Chuyên đề giới hạn, hàm số liên tục toán 11 ctst

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

III

GIỚI HẠN
HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I

LÝ THUYẾT.

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vơ cực, nếu un có thể nhỏ hơn
một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = 0 hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞ .
n →+∞

0.
Ta nói dãy số ( vn ) có giới hạn hữu hạn là a (hay vn dần tới a ) khi n → +∞, nếu lim ( vn − a ) =
n →+∞

Kí hiệu: lim vn = a hay vn → a khi n → +∞.
n →+∞

Từ định nghĩa ta có các kết quả sau:
0 ⇔ lim un =
0 ; hay lim 0 = 0 ;
a) lim un =

n →+∞

n→+∞

n →+∞

1
1
1
1
= 0 ; lim 3 = 0 ;
= 0 ; lim k = 0, ( k > 0, k ∈ * ) ; lim
n →+∞ n
n →+∞ n
n →+∞
n →+∞
n
n

b) lim

c) lim q n = 0 nếu q < 1 ;
n →+∞

d) Cho hai dãy số ( un ) và ( vn )
Nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0 .
n →+∞

n →+∞

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
a) Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có :
 lim ( un + vn ) =a + b • lim ( un − vn ) =a − b
 lim ( un .v n ) = a.b • lim

un a
= , (b ≠ 0)
vn b

a và lim 3 un = 3 a
 lim ( c.un ) = c.a . • lim un =
 Nếu un ≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và lim un = a .

un lim=
wn a, ( a ∈  ) thì
b) Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) và ( wn ) . Nếu un ≤ vn ≤ wn , ( ∀n ) và lim=
lim vn = a (gọi định lí kẹp).

c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:
 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
Kỹ năng sử dụng máy tính
Sưu tầm và biên soạn

Page 1


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Tính lim un thì nhập un và ấn phím CALC n = 1010 .
n →∞

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN
Cấp số nhân vơ hạn ( un ) có cơng bội q , với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S =

u1
1− q

4. GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA DÃY SỐ
• Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì,

kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limun = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
• Dãy số ( un ) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim( −un ) = +∞ .

Kí hiệu: limun = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞.
Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim( −un ) = −∞.
Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim n k = +∞ với k nguyên dương;
b) lim q n = +∞ nếu q > 1 .
Quy tắc tính giới hạn vơ cực
a) Nếu lim un = a  và limvn = ±∞ thì lim

un
=0.
vn

b) Nếu lim un= a  0
> , limvn = 0 và vn > 0, ∀n > 0 thì lim

un
= +∞.
vn

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn= a > 0 thì limun .vn = +∞.
Quy tắc tìm giới hạn tích lim ( u n .v n )
Nếu lim u n = L, lim v n = +∞ (hay − ∞) . Khi đó lim ( u n v n )
lim u n = L

lim v n

lim ( u n v n )

+
+
−
−

+∞

+∞

−∞

−∞
−∞
+∞

+∞

−∞

Sưu tầm và biên soạn

Page 2


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Quy tắc tìm giới hạn thương lim

un
vn

lim u n

lim v n

Dấu của v n

L

±∞
0
0
0
0

Tùy ý
+
−

+
−

L>0

L<0

lim

un
vn

0
+∞
−∞
−∞
+∞

Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài tốn giới hạn vơ cực của dãy số.
TĨM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
0 (k ∈  + )
lim = 0 ; lim =
k
n→+∞ n
n→+∞ n
n

lim=
q
0 ( q < 1) ; lim C = C

2. Định lí:
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
• lim = a + b
• lim = a – b
• lim = a.b

lim n k = +∞ (k ∈  + )

lim q n = +∞ (q > 1)
a) Nếu lim un = +∞ thì lim

1
=0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim

un
vn

=0

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0

un

a
• lim =
vn b

thì lim

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a
thì a ≥ 0 và lim

lim n = +∞ ;
2. Định lí:

n→+∞

n→+∞

Giới hạn vơ cực
1. Giới hạn đặc biệt:

un

+∞
= 
vn
−∞

neáu a.vn > 0
neáu a.vn < 0

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a

un = a

thì lim un = 0

+∞
nếu a > 0
thì lim = 
nếu a < 0
−∞

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ

d) Nếu lim un = a thì lim un = a

định:

c) Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =

u1
1− q

( q < 1)

0 ∞
, , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử

0 ∞
dạng vơ định.

Sưu tầm và biên soạn

Page 3


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
Phương pháp giải: Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mỗi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một
số no sao cho un < a ∀n > no .
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:

Chứng minh rằng lim

1
=0
n +1
2

sin 2 n
=0

n+2
 ( −1)n
1 
Chứng minh rằng lim  n +1 − n +1  =
0
 2
3 

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG 0 CỦA DÃY SỐ
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 và các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài
toán.
Chứng minh rằng lim

n +1
. Tính lim un
n+2
với un = (−0,97) n . Tính lim un

Câu 4:

Cho dãy số ( un ) với un =

Câu 5:

Cho dãy số ( un )

Câu 6:

Cho dãy số ( un ) với un =

Câu 7:

Cho dãy số ( un ) với u=
n

Câu 8:

Cho dãy số ( un ) với un =

n + 2sin(n + 1)
. Tính lim un
n3 n + 23 n
n 2 + 1 − n . Tính lim un

−2n3 + 3n 2 + 4
. Tính lim un
n 4 + 4n 3 + n

( −1)
=

n

.25 n +1

Câu 9:

Cho dãy số ( un ) với un

Câu 10:

( −5) + 4n . Tính lim u
Cho dãy số ( un ) với un =
n
n +1
( −7 ) + 4n+1

35 n + 2

. Tính lim un

n

Câu 11: Cho dãy số ( un ) với un =
Câu 12: Cho dãy số ( un ) với un =
Câu 13: Cho dãy số ( un ) với un =
Câu 14: Cho dãy số ( un )

n + n2 + 1
. Tính lim un
n.3n
3

n + 2 − 3 n . Tính lim un
4n 2 + 1 − 2n

. Tính lim un
n 2 + 4n + 1 − n
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
với un =

. Tính lim un
(1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3n ) .( n + 1)

Câu 15: Cho dãy số ( un=
) với un

1
1
1
. Tính lim ( un − 1)
+
+ ⋅⋅⋅ +
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + (n + 1) n

Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim un với un

Sưu tầm và biên soạn

( −1)
=

n

3n + 2

.

Page 4

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim un với un =

3

n!

n + 2n

.

2n n + 1
. Tính lim un
n + 2 n −3
1 3 5 2n − 1
với un=
. Tính lim un
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
2 4 6
2n

Câu 18: Cho dãy số ( un ) với un =
Câu 19: Cho dãy số ( un )

n

2

Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim un với un =

1 + cos n3
.
2n + 3

n + n2 + 1
. Tính lim un
n.3n
1.3.5.7.... ( 2n − 1)
với un =
. Tính lim un
2.4.6...2 n
u1 = 1

được xác định bởi: 
. Tính lim ( un − 2 )
1
un
, n ∈ * )
n (
un +1 =+
2

Câu 21: Cho dãy số ( un ) với un =
Câu 22: Cho dãy số ( un )
Câu 23: Cho dãy số ( un )

DẠNG 3. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( un ) có un =

P (n)

(trong đó P ( n ) , Q ( n ) là các đa thức của
Q (n)

n)
Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ cao nhất của

P ( n ) , Q ( n ) , sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn

Câu 24: lim un , với un =

5n 2 + 3n − 7
bằng:
n2

Câu 25: Tính giới hạn lim

−4n 2 + n + 2
2n 2 + n + 1

n4
Câu 26: Tính giới hạn lim
( n + 1)( 2 + n ) ( n2 + 1)
3
1
2

Câu 27: Tính giới hạn lim ( 2n + 1)  2
− 2

 n + 2n n + 3n − 1 

DẠNG 4. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( u n ) có un =

P (n)
(trong đó P ( n ) và Q ( n ) là các biểu
Q (n)

thức chứa căn của n .
Phương pháp giải
 Đánh giá bậc của tử và và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫy cho n k với k là số mũ lớn nhất của

P ( n ) và Q ( n ) (hoặc rút n k là lũy thừa lớn nhất của P ( n ) và Q ( n ) ra làm nhân tử. Áp dụng

các định lí về giới hạn để tìm giới hạn
Câu 28: Tìm lim

2n + 1
.
n +1

Câu 29: Tìm lim

2n + 2 − n
.
n
Sưu tầm và biên soạn

Page 5

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 30: Tìm lim
Câu 31: Tìm lim
Câu 32: Tìm lim
Câu 33: Tìm lim
Câu 34: Tìm lim
Câu 35: Tìm lim
Câu 36: Tìm lim

3

n3 + n
.
3n + 2
2n + 1 − n + 3
.
4n − 5
4n 2 + 3 − 2n + 1
n 2 + 2n + 3n
4n 2 − n + 1 − n

.

.

9n 2 + 3n

2n + 1 − n 2 + 2n − 4
3n + n 2 + 7
4n 2 + 3 − 2n + 1

n( n 2 + 3 − 2n)

.

.

4 n 2 − 1 + 3 8n 3 + 2 n 2 − 3

.
16n 2 + 4n − 4 n 4 + 1
DẠNG 5. NHÂN VỚI MỘT LƯỢNG LIÊN HỢP
Phương pháp giải
 Sử dụng các cơng thức nhân liên hợp.


a 2 − b2
−
=
a
b

a+b
2
2
• a − b = ( a + b )( a − b ) → 
a 2 − b2

a
+
b

=

a −b
•

a 3 − b3
a 3 + b3
.
a − b =2
a
+
b
=
•
a + ab + b 2
a 2 − ab + b 2

=
• 3 a −b

=
• a +b
3

(

(

3

3

)( )
( )

a − b  3 a + 3 a .b + b 2 


=
2
3
a + 3 a .b + b 2

)( )
( )

a + b  3 a − 3 a .b + b 2 


=
2
3
a − 3 a .b + b 2

( a − b ) a

( a + b ) a

2

+ a .b + b
3

2

2

2

.

2

( )
( )

2

( )
( )

2

( a)
3

a + b3
2

− 3 a .b + b 2

( b)

− a. 3 b + 3 b 
a3 + b

=
2
a 2 − a. 3 b + 3 b
a 2 − a. 3 b +
3

=
• a+ 3 b

( a)
3

a − b3

+ a. 3 b + 3 b 

a3 − b
=
2
a 2 + a. 3 b + 3 b
a 2 + a. 3 b +
3

=

• a− 3 b

2

Sưu tầm và biên soạn

3

( b)
3

2

2

Page 6


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

(

=
• 3a−3b

•

3

a+3b

Câu 39:
Câu 40:
Câu 41:
Câu 42:
Câu 43:

3

( )

)( )
( )

2

( )

( )

a + 3 b  3 a − 3 a.3 b + 3 b 


=
2
2
3
a − 3 a.3 b + 3 b
2

2

( )

( )
3

a

a −b
2

+ 3 a.3 b +

( )
3

b

2

.

2

( a)
3

a+b
2

− 3 a.3 b +

( b)
3

2

( n + 3n + 5 − n ) .
Tìm lim ( 9n + 3n − 4 − 3n + 2 ) .
Tìm lim ( n + 3n − n ) .
Tìm lim ( 8n + 4n + 2 − 2n + 3) .
Tìm lim ( n + 4n − n ) .
Tìm lim ( 4n + 3n + 7 − 8n + 5n + 1 ) .
Tìm lim ( n + n + 1 − n + 1 ) .

Câu 37: Tìm lim
Câu 38:

(

)( )
( )

a − 3 b  3 a + 3 a.3 b + 3 b 


=
2
2

3
a + 3 a.3 b + 3 b

3

2

2

3

3

2

3

3

3

2

2

3

2

4

2

3

n2 + n − n

Câu 44: Tìm lim
Câu 45: Tìm lim

3

4n 2 + 3n − 2n
2n − 4n 2 + n
n + 3 4n 2 − n 3

(
Tìm lim (

3

2

6

.

.

)

Câu 46: Tìm lim 2n − 9n 2 + n + n 2 + 2n .
Câu 47:

DẠNG 6 un =

)

n 2 − 2n + 2 3 n 2 − 8n3 + 3 n 2 + n .

P (n)
(trong đó P ( n ) và Q ( n ) là các biểu thức chứa hàm mũ a n , b n , c n ,...
Q (n)

Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho a n trong đó a là cơ số lớn nhất.
Câu 48: Tìm lim

1 − 2n
.
1 + 2n

Câu 49: Tìm lim

4n
.
2.3n + 4n

Câu 50: Tìm lim

2n + 4n

.
4n − 3n

3.2n − 5n
Câu 51: Tìm lim n
.
5.4 + 6.5n
Câu 52: Tìm lim

3n − 2.5n
.
7 + 3.5n

Sưu tầm và biên soạn

Page 7


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 53: Tìm lim

4.3n + 7 n +1
.
2.5n + 7 n

Câu 54: Tìm lim

4n + 2 + 6n +1
.
5n −1 + 2.6n +3

Câu 55: Tìm lim

2n − 3n + 4.5n + 2
.
2n +1 + 3n + 2 + 5n +1

Câu 56: Tìm lim

2n − 3n + 5n + 2
.
2n +1 + 3n + 2 + 5n +1

2n + 3n − 4n +3
Câu 57: Tìm lim n n +1 n −1 .
2 −3 + 4
Câu 58: Tìm lim

(−2) n − 4.5n +1
.
2.4n + 3.5n

Câu 59: Tìm lim

(−2) n + 3n
.
(−2) n +1 + 3n +1

Câu 60: Tìm lim

( 5)
n

5.2 +

n

− 2n +1 + 1

( 5)

n +1

−3

.

π n + 3n + 22 n
.
3π n − 3n + 22 n + 2
π n +1 + 3n + 2n
Câu 62: Tìm lim
.
5.π n − 4.3n + 2n + 2

Câu 61: Tìm lim

Câu 63:

( −1)

Tìm lim

n

.25 n +1

.
35 n + 2
1
1 1 1
Câu 64: Tìm lim  + 2 + 3 + ... + n  .
5 
5 5 5
n +1
1  1 1
−1) 
(
.
Câu 65: Tìm lim  +  −  + +...+
2  4 8
2n 


1 1
1
1 + + + ... + n
2 4
2 .
Câu 66: Tìm lim
1 1

1
1 + + + ... + n
3 9
3

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n
.
1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3n
DẠNG 7: Dãy số ( u n ) trong đó u n là một tổng hoặc một tích của n số hạng (hoặc n thừa số)
Câu 67: Tìm lim

Phương pháp: Rút gọn u n rồi tìm lim u n theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp để suy ra
lim u n
 Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) . Nếu un ≤ vn , ∀n ∈ * với lim vn = 0 thì lim un = 0 .
 Cho 3 dãy số ( xn ) , ( yn ) , ( zn ) và số thực L . Nếu xn ≤ yn ≤ zn và lim
=
xn lim
=
zn L thì
lim yn = L .

Sưu tầm và biên soạn

Page 8


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
 1

1

1
Câu 68: Tính giới hạn lim 
 1.3 + 3.5 + ... + ( 2n − 1)( 2n + 1) 


1 
1  
1 

Câu 69: Tính giới hạn lim 1 − 2  1 − 2  ... 1 − 2 
 2  3   n 


1
1
1
Câu 70: Tính giới hạn lim 
+
+ ... +

2
4n 2 + 2
4n 2 + n
 4n + 1
Câu 71: Tính giới hạn lim
Câu 72: Tính giới hạn lim
Câu 73: lim

sin ( n !)
n2 + 1

( −1)
lim
n ( n + 1)





1.3.5.7... ( 2n − 1)
2.4.6..... ( 2n )

3sin n − 4 cos n
2n 2 + 1

bằng

n

Câu 74:

bằng

DẠNG 8. un cho bằng công thức truy hồi
Phương pháp giải: Tìm cơng thức số hạng tổng qt của un rồi sử dụng các phương pháp tính
giới hạn dãy số.

1

u1 = 2

Câu 75: Tìm lim un biết ( un ) : 
.
1

=
un +1 =
, n 1, 2,3,...
2 − un

u1 = 2

Câu 76: Tìm lim un biết ( un ) : 
.
un + 1
,
1,
2,3,...
u
n
=
=
 n +1
2

Câu 77: Tìm lim

u1 1,=
u2 3
=
un

biết ( un ) : 
.
2
n
un + 2= 2un +1 − un + 1, n= 1, 2,3,...

Câu 78: Tìm lim

u1 1,=
u2 6
=
un
biết ( un ) : 
.
n
u
3
u
2
u
,
n
1,
2,3,...
=
+
=
3.2
2
1

+
+
n
n
n


Câu 79: Tìm lim un biết ( un )

u1 = 1

có giới hạn hữu hạn và ( un ) : 
.
2un + 3
=
u
=
,
n
1,
2,3,...
n
+
1

un + 2


u1 = 2
Câu 80: Tìm lim un biết ( un ) có giới hạn hữu hạn và ( un ) : 

.
2
,
1,
2,3,...
u
u
n
=
+
=
 n +1
n
2 ( 2un + 1)
Câu 81: Cho dãy số ( un ) được xác định bởi
với mọi n ≥ 1 . Biết dãy số ( un ) có
=
u1 1,=
un +1
un + 3
giới hạn hữu hạn, lim un bằng:
Câu 82: Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a = 2,151515... (chu kỳ 15 ), a được biểu diễn dưới dạng
phân số tối giản, trong đó m, n là các số nguyên dương. Tìm tổng m + n .
Sưu tầm và biên soạn

Page 9


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 83: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản

đó a, b là các số nguyên dương. Tính a − b .

a
, trong
b

DẠNG 9: GIỚI HẠN CỦA DÃY CHỨA ĐA THỨC HOẶC CĂN THEO n
Phương pháp: Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung. ( Tử riêng, mẫu riêng).
Câu 84: Gía trị của lim ( n 4 − 2n 2 + 3) là.
Câu 85: Giá trị của lim ( −2n 3 + 3n − 1) là.
Câu 86: Giá trị của lim ( −2n 2 + 4 ) là.
3

)

(

Câu 87: Giá trị của lim 2n − n 3 + 2n − 2 là.
Câu 88: Giá trị của lim
Câu 89: Giá trị của lim
Câu 90: Giá trị của lim

(

2n 4 − 3n 3 + 2
là.
n3 + 2

( 2n − 1) ( 3n 2 + 2 )

3

−2n 5 + 4n 3 − 1

là.

3n 2 − 2n 4 + 3n − 2
4n − 3n 2 + 2

là.

)

Câu 91: lim n 2 − n 4n + 1 bằng.
Câu 92: Cho dãy số ( u n ) xác định u1 = 0 , u 2 = 1 , u n +1 = 2u n − u n −1 + 2 với mọi n ≥ 2 . Tìm giới hạn của
dãy số ( u n ) .
DẠNG 10: GIỚI HẠN CỦA DÃY CHỨA LŨY THỪA BẬC n
Phương pháp: Rút cơ số lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung. ( Tử riêng, mẫu riêng ).
Câu 93: lim ( 5n − 2n ) bằng.
Câu 94: lim ( 3.2n +1 − 5.3n + 7 n ) bằng.
Câu 95: Giá trị của lim

9n − 3.4n
là.
6.7 n + 8n

Câu 96: Giá trị của lim

3 + 32 + 33 + ... + 3n
là.

1 + 2 + 22 + ... + 2n

BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP.
Câu 97: Tìm giới hạn sau lim

2n 3 − 2n + 3
1 − 4n 3

4
Câu 98: Tìm giới hạn sau lim n + 2n + 2
n2 + 1

Câu 99: Tìm giới hạn sau lim

3n +1 − 4n
4n −1 + 3

Sưu tầm và biên soạn

Page 10


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 100: Tìm giới hạn sau lim
Câu 101: Tìm giới hạn sau lim

n3 + 1
n2 − 2n + 3
1 + 2 + 22 + ... + 2n
1 + 3 + 32 + ... + 3n

( 2n
Câu 102: Giá trị của L = lim

2

) ( n + 2)

+1

4

9

bằng

n17 + 1

Câu 103: Tìm tất cả các giá trị của
tham số a để L lim
=
Câu 104: Kết quả của giới hạn lim
Câu 105: Biết rằng lim
P=

3

5n 2 − 3an 4
> 0.
(1 − a ) n4 + 2n + 1

2 − 5n + 2
bằng:
3n + 2.5n

an3 + 5n 2 − 7
= b 3 + c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức
3n 2 − n + 2

a+c
.
b3

Câu 106: Tìm giới hạn sau lim( n2 − 4n − n)
3

3
Câu 107: Tìm giới hạn sau lim  2n − 3n + n − 1



Câu 108: Tìm giới hạn sau lim

(

n 2 + 2n − n

)

 2


2
Câu 109: Tìm giới hạn sau lim  n + 4 + n − 3 



Câu 110: Tìm giới hạn sau lim

4n2 + 1 − n − 1
n2 + 4n + 1 − n

Câu 111: Giá trị của giới hạn lim

(

(
Câu 113: Giá trị của giới hạn lim (
Câu 112: Giá trị của giới hạn lim

)

n + 5 − n + 1 bằng:

)

n 2 − n + 1 − n là:

Câu 114: Có bao nhiêu giá trị của a để lim

(

Câu 116: Cho dãy số ( un ) với un=

(

)

0.
n 2 − 8n − n + a 2 =

n 2 + an + 5 − n 2 + 1 , trong đó a là tham số thực. Tìm a để

lim un = −1.

(

)

0.
n2 + a 2n − n2 + ( a + 2 ) n + 1 =

Câu 115: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa lim

Câu 117: Tính lim n

)

n 2 + 2n − n 2 − 2n là:

4n 2 + 3 − 3 8n3 + n

)

Câu 118: Tính giới hạn của dãy=
số L lim

(

)

n 2 + n + 1 − 2 3 n3 + n 2 − 1 + n .:

Câu 119: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S =1 − 1 + 1 + ....
2

4

Câu 120: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S =−4 + 2 − 1 + ....
Sưu tầm và biên soạn

Page 11


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 121: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S =1 + 1 + 12 + ... + 1n + ... có kết quả bằng:
2

2

2

2

n

2 2
2
+   + ... +  
5 5
5
Câu 122: Tính giới hạn lim
n
2
3 3
3
1 + +   + ... +  
4 4
4
1+

Câu 123: Cho hình vng ABCD có độ dài là 1 . Ta nội tiếp trong hình vng này một hình vng thứ 2 ,
có đỉnh là trung điểm của các cạnh của nó. Và cứ thế ta nội tiếp theo hình vẽ. Tính tổng chu vi
của các hình vng đó

Sưu tầm và biên soạn

Page 12


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

III

GIỚI HẠN
HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I

LÝ THUYẾT.

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vơ cực, nếu un có thể nhỏ hơn
một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = 0 hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞ .
n →+∞

0.
Ta nói dãy số ( vn ) có giới hạn hữu hạn là a (hay vn dần tới a ) khi n → +∞, nếu lim ( vn − a ) =
n →+∞

Kí hiệu: lim vn = a hay vn → a khi n → +∞.
n →+∞

Từ định nghĩa ta có các kết quả sau:
0 ⇔ lim un =
0 ; hay lim 0 = 0 ;
a) lim un =

n →+∞

n→+∞

n →+∞

1
1
1
1
= 0 ; lim 3 = 0 ;
= 0 ; lim k = 0, ( k > 0, k ∈ * ) ; lim
n →+∞ n
n →+∞ n
n →+∞
n →+∞
n
n

b) lim

c) lim q n = 0 nếu q < 1 ;
n →+∞

d) Cho hai dãy số ( un ) và ( vn )
Nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0 .
n →+∞

n →+∞

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
a) Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có :
 lim ( un + vn ) =a + b • lim ( un − vn ) =a − b
 lim ( un .v n ) = a.b • lim

un a
= , (b ≠ 0)
vn b

a và lim 3 un = 3 a
 lim ( c.un ) = c.a . • lim un =
 Nếu un ≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và lim un = a .

un lim=
wn a, ( a ∈  ) thì
b) Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) và ( wn ) . Nếu un ≤ vn ≤ wn , ( ∀n ) và lim=
lim vn = a (gọi định lí kẹp).

c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:
 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
Kỹ năng sử dụng máy tính
Sưu tầm và biên soạn

Page 1


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Tính lim un thì nhập un và ấn phím CALC n = 1010 .
n →∞

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN
Cấp số nhân vơ hạn ( un ) có cơng bội q , với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S =

u1
1− q

4. GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA DÃY SỐ
• Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì,

kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limun = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
• Dãy số ( un ) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim( −un ) = +∞ .

Kí hiệu: limun = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞.
Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim( −un ) = −∞.
Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim n k = +∞ với k nguyên dương;
b) lim q n = +∞ nếu q > 1 .
Quy tắc tính giới hạn vơ cực
a) Nếu lim un = a  và limvn = ±∞ thì lim

un
=0.
vn

b) Nếu lim un= a  0
> , limvn = 0 và vn > 0, ∀n > 0 thì lim

un
= +∞.
vn

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn= a > 0 thì limun .vn = +∞.
Quy tắc tìm giới hạn tích lim ( u n .v n )
Nếu lim u n = L, lim v n = +∞ (hay − ∞) . Khi đó lim ( u n v n )
lim u n = L

lim v n

lim ( u n v n )

+
+
−
−

+∞

+∞

−∞

−∞
−∞
+∞

+∞

−∞

Sưu tầm và biên soạn

Page 2


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Quy tắc tìm giới hạn thương lim

un
vn

lim u n

lim v n

Dấu của v n

L

±∞
0
0
0
0

Tùy ý
+
−

+
−

L>0

L<0

lim

un
vn

0
+∞
−∞
−∞
+∞

Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài tốn giới hạn vơ cực của dãy số.
TĨM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
0 (k ∈  + )
lim = 0 ; lim =
k
n→+∞ n
n→+∞ n
n

lim=
q
0 ( q < 1) ; lim C = C

2. Định lí:
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
• lim = a + b
• lim = a – b
• lim = a.b

lim n k = +∞ (k ∈  + )

lim q n = +∞ (q > 1)
a) Nếu lim un = +∞ thì lim

1
=0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim

un
vn

=0

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0

un

a
• lim =
vn b

thì lim

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a
thì a ≥ 0 và lim

lim n = +∞ ;
2. Định lí:

n→+∞

n→+∞

Giới hạn vơ cực
1. Giới hạn đặc biệt:

un

+∞
= 
vn
−∞

neáu a.vn > 0
neáu a.vn < 0

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a

un = a

thì lim un = 0

+∞
nếu a > 0
thì lim = 
nếu a < 0
−∞

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ

d) Nếu lim un = a thì lim un = a

định:

c) Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =

u1
1− q

( q < 1)

0 ∞
, , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử

0 ∞
dạng vơ định.

Sưu tầm và biên soạn

Page 3


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
Phương pháp giải: Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mỗi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một
số no sao cho un < a ∀n > no .
Câu 1:

Chứng minh rằng lim

1
=0
n +1
2

Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta có

Lời giải

1
1
1
= 2
<a⇔n>
−1 .
n +1 n +1
a
2

 1 
1
1
Chọn=
=
0.
< a ⇒ lim 2
no 
− 1  . Do đó ∀a > 0 , ∃n0 : n > no ta ln có 2
n +1
n +1
 a 

Chú ý: Kí hiệu [ a ] là lấy phần nguyên của a .
Câu 2:

Chứng minh rằng lim

sin 2 n
=0

n+2

Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta có

Lời giải

sin 2 n sin 2 n
1
1
=
<
< a ⇔ n > − 2.
n+2
n+2 n+2
a

sin 2 n
sin 2 n
1

<
a
a
∀
>
0
Chọn n=
.
Do
đó

,
ta
ln
có
∃
n
:
n
>
n
⇒
lim
=
0.
−
2
0
o
o
 a

n+2
n+2
Chú ý: Kí hiệu [ a ] là lấy phần nguyên của a .
Câu 3:

 ( −1)n
1 
Chứng minh rằng lim  n +1 − n +1  =
0

 2

3


Lời giải
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được n < 2n , ∀n ∈ * ⇒
Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta có

( −1)
2

n

n +1

−

1 1
< , ∀n ∈ * .
n
2
n

1
1
1
1
1
1 1

1
= n +1 + n +1 < n +1 + n +1 = n < < a ⇔ n > .
n +1
n
a
3
2
3
2
2
2

( −1) − 1 < a
1
Chọn no =   . Do đó ∀a > 0 , ∃n0 : n > no ta ln có
2n +1 3n +1
a
n

 ( −1)n
1 
⇒ lim  n +1 − n +1  =
0.
 2

3


Chú ý: Kí hiệu [ a ] là lấy phần nguyên của a .
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG 0 CỦA DÃY SỐ

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 và các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài
toán.

Sưu tầm và biên soạn

Page 4


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 4:

Cho dãy số ( un ) với un =

Ta có:=
un
Vì lim
Câu 5:

n +1
. Tính lim un
n+2
Lời giải

n +1
n +1
< =
n+2
n +1

1

1
, ∀n ∈ .
<
n +1
n

1
= 0 nên lim un = 0 .
n

n
Cho dãy số ( un ) với un = (−0,97) . Tính lim un

Lời giải
Theo cơng thức giới hạn đặc biệt, ta có: −0,97 < 1 nên lim un = 0.
Câu 6:

Cho dãy số ( un ) với un =

=
Ta có: un
Vì lim
Câu 7:

n + 2sin(n + 1)
n+2
1
<3
< 3 , ∀n ∈ .
3

3
n n +2 n
n ( n + 2)
n

1
= 0 nên lim un = 0 .
n

3

n 2 + 1 − n . Tính lim un

n
Cho dãy số ( un ) với u=

Ta có: u=
n

Vì lim

n + 2sin(n + 1)
. Tính lim un
n3 n + 23 n
Lời giải

n 2 + 1 − n=

1
= 0, lim

n

(

n2 + 1 − n

)(

Lời giải

)

n2 + 1 + n
=
n2 + 1 + n

1

1
1
.
=

 n
1
1
1+ 2 +1
n  1 + 2 + 1
n
n




1
1
= nên lim un = 0 .
2
1
1+ 2 +1
n

−2n3 + 3n 2 + 4
Câu 8:
. Tính lim un
n 4 + 4n 3 + n
Lời giải
3
2
2 3 4
−2n + 3n + 4
− + 2+ 4
3
2
4
−2n + 3n + 4
n
n n n
Ta có: un =
=
=

4
3
4
3
4 1
n + 4n + n
n + 4n + n
1
+
+
n n3
n4
2
3
4
4
1
0+0+0
Mà lim = 0, lim 2 = 0, lim 4 = 0 , lim = 0 và lim 3 = 0 . Do đó=
lim un = 0 .
n
n
n
n
n
1+ 0 + 0
Cho dãy số ( un ) với un =

Câu 9:

Cho dãy số ( un ) với un

( −1)
=

n

.25 n +1

35 n + 2

. Tính lim un
Lời giải

Sưu tầm và biên soạn

Page 5


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
5n
−1) .25 n +1 ( −1) .2.25 n ( −1) .2  2 
(=
.
=
n

=
Ta có: un

n

35 n + 2

32.35 n

 
3

9

5n

2
2
Vì
< 1 nên lim   = 0 . Do đó lim un = 0 .
3
3

Câu 10: Cho dãy số ( un ) với un =

( −5) + 4n . Tính lim u
n
n +1
( −7 ) + 4n+1
n

Lời giải


n
4n 

4 


( −5) 1 +
n
( −5)   5 n  1 +  − 5  

Ta có:=
=   ⋅
un
n

4.4n   7   −7 + 4.  −4  
n

( −7 )  −7 +
  
n 

 7  

−
7
)
(



n

n

 4
 1+  − 
n
n
 4
 4
 5
Vì lim  −  = lim  −  = 0 nên lim 
n

 5
 7
 −4 
−
+
7
4.

 
 7 




n
 = − 1 và lim  5  = 0 . Do đó

 

7
7



lim un = 0 .
Câu 11: Cho dãy số ( un ) với un =

n + n2 + 1
. Tính lim un
n.3n
Lời giải

1
n + n2 + 1
1+ 1+ 2
n + n +1
n = 1 1 + 1 + 1 
n
=
=
Ta có: un=


n.3n
n.3n
3n
3n 

n 2 
n
2

Vì lim


1
1
1 
= 0 nên lim 1 + 1 + n  =
2 và lim n = 0. Do đó lim un = 0 .
2
3
n
n 


u =
Câu 12: Cho dãy số ( un ) với n

3

n + 2 − 3 n . Tính lim un
Lời giải

Ta có:
un =

3

n+2 − 3 n=

=

( n)

2

2

3

3

n+2

)

+ 3 n + 2. 3 n +

( n)
3

2

=

2
2

  2
 2
 3 n 1 +   + 3 n 1 +  . 3 n +
 n
  n

( n)
3

2

2
3

Vì lim

(

n+2−n
2

( n)
3

2

2




 3 1 + 2  + 3 1 + 2 + 1


n 
n



= 0 và lim

1
2


2
2
 3 1+  + 3 1+ +1
n
n


1
= . Do đó lim un = 0 .
3

Sưu tầm và biên soạn

Page 6

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

4n 2 + 1 − 2n

Câu 13: Cho dãy số ( un ) với un =

n 2 + 4n + 1 − n

. Tính lim un
Lời giải

n 2 + 1 − 2n
4=

Xử lí tử số :

2

4n + 1 − 4n
=
4n 2 + 1 + 2n

1
2

4n + 1 + 2n

n 2 + 4n + 1 + n
=

n 2 + 4n + 1 − n 2

1
Xử lí mẫu số: =
2
n + 4n + 1 − n
=
⇒ lim un lim

2

2

(

n + 4n + 1 + n
= lim

4n 2 + 1 + 2n ( 2n + 1)



)

n 2 + 4n + 1 + n
4n + 1

 4 1 
n 2 1 + + 2  + n
 n n 


1 

n 2  4 + 2  + 2n  ( 2n + 1)

n 





4 1
4 1
n  1 + + 2 + 1
+
+ 2 +1
1
n n
n
n


= lim
lim




1
1

1
1

n 4 + 2 + 2 n 2 + 
n 4 + 2 + 2 2 + 
n
n
n
n

 


2
1
= lim
= lim
= 0.
n ( 2 + 2) 2
4n

Do đó lim un = 0 .
Câu 14: Cho dãy số ( un ) với un =

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
. Tính lim un
(1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3n ) .( n + 1)

Lời giải
Xét tử số: Ta thấy 1, 2,3, 4,..., n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với=

u1 1,=
d 1.
cộng: S n
Tổng n số hạng của cấp số =

u1 + un ) n (1 + n ) n
(=
.
2

2

Xét mẫu số: Ta thấy 1,3,32 ,33 ,...,3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có ( n +1) số hạng với
=
u1 1,=
q 3.

1 − q n +1 1 − 3n +1 3n +1 − 1
=
S n +1 u1. = =
.
Tổng ( n +1) số hạng của cấp số nhân:
1− q
1− 3
2
un
⇒=

n
n +1

3

n
=
− 1 3.3n − 1
n

n
n 2n  2 
Bằng quy nạp ta ln có n < 2 , ∀n ∈  và 3 > 1, ∀n ∈  ⇒=
un
<
<=   .
3.3n − 1 3n 3n  3 
*

n

n

*

n

2
Vì lim   = 0 nên lim un = 0.
3

Câu 15: Cho dãy số

( un=
) với u
n

1
1
1
lim ( un − 1)
. Tính
+
+ ⋅⋅⋅ +
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + (n + 1) n

Lời giải

Sưu tầm và biên soạn

Page 7


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ta có : =
un
=
=

1
=

n n + 1 + (n + 1) n

n n +1

(

1

n +1 − n
=
n n +1

=
n + n +1

)

1
1
−
n
n +1

1
1
1
+
+ ⋅⋅⋅ +
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + (n + 1) n

1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ⋅⋅⋅ +
−
= 1−
1
2
2
3
n
n +1
n +1

1 

Vậy lim ( un − 1)= lim  −
= 0.
n +1 

Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim un với un

( −1)
=

Lời giải

( −1=
)
n

Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta có =
un

3n + 2

n

3n + 2

.

1
1
1
.
<
<a⇔n>
3n + 2 3n
3a

( −1) =

1
Chọn no =   . Do đó ∀a > 0 , ∃n0 : n > no ta ln có un < a ⇒ lim
0.
3n + 2
 3a 
n

Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim un với un =

n

n!

3

n + 2n

.

Lời giải
n

Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta có un =

3

n!

n + 2n

<

n

nn

3

n + 2n

=

n
3

n + 2n

<

n
n n

=

1
1
<a⇔n> 2
a
n

n
n!
1
Chọn no =  2  . Do đó ∀a > 0 , ∃n0 : n > no ta ln có un < a ⇒ lim
=
0
3
a 
n + 2n

2n n + 1
. Tính lim un
n + 2 n −3
Lời giải
2
1
2n n + 1
+ 2
2
2n n + 1
n n
n
Ta có: un =
=
=
2
2
n + 2 n − 3 n + 2 n − 3 1+ 2 − 3
2
n n n

n2

Câu 18: Cho dãy số ( un ) với un =

Mà lim

2
2
3
1
= 0, lim 2 = 0 , lim
= 0, lim 2 = 0 nên lim un = 0.
n
n
n
n n

Câu 19: Cho dãy số ( un ) với un=

Ta có

2

1 3 5 2n − 1
. Tính lim un
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
2 4 6
2n
Lời giải

2k − 1 2k − 1
2k − 1
=
≤
=
2
2k
4k
4k 2 − 1

2k − 1
, ( ∀k ∈  *) .
2k + 1

Sưu tầm và biên soạn

Page 8


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC


1
1
≤

2
3

3

3
 1 3 2n − 1
1 3
2n − 1
1
≤
⇒4
≤
⇔ un ≤
. ...
.
 ⇒ ⋅ ⋅⋅⋅
5
2 4
2n
3 5
2n + 1
2n + 1

.........

2n − 1
2n − 1 
≤
2n
2n + 1 
Do đó un ≤

1
1

, ∀n . Mà lim
= 0 do đó lim un = 0 .
2n + 1
2n + 1

Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim un với un =
Lời giải

1 + cos n3
.
2n + 3

Ta ln có cos n ≤ 1, ∀n ∈  .
3

*

Với a > 0 nhỏ tùy ý, un =

1 + cos n3
2
2
1
1
≤
≤
= <a⇔n> .
a
2n + 3
2n + 3 2n n

3

1 + cos n
1
Chọn no =   . Do đó ∀a > 0 , ∃n0 : n > no ta ln có un < a ⇒ lim
=
0.
2n + 3
a
Câu 21: Cho dãy số ( un ) với un =

n + n2 + 1
. Tính lim un
n.3n
Lời giải

1
n + n2 + 1
1+ 1+ 2
2
n + n +1
n = 1 1 + 1 + 1  .
n
=
=
Ta có: un=


n
n

n
n.3
n.3
n 2 
3
3n 
n
Mà lim


1
1
1 
= 0 nên lim 1 + 1 + n  =
2 và lim n = 0. Do đó lim un = 0.
2
n
3
n 


Câu 22: Cho dãy số ( un ) với un =

1.3.5.7.... ( 2n − 1)
. Tính lim un
2.4.6...2 n
Lời giải

Ta có: un > 0, ∀n ∈  * do đó ( un ) > 0, ∀n ∈  * .
2

12.32.52.7 2.... ( 2n − 1)
12.32.52.7 2.... ( 2n − 1)
=
⇒ ( un )
<
22.42.62...(2 n) 2
( 22 − 1)( 42 − 1)( 62 − 1) ... (2n)2 − 1
2

2

2

12.32.52.7 2.... ( 2n − 1)
1
.
=
1.3.3.5.5.7....(2 n − 1)(2 n + 1) 2n + 1
2

Do đó ta có ∀n ∈  * thì 0 < ( un ) <
2

1
1
2
. Mà lim 0 = 0 và lim
= 0 nên lim ( un ) = 0 .
2n + 1

2n + 1

Từ đó suy ra lim un = 0 .

Sưu tầm và biên soạn

Page 9


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 23: Cho dãy số ( un )

Ta có : un =
1
Dãy  
2

n −1

u1 = 1

được xác định bởi: 
. Tính lim ( un − 2 )
1
un
, n ∈ * )
n (
un +1 =+
2
Lời giải

1
( un − un−1 ) + ( un−1 − un−2 ) + ... + ( u2 − u1 ) + u1 =  
2

1
, 
2

n−2

,...,

n −1

1
+ 
2

n−2

+ ... +

1
+1.
2

1
1
là một cấp số nhân có ( n − 1) số hạng với số hạng đầu u1 = và công

2
2

1
1−  
1 2
1
bội q = nên un = S n −1 + 1 =
2 1− 1
2
2
n −1
 1 
Vậy lim ( un − 2 )= lim  −   = 0.
  2  

n −1

1
+1 = 2 −  
2

DẠNG 3. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( un ) có un =

n −1

.

P (n)
(trong đó P ( n ) , Q ( n ) là các đa thức của

Q (n)

n)
Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ cao nhất của

P ( n ) , Q ( n ) , sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn

5n 2 + 3n − 7
bằng:
Câu 24: lim un , với un =
n2

 5n 2 3n 7 
3 7 

Cách 1: Ta có: lim un = lim  2 + 2 − 2 = lim  5 + − 2 = 5 .
n n 
n n 

 n
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự những ví dụ trên.

Đây khơng phải là giá trị chính xác của giới hạn cần tìm, mà chỉ là giá trị gần đúng của một số
hạng với n khá lớn, trong khi n dần ra vô cực. Tuy nhiên kết quả này cũng giúp ta lựa chọn
đáp án đúng, đó là đáp án B.
−4n 2 + n + 2
Câu 25: Tính giới hạn lim
2n 2 + n + 1

Lời giải:

1 2
−4 + + 2
−4n 2 + n + 2
n n = −4 = −2
Cách 1: lim
= lim
2
1 1
2n + n + 1
2
2+ + 2
n n

Sưu tầm và biên soạn

Page 10


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Cách 2: Quan tâm đến hệ số của số hạng có số mũ cao nhất của tử và mẫu, khi đó ta có thể
xem un =

−4n 2
, rút gọn ta được – 2. Vậy giới hạn cần tìm bằng – 2.
2n 2

Câu 26: Tính giới hạn lim

n4

( n + 1)( 2 + n ) ( n2 + 1)
Lời giải:

n4
1
Cách 1:=
lim
lim
= 1
2
1 
 1  2 
( n + 1)( 2 + n ) ( n + 1)
 1 +   + 1  1 + 2 
 n  n  n 
Cách 2: Ta quan tâm đến hệ số của số hạng có số mũ cao nhất của tử, và hệ số của số hạng có
n4
bậc cao nhất trong từng thừa số của mẫu, ta có thể xem un =
, rút gọn ta được 1. Vậy kết
n.n.n 2
quả giới hạn sẽ bằng 1.
3
1
2

Câu 27: Tính giới hạn lim ( 2n + 1)  2
− 2

 n + 2n n + 3n − 1 
Lời giải:

( 2n + 1) ( 2n2 + 7n − 3)
1
 3

lim ( 2n + 1)  2
− 2
lim 2
=
 n + 2n n + 3n − 1 
( n + 2n )( n2 + 3n − 1)
2

2

2

1 
7 3

 2 +   2 + − 2  22.2
n 
n n 
= lim 
= = 8
1.1
 2  3 1 
1 +  1 + − 2 
 n  n n 
DẠNG 4. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( u n ) có un =

P (n)
(trong đó P ( n ) và Q ( n ) là các biểu
Q (n)

thức chứa căn của n .
Phương pháp giải
 Đánh giá bậc của tử và và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫy cho n k với k là số mũ lớn nhất của

P ( n ) và Q ( n ) (hoặc rút n k là lũy thừa lớn nhất của P ( n ) và Q ( n ) ra làm nhân tử. Áp dụng

các định lí về giới hạn để tìm giới hạn
Câu 28: Tìm lim

2n + 1
.
n +1
Lời giải

1
2+
2n + 1
n
Cách 1. lim
= lim
=
n +1
1
1+
n

2.

Sưu tầm và biên soạn

Page 11


CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
2n
, sau đó rút
n

Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem un =

2 . Vậy giới hạn cần tìm là

gọn ta được

2.

2n + 2 − n
.
n

Câu 29: Tìm lim

Lời giải

2n + 2 − n

Cách 1. lim
= lim
n

2
−1
n =
1

2+

2 −1 .
2n − n
=
n

Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem u=
n
sau đó rút gọn ta được
Câu 30: Tìm lim

2 − 1 . Vậy giới hạn cần tìm là

n3 + n
.
3n + 2

2 −1 ,

2 −1.

3

Lời giải

1
1+ 2
n +n
1
n
.
Cách 1. lim
= lim
=
2
3n + 2
3
3+
n
3

3

3

Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem un =
ta được

3

n3
, sau đó rút gọn
3n

1
1
. Vậy giới hạn cần tìm là .
3
3

Câu 31: Tìm lim

2n + 1 − n + 3
.
4n − 5
Lời giải

1
3
2 + − 1+
2n + 1 − n + 3
n
n
Cách 1. lim
= lim
=
4n − 5
5
4−
n

2 −1
.
2

Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem un =
rút gọn ta được
Câu 32: Tìm lim

2 −1
. Vậy giới hạn cần tìm là
2

4n 2 + 3 − 2n + 1
n 2 + 2n + 3n

2n − n
, sau đó
4n

2 −1
.
2

.
Lời giải
Sưu tầm và biên soạn

Page 12

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
3
1
4+ 2 −2+
4n 2 + 3 − 2n + 1
n
n 0.
Cách 1. lim
= lim
=
2
2
n + 2n + 3n
1+ + 3
n
Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem un =

4n 2 − 2n
n2 + n

, sau đó

rút gọn ta được 0. Vậy giới hạn cần tìm là 0.
Câu 33: Tìm lim

4n 2 − n + 1 − n
9n 2 + 3n

.

Lời giải

Cách 1. lim

2

4n − n + 1 − n
= lim
9n2 + 3n

4−

1 1
+
−1
2 −1 1
n n2
.
= =
3
3
3
9+
n

Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem un =
rút gọn ta được
Câu 34: Tìm lim

4n 2 − n

9n 2

, sau đó

1
1
. Vậy giới hạn cần tìm là .
3
3

2n + 1 − n 2 + 2n − 4
3n + n 2 + 7

.
Lời giải

1
2 4
2 + − 1+ − 2
2n + 1 − n 2 + 2n − 4
1
n
n n
Cách 1. lim= lim
.
=
4
7
3n + n 2 + 7
3 + 1+

n
Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem un =
rút gọn ta được
Câu 35: Tìm lim

2n − n 2
3n + n 2

, sau đó

1
1
. Vậy giới hạn cần tìm là .
4
4

4n 2 + 3 − 2n + 1
n( n 2 + 3 − 2n)

.
Lời giải

1
3 2 1
+ 4 − + 2
2
4n 2 + 3 − 2n + 1
n n
n n
Cách 1.=

=
lim
lim
0.
2
3
n( n + 3 − 2n)
1+ 2 − 2
n

Sưu tầm và biên soạn

Page 13