10 chuyên đề ôn thi đại học cấp tốc môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.72 MB, 151 trang )
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị
( )
0
'f x
.
− Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=
.
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k
.
− Giải phương trình:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
.
− Phương trình tiếp tuyến dạng:
( )
0 0
y k x x y= − +
.
Chú ý: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
, khi đó:
− Nếu
( )
// :d d y ax b∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc k = a.
− Nếu
( )
:d d y ax b⊥ ∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc
1
k
a
= −
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +
− Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k
= − +
=
Tổng quát: Cho hai đường cong
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
' :C y g x=
. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với
nhau là hệ sau có nghiệm.
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x
=
=
.
1. Cho hàm số
4 2
2y x x= −
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C):
i. Tại điểm có hoành độ
2x =
.
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.
iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
1
: 24 2009 0d x y− + =
.
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
: 24 2009 0d x y+ + =
.
2. Cho hàm số
2
3
1
x x
y
x
− − +
=
+
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
i. Tại giao điểm của (C) với trục tung.
ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1).
iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13.
3. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −
=
+
có đồ thị (C).
1
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
4. Cho hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Chứng minh rằng qua điểm M(−3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau.
5. Cho hàm số:
2
1
x
y
x
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm M
∈
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M và tâm
đối xứng của (C).
6. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1),
B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
) là: x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
( )
2
4 0
2
2
0 1 0
g m
m
m
g
∆ = − >
>
⇔ ⇔
< −
= ≠
.
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0
1
B C
B C
S x x m
P x x
= + = −
⇒
= =
.
Tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:
( )
( )
1
C B
f x f x
′ ′
= −
( )
( )
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m⇔ + + = −
( )
2
9 6 4 1
B C B C B C
x x x x m x x m
⇔ + + + = −
( )
2
1 9 6 4 1m m m
⇔ + − + = −
2
2 10m⇔ =
5m⇔ = ±
(nhận so với điều kiện)
7. Cho hàm số
2
1x
y
x
+
=
. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp
tuyến vuông góc.
Lời giải:
Gọi M(x
0
;y
0
). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x
0
) + y
0
.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
( )
( )
2
0 0
1
, 0
x
k x x y kx
x
+
= − + ≠
( )
( )
( )
2
0 0
1 1 0 *k x y kx x⇔ − − − + =
d tiếp xúc với (C):
( )
( )
2
0 0
1
4 1 0
k
y kx k
≠
⇔
∆ = − − − =
( )
( )
2 2 2
0 0 0 0
0 0
1
2 2 4 0 I
k
x k x y k y
y kx
≠
⇔ + − + − =
≠
Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
1 2
1 2
, 1
1
k k
k k
≠
= −
( )
0
2
0
2
0
2
0 0
0
4
1
0
x
y
x
y x
≠
−
⇔ = −
− ≠
0
2 2
0 0
0 0
0
4
x
x y
y x
≠
⇔ + =
≠
.
2
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn:
2 2
4x y+ =
loại bỏ bốn giao điểm của
đường tròn với hai đường tiệm cận.
8. Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
. (ĐH Khối−D 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác
OAB bằng
1
4
ĐS:
1
; 2
2
M
− −
÷
và
( )
1;1M
.
9. Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
+ −
=
+
. (ĐH Khối−B 2006)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.
ĐS: b.
2 2 5y x= − ± −
.
10. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
(*) (m là tham số). (ĐH Khối−D 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
b. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại M song song với
đường thẳng
5 0x y− =
ĐS: m=4.
11. Cho hàm số
( )
3 2
3 3
m
y x mx x m C= − − +
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
12. Cho hàm số
( )
( )
4 3 2
1
m
y x x m x x m C= + + − − −
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
13. Cho đồ thị hàm số
( )
2
4
:
1
x
C y
x
−
=
+
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được một tiếp
tuyến đến (C).
14. Cho đồ thị hàm số
( )
3 2
: 3 4C y x x= − +
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến với (C).
15. Cho đồ thị hàm số
( )
4 2
: 2 1C y x x= − +
. Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến
đến (C).
16. Cho đồ thị hàm số
( )
3
: 3 2C y x x= − +
. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến với (C).
17. Cho hàm số y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH Khối−B 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
a. D=R, y’ = 12x
2
– 12x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1.
BBT :
b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
x
−∞ 0 1 +∞
y'
+ 0 − 0 +
y
1 +∞
−∞ −1
3
CĐ
CT
f(x)=4x^3-6x^2+1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-6
-4
-2
2
x
y
32
461
yxx
=−+
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
4x
3
– 6x
2
+ 1 = (12x
2
– 12x)(x + 1) – 9.
