KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN HỌC: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

DƯƠNG THỊ MAI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN
THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG”
CHO HỌC SINH LỚP 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

DƯƠNG THỊ MAI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN
THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG”
CHO HỌC SINH LỚP 11

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học mơn Tốn

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS. Vũ Quốc Khánh

Sơn La, năm 2013


LỜI CẢM ƠN
Em hồn thành được khóa luận này là nhờ có sự động viên giúp đỡ nhiệt
tình và tạo điều kiện của các thầy cơ trong khoa Tốn – Lí – Tin, các thầy cơ
giáo trường THPT Mường Bi và các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán. Đồng
thời, việc hồn thành khóa luận này em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều
kiện của Phòng Đào tạo, thư viện và một số Phòng, Ban, Khoa trực thuộc trường
Đại học Tây Bắc. Em xin được nói lời cảm ơn sâu sắc.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy thầy giáo chủ nhiệm – Tiến sĩ
Vũ Quốc Khánh là người trực tiếp hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ để giúp em hồn
thành khóa luận này.
Trong q trình làm khóa luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sót, em
mong được ý kiến đóng góp của thầy cơ và các bạn đọc. Mong rằng khóa luận
này là tài liệu tham khảo hữu ích với những bạn sinh viên ĐHSP Toán và các
giáo viên giảng dạy tại các trường THPT.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Dương Thị Mai


MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU........................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1
1.1. Cơ sở lí luận ............................................................................................... 1
1.2. Cơ sở thực tiễn ........................................................................................... 2

2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu ........................................... 2
2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................ 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................. 2
3. Giả thuyết khoa học ..................................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
5. Cấu trúc khóa luận ....................................................................................... 3
PHẦN 2: NỘI DUNG ....................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ....................................................................... 4
1.1. Những lí luận chung về giải toán và kỹ năng giải toán ............................ 4
1.1.1. Khái niệm giải toán ................................................................................ 4
1.1.2. Phương pháp chung để giải một bài toán ................................................ 5
1.1.3. Kỹ năng ................................................................................................... 8
1.1.4. Kỹ năng giải toán .................................................................................... 9
1.1.5. Kỹ năng định hướng giải toán ............................................................. 11
1.2. Một số định hướng để rèn luyện kỹ năng định hướng giải bài toán đối
với học sinh ..................................................................................................... 11
1.2.1. Nắm vững hệ thống khái niệm, vận dụng để tìm định hướng giải ..... 11
1.2.2. Nắm vững hệ thống định lí, tính chất, vận dụng để tìm hướng giải .. 12
1.3. Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài tốn đối
với học sinh lớp 11 .......................................................................................... 13
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM
ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TỐN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN. QUAN HỆ SONG
SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11 ................................................................ 15
2.1. Một số kiến thức cơ bản để định hướng giải bài toán thuộc nội dung:
“Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” ......... 15
2.1.1. Các tính chất thừa nhận ....................................................................... 15


2.1.2. Cách xác định mặt phẳng ..................................................................... 15

2.1.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian..................... 15
2.1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian ... 16
2.1.5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ..................................................... 16
2.2. Biện pháp rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài tốn thuộc nội
dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song”
......................................................................................................................... 16
2.2.1. Biện pháp 1: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các khái niệm
để tìm hướng giải bài toán ............................................................................. 16
2.2.2. Biện pháp 2: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các định lí
tính chất để tìm định hướng giải bài tốn ..................................................... 19
2.4. Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài tốn thuộc nội dung
“Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian. Quan hệ song song” cho
học sinh lớp 11 thông qua một số dạng tốn ................................................. 24
2.4.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ...................................................... 24
2.4.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ................................... 26
2.4.3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng ......................................................... 27
2.4.4. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng .......................... 30
2.4.5. Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau................................. 32
2.4.6. Xác định thiết diện................................................................................ 34
CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 38
3.1. Mục đích thực nghiệm............................................................................. 38
3.2. Phương pháp thực nghiệm ...................................................................... 38
3.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 38
3.4. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................... 38
3.5. Tiến hành thử nghiệm ............................................................................. 39
3.6. Đánh giá kết quả thử nghiệm.................................................................. 39
3.6.1. Về phương pháp dạy ............................................................................ 39
3.6.2. Về khả năng lĩnh hội của học sinh ....................................................... 39
3.6.3. Về kết quả kiểm tra .............................................................................. 39
PHẦN 3: KẾT LUẬN..................................................................................... 42

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Cơ sở lí luận
Tìm định hướng giải một bài tốn là một kỹ năng rất quan trọng của việc
giải toán, kỹ năng này khơng chỉ giúp học sinh có tầm nhìn từ khi đọc bài tốn
mà cịn có tác dụng trong suốt q trình giải tốn. Có thể thấy việc hình thành
rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải cho các bài tốn có tính chất quyết định
đến tồn bộ cơng việc giải toán. Khi gặp một bài toán mà ta khơng tìm được
định hướng giải thì ta sẽ khơng hồn thành được cơng việc giải bài tốn đó.
Hoặc nếu ta có định hướng rồi nhưng định hướng chưa tốt thì bài tốn đó cũng
sẽ khó có lời giải tốt. Cịn nếu ta tìm được định hướng tốt khơng đồng nghĩa với
việc bài tốn đó có được lời giải tốt nhưng đó là bước đầu tiên để có dược lời
giải tốt. Khi rèn luyện được kỹ năng tìm định hướng giải cho các bài tốn ta có
thể phát huy tính sáng tạo, khả năng làm việc độc lập, tư duy các vấn đề tốn
học một cách logic. Vì thế chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng này
ngay từ những nội dung đầu tiên của việc giải toán để tạo hứng thú ngay từ đầu
cho học sinh, vừa hình thành khả năng tự hình thành khă năng tự học, tự nghiên
cứu trong giải tốn cho học sinh.
Nội dung hình học không gian của lớp 11 là một nội dung tương đối khó và
trừu tượng. Nếu như ở lớp 10 các em được làm quen với điểm, đường thẳng,
vec-tơ, trong mặt phẳng thì lớp 11 các em sẽ được làm quen với các yếu tố trên
trong khơng gian. Từ đó học sinh sẽ chuyển từ nghiên cứu các đối tượng trực
quan sang các đối tượng trừu tượng, có sự mở rộng từ mặt phẳng (không gian
hai chiều) sang không gian (không gian ba chiều).
Sự mở rộng từ mặt phẳng sang khơng gian về cơ bản là sự tương tự hóa.
Khi nghiên cứu trong không gian: Các kiến thức về điểm, đường thẳng, mặt
phẳng, vectơ…đã biết trong mặt phẳng vẫn được bảo tồn đúng khi các điểm,
đường thẳng, vectơ thuộc cùng một mặt phẳng. Vì thế các bài tập về phần đường

