Chuyên đề Giới hạn hàm số

Chủ đề 15: giới hạn của hàm số
I/ Kiến thức cơ bản.
a.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử
(a;b)
là một khoảng chứa điểm
0
x
và f là một hàm số xác định trên
khoảng
0
(a;b) \ x
. Khi đó
0
0
x x
lim f(x ) L

=
nếu
n
dãy số (x )
trong tập hợp
0
(a;b) \ x
mà
n 0
limx x=
,ta đều có
n
limf(x ) L=

.
b.Giới hạn vô cực.

( )
0 0
x x x x
lim f(x) hay lim f(x)

= + =
nếu

dãy
n
x
0
(a;b) \ x
mà
n 0
limx x=
, ta đều có
n
limf(x ) = +
( )
n
hay limf(x ) =
.
2.Giới hạn hàm số tại vô cực.
+/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên
(a; )+
. Ta nói rằng hàm số f có

giới hạn là số thực L khi x dần đến
+
nếu với mọi dãy
n
(x )
trong khoảng
(a; )+
mà
n
limx = +
,ta đều có
n
limf(x ) L=
.
Ta viết
x
lim f(x) L
+
=
.

x x x
x x
+/ Tương tự ta có lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) L,
lim f(x) , lim f(x) .
+ +

= + = =
= + =
2.Một số định lý về giới hạn.

Định lý 1: Giả sử
0
x x x
lim f(x) L và lim g(x) M

= =
. Khi đó:
a/
[ ]
0
x x
lim f(x) g(x) L M.

+ = +
b/
[ ]
0
x x
lim f(x) g(x) L M.

=
c/
[ ]
( )
0 0
x x x x
lim f(x).g(x) L.M đặc biệt lim cf(x) cL.

= =
d/

0
x x
f(x) L
lim ,M 0
g(x) M


=


.
Định lý 2: Giả sử
0
0
x x
lim f(x ) L

=
, khi đó:
a/
0
x x
lim f(x) L

=
.
b/
0
3
3

0
x x
lim f(x ) L

=
.
c/ Nếu
0
f(x) 0 x J \ {x }
,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm
0
x

thì
0
0
x x
L 0 và lim f(x ) L

=
.
4. Giới hạn một bên.
+/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
0
(x ;b)
.Ta nói hàm số f có giới
hạn bên phải là L khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm

0
x
),nếu với mỗi dãy
n
(x )

trong khoảng
0
(x ;b)
mà
n 0
limx x=
,ta đều có
n
limf(x ) L=
.
Ta viết
0
x x
lim f(x) L
+

=
.
+/ Định nghĩa tơng tự cho
0
x x
lim f(x) L

=
.
+/ Hàm số có giới hạn tại
0
x
và
0
x x
lim f(x) L

=
tồn tại
0
x x
lim f(x)
+

,
0
x x
lim f(x)


và
0 0
x x x x
lim f(x) lim L
+

= =

.
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
+/ Nếu
0
x x
lim f(x)

= +
thì
0
x x
1
lim 0
f(x)

=
.
+/ Quy tắc 1.
Nếu
0 0
x x x x
lim f(x) và lim g(x) L 0

= =
,thì
[ ]
0
x x
lim f(x).g(x)

cho bởi bảng sau:

0
x x
lim f(x)

Dấu của L
[ ]
0
x x
lim f(x).g(x)

+
+
+
+



+



+
Quy tắc 2:
0
x x
lim f(x) L 0

=

và
0
x x
lim g(x) 0 và g(x) 0 hoặc g(x) 0

=


0
x J \ {x }
, trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm
0
x
,thì
0
x x
f(x)
lim
g(x)

cho
bởi bảng sau:

Dấu của L Dấu của f(x)
0
x x
f(x)
lim
g(x)

+ +
+
+



+



+
6. Một số dạng vô định
Dạng
0
0
:
Cách khử :
+/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ớc nhân tử chung.
+/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dới dấu căn thì có thể nhân cả tử và
mẫu với biểu thức liên hợp.
Dạng


:
+/ Chia cả tử và mẫu cho
k
x
,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay
phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử
n

x
rồi giản ớc).
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đa
k
x
ra ngoài (k là
bậc cao nhất của x trong căn) trớc khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x.
Dạng

và dạng
0.
:
+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dới
dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đa về cùng một phân thức.
II. Kĩ năng cơ bản.
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm
giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số.
III. Một số ví dụ:
A.Ví dụ tự luận:
Ví dụ 1: áp dụng định nghĩa tính
2
x 2
3x x 1
lim
x 1

+

.
Giải :

+/ Hàm số
2
3x x 1
f(x)
x 1
+
=

xác định trên
{ }
\ 1Ă
.
+/ Giả sử
( )
n
x
là dãy số tùy ý mà
n
x 2
.
Khi đó

2
2
n n
n
n
3x x 1 3.2 2 1
limf(x ) 11
x 1 2 1

+ +
= = =

+/ Vậy
2
x 2
3x x 1
lim 11
x 1

+
=

.
Ví dụ 2: áp dụng định nghĩa tính
2
2
x 1
x 2x 3
lim
2x x 1

+

.
Giải :
+/ Hàm số
2
2
x 2x 3

f(x)
2x x 1
+
=

xác định trên
{ }
1
\ 1,
2
Ă
.
+/ Giả sử
( )
n
x
là dãy số tùy ý mà
n
x 1
.
Khi đó

2
n n
n
2
n n
n n
n n
n

n
x 2x 3
f(x ) lim
2x x 1
(x 1)(x 3)
lim
1
2(x 1)(x )
2
x 3
4
lim
1
3
2(x )
2
+
=

+
=
+
+
= =
+
+/ Vậy
2
2
x 1
x 2x 3 4

lim
3
2x x 1

+
=

.
Ví dụ 3: Tính
1/
2
x 5
x 5
lim
x 25
+



2/
2
x 5
x 5
lim
x 25




.

Giải :
1/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 x 5 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
+ + +


= = =
+ +

.
2/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 5 x 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25



= = =
+ +

.
Lu ý : Do
2 2
x 5 x 5
x 5 x 5
lim lim
x 25 x 25
+




nên

2
x 5
x 5
lim
x 25



.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
7x 4x 3 khi x 1
f(x)
4x 2 khi x 1

+

=

+ <

.
Tính
x 1
limf(x)

.
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập
Ă
.
+/
2
x 1 x 1
limf(x) lim(7x 4x 3) 6

= + =
.
+/
x 1 x 1
lim f(x) lim(4x 2) 6


= + =
.
+/ Do
x 1 x 1

lim f(x) lim f(x) 6
+

= =
nên
x 1
limf(x) 6

=
.
Ví dụ 4: Tính
1/
3 2
x
1
lim
3x x 2
→−∞
− +
3/
2
2
x
x 7x
lim (1 2x)(3 )
x 1
→+∞
 
+
− −

 
−
 
2/
3
2
x
3x x 1
lim
x 3x 1
→−∞
+ +
+ −
.
Gi¶i :
1/ Ta cã
3
3 2
x x
3
1
1
x
lim lim 0
1 2
3x x 2
3
x
x
→−∞ →−∞

= =
− +
− +
.

3
x
3
x
1
V× lim 0
x
1 2
lim 3 3 .
x
x
→−∞
→∞
=
 
− + =
 ÷
 

3
3
2 3
2
x x
2

2
2 3
x
2
1 1
x 3
3x x 1
x x
2/ lim lim
3 1
x 3x 1
x 1
x
x
1 1
3
x x
lim x
3 1
1
x
x
= .
→−∞ →∞
→−∞
 
+ +
 ÷
+ +
 

=
 
+ −
+ −
 ÷
 
+ +
= ×
+ −
− ∞

2
2
x x
7
1
x 7x 1
x
3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 3
1
x
x 1
1
x
.
→+∞ →+∞
 
 
+
 

 ÷
 
+
 
 
− − = − −
 ÷
 
 ÷
 
−
 
 
 ÷
−
 ÷
 
 
 
= −∞

x
x x
V× lim x
7
1
1
x
lim 2 2, lim 3 2 .
1

x
1
x
→∞
→+∞ →+∞
= +∞
 
+
 ÷
 
− = − − =
 ÷
 ÷
 
 ÷
−
 ÷
 
VÝ dô 5: TÝnh
1/
2
x 0
(x 3) 27
lim
x
→
+ −
2/
3
x 2

3 x 1
lim
x 2
→
− −
−
2/
2
x 1
9 5x 2
lim
x 1
→
− −
−
4/
3
2
2
x 1
5 x x 7
lim
x 1
→
− − +
−
.
Gi¶i :

1/ Ta cã

2 3 2
x 0 x 0
2
x 0
(x 3) 27 x 9x 27x
lim lim
x x
lim(x x 27x) 27.
→ →
→
+ − + +
=
= + + =
2/ Ta cã

2
2 2
x 1 x 1
x 1
x 1
9 5x 2 5 5x
lim lim
x 1
(x 1) ( 9 5x 2)
5(1 x)
lim
(x 1)(x 1)( 9 5x 2)
5 5
lim .

9
(x 1)( 9 5x 2)
→ →
→
→
− − −
=
−
− − +
−
=
− + − +
−
= = −
+ − +


3
x 2 x 2
2
3
3
2
x 2
3
3
3/ Tacã
3 x 1 (3 x) 1
lim lim
x 2

(x 2) (3 x) 3 x 1
1
lim
(3 x) 3 x 1
1
= .
3
→ →
→
− − − −
=
−  
− − + − +
 
−
=
− + − +
−
4/ Ta cã

3 3
2 2
2 2 2
x 1 x 1
5 x x 7 5 x 2 x 7 2
lim lim
x 1 x 1 x 1
→ →
 
− − + − − + −

 ÷
= −
−  − − 
.
MÆt kh¸c