067 đề hsg toán 6 cánh diều nho quan 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHO QUAN
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN 6 _ NĂM HỌC 2022-2023
Câu 1. (5,0 điểm)
1) Thực hiện phép tính :
A 53.39  47.39  53.21  47.21
113113
B 113113.114  114114.113 
114114

2) Cho các biểu thức :
12 22 32 42
992
1
1
1
1
D .
.
.
......
C 

 .... 
1.2 2.3 3.4
99.100 và
1.2 2.3 3.4 4.5
99.100
2

2

C  1
Tính C và D . So sánh 
với D
Câu 2. (4,0 điểm)

1 x 1


1) Tìm các số tự nhiên x biết 5 30 4
12
2) Cho phân số 17 . Biết rằng nếu cộng cả tử và mẫu của phân số đã cho với cùng một số tự
4
nhiên n thì ta được phân số mới có giá trị bằng 5 . Tìm số tự nhiên n
2
y

3) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện 2 x  1 4

Câu 3. (4,0 điểm)
2
3
4
100
1) Cho E 5  5  5  5  .....  5 . Tìm số dư khi chia E cho 6
n n  2   n  7  3
2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì 
3) Tìm số nguyên tố nhỏ hơn 200, biết rằng khi chia số đó cho 60 thì số dư là hợp số
Câu 4. (5,5 điểm)
1) Cho đoạn thẳng MN 10cm . Lấy điểm P trên đoạn thẳng MN sao cho MP 2cm
a) Tính độ dài đoạn thẳng PN

b) Lấy điểm Q bất kỳ trên đoạn thẳng PN (Q không trùng với P và N). Gọi A và B lần
lượt là trung điểm của các đoạn thẳng PQ và QN. Tính độ dài đoạn thẳng AB




2) Cho xOy 60 . Vẽ yOz kề bù với xOy . Gọi Om là tia phân giác của yOz . Chứng tỏ rằng

tia Oy là tia phân giác của xOm
Câu 5. (1,5 điểm)
a  a  1
bc  b  c 

1) Cho a, b, c là các số tự nhiên khác 0. Chứng tỏ rằng
chưa tối giản
2) Tìm ba số tự nhiên khác nhau có tổng các nghịch đảo của chúng bằng 1.


ĐÁP ÁN
Câu 1. (5,0 điểm)
3) Thực hiện phép tính :
A 53.39  47.39  53.21  47.21 39.  53  47   21.  53  47  3900  2100 1800
113113
114114
113.1001 113
113.114.1001  113.114.1001 

114.1001 114
B 113113.114  114114.113 

4) Cho các biểu thức :
12 22 32 42
992
1
1
1
1
D .
.
.
......
C 

 .... 
1.2 2.3 3.4
99.100 và
1.2 2.3 3.4 4.5
99.100
2

2
C  1
Tính C và D . So sánh 
với D

1 1 1
1
1
1
99

   ....  
1 

2 2 3
99 100
100 100
2
2
2
2
2
 1.2.3...99  .  1.2.3....99   1
1 2 3 4
99
D .
.
.
......

1.2 2.3 3.4 4.5
99.100 (1.2.3....99).(2.3....100) 100

C 1 

2

2

2

1

  1   1 
2
(C  1)  1 
 1  
 
 D
 100   100   100 
2

Câu 2. (4,0 điểm)
1 x 1


4) Tìm các số tự nhiên x biết 5 30 4
1 x 1
12 2 x 15

 


 2 x 14  x 7
5 30 4
60 60 60
12
5) Cho phân số 17 . Biết rằng nếu cộng cả tử và mẫu của phân số đã cho với cùng một
4
số tự nhiên n thì ta được phân số mới có giá trị bằng 5 . Tìm số tự nhiên n

Theo đề bài ta có :
12  n 4
  5  12  n  4.  17  n   60  5n 68  4 n  n 8
17  n 5
2
y

6) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện 2 x  1 4


2
y
  y  2 x  1 8 8.1  8.  1(do 2 x  1le ~)
2 x 1 4
y
8
8
2 x 1

1

1

x

0

1

  x; y     0;8  ;   1;  8  

Câu 3. (4,0 điểm)
2
3
4
100
4) Cho E 5  5  5  5  .....  5 . Tìm số dư khi chia E cho 6
E 5  52  53  54  .....  5100 5.  1  5   53.  1  5   .....  599.  1  5 
6.  5  53  ....  599  6  E 6

n n  2   n  7  3

5) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì 
Xét các trường hợp : n 3k ; n 3k  1; n 3k  2, k  N
n 3k  n3  n  n  2   n  7  3
n 3k  1  n  2 4 3k  33  n  n  2   n  7  3
n 3k  2  n  7 3k  93  n  n  2   n  7  3

n n  2 n  7 3



Vậy với mọi n thì 
6) Tìm số nguyên tố nhỏ hơn 200, biết rằng khi chia số đó cho 60 thì số dư là hợp số
Gọi p là số ngun tố cần tìm. Ta có :
p 60k  r 22.3.5.k  r , k , r  N ;0  r  60 và r là hợp số

Do p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2;3;5
Chọn các hợp số nhỏ hơn 60, loại đi các số chia hết cho 2,3,5, ta được r 49
 p 169 132 ( ktm)

p 60k  49,do p  200  
 p 109
Suy ra

Câu 4. (5,5 điểm)
3) Cho đoạn thẳng MN 10cm . Lấy điểm P trên đoạn thẳng MN sao cho MP 2cm

M

P

A Q

B

N

c) Tính độ dài đoạn thẳng PN
Vì P thuộc đoạn MN nên P nằm giữa M và N
Suy ra MP  PN MN hay 2  PN 10  PN 8cm
d) Lấy điểm Q bất kỳ trên đoạn thẳng PN (Q không trùng với P và N). Gọi A và B
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng PQ và QN. Tính độ dài đoạn thẳng
AB
1
AQ  PQ  1
2
Do A là trung điểm của PQ nên


1

BQ  QN  2 
2
Do B là trung điểm của NQ nên
Ta có PA  PQ  PB và các điểm A, Q, B nằm cùng phía đối với điểm P nên Q nằm giữa A và B.

Suy ra AQ  QB  AB , kết hợp (1) và (2) ta có :
1
1
1
1
AB  AQ  QB  PQ  QN   PQ  QN   PN 4cm
2
2
2
2

yOz

xOy
60
xOy

4) Cho

. Vẽ

kề bù với


. Gọi Om là tia phân giác của yOz . Chứng tỏ


rằng tia Oy là tia phân giác của xOm

y

m

60°
O

z

x







Do xOy và yOz là hai góc kề bù nên xOy  yOz 180  yOz 180  xOy 180  60 120
1
1
yOz  mOz


mOy
 yOz  .120 60
2

2
Vì Om là tia phân giác của




xOm
180  mOz
180  60 120  xOy
 xOm

Tính được

Suy ra tia Oy nằm giữa hai tia

Ox, Om  3

, mà


xOy
 yOm 60  4 


Từ (3) và (4) suy ra tia Oy là phân giác của xOm
Câu 5. (1,5 điểm)

3) Cho a, b, c là các số tự nhiên khác 0. Chứng tỏ rằng

a  a  1

bc  b  c 

chưa tối giản

a a  1 2  1
Vì a và a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên 
. Mặt khác

Trong hai số b, c nếu có 1 số chẵn thì bc(b  c) 2


bc b  c  2
Hai số b, c cùng lẻ thì 

Do vậy

bc  b  c  2

với mọi số tự nhiên b,c khác 0 (2)
a  a  1
bc  b  c 

Từ (1) và (2) suy ra
chưa tối giản
4) Tìm ba số tự nhiên khác nhau có tổng các nghịch đảo của chúng bằng 1.
1 1 1
  1 1
a
,
b

,
c
Gọi
là ba số tự nhiên cần tìm. Giả sử 1 a  b  c . Ta có a b c
1 1 1
1 1
1
     a  3. ma`  1  a  1  a 2
a
Vì a b c a 3
. Thay vào (1) ta được :
1 1 1
   2
b c 2
Lại tìm khoảng giá trị của b ta được 2  b  4  b 3  c 6
1 1 1
  1
Vậy 2 3 6