thẳng và mặt phẳng trong khơng gian mang tính tổng hợp đòi hỏi học sinh phải
nắm vững kiến thức về tính chất hình học phẳng: hai đường thẳng song song, ba
điểm thẳng hàng … đã được học trước đó. Khi giải quyết các bài tập về phần
này giúp học sinh có những kỹ năng làm bài tập tổng hợp. Những định hướng
vừa khái quát vừa cụ thể, hiểu sâu hơn về mối quan hệ của hình học phẳng và
hình học khơng gian sẽ giúp các em giải quyết bài tốn một cách tốt nhất.

1


1.2. Cơ sở thực tiễn
Chương trình mơn Tốn nói chung và mơn Hình học nói riêng ở bậc THPT
rất phong phú và đa dạng. Chính vì thế học sinh cũng gặp khơng ít khó khăn
trong q trình học tập đặc biệt là kiến thức hình học khơng gian lớp 11. Khơng
ít học sinh rất e ngại khi phải đối mặt với nội dung này bởi độ khó và trừu
tượng. Học sinh gặp khó khăn khi tìm định hướng lời giải. Vì thế học sinh muốn
học tốt được mơn Tốn nói chung và hình học khơng gian 11 nói riêng thì
khơng những cần phải biết nhiều dạng toán và nắm vững cách giải các dạng bài
tập đó mà cịn phải có kỹ năng định hướng tìm lời giải bài tốn.
Vì những lí do trên mà tơi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng
định hướng giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian. Quan hệ song song” cho học sinh lớp 11”. Với đề tài này
tơi mong muốn nó có thể trở thành tài liệu để tham khảo cho các bạn sinh viên
sư phạm Toán và giúp các giáo viên ở các trường THPT trong việc giảng dạy.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng biện pháp rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài tốn cho
học sinh lớp 11. Nội dung được chọn là chương: “Đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian. Quan hệ song song”
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

1. Nghiên cứu lí luận về giải toán và định hướng lời giải trong hoạt động giải
toán.
2. Nghiên cứu và chỉ ra một số biện pháp để rèn luyện kỹ năng tìm định
hướng giải bài tập để tìm lời giải, cụ thể là một số bài tập thuộc nội dung “Đường
thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” của hình học lớp 11.
3. Thực nghiệm sư phạm về tính khả thi và tính hiệu quả của biện pháp đưa ra.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm định hướng lời giải bài toán tốt
giúp học sinh học và giải tốn tốt hơn. Từ đó năng lực giải tốn của học sinh
được nâng lên.
4. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lí luận: Hệ thống quan điểm về năng lực giải toán và định
hướng giải bài toán trong sách, báo, tài liệu có liên quan về phương pháp dạy học.
2. Nghiên cứu thực tiễn: Điều tra khảo sát.
2


3. Thực nghiệm sư phạm: Biện pháp cụ thể rèn luyện kỹ năng tìm định
hướng giải tốn cho học sinh lớp 11 và bước đầu kiểm tra đánh giá tính khả thi
hiệu quả của những lí thuyết đã đề ra.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngồi các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận
bao gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải
bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ
song song” cho học sinh lớp 11.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Những lí luận chung về giải tốn và kỹ năng giải tốn
1.1.1. Khái niệm giải tốn
Giải tốn là q trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ logic giữa cái đã
cho và cái phải tìm. Là vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải quyết các vấn
đề bài toán đặt ra.
Trong dạy hoạt động giải toán, giải bài tập là hoạt động quan trọng được
thực hiện thường xuyên liên tục trong các giờ lên lớp của giáo viên, mặt khác có
thể thấy trong giải tốn, hoạt động giải bài tập là hoạt động cụ thể có tác dụng
trong rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực giải toán. Giải bài tập có tác dụng
phát triển năng lực giải tốn trên nhiều góc độ khác nhau tùy theo ta chọn góc độ
nào mà thơi. Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim: Bài tập tốn học có vai trị quan
trọng trong mơn Tốn. Điều căn bản là bài tập có vai trị giá mang hoạt động của
học sinh. Thơng qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất
định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương
pháp, những hoạt động tốn học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
Tốn học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngơn ngữ.
+ Trên bình diện mục tiêu:
Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó
thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học mơn
Tốn, cụ thể là:
- Bài tập hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Bài tập phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
- Bài tập bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những

phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Trên bình diện nội dung dạy học:
Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một
phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào
đó được trình bày trong phần lý thuyết.
4


