Một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức

To: My Special Friend




Một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức

Lời nói đầu:

Bất đẳng thức luôn là miền đất giàu có của toán học. Chúng ta làm việc với bất đẳng
thức hơn là đẳng thức. Ở những bài toán không có điều kiên, thường các vế đồng bậc
với nhau khi đó chúng ta dễ dàng có hướng đi để đánh giá hơn so với những bất đẳng
thức có điều kiện. Ở bài viết nhỏ này tôi xin giới thiệu với các bạn một vài cách đặt
ẩn
trong chứng minh bất đẳng thức có điều kiện.Do thời gian viết không được dài nên không
thể tránh được sai sót. Tôi mong rằng các bạn xem qua bài viết này để có sự góp ý cho
bài viết được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ email:



Bắc Ninh, ngày 03 tháng 07 năm 2011
Nguyễn Viết Thủy

Cuộc sống là không chờ đợi !!

A:Phương pháp đặt lượng giác

I: Một số đẳng thức lượng giác hữu ích
1: tantan tantan tantan 1
22 22 22
AB BC C A
++=
2:
otgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1c
3:
222
sin sin sin 2sin sin sin 1
222 222

ABC ABC
+++ =
4:
222
os os os 2cos cos cos 1cAcBcC A B C+++ =


II: Một số bất đẳng thức lượng giác hữu ích
1:
3
cos cos cos sin sin sin
2222
ABC
ABC
++≤++≤
2:
33
sin sin sin os os os
2222
ABC
ABCc c c++≤ + + ≤
3:
1
cos cos cos sin sin sin
2228
ABC
ABC≤≤

4:
33

sin sin sin os os os
2228
ABC
ABCccc≤≤
5:
cot cot cot 3 3
222
ABC
ggg++≥
6:
222222
3
os os os sin sin sin
2224
ABC
cAcBcC++≥ + + ≥

7:
222 2 2 2
9
sin sin sin os os os
2224
ABC
ABCccc++≤ + + ≤
8:
cot cot cot tan tan cot 3 3
22 2
AB C
gA gB gC g++ ≥++ ≥
9:

sec sec sec csc csc csc 6
222
ABC
ABC++≥ + + ≥


III: Một số cách đặt lượng giác trong chứng minh bất đẳng thức

Từ những đẳng thức, bất đẳng thức trên, ta có thể tìm ra được những cách đặt lượng
giác để có thể giải bài toán bất đẳng thức một cách dễ dàng. Sau đây tôi xin giới thiệu
một số cách đặt:

(Chứng minh sự tồn tại tôi xin dành cho bạn đọc)

T1:Với 3 số dương a;b;c thỏa mãn:ab+bc+ca=1.
Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
1)
tan ; tan ; tan
222
ABC
abc===
2) cot ; cot ; cotagAbgBcgC
===



T2: Với 3 số dương a;b;c thỏa mãn:a+b+c=abc
Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
1)a
=tanA; tan ; tanbBcC==

2)
111
;;
tan tan tan
222
abc
ABC
===
3)
cot;cot;cot
222
A
BC
agbgcg===

4)
11
;;cot
cot cot 2
C
abcg
gA gB
===

T3: Với 3 số dương a;b;c thỏa mãn:
222
21abc abc
+
++ =
Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho :

1)
sin ; sin ; sin
222
ABC
abc===
2) cos ; cos ; cosaAbBcC===

T4: Với 3 số thực dương a;b;c. Khi đó luôn tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

sin
2()()
Ayz
x
yx z
=
++

sin
2()()
Bxz
y
xy z
=
+
+


sin
2()()
Cxy

zxzy
=
++




T5
: Với 3 số thực dương a;b;c. Khi đó luôn tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

()
os
2()()
Axxyz
c
x
yx z
++
=
++

()
os
2()()
B
yx y z
c
y
xy z
++

=
+
+


()
os
2()()
Czxyz
c
zxzy
++
=
++



Sau đây chúng ta sẽ vận dụng chúng để chứng minh một vài bất đẳng thức sau, tôi sẽ
trình bày cả cách không thế lượng giác và cả cách đặt lượng giác để các bạn thấy được
ích lợi của nó (^_^)





IV: Những bất đẳng thức qua các kì thi

Pro.1: (Ba Lan 99)
Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn:a+b+c=1. Chứng minh rằng:

222
23 1abc abc+++ ≤


Lời giải 1:
Bất đẳng thức tương đương:

3abc ab bc ca≤++

2
3( )abc ab bc ca⇔≤++
Mà bất đẳng thức trên đúng do:

