Khóa luận tốt nghiệp toán học:Rèn luyện kỹ năng thực hành giải bài tập về đường cônic - hình học 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




NGUYỄN THỊ THANH




RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI
BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG CÔNIC - HÌNH HỌC 10



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC







Sơn La, năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ THANH





RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI
BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG CÔNIC - HÌNH HỌC 10


CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS. Vũ Quốc Khánh





Sơn La, năm 2013
LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn được sự hướng dẫn, chỉ bảo
tận tình của giảng viên - Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh, sự ủng hộ, động viên và góp ý
kiến của các giảng viên trong khoa Toán-Lý-Tin và các bạn sinh viên lớp K50-
ĐHSP Toán, các thầy cô cùng các em học sinh trường THPT Bắc Yên - Sơn La.
Đồng thời, để hoàn thành khóa luận em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều

kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của phòng đào tạo,
phòng Quản lý khoa học, phòng Quan hệ quốc tế, thư viện và một số phòng,
ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc.
Em chân thành bày tỏ lòng biết ơn sự ủng hộ giúp đỡ quý báu của các thầy
cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên.
Sơn La, tháng 05 năm 2013
Người thực hiện
Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh















MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 2
2.1. Mục đích nghiên cứu 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3. Phương pháp nghiên cứu 2
4. Cấu trúc của khóa luận 2
PHẦN 2 : NỘI DUNG 4
1.1. Những lý luận chung về giải toán và kỹ năng thực hành giải các bài tập
4
1.1.1. Phương pháp dạy học giải toán 4
1.1.2. Các yêu cầu đối với lời giải 6
1.1.3. Khái niệm kĩ năng giải toán. 7
1.1.4. Đặc điểm của kĩ năng giải toán. 8
1.1.5. Kĩ năng thực hành giải bài tập 9
1.2. Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng thực hành giải 11
1.3. Chức năng của bài tập toán học đối với việc rèn luyện kĩ năng thực
hành giải toán 12
1.4. Ba đường cônic trong nhà trường phổ thông. 12
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN KỸ
NĂNG THỰC HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CÔNIC 15
2.1. Định hướng rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về ba đường cônic 15
2.2. Biện pháp rèn luyện kỹ năng thực hành giải một số dạng bài tập về ba
đường cônic. 18
2.2.1. Biện pháp 1: 18
2.2.2. Biện pháp 2: 29
2.2.3. Biện pháp 3: 35

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 40
3.1. Mục đích thực nghiệm 40
3.2. Phương pháp thực nghiệm 40
3.3. Nội dung thực nghiệm 40
3.4. Tổ chức thực nghiệm 40
3.5. Kết quả thực nghiệm 40
3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm. 42

KẾT LUẬN 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
PHỤ LỤC
















1
PHẦN 1 : MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Chúng ta
chỉ có thể học tốt được toán khi nắm vững kiến thức và thực hành thành thạo các
dạng bài tập có liên quan.
Nói đến giải toán thì đường lối giải và việc thực hiện bước giải đó như thế
nào là một vấn đề quan trọng đối với người giải toán. Cần thấy rõ từ chỗ tìm
được phương hướng giải bài toán tới việc hoàn chỉnh bài toán là cả một quá
trình bao gồm nhiều khâu. Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung

lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ
thuật. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và phương pháp làm việc
khoa học của người giải toán.
Có thể thấy việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán cho các bài tập có
tính quan trọng trong việc giải toán.
Thứ nhất: Dù đã nắm được lí thuyết, có kỹ thuật cao, có thành thạo trong
việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng kết quả thực hành giải không
tốt thì không thể có lời giải chính xác cho bài toán.
Thứ hai: Khi đã định hướng được lời giải thì việc trình bày, sắp xếp các dữ
kiện của lời giải như thế nào đóng vai trò hết sức quan trọng vì rất dẫn đến sai
lầm trong các phép tính, suy luận, sử dụng công thức, quy tắc, kí hiệu ngôn ngữ
hoặc các thao tác thực hành sai trình tự lôgic.
Thứ ba: Khi rèn luyện được kỹ năng thực hành lời giải cho các bài tập một
cách thành thạo ta có thể phát huy kỹ năng làm việc độc lập, sáng tạo - một khả
năng không thể thiếu được của người giải toán.
Trong bộ môn toán nói chung và bộ môn hình học lớp 10 nói riêng học
sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các bài tập về phần hình học, vì vậy
học sinh khi giải toán thường chỉ thích học đại mà không thích học hình. Đặc
biệt là chương trình hình học 10 có nhiều nội dung mới đối với học sinh như:
vectơ, tích vô hướng của hai vectơ, phương trình đường tròn, ba đường cônic
Khi giải một bài toán thì người giải cần định hướng được lời giải, xây dựng
được chương trình giải và thực hiện lời giải của bài toán đó. Việc thực hành lời
giải bài toán nói lên kỹ năng cơ bản cần làm, trình bày những lập luận lôgic, các