⇔ 4x
3
– 6x
2
+ 10 = (12x
2
– 12x)(x + 1) ⇔ 2x
3
– 3x
2
+ 5 = 6(x
2
– x)(x + 1).
⇔ x = –1 hay 2x
2
– 5x + 5 = 6x
2
– 6x ⇔ x = –1 hay 4x
2
– x – 5 = 0.
⇔ x = –1 hay x =
5
4
; y’(−1) = 24;
5 15
'
4 4
y
=
÷
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
15
4
x
21
4
−
.
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=
<
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x x=
.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=
>
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x=
.
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
'
0
0
y
a ≠
⇔
∆ >
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CĐ CT
x x⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ >
⇔
>
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <
⇔
>
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ =
.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số
2
ax bx c
y
dx e
+ +
=
+
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng
( )
( )
2
'
2
'
ax bx c
a b
y x
dx e d d
+ +
= = +
+
1. Chứng minh rằng hàm số y =
( )
2 2 4
1 1x m m x m
x m
+ − − +
−
luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho hai
cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
2. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1
3
y x mx m x= − + + −
. Định m để:
a.Hàm số luôn có cực trị.
b.Có cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
c.Có hai cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
4
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
3. Định m để hàm số
( )
3 2 2 2
3 1 2 4y x mx m x b ac= − + − + −
đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4.
a.Khảo sát hàm số khi m = 0.
b.Định m để hàm số không có cực trị.
c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
5. Cho hàm số
3 2
3 9 3 5y x mx x m= − + + −
. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
6. Cho hàm số
( )
2
1 1x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi
m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + +
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
8. Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ + −
=
−
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục
tung.
9. Cho hàm số
( )
( )
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C= − + − − +
. Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
10. Cho hàm số
( )
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
(1). (ĐH Khối−A năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6m = − ±
.
11. Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − − + − − −
(1), m là tham số. (ĐH Khối−B năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa
độ.
ĐS : b
1
2
m = ±
.
12. Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH Khối−B năm 2002)
a.
f(x)=x^4-8x^2+10
-30 -25 -20 -15 -10 -5 5
-20
-15
-10
-5
5
10
x
y
b. ĐS :
3
0 3
m
m
< −
< <
13. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
( )
2
1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
5
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm đó bằng
20
.
a.
f(x)=x+1+1/(x+1)
f(x)=x+1
x(t)=-1 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
b. CĐ(−2;m−3), CT(0;m+1)⇒
20MN = =L
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN − NGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô
( )
xfy =
có tập xác định là miền D.
− f(x) đồng biến trên D
( )
Dxxf ∈∀≥⇔ ,0'
.
− f(x) nghịch biến trên D
( )
Dxxf ∈∀≤⇔ ,0'
.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:
( )
2
f x ax bx c= + +
.
1. Nếu
0∆ <
thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu
0∆ =
thì f(x) có nghiệm
2
b
x
a
= −
và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2
b
x
a
≠ −
.
3. Nếu
0∆ >
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng
dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ >
< < ⇔ >
<
*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ >
< < ⇔ >
>
*
1 2
0 0x x P< < ⇔ <
1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + +
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng
( )
2;+∞
.
2. Xác định m để hàm số
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
.
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên
( )
1; +∞
.
3. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 2 1 12 5 2y x m x m x= − + + + +
.
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;+∞
.
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
; 1−∞ −
.
4. Cho hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
. Định m để hàm số nghịch biến trên
[
)
+∞;1
.
6
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C
1
) và y=g(x) có đồ thị (C
2
). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị
(C
1
) và (C
2
) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung.
(1) có n nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x
1
⇔ (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại N(x
1
;y
1
).
(1) có nghiệm kép x
0
⇔ (C
1
) tiếp xúc (C
2
) tại M(x
0
;y
0
).
1. Cho hàm số
( )
2
1
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C).
a.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
2
2 1 0x m x m− + − + =
.
2. Cho hàm số
( ) ( )
2 2
1 1y x x= + −
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
2
2
1 2 1 0x m− − + =
.
3. Cho hàm số
3 2
4y x kx= + −
.
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình
3 2
4 0x kx+ − =
có nghiệm duy nhất.
4. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
. (ĐH Khối−D 2006)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại
ba điểm phân biệt.
ĐS: b.
15
, 24
4
m m> ≠
.
5. Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−
(1) (ĐH Khối−A 2004)
a. Khảo sát hàm số (1).
b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.
ĐS: b.
1 5
2
m
±
=
.
6. Cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
(*) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2003)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=−1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.
ĐS: b.
1
0
2
m− < <
.
7. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
(1). (ĐH Khối−D 2003)
b. Tìm m để đường thẳng
: 2 2
m
d y mx m= + −
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
ĐS: m>1.
8. Cho hàm số y = − x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 − m
2
)x + m
3
− m
2
(1) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2002)
7
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để phương trình − x
3
+ 3x
2
+ k
3
− 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: b.
1 3
0 2
k
k k
− < <
≠ ∧ ≠
, c.
2
2y x m m= − +
.
Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y= − + −
.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
và điểm
M(x
0
;y
0
) khi đó
( )
0 0
2 2
,.
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
.
1. Cho hàm số
( )
3 2
3 3 3 2
m
y x mx x m C= − − + +
. Định m để
( )
m
C
có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng
cách giữa chúng là bé nhất.
2. Cho hàm số
( )
2 2
:
1
x
C y
x
+
=
−
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là
nhỏ nhất.
3. Cho hàm số
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
− +
=
−
. Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ
nhất.
4. Cho hàm số
( )
2 2
:
1
x
C y
x
+
=
−
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN
nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
+ +
=
+
. Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN
nhỏ nhất.
6. Cho hàm số
( )
2
2 1
:
1
x x
C y
x
+ +
=
−
.
a.Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
b.Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
7. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
1
y mx
x
= +
(*) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
1
4
.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên
bằng
1
2
. ĐS: m=1.
Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
Từ hàm số
( )
,y f x m=
ta đưa về dạng
( ) ( )
, ,F x y mG x y=
. Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là
nghiệm của hệ phương trình
( )
( )
, 0
, 0
F x y
G x y
=
=
.
1. Cho hàm số
( )
( )
3 2
3 1 3 2
m
y x m x mx C= − − − +
. Chứng minh rằng
( )
m
C
luôn đi qua hai điểm cố định
khi m thay đổi.
8
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
2. Cho hàm số
( )
( )
2
2 6 4
:
2
m
x m x
C y
mx
+ − +
=
+
. Chứng minh rằng đồ thị
( )
m
C
luôn đi qua một điểm cố định
khi m thay đổi.
3. Cho hàm số
( )
( ) ( )
4 2
: 1 2 3 1
m
C y m x mx m= − + − +
. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 3 3 6 1 1
m
y m x m x m x m C= + − + − + + +
luôn đi qua ba
điểm cố định.
Dạng 7: ĐỒ THỊ CH ỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = f(x) có đồ thị (C)
( )
y f x=
có đồ thị (C’)
( )
y f x=
có đồ thị (C “)
( )
0,y f x x D= ≥ ∀ ∈
. Do đó ta phải
giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy
đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên.
( )
y f x=
có
( ) ( )
f x f x− =
,
x D∀ ∈
nên đây là hàm số chẵn do
đó có đồ thị đối xứng qua trục tung
Oy.
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C)
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C')
f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C'')
Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
1. Cho hàm số
( )
2
:
2 2
x x
C y
x
+
=
−
.
a.Khảo sát hàm số.
b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.
2
2 2
x x
k
x
+
=
−
.
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
x(t )=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
2
2 2
x x
y
x
+
=
−
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
x(t )=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1
f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2)
f(x)=-x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
2 2
x x
y
x
+
=
−
2. Cho hàm số
( )
2
3 3
:
1
x x
C y
x
+ +
=
+
.
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
3 3
1
x x
m
x
+ +
=
+
.
9
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1)
f(x)=-x-2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
3. Cho hàm số
( )
2
4
:
1
x x
C y
x
−
=
−
.
a.Khảo sát hàm số.
b.Định m để phương trình
( )
2
4 0x m x m+ − − =
có bốn nghiệm phân biệt.
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
4
1
x x
y
x
−
=
−
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1)
f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
4
1
x x
y
x
−
=
−
4. Cho hàm số
( )
2
1
:
2
x x
C y
x
+ −
=
+
.
1. Khảo sát hàm số.
2. Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
( )
2
1 2 1 0x m x m+ − − − =
.
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
.
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m− + =
. (ĐH Khối A−2006)
f(x)=2x^3-9x^2+12x
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
3 2
2 9 12
y x x x
= − +
f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
3
2
2 9 12
y x x x
= − +
a. ĐS: b. 4<m<5.
Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Điểm
( )
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
⇔
Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’)
thuộc (C) thỏa:
( ) ( )
0
0
' 2
' 2
x x x
f x f x y
+ =
+ =
( )
( )
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
= −
⇔
+ − =
Vậy
( )
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của (C)
⇔
( )
( )
0 0
2 2f x y f x x= − −
.
10
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
1. Cho hàm số
2
2 2 2
2 3
x x m
y
x
+ + +
=
+
có đồ thị
( )
m
C
.