2
()3()3ab bc ca abc a b c abc++ ≥ ++=
Từ đó ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi
1
3
abc
=
==
Lời giải 2:
Đặt: ;;
bc ca ab
xyz
abc
===
Khi đó:
; ;ayzbxzcxy===

1
x
yyzzx⇒++=
Bất đẳng thức tương đương :

222
() () () 23 1
x
yyzzx xyz+++ ≤

3xyz⇔++≥ (*)
Lại có từ điều kiện tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

tan ; tan ; tan
222
A
BC
xyz===

(*)
tan tan tan 3
222
ABC
⇔++≥
Mà bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng. Từ đó ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
abc===
Nhận xét: Ở bài toán này có vẻ cách đặt lượng giác đã làm một bài toán từ đơn giản trở

nên phức tạp. Chúng ta hãy qua bài tiếp để thấy được hữu ích của cách đặt lượng giác.

Pro. 2: (Iran 97)
Cho 3 số dương x;y;z >1 thỏa mãn:
111
2
xyz
+
+=
Chứng minh rằng:

111
x
yzxyz−+ −+ −≤ + +


Lời giải 1:
Bất đẳng thức tương đương:

3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
2
xy yz zx−−+−−+−−≤ (*)
Đặt 1 ; 1 ; 1
x
ay bz c−= −= −= (a;b;c>0)

111
2
111abc

⇒++=
+++

Hay
21ab bc ca abc+++ = (1)

3
(*)
2
ab bc ca⇔++≤ (2)
Đặt
;;
222
mn p
ab bc ca===


22 2
4mn pmnp⇒+++ =
Ta phải chứng minh:
3mn p++ ≤
Trong 3 số m;n;p luôn tồn tại 2 số cùng phía với 1.
Không mất tính tổng quát giả sử: (m-1)(n-1)
0≥

1mn m n⇒+≥+
Ta cần chứng minh
2pmn
+
≤

Lại có:

22 2 2
42m n p mnp mn p mnp=+++ ≥ ++

2
240pmnpmn⇒++−≤

(2)( 2)0ppmn⇒+ + −≤

2 0pmn⇒+ −≤
Ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi
3
2
xyz
=
==
.

Lời giải 2:
Từ đẳng thức (1) tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

222
( ; ; ) (sin ;sin ;sin )
222
A
BC
ab bc ca =
Khi đó (2)
3

sin sin sin
2222
ABC
⇔++≤
Đây là bất đẳng thức lượng giác cơ bản. Ta có đpcm.
Dấu”=” xảy ra khi
3
2
xyz===
.

Nhận xét: Nếu không thế lượng giác, chúng ta phải biến đổi dài dòng kết hợp với lý luận
mới có được lời giải cho bài toán trên. Nhưng chỉ với cách đặt lượng giác, chúng ta đã
đưa BĐT ban đầu trở về một bất đẳng thức lượng giác cơ bản (^_^).





Pro. 3: (Crux Mathematicorum)
Cho 3 số dương x;y;z
Chứng minh rằng:

1
()() ()() ()()
xyz
x xyxz y yzyx z zyzx
++≤
++ + ++ + ++ +

Lời giải 1:
Bất đẳng thức tương đương:

()() ()() ()()
2
()() ()() ()()
xyxz yzyx zxzy
x xyxz y yzyx z zxzy
++ ++ ++
++≥
++ + ++ + +++

1
2
2
1
()()
sym
x
xyxz
⇔≥
∑
+
++

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schrawz ta có:


19

22
13
()() ()()
sym
xx
x
yx z x yx z
sym
≥
∑
++
∑
++ ++

Ta sẽ chứng minh:

9
2
2
3
()()
x
xyxz
sym
≥
+
∑
++

2

3
()()2
x
xyxz
sym
⇔≤
∑
++

Áp dụng AM-GM ta có:
2
1
()
()()2
x
xx
x
yx z x y x z
≤+
++ + +

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự cộng lại ta có đpcm.

Lời giải 2:

Bất đẳng thức tương đương:

2
1
1

()()
1
sym
xyxz
x
≤
++
+
∑
(*)
Hai vế của bất đẳng thức đồng bậc. Không mất tính tổng quát giả sử:
1
x
yyzzx++=

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
tan ; tan ; tan
222
ABC
xyz===
2
2
(tan tan )(tan tan )
()() 1
2222
tan sin
22
ABAC
xyxz
AA

x
++
++
⇒= =

Tương tự:
2
()()1
sin
2
yzyx
B
y
++
=
2
()() 1
sin
2
zxzy
C
z
++
=
Khi đó:

sin
2
(*) 1
1sin

2
sym
A
A