2
thao tác cần thực hiện, cách sử dụng ngôn ngữ, công thức, ký hiệu, đây là một
khâu rất quan trọng khi giải toán.
Chính vì những lý do trên mà tôi chọn đề tài nghiên cứu " Rèn luyện kỹ
năng thực hành giải bài tập về đường cônic - hình học 10 ".
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1. Mục đích nghiên cứu
Rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán cho học sinh
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về Rèn luyện kỹ năng thực hành lời giải cho học sinh.
Điều tra khảo sát thực tiễn kỹ năng thực hành lời giải của học sinh.
Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng thực hành lời giải thông qua
một số bài tập về ba đường cônic.
Bước đầu thử nghiệm sư phạm về tính khả thi và hiệu quả của biện pháp
đưa ra.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, kết luận khoa học và kĩ năng thực hành
giải toán của học sinh.
+ Nghiên cứu thực tiễn, đề xuất các biện pháp rèn luyện cho từng dạng toán
cụ thể nhằm rèn luyện khả năng thực hành giải các bài tập về ba đường cônic
cho học sinh lớp 10.
+ Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử cho học sinh lớp 10 và bước đầu kiểm
tra đánh giá tính khả thi, hiệu quả của biện pháp đưa ra.
4. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận
bao gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Một số biện pháp cơ bản nhằm rèn luyện kỹ năng thực hành giải
các bài tập về 3 đường cônic.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.



3
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Phụ lục



























4
PHẦN 2 : NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Những lý luận chung về giải toán và kỹ năng thực hành giải các bài tập
Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Giải toán
là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đã cho và cái phải
tìm. Người học toán khi đứng trước một bài toán luôn muốn mình giải được
hoặc đáp ứng được các yêu cầu bài toán đặt ra. Để giải một bài toán thì người
giải phải trải qua rất nhiều khâu. Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản của nội
dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình xây dựng bước giải.
Và thực hành có hiệu quả các thao tác có tính chất kỹ thuật trong việc giải bài
tập. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tình kiên nhẫn và một phương pháp làm
việc khoa học của người giải toán.
Khi dạy giải bài tập cho học sinh cần rèn luyên cho học sinh xác định
hướng xem xét các kỹ năng thưc hành lời giải trước khi giải cụ thể. Việc xác
định hướng giải giúp cho lời giải đạt hiệu quả. Nhờ định hướng giải khác nhau
học sinh có thể giải toán bài toán bằng nhiều cách khác nhau.
Trong thực hành giải các thao tác phải thực hiện tốt. Việc thực hiện lời giải
phải khoa học, lập luận chặt chẽ. Để làm tốt được điều này cần nghiên cứu kỹ
bài toán đã cho mà chủ yếu căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi để xác
định đúng thể loại các bài toán đó, định hướng được lời giải. Điều này đòi hỏi
phải có một trí nhớ tốt, một tư duy lôgic biết kết nối các yếu tố của bài toán, một
hệ thống kĩ năng với các thao tác thành thạo.
Ngoài việc nắm các đường lối chung thì người giải toán cần phải phát hiện
ra những cái riêng, cái độc đáo của bài toán cụ thể để lựa chọn được phương án
thích hợp nhất và tối ưu nhất.
1.1.1. Phương pháp dạy học giải toán
Các bước giải một bài toán
* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài
toán đó. Vì thế cần giúp học sinh tìm hiểu đề và cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi

trí tò mò, hứng thú cho các em.

5
+ Để hiểu rõ đề bài toán trước hết cần phải nắm vững mọi khái niệm đề cập
đến trong bài toán. Cần phải nhớ lại đề biết các khái niệm đó được định nghĩa
như thế nào hoặc có thể định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau như thế nào?
+ Sau đó phải nắm được yêu cầu của bài toán. Phải biết được bài toán cho
cái gì, và yêu cầu của bài toán là gì?
+ Nếu cần thiết phải vẽ hình cho bài toán. Hình vẽ sẽ giúp ta hiểu được đề
bài toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn. Hình vẽ còn có tác dụng gợi ý cho việc
tìm ra cách giải và giúp phát triển trí tưởng tượng không gian.
* Bước 2: Tìm tòi lời giải, đề ra một chương trình giải.
+ Hãy nghĩ đến những bài toán liên quan.
Những bài toán liên quan có thể là những bài toán tương tự với bài toán đã
cho, hoặc là bài toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt
của những bài toán đã cho, thậm chí là bài toán na ná bài toán đã cho, Nghĩ đến
các bài toán liên quan là để tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải của
các bài toán đó.
+ Hãy tìm cách vẽ thêm các phần tử phụ.
Nhiều khi phải vẽ thêm các phần tử phụ để tìm ra những môí liên hệ mới.
Nhờ đó mà gải được bài toán cần giải.
+ Tìm tòi lời giải qua xét một số trường hợp (đặc biêt, hay tương tự, )
+ Tìm tòi theo sơ đồ ''phân tích đi lên'' hoặc sơ đồ ''phân tích đi xuống''.
* Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
Trình bày lời giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Đề ra một chương trình tìm được ý của cách giải không phải là dễ. Muốn đạt
được kết quả đòi hỏi phải có nhiều điều kiện: những kiến thức có sẵn, những thói
quen suy nghĩ, sự tập trung và cả sự may mắn nữa. Thực hiện chương trình thì dễ
dàng hơn nhiều, ở đây đòi hỏi chủ yếu là sự kiên nhẫn.Chương trình chỉ vạch ra

