Chuyên đề tích phân luyện thi đại học

Trang 78
1. Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
'( ) ( )
F x f x
=
, "x Î K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
( ) ( )
f x dx F x C=
+
ò
, C Î R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· '( ) ( )
f x dx f x C=
+
ò
·
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
ò ò ò

·
( ) ( ) ( 0)
kf x dx k f x dx k
= ¹

ò ò

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ( ) ( )
f u du F u C=
+
ò
và
( )
u u x=
có đạo hàm liên tục thì:
[
]
[
]
( ) . '( ) ( )
f u x u x dx F u x C
= +
ò

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv uv vdu
= -
ò ò
CH
ƯƠ
NG III

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
· 0
dx C=
ò

·
dx x C= +
ò

·
1
, ( 1)
1
x
x dx C
+
= + ¹ -
+
ò
a
a
a
a

·
1
ln
dx x C
x

= +
ò

·
x x
e dx e C= +
ò

·
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ¹
ò

· cos sin
xdx x C=
+
ò

· sin cos
xdx x C= -
+
ò

·

2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
ò

·
2
1
cot
sin
dx x C
x
= - +
ò

·
1
cos( ) sin( ) ( 0)
ax b dx ax b C a
a
+ = + + ¹
ò

·
1
sin( ) cos( ) ( 0)

ax b dx ax b C a
a
+ = - + + ¹
ò

·
1
, ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
+ +
= + ¹
ò

·
1 1
ln
dx ax b C
ax b a
= + +
+
ò

HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 79
VN 1: Tớnh nguyờn hm bng cỏch s d n g b ng nguyờn hm
Bin i b i u thc hm s s dng c b ng cỏc nguyờn hm c bn.
Chỳ ý: s dng phng phỏp ny cn ph i:

Nm vng bng cỏc nguyờn hm.
Nm vng phộp tớnh vi phõn.
Baứi 1. Tỡm nguyờn hm ca cỏc hm s sau:
a)
2
1
( ) 3f x x x
x
= +
b )
4
2
2 3
( )
x
f x
x
+
= c)
2
1
( )
x
f x
x
-
=
d)
2 2
2

( 1 )
( )
x
f x
x
-
= e)
3 4
( )
f x x x x
= + + f )
3
1 2
( )f x
x x
= -

g)
2
( ) 2sin
2
x
f x = h )
2
( ) tan
f x x
= i )
2
( ) cos
f x x

=
k)
2 2
1
( )
si n .cos
f x
x x
= l )
2 2
cos2
( )
si n .cos
x
f x
x x
= m )
( ) 2sin3 cos2
f x x x
=
n )
(
)
( ) 1
x x
f x e e= o)
2
( ) 2
c o s
x

x
e
f x e
x
-
ổ ử
= +
ỗỗỗ ữữữ
ố ứ
p)
3 1
( )
x
f x e
+
=
Baứi 2. Tỡm nguyờn hm F( x ) ca hm s f(x) tho i u kin c h o t r c:
a)
3
( ) 4 5 ; ( 1 ) 3
f x x x F
= - + =
b )
( ) 3 5cos ; ( ) 2
f x x F
= - =
p

c)
2

3 5
( ) ; ( ) 1
x
f x Fe
x
-
= =
d)
2
1 3
( ) ; ( 1 )
2
x
f x F
x
+
= =
e)
3
2
1
( )= ; ( 2) 0
x
f x F
x
-
- =
f )
1
( ) ; ( 1 ) 2

f x x x F
x
= + =-
g)
( ) sin 2 .cos ; ' 0
3
f x x x F
ổ ử
= =
ỗ ữ
ố ứ
p
h )
4 3
2
3 2 5
( ) ; ( 1 ) 2
x x
f x F
x
- +
= =
i )
x x x
f x F
x
3 2
2
3 3 7
( ) ; (0) 8

( 1 )
+ + -
= =
+
k)
x
f x F
2
( ) sin ;
2 2 4
p p
ổ ử
= =
ỗ ữ
ố ứ

Baứi 3. Cho hm s g(x). Tỡm nguyờn hm F(x) ca hm s f(x) tho i u kin c h o t r c:
a)
2
( ) cos ; ( ) sin ; 3
2
g x x x x f x x x F
ổ ử
= + = =
ỗ ữ
ố ứ
p

b )
2

( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0
g x x x x f x x x F
= + = =
p

c)
2
( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2
g x x x x f x x F
= + = =-
Baứi 4. Chn g m i n h F ( x ) l mt nguyờn hm ca hm s f(x):
a)
( ) (4 5)
( ) (4 1 )
x
x
F x x e
f x x e
ỡ
ù
= -
ớ
= -
ù
ợ
b)
4
5 3
( ) tan 3 5
( ) 4 tan 4 tan 3

F x x x
f x x x
ỡ
ù
= + -
ớ
= + +
ù
ợ

c)
2
2
2 2
4
( ) ln
3
2
( )
( 4)( 3)
x
Fx
x
x
f x
x x
ỡ
ổ ử
+
ù =

ỗỗỗ ữữữ
ù
+
ố ứ
ớ
-
ù
=
ù
+ +
ợ
d)
2
2
2
4
2 1
( ) ln
2 1
2 2(
1 )
( )
1
x x
Fx
x x
x
f x
x
ỡ

- +
=
ù
ù
+ +
ớ
-
ù
=
ù
+
ợ
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:
Trang 80
Baứi 5. Tỡm i u kin F(x) l mt nguyờn hm ca hm s f(x):
a)
3 2
2
( ) (3 2) 4 3
. .
( ) 3 10 4
F x mx m x x
Tỡm m
f x x x
ỡ
ù
= + + - +
ớ
= + -

ù
ợ
b )
2
2
( ) ln 5
. .
2 3
( )
3 5
F x x mx
Tỡm m
x
f x
x x
ỡ
= - +
ù
+
ớ
=
ù
+ +
ợ
c)
2 2
2
( ) ( ) 4
. , , .
( ) ( 2) 4

F x ax bx c x x
Tỡm a b c
f x x x x
ỡ
ù
= + + -
ớ
= - -ù
ợ
d)
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3 )
x
x
F x ax bx c e
Tỡm a b c
f x x e
ỡ
ù
= + +
ớ
= -
ù
ợ
e)
2 2
2 2
( ) ( )

. , , .
( ) (2 8 7)
x
x
F x ax bx c e
Tỡm a b c
f x x x e
-
-
ỡ
ù
= + +
ớ
= - - +
ù
ợ
f )
2
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3 2)
x
x
F x ax bx c e
Tỡm a b c
f x x x e
-
-
ỡ

ù
= + +
ớ
= - +
ù
ợ
g)
b c
F x a x x x
f x x
Tỡm a b c
( ) ( 1 ) s i n sin 2 si n 3
2 3
( ) c o s
, , .
ỡ
ù
= + + +
ớ
ù
=
ợ
h )
F x ax bx c x
x x
f x
x
Tỡm a b c
2
2

( ) ( ) 2 3
20 30 7
( )
2 3
, , .
ỡ
= + + -
ù
- +ớ
=
ù
-
ợ
VN 2: Tớnh nguyờn hm
( )f x dx
ũ
bng phng phỏp i b i n s
ã
Dng 1: Nu f(x) cú dng: f(x) =
[
]
( ) . '( )
g u x u x
thỡ ta t
( ) '( )
t u x dt u x dx
= ị =
.
Khi ú:
( )f x dx

ũ
=
()g t dt
ũ
, t ro n g ú
()g t dt
ũ
d dng tỡm c .
Chỳ ý: Sau khi tớnh
()g t dt
ũ
theo t, ta phi thay li t = u(x).
ã
Dng 2: T h ng gp cỏc trng hp sau:
Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau ( i bin s dng 1):
a)
x dx
1 0
(5 1 )-
ũ
b )
5
(3 2 )
dx
x
-
ũ
c)
x dx
5 2-