+ Trên bình diện phương pháp dạy học:
Bài tập là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định
và trên cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác nhau. Khai thác tốt các bài
tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động. Bằng hoạt
động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh được thực hiện độc lập học tập
trong giao lưu. [8,tr.412-413]
Dạy học giải bài tập tốn khơng có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học
sinh lời giải bài toán. Biết lời giải bài tốn khơng quan trọng bằng làm thế nào
để giải được bài toán. Để giải được bài toán trước hết cần tìm được con đường,
hướng đi cho bài tốn. Vì vậy khi dạy giải bài tập cần tập cho học sinh kỹ năng
định hướng tìm lời giải để từ đó các em có các hướng đi đúng đắn trong việc
giải bài tập. Việc định hướng lời giải sẽ giúp học sinh xác định được hướng đi,
nội dung kiến thức liên quan và các kỹ thuật cần thiết để tìm ra lời giải bài toán.
Khi đã xây dựng hướng đi đúng đắn rõ rệt các em có thể vận dụng kiến
thức, kinh nghiệm có sẵn vào hồn cảnh mới liên kết các kinh nghiệm cũ đã
được tích lũy vào việc giải quyết yêu cầu mới trong những tình huống mới.
1.1.2. Phương pháp chung để giải một bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về
cách thức giải một bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, Nguyễn
Bá Kim đã nêu lên phương pháp chung để giải một bài tốn như sau:
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung

bài toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dung cơng thức, kí hiệu hình vẽ để minh họa hỗ trợ cho việc diễn
tả đề bài.
Kỹ năng tìm định hướng lời giải thể hiện rõ nét nhất trong bước này. Theo
Polya, người giải tốn phải tìm hiểu kỹ nội dung đề bài để tìm hiểu: Đâu là cái
phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay
không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Phải hiểu rõ nội dung bài
tốn người học mới có khả năng vận dụng các tri thức toán học vào việc định
hướng lời giải của bài toán. Cụ thể là khả năng nắm bắt và vận dụng những tri
thức lí thuyết như các khái niệm, định nghĩa, tính chất, mệnh đề, định lí và hệ
quả đã tích lũy được vào việc định hướng lời giải bài toán.

5


Như vậy khi phân tích bài tốn và các dữ kiện trong bài tốn, người học có
thể xác định được các kiến thức sinh ra bài tốn. Từ đó xác định các kiến thức
liên quan để có thể vận dụng giải bài toán cũng như xác định được các thao tác
kỹ năng cần sử dụng khi định hướng giải bài tốn để có được hướng đi tốt nhất
cho lời giải.
 Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tịi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh. Liên hệ cái đã
cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết. liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài tốn nào đó có liên quan. Sử
dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng minh, phản
chứng, quy nạp toán học, tốn dựng hình, tốn quỹ tích…
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét kỹ từng bước thực hiện. hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được. Đối chiếu kết quả với một số tri thúc liên quan…

- Tìm tịi những cách giải khác. So sánh chúng để chọn được cách giải hợp
lí nhất.
Trong bước tìm cách giải, việc định hướng tìm lời giải thể hiện ở khả năng
nắm bắt và vận dụng các thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải tốn đã được
tích lũy để tìm ra cách giải bài tốn. Tìm cách giải là bước có tác dụng trực tiếp
đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh. Việc định hướng tìm
lời giải bài toán được thấy rõ khi học sinh đã định hướng được các kiến thức liên
quan đến bài toán. Tiếp theo đó, học sinh sẽ định hướng xây dựng các chi tiết
của các bước giải bài toán. Việc xác định hướng đi cụ thể của bài toán giúp cho
lời giải được thể hiện rõ ràng hơn. Đây là một kỹ năng khơng thể thiếu vì nếu
khơng định hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải thì học sinh sẽ khơng
thể đi đến lời giải bài tốn dù rằng học sinh đã định hướng được chính xác. Nhờ
việc xem xét hướng đi trước mà có thể giải tốn bằng nhiều cách khác nhau, các
cách giải đặc trưng, các khả năng về kết quả. Mặt khác, đối với những bài tốn
mà việc tìm đường lối giải khơng khó, đơi khi đã khá rõ ràng, thì cái khó lại chủ
yếu thuộc về kỹ năng thuật giải. Do vậy việc nắm bắt và vận dụng những thao
tác kỹ thuật và các phương pháp giải tốn đã được tích lũy vào việc định hướng
lời giải địi hỏi người giải tốn khơng ít sự sáng tạo trong quá trình hoạt động
của mình. Sự sáng tạo nói trên cịn thể hiện ở việc học sinh biết chọn thao tác kỹ
thuật nhanh nhất, hiệu quả nhất để xây dựng chi tiết việc tiến hành giải và thể
hiện lời giải tối ưu.

6


Một bài tốn thơng thường khơng chỉ có duy nhất một cách giải. Vì thế, sau
khi đã tìm được lời giải ta có thể định hướng để tìm tịi các cách giải khác. Từ
đó, so sánh các cách giải để tìm được cách giải tối ưu. Điều này sẽ giúp học sinh
nâng cao khả năng hiểu và vận dụng các kiến thức, kỹ năng khác nhau trong giải
một bài toán, giúp học sinh mở rộng tầm nhìn về tồn bộ hệ thống kiến thức của