những nét tổng quát. Chúng ta phải đảm bảo cho những chi tiết phù hợp với
những nét tổng quát đó. Do đó, phải kiên nhẫn khảo sát lần lượt từng chi tiết một
cho tới khi rõ ràng, không còn những chỗ mơ hồ, có thể che giấu một sự sai lầm.
Nếu đã đề ra chương tình đưa đến lời giải, ta không ngần ngại gì mà dùng một
suy luận tạm thời, có tính chất mò mẫm vì bất cứ điều gì có thể đưa đến một ý
đúng thì điều đó là chính đáng. Nhưng khi thực hiện chương trình chương trình
lời giải thì phải thay đổi quan điểm đó và chỉ thừa nhận những lí do quyết định

6
và chặt chẽ. Khi thực hiện lời giải phải nghiệm lại mọi chi tiết, không phải mọi
chi tiết của lời giải đưa ra đều đúng. Khi lập chương trình giải có thể tự do mò
mẫm bao nhiêu thì khi thực hiện lời giải ta phải nghiệm lại cẩn thận bấy nhiêu.
Ta phải trình bày lời giải có thứ tự, phải chú trọng tới các chi tiết của lời
giải, không được quên một chi tiết nào, phải hiểu sự liên hệ của mỗi chi tiết với
toàn bộ và sự liên hệ giữa các giai đoạn quan trọng với nhau.
* Bước 4: Nhìn lại bài toán và lời giải
Sau khi giải xong, chúng ta nên thực hiện:
+ Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ lời giải toán.
+ Suy nghĩ xem có những lời giải không? Lời giải đã được lựa chọn có
phải hay nhất không?
+ Từ những kết quả đã thu được tìm cách đề xuất những bài toán khác nhờ
tương tự, tổng quát hóa
1.1.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy hết tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần phải nắm vững
các yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắt tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như
vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng cô đọng. Để thuận lợi cho việc thực
hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể
cụ thể hóa các yêu cầu chi tiết.
i) Kết quả đúng kể cả bước chung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, 1biểu thức, 1hằng số, 1hình

vẽ thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả của các bước chung gian cũng phải
đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa đựng những sai lầm về tính toán, hình
vẽ, biến đổi biểu thức.
ii)Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cấu sau:
+ Lập luận phải nhất quán
+ Luận cứ phải đúng
+ Luận chứng phải hợp lôgic
3i)Lời giải phải đầy đủ
Yêu cầu này có ý nghĩa là lời giải không được bỏ xót một trường hợp nào,
một chi tiết cần thiết nào.

7
4i)Ngôn ngữ chính xác
Đây là yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc
dạy môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
5i)Trình bày rõ ràng đảm bảo mĩ thuật
Yêu cầu này đặt ra với các lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách xắp xếp các yếu
tố (chữ, số, hình vẽ, kí hiệu ) trong lời giải.
6i)Tìm ra nhiều cách giải , chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong số
các cách giải đã tìm được.
7i)Nghiên cứu giải các bài toán tương tự , mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là các yêu cầu cơ bản; 5i) là yêu cầu về mặt trình
bày; 6i),7i) là yêu cầu đề cao.
1.1.3. Khái niệm kĩ năng giải toán.
Trong lĩnh vực tâm lý học có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến kỹ
năng nhưng vẫn chưa có định nghĩa nào được sử dụng duy nhất. Có thể tóm
lược một số khái niệm về kỹ năng được sử dụng như sau:
+ Theo P.A. Rudich cho rằng: " Kĩ năng là động tác mà cơ sở của nó là sự
vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu để đạt được kết quả trong một hình

