25 bài giảng tự luận giá trị lượng giác của góc anpha bất kỳ đáp án chi tiết (1)

Toán trắc nghiệm

BÀI GIẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

Bài GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ
Dạng tốn 1.: Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
 Phương pháp giải:
 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.
 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt .
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
 Sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ.
Lưu ý


Câu 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135 .

Lời giải tham khảo
Ta có Ta có

sin 135  sin(450  90 0 ) cos 45 0 

cos135 cos(45 0  90 0 )  sin 450 

2
2

2
2

 tan 135  1 ; cot 135   1 .



1.1 Tính giá trị của cos 30  sin 60



1.2 Tính giá trị của tan 45  cot135
Lời giải

Lời giải

tan 45  cot 135 tan 45  cot(45  900 )

3
3
cos 30  sin 60 

 3
2
2

tan 45  tan 450
0

Tính giá trị của
1.3
A 2 sin 30   cos120   3 tan135 
Lời giải
Tacó





A 2 sin 30  cos120  3 tan135

1.4 Tính giá trị của
C sin 2 45  2sin 2 50   3cos 2 45   2sin 2 40   4 tan 55 .tan 35 
Lời giải

C sin 2 45   2 sin 2 50   3cos 2 45   2 sin 2 40 



4 tan 55 .tan 35 
Tacó
 sin 2 45  3cos 2 45   2 sin 2 50   sin 2 40   4 tan 55  .cot 55

2sin 300  cos(300  900 )  3 tan(450  900 )
0

0

2sin 30  cos 30  3tan 45



0

2



2

 2
 2
2

2


  3
  2 sin 50  cos 50  4
 2 
 2 




1 3
   2  4 4
2 2
.



1 1
7
2.   3 
2 2

2.



Lưu ý

0
0
0
0
Câu 2.Tính giá trị của A cos1  cos 2  cos 3  ...  cos180

Lời giải tham khảo



0

0

 

0





A  cos1  cos179  cos 2  cos178 0  ...  cos 89 0  cos 910



 cos 900  cos180 0
0  0  ...  0  0  1  1 .
Số điện thoại : 0982290382

Facebook:Nguyen

Ha

Trang -1-


Toán trắc nghiệm

BÀI GIẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KỲ

2.1 . Tính giá trị của

B sin 2 50  sin 2 10 0  sin 2 150  ...  sin 2 90 0
Lời giải



 



B  sin 2 50  sin 2 850  sin 2 100  sin 2 800  ... 

2.2 Tính giá trị của
C tan1 tan 2 tan 3 ...tan 88 tan 89
Lời giải
C  tan1 .tan 89  .  tan 2 .tan 88  ...

.  tan 44 .tan 46  .tan 45
 sin 40  sin 50   sin 45
B  sin 5  sin 85    sin 10  sin 80   ... 
 sin 40  sin 50   sin 45  sin 90
 sin 5  cos 5    sin 10  cos 10   ... 
 sin 40  cos 40   sin 45  sin 90
2

0

2

2

2

2

0

0

2

0

2

2

0

2

2

0

2

0





0

0

0

2

0

2

0

0

2

0

2

0

2

2

1

0



2

2



0



1
19
1  1  ...  1   1 
2
2
2.3 Tính giá trị của
D sin 2 2  sin 2 4  sin 2 6  ... 

2.4. Tính giá trị của
B = cos00 + cos200 + cos400 + ... + cos1600 + cos1800
Lời giải
B = ( cos00 + cos1800 ) + ( cos200 + cos1600 ) + ... +

 sin 2 84  sin 2 86  sin 2 88
Lời giải

+( cos800 + cos1000 )

D sin 2 2  sin 2 4  sin 2 6  ... 

= ( cos00 - cos00 ) + ( cos200 - cos200 ) + ... +

 sin 2 84  sin 2 86  sin 2 88
 sin 2 2  sin 2 88    sin 2 4  sin 2 86   ... 

+( cos800 - cos800 )
=0

  sin 2 44  sin 2 46 
 sin 2 2  cos 2 2    sin 2 4  cos 2 4   ... 
  sin 2 44  cos 2 44  22

.

Dạng toán 2: Chứng minh các hệ thức về lượng giác.
 Phương pháp giải:
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
 Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .

Lưu ý

4
4
2
2
Câu 1.Chứng minh rằng sin x  cos x 1  2 sin x.cos x

Lời giải tham khảo
4

4

4

4
2
2
2
2
Ta có sin x  cos x sin x  cos x  2 sin x cos x  2 sin x cos x





2

 sin 2 x  cos 2 x  2 sin 2 x cos 2 x
1  2 sin 2 x cos 2 x
6
6
2
2
1.1 Chứng minh rằng sin x  cos x 1  3sin x cos x
Lời giải

sin 6 x  cos6 x
Số điện thoại : 0982290382

Facebook:Nguyen

Ha

1.2 Chứng minh rằng

tan2 x  sin2 x tan 2 x sin2 x.
Lời giải
Trang -2-


Toán trắc nghiệm

BÀI GIẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

3



 

 sin 2 x  cos 2 x



 sin 2 x  cos 2 x



3



3

Ta có:



1
 1)
cos 2 x
sin 2 x.tan 2 x
1.4 Chứng minh rằng
cosx + sin x
= tan3 x + tan2 x + tan x + 1
3
cos x
Lời giải
cosx + sin x
1
sin x
=
+
3
2
cos x
cos x cos3 x
= tan2 x + 1 + tan x ( tan2 x + 1)

1 + cot x
tan x + 1
=
tan x - 1
1.3 Chứng minh rằng 1 - cot x

Lời giải
1
t anx
1
1tan x

1+

= tan3 x + tan2 x + tan x + 1

tan x + 1
tan x + 1
= t anx =
tan x - 1
tan x - 1
tan x

A

Câu 2.Rút gọn các biểu thức

sin 2 x
 sin 2 x
cos 2 x

sin 2 x(



 3 sin 2 x  cos 2 x .sin 2 x.cos 2 x

1  3 sin 2 x.cos 2 x

1 + cot x
=
1 - cot x

tan 2 x  sin 2 x 

Lưu ý

1  cos x 1  cos x 4 cot x


1  cos x 1  cos x sin x

Lời giải tham khảo
2

 1  cos x    1  cos x 
A
2

2



4 cos x 4 cos x 4 cos x



0
sin 2 x sin 2 x sin 2 x

1  cos x
2.1 Rút gọn các biểu thức
B sin 6 x  cos6 x  2 sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x
Lời giải

B sin 6 x  sin 4 x  cos 6 x  cos 4 x  sin 4 x  sin 2 x
 sin 4 x 1  sin 2 x  cos 4 x 1  cos 2 x  sin 2 x 1  sin 2 x











 sin 4 x.cos 2 x  cos 4 x.sin 2 x  sin 2 x.cos 2 x
 sin 2 x.cos 2 x sin 2 x  cos 2 x  1 0
.







2.2 Rút gọn các biểu thức
sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x
C 2
cos x  sin 2 x  sin 4 x
Lời giải
C





x  1  sin x 

sin 2 x  cos 2 x 1  cos 2 x
2

cos x  sin

2

2

sin 2 x  cos 2 x.sin 2 x
cos 2 x  sin 2 x.cos 2 x
sin 2 x 1  cos 2 x
cos 2




x  1  sin x 
2

sin 4 x
tan 4 x
4
. cos x


2.4 Rút gọn biểu thức
2

1  cos x   1  cos x 
E
 1
sin x  sin 2 x



Lời giải

2.3 Rút gọn biểu thức
D

cos 2 x
sin 2 x

 sin x cos x
1  tan x 1  cot x

Lời giải
Số điện thoại : 0982290382

Facebook:Nguyen

Ha

Trang -3-


Toán trắc nghiệm

BÀI GIẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

cos 2 x
sin 2 x

 sin x cos x
sin x
cos x
1
1
cos x
sin x
3
cos x
sin 3 x



 sin x.cos x
cos x  sin x sin x  cos x
cos 3 x  sin 3 x

 sin x.cos x
cos x  sin x
cos 2 x  cos x.sin x  sin 2 x  sin x.cos x

2

1  cos x   1  cos x 

E

1
sin x  1  cos 2 x



1  cos x  1  cos x 

1
sin x  1  cos x 
1  cos x 2 cos x

.
sin x 1  cos x
2 cot x.

D

1
2.5 Rút gọn các biểu thức
F sin 2 x tan 2 x  4 sin 2 x  tan 2 x  3 cos 2 x
Lời giải







F sin 2 x tan 2 x  1  tan 2 x  3 sin 2 x  cos 2 x



tan 2 x  tan 2 x  3 3 .