Tìm giá trị của m để
( )
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2. Cho hàm số
( )
2 2 2
2
:
1
m
x m x m
C y
x
+ +
=
+
.
Định m để
( )
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3. Cho hàm số
( )
3 2
3 1y x x m= − +
(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B−2003)
ĐS: a.
( ) ( )
0 0 0
, 0f x f x x= − − ∀ ≠
⇒ … m>0.
4. Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x= − + + −
có đồ thị
( )
C
. Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục
tung.
5. Cho hàm số
( )
3 2
1y x ax bx c= + + +
. Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi
qua điểm M(1;−1).
6. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4 (1) (ĐH Khối D−2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của
hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
a. D = R.
y' = 3x
2
− 6x = 3x(x − 2), y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2.
y" = 6x − 6, y" = 0 ⇔ x = 1.
x − ∞ 0 1 2 +∞
y' + 0 − | − 0 +
y" − − 0 + +
y 4 + ∞
CĐ 2 CT
− ∞ U 0
2. d : y − 2 = k(x − 1) ⇔ y = kx − k + 2.
Phương trình hoành độ giao điểm: x
3
− 3x
2
+ 4 = kx − k + 2 ⇔ x
3
− 3x
2
− kx + k + 2 = 0.
⇔ (x − 1)(x
2
− 2x − k − 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ g(x) = x
2
− 2x − k − 2 = 0.
Vì ∆' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > − 3) và x
1
+ x
2
= 2x
I
nên có đpcm!.
Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN
1. Định nghĩa:
(d) là tiệm cận của (C)
( )( )
0lim =⇔
∈
∞→
CM
M
MH
2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng:
( ) ( )
0
:lim
0
xxdxf
xx
=⇒∞=
→
.
b. Tiệm cận ngang:
( ) ( )
00
:lim yydyxf
x
=⇒=
∞→
.
c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=
λ
x+
µ
trong đó:
( )
( )
[ ]
xxf
x
xf
xx
λµλ
−==
∞→∞→
lim;lim
.
Các trường hợp đặc biệt:
11
f(x)=x^3-3x^2+4
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
O
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5
y
x
(d)
(C)
h y
( )
= 0
g x
( )
= 0
f x
( )
= 1.7
x
H
M
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
nmx
bax
y
+
+
=
+TXĐ: D= R\
−
m
n
+TCĐ:
( )
m
n
xdy
m
n
x
−=⇒∞=
−→
:lim
+TCN:
( )
m
a
yd
m
a
y
x
=⇒=
∞→
:lim
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t )=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
m
a
y
=
m
n
x
−=
I
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)
( )
nmx
A
x
nmx
cbxax
y
+
++=
+
++
=
µλ
2
+TXĐ: D= R\
−
m
n
+TCĐ:
( )
m
n
xdy
m
n
x
−=⇒∞=
−→
:lim
+TCX:
0lim =
+
∞→
nmx
A
x
⇒ TCX: y=
λ
x+
µ
f(x)=x^2/(2(x-1))
f(x)=x/2+1/2
x(t)=1 , y(t )=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
µλ
+=
xy
m
n
x
−=
I
1. Cho hàm số
( )
( )
2 2
3 2 2
1
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
, với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45
0
.
(ĐH Khối A−2008)
Lời giải:
a. Khi m =1:
2
2 4
2
3 3
x x
y x
x x
+ −
= = − +
+ +
.
TXĐ:
D R=
{ }
3−
( )
2
2
6 5
3
x x
y
x
+ +
′
=
+
.
0y
′
=
( )
( )
1 1 1
5 5 9
x y
x y
= − ⇒ − = −
⇔
= − ⇒ − = −
Tiệm cận:
3
lim
x
y
→−
= ∞ ⇒
tiệm cận đứng: x = −3.
4
lim 0
3
x
x
→∞
= ⇒
+
tiệm cận xiên: y = x – 2.
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
,
3 3
lim , lim
x x
y y
− +
→− →−
= −∞ = +∞
.
Bảng biến thiên Đồ thị:
b.
( )
2 2
3 2 2
6 2
2
3 3
mx m x
m
y mx
x m x m
+ − −
−
= = − +
+ +
12
f(x)=(x^2+x-2)/(x+3)
f(x)=x-2
x(t)=-3 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
x
y
f(x)=(2x+1)/(1-x)
y=3x+1
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-2
Series 1
f(x)=-(1/3)x-13/3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
x
y
N(2;-5)
M
H
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số. (C
m
) có tiệm cận đứng
1
: 3 0d x m
+ =
và tiệm cận xiên
2
:d
2 0mx y− − =
1
0
3
m m
≠ ∧ ≠
÷
.
Theo giả thuyết ta có:
0
2
cos 45
1
m
m
=
+
2
2
2
1
m
m
⇔ =
+
2
1m⇔ =
1m⇔ = ±
(nhận).
2. Cho hàm số
( )
( )
2 2
1 1mx m x m
y f x
x
+ − + −
= =
. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên đi
qua gốc tọa độ.
3. Cho hàm số
( )
2
(2 1). 3
1, 0
2
ax a x a
y a a
x
+ − + +
= ≠ − ≠
−
có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định.
4. Cho hàm số
2
2 3 2
( )
1
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C).
a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là một
số không đổi.
b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
2
2 2
( )
1
x mx
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị (C
m
). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
6. Tìm m để đồ thị hàm số
2
1
1
x
y
x mx
+
=
+ +
có hai tiệm cận đứng là x=x
1
và x=x
2
thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
− =
− =
.
7. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
8. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (H).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung.
c. Tìm những điểm N (x
N
>1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn nhất.
HD câu b, c.
* Gọi M klà giao điểm của (C) với trục tung⇒
( )
0;1M
. Phương trình tiếp tuyến là
3 1y x= +
hay
( )
3 1 0x y− + = ∆
.
* Lấy
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0
3
; ; 2 , 1
1
N x y H N x x
x
∈ ⇒ − + >
÷
−
. Khi đó
( )
0
0
3
3 2 1
1
,
10
x
x
d N
+ − +
−
∆ =
. Đặt
( )
0 0
0
3
3 3
1
g x x
x
= + −
−
.
( ) ( )
min min
,d N g x∆ ⇔
.
* Khảo sát hàm
( )
0 0
0
3
3 2
1
g x x
x
= + −
−
trên khoảng
( )
0;+∞
,
( )
( )
0
2
0
3
' 3
1
g x
x
= −
−
,
( )
0
0
0
0
' 0
2
x
g x
x
=
= ⇒
=
, (lập bảng biến thiên …)
* Do
0
1x >
nên ta chỉ nhận nghiệm
0
2x =
thay vào N ta được
( )
2; 5N −
. Vậy
( )
2; 5N −
thì
( )
min
6 10
,
5
d N ∆ =
.
−−−−−−−−−−−−−−−−−
Dạng 10: DIỆN TÍCH − THỂ TÍCH
13
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)
a. Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C
1
), (C
2
). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
1
), (C
2
) và
hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
Chú ý:
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b. Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi công thức:
( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxfV
2
π
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức:
( )
[ ]
∫
=
d
c
dyyV
2
ξπ
Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox
(f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]) được tính bởi công thức:
( )
[ ]
( )
[ ]
{ }
∫
−=
b
a
dxxgxfV
22
π
.
*
* *
1. Cho hàm số
( )
2
2 1
1
m x m
y
x
− −
=
−
(1) (m là tham số). (ĐH Khối−D 2002)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=−1.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x.
ĐS: b.
4
1 4ln
3
S = − +
, c
1m ≠
.
2. Cho hàm số
2
2
3
x x
y
x
− −
=
−
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Tính phần diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành.
Dạng 10 này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chuyên đề Tích phân
−
Ứng dụng.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
14
x
y
O
f(x)
g(x)
ba
x
y
O
f(x)
ξ(x)
ba
y
x c
d
O
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
− Phương trình n ẩn x
1
, x
2
, , x
n
gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x
i
bởi x
j
; x
j
bởi x
i
thì phương trình
không thay đổi.
− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x
1
+ x
2
+ + x
n
x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ + x
1
x
n
+ x
2
x
1
+ x
2
x
3
+ + x
n-1
x
n
x
1
x
2
x
n
− Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
− Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức F(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n
−
1
+ a
n
, a
0
≠ 0, a
i
∈ P có nhgiệm trên P là c
1
, , c
n
thì:
1
1 2
0
2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 -1
0
1 1
0
( 1) .
n
n n n
n
n
n
a
c c c
a
a
c c c c c c c c c c c c
a
a
c c c
a
+ + + = −
+ + + + + + + =
= −
(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a
= + = −
= =
Ngược lại, nếu 2 số x
1
, x
2
có
1 2
1 2
.
x x S
x x P
+ =
=
thì x
1
, x
2
là nghệm của phương trình X
2
− SX + P = 0.
2. Định nghĩa:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=
=
, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=
=
3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
.
15
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x
3
+ y
3
= S
3
– 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
+ =
+ =
.
GIẢI
Đặt
S , Px y xy= + =
, điều kiện
2
4S P≥
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
ì
ï
ï
=
ï
ì
=ï
ï
ï ï
Û
í í
æ ö
ï ï
- =
÷
ç
ï ï
î
- =
÷
ç
ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
î
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
ì ì ì ì
= + = = =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Û Û Û Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = = =
ï ï ï ï
î î î î
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
xy x y
x y
− = −
− =
.
GIẢI
Đặt
, , t y S x t P xt= − = + =
, điều kiện
2
4S P≥
Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ì ì
+ = =ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - =
ï ï
î î
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ì ì ì
= = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Û Û
í í í
ï ï ï
= = = -
ï ï ï
î î î
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + + =
.
GIẢI
Điều kiện
0, 0x y≠ ≠
.
Hệ phương trình tương đương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è ø è ø
ï
í
ï
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
+ + + =
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
è ø è ø
ï
î
Đặt
2
1 1 1 1
S x y , P x y , S 4P
x y x y
æ ö æ ö æ öæ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + = + + ³
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è øè ø
ta có:
16
10 Chuyờn ụn thi i hc mụn toỏn cp tc
2
1 1
x y 4
S 4 S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
ỡ
ổ ử ổ ử
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
+ + + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ỡ
ỡ
ữ ữ
= =ù
ù
ỗ ỗ
ữ ữ
ù
ố ứ ố ứ
ù ù ù
ớ ớ ớ
ổ ửổ ử
ù ù ù
=
- =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù ù ù
ợợ
+ + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ữ ữ
ỗ ỗữ ữ
ù
ố ứố ứ
ù
ợ
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ỡ
=
ù
ù
ù ù
ớ ớ
ù ù
=
ù ù
ợ
+ =
ù
ù
ù
ợ
.
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y
+ + =
+ =
.
GII
iu kin
, 0x y
. t
0t xy=
, ta cú:
2
xy t=
v
(2) x y 16 2t+ = -ị
.
Th vo (1), ta c:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - =
Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù
ớ ớ
ù ù
+ = =
ù ù
ợ ợ
.
Loi 2: iu kin tham s h i xng loi (kiu) 1 cú nghim
Phng phỏp gii chung:
+ Bc 1: t iu kin (nu cú).
+ Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v
2
4S P
(*).
+ Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh. Gii h tỡm S, P theo m ri t iu kin (*) tỡm m.
Chỳ ý:
Khi ta t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv thỡ nh tỡm chớnh xỏc iu kin ca u, v.
Vớ d 1 (trớch thi H khi D 2004). Tỡm iu kin m h phng trỡnh sau cú nghim thc:
1
1 3
x y
x x y y m
+ =
+ =
.
GII
iu kin
, 0x y
ta cú:
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
ỡ ỡ
ù ù
+ = + =
ù ù
ù ù
ớ ớ
ù ù
+ = - + = -
ù ù
ù ù
ợ ợ
t
S x y 0, P xy 0= + =
,
2
S 4P.
H phng trỡnh tr thnh:
17
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
3
S 1 S 1
P m
S 3SP 1 3m
ì
ì
= =ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
=
- = -
ï ï
îî
.
Từ điều kiện
2
S 0, P 0, S 4P³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
x y xy m
x y xy m
+ + =
+ = −
có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
ì
ì
+ + = + + =ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = -
+ = -
ï ï
îî
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
ì
+ =
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
21
m m 3 2 3
(m 3) 12
4
é
-³
ê
+Û Û £ Ú ³
ê
- ³
ê
ë
.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
x y
x y m
− + − =
+ =
có nghiệm.
GIẢI
Đặt
u x 4 0, v y 1 0= - = -³ ³
hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2
ì
+ =ï
ì
ï
+ =ï
ï
ï
Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không âm.
/
3m 13
0
0
13
2
S 0 m 7
21 3m
3
0
P 0
2
ì
ì
-
ï
ï
D ³
ï
ï
³
ï
ï
ï
ï ï
Û ³ Û Û £ £
í í
ï ï
-
ï ï
³
³
ï ï
ï ï
î
ï
î
.
18
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10
( 4)( 4)
x y x y
xy x y m
+ + + =
+ + =
có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
2 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ìì
ï + + + =ï
+ + + =
ï
ï
Û
í í
ï ï
+ + = + + =
ï ï
î
î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0= + = +³ ³
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
- + = - = +
ï ï
î î
(S = u + v, P = uv).
Điều kiện
2
S 4P
S 0 24 m 1
P 0
ì
ï
³
ï
ï
ï
-³ Û £ £
í
ï
ï
³
ï
ï
î
.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình:
3 3
3
1
2
x x+ − =
.
GIẢI
Đặt:
3
3
x u
1 x v
=
− =
. Vậy ta có hệ:
3 3
3
u v
2
u v 1
+ =
+ =
⇔
2
3
u v
2
(u v) (u v) 3uv 1
+ =
+ + − =
⇔
3
u+v =
2
19
u.v =
36
u, v là hai nghiệm của phương trình:
2
3 19
X - X + = 0
2 36
⇒
9+ 5
u =
12
9 - 5
u =
12
⇒
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12
÷
÷
÷
÷
Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
3 3
9 5 9 5
;
12 12
+ −
÷ ÷
÷ ÷
.
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
1)
4 4
6 6
1
1
x y
x y
+ =
+ =
2)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
+ =
− + =
3)
30
35
x y y x
x x y y
+ =
+ =
19
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
4)
2 2
4
2 8 2
x y
x y xy
+ =
+ + =
5)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y
+ + + =
+ + =
6)
( )
( )
2 2
2 2
1
1 5
1
1 49
x y
xy
x y
x y
+ + =
÷
+ + =
÷
7)
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + + =
8)
7
1
78
y
x
y x
x y
x xy y xy
+ = +
+ =
9)
( ) ( )
2 2 3 3
4
280
x y
x y x y
+ =
+ + =
10)
6 6
3 3
2
3 3
x y
x x y y
+ =
− = −
II. Gải hệ phương trình có tham số:
1. . Tìm giá trị của m:
a)
( )
5 4 4
1
x y xy
x y xy m
+ − =
+ − = −
có nghiệm.
b)
2 2
2
1
x y xy m
x y xy m
+ + = +
+ = +
có nghiệm duy nhất.
c)
( )
( )
2
2 2
4
2 1
x y
x y m
+ =
+ = +
có đúng hai nghiệm.
2.
2 2
x xy y m
x y m
+ + =
+ =
(1II)
a. Giải hệ phương trình khi m = 5.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
3.
2 2
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + =
+ = −
(7I)
a Giải hệ phương trình khi m = 7/2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
4.
2 2
1x xy y m
x y xy m
+ + = +
+ =
(40II)
a. Giải hệ phương trình khi m=2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1. Giải phương trình:
4 4
1 18 3x x− + − =
.
2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
20
10 Chuyờn ụn thi i hc mụn toỏn cp tc
a.
1 1x x m + + =
b.
m x m x m + + =
c.
3 3
1 1x x m + + =
Phn 3 H phng trỡnh i xng loi 1 ba n: (c thờm)
a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phơng trình trong hệ là đối xứng.
b. Định lý Vi-et cho ph ơng trình bậc 3:
Cho 3 số x, y, z có:
x + y + z =
xy + yz + zx =
xyz =
Thì x, y, z ;à nghiệm của phơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0. (*)
Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0
[ X
2
- (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X
3
- X
2
z - X
2
(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X
3
- X
2
+ X - = 0.
(*) có nghiệm là x, y, z phơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các phơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đợc dới dạng , ,
Khi đó ta đặt
x + y + z =
xy + yz + zx =
xyz =
Ta đợc hệ của , , .
+ Giải phơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0 (1) tìm đợc nghiệm (x, y, z) của hệ.
Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất hệ vô nghiệm.
(1) có 1 nghiệm kép duy nhất hệ có nghiệm.
(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn hệ có 3 nghiệm.
(1) có 3 ngiệm hệ có 6 nghiệm.
d. Bài tập:
VD1: Giải hệ:
2 2 2
3 3 3
x + y + z = 2
x + y + z = 6
x + y + z = 8
Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)
2
- 2(xy + yz + zx).
x
3
+ y
3
+ z
3
= (x + y + z)
3
- 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
Vậy 6 = 2
2
- 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1.
21
10 Chuyờn ụn thi i hc mụn toỏn cp tc
8 = 2
3
- 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2.
x, y, z là nghiệm của phơng trình:t
3
- 2t
2
- t + 2 = 0
t = 1
t = - 1
t = 2
Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).
VD2: Giải hệ
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
1 1 1
+ + = 1 (3)
x y z
Giải: ĐK: x, y, z 0. Từ (3)
xy + yz + zx
= 1
xyz
Do (2) xyz = 27
Vậy hệ
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27
xyz = 27
Do đó (x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X
3
- 9X
2
+ 27X - 27 = 0
(X - 3)
3
= 0
X = 3.
Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).
VD3: Giải hệ
2 2 2 2
3 3 3 3
x + y + z = a
x + y + z = a
x + y + z = a
Giải: x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)
2
- 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 0.
x
3
+ y
3
+ z
3
= (x + y + z)
3
- 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = 0.
Vậy có:
x + y + z = 0
xy + yz + zx = 0
0xyz
=
(x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X
3
- aX
2
= 0
X = 0
X = a
Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
22
10 Chuyờn ụn thi i hc mụn toỏn cp tc
e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lu ý khi giải hệ loại này
+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đa ra đợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó
là hệ quả của hệ nên khi tìm đợc nghiệm nên thử lại.