ũ

d)
2 7
(2 1 )
x xdx
+
ũ
e)
3 4 2
( 5 )
x x dx
+
ũ
f )
2
5
x
dx
x +
ũ

g)
2
1 .
x xdx
+
ũ
h )
2

3
3
5 2
x
dx
x+
ũ
i )
2
( 1 )
dx
x x
+
ũ

k)
4
sin cos
x xdx
ũ
l )
5
sin
cos
x
dx
x
ũ
m )
2

tan
cos
xdx
x
ũ

n )
3
x
x
e dx
e
-
ũ
o)
2
1
.
x
x e dx
+
ũ
p)
x
e
dx
x
ũ

f(x) cú cha Cỏch i bin

2 2
a x
-
si n ,
2 2
x a t t
= - Ê Ê
p p
hoc cos , 0x a t t
= Ê Ê
p
2 2
a x
+
hoc
a x
2 2
1
+

tan ,
2 2
x a t t
= - < <
p p
hoc cot , 0x a t t
= < <
p
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:

Trang 81
q)
3
ln
x
dx
x
ò
r)
1
x
dx
e +
ò
s)
tan
2
cos
x
e
dx
x
ò

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau ( đổi biến số dạng 2):
a)
2 3
( 1 )
dx
x-

ò
b )
2 3
( 1 )
dx
x+
ò
c)
2
1 .
x dx
-
ò

d)
2
4
dx
x
-
ò
e)
2 2
1 .
x x dx
-
ò
f )
2
1

dx
x+
ò

g)
2
2
1
x dx
x
-
ò
h )
2
1
dx
x x
+ +
ò
i )
3 2
1 .
x x dx
+
ò

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từ ng phầ n
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) .sin

x xdx
ò
b ) cos
x xdx
ò
c)
2
( 5)sin
x xd x
+
ò

d)
2
( 2 3 ) c o s
x x xdx
+ +
ò
e) si n 2
x xd x
ò
f ) cos 2
x xdx
ò

g) .
x
x e dx
ò
h )

2
3 x
x e dx
ò
i ) ln
xdx
ò

k) ln
x xd x
ò
l )
2
ln
x dx
ò
m )
2
ln( 1 )
x dx
+
ò

n )
2
tan
x xdx
ò
o)
2 2

cos
x xd x
ò
p)
2
cos2
x xdx
ò

q)
2
ln(1 )
x x dx
+
ò
r) .2
x
x dx
ò
s) lg
x xdx
ò

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
x
e dx
ò
b )
ln

xdx
x
ò
c) sin
x dx
ò

d) cos
x dx
ò
e) .sin
x x dx
ò
f )
3
sin
xdx
ò

g)
ln(ln )x
dx
x
ò
h )
sin(ln )
x dx
ò
i )
cos(ln )

x dx
ò

Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) .cos
x
e x dx
ò
b )
2
( 1 t a n tan )
x
e x x dx
+ +
ò
c) .sin2
x
e xdx
ò

d)
2
ln(cos )
cos
x
dx
x
ò
e)
2

ln(1 )
x
dx
x
+
ò
f )
2
cos
x
dx
x
ò

g)
(
)
2
2
ln 1
1
x x x
dx
x
+ +
+
ò
h )
3
2

1
x
dx
x+
ò
i )
2
ln x
dx
x
æ ö
ç ÷
è ø
ò

( ).
x
P x e dx
ò

( ).cos
P x xd x
ò
( ).sin
P x xd x
ò
( ).ln
P x x dx
ò

u P ( x ) P ( x ) P ( x ) lnx
dv
x
e dx
cos
x dx
sin
x dx
P ( x ) d x
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
Trang 82
VN 4: Tớnh nguyờn hm bng phng phỏp dựng nguyờn hm ph
xỏc nh nguyờn hm ca hm s f(x), ta cn tỡm mt hm g(x) sao cho nguyờn hm ca
cỏc hm s f(x)

g(x) d xỏc nh hn s o v i f(x). T ú suy ra nguyờn hm ca f ( x ) .
Bc 1: Tỡm hm g(x).
Bc 2: Xỏc nh nguyờn hm ca cỏc hm s f ( x )

g(x), t c l:

1
2
( ) ( ) ( )
(*)
( ) ( ) ( )
F x G x A x C
F x G x B x C
ỡ
+ = +

ớ
- = +
ợ
Bc 3: T h (*), ta suy ra
[ ]
1
( ) ( ) ( )
2
F x A x B x C
= + +
l nguyờn hm ca f ( x ) .
Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a)
sin
sin cos
x
dx
x x
-
ũ
b )
c o s
sin cos
x
dx
x x
-
ũ
c)
si n

sin cos
x
dx
x x
+
ũ

d)
cos
sin cos
x
dx
x x
+
ũ
e)
4
4 4
si n
sin cos
x
dx
x
x
+
ũ
f )
4
4 4
cos

sin cos
x
dx
x
x
+
ũ

g)
2
2sin .sin2
x x dx
ũ
h )
2
2 cos .sin2
x xd x
ũ
i )
x
x x
e
dx
e
e
-
-
ũ

k)

x
x x
e
dx
e
e
-
-
-
ũ
l )
x
x x
e
dx
e
e
-
+
ũ
m )
x
x x
e
dx
e
e
-
-
+

ũ

VN 5: Tớnh nguyờn hm ca mt s h m s thng gp
1. f(x) l hm hu t:
( )
( )
( )
Px
f x
Qx
=
Nu bc ca P(x)

bc ca Q ( x ) t h ỡ t a t h c hi n phộp chia a t h c.
Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) v Q(x) cú dng tớch nhiu nhõn t thỡ ta phõn tớch
f(x) thnh tng ca n h i u phõn thc (bng phng phỏp h s b t nh).
Chng hn:
1
( )( )
A B
x a x b x a x b
= +
- - - -

2
2 2
1
, 4 0
( )( )
A Bx C

v ụự i b ac
x m
x m ax bx c ax bx c
+
= + = - <
-
- + + + +
D


2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
= + + +
- -
- - - -

2. f(x) l hm vụ t
+ f(x) = ,
m
ax b
R x
cx d
ổ ử
+
ỗ ữ
+

ố ứ

đ
t
m
ax b
t
c x d
+
=
+
+ f(x) =
1
( )( )
R
x a x b
ổ ử
ỗỗỗ ữữữ
+ +
ố ứ

đ
t
t x a x b
= + + +
ã
f(x) l hm lng giỏc
Ta s dng cỏc phộp bin i lng giỏc thớch hp a v cỏc nguyờn hm c bn.
Chng hn:
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013

st : 01695316875 ymail:
Trang 83
+
[
]
si n ( ) ( )
1 1
.
si n( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ - +
=
+ + - + +
,
si n( )
1
si n( )
a b
sửỷ duùng
a b
ổ ử
-
=
ỗ ữ
-
ố ứ
+
[
]

sin ( ) ( )
1 1
.
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ - +
=
+ + - + +
,
si n( )
1
si n( )
a b
sửỷ duùng
a b
ổ ử
-
=
ỗ ữ
-
ố ứ
+
[
]
cos ( ) ( )
1 1
.
si n( ).cos( ) cos( ) sin( ). co s ( )
x a x b

x a x b a b x a x b
+ - +
=
+ + - + +
,
cos( )
1
cos( )
a b
sửỷ duùng
a b
ổ ử
-
=
ỗ ữ
-
ố ứ
+ Nu
( sin ,cos ) (s in , co s )
R x x R x x
- =-
thỡ t t = c o s x
+ Nu
(sin , cos ) (s in , c o s )
R x x R x x
- =-
thỡ t t = s i n x
+ Nu
( sin , cos ) ( s in , c o s )
R x x R x x

- - =-
thỡ t t = t a n x ( h o c t = cotx)

Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a)
( 1 )
dx
xx
+
ũ
b )
( 1 ) ( 2 3 )
dx
x x
+ -
ũ
c)
2
2
1
1
x
dx
x
+
-
ũ

d)
2

7 10
dx
x x
- +
ũ
e)
2
6 9
dx
x x
- +
ũ
f )
2
4
dx
x
-
ũ

g)
( 1 ) ( 2 1 )
x
dx
x x+ +
ũ
h )
2
2 3 2
x

dx
x x
- -
ũ
i )
3
2
3 2
x
dx
x x
- +
ũ

k)
2
( 1 )
dx
xx
+
ũ
l )
3
1
dx
x+
ũ
m )
3
1

x
dx
x -
ũ

Baứi 2. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a)
1
1 1
dx
x+ +
ũ
b )
1
2
x
dx
x x
+
-
ũ
c)
3
1
1 1
dx
x+ +
ũ

d)