thức hoạt động cụ thể". Ở đây tác giả đã quan niệm kĩ năng là hoạt động vật
chất, hàm chỉ vận động vật chất cụ thể. Với quan niệm như vậy thuận lợi cho
việc hình thành những kỹ năng vận động, những thao tác kĩ thuật,
+ Quan niệm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc hay
việc thực hiện một hoạt đông nào đó một cách có chất lượng và hiệu quả theo
yêu cầu, theo mục đích xác định trong những điều kiện nhất định (thời gian,
phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn lực, ). Hoặc kĩ năng là khả năng
của con người thực hiện công việc một cách có hiệu quả và chất lượng trong một
khoảng thời gian thích hợp, trong những điều kiện nhất định dựa vào tri thức và
thói quen hình thành được.
Như vậy, quan niệm kĩ năng là quan niệm rộng hơn, không chỉ coi kĩ năng
đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác cụ thể mà bao gồm cả hành
động trí óc. Vấn đề kĩ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến, song về cơ bản
các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau. Các tác giả tùy theo cách nhìn chủ
quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh náy hay khía cạnh khác. Tuy nhiên, từ
những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kĩ năng một cách tổng quát như sau: kĩ
năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó

8
bằng cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để
hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn cho phép. Kỹ năng thể hiện
các thao tác tư duy, năng lực hành động và mặt kĩ thuật của hành động.
Để trở thành một người có kĩ năng về hành động nào đó phải:
+ Có tri thức về hành động bao gồm mục đích của hành động, các điều kiện
phương tiện để đạt mục đích, các cách thức thực hiện hành động.
+ Tiến hành hành động đúng với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
Tuy nhiên, muốn có kĩ năng thì phải tính đến một quá trình hình thành kĩ
năng, và để đạt được kết quả hành động cũng cần phải có sự rèn luyện, tập dượt

nhất định để đạt được mục đích đặt ra.
1.1.4. Đặc điểm của kĩ năng giải toán.
Trong vận dụng, ta thường chú ý đến đặc điểm của kỹ năng:
- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi
vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích-biết cách thức đi đến kết quả-
hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính, bản chất của đối tượng được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách của hành động.
- Kĩ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc đời
mà phụ thuộc vào người học thông qua chính hoạt động của họ trong mối quan
hệ của họ với người cộng đồng. Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh
gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức
đã lĩnh hội được để giải quyết những nhiệm vụ cụ thể.
Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bản chất
của đối tượng, từ đó phất hiện những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với
đối tượng đó. Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt
động nhận thức và như vậy khối kiến thức mà họ có là khô cứng không gắn với
tực tiễn, không biến thành cơ sở của kĩ năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những
thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật. Như vậy để tri
thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn

9
tri thức một cách đúng đắn và hợp lý. Nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản
ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu của hành động.
1.1.5. Kĩ năng thực hành giải bài tập
Trong toán học, "kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện chứng
minh cũng như phân tích, có thể phê phán các lời giải và chứng minh chưa nhận
được". Kĩ năng giải toán được hiểu là kỹ năng vận dụng các tri thức Toán học để

giải các bài tập Toán học (bằng suy luận, chứng minh, ).
+ Theo Polya: Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh
nhận được.
Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến
thức, kĩ năng, phương pháp). Sau khi nắm vững lí thuyết trong quá trình luyện
tập, củng cố kiến thức.
Trong toán học thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng
góp phần củng cố, cụ thể hóa kiến thức Toán học, hoạt động học tập môn Toán.
Kĩ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các
bước giải của một bài tập Toán học. Kĩ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và
thay đổi trong quá trình hoạt động.
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải
nắm vứng kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán. Tùy
theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu
rèn luyện kĩ năng tương ứng. Trong chương trình Toán phổ thông, cụ thể là khi
rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập về ba đường cônic ta có thể chỉ ra một
số kĩ năng sau:
+ Kĩ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái phải tìm.
+ Kĩ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc
lập, sáng tạo, ta không thể xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán vì nó có vai
trò quan trọng đối với học sinh trong việc thực hiện lời giải một bài toán, rất dẫn
đến sai lầm trong kết quả của bài toán và cuộc sống sau này. Kĩ năng này đòi hỏi
sự tỉ mỉ, cẩn thận, tính đúng, tính nhanh và tính hợp lý trong từng bước tính toán
của một lời giải.
+ Kĩ năng vận dụng các quy tắc, các phương trình chính tắc, phương trình
tiếp tuyến, của ba đường cônic. Về mặt kĩ năng này thì yêu cầu học sinh vận
dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.

10

+ Kĩ năng vận dụng các tri thức đã có vào giải các bài toán cụ thể về ba
đường cônic: Học sinh phải rèn luyện kĩ năng này trong quá trình họ tìm tòi lời
giải bài toán. Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài toán theo quy trình giải
toán của Polya gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung đề toán: Xây dựng chương trình
giải; Thực hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải.
+ Kĩ năng chứng minh Toán học, cụ thể khi giải các bài tập về ba đường
cônic là chứng minh một đường cong (C) là một đường cônic. Theo Hoàng
Chúng, để có kĩ năng chứng minh Toán học học sinh cần phải đạt được: Hình
thành động cơ chứng minh; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng
minh; Truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận.
+ Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều; là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và
vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của
Toán học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều
và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng
ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.
+ Kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn
luyện cho học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học sinh
phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước, phù hợp
với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có tính thẩm mĩ.
+ Kĩ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kĩ năng Toán học hóa
các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời
sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức Toán
học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm được thực
chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Toán học một cách hình thức.
+ Kĩ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên
quan đén sự tương ứng, những mối liên hệ, phụ thuộc giữa các phần tử của một
hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm đóng vai trò quan
trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Những hoạt động tư duy
hàm là: hoạt động phát triển và thiết lập sự tương ứng, hoạt động nghiên cứu

tương ứng.
+ Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm
khi giải toán: " Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của
mình" (Polya). Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm đó
của lời giải là một thành công của người học toán.

11
Trên thực tế, có nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầm khi
giải toán. Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát
hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích những
nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó. Qua đó học sinh cũng đã được rèn luyện thêm
về kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính
xác, hình thức sạch đẹp, Việc hình thành kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự
điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học nói chung cho học sinh giáo
viên cần thực hiện tốt các vấn đề sau:
+ Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hình thành giải bài tập toán học và
mức độ ở mỗi lớp, mỗi cấp học tương ứng.
+ Xác định hình thức giải bài tập toán học tương ứng chủ yếu cho học sinh
luyện tập kĩ năng giải các bài tập cơ bản bài tập tổng hợp.
+ Xác định sơ đồ định hướng khái quát các Angorit giải mỗi bài tập cơ bản
điển hình và bài tập cơ sở để hướng dẫn học sinh giải bài tập.
+ Hướng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải bài tập giúp học sinh
lắm được sơ đồ hướng dẫn giải bài tập toán học nói chung và mỗi bài tập cụ thể.
Sử dụng hình thức bài tập sau mỗi bài, mỗi chương giúp học sinh luyện tập
theo mẫu, không theo mẫu, thường xuyên và theo hình thức giải khác nhau.
1.2. Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng thực hành giải
Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, việc luyện tập này
có thể tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài
tập ở nhà.

Ví dụ: Để viết phương trình tiếp tuyến của ba đường cônic nói chúng ta có
2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Biết tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước nào đó.
Trường hợp 2: Biết một tính chất nào đó của tiếp tuyến (điểm này cho phép
ta xác định được dạng của phương trình tiếp tuyến, xác định được A, B, vấn đề
đặt ra là phải tìm C dựa vào điều kiện tiếp xúc).
* Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những yêu cầu của bài
tập được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập phải được xắp xếp
từ dễ tới khó giúp học sinh phát triển các kĩ năng từ thấp đến cao khác nhau.

12
* Luyện tập thường xuyên: Mỗi khái niệm được hình thành phải được học
sinh thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kĩ năng
trong tiết học, trong hoạt động học tập ở nhà.
* Luyện tập theo nhiếu hình thức giải các bài tập khác nhau:
Ngoài việc sử dụng đa dạng các bài tập toán học cần phối hợp nhiều loại
bài tập để có nhiều hình thức rèn luyện kĩ năng thực hành giải như:
- Giải bằng lời
- Giải dưới dạng viết
- Giải bằng thực nghiệm
1.3. Chức năng của bài tập toán học đối với việc rèn luyện kĩ năng thực
hành giải toán
Ở trường phổ thông, dạy toán là hoạt động toán học. đối với học sinh có thể
xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoat động toán học. Trong dạy học toán,
mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụ ý khác nhau, có thể dùng để tạo
tiền đề xuất phát, gợi động cơ, để làm việc với những nội dung mới, để củng cố
hoặc kiểm tra, liên hệ thực tiễn
Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập toán chứa đựng tường minh hay ẩn
tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức
năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều hướng tới việc

thực hiện các mục đích dạy học.
Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và
tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể
tức là có ý nói chức năng ấy được thể hiện ở một cách tường minh, công khai.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc
khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài toán
mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể
khám phá thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm của mình.
1.4. Ba đường cônic trong nhà trường phổ thông.
Trong chương trình môn toán lớp 10 ở tường trung học phổ thông, học sinh
được làm quen với các khái niệm về ba đường cônic. Những năm học trước
(2000-2001 đến 2006-2007) theo sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì nội dung
ba đường cônic được đưa vào giảng dạy ở lớp 12,còn hiện nay nội dung ba
đường cônic được đưa vào giảng dạy ở lớp 10 (chương III-chương cuối cùng
của sách giáo khoa hình học).