Câu 3.Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

P =

Lưu ý

sin4 x + 6cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x
Lời giải tham khảo

P =

( 1-

( 1-

2

cos2 x ) + 6cos2 x + 3cos4 x +
2

sin2 x ) + 6sin2 x + 3sin4 x

=

4cos4 x + 4cos2 x + 1 + 4sin4 x + 4sin2 x + 1

=

( 2cos2 x + 1)

2

+

( 2sin2 x + 1)

2

= 2cos2 x + 1 + 2sin2 x + 1
=4
3.1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

A = (tanx+ cotx)2 - (tanx- cotx)2
Lời giải
Ta có
A tan 2 x  cot 2 x  2 tan x.cot x

B = 2(sin6 x + cos6x) - 3(sin4 x + cos4x)
Lời giải
B 2  (sin 2 x  cos 2 x)3  3sin 2 x.cos 2 x 
.
-

 (tan 2 x  cot 2 x  2 tan x.cot x)
4 tan x.cot x
4

 3  (sin 2 x  cos 2 x) 2  2sin 2 x.cos 2 x 

 1

3.3 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

Số điện thoại : 0982290382

Facebook:Nguyen

3.2 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc
vào biến x

Ha

3.4 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc

Trang -4-


Toán trắc nghiệm

BÀI GIẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

C = cot2 300(sin8 x - cos8x) + 4cos600(cos6 x - sin6x)
- sin6(900 - x)( tan2 x - 1)

3

vào biến x

C 3(sin 4 x  cos 4 x)(sin 4 x  cos 4 x)

D = (sin 4 x + cos 4 x - 1)(tan 2 x + cot 2 x + 2)
Lời giải
D  2sin 2 x.cos 2 x.  (tan x  cot x) 2  2 tan x.cot x  2 

2(sin 2 x  cos 2 x)(sin 4 x  sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x)

 2sin 2 x.cos 2 x.

Lời giải

sin 2 x

 1)3
cos 2 x
 3.cos 2 x .(1  2sin 2 x.cos 2 x)

(sin 2 x  cos 2 x) 2
sin 2 x.cos 2 x

 2

 cos6 x(

2 cos 2x(1  sin 2 x.cos 2 x)  cos 3 2x

cos 2x( 3  6sin 2 x cos 2 x  2  2 sin 2 x cos 2 x)  cos 3 2x

cos 2x( 1  sin 2 2x)  cos 3 2x
 cos3 2x  cos 3 2x 0
3.5 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
E =

sin 4 x + 3cos 4 x - 1
sin 6 x + cos6 x + 3cos 4 x - 1

Lời giải

E

(sin 4 x  1)  3cos 4 x
(sin 6 x  cos 6 x)  3cos 4 x  1

 cos 2 x(sin 2 x  1)  3cos 4 x

1  3sin 2 x.cos 2 x  3cos 4 x  1

cos 2 x(3cos 2 x  1  sin 2 x)

3cos 2 x(cos 2 x  sin 2 x)


2 cos 2 x  1  cos 2 x  sin 2 x
3.cos 2x



2
3

Dạng toán 3.Cho biết một giá trị lượng giác tính GTLG cịn lại của góc đó.
 Phương pháp giải:
 Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
 Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

1
sin  
3 với 900 < a < 1800 . Tính cos  và tan 
Câu 1.Cho
Số điện thoại : 0982290382

Facebook:Nguyen

Ha

Lưu ý

Trang -5-


Tốn trắc nghiệm

0

Vì 90 < a < 180

BÀI GIẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

0

Lời giải tham khảo
2
2
nên cos   0 mặt khác sin   cos  1 suy ra

cos   1  sin 2   1 

1
2 2

9
3

1
sin 
1
tan  
 3 
cos 
2 2
2 2

3
Do đó
2
cos  
3 với 900 < a < 1800 . Tính sin  và
1.1 Cho
cot 
Lời giải

sin 2   cos 2  1

Vì

sin   1  cos 2   1 

nên

4
5


9
3 và

2

cos 
2
cot  
 3 
sin 
5
5
3
1.3 Cho tan   2 2 tính giá trị lượng giác cịn lại.
Lời giải
Vì