4
1
dx
x
x
+
ũ
e)
3
x
dx
x
x
-
ũ
f )
( 1 )
x
dx
xx +
ũ

g)
3 4
2
dx
x x x
+ +
ũ
h )

1
1
x dx
x x
-
+
ũ
i )
3
1
1
x dx
x x
-
+
ũ

k)
2
3
(2 1 ) 2 1
dx
x x
+ - +
ũ
l )
2
5 6
dx
x x

- +
ũ
m )
2
6 8
dx
x x
+ +
ũ

Baứi 3. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a) sin 2 sin5
x xd x
ũ
b ) cos sin3
x xd x
ũ
c)
2 4
(tan tan )
x x dx
+
ũ

d)
cos2
1 sin cos
x
dx
x x

+
ũ
e)
2sin 1
dx
x
+
ũ
f )
cos
dx
x
ũ

g)
1 sin
cos
x
dx
x
-
ũ
h )
3
sin
cos
x
dx
x
ũ

i )
cos cos
4
dx
x x
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ
p
k) cos cos 2 cos3
x x x d x
ũ
l )
3
cos
xdx
ũ
m )
4
sin
x dx
ũ

HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:
Trang 84
1. Khái niệm t í c h ph â n
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b v à k í h i ệu là
( )
b
a
f x dx
ò
.

( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b Fa
= -
ò
· Đối v ới b i ến s ố lấy t í c h p h â n , t a c ó t h ể chọn b ất kì một chữ khác thay cho x, tức l à :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du F b Fa
= = = = -
ò ò ò

· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện
tích S của hình thang cong giới h ạn b ởi đồ thị c ủa y = f(x), trục Ox và hai đườn g t h ẳn g
x = a, x = b l à :
( )
b
a
S f x dx

=
ò

2. Tính chất của tích phân
·
a
a
f x dx
( ) 0
=
ò
·
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
=-
ò ò
·
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
=
ò ò
(k: const)
·
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b

a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
ò ò ò
·
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
ò ò ò

· Nếu f(x)
³
0 trên [a; b] thì
( ) 0
b
a
f x dx
³
ò

· Nếu f(x)
³
g(x) trên [a; b] thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
³

ò ò

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
[ ]
( )
( )
( ) . '( ) ( )
ubb
a ua
f u x u x dx f u du
=
ò ò
trong đ ó: u = u(x) c ó đạo hàm liên tục trên K, y = f ( u ) l i ê n t ục và hàm hợp f[u(x)] xác
định trên K, a , b Î K.
b) Phương pháp tích phân từng phầ n
Nếu u, v l à h a i h à m s ố có đạo hàm liên tục trên K, a, b
Î
K thì:

b b
b
a
a a
u d v uv v d u
= -
ò ò
Chú ý:
– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần , t a c ần chọn sao cho

b
a
v d u
ò
dễ tính hơn
b
a
u d v
ò
.
II. TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 85
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa t í c h p h â n :

( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b Fa
= -
ò
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và
phép tính vi phân.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
++

2
1
3
)12( dxxx
b )
x
x e dx
x
2
2 3 1
1
3
+
æ ö
+ +
ç ÷
è ø
ò
c)
ò
-
2
1
2
1
dx
x
x

d)

2
2
1
2
x
dx
x
-
+
ò
e)
(
)
ò
-
-
+
1
2
2
2
4
4
dx
x
x
f )
e
x x dx
x

x
2
2
1
1 1
æ ö
+ + +
ç ÷
è ø
ò

g)
( )( )
x x x dx
2
1
1 1+ - +
ò
h )
( )
x x x x dx
2
2 3
1
+ +
ò
i )
( )
ò
-+

4
1
43
42 dxxxx

k)
2
2
3
1
2
x x
dx
x
-
ò
l )
2
1
2 5 7
e
x x
dx
x
+ -
ò
m )
8
3
2

1
1
4
3
x dx
x
æ ö
ç ÷
-
ç ÷
è ø
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
1
1
x dx
+
ò
b )
dx
x x
5
2
2 2
+ + -
ò
c)

x
dx
x
2
2
0
2
+
ò

d)
x
dx
x
2
2
0
1+
ò
e)
x
dx
x
2
2
3
3
0
3
1+

ò
f )
x x dx
4
2
0
9.
+
ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
x dx
0
sin 2
6
p
p
æ ö
+
ç ÷
è ø
ò
b )
x x x dx
2
3
(2sin 3cos )
p
p

+ +
ò
c)
( )
x x dx
6
0
sin3 cos2
p
+
ò

d)
4
2
0
tan .
c o s
x dx
x
ò
p
e)
3
2
4
3tan
x dx
ò
p

p
f )
4
2
6
(2 cot 5 )
x dx
+
ò
p
p
g)
2
0
1 sin
dx
x
+
ò
p
h)
2
0
1 cos
1 cos
x
dx
x
-
+

ò
p
i)
2
2 2
0
si n .cos
x x d x
ò
p
k)
3
2
6
(ta n c o t )
x x dx
-
-
ò
p
p
l )
x
dx
x
2
2
si n
4
sin

4
p
p
p
p
-
æ ö
-
ç ÷
è ø
æ ö
+
ç ÷
è ø
ò
m )
4
4
0
cos
x dx
ò
p
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
dx
x x
x x

e e
e e
-
-
-
+
ò
b )
2
2
1
( 1 ) .
ln
x dx
x x x
+
+
ò
c)
x
x
e
dx
e
1
2
0
4
2
-

+
ò

HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
Trang 86
d)
x
x
e
dx
e
l n 2
0
1
+
ũ
e)
x
x
e
e dx
x
2
1
1
-
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ

ũ
f )
x
x
e
dx
1
0
2
ũ

g)
x
e xd x
2
cos
0
.sin
p
ũ
h )
x
e
dx
x
4
1
ũ
i )
e

x
dx
x
1
1 ln+
ũ

k)
e
x
dx
x
1
ln
ũ
l )
x
xe dx
2
1
0
ũ
m )
1
0
1
1
x
d x
e+

ũ

VN 2: Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin s
Dng 1: Gi s ta cn t ớ n h
( )
b
a
g x dx
ũ
.
Nu vit c g(x) di dng:
[
]
( ) ( ) . '( )
g x f u x u x
= thỡ
( )
( )
( ) ( )
ubb
a ua
g x dx f u du
=
ũ ũ
Dng 2: Gi s ta cn t ớ n h
( )f x dx
ũ
b
a
.

t x = x(t) (t
ẻ
K ) v a, b
ẻ
K t h o m ó n
a
= x ( a ) ,
b
= x(b)
thỡ
[ ]
( ) ( ) '( ) ()
b b
a a
f x dx f x t x t dt g t dt
= =
ũ ũ ũ
b
a

[
]
(
)
( ) ( ) . '( )
g t f x t x t
=
Dng 2 thng gp c ỏ c t r ng hp sau:
Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( i bin s dng 1):
a)

ũ
-
1
0
1 9
)1( dxxx
b )
x
dx
x
1
3
2 3
0
( 1 )
+
ũ
c)
ũ
+
1
0
2
5
1
dx
x
x

d)

ũ
+
1
0
12x
xdx
e)
1
2
0
1
x x dx
-
ũ
f )
1
3 2
0
1
x x dx
-
ũ

g)
ũ
+
32
5
2
4xx

dx
h)
ũ
+
+
3
0
2
35
1
2
dx
x
xx
i )
l n 2
0
1
x
x
e
dx
e+
ũ

f(x) cú cha Cỏch i bin
2 2
a x
-
si n ,

2 2
x a t t
= - Ê Ê
p p
hoc cos , 0x a t t
= Ê Ê
p
2 2
a x
+
hoc
a x
2 2
1
+
tan ,
2 2
x a t t
= - < <
p p
hoc cot , 0x a t t
= < <
p
2 2
x a
-
{}
, ; \ 0
sin 2 2
a

x t
t
ộ ự
= ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
p p
hoc
[ ]
, 0 ; \
cos 2
a
x t
t
ỡ ỹ
= ẻ
ớ ý
ợ ỵ
p
p

HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:
Trang 87
k)
( )
x
x
e dx
e

ln3
3
0
1
+
ò
l )
ò
+
e
x
dxx
1
2
l n2
m )
ò
+
e
dx
x
xx
1
l nl n31

n )
ò
+
2
0

22
sin4cos
2sin
p
dx
xx
x
o)
ò
+
2
0
2
3
sin1
sin.cos
p
dx
x
xx
p)
ò
+
6
0
22
cossin2
2sin
p
dx

xx
x

Baøi 2. Tính các tích phân sau ( đổi biến số dạng 2):
a)
ò
-
2
1
0
2
1 x
dx
b)
ò
-
1
0
2
2
4 x
dxx
c)
ò
-
2
1
22
4 dxxx

d)
ò
+
3
0
2
3x
dx
e)
ò
++
1
0
22
)2)(1( xx
dx
f )
ò
++
1
0
24
1xx
xdx

g)
0
2
1
2 2

dx
x x
-
+ +
ò
h )
ò
-
2
1
3
2
1
dx
x
x
i )
( )
ò
+
1
0
5
2
1 x
dx

k)
2
3

2
2
1
dx
x x
-
ò
l )
2
2
2
2
0
1
x
dx
x-
ò
m )
2
2
0
2
x x x dx
-
ò


VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4
0
2sin
p
xdxx b )
ò
+
2
0
2
cos)sin(
p
xdxxx c)
ò
p
2
0
2
cos xdxx

d)
x x dx
2
4
0
cos
p

ò
e)
3
2
4
tan
x x d x
ò
p
p
f )
ò
-
1
0
2
)2( dxex
x

g)
dxxe
x
ò
2ln
0
h)
dxxx
e
ò
1

l n
i )
ò
-
3
2
2
)l n ( dxxx

k)
ò
2
0
3
5sin
p
xdxe
x
l )
ò
2
0
c o s
2s in
p
xdxe
x
m )
ò
e

xdx
1
3
l n

o)
dxxx
e
ò
1
23
l n
p)
ò
e
e
dx
x
x
1
2
l n
q)
dxxex
x
)1(
0
1
3
2

ò
-
++

b
( ).
x
a
P x e dx
ò
( ).cos
b
a
P x xd x
ò
( ).sin
b
a
P x xd x
ò
b
a
P x x dx
( ).ln
ò

u P ( x ) P ( x ) P ( x ) lnx
dv
x
e dx

cos
x dx
sin
x dx
P ( x ) d x
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 88
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa g i á t r ị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để t í n h t í c h p h â n t r ê n t ừng đoạn nhỏ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
2 dxx
b )
x x dx
2
2
0
-
ò
c)
x x dx
2
2
0

2 3
+ -
ò

d)
x dx
3
2
3
1
-
-
ò
e)
( )
x x dx
5
2
2 2
-
+ - -
ò
f )
x
dx
3
0
2 4
-
ò

g)
4
2
1
6 9
x x dx
- +
ò
h )
ò
+-
3
0
23
44 dxxxx
i )
1
1
4
x dx
-
-
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
p

2
0
2cos1 dxx
b )
0
1 sin 2 .
x dx
p
-
ò
c)
x dx
2
2
sin
p
p
-
ò

d) 1 sin
xdx
-
-
ò
p
p
e)
2
0

1 cos
xdx
+
ò
p
f )
0
1 cos2
xdx
+
ò
p
g)
3
2 2
6
tan cot 2
x x dx
+ -
ò
p
p
h )
3
3
2
cos cos cos
x x xdx
-
-

ò
p
p
i )
2
0
1 sin
xdx
+
ò
p
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu t ỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
3
1
3
xx
dx
b)
ò
+-
1
0
2
65xx

dx
c)
ò
++
3
0
2
3
12xx
dxx

d)
( )
ò
+
1
0
3
21
dx
x
x
e)
( )
ò
-
3
2
9
2

1 x
dxx
f )
ò
+
4
1
2
)1( xx
dx

g)
ò
-
4
2
)1(xx
dx
h)
(
)
ò
++
+
1
0
2
65
114
xx

dxx
i )
1
3
0
1
1
x x
dx
x
+ +
+
ò

k)
0
3 2
2
1
2 6 9 9
3 2
x x x
dx
x x
-
- + +
- +
ò
l )
3

2
3
2
3 3 3
3 2
x x
dx
x x
+ +
- +
ò
m )
1
2
3
0
(3 1 )
x
dx
x +
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+-
2
0
2
22xx

dx
b )
(
)
ò
+
+
3
0
2
2
1
23
dx
x
x
c)
ò
+
+++
2
0
2
23
4
942
dx
x
xxx

d)
1
2 2
0
1
( 2) ( 3 )
dx
x x+ +
ò
e)
1
3
2
0
1
1
x x
dx
x
+ +
+
ò
f )
1
4
0
1
x
dx
x+

ò

HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
Trang 89
g)
2
4
1
1
( 1 )
dx
x x+
ò
h )
2
2008
2008
1
1
( 1 )
x
dx
x x
-
+
ò
i )
3
4
2 2

2
( 1 )
x
dx
x -
ò

k)
2
2
0
1
4
dx
x+
ò
l )
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò
m )

1
4
2
0
2
1
x
dx
x
-
+
ò

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ .

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
1
1
x
dx
x
+
-
ò
b )

ò
+
+
3
7
0
3
13
1
dx
x
x
c)
10
5
2 1
dx
x x
- -
ò

d)
ò
++
-
1
0
132
34
dx

x
x
e)
6
2
2 1 4 1
dx
x x
+ + +
ò
f )
ò
-+
2
1
11
dx
x
x

g)
ò
++
1
0
1 xx
dx
h )
ò
++

1
0
2
3
1
dx
xx
x
i )
ò
+
2
0
5
4
1
dx
x
x

k)
ò
+
22
0
2
1 dxxx l )
ò
+
1

0
23
1 dxxx
m )
3
5 3
2
0
1
x x
dx
x
+
+
ò

n )
2 3
2
5
4
dx
x x
+
ò
o)
2
3
2
2

1
dx
x x
-
ò
p)
2
3
1
1
dx
x x
+
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
1
2 2
0
1
x x dx
+
ò
b )
3
2
2 2
1
1

1
x
dx
x x
+
+
ò
c)
1
2 3
0
( 1 )
dx
x+
ò

d)
2
2
1
2008
x dx
+
ò
e)
3
3 2
0
10
x x dx

-
ò
f )
1
2
0
1
x dx
+
ò

g)
1
2
1
1 1
dx
x x
-
+ + +
ò
h )
2
2
1
2008
dx
x +
ò
i )

1
3
2
0
1
x dx
x x
+ +
ò

k)
2
2
2 3
0
( 1 )
dx
x-
ò
l )
2
2
2
2
0
1
x dx
x-
ò
m )

5
4
2
1
12 4 8
x x dx
- -
ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
0
cos
7 cos2
x dx
x
+
ò
p
b)
2
2
0
si n cos cos
x x xdx
-
ò
p
c)

2
2
0
cos
2 cos
x dx
x
+
ò
p
d)
2
6
3 5
0
1 cos sin cos
x x xdx
-
ò
p
e)
2
0
si n 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
+
+

ò
p
f )
3
0
cos
2 cos2
xdx
x
+
ò
p
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 90
g)
2
2
0
cos
1 cos
xdx
x
+
ò
p
h)
3
2
4

tan
cos 1 cos
x
dx
x x
p
p
+
ò
i )
2
0
sin 2 si n
1 3cos
x x
dx
x
p
+
+
ò

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
ln3
0
1
x
dx
e

+
ò
b )
ln 2
2
0
1
x
x
e dx
e
+
ò
c)
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
ò

d)
l n 3
2
l n 2
ln
ln 1
x

dx
x x +
ò
e)
0
2 3
1
( 1)
x
x e x dx
-
+ +
ò
f )
ln 2
3
0
( 1 )
x
x
e dx
e +
ò

g)
ln3
0
( 1 ) 1
x
x x

e
dx
e e+ -
ò
h )
1
0
x
x x
e
dx
e e
-
+
ò
i )
l n 2
0
1
x
e dx
-
ò

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượn g g i á c .
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4