13
Qua điều tra quan sát và trao đổi với các thầy cô giáo dạy toán lớp 10, 12
và các em học sinh tôi nhận thấy rằng:
Số lượng tiết ít nhưng nội dung kiến thức và bài tập tương đối nhiều, đây
cũng là lượng kiến thức mới tương đối khó. Ngoài thời gian học trên lớp các em
không có thời gian nghiên cứu sâu, mở rộng khai thác ứng dụng nhiều chiều các
khái niệm, tính chất, việc chứng minh định lý có chỗ còn chưa triệt để sâu sắc
nhiều định lý còn chưa được chứng minh. Điều này hạn chế không nhỏ đến việc
huy động vốn kiến thức của học sinh, việc phát huy tính tích cực, độc lập suy
nghĩ của học sinh trong quá trình học tập.
Hệ thống bài tập sau mỗi phần nhằm khắc sâu ứng dụng ngay khái niệm,
định lý còn ít. Nên trong khi vận dụng những kiến thức đã cho vào việc giải
toán còn nhiều lúng túng, chưa rèn luyện đầy đủ, thành thạo về kỹ năng thực
hiện lời giải bài toán về ba đường cônic, chưa kích thích được sự ham mê tìm

tòi khám phá tri thức cho học sinh nên có thể dẫn tới tình trạng hời hợt không
sâu sắc vấn đề.
Ngoài ra, dựa vào các đặc điểm của các đường cônic người ta đưa ra một số
dạng bài toán về tìm quỹ tích các điểm, mà quỹ tích ấy có liên quan tới phương
trình chính tắc của ba đường cônic. Việc tìm quỹ tích bằng phương pháp này chỉ
là xác định mối liên hệ giữa các tọa độ của điểm quỹ tích thỏa mãn phương trình
của ba đường cônic. Do đó học sinh ngoài phải nắm chắc các kiến thức có liên
quan đến ba đường cônic còn phải quan sát các đậc điểm chuyển động để có thể
có những kết luận chính xác.
Trong thực trạng giải bài tập về ba đường cônic học sinh còn mắc nhiều sai
lầm khi viết phương trình chính tắc, xác định các yếu tố của ba đường cônic, các
bài toán có liên quan,
Để khắc phục phần nào tình trạng đó, chúng tôi thấy rằng: Các giáo viên
cần phải vận dụng tối đa giờ lên lớp, dạy thêm nội dung này trong các giờ ngoại
khóa, chuẩn bị một cách hệ thống bài tập mới bổ sung cho sách giáo khoa, phải
huy động mọi biện pháp để tạo ra môi trường hoạt động tích cực giúp học sinh
nắm vững kiến thức một cách cơ bản và vững chắc.
Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu nội dung này, chúng tôi nhận thấy
có một số thuận lợi và khó khăn sau:
- Những thuận lợi:
+ Cách trình bày, diễn đạt kiến thức của sách giáo khoa mới là tương đối dễ
hiểu, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh.

14
+ Số lượng bài toán là vừa phải không gây tình trạng quá tải với đa số mà
vẫn đảm bảo việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải bài tập.Tuy nhiên nó có
những khó khăn sau.
- Những khó khăn:
+ Đối với học sinh trung học phổ thông thì ba đường cônic là các kiến thức
mới và khó, lần đầu tiên học sinh đươc tiếp xúc vì thế không thể tránh khỏi

những bỡ ngỡ và lúng túng khi học nội dung này.
+ Số tiết dành cho chương trình còn hạn chế, nó bất cập với lượng kiến
thức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó, đặc
biệt là khi giải bài toán ở nội dung này.




















15
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN
NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI
CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CÔNIC
Từ những nghiên cứu ở chương I nội dung chương II nghiên cứu các biện
pháp áp dụng cho từng dạng toán nhằm rèn luyện khả năng thực hành giải các

bài tập về ba đường cônic cho học sinh lớp 10
2.1. Định hướng rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về ba đường cônic
Một số kiến thức cơ bản về ba đường cônic
* Đường Elip
+ Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định
21
,FF
với
 
02
21
 ccFF
và số
 
02 aa

Elip
 
E
là tập hợp các điểm
M
sao cho
aMFMF 2
21



   
aMFMFME 2:
21




21
,FF
gọi là các tiêu điểm, khoảng cách
cFF 2
21

gọi là tiêu cự của
 
E

+ Phương trình chính tắc của elip có dạng :

2
2
a
x
1
2
2

b
y

 
222
cba 

* Đường Hypebol
+ Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định
21
,FF
với
 