tan   2 2  0  cos   0

mặt

1
tan 2   1  2
cos 
1
1
1
cos  



2
8 1
3
tan  1
nên
Ta có

1.2 Tính các giá trị lượng giác cịn lại của góc
3
cos  
0
0
 biết 90 < a < 180 và
5.
Lời giải
9
4

25 5 ,
Tacó
sin 
4
3
tan  
 ,cot  
cos 
3
4.
sin   1  cos 2   1 

1.4 Tính các giá trị lượng giác cịn lại của góc
 biết cot  2 .
Lời giải
1
1
tan  
 ;
khác
cot  2
1
1
sin  

,
2
1  cot 
5
2
cos  cot  .sin  
5

 1 2 2
sin 
 sin  tan  .cos   2 2.    
cos 
3
 3
1

cos 

1
 cot  
 3 
sin  2 2
2 2
tan  

3

Câu 2.Cho

cos  

3
tan   3 cot 
A


4 với 0    90 . Tính
tan   cot 

Lưu ý

Lời giải tham khảo
Số điện thoại : 0982290382

Facebook:Nguyen

Ha

Trang -6-


Toán trắc nghiệm

BÀI GIẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

1
1
2
2
tan


3
tan  
cos 2 
A

1  2 cos 2 
2
1
1
tan   1
tan  
tan

cos 2 
Ta có
9 17

A 1  2. 
16 8
Suy ra
tan   3

cos  

2.1 Cho biết
cot   3 tan 
E
2 cott  an 
Lời giải

2.2 Tính giá trị của biểu thức
2 sin  .cos   3
A
sin 2   1
biết tan   2 .
Lời giải
2 sin  .cos 
3

2
cos 2 
A  cos2 
sin 
1

2
cos  cos 2 

2 tan   3  3 tan 2  9


5
2 tan 2   1
.

2
3 . Tính giá trị của biểu thức

cot   3 tan  1  3 tan 2 

2 cott  an 
2  tan 2 
3
4
4  3 tan 2   1
2
4 cos 2   3
11
cos





2
2
1
3

3 cos   1
3  1  tan 
3
2
cos 
E









tan   2, 00    180 0.
Cho
biết
sin   cos 
B
.
sin3   3 cos3   2sin 

2.3

Tính

Lời giải
B





sin   cos 
sin3   3 cos3   2sin 
sin   cos 

cos3 
sin3   3 cos3   2sin 

1
3 . Tính giá trị của biểu thức
2.4 Cho
3 sin   4 cos 
A
2 sin   5 cos 
Lời giải
3 sin   4 sin  .cot 
A
2 sin   5 sin  .cot 
3  4 cot 

2  5cot 
13
cot  

cos3 
tan3   tan 2   tan   1

2 tan3   2 tan   4
3( 2  1)

.
6 2 4

cot  5 .
2.5. Cho biết
2
E 2 cos   5 sin  cos   1

Tính

giá

trị

của

Lời giải

1 
E sin 2   2 cot 2   5 cot  

sin 2  

có:

Ta



1
2 cot 2   5 cot   1  cot 2 
cot   1
2



Số điện thoại : 0982290382

Facebook:Nguyen

Ha


Trang -7-


Toán trắc nghiệm

BÀI GIẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ



1
101
3 cot 2   5 cot   1 
26 .
cot   1



2



2
2
Câu 3.Cho tan   cot  2 tính tan   cot 

Lưu ý

Lời giải tham khảo
2

tan 2   cott2   an  cot    2 tan .cot  2 2  2 2
3.2 Cho biết tan a  cot a m. Tính giá trị biểu
2
2
thức P tan a  cot a.
Lời giải
tan a  cot a m

3.1 Biết tan a  cot a 3. Tính giá trị biểu thức

P  tan 4 a  cot 4 a .
Lời giải

tan a  cot a 3  tan 2 a  cot 2 a 11

2

 tan 2 a  cot 2 a  2 tan a cot a m 2

2

 tan a  2 tan a cot a  cot a 13

2
2
2
.  tan a  cot a m  2

 tan a  cot a  13.

P  tan 4 a  cot 4 a
 (tan 2 a  cot 2 a)(tan a  cot a)(tan a  cot a)
11.3. 13 33 13.
sin x  cos x m. Tính giá trị biểu
3.3 Cho biết sin x  cos x m. Tính giá trị biểu thức 3.4 Cho biết4
4
P sin x cos x.
thức P sin x  cos x.
Lời giải
Lời giải
P sin 4 x  cos4 x (sin 2 x  cos 2 x)2  2 sin 2 x cos 2 x
sin x  cos x m.
2
 (sin x  cos x)2  1 
 sin 2 x  cos 2 x  2 sin x.cosx m 2

1  2 

2
2


m 1
 s inx.cosx 
2
4
1  2m  m
2

.
2

Số điện thoại : 0982290382

Facebook:Nguyen

Ha

Trang -8-