0
cos.2sin
p
xdxx b )
ò
4
0
tan
p
xdx c)
dxx
ò
p
0
2
sin

d)
ò
2
0
3
sin
p
xdx e)
2
3 3
0
(s i n cos )
x x dx

+
ò
p
f )
x dx
2
0
cos 3
p
ò

g)
2
2 4
0
si n cos
x xdx
ò
p
h )
ò
2
0
32
cossin
p
xdxx i )
2
4 5
0

si n cos
x xd x
ò
p
k)
ò
+
2
0
cos31
sin
p
dx
x
x
l )
dx
x
2
0
1
cos 1
p
+
ò
m )
ò
+
2
0

cos1
cos2sin
p
dx
x
xx

n )
3
2
0
c o s
1 cos
x
dx
x
+
ò
p
o)
p
p
ò
3
4
6
si n .cos
dx
x x
p)

3
3
4
sin .cos
dx
x x
p
p
ò

q)
3
2
2
0
si n
1 cos
x
dx
x
+
ò
p
r)
4
3
0
tan
xdx
ò

p
s)
p
ò
3
4
0
tan
x dx
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
53
cossincos1
p
xdxxx b )
ò
+
++
2
6
cossin
2cos2sin1
p
p
dx
xx

xx
c) dx
xx
x
ò
+
3
4
2
cos1cos
tan
p
p

d)
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
x x x dx
+
ò
p
e)
ò
+
4
0
sin
)cos(tan

p
dxxex
x
f )
( )
dxxx
ò
+
2
0
3
2
2sinsin1
p

HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 91
g)
3
0
sin .ln(cos )x
x dx
p
ũ
h )
3
4
2 2 5
0

sin
(tan 1 ) . c o s
x
dx
x x
p
+
ũ
i )
3
2 2
3
1
sin 9cos
dx
x x
p
p
-
+
ũ

Baứi 3. Tớnh cỏc tớch phõn sau:
a)
2
3
1
si n
dx
x

ũ
p
p
b)
2
0
2 cos
dx
x
-
ũ
p
c)
2
0
cos
2 cos
x
dx
x
-
ũ
p
d)
2
0
cos
1 cos
x
dx

x
+
ũ
p
e)
2
0
1
2 sin
dx
x
+
ũ
p
f )
2
0
sin
2 sin
x
dx
x
+
ũ
p
g)
2
0
1
si n cos 1

dx
x x+ +
ũ
p
h )
2
2
sin cos 1
si n 2 cos 3
x x
dx
x x
-
- +
+ +
ũ
p
p
i )
p
p
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ
4
0
cos cos
4

dx
x x
k)
2
2
0
( 1 s i n ) c o s
( 1 s i n ) ( 2 c o s )
x x
dx
x x
-
+ -
ũ
p
l )
p
p
p
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ
3
4
si n cos
4
dx
x x

m )
p
p
p
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ
3
6
si n s in
6
dx
x x
Baứi 4. Tớnh cỏc tớch phõn sau:
a)
ũ
-
2
0
cos)12(
p
xdxx b )
ũ
+
4
0
2cos1
p

x
xdx
c)
ũ
3
0
2
cos
p
dx
x
x

d)
2
3
0
si n
xdx
ũ
p
e)
2
2
0
cos
x x d x
ũ
p
f )

2
2 1
0
si n 2 .
x
x e dx
+
ũ
p
g)
2
1
cos(ln )
x dx
ũ
h )
x
dx
x
3
2
6
ln(sin )
cos
p
p
ũ
i )
2
2

0
(2 1 ) c o s
x x d x
-
ũ
p
k)
2 2
0
sin
x
e xdx
ũ
p
l)
4
2
0
tan
x xdx
ũ
p
m )
2
0
si n cos
x x xdx
ũ
p
n )

2
2
sin 3
0
si n cos
x
e x xd x
ũ
p
o)
4
0
ln(1 tan )
x dx
+
ũ
p
p)
ũ
4
0
4
cos
p
x
dx

VN 8: Tớnh tớch phõn cỏc hm s m v logarit
S dng cỏc phộp toỏn v lu tha v logarit. Xem li cỏc phng phỏp tỡm nguyờn hm.
Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau:

a)
ũ
+
1
0
1
x
x
e
dxe
b )
ũ
+
2ln
0
5
x
e
dx
c)
1
0
1
4
x
dx
e +
ũ

HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013

st : 01695316875 ymail:
Trang 92
d)
ũ
+
8ln
3ln
1
dx
e
e
x
x
e)
l n 8
2
l n 3
1 .
x x
e e dx
+
ũ
f )
ũ
+
-
2ln
0
1
1

dx
e
e
x
x
g)
2
1
1
1
x
dx
e
-
-
ũ
h )
2
2
0
1
x
x
e
dx
e +
ũ
i )
1
0

1
x
x
e
dx
e
-
-
+
ũ

k)
2
1
ln
(ln 1 )
e
x
dx
x x +
ũ
l )
1
2
0
1
x
x
e
dx

e
-
-
+
ũ
m )
ln3
0
1
1
x
dx
e +
ũ

Baứi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau:
a)
ũ
2
0
sin
p
xdxe
x
b )
ũ
2
0
2
dxxe

x
c)
ũ
-
1
0
dxxe
x

d)
ũ
+
2
0
cos)cos(
p
xdxxe
x
e)
( )
ũ
+
1
0
1l n dxxx
f )
2
1
1 ln
e

x
dx
x
+
ũ

g)
2
ln ln(ln )
e
e
x x
dx
x
+
ũ
h )
ũ
ữ ữ ữ
ứ
ử
ỗ ỗ ỗ
ố
ổ
+
+
e
dxx
xx
x

1
2
l n
1l n
l n
i )
3
2
ln(ln )
e
e
x
dx
x
ũ

k)
2
2
1
ln
x
dx
x
ũ
l )
3
2
6
ln(sin )

cos
x
dx
x
ũ
p
p
m )
1
0
ln( 1 )
1
x
dx
x
+
+
ũ

VN 9: Mt s tớch phõn c bit
Dng 1. Tớch phõn ca hm s chn , h m s l
ã
Nu hm s f(x) liờn tc v l hm s l trờn [a; a] thỡ
( ) 0
a
a
f x dx
-
=
ũ

ã
Nu hm s f(x) liờn tc v l hm s chn t r ờ n [ a ; a ] t h ỡ
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
-
=
ũ ũ

V ỡ c ỏ c t ớ n h c h t ny khụng cú trong phn lý thuyt ca SGK nờn khi tớnh cỏc tớch phõn cú
dng ny ta cú th chng minh nh sau:
Bc 1: Phõn tớch
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
- -
= = +
ũ ũ ũ

0
0
( ) ; ( )
a
a

J f x dx K f x dx
-
ổ ử
ỗỗỗ ữữữ
= =
ố ứ
ũ ũ

Bc 2: Tớnh tớch phõn
0
( )
a
J f x dx
-
=
ũ
bng phng phỏp i bin. t t = x .
Nu f(x) l hm s l thỡ J = K
ị
I = J + K = 0
Nu f(x) l hm s chn thỡ J = K
ị
I = J + K = 2K
Dng 2. Nu f(x) liờn tc v l hm chn trờn R thỡ:

0
( )
( )
1
x

f x
dx f x dx
a
-
=
+
ũ ũ
a a
a
( v i
a

ẻ
R
+
v a > 0)
chng minh tớnh cht ny, ta cng lm tng t nh trờn.