bài toán, củng cố khả năng nắm vững các quan hệ ẩn tàng bên trong các kiến
thức kỹ năng khác nhau kiên quan đến bài toán.
 Bước 3: Trình bày lời giải
- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Khả năng trình bày và hồn thiện lời giải bài tốn thể hiện ở khả năng sử
dụng ngơn ngữ, kí hiệu và các lập luận tốn học nhằm đưa ra một lời giải chính
xác của bài tốn. Thơng thường q trình suy nghĩ tìm tịi lời giải của bài tốn là
q trình “phân tích đi lên”, trong khi đó việc trình bày lời giải của bài tốn lại
là q trình “phân tích đi xuống”. Thực tế cho thấy có nhiều học sinh mặc dù đã
hiểu và nghĩ ra lời giải của bài tập nhưng khơng thể trình bày và hồn thiện
chính xác lời giải đó. Điều đó ảnh hưởng lớn tới kỹ năng giải toán của học sinh.
Như vậy việc rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải, nghiên cứu cách trình bày lời
giải những bài tốn tương tự khơng những giúp học sinh định hướng được cách
trình bày lời giải mà cịn giúp học sinh biết biết chọn ra cách giải nhanh nhất, lời
giải hay nhất và cách giải sáng tạo nhất. Mặt khác khi xem xét tổng thể tất cả
các lời giải khác nhau của bài tốn học sinh có cách nhìn sâu sắc hơn về bài
toán. Đồng thời học sinh tự nâng cao khả năng giải toán của bản thân bổ sung
những kinh nghiệm hữu ích trong học và giải bài tập.
Khả năng trình bày lời giải thể hiện việc đảm bảo u cầu chung của một
lời giải: ngơn ngữ kí hiệu rõ ràng, chính xác, quy tắc suy luận đúng, các bước
suy luận hợp logic, cách trình bày ngắn gọn, đầy đủ không thừa mà cũng không
thiếu. Kết quả đúng kể cả các bước trung gian, lập luận chặt chẽ, luận đề phải
nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp logic, lời giải đầy đủ, ngơn
ngữ chính xác, trình bày rõ ràng đảm bảo mỹ thuật, trình bày nhiều cách giải,
chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất, nghiên cứu tình bày lời giải những bài tốn
tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự.

7


Các kiến thức kỹ năng liên quan tới các bài tập đã cho ln có quan hệ
với nhau và chúng tạo nên cơ sở tìm ra bài tập mới. Việc tìm bài tốn liên
quan cần vận dụng thường xun khi giải bài tập. Vì khi giải một bài tốn nào
đó thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: bài tốn này có quan hệ gián tiếp
với kiến thức nào hay loại bài nào đó hay khơng? Trên cơ sở đó hoặc là quy
bài tốn đã cho về bài tốn quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng
những kiến thức liên quan để giải bài toán đã cho. Từ đó cũng góp phần rèn
luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài tốn cho các bài toán tiếp theo.
Việc rèn luyện khả năng sáng tạo các bài tốn mới là một u cầu cần thiết
(tuy khơng dễ) nhưng rất bổ ích.
1.1.3. Kỹ năng
“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn trong đó
khả năng được hiểu là “Sức đã có” (về mặt nào đó) để có thực hiện một việc
gì.[5, tr548].
Trong tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành
động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định. Nếu tạm thời
tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng tri thức thuộc phạm vi nhận thức,
thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả
năng “biết làm”.
Các nhà giáo dục cho rằng “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin
kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”.
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi
người để đạt được mục đích. Kỹ năng cịn có thể được đặc trưng như một thói
quen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp.
“Trong tốn học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh đã nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với

kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.[2, tr99].
Trong thực tế cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào giải các bài tập, cụ thể là do: học sinh không nắm vững kiến thức các
khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình thành
được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần
phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng
vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của trường phổ thông là:
“Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn
liền với xã hội”.

8


1.1.4. Kỹ năng giải toán
Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện chứng
minh cũng như phân tích, có thể phê phán các lời giải và chứng minh chưa nhận
được. “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh…)” [5, tr12].
Theo Polya: Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh
nhận được.
Như vậy, kỹ năng giải tốn có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến
thức, kỹ năng, phương pháp). Sau khi nắm vững lí thuyết trong q trình luyện
tập, củng cố kiến thức.
Trong tốn học thì kỹ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng
góp phần củng cố, cụ thể hóa kiến thức Tốn học, hoạt động học tập mơn Tốn.
Kỹ năng Tốn học được hình thành và phát triển thơng qua việc thực hiện các
bước giải của một bài tập Toán học. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và
thay đổi trong quá trình hoạt động.

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải
nắm vứng kiến thức, có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán.
Tùy theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu
cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng. Trong chương trình Tốn phổ thơng, cụ thể là
khi rèn luyện kỹ năng giải bài tập về hình học khơng gian ta có thể chỉ ra một số
kỹ năng sau:
+ Kỹ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài tốn đã cho với cái phải tìm.
+ Kỹ năng tính tốn: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận
độc lập, sáng tạo, ta không thể xem nhẹ việc rèn luyện kỹ năng tính tốn vì nó
có vai trị quan trọng đối với học sinh trong việc thực hiện lời giải một bài toán,
rất dẫn đến sai lầm trong kết quả của bài toán và cuộc sống sau này. Kỹ năng
này địi hỏi sự tỉ mỉ, cẩn thận, tính đúng, tính nhanh và tính hợp lý trong từng
bước tính toán của một lời giải.
+ Kỹ năng vận dụng các định lý, tính chất, hệ quả, mệnh đề... Về mặt kỹ
năng này thì yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.
+ Kỹ năng vận dụng các tri thức đã có vào giải các bài tốn cụ thể về hình
học khơng gian: Học sinh phải rèn luyện kỹ năng này trong q trình họ tìm tịi
lời giải bài toán. Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài tốn theo quy trình
giải tốn của Polya gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung đề tốn: Xây dựng chương
9


trình giải; Thực hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải. Đặc biệt
cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng định hướng lời giải bài toán dựa vào những
tri thức đã có.
+ Kỹ năng chứng minh Tốn học. Theo Hồng Chúng, để có kỹ năng
chứng minh Tốn học học sinh cần phải đạt được: Hình thành động cơ chứng
minh; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh; Truyền thụ tri
thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận.
+ Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi

xuôi chiều và ngược chiều; là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và
vận dụng kiến thức, đồng thờinó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của
Toán học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều
và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng
ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.
+ Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kỹ năng cần thiết và phải rèn
luyện cho học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt, với kỹ năng vẽ hình, học sinh
phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước, phù hợp
với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có tính thẩm mĩ.
+ Kỹ năng Tốn học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng Tốn học hóa
các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời
sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức Toán
học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm được thực
chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Tốn học một cách hình thức.
+ Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức
liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ, phụ thuộc giữa các phần tử
của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm đóng
vai trị quan trọng và xun suốt trong chương trình tốn phổ thơng. Những
hoạt động tư duy hàm là: hoạt động phát triển và thiết lập sự tương ứng, hoạt
động nghiên cứu tương ứng.
+ Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm
khi giải toán: " Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của
mình" (Polya). Trong học tập giải tốn việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm đó
của lời giải là một thành cơng của người học tốn.
Trên thực tế, có nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầm khi
giải toán. Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát
hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích những
10

nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó. Qua đó học sinh cũng đã được rèn luyện thêm
về kỹ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính
xác, hình thức sạch đẹp,...Việc hình thành kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự
điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
1.1.5. Kỹ năng định hướng giải toán
Kỹ năng định hướng giải toán chủ yếu nằm trong giai đoạn đầu tiên của
việc giải tốn.
Định hướng tìm lời giải là việc tìm ra con đường để giải tốn, tìm ra những
lối đi đúng. Vì vậy tìm định hướng giải tốn là khâu có vai trị quan trọng quyết
định đến tồn bộ lời giải bài tốn.
Muốn có định hướng tốt để tìm ra lời giải cho bài toán trước hết phải xác
định đúng thể loại bài toán. Để làm tốt được điều này cần nghiên cứu kỹ bài toán
đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu bài toán và các dữ liệu cho trong bài
toán để xác định đúng thể loại bài toán. Từ các giả thiết và kết luận của bài toán
người giải toán phải xác định được nội dung kiến thức sinh ra bài toán và các
kiến thức cần thiết để có thể áp dụng giải bài tốn đó. Từ các kiến thức này
người giải xác định được những kỹ năng, thao tác kỹ thuật tương ứng cần sử
dụng khi giải bài toán.
Việc rèn luyện kỹ năng định hướng lời giải địi hỏi học sinh phải có khả
năng đón nhận được kiến thức mà tác giả bài toán đã sử dụng để tạo ra bài tập.
Từ biến đổi phù hợp học sinh tạo ra các bài tập tương tự hoặc các bài tập mới và
nắm vững cách thức giải chúng nhằm nâng cao sự hiểu biết của chính mình. Rèn
luyện tìm định hướng lời giải bắt buộc học sinh phải đọc lập trong suy nghĩ,
phải tự chủ nhiều hơn. Đó chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng
độc lập, sáng tạo. Học sinh từ vai trò tiếp thu kiến thức trở thành chủ thể sáng
tạo ra tri thức cho bản thân. Như vậy, rèn luyện kỹ năng định hướng lời giải là
một yêu cầu cần thiết trong đổi mới phương pháp dạy học ở THPT.
1.2. Một số định hướng để rèn luyện kỹ năng định hướng giải bài toán đối
với học sinh
1.2.1. Nắm vững hệ thống khái niệm, vận dụng để tìm định hướng giải

Trong việc dạy học Toán cũng như việc dạy học bất cứ một môn khoa học
nào ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là phải hình thành một cách vững
chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở tồn bộ kiến thức Tốn
học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng
kiến thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng to lớn đến việc
phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh
11


(qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm
Toán học) [5, tr.116].
Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể, trong hoạt
động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn là một trong những yêu cầu của dạy
học khái niệm. Muốn vận dụng một khái niệm trước tiên phải hiểu rõ về khái
niệm, vị trí, vai trị tác dụng của khái niệm đó trong hệ thống các tri thức có liên
quan đến bài tốn. Hiểu rõ hệ thống khái niệm liên quan tới bài tốn là cơ sở để
hình thành và nâng cao khả năng vận dụng các khái niệm trong định hướng lời
giải. Việc vận dụng khái niệm toán học để giải quyết những vấn đề nảy sinh
trong Tốn học và trong đời sống khơng những có tác dụng củng cố khái niệm
mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái niệm. Cần chú trọng khai thác
hệ thống bài tập nhận dạng và thể hiện khái niệm chính, khái niệm liên quan, bài
tập tìm điều kiện tương đương định nghĩa định ra hướng giải.
Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng. Mỗi khái niệm
có dấu hiệu bản chất riêng. Vì thế, dựa vào các dấu hiệu bản chất của khái niệm
ta có thể định hướng được lời giải. Có nhiều biện pháp sử dụng hình thức dạy
học khái niệm để định hướng giải:
- Xem xét hướng giải bài tập qua nội hàm của khái niệm chính sinh bài tập
đó. Mở rộng ra ta có thể tìm hướng giải qua nội hàm của các khái niệm có liên
quan đến bài tập. Nếu phát hiện trong bài tập chỉ chứa các thuộc tính bản chất
của một khái niệm thì ta chọn đó là một hướng suy nghĩ để định hướng giải. Nếu

phát hiện trong bài tập có chứa các thuộc tính bản chất của nhiều khái niệm thì
có thể chọn nhiều khái niệm khác nhau. Tuy nhiên trước tiên nên chọn thuộc
tính của khái niệm mà ta hiểu rõ nhất để xem xét hướng giải, sau đó mới chuyển
sang xem xét các thuộc tính khác hay khái niệm khác.
- Xem xét ngoại diên của khái niệm đã phát hiện từ bài tập. Ta có thể dựa
vào đối tượng chính của bài tập để xác định hướng giải. Hoặc mở rộng ra ta xem
xét lớp đối tượng xác định khái niệm của bài tập để định hướng giải.
- Khai thác hình thức dạy học khám phá khái niệm tương đương với khái
niệm chính trong bài tập. Mỗi khái niệm được định nghĩa theo nhiều cách khác
nhau tạo nên các khái niệm tương đương. Ta có thể xem xét các thuộc tính của bài
tập trong hệ thống các khái niệm tương đương tìm định hướng giải. Mỗi khái niệm
tương đương chứa thuộc tính bản chất của bài tập cho ta một định hướng giải.
1.2.2. Nắm vững hệ thống định lí, tính chất, vận dụng để tìm hướng giải
Các định lí cùng với các khái niệm Tốn học tạo thành nội dung cơ bản của
mơn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả

12


năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư
tưởng, phẩm chất và đạo đức.
Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó
có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các
vấn đề trong thực tiễn là một trong những yêu cầu của dạy học định lí. Việc vận
dụng định lí để giải bài tập tốn, kể cả những bài tập chứng minh, và giải quyết
những vấn đề nảy sinh trong Tốn học và trong đời sống khơng những có tác
dụng củng cố định lí mà cịn chính là mục tiêu sâu xa của việc học tập định lí.
Bám sát định lí, tính chất cũng là một trong những định hướng để rèn luyện
kỹ năng định hướng tìm lời giải bài tốn. Điều đó thể hiện ở việc hiểu rõ hệ
thống các tính chất, mệnh đề, định lí cơ bản trong chương trình có liên quan đến

bài tốn. Cần chú trọng khai thác hệ thống bài tập nhận dạng và thể hiện định lí
chính, định lí liên quan, bài tập về điều kiện tương đương định lí định ra hướng giải.
Có nhiều cách khai thác dạy học định lí nhằm định hướng lời giải bài toán:
- Nắm rõ kiến thức của hệ thống định lí liên quan tới bài tốn, xác định
định lí chính gắn với dữ kiện, dữ liệu của bài toán để định hướng giải.
- Nắm rõ quan hệ chính trong bài tập với quan hệ của hệ thống định lí, xác
định quan hệ chính gắn với định lí quan trọng phù hợp với dữ kiện dữ liệu của
bài toán để định hướng giải.
- Nắm rõ các suy luận trong chứng minh của hệ thống định lí có liên quan,
đối chiếu dữ kiện, dữ liệu của bài toán để định hướng giải.
- Sử dụng khả năng suy luận, suy diễn đi từ các dấu hiệu của bài toán tới các
dữ kiện, dữ liệu của hệ thống định lí có liên quan với bài tốn để định hướng giải.
- Vận dụng suy đoán từ các dấu hiệu của của các định lí đã biết, đối chiếu
với dữ kiện, dữ liệu của bài toán để định hướng giải.
1.3. Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán đối
với học sinh lớp 11
Rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài tốn cung cấp cho học sinh cách
nhìn về bài tốn. Biết cách nhìn bài tốn dưới dạng chính quy mẫu mực. Thể
hiện một cách nhìn vào đặc điểm cụ thể của bài tốn. Cách nhìn này giúp ta phát
hiện được các đặc điểm cơ bản, đơn giản nếu khơng bị che khuất bởi những hình
thức rắc rối. Qua đó người giải mới biết cách khai thác mọi khía cạnh biểu hiện
tinh vi của bài tốn. Biết cách nhìn bài tốn trong những bối cảnh chung nhưng
lại phải nhìn bài tốn trong trường hợp cụ thể hoặc trong tương quan với những
bài toán khác.

13


Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm định hướng giải toán giúp cho người
giải thấy rõ hướng đi của bài tốn. Thơng qua việc phân tích các giả thiết, kết

luận, các điều kiện của bài toán giúp cho người giải tốn thấy rõ q trình xảy ra
có tính chất quy luật của mọi bài tốn. Hay nói cách khác người giải toán sẽ biết
được với các giả thiết và các điều kiện đã cho, như vậy thì tất yếu kết quả, diễn
ra như thế nào. Làm quen với mặt này thì người giải tốn có đủ lịng tin vào
đường lối mà mình đã tiến hành và hy vọng vào mọi thao tác, biến đổi.
Quá tình suy nghĩ tìm hướng giải cho bài tốn giúp học sinh có thể tự kiểm
tra vốn kiến thức sẵn có, mức độ tiếp thu kiến thức và khả năng vận dụng kiến
thức. Quá trình này cũng rèn luyện cho học sinh tư duy các vấn đề toán học một
cách logic và hệ thống. Qua đó rèn luyện trí thơng minh, phát triển khả năng tư
duy sáng tạo của học sinh.
Đối với học sinh lớp 11, đối tượng được các em nghiên cứu là các yếu tố
của hình học khơng gian mang tính trừu tượng: mặt phẳng, đường thẳng trong
không gian, điểm trong không gian…Ở đây không gian được mở rộng từ hai
chiều lên ba chiều, các đối tượng nghiên cứu cũng chuyển từ trực quan sang trừu
tượng. Các bài tốn hình học khơng gian cũng vì thế mà thêm độ trừu tượng. Độ
khó cũng vì thế mà nâng lên. Mặt khác cơng việc giải tốn sẽ gặp nhiều khó
khăn nếu khơng tìm được hướng đi ngay từ ban đầu cho bài toán. Yêu cầu đặt ra
là phải làm cho học sinh có được kỹ năng tìm, xác định được hướng đi cho bài
tốn để cơng việc giải tốn được thực hiện dễ dàng hơn. Muốn vậy, các em phải
được rèn luyện kỹ năng tìm định hướng lời giải để có thể hồn thành tốt cơng
việc giải tốn của mình. Những định hướng vừa khái quát vừa cụ thể, hiểu

sâu hơn về mối quan hệ của hình học phẳng và hình học khơng gian sẽ
giúp các em giải quyết bài toán một cách tốt nhất. Từ đó các em có hứng
thú đối với mơn Hình học nói chung và hình học khơng gian nói riêng.
Học sinh khi tìm ra lời giải bài tốn đặc biệt là bài tốn khó, phương pháp
giải mới sẽ có nhiều hứng thú. Điều này có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp
lịng say mê tốn học và ước mơ vươn tới chiếm lĩnh những đỉnh cao tri thức.

14

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM
ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TỐN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ
SONG SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11
Từ kết quả chương 1 nội dung chương 2 của khoá luận hệ thống lại một số
kiến thức cơ bản về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song. Tiến hành nghiên cứu một số biện pháp rèn luyện kỹ năng định hướng giải
cho học sinh lớp 11
2.1. Một số kiến thức cơ bản để định hướng giải bài toán thuộc nội dung:
“Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song”
2.1.1. Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng.
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt
phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm khơng cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng cịn
có một điểm chung khác nữa.
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng
đều đúng.
2.1.2. Cách xác định mặt phẳng
Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết:
1. Nó đi qua ba điểm khơng thẳng hàng.
2. Nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng khơng đi qua nó.
3. Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
2.1.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có hai trường hợp sau đây
xảy ra đối với a và b .

TH1: Có một mặt phẳng chứa a và b
Xảy ra ba khả năng sau:
1. a và b cắt nhau tại điểm M , kí hiệu a  b  {M } .
2. a và b song song với nhau, kí hiệu a // b hoặc b // a .
3. a và b trùng nhau, kí hiệu a ≡ b .
TH2: Khơng có mặt phẳng nào chứa cả a và b
Khi đó ta nói: a và b chéo nhau hay a chéo b .

15


2.1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) ta có ba vị trí tương đối sau:
1. d và ( ) cắt nhau tại M , kí hiệu d  ( )  {M };
2. d song song với ( ) , kí hiệu d // ( ) hay ( ) // d ;
3. d nằm trong ( ) , kí hiệu d  ( );
2.1.5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
1. Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (  ) : ( ) // (  )

 ( )  (  )   .
2. Mặt phẳng ( ) cắt mặt phẳng (  ) : ( ) cắt (  )  ( )  (  )  a .
3. Mặt phẳng ( ) trùng mặt phẳng (  ) : ( )  (  )  Mọi điểm thuộc

( ) đều thuộc (  ) .
2.2. Biện pháp rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội
dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian. Quan hệ song song”
Để tìm được định hướng giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và
mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” cần phải:
2.2.1. Biện pháp 1: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các khái niệm
để tìm hướng giải bài tốn

a, Cơ sở lí luận của biện pháp
Kiến thức của mơn học có tính chất dãy. Ứng với mỗi hệ thống kiến thức
cụ thể là hệ thống khái niệm có một hệ thống bài tập.
Khái niệm 1

Bài tập 1

Khái niệm 2

Khái niệm 3

Bài tập 2

Bài tập 3

Khái niệm 4

Bài tập 4

Hệ thống các khái niệm tốn học là cơ sở tồn bộ kiến thức Toán học của
học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến
thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng to lớn đến việc phát
triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua
việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm
Toán học)” [10, tr.116].
khái
16


Mỗi định khái niệm đều có dấu hiệu bản chất riêng nên dựa vào dấu hiệu

bản chất của mỗi khái niệm sẽ cho chúng ta những định hướng giải khác nhau.
Ví dụ: muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, nếu dựa vào định nghĩa thì
ta cần phải chỉ ra chúng khơng có điểm chung.
Một khái niệm có thể có nhiều cách định nghĩa, dựa vào mỗi cách định
nghĩa ta lại có những định hướng giải khác nhau.Với mỗi cách định nghĩa cho ta
một hướng giải
Nếu không nắm vững hệ thống khái niệm thì khơng xác định được hướng
giải, khơng biết được cách giải trực tiếp và gián tiếp. Một bài tập có thể liên
quan đến một dãy các khái niệm.
Như vậy, việc nắm vững hệ thống các khái niệm cùng với dấu hiệu bản
chất của chúng, hệ thống các khái niệm tương đương là rất cần thiết cho việc rèn
luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài tốn.
Trong chương “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song, các em cần nắm được hệ thống các khái niệm: mặt phẳng, điểm thuộc mặt
phẳng, hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, mặt
phẳng song song với mặt phẳng… để định hướng giải bài tập.
b, Ý nghĩa, mục đích của biện pháp
- Ý nghĩa:
+ Có ảnh hưởng quyết định đến hiệu quả, chất lượng định hướng lời giải.
+ Giúp học sinh củng cố, nâng cao năng lực nhận thức, vận dụng kiến thức
liên quan đến bài tập để tìm định hướng giải.
- Mục đích:
+ Rèn luyện cho học sinh khả năng định hướng lời giải dựa vào các khái
niệm đã biết.
+ Giúp cho học sinh nâng cao khả năng nhận thức về kiến thức cơ bản
dưới nhiều hướng giải khác nhau.
Làm cho học sinh dần dần đạt được những mục tiêu sau:
1. Nắm vững các đặc điểm đặc trưng của khái niệm.
2. Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng
cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay khơng, đồng thời biết

thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một
khái niệm cho trước.
17


3. Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
4. Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt
động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
5. Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm
với khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
c, Tổ chức thực hiện
- Bước 1: Sắp xếp các dấu hiệu của bài tốn theo trình tự bài tập hoặc theo
thứ tự quan trọng.
- Bước 2: So sánh hệ thống dấu hiệu với hệ thống khái niệm đã biết.
- Bước 3: Dùng suy luận để phát hiện, làm rõ mối quan hệ của dữ kiện với
hệ thống khái niệm tàng ẩn.
- Bước 4: Tổng hợp các hướng cơ bản từ ba bước trên.
d, Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và
không có điểm chung.
Để chứng minh hai đường thẳng khơng có điểm chung ta có thể chứng
minh theo các hướng:
- Định hướng 1: Giải hệ gồm các phương trình xác định hai đường thẳng
và chứng minh hệ này vô nghiệm.
Cho hai đường thẳng: 1 : a1 x  b1 y  c1  0 và 2 : a2 x  b2 y  c2  0 .

1 song song với  2 khi và chỉ khi hệ phương trình sau vơ nghiệm:

 a1 x  b1 y  c1  0


a2 x  b2 y  c2  0.
- Định hướng 2: Chứng minh khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường
thẳng này tới đường thẳng kia là khác 0 và không đổi.
- Định hướng 3: Chứng minh phản chứng: Giả sử hai đường thẳng có điểm
chung, ta chứng minh điều giả sử đó là sai.
- Định hướng 4: Trong không gian cho đường thẳng d đi qua điểm M 0 , có
vectơ chỉ phương u và đường thẳng d ' đi qua điểm M 0 ' , có vectơ chỉ phương

18


u ' . Ta chứng minh u và u ' cùng phương nhưng không cùng phương với
M 0 M '0 .
Ví dụ 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Định nghĩa: Mặt phẳng ( ) và mặt phẳng (  ) được gọi là hai mặt phẳng
song song nếu chúng khơng có điểm chung.
Ta có thể chứng minh theo một số hướng:
- Định hướng 1: Giải hệ gồm các phương trình xác định hai mặt phẳng.
Nếu hệ này vơ nghiệm thì đường thẳng và mặt phẳng song song.
- Định hướng 2: M là một điểm tùy ý thuộc ( ) , ta chứng minh khoảng
cách từ M đến (  ) là không đổi.
- Định hướng 3: d là một đường thẳng thuộc ( ) , d không thuộc (  ) , ta
chứng minh d song song với (  ) .
- Định hướng 4: Chứng minh phản chứng: Giả sử hai mặt phẳng có điểm
chung, ta chứng minh điều giả sử đó là sai.
2.2.2. Biện pháp 2: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các định lí
tính chất để tìm định hướng giải bài tốn
a, Cơ sở lí luận của biện pháp
Từ tính chất dãy của khái niệm ta có hệ thống các tính chất định lý của môn

học . Ứng với mỗi hệ thống định lí, tính chất có một hệ thống bài tập tương ứng.
Định lí 1

Định lí 2

Định lí 3

Định lí 4

Bài tập 1

Bài tập 2

Bài tập 3

Bài tập 4

Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của
mơn Tốn, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn đặc biệt là khả năng
suy luận, chứng minh.
Mỗi định lý, tính chất cũng có những dấu hiệu bản chất riêng biệt nên dựa
vào các dấu hiệu bản chất đó, học sinh sẽ tìm được định hướng giải.
Nếu chỉ nắm vững hệ thống khái niệm mà khơng nắm vững hệ thống định lí
thì khó xác định được hướng giải bài tốn. Vì nếu chỉ dựa vào định nghĩa để
khái
19


định hướng giải thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Chẳng hạn, muốn chứng minh
đường thẳng d song song với mặt phẳng   , nếu dựa vào định nghĩa, ta cần

tìm số giao điểm của chúng. Tuy nhiên việc tìm số giao điểm này khơng hề dễ
dàng, khơng phải lúc nào cũng tìm được. Vì vậy ta cần tìm hướng giải cho bài
tốn dựa vào các định lý, tính chất.
- Định hướng 1: Ta chỉ ra đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng  
và d song song với đường thẳng d ' nằm trong   .
(Định hướng này dựa vào định lý: Nếu đường thẳng d không nằm trong

mặt phẳng   và d song song với đường thẳng d ' nằm trong   thì d song
song với mặt phẳng   ).

- Định hướng 2: Ta chỉ ra đường thẳng d nằm trong mặt phẳng    song
song với mặt phẳng   đã cho.
(Định hướng này dựa trên hệ quả: Nếu đường thẳng d song song với mặt

phẳng   thì trong   có một đường thẳng song song với d và qua d có duy
nhất một mặt phẳng song song với   ).
Một bài tập có thể liên quan đến một dãy các định lí. Như vậy, việc nắm
vững hệ thống các định lí, tính chất cùng với dấu hiệu bản chất của chúng, hệ
thống các định lí tương đương là rất cần thiết cho việc rèn luyện kỹ năng định
hướng tìm lời giải bài tốn.
Trong chương này, các em cần nắm được các tính chất thừa nhận và hệ
thống các định lý, tính chất thuộc từng bài học như: các định lý, tính chất liên
quan đến đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, mặt
phẳng song song với mặt phẳng… để định hướng giải bài tập.
c, Ý nghĩa, mục đích của biện pháp
- Ý nghĩa:
+ Có ảnh hưởng quyết định tới hiệu quả chất lượng định hướng lời giải.
+ Giúp học sinh củng cố, nâng cao năng lực nhận thức, vận dụng kiến thức
liên quan đến bài tập để tìm định hướng giải.
- Mục đích:

20