1
+a
2
-a
3
+….+a
100
P=a
1
+2a
2
+3a
3

+…+100a
100
VD3. Khai triển: (1+2x+3x
2
)
10
= a
0
+a
1
x+….+a
20
x
20
a) Tìm a
1
, a
20
, a
4
b) Tính S = a
0
+a
1
+…+a
20.
5. Rút gọn và chứng minh đẳng thức sử dụng nhị thức Niu Tơn
VD1. Tính giá trị các biểu thức sau:
1)
0 1 6

6 6 6
S C C C= + + +
2)
0 1 2 2 5 5
5 5 5 5
2 2 2S C C C C= + + + +
3)
0 1

n
n n n
S C C C= + + +
4)
0 1 2 2
2 2 2
n n
n n n n
S C C C C= + + + +
5)
0 1 2 3
( 1)
n n
n n n n n
S C C C C C= − + − + + −
6)
1 2 2 3 3
1 2 2 2 ( 1) 2
n n n
n n n n
S C C C C= − + − + + −

7)
0 1 2 3 2
2 2 2 2 2

n
n n n n n
S C C C C C= + + + + +

18
.
8)
0 1 2 3 2 1 2
2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n
S C C C C C C
−
= − + − + − +
9)
0 1 2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
n n
n n n n n
S C C C C C= + + + + +
10)
1 3 2 1
2 2 2

n
n n n
S C C C
−
= + + +
11)
0 2 4 2
2 2 2 2

n
n n n n
S C C C C= + + + +
12)
1 3 3 2 1 2 1
2 2 2
3 3 3
n n
n n n
S C C C
− −
= + + +
13)
0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
3 3 3
n n
n n n n
S C C C C= + + + +
14)
0 1 2

2
1 1 1 1
( 1) ( 1)
3 3 3 3
k k n n
n n n n n
k n
S C C C C C= − + + + − + + −
15)
0 2 2 4 4
2 2 2
n n n n
n n n n
S C C C C
− −
= + + + +
16)
1 1 3 3 5 5
2 2 2
n n n n
n n n n
S C C C C
− − −
= + + + +
17) CM:
0 2 1 2 2
2
( ) ( ) ( )
n n
n n n n

C C C C+ + + =
18) CM:
0 1 1 0

p p p p
n m n m n m m n
C C C C C C C
−
+
+ + + =

Hướng dẫn: Dùng (1+x)
n
(1+x)
m
=(1+x)
n+m
19)
1 2 3 4 1
2 3 4 ( 1)
n n
n n n n n
S C C C C nC
−
= − + − + + −
20) CM
1 0 1 1
2 ( 1)
n n
n n n

n nC n C C
− −
= + − + +
PHÇN 3. KÕT QU¶
Sau khi tiến hành các tiết thảo luận của các nhóm học tôi nhận thấy các em tự tin hơn
về kiến thức, về cách trình bày một vấn đề , về tinh thần đoàn kết trong lớp và nhiều em
đã thể hiện được khả năng thuyết trình và phản biện trước tập thể. Đây không phải là lần
đầu tôi áp dụng cho học sinh học tập theo phương pháp này. Năm học 2008-2009, 2009-
2010, 2010-2011, 2011-2012 ở trường THPT Bỉm Sơn đã tiến hành làm với HS lớp các
lớp 10, 11 và hiệu quả rất khả quan, góp phần giúp Trường THPT Bỉm Sơn liên tục vào
tốp 100 toàn quốc về điểm thi Đại học, cao đẳng.
Trong năm học này, tôi áp dụng với lớp 11B8 và kết quả kiểm tra chất lượng bồi
dưỡng năm 2013 của nhà trường lớp 11B8 đạt điểm tương đối cao, trong đó số đạt điểm
giỏi (từ 8.0đ trở lên là 61,2%).
PHÇN 4. KÕT LUËN
1. Những bài học kinh nghiệm:
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì người
giáo viên phải có một số kỹ năng sau:
* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, tổng hợp và sáng tạo.
* Kỹ năng trình bài lời giải và thuyết trình trước tập thể.
2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh tích
cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và kết quả
giáo dục của nhà trường nói chung.

19
.
3. Kh nng ng dng, trin khai:
Kh nng ng dng ca sỏng kin kinh nghim l phng phỏp nờu vn v

phõn tớch, hng dn hc sinh gii quyt vn v cc k hiu qu i vi cỏc lp nn.
Rt mong cỏc thy cụ tuyờn truyn, c v v ng h cho cỏch lm ny nhiu hc
sinh cú c hi c hc tp sỏng to theo hng tớch cc, ch ng.
PHầN 5. Lời KếT
Trờn õy l mt s kinh nghim t chc SEMINAR. Rt mong cỏc thy cụ gúp
ý, b sung sỏng kin c hon thin v c ỏp dng ph bin gii thiu rng
rói cho hc sinh v ng nghip. V phn tỏc gi hy vng s cú nhiu chng trỡnh
SEMINAR tt c cỏc b mụn cỏc tit dy thờm phn phong phỳ, cỏc em
cú c hi bc l bn thõn v hng ti xõy dng nh trng THPT Bm Sn núi
riờng v cỏc th h hc sinh tnh Thanh Húa núi chung vi nhng th h HS gii
kin thc v ti nng trong ng x, gii quyt tt cỏc tỡnh hung.
Tỏc gi xin c trõn trng cm n tp th lp 11B8 niờn khoỏ 2012-2013.
ó nhit tỡnh tham gia v ng h chng trỡnh SEMINAR ny.
Sỏng kin kinh nghim hn cũn cú nhiu thiu sút, kớnh mong cỏc thy cụ gúp ý.
Tụi xin chõn thnh cm n !
Bm Sn, ngy 02 thỏng 5 nm 2013
Giáo viên thực hiện
Tụi xin cam oan õy l SKKN
ca mỡnh vit, khụng sao chộp
ni dung ca ngi khỏc.


Hong Minh Hin
Nhận xét đánh giá của hội đồng khoa học nhà trờng

20
.
MC LC
TI LIU THAM KHO

1. Cỏc thi i hc thng nht ton quc t nm 2002 n nay.
2. B ti liu ụn thi i hc (TS. V Th Hu - NXB i hc s phm)
3. Bỏo toỏn hc v tui tr.
4. Cỏc chuyờn ụn thi i hc

Stt Nội dung Trang
1 Phần I: Mở đầu 1
2 Phần II: Nội dung 2-3
3 Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình vô tỉ 3-5
4 Chuyên đề : Hệ phơng trình 5-8
5 Chuyên đề : Phơng trình lợng giác 8-11
6 Chuyên đề : Đờng thẳng, đờng tròn. 11-14
7 Chuyên đề : Đại số tổ hợp 14-18
8 Phần III: Kết quả 19
9 Phần IV: Kết luận 19
10 Phần V: Lời kết. 20
11 Nhận xét đánh giá của hội đồng khoa học nhà trờng 20
21