0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f x f x f x
I dx dx dx
a a a
- -
= = +
+ + +
ũ ũ ũ

a a
a a
0
0
( ) ( )
;
x
1 1
x
f x f x
J dx K dx
a a
-
ổ ử
ỗỗỗ ữữữ
= =
+ +
ố ứ
ũ ũ
a
a
tớnh J ta cng t : t = x.
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:
Trang 93
Dng 3. Nu f(x) liờn tc trờn
0 ;
2
ộ ự
ờ ỳ

ở ỷ
p
thỡ
2 2
0 0
(s i n ) (cos )
f x dx f x dx
=
ũ ũ
p p
chng minh tớnh cht ny ta t:
2
t x
= -
p

Dng 4. Nu f(x) liờn tc v
( ) ( )
f a b x f x
+ - =
hoc
( ) ( )
f a b x f x
+ - =-
thỡ t: t = a + b x
c bit, nu a + b =
p
t hỡ t t =
p
x

nu a + b = 2
p
th ỡ t t = 2
p
x
Dng 5. Tớnh tớch phõn bng cỏch s dng nguyờn hm ph
xỏc nh nguyờn hm ca hm s f(x) ta cn tỡm mt hm g(x) sao cho nguyờn hm
ca cỏc hm s f(x)

g(x) d xỏc nh hn so vi f ( x ) . T ú suy ra nguyờn hm ca f(x).
Ta thc hin cỏc bc n h sau:
Bc 1: Tỡm hm g(x).
Bc 2: Xỏc nh nguyờn hm ca cỏc hm s f ( x )

g(x), t c l:

1
2
( ) ( ) ( )
(*)
( ) ( ) ( )
F x G x A x C
F x G x B x C
ỡ
+ = +
ớ
- = +
ợ
Bc 3: T h (*), ta suy ra
[ ]

1
( ) ( ) ( )
2
F x A x B x C
= + +
l nguyờn hm ca f ( x ) .
Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( d ng 1):
a)
7 5 3
4
4
4
1
c o s
x x x x
dx
x
-
- + - +
ũ
p
p
b )
( )
p
p
-
+ +
ũ
2

2
2
cos ln 1
x x x dx
c)
1
2
1
2
1
cos .ln
1
x
x dx
x
-
ổ ử
-
ỗ ữ
+
ố ứ
ũ

d)
( )
1
2
1
ln 1
x x dx

-
+ +
ũ
e)
-
- +
ũ
1
4 2
1
1
x dx
x x
f )
1
4
2
1
sin
1
x x
dx
x
-
+
+
ũ

g)
5

2
2
sin
1 cos
x
dx
x
-
+
ũ
p
p
h )
2
2
2
4 sin
x dx
x
p
p
-
-
ũ
i)
2
2
2
cos
4 sin

x x
dx
x
p
p
-
+
-
ũ

Baứi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( d ng 2):
a)
1
4
1
2 1
x
x
dx
-
+
ũ
b )
1
2
1
1
1 2
x
x

dx
-
-
+
ũ
c)
1
2
1
( 1 ) ( 1 )
x
dx
e x
-
+ +
ũ

d)
2
si n
3 1
x
x
dx
-
+
ũ
p
p
e)

ũ
-
+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x
f)
1
2
1
(4 1 ) ( 1 )
x
dx
x
-
+ +
ũ

g)
2
2
si n si n 3 co s 5
1
x

x x x
dx
e
-
+
ũ
p
p
h )
6 6
4
4
si n cos
6 1
x
x x
dx
-
+
+
ũ
p
p
i )
2 2
2
2
sin
1 2
x

x x
dx
-
+
ũ
p
p
Baứi 3. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( d ng 3):
a)
2
0
cos
cos si n
n
n n
x
dx
x x
+
ũ
p
(n
ẻ
N
*
) b)
7
2
7 7
0

si n
si n cos
x
dx
x x
+
ũ
p
c)
2
0
sin
si n c o s
x
dx
x x
+
ũ
p
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:
Trang 94
d)
2009
2
2009 2009
0
si n
si n cos
x

dx
x x
+
ũ
p
e)
4
2
4 4
0
cos
cos sin
x
dx
x
x
p
+
ũ
f )
4
2
4 4
0
si n
cos sin
x
dx
x
x

p
+
ũ

Baứi 4. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( d ng 4):
a)
2
0
.sin
4 cos
x x
dx
x-
ũ
p
b)
2
0
cos
4 sin
x x
dx
x
+
-
ũ
p
c)
2
0

1 sin
ln
1 cos
x
dx
x
ổ ử
+
ỗ ữ
+
ố ứ
ũ
p
d)
4
0
ln(1 tan )
x dx
+
ũ
p
e)
2
3
0
.cos
x x dx
ũ
p
f )

3
0
.sin
x xd x
ũ
p
g)
0
1 sin
x
dx
x
+
ũ
p
h)
0
si n
2 cos
x x
dx
x
+
ũ
p
i )
2
0
si n
1 cos

x x
dx
x+
ũ
p
k)
4
0
si n 4 ln(1 t an )x
x dx
+
ũ
p
l )
2
0
sin
9 4 cos
x x
dx
x+
ũ
p
m )
4
0
si n cos
x x xd x
ũ
p

Baứi 5. Tớnh cỏc tớch phõn sau ( d ng 5):
a)
2
0
sin
si n cos
x
dx
x x
-
ũ
p
b )
2
0
cos
si n cos
x
dx
x x
-
ũ
p
c)
2
0
sin
si n cos
x
dx

x x
+
ũ
p
d)
2
0
cos
s in cos
x
dx
x x
+
ũ
p
e)
4
2
4 4
0
sin
si n cos
x
dx
x
x
+
ũ
p
f )

4
2
4 4
0
cos
s in cos
x
dx
x
x
+
ũ
p
g)
6
2
6 6
0
sin
si n cos
x
dx
x
x
+
ũ
p
h )
6
2

6 6
0
cos
si n cos
x
dx
x
x
+
ũ
p
i )
2
2
0
2sin .sin2
x xd x
ũ
p
k)
2
2
0
2 cos .sin2
x xd x
ũ
p
l )
1
1

x
x x
e
dx
e e
-
-
-
ũ
m )
1
1
x
x x
e
dx
e e
-
-
-
-
ũ

n )
1
1
x
x x
e
dx

e e
-
-
+
ũ
o)
1
1
x
x x
e
dx
e e
-
-
-
+
ũ

VN 10: Thit lp cụng thc truy hi
Gi s cn tớnh tớch phõn
( , )
b
n
a
I f x n dx
=
ũ
( n
ẻ

N) p h thuc vo s nguyờn dng n. Ta
thng gp mt s yờu cu sau:
ã
Thit lp m t cụng thc truy hi, tc l biu din I
n
t h eo c ỏc I
n-k
( 1
Ê
k
Ê
n).
ã
Chng minh mt cụng thc truy hi c h o t r c.
ã
Tớnh mt g i ỏ t r
0
n
I
c th no ú .
Baứi 1. Lp cụng thc truy hi c h o c ỏ c t ớ c h p h õ n s a u :
HONG THI VIT - I HC BCH KHOA NNG 2013
st : 01695316875 ymail:
Trang 95
a)
2
0
sin
n
n

I x d x
=
ò
p
· Đặt
1
sin
si n .
n
u x
dv x dx
-
ì
=
í
=
î

b )
2
0
cos
n
n
I x dx
=
ò
p
· Đặt
1

cos
cos .
n
u x
dv x dx
-
ì
=
í
=
î

c)
4
0
tan
n
n
I xdx
=
ò
p
·
Phân tích:
(
)
2 2 2
tan tan tan 1 tan
n n n
x x x x

- -
= + -
d)
2
0
cos .
n
n
I x x dx
=
ò
p
·
Đặt
cos .
n
u x
dv x dx
ì
=
í
=
î

2
0
sin .
n
n
J x x dx

=
ò
p
·
Đặt
si n .
n
u x
dv x dx
ì
=
í
=
î
e)
n x
n
I x e dx
1
0
=
ò

·
Đặt
.
n
x
u x
dv e dx

ì
ï
=
í
=
ï
î
f )
1
ln .
e
n
n
I x dx
=
ò

·
Đặt
ln
n
u x
dv dx
ì
=
í
=
î
g)
1

2
0
( 1 )
n
n
I x dx
= -
ò

·
Đặt
cos
x t
=
®
Đặt
2
sin
si n .
n
u t
dv t dt
ì
=
í
=
î
h )
1
2

0
( 1 )
n
n
dx
I
x
=
+
ò

·
Phân tích
2 2
2 2 2
1 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
n n n
x x
x x x
+
= -
+ + +