02
21
 ccFF
và số
 
02 aa

Hypebol
 
H
là tập hợp các điểm
M
sao cho
aMFMF 2||
21



   
aMFMFMH 2|:|
21


21
,FF
là các tiêu điểm, khoảng cách
cFF 2
21

gọi là tiêu cự của
 
H

+ Phương trình chính tắc của Hypebol

2
2
a
x
-
2
2
b
y

1

 
222
bac 

* Parabol
+ Định nghĩa: Cho điểm

F
cố định và một đường thẳng cố định

không
qua
F
. Parabol
 
P
là tập hợp các điểm
M
sao cho khoảng cách từ
M
đến
F

bằng khoảng cách từ
M
đến



    
 ;: MdMFMP


16
F
gọi là tiêu điểm,


là đường chuẩn,
 
0;  Mdp
gọi là tham số qua
tiêu của
 
P

+ Phương tình chính tắc của parapol:
 
02  ppxy

* Đường cônic
Ba đường cong elip, hypebol, parabol được gọi là 3 đường cônic. Chúng
được sinh ra khi cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng. Tùy theo vị trí của
mặt phẳng với mặt nón mà ta được giao là các đường elip, hypebol hay parabol.
Định nghĩa đường cônic
Cho điểm
F
cố định và đường thẳng

cố định không đi qua
F
. Tập hợp
các điểm
M
sao cho tỉ số
);( Md
MF
bằng một số dương e cho trước được gọi là

đường cônic.
Điểm
F
gọi là tiêu điểm,

gọi là đường chuẩn và
e
gọi là tâm sai của
đường cônic.
Elip là đường cônic có tâm sai
1e

Parabol là đường cônic có tâm sai
1e

Hypebol là đường cônic có tâm sai
1e

* Phương trình tiếp tuyến của ba đường cônic
a. Tiếp tuyến của elip
Cho elip có phương trình chính tắc
 
E
:
2
2
a
x



2
2
b
y

1

Phương trình tiếp tuyến của
 
E
tại
 
000
; yxM
là:

2
0
a
xx



2
0
b
yy

1

b. Tiếp tuyến của Hypebol
Cho Hypebol có phương trình
 
H
:
2
2
a
x
-
2
2
b
y

1
, điểm
 
000
; yxM
nằm trên nó
Phương trình tiếp tuyến của Hypebol đó tại điểm
0
M
là:

2
0
a

xx
-
2
0
b
yy

1



17
c. Tiếp tuyến của Parabol
Cho parabol có phương trình
pxy 2
2

,
 
000
;yxM
là một điểm của parabol
Phương trình tiếp tuyến của parabol tại
 
000
; yxM
là:

 
xxpyy 

00

Ví dụ : Cho đường thẳng

có phương trình :
0 CByAx
(1)
a) Đường thẳng

là tiếp tuyến của elip :
2
2
a
x


2
2
b
y
1

khi và chỉ khi:
 
0
22222
 CCBbAa

b) Đường thẳng


là tiếp tuyến của Hypebol:
2
2
a
x
-
2
2
b
y

1

khi và chỉ khi:
 
0
22222
 CCBbAa

c) Đường thẳng

là tiếp tuyến của parabol
pxy 2
2


khi và chỉ khi :
ACBp 2
22


Chứng minh :
a) Đường thẳng

là tiếp tuyến của
 
E
:
2
2
a
x
1
2
2

b
y
khi và chỉ khi có phương
trình:
2
0
a
xx
+
2
0
b
yy
- 1 = 0 (2)

Trong đó
 
00
; yx
là tọa độ của tiếp điểm
0
M
, nghĩa là :

2
2
0
a
x

1
2
2
0

b
y
(3)
Vì hai phương trình (1) và (2) đều là phương trình tổng quát của đường
thẳng

nên
 
CBA ;;
phải tỷ lệ với : (

2
0
a
x
;
2
0
b
y
;
1
)
Từ đó suy ra :










C
Bb
y
C
Aa
x
C

2
0
2
0
,0

Thay thế các giá trị này vào (3) ta có :
22
24
aC
Aa

1
22
24

bC
Bb
hay:

22222
CBbAa 

b) Chứng minh tương tự câu a)

18
c)

là tiếp tuyến của parabol:
pxy 2

2

khi và chỉ khi nó có phương trình:

0
0000
 pxyypxpxpxyy
(4)
Trong đó tọa độ
 
00
; yx
là tọa độ của tiếp điểm
0
M
,
tức là
00
2pxy 

(5)
Vì 2 phương trình (4) và (1) đều là phương trình tổng quát của


nên
 
CBA ;;
phải tỷ lệ với
 
00

;; pxyp 
do đó:

A
0
;
0
x

A
C

;

0
y
-
A
Bp

Thay
00
, yx

từ các đẳng thức trên vào (5) ta được :

ACpB 2
2


2.2. Biện pháp rèn luyện kỹ năng thực hành giải một số dạng bài tập về ba
đường cônic.
2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường rèn luyện kỹ năng vận dụng định nghĩa
của dạng chính tắc và các dạng biến đổi có liên quan để thực hành giải bài
tập về ba đường cônic với dạng: Xác định phương trình chính tắc và các
thuộc tính của ba đường cônic; dạng: Lập phương trình chính tắc của ba
đường cônic
a. Cơ sở lý luận
Nắm vững định nghĩa là nắm bản chất kiến thức. Hệ thống kiến thức xuất
phát từ định nghĩa. Sử dụng định nghĩa để giải bài tập xuất phát từ bản chất bài
toán phản ánh các nội dung khác nhau của kiến thức. Dịnh nghĩa là dạng cơ bản
nhất của môn học, khi không nắm chắc được hệ thống định nghĩa thì không thể
hiểu được nội dung và các kết quả khác của kiến thức từ định nghĩa

tính
chất

định lý

hệ quả

bài tập. Vận dụng định nghĩa là yêu cầu quan trọng
bậc nhất để hoàn thiện kiến thức.
Các kiến thức về ba đường cônic là hoàn toàn mới đối với học sinh nên
học sinh hay gặp khó khăn khi làm các bài tập đặc biệt là khi áp dụng lý thuyết
vào thực hành. Học sinh chỉ có thể xác định chính xác và viết được phương
trình chính tắc của các đường cônic khi nắm vững các kiến thức như: định
nghĩa, phương trình chính tắc, dấu hiệu nhận biết, tâm sai, tiêu cự của từng
đường cônic.
Khi hướng dẫn học sinh thực hành giải các bài tập về ba đường cônic cần

rèn luyện cho học sinh xác định chính xác dạng chính tắc của đường cônic, các

19
thuộc tính của chúng: tâm sai, tiêu cự, đường chuẩn điểm khác biệt giữa elip,
parabol, hypebol là gì? ; các mối quan hệ của chúng.
Dự kiến các sai lầm đối với dạng bài tập này là:
- Kiến thức chưa vững dẫn đến sai lầm về các dạng chính tắc, dấu hiệu
nhận biết của ba đường cônic.
- Sai lầm trong xác định a, b.
b. Ý nghĩa mục đích của biện pháp
Biện pháp đưa ra nhằm tăng cường khả năng nhận thức, sử lý tình huống,
khắc sau kiến thức từ việc luyện tập thành thạo các bài tập mang tính chất củng
cố lý thuyết.
Như vậy các kĩ năng thực hành giải có thể rèn luyện cho học sinh khi áp
dụng biện pháp này là:
+ Xác định dấu hiệu riêng qua ngôn ngữ của bài toán: Kĩ năng xác định a,
b, c
+ Kĩ năng thao tác biểu diễn kết quả suy nghĩ.
+ Kĩ năng chuyển hóa quan hệ.
+ Kĩ năng biểu diễn kết quả các quan hệ đã cho.
c. Tổ chức thực hiện
Biện pháp được áp dụng chủ yếu trên 2 dạng toán sau:
+ Dạng: Phương trình chính tắc và các thuộc tính của ba đường cônic.
Bài toán 1: Phương trình chính tắc và các thuộc tính của
 
E

Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu của
 

E
về dạng chính tắc

 
E
:
2
2
a
x

1
2
2

b
y

Bước 2: Xét các khả năng:
* Khả năng 1: Nếu
ba 
, ta được: B
2
M
O là tâm đối xứng.

Ox, Oy là các trục đối xứng A
1
A
2

Trục lớn
aAA 2
21

nằm trên Ox

B
1
F
1
F
2

20
Trục bé
bBB 2
21

nằm trên Oy

Các đỉnh:
   
0;,0;
21
aAaA 
;
   
bBbB ;0,;0
21



Hai tiêu điểm:
   
0;,0;
21
cFcF 
với
222
bac 

Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở:
byax  ,

Bán kính qua tiêu của điểm
   
EyxM
MM
;


MM
MM
x
a
c
aexaMF
x
a
c

aexaMF


2
1

Tâm sai
a
c
e 
.
* Khả năng 2: Nếu
ba 
, ta được:
+ (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng
b2
chứa hai tiêu điểm

   
cFcF ;0,;0
21

với
222
abc 

+ (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng
a2
.
+ Tâm sai

b
c
e 
.
Chú ý: Trong trường hợp phương trình của elip có dạng

 
:E

2
2
)(
a
x


1
)(
2
2



b
y


ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy theo vectơ
IO


với I(
);


thành hệ trục IXY với công thức đổi trục:















Yy
Xx
yY
xX
ta được
 
E
:
2
2

a
X
1
2
2

b
Y
từ đó chỉ ra các thuộc tính của
 
E
trong hệ trục IXY rồi suy ra
các thuộc tính của
 
E
trong hệ trục Oxy.
Bài toán 2: Phương trình chính tắc và các thuộc tính của
 
H

Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu của
 
H
về dạng chính tắc

 
H
:
2

2
a
x
-
2
2
b
y
=
1