Chuyên đề hinh học khong gian

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
1

Chuyên đề

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Mở đầu.
1.1 Lý do chọn chuyên đề.
Trong chương trình toán lớp 12, phần phương trình mặt phẳng là kiến thức khá khó đối với học sinh lớp
12, do học sinh rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng môn hình học không gian rất trừu
tượng. Phần này luôn có trong các đề thi tốt nghiệp THPT – Bổ túc THPT, các đề thi Đại học và Cao Đẳng
hàng năm, phần phương trình mặt phẳng về lý thuyết tuy không nhiều nhưng bài tập rất đa dạng các em thường
gặp khó khăn khi viết các dạng phương trình mặt phẳng. Từ đó tôi chọn chuyên đề về phương trình mặt phẳng
với mục đích nhằm khắc phục các hạn chế mà các em đã gặp và cũng nhằm nâng cao kết quả trong các kì thi.
1.2 Mục tiêu của chuyên đề.
Chuyên đề đưa ra các dạng toán về phương trình mặt phẳng và đề ra các phương pháp nhằm giúp học
sinh học nắm thật tốt các dạng phương trình mặt phẳng. Chuyên đề nhằm giúp học sinh rèn luyện các dạng
phương trình mặt phẳng.
1.3 Giới hạn của chuyên đề.
Chuyên đề áp dụng cho học sinh trung học phổ thông.
2. Nội dung.
2.1 Tóm tắt lý thuyết.
2.1.1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Vectơ
0n 
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu giá của
vectơ
n
vuông góc với mặt phẳng (P).

Chú ý:
- Nếu
n
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k.
n
với
0k 
cũng là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
- Nếu hai vectơ
   
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b
không cùng phương và giá của
chúng song song với một mặt phẳng (P) hoặc nằm trên mặt phẳng (P) thì vectơ
, n a b



là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng (P).
2.1.2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát có dạng Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2
0A B C  
.
- Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì
mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
 

;;n A B C
.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
với vectơ pháp tuyến
 
;;n A B C
có phương trình là:
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.
2.1.3 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì
phương trình mặt phẳng (P) là:
1
x y z
a b c
  
với
. . 0abc
.
2.1.4 Công thức tính khoảng cách từ một điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
đến một
mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 là:

 
 
0 0 0
2 2 2
Ax
,
By Cz D
d M P
A B C
  


.

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
2
2.2 Các dạng phương trình mặt phẳng.


 Dạng 1
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
và vuông
góc với đường thẳng d.


a. Phương pháp

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là

Pd
na
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     

b. Bài tập áp dụng
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp(P) qua điểm M(2;2;-1) và vuông góc với
đường thẳng d có phương trình tham số
x 1 2t
y 3t
z2








.

Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;2;-1).
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
 
Pd
n a 2; 3;0  
.
- Phương trình mặt phẳng
     
     
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
.

     
      
    
   
2 x 2 3 y 2 0 z 1 0
2x 4 3y 6 0
2x 3y 2 0

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài giải
- Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB
 
I 2;2;2
.

- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
 
P
n AB 2;2;2
.
- Phương trình mặt phẳng
     
     
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0


     
       

x 2 2 y 2 2 z 2 0
x+y+z-6=0

c. Bài tập luyện tập

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0;2;-1) và vuông
góc với đường thẳng d có phương trình chính tắc là
x 1 y 2 z
1 2 2



.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9).

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với BC tại B.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
3
2. Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với AB.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:
     
2 2 2
1 2 3 32x y z     
. Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với
trục Ox.


 Dạng 2
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
và
song song với mặt phẳng (Q).


a. Phương pháp.

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
.
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp
tuyến là:

PQ
nn
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.
b. Bài tập áp dụng.

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;3) và song
song với mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là: 2x+2y+z=0.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 
PQ
n n 2;2;1
.
- Phương trình mặt phẳng
     
     

0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0


     
       
       
     
x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 9 0

Cách khác:
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng
     x 2y z D 0, D 0.

- Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;3) nên:
     2.2 3 D 0 D 9.

- Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:
    x 2y z 9 0
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (ABC).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Tính
   
   AB 1;1;0 , AC 1;0;1 .

- Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là:
 



ABC
n AB,AC 1;1;1
.
- Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 



P
n AB,AC 1;1;1
.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
4
- Phương trình mặt phẳng
     
     
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0


     
      

x 0 1 y 0 1 z 0 0.

x+y+z=0.

c. Bài tập luyện tập.

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;0) và song
song với mp (Q) có phương trình: 2x-3y+4z-9=0.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua điểm B(1;2;3) và song
song với mặt phẳng (Oxy).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1), B(2;-3;2), C(5;0;4), D(6;2;5).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).


 Dạng 3
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
0 0 0
;;A x y z
.
- Do mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB,AC




.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;0;0),
B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
P
n AB,AC



.
Với
 
 







AB 1;1;0 .

AC 1;0;1 .


 
P
n AB,AC 1;1;1

  

.
- Phương trình mặt phẳng
     
     
0 0 0
(P): A x x B y y C z z 0
.

     
      
    
    
x 1 1 y 0 1 z 0 0.
x 1 y z 0.
x y z 1 0.


Cách khác: Ta có thể áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
- Do ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt phẳng (P) có phương trình
là:
o

1 1 x+y+z-1=0
1 1 1
x y z x y z
a b c
       
.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
5
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
     
2 2 2
x y z 2x 4y z 0
.
Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ) của mặt cầu (S) với các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình
mặt phẳng
 

đi qua ba điểm A, B, C.
Bài giải
 Tìm A.
- Vì
 
Ox A x;0;0A
.
- Do
   
2
0
S 2 0 2;0;0

2
x
A x x A
x


      



.
 Tìm B.
- Vì
 
Oy 0;y;0 
.
- Do
   
2
0
S y 4 0 0; 4;0
4
y
y
y


       




.
 Tìm C.
- Vì
 
C Oz C 0;0;z
.
- Do
   
2
0
C S z 0 C 0;0; 1
1
z
z
z


      



.
 Do ba điểm A(-2;0;0), B(0;-4;0), C(0;0;-1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt phẳng (P) có phương trình
là:

1
1
241
x+y+4z+4=0

x y z
a b c
x y z
  
   


.
c. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(2;4;5), C(4;1;2). Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0;-2), trung điểm đoạn thẳng AB
là I(-1;1;4) và trọng tâm là G(9;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K(1;2;3), đường thẳng d có phương trình tham số:
x 1 t
y 1 t
z 2t
  


  




và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát:
x+y-2z-4=0. Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (OHK).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-3;4). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M lên các trục tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;-5)

lên các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm I, J, K.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1), B(2;-3;2), C(5;0;4), D(6;2;5).
Gọi G là trọng tâm tứ diện và I là điểm cách đều các đỉnh của tứ diện. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba
điểm B, G, I.


 Dạng 4
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
6
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
không đi qua A.

a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A.
- Chọn một điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến là:



Pd
n MA,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     

0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số
1
2
2
xt
yt
zt








và điểm
A(1;3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;3;2).
- Đường thẳng d đi điểm M(1;0;2) và có vectơ chỉ phương là
 
1;2;1
d
a 
.

- Ta có
 
0;3;0MA 
.
- Do mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 

  

Pd
n MA,a 3;0; 3
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.
     
3 1 0 3 3 2 0
3 3 3 6 0
3 3 3 0
10
x y z
xz
xz
xz
      
    
   
   

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;1) và chứa
trục Ox.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:



P
n OA,i
.
- Với
 
 
2;1;1
1;0;0
OA
i







.
- Suy ra:
 


  

P
n OA,i 0;1; 1
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.
     
x 1 0 1 0 0
0
yz
yz
       
  

c. Bài tập luyện tập.

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
7
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là
11
1 2 3
x y z


và điểm B(1;-3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua B và chứa đường thẳng d.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (

) đi qua điểm M(-2;1;-3) và chứa
trục Oy.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm E(3;-1;0) và chứa
trục Oz.


 Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (Q).


a. Phương pháp.

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A.
- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:



PQ
n AB,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

b. Bài tập áp dụng.

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(3;-2;5), B(1;-
1;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-3y+2z+4=0.

Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3;-2;5).
- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:



PQ
n AB,n
.
- Với
 
 
2;1; 2
1; 3;2
Q
AB
n

  






, suy ra
 

  

PQ
n AB,n 4;2;5
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

     
4 3 2 2 5 5 0
4 12 2 4 5 25 0
4 2 5 9 0
x y z
x y z
x y z
       
       
    


c. Bài tập luyện tập.

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;4),
B(3;2;-1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+y+2z-3=0.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (

) đi qua hai điểm M(2;1;1),
N(3;2;2) và vuông góc với mặt phẳng (

): x+2y-5z-3=0.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
8

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm E(1;-2;2), F(-
3;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x+y-z+6=0.



 Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc
với mặt phẳng (Q).


a. Phương pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
;;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:




P d Q
n a ,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
1
2
2
xt
yt
zt








và mặt
phẳng (Q) có phương trình tổng quát 2x-y+3=0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường
thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q).
Bài giải
- Chọn điểm M(1;0;2) thuộc đường thẳng d.

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
 
1;2;1
d
a 
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
 
2; 1;0
Q
n 
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ
pháp tuyến là:
 

  

P d Q
n a ,n 1;2; 5
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

     
1 1 2 0 5 2 0.
2 5 9 0.

x y z
x y z
      
    

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
11
1 2 1
x y z


và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát
x+y+z+10=0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
(Q).
Bài giải
- Chọn điểm M(1;0;-1) thuộc đường thẳng d.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
 
1;2;1
d
a 
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
 
1;1;1
Q
n 
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ
pháp tuyến là:

 

  

P d Q
n a ,n 1;0; 1
.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
9
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

     
1 1 0 0 1 1 0.
2 0.
x y z
xz
      
   

c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
12
1
2
xt

yt
zt








và mặt
phẳng (Q) có phương trình tổng quát 2x+z+1=0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường
thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q).

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
2
1 2 3
x y z 

và
mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát
x-2y-z+9=0. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
(Q).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc với
mặt phẳng (Q): 4x+y+3z-8=0.
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Oz và vuông góc với
mặt phẳng (P): 5x-3y-2z+7=0.


 Dạng 7

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song
với đường thẳng d’.


a. Phương pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
;;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và và song song với đường thẳng d’
nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:



P d d'
n a ,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
3
1
22
xt
yt
zt









và
đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
'
2 3 '
2'
xt
yt
zt








. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa
đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.


Bài giải
- Chọn điểm M(3;1;2) thuộc đường thẳng d.

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
10
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
 
1; 1;2
d
a 
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
 
'
1;3;2
d
a 
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) có vectơ
pháp tuyến là:
 

   

P d d'
n a ,a 8; 4;2
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

     
3 4 1 2 2 0.
4 2 24 0.
4 2 12 0
x y z
x y z
x y z
       
     
    

c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
12
2 2 1
x y z


và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
2
53
4
xt
yt
z



  





. Viết phương trình tổng quát
của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
12
2 1 1
x y z



và đường thẳng d’ có phương trình chính tắc là :
54
2 3 1
x y z


. Viết phương trình tổng quát của mặt
phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD.
2. Viết phương trình mặt phẳng
 

chứa đường thẳng BC và song song với đường thẳng AD.


 Dạng 8

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.


a. Phương pháp.
- Chọn một điểm M(
0 0 0
;;x y z
) thuộc đường thẳng d.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến là:



P d d'
n a ,a
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
12
2
13
xt
yt
zt







  

và
đường thẳng d’ có phương trình tham số là:
2'
1 2 '
1'
xt
yt
zt








. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa
đường thẳng d và đường thẳng d’.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
11
Bài giải
- Chọn điểm M(1;2;-1) thuộc đường thẳng d.

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
 
2;1;3
d
a 
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
 
'
1;2;1
d
a 
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng
(P) có vectơ pháp tuyến là:
 

  

P d d'
n a ,a 5;1;3
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

     
1 1 2 3 1 0.

x+y+3z+6=0.
x y z       
 

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
12
2
xt
yt
zt








và
đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
1 4 '
1 2 '
2'
xt
yt
zt









. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa
đường thẳng d và đường thẳng d’.
Bài giải
- Chọn điểm A(1;0;2) thuộc đường thẳng d.
- Chọn điểm B(1;1;0) thuộc đường thẳng d’.
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
 
2;1;1
d
a 
.
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là:
 
'
4;2;2
d
a 
.
- Nhận thấy
'
2
dd
aa
và điểm A thuộc d nhưng không thuộc d’ nên đường thẳng d song song với
đường thẳng d’.
- Tính

 
0;1; 2AB 
.
- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:
 

   

Pd
n AB,a 3; 4; 2
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

     
1 4 0 2 2 0.
3 3 4 2 4 0
x-4y-2z+1=0.
x y z
x y z
       
     


c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
0

1
1
x
y
zt








và
đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
2 2 '
1
0
xt
y
z
  







. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa

đường thẳng d và đường thẳng d’.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
12
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
1 2 4
2 1 3
x y z  


và đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
1
23
xt
yt
zt
  





  

. Viết phương trình tổng quát
của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:
2
13
xt

yt
zt
  







và
đường thẳng d’ có phương trình tham số là :
3'
2 9 '
1 3 '
xt
yt
zt






  

. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa
đường thẳng d và đường thẳng d’.

 Dạng 9
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với
mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).


a. Phương pháp.
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên mặt
phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:



P Q R
n n ,n
.
- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là x+y+z+1=0, mặt
phẳng (R) có phương trình tổng quát là 2x-y-3=0 và điểm M(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
điểm M và vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1).
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
 
1;1;1
Q

n 
.
- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:
 
2; 1;0
Q
n 
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên mặt
phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:.
 

  

P Q R
n n ,n 1;2; 3

- Phương trình mặt phẳng (P):
     
0 0 0
A x x B y y C z z 0     
.

     
1 1 2 2 3 1 0.
2 3 2 0.
x y z
x y z
      
    

c. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là 2x+y+z+1=0, mặt
phẳng (R) có phương trình tổng quát là x-2y+z+4=0 và điểm M(1;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
điểm M và vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
13
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) và mặt phẳng (Q) có
phương trình tổng quát là x+2z+10=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;1;-3) và vuông góc
với mặt phẳng (Q) và mp(ABC).


 Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa điều kiện cho trước và tiếp xúc
với một mặt cầu cho trước.

a. Phương pháp.
- Phương trình mp(P) có dạng
Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2
0A B C  
.
- Từ điều kiện cho trước ta tìm được vectơ pháp tuyến
 
;;
P
n A B C
của mặt

phẳng (P).
- Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ tâm I của mặt
cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R. Từ điều kiện này ta tính được D.
b. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-1=0 và mặt cầu
(S):
     
    
2 2 2
x-1 y 2 z 3 9
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc
với mặt cầu (S).
Bài giải
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3.
- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng
(P) có dạng 2x+2y+z+D=0 với D

-1.
- Mặt khác, do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

 
 
,
2.1 2.2 3
3 9 9
9
9 9 0
9 9 18
d I P R
D

D
DD
DD

  
    
  



    


- Với D=0, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+2y+z = 0.
- Với D=-18, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+2y+z-18 = 0
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là
22
92
xt
yt
zt
  







và

mặt cầu (S)
     
    
2 2 2
x-1 y 1 z 1 9
. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và
tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài giải
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=3.
- Phương trình mp(P) có dạng
Ax+By+Cz+D=0
với
2 2 2
0A B C  
.
- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có
vectơ pháp tuyến là
 
2;1;2
Pd
na
.
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x+y+2z+D=0.
- Mặt khác, do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
14

 
 

,
2.1 1 2.1
3
9
5 9 4
59
5 9 14
d I P R
D
DD
D
DD

  

  

    

    


- Với D=4, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+y+2z+4 = 0.
- Với D=-14, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+y+2z-14 = 0
c. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-1=0 và mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0)
bán kính R=3. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 16x-15y-12z-
75=0 và mặt cầu (S):
     

    
2 2 2
x-1 y 2 z 3 4
.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là
62
4
12
xt
yt
zt








và mặt
cầu (S)
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0      
. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và
tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S):
2 2 2
10 2 26 170 0x y z x y z      
và song song với hai đường thẳng d:

5 2 x=-7+3t'
1 3 , d': y=-1-2t'
13 2 z=8
xt
yt
zt
  





  

.







PHỤ LỤC

TT
NỘI DUNG
Trang
1
Mở đầu.
1

2
Tóm tắt lý thuyết.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

1
1
2
2

3
Các dạng phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
và vuông góc
với đường thẳng d.
2
4
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
0 0 0 0
;;M x y z
và song song với mặt phẳng (Q).
3
5
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C

4
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
15
không thẳng hàng.
6
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
không đi qua A.
6
7
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua qua hai điểm A, B và vuông góc
với mặt phẳng (Q).
8
8
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và
vuông góc với mặt phẳng (Q).
9
9
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với
đường thẳng d’.
10
10
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’.
11
11
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng (Q) và mặt phẳng (R).
13
12
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa điều kiện cho trước và tiếp xúc với

một mặt cầu cho trước.
14
14
Kết quả đạt được.
16
15
Kết luận – Kiến nghị.
16
16
Phụ lục.
17
17
Tài liệu tham khảo.
18