Tính
1
2
2
0
( 1

n
)
n
x
J dx
x
=
+
ò
. Đặt
2
( 1 )
n
u x
x
dv dx
x
ì
=
ï
í
=
ï
+
î
i )
1
0
1 .
n

n
I x x dx
= -
ò

·
Đặt
1 .
n
u x
dv x dx
ì
ï
=
í
= -
ï
î
k)
4
n
0
cos
n
dx
I dx
x
=
ò
p

·
Phân tích
1
1 cos
cos cos
n n
x
x x
+
=
®
Đặt
1
1
cos
n
t
x
+
=
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 96
1. Diện t í c h h ì n h p h ẳng
· Diện t í c h S của hình phẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g :
– Đồ thị ( C ) c ủa hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ] .
– Trục h o à n h .
– Hai đườn g t h ẳn g x = a, x = b.
l à :
( )

b
a
S f x dx
=
ò
(1)
· Diện t í c h S của hình phẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g :
– Đồ thị c ủa các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đ oạn [ a ; b ] .
– Hai đườn g t h ẳn g x = a, x = b.
l à :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= -
ò
(2)
Chú ý:
·
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu t h ì :
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
=
ò ò
·
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối c ủa hàm số dưới
dấu tích phân. Ta có thể l à m n h ư sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả s ử tìm

được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn :

( ) ( ) ( ) ( )
b c d b
a a c d
f x dx f x dx f x dx f x dx
= + +
ò ò ò ò

=
( ) ( ) ( )
c d b
a c d
f x dx f x dx f x dx
+ +
ò ò ò

( v ì t rê n c ác đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
·
Diện tích S của hình phẳng giới hạn b ởi c á c đường:
– Đồ thị c ủa x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [ c ; d ] )
– Hai đường thẳng x = c, x = d.

( ) ( )
d
c
S g y h y dy
= -
ò

2. Thể tích vậ t thể
· Gọi B l à p h ần v ật thể giới h ạn b ởi h a i m ặt phẳn g v u ô n g g ó c v ới t r ục Ox tại c á c đi ểm
các đi ểm a và b.
S(x) là diện t í c h t h i ết diện c ủa vật thể bị c ắt bởi mặt phẳn g v u ô n g g ó c v ới t r ục Ox tại
đi ểm c ó h o à n h độ x (a
£
x
£
b) . G iả sử S(x) liên tụ c trên đoạn [ a ; b ] .
Thể tích của B là:
( )
b
a
V S x dx
=
ò
· Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khố i t r ò n x o a y d o h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g :
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 97

2
( )
b
a
V f x dx

=
ò
p
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
là:
2
( )
d
c
V g y dy
=
ò
p
VẤN ĐỀ 1: Tính diện t í c h h ì n h p h ẳng
Baøi 1. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u :
a) y x x y x x
2
4 5 , 0, 2, 4
= - - = = - =
b )
ln 1
, 0, ,
x
y y x x e
x e
= = = =
c)
1 ln

, 0, 1 ,
x
y y x x e
x
+
= = = =
d)
ln
, 0, , 1
2
x
y y x e x
x
= = = =
e)
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
= = = =
f )
3
, 0, 2, 1
y x y x x
= = = - =
g)
4
1
, 0, 0,
2

1
x
y y x x
x
= = = =
-
h )
1
lg , 0, , 10
10
y x y x x
= = = =
Baøi 2. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u :
a)
3 1
, 0, 0
1
x
y y x
x
- -
= = =
-
b )
, 2 , 0
y x y x y
= = - =

c)
, 2, 1

x
y e y x
= = =
d)
, 2 0, 0
y x x y y
= + - = =
e)
2 2
2 , 2 1 , 2
y x y x x y
= = - - =
f )
2
4 5 , 2 4, 4 11
y x x y x y x
= - + = - + = -
g)
2
2
27
, ,
27
x
y x y y
x
= = = h )
2 2
2 , 4 4, 8
y x y x x y

= = - - =

i )
2
2 , 2 2 1 0, 0
y x x y y
= + + = =
k)
2 2
6 5 , 4 3 , 3 15
y x x y x x y x
= - + - = - + - = -
Baøi 3. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u :
a)
1
, , 0,
y x y y x e
x
= = = =
b )
si n 2 cos , 3 , 0,
y x x y x x
= - = = =p

c)
2
5 , 0, 3 , 0
x
y y y x x
-

= = = - =
d)
2 2
2 2 , 3 6, 0, 4
y x x y x x x x
= - = + - = =
e)
, 0, 4
y x y y x
= = = -
f)
2 2
2 2, 4 5 , 1
y x x y x x y
= - + = + + =
g)
, 2 , 0
y x y x y
= = - =
h )
2
1
, , 1
x
x
y y e x
e
-
-
= = =

Baøi 4. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u :
a)
2 2
4 , 2
y x y x x
= - = -
b)
2
4 3 , 3
y x x y x
= - + = +

c)
2 2
1 1
, 3
4 2
y x y x
= = - +
d)
2
2
1
,
2
1
x
y y
x
= =

+
e)
2
, 2
y x y x
= = -
f)
2 2
2 , 4
y x x y x x
= - = - +
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 98
g)
2
2
1
,
2
1
x
y y
x
= =
+
h)
2
3 , 0
y x y

x
= + + =
i )
2
2 , 2
y x x y x
= + = +
k)
2
2, 4
y x y x
= + = -
Baøi 5. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u :
a)
2 2
,
y x x y
= =-
b)
2
5 0, 3 0
y x x y
+ - = + - =
c)
2
2 0, 0
y y x x y
- + = + =
d)
2

2 1 , 1
y x y x
= + = -
e)
2
2 , , 0, 3
y x y x y y
= = = =
f )
2
( 1 ) , sin
y x x y
= + = p
g)
2 2 2
6 , 16
y x x y
= + =
h)
2 3 2
(4 ) , 4
y x y x
= - =
i )
3
1 0, 1 0
x y x y
- + = + - =
k)
2 2 2

8 , 2
x y y x
+ = =
Baøi 6. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u :
a)
. ; 0 ; 1 ; 2.
x
y x e y x x
= = = - =
b )
2
.ln ; 0 ; 1 ; .
y x x y x x e
= = = =
c)
; ; 1.
x x
y e y e x
-
= = =
d)
2
5 ; 0 ; 0 ; 3 .
x
y y x y x
-
= = = = -
e)
5
( 1 ) ; ; 1.

x
y x y e x
= + = =
f )
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
= = = =
g)
2
si n cos , 0, 0,y x x y x x
= + = = =p
h )
si n ; ; 0 ; 2 .
y x x y x x x
= + = = = p

i )
2
si n ; ; 0 ; .
y x x y x x
= + = p = =p
k)
2
si n sin 1 , 0, 0,
2
y x x y x x
p
= + + = = =

Baøi 7. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u :
a)
2
1
( ) :
2
C y x
x
= + , tiệm c ận x i ê n c ủa (C), x = 1 và x = 3.
b )
2
2 1
( ) : , 0
2
x x
C y y
x
+ +
= =
+
, tiệm c ận x i ê n c ủa (C), x = –1 và x = 2
c)
3 2
( ) : 2 4 3 , 0
C y x x x y
= - + - =
v à t i ếp tuyến v ới ( C ) t ại đi ểm c ó h o à n h độ x = 2.
d)
3
( ) : 3 2, 1

C y x x x
= - + =-
v à t i ếp tuyến v ới ( C ) t ại đi ểm c ó h o à n h độ x = –2.
e)
2
( ) : 2
C y x x
= -
v à c á c t i ếp tuyến v ới ( C ) t ại O ( 0 ; 0 ) v à A ( 3 ; 3 ) t r ê n ( C ) .
VẤN ĐỀ 2: Tính thể t í c h v ật thể
Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi h ì n h ( H ) g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u q u a y
quanh trục Ox:
a) sin , 0, 0,
4
y x y x x
p
= = = =
b)
3 2
1
, 0, 0, 3
3
y x x y x x
= - = = =
c)
6 6
si n cos , 0, 0,
2
y x x y x x
p

= + = = =
d) y x y x
, 0, 4
= = =
e)
3
1 , 0, 1 , 1
y x y x x
= - = = - =
f)
2
,
y x y x
= =
g)
2 3
,
4 8
x x
y y= = h)
2
4 , 2
y x x y x
= - + = +
i ) si n , cos , ,
4 2
y x y x x x
= = = =
p p
k)