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y
hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phơng trình cộng, thế.
VD:
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
1 1 1
+ + = 1 (3)
x y z
Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ
Với x 0, y 0, z 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4).
Từ (2) và (4) xyz = 27 (5)
Từ (2) x
2
(y + z) + xyz = 27x (6)
Từ (1), (5), (6) ta có: x
2
(9 - x) + 27 - 27x = 0
x
3
- 9x
2
+ 27x - 27 = 0
(x - 3)
3
= 0 x = 3
Thay x = 3 vào (1), (5) ta có:
y + z =6
yz = 9
y = z = 3.
Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3.
II. H phng trỡnh i xng loi 2:
1. H phng trỡnh i xng loi 2 hai n:
A. nh gha:
( )
( )
( , ) 0 1
( , ) 0 2
f x y
f y x
=
=
Cỏch gii: Ly (1) (2) hoc (2) (1) ta c: (xy)g(x,y)=0. Khi ú xy=0 hoc g(x,y)=0.
+ Trng hp 1: xy=0 kt hp vi phng trỡnh (1) hoc (2) suy ra c nghim.
+ Trng hp 2: g(x,y)=0 kt hp vi phng trỡnh (1) + (2) suy ra nghim (trong trng hp ny h
phng trỡnh mi tr v h i xng loi 1) v thụng thng vụ nghim.
B. Cỏc vớ d:
Vớ d 1: Gii h phng trỡnh
( )
( )
3
3
3 8 1
3 8 2
x x y
y y x
= +
= +
(I)
23
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
GIẢI
Lấy (1) − (2) ta được:
2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
Trường hợp 1: (I)
3
x = 3x + 8y
x = y
⇔
3
x = 0
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y
⇔ ⇔
.
Trường hợp 2: (I)
( )
2 2
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y
⇔
(hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
{ }
{ }
(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4
4
1 1
1 1
x y
y x
+ − =
+ − =
GIẢI
Đặt:
4
4
x - 1 = u 0; y - 1 = v 0≥ ≥
Hệ phương trình trở thành
4 4
4 4
u + 1 + v = 1 u + v = 0
v + 1 + u = 1 v + u = 0
⇔
u = 0
v = 0
⇔
(Do u, v ≥ 0)
x = 1
y = 1
⇒
.
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
2
2
x y y m
y x x m
= − +
= − +
(I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải (I)
2 2
2
2
2 2
2 2
x = ± y
x - y = y - y - x + x
x = y - y + m
x = y - y + m
x = y x = y
x = y - y + m x - 2x + m = 0
x = - y x = - y
x = y - y + m y + m = 0
⇔ ⇔
⇔ ⇔
a) Hệ phương trình có nghiệm ⇔
'
x
'
y
Δ 0
1 - m 0 m 1
m 0
- m 0 m 0
Δ 0
≥
≥ ≤
⇔ ⇔ ⇔ ≤
≥ ≤
≥
24
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔
'
x
'
y
'
x
'
y
Δ = 0
Δ < 0
Δ < 0
Δ = 0
⇔
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
⇔ m = 1.
Vậy m = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3
3
1 2 2 1x x+ = −
.
GIẢI
Đặt
3
2x - 1 = t
⇒ 2x - 1 = t
3
.
Ta có hệ
3
3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x
⇔
3
2 2
x + 1 = 2t
(x - t)(x + xt + t + 1) = 0
⇔
3
x - 2x + 1 = 0
x = t
⇔
2
(x - 1)(x + x - 1) = 0
x = t
⇒
x = 1
- 1 ± 5
x =
2
Vậy phương trình có 3 nghiệm: 1;
- 1 ± 5
2
.
C. Bài tập:
1.Giải các hệ phương trình sau:
a.
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
+ =
+ =
b.
2
2
3
2
3
2
x y
x
y x
y
+ =
+ =
c.
3
3
1 2
1 2
x y
y x
+ =
+ =
d.
9 9
9 9
x y
y x
+ + =
+ + =
e.
2 2
2 2
x y
y x
+ − =
+ − =
g.
5 2 7
5 2 7
x y
y x
+ + − =
+ + − =
2. Cho hệ phương trình
2
2
( ) 2
( ) 2
x x y m
y x y m
− + =
− + =
.
a. Giải hệ với m = 0.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để hệ:
3 2 2
3 2 2
7
7
x y x mx
y x y my
= + −
= + −
có nghiệm duy nhất.
4. Giải các phương trình: a.
2
5 5x x+ + =
.
25
