Giải thuật nội suy parabol

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP VIỆT - HUNG
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
…..o0o…..

BÁO CÁO KẾT THÚC HỌC PHẦN

LINUX VÀ PHẦN MỀM MÃ NGUỒN MỞ
GIẢI THUẬT NỘI SUY PARABOL

Hà Nội - Năm 2023


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP VIỆT - HUNG
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
…..o0o…..

BÁO CÁO KẾT THÚC HỌC PHẦN

LINUX VÀ PHẦN MỀM MÃ NGUỒN MỞ
Giảng viên hướng dẫn : Hà Đăng Tồn
Nhóm sinh viên thực hiện

: Nguyễn Đức Duy
: Vũ Tiến Hưng

Lớp : K43CNT2

Hà Nội - Năm 2023


MỤC LỤC

MỤC LỤC.......................................................................................................1
LỜI MỞ ĐẦU..................................................................................................2
PHẦN A: PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY PARABOL LÀ GÌ............................3
1.1. Định nghĩa............................................................................................3
1.1.1. Định nghĩa cơ bản:.........................................................................3
1.1.2. Tính chất và đặc điểm....................................................................3
1.1.3. Ứng dụng.......................................................................................5
Phần B: GIẢI THUẬT PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY PARABOL...................7
2.1. Dữ liệu về Phương pháp nội suy Parabol.............................................7
2.2. Giải quyết vấn đề..................................................................................7
2.3. Kết quả đạt được...................................................................................9
2.3.1. Mã nguồn chương trình.................................................................9
2.3.2. Chương trình chạy kiểm thử..........................................................9
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................11


LỜI MỞ ĐẦU
Công nghệ thông tin đã làm thay đổi cách mà chúng ta làm việc, học hỏi và
giao tiếp. Nó đã giúp chúng ta trong việc định vị và di chuyển, để trực quan hóa
dữ liệu và để xử lý thơng tin. Nó cũng đã giúp chúng ta trong việc trực tuyến
hóa q trình mua sắm và giao dịch. Trong báo cáo này, chúng tôi sẽ cung cấp
một tổng quan về các lĩnh vực đang được áp dụng công nghệ thơng tin, bao gồm
cả các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như y tế, giáo dục, ưhành chính, khoa
học và cơng nghệ.
Phương pháp nội suy Parabol là một phương pháp để ước lượng giá trị của
một hàm ở một điểm bất kỳ. Phương pháp này sử dụng các điểm đã biết để tạo
ra một parabola và ước lượng giá trị của hàm ở điểm tối ưu. Phương pháp nội
suy Parabol có thể được sử dụng để tìm kiếm tối ưu hàm số, tối ưu hóa các hệ
thống, và nhiều ứng dụng khác.

PHẦN A: PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY PARABOL LÀ GÌ
A.1. Định nghĩa
A.1.1. Định nghĩa cơ bản:
Phương pháp nội suy Parabol là một phương pháp tìm kiếm cực trị trong
hàm số bằng cách sử dụng các giá trị của hàm số tại ba điểm khác nhau. Phương
pháp này được sử dụng để tìm kiếm điểm cực tiểu hoặc cực đại của một hàm số
liên tục và có đạo hàm bậc hai liên tục.
Ý tưởng của phương pháp là xây dựng một đa thức bậc hai (parabol) đi qua
ba điểm đã biết và sau đó tìm kiếm cực trị của đa thức này. Điểm cực trị của đa
thức tương ứng với điểm cực trị của hàm số được xem xét.
Phương pháp Phương pháp nội suy Parabol đơn giản và dễ hiểu, nhưng nó
có thể dẫn đến các vấn đề nếu không được sử dụng đúng cách. Ví dụ, nếu đa
thức bậc hai khơng có điểm cực trị trong khoảng giữa ba điểm đã biết, phương
pháp này sẽ không hoạt động tốt. Tuy nhiên, khi được sử dụng đúng cách,
phương pháp Phương pháp nội suy Parabol có thể là một cơng cụ hữu ích để tìm
kiếm cực trị của một hàm số.
Một số đặc điểm của phương pháp Phương pháp nội suy Parabol:
1. Sử dụng đa thức bậc hai để xấp xỉ hàm số gần đúng hình dáng của
f(x) gần điểm tối ưu.
2. Có thể tìm được điểm tối ưu bằng cách tìm nghiệm của đạo hàm của
đa thức bậc hai, với giả định rằng ba điểm được lựa chọn có giá trị
hàm số ở các điểm đó được xác định.
3. Chỉ có một đa thức bậc hai hoặc đường parabol nối ba điểm. Do đó,
nếu có ba điểm nằm trong khoảng tối ưu, chúng ta có thể sử dụng
phương pháp Phương pháp nội suy Parabol để xấp xỉ hình dáng của
hàm số tại các điểm đó.
4. Sau khi xác định được một điểm mới, có hai cách để lựa chọn các
điểm cho vịng lặp tiếp theo: phương pháp đơn giản nhất là lựa chọn
các điểm theo thứ tự tuần tự, phương pháp thứ hai tương tự như

phương pháp tìm kiếm golden-section hoặc phương pháp chia đơi.
A.1.2. Tính chất và đặc điểm
Phương pháp nội suy Parabol là một phương pháp tìm kiếm cực trị cho hàm
số bậc hai, được sử dụng nhiều trong tối ưu hóa và tính tốn số. Các tính chất và
đặc điểm của Phương pháp nội suy Parabol bao gồm:


1. Độ chính xác cao: Với Phương pháp nội suy Parabol, ta có thể đạt
được độ chính xác cao hơn so với các phương pháp tìm kiếm cực trị
khác, như phương pháp tìm kiếm theo hướng hoặc tìm kiếm bằng
thuật tốn quy hoạch động.
2. Điểm khởi đầu đóng vai trị quan trọng: Điểm khởi đầu của Phương
pháp nội suy Parabol rất quan trọng, vì nếu ta khơng khởi đầu từ một
điểm tốt, nó có thể dẫn đến kết quả sai.
3. Cần ít hơn các giá trị hàm số: Phương pháp nội suy Parabol cần ít hơn
các giá trị của hàm số so với các phương pháp tìm kiếm khác.
4. Khả năng phát hiện cực trị toàn cục: Tuy nhiên, Phương pháp nội suy
Parabol khơng đảm bảo tìm ra cực trị tồn cục, vì nó có thể dừng lại ở
một điểm cực đại cục bộ.
5. Không hiệu quả với hàm số phi tuyến: Phương pháp nội suy Parabol
không hiệu quả với các hàm số phi tuyến, vì chúng có thể có nhiều
đường cong và điểm cực trị khác nhau.
6. Tính đơn giản: Phương pháp nội suy Parabol là một phương pháp đơn
giản và dễ hiểu, có thể dễ dàng áp dụng trong nhiều bài toán tối ưu.
7. Tốc độ hội tụ nhanh: Phương pháp nội suy Parabol có khả năng hội tụ
nhanh đến cực trị hơn so với các phương pháp tìm kiếm cực trị khác,
như phương pháp tìm kiếm theo hướng (thuật tốn suy giảm độ dốc)
hoặc tìm kiếm bằng thuật toán quy hoạch động.
8. Hiệu quả với hàm số bậc hai: Phương pháp nội suy Parabol là phương
pháp hiệu quả để tìm kiếm cực trị của hàm số bậc hai, vì nó dựa trên

tính chất của hàm số để tìm ra điểm cực trị.
9. Cần ít hơn các giá trị hàm số: Phương pháp nội suy Parabol cần ít hơn
các giá trị của hàm số so với các phương pháp tìm kiếm khác.
10.Điểm khởi đầu quan trọng: Điểm khởi đầu của Phương pháp nội suy
Parabol rất quan trọng, vì nếu ta khơng khởi đầu từ một điểm tốt, nó
có thể dẫn đến kết quả sai.
11.Khả năng phát hiện cực trị tồn cục: Tuy nhiên, Phương pháp nội suy
Parabol khơng đảm bảo tìm ra cực trị tồn cục, vì nó có thể dừng lại ở
một điểm cực đại cục bộ.