2 2
( 2) 9 , 0
x y y
- + = =
l )
2 2
4 6, 2 6
y x x y x x
= - + = - - +
m )
ln , 0, 2
y x y x
= = =
Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi h ì n h ( H ) g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u q u a y
quanh trục Oy:
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 99
a)
2
, 1 , 4
x y y
y
= = =
b)
2
, 4
y x y
= =
c) , 0,

x
y e x y e
= = =
d)
2
, 1 , 2
y x y y
= = =
Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi h ì n h ( H ) g i ới h ạn b ởi c á c đườn g s a u q u a y
quanh: i) trục Ox ii) trục Oy
a)
2
( 2) , 4
y x y
= - =
b)
2 2
, 4 , 4
y x y x y
= = =
c)
2
1
, 0, 0, 1
1
y y x x
x
= = = =
+
d)

2
2 , 0
y x x y
= - =
e)
.ln , 0, 1 ,
y x x y x x e
= = = =
f)
2
( 0), 3 10, 1
y x x y x y
= > = - + =
g)
2
,
y x y x
= = h )
( )
2
2
– 4 1
x y
+ =
i ) 1
4
9
22
=+
yx

k)
1, 2, 0, 0
y x y y x
= - = = =
l )
2
0, 2, 0
x y y x
- = = =
m)
2 3
, 0, 1
y x y x
= = =

HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 100
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
2
dxxx
b )
5
3
( 2 2)

x x dx
-
+ - -
ò
c)
3
2
1
2 1
x x dx
- +
ò

d)
2
2
1
1
2
x
dx
x
-
æ ö
-
ç ÷
+
è ø
ò
e)

3
7
8 4
2
1 2
x
dx
x x+ -
ò
f )
1
2
0
2 5 2
dx
x x
+ +
ò

g)
1
2
0
( 1 )
xdx
x +
ò
h )
0
2

1
2 4
dx
x x
-
+ +
ò
i )
2
3 2
2
0
2 4 9
4
x x x
dx
x
+ + +
+
ò

k)
1
3
2
0
1
x
dx
x +

ò
l )
1
2
0
1
x dx
x+
ò
m )
1
3
0
( 1 )
xdx
x +
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-+
2
1
11
dx
x
x
b )
4

1
2
5 4
dx
x
-
+ +
ò
c)
0
1
1
x x dx
-
+
ò

d)
10
5
2 1
dx
x x
- -
ò
e)
3
1
3
3 1 3

x
dx
x x
-
-
+ + +
ò
f )
2
1
2 2
xdx
x x
+ + -
ò

g)
2
4
5
0
1
x
dx
x +
ò
h )
9
3
1

1
x x dx
-
ò
i )
x
dx
x
7
3
3
0
1
3 1
+
+
ò

k)
3
3 2
0
1
x x dx
+
ò
l )
1
3 2
0

3
x x dx
+
ò
m )
1
3 2
0
1
x x dx
-
ò

o)
1
5 2
0
1
x x dx
-
ò
p)
1
2
2
3
0
( 1 )
x x
dx

x
+
+
ò
q)
3
5 3
2
0
2
1
x x
dx
x
+
+
ò

r)
2
2 2
0
4
x x dx
-
ò
s) t )
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
/4

2
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
p
-
+
ò
b )
/2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
p
+
+
ò
c)
/2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
dx

x
p
+
ò

d)
/2
2 2
0
sin2
cos 4sin
x
dx
x x
p
+
ò
e)
/2
0
si n s in 2 s in 3
x x x dx
p
ò
f )
/2
5
0
cos
x dx

p
ò

g)
/2
4 4
0
cos2 (sin cos )
x x x dx
p
+
ò
h )
/3
2
/4
tan
cos 1 cos
x
dx
x x
p
p
+
ò
i )
2
0
sin
1 cos

x x
dx
x
p
+
ò

k)
/4
2
0
tan
x x dx
p
ò
l )
/2
0
si n 2
cos 1
x
dx
x
p
+
ò
m )
/2
0
si n

1 3cos
x
dx
x
p
+
ò

o)
/2
2004
2004 2 0 0 4
0
si n
sin cos
x
dx
x x
p
+
ò
p)
/2
3
0
4sin
1 cos
x
dx
x

p
+
ò
q)
/2
0
cos3
sin 1
x
dx
x
p
+
ò

IV. ÔN TẬ P TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 131
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP

Baøi 1. (TN 2002) Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đườn g
2
2 1
y x
= +
v à
y x
–1
=

.
ĐS: S
16
3
=
.
Baøi 2. (TN 2003)
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
3 2
2
3 3 1
( )
2 1
x x x
f x
x x
+ + -
=
+ +
biết rằn g F ( 1 ) =
1
3
.
2. Tìm diện tích hình phẳn g g i ới h ạn b ởi đồ thị c ủa hàm số
2
2 10 12
2
x x
y
x

- -
=
+
v à đườn g
thẳn g y = 0 .
ĐS: 1)
x
F x x
x
2
2 13
( )
2 1 6
= + + -
+
2)
S
63 16 ln8
= -
.
Baøi 3. (TN 2005) Tính tích phân:
I x x xd x
2
2
0
( sin )cos
p
= +
ò
.

ĐS: I
2
2
3
p
= -
.
Baøi 4. (TN 2006–kpb)
1. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi đồ thị c á c h à m s ố
x
y e
=
, y = 2 và đườn g t h ẳn g
x = 1 .
2. Tính tích phân: I =
2
x
dx
cos x
2
0
si n 2
4
p
-
ò
.
ĐS: 1)
S e
2 ln 2 4

= - -
2) I
4
ln
3
= .
Baøi 5. (TN 2006–pb)
1. Tính tích phân: I =
x x
x
e e
dx
e
ln5
ln 2
( 1 )
1
+
-
ò
.
2. Tính tích phân: J =
x
x e dx
1
0
(2 1 )+
ò
.
ĐS: 1) I

26
3
= 2) J = e + 1.
Baøi 6. (TN 2007–kpb) Tính tích phân: J =
e
x
dx
x
2
1
ln
ò
.
ĐS: I =
1
3
.
Baøi 7. (TN 2007–pb)
1. Tính tích phân:
x
dx
x
2
2
1
2
1
+
ò
.

III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail:
Trang 132
2. Tính tích phân:
x xd x
3
1
2 ln
ò
.
ĐS: 1)
(
)
J
2 5 2
= - 2)
K
9ln3 4
= -
.
Baøi 8. (TN 2007–kpb–lần 2 ) T í n h t í c h p h â n : I =
x
dx
x
1
2
3
0
3

1
+
ò
.
ĐS: I = ln2.
Baøi 9. ( T N 2 0 0 7 – p b – lần 2 )
1. Cho hình phẳn g ( H ) g i ới h ạn b ởi c á c đườn g y x y x xsi n , 0, 0,
2
p
= = = =
. Tính thể
tích của khố i t r ò n x o a y được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục h o à n h .
2. Tính diện t í c h h ì n h p h ẳn g g i ới h ạn b ởi c á c đường y x x y
2
6 , 0
= - + =
.
ĐS: 1) V
2
4
p
= 2) S = 36.
Baøi 10. (TN 2008–kpb) Tính tích phân: I =
x
e xdx
1
0
( 1 )+
ò
.

ĐS: I =
3
2
.
Baøi 11. (TN 2008–pb)
1. Tính tích phân: I =
x x dx
1
2 3 4
1
( 1 )
-
-
ò
.
2. Tính tích phân: J =
x xd x
2
0
(2 1 ) c o s
p
-
ò
.
ĐS: 1) I
32
5
= 2)
J
3

p
= -
.
Baøi 12. (TN 2008–kpb–lần 2 ) T í n h t í c h p h â n : I =
x dx
1
0
3 1
+
ò
.
ĐS: I =
14
9
.
Baøi 13. (TN 2008–pb–lần 2 )
1. Tính tích phân: I =
x
x e dx
1
0
(4 1 )+
ò
.
2. Tính tích phân: J =
x x dx
2
2
1
(6 4 1 )

- +
ò
.
ĐS: 1) I = e + 3 2) J = 9.
Baøi 14. (TN 2009) Tính tích phân: I =
x x dx
0
( 1 c o s )
p
+
ò
.
ĐS: I
2
4
2
p
-
= .
HOÀNG THÁI VI󰗇T - Đ󰖡I H󰗍C BÁCH KHOA ĐÀ N󰖵NG 2013
sđt : 01695316875 ymail: