SỬ DỤNG máy TÍNH bỏ túi ĐỊNH HƯỚNG tìm lời GIẢI TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI
TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Thạc sĩ Lê Đức Hải
Rất nhiều phương trình lượng giác mà trong quá trình giải, nếu ta nhẩm được một nghiệm
đặc biệt nào đó thì việc tìm lời giải trở nên hết sức nhanh chóng và dễ dàng. Trong bài viết
này, ta sẽ ứng dụng tư tưởng đó vào giải một số dạng phương trình lượng giác với sự trợ
giúp hết sức hữu hiệu của máy tính bỏ túi. Bài viết sẽ rất thiết thực đối với các em lớp 11
đang học về PT lượng giác và cũng rất ý nghĩa đối với HS ôn thi đại học.
I. Quy trình thực hiện:
Bước 1: Tiến hành phép thử để tìm một nghiệm đặc biệt. Ta thử với các giá trị đặc biệt sau:
2 3 5
0; ; ; ; ; ; ; ; .
6 4 3 2 3 4 6
      

Bước 2: Giả sử ở bước 1 đã tìm được nghiệm
6
x


. Ta tiếp tục thử với các giá trị đặc biệt
tương ứng với cung liên kết các nghiệm đó. Cụ thể như sau:
 Thử với giá trị đối của nó:
6
x

 
, nếu thỏa mãn phương trình thì ta dự đoán phương
trình có nghiệm x sao cho
3

cos
2
x  , hay phương trình đưa được về dạng tích với
một thừa số là
(2cos 3)
x 

 Thử với giá trị bù với nó:
5
6
x

 , nếu thỏa mãn thì ta dự đoán phương trình có
nghiệm x sao cho
1
sin
2
x

, hay phương trình đưa được về dạng tích với một thừa số
là
(2sin 1)
x

.
 Thử với một giá trị hơn (kém) nó

:
7
6

x

 (hoặc
5
6
x

  ), nếu thỏa mãn thì ta dự
đoán phương trình có nghiệm x sao cho
3
tan
3
x  , hay phương trình đưa được về
dạng tích với một thừa số là
( 3 tan 1)
x

.
II. Phương tiện dùng để nhẩm nghiệm:
Dùng MTBT (Casio fx 570 ES hoặc các loại MTBT tương đương) để nhẩm nghiệm theo
một trong hai cách sau:
Cách 1: Dùng chức năng CALC. Chức năng này có công dụng tính giá trị của một hàm số tại
một điểm. Trước hết, chuyển PT về dạng
( ) 0
f x

. Giả sử cần thử với giá trị
6
x



, ta thực
hiện như sau:
- Nhập vào máy tính hàm f(x), nhấn phím CALC
- Máy tính hỏi X ?, ta nhập vào
6

và nhấn phím =
- Để thử với các giá trị khác, tiếp tục nhấn phím CALC…

Cách 2: Dùng chức năng SOLVE. Chức năng này có công dụng tìm nghiệm của phương
trình trong một lân cận của x đã chỉ ra. Ta thực hiện theo các bước sau:
- Chuyển máy tính về đơn vị độ.
- Nhập vào phương trình f(x) = 0.
- Nhấn phím SOLVE, máy hiển thị X ? ta nhập vào giá trị mà ta dự đoán là nghiệm,
chẳng hạn 30 (30
o
), máy sẽ dò tìm một nghiệm trong lân cận của 30
o
.
- Tiếp tục nhấn phím SOLVE để kiểm tra nghiệm khác…
III. Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3cos2 5sin cos sin2 4 (1)
x x x x
   
.
Phân tích: Dùng máy tính nhẩm nghiệm, ta thu được kết quả
5
;

6 6
x x
 
  . Như vậy PT có
nghiệm x sao cho:
1
sin
2
x

. Do đó ta có thể giải PT này theo các cách:
Cách 1:
Đặt
sin , [ 1;1]
t x t
  
. Phương trình có thể viết lại (theo ẩn t) như sau:
2 2
3(1 2 ) 5 cos 2 cos 4 6 (2cos 5) (1 cos ) 0
t t x t x t x t x
          

Từ phân tích trên, PT này có nghiệm
1
1
2
t

. Theo định lí Viet, ta có:
1 2

5 2cos
6
x
t t

 
2
1 cos
3
x
t

  . Như vậy,
1
sin
(*)
2
3sin cos 1
x
x x





 

.
Đến đây các em có thể dễ dàng giải được hai PT này.
Cách 2: Theo phân tích, có thể đưa PT về dạng tích với một thừa số là

(2sin 1)
x

. Ta có:
cos sin 2 cos (1 2sin );
x x x x
  
2
3cos2 5sin 4 6sin 5sin 1 (2sin 1)(3sin 1)
x x x x x x
         
.
Nên lời giải của PT có thể trình bày như sau:
3cos2 5sin cos sin2 4 (3cos2 5sin 4) (cos sin 2 ) 0
x x x x x x x x
         


(1 2sin )(3sin 1) cos (1 2sin ) 0
(1 2sin )(3sin cos 1) 0
x x x x
x x x
     
    

Do đó,
1
sin
(1)
2

3sin cos 1
x
x x





 

, đến đây các em có thể dễ dàng giải được hai PT này.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
cos3 cos2 7cos 2sin2 2sin 4 (2)
x x x x x
    
.
Phân tích: Dùng máy tính nhẩm nghiệm, ta thu được kết quả
2 2
;
3 3
x x
 
   . Như vậy PT
có nghiệm x sao cho:
1
cos
2
x
 
. Do đó ta có thể giải PT này theo các cách sau:

Cách 1:
Đặt
cos , [ 1;1]
t x t
  
. Phương trình (2) có thể viết lại (theo ẩn t) như sau:
3 2
2
2
4 2 (4sin 10) (2sin 5) 0
1
1
2
(4 4sin 10) 0
2
4 4sin 10 0
t t x t x
t
t t x
t x
     

 
 

     
 

 

  



Hay
2
1
cos
2
2
(2) 2 , .
3
2sin 2sin 3 0 (VN)
x
x k k
x x

 


      

   




Cách 2: Đưa PT về dạng tích với một thừa số là
(2cos 1)
x


. Ta có:
3 2 2
2sin 2 2sin 2sin (2cos 1)
cos3 cos2 7cos 4 4cos 2cos 10cos 5 (2cos 1)(2cos 5
)
x x x x
x x x x x x x x
  
         

Do đó:
2
(2) (2cos 1)(2cos 2sin 5) 0
x x x
    


2
(2cos 1)( 2sin 2sin 3) 0
2
2cos 1 0 2 , .
3
x x x
x x k k
     

        


Ví dụ 3: Giải phương trình:
4sin cos 3sin .tan 3tan 3 (3)
x x x x x
   

Phân tích: Dùng máy tính nhẩm nghiệm, ta thu được kết quả:
3
;
4 4
x x
 
   . Vậy cần đưa
PT về dạng tích với thừa số là


tan 1
x

. Do đó lời giải PT trên có thể trình bày như sau:
Điều kiện:
cos 0
x


Với điều kiện trên,
(3) (sin cos ) (3sin 3sin .tan ) 3(tan 1)
x x x x x x
     

cos (tan 1) 3sin (tan 1) 3(tan 1)
(tan 1)(cos 3sin 3) 0
tan 1
cos 3sin 3
x x x x x
x x x
x
x x
     
    
 



 


Đến đây, các em có thể dễ dàng giải được các PT này.

Chúc các em thành công!