12.Không hiệu quả với hàm số phi tuyến: Phương pháp nội suy Parabol
không hiệu quả với các hàm số phi tuyến, vì chúng có thể có nhiều
đường cong và điểm cực trị khác nhau.
A.1.3. Ứng dụng
Phương pháp nội suy Parabol được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực,
trong đó có bao gồm:
1. Tối ưu hóa: Phương pháp nội suy Parabol là một cơng cụ quan trọng
để tìm kiếm cực trị của các hàm số tối ưu hóa, giúp tìm ra giá trị tối
ưu của các biến trong các bài toán tối ưu.
2. Xử lý ảnh: Phương pháp nội suy Parabol được sử dụng để tái tạo hình
ảnh, giúp cải thiện độ phân giải của các hình ảnh số. Phương pháp
này cũng được sử dụng để tìm kiếm các điểm cực đại hoặc cực tiểu
trên các bức ảnh.
3. Thống kê: Phương pháp nội suy Parabol được sử dụng để tìm kiếm
giá trị tối đa hoặc tối thiểu của hàm số trong các bài tốn thống kê,
như tìm kiếm giá trị tối đa của hàm mật độ xác suất.
4. Khoa học vật liệu: Phương pháp nội suy Parabol được sử dụng để tìm
kiếm giá trị tối đa hoặc tối thiểu của các tính chất vật liệu, như sức
mạnh, độ bền, độ cứng, độ dẻo, v.v.

5. Kinh tế học: Phương pháp nội suy Parabol được sử dụng để giải các
bài toán tối ưu hóa trong kinh tế học, như tối ưu hóa sản xuất hoặc tối
ưu hóa chi phí.
Phương pháp nội suy Parabol thường được sử dụng khi cần tìm kiếm giá
trị cực đại hoặc cực tiểu của một hàm số trên một khoảng xác định. Cụ thể, khi
nào cần dùng đến Phương pháp nội suy Parabol:
1. Khi hàm số không phải là đơn điệu trên khoảng cần tìm kiếm giá trị
cực đại hoặc cực tiểu.
2. Khi hàm số khơng có đạo hàm tại một số điểm trên khoảng tìm kiếm.
3. Khi cần tìm kiếm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của hàm số trong một
khoảng rất nhỏ và độ chính xác cao.
4. Khi phương pháp tìm kiếm giá trị cực đại hoặc cực tiểu khác không
hoạt động tốt trên hàm số cần tìm kiếm.


5. Khi cần tìm kiếm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của hàm số trong các
bài toán tối ưu hóa, trong đó giá trị tối ưu phụ thuộc vào một hoặc
nhiều biến.
6. Tuy nhiên, Phương pháp nội suy Parabol cũng có một số hạn chế và
điểm yếu. Các điểm này cần được xem xét trước khi quyết định sử
dụng phương pháp này. Ví dụ, Phương pháp nội suy Parabol có thể
khơng hoạt động tốt nếu hàm số có nhiều điểm cực đại hoặc cực tiểu
hoặc nếu khoảng tìm kiếm quá lớn. Ngoài ra, việc chọn ba điểm khác
nhau cũng có thể là một thách thức đối với một số bài toán.


Phần B: GIẢI THUẬT PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY PARABOL
B.1. Dữ liệu về Phương pháp nội suy Parabol
Phương pháp nội suy bậc hai tận dụng sự thật rằng một đa thức bậc hai
thường cung cấp một ước lượng tốt cho hình dạng của f(x) gần một giá trị tối

ưu.
Giống như chỉ có một đường thẳng nối hai điểm, chỉ có một đa thức bậc hai
hoặc hình parabol nối ba điểm. Do đó, nếu ta có ba điểm mà chúng ghép vào
nhau tạo thành một cực trị tối ưu, ta có thể phù hợp với một hình parabol vào
các điểm đó. Sau đó, ta có thể đạo hàm nó, đặt kết quả bằng khơng và giải
phương trình để tính tốn ước lượng x tối ưu. Có thể chứng minh thơng qua một
số phép biến đổi đại số rằng kết quả là:
x3 =

f  x0   x12 - x22  + f  x1   x22 - x02  + f  x2   x02 - x12 
2 f  x0   x1 - x2  + 2 f  x1   x2 - x0  + 2 f  x2   x0 - x1 

(1)
Trong công thức trên, x0, x1 và x2 là các đoán đầu, và x3 là giá trị của x
tương ứng với giá trị cực đại của hàm bậc hai được fit với các đốn. Sau khi tạo
ra điểm mới, có hai chiến lược để lựa chọn các điểm cho lần lặp kế tiếp. Phương
pháp đơn giản nhất, tương tự như phương pháp secant, là chỉ đơn giản gán các
điểm mới lần lượt. Nghĩa là, cho lần lặp mới, z 0 = z1, z1 = z2 và z2 = z3. Một cách
tiếp cận khác, giống như phương pháp bisection hoặc tìm kiếm golden-section,
có thể được sử dụng, như được minh họa trong giải quyết vấn đề.
B.2. Giải quyết vấn đề
Sử dụng nội suy bậc hai để xấp xỉ giá trị lớn nhất:
f  x  = 2 sin x -

x2
10

với các giá trị đoán đầu là x0 = 0, x1 = 1 và x2 = 4.
Giải pháp Các giá trị hàm số tại ba giá đốn có thể được tính tốn:
Giá trị hàm số tại ba giả thuyết có thể được tính:

x0 = 0 f  x0   0
x1 = 1 f  x1   1.5829
x2 4 f  x2   -3.1136

và được thay thế vào công thức (1) để có được:
x3 =

0  12 - 4 2

 + 1.5829  4

2

- 0 2  +   3.1136   0 2 - 12 

2  0   1 - 4  + 2  1.5829   4 - 0  + 2   3.1136   0 - 1

= 1.5055


mà có giá trị hàm số tại f(1.5055) = 1.7691.
Tiếp theo, một chiến lược tương tự như phương pháp tìm kiếm theo tỷ lệ
vàng có thể được sử dụng để xác định điểm nào nên bị loại bỏ. Bởi vì giá trị
hàm số cho điểm mới là cao hơn so với điểm trung gian (x1) và giá trị x mới ở
bên phải của điểm trung gian, điểm thấp hơn (x 0) sẽ bị loại bỏ. Do đó, cho lần
lặp tiếp theo, ta có:
x0 = 1
f(x0) = 1.5829
x1 = 1.5055
f(x1) = 1.7691

x2 = 4
f(x2) = -3.1136
và ta tiếp tục quá trình lặp lại với các giá trị mới này.
x3 =

1.5829  1.50552 - 42   1.7691 4 2 - 12

2

 +   3.1136  1

- 1.50552 

2  1.5829   1.5055 - 4  + 2  1.7691  4 - 1 + 2   3.1136   1 - 1.5055 

= 1.4903

Lưu ý: Chúng ta nên nhắc đến rằng như cách phương pháp false-position,
phương pháp nội suy bậc hai cũng có thể bị đứng lại với chỉ một đầu của khoảng
hội tụ. Do đó, sự hội tụ có thể chậm. Ví dụ, lưu ý rằng trong ví dụ của chúng ta,
1.0000 là một đầu mút cho phần lớn các lần lặp.
Phương pháp này, cũng như các phương pháp sử dụng đa thức bậc ba, có thể
được cơng thức hóa thành các thuật tốn chứa các kiểm tra hội tụ, chiến lược lựa
chọn cẩn thận cho các điểm để giữ lại ở mỗi vòng lặp và cố gắng tối thiểu hóa
tích lũy lỗi làm trịn.


B.3. Kết quả đạt được
B.3.1. Mã nguồn chương trình

B.3.2. Chương trình chạy kiểm thử

Demo kiểm thử chương trình


Dữ liệu nhập vào kiểm thử lần 1

Kết quả trả ra kiểm thử lần 1

Dữ liệu nhập vào kiểm thử lần 2

Kết quả trả ra kiểm thử lần 2

Dữ liệu nhập vào kiểm thử lần 3

Kết quả trả ra kiểm thử lần 3

Dữ liệu nhập vào kiểm thử lần 4

Kết quả trả ra kiểm thử lần 4


DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. />2. />3. Giáo trình Numerical Methods for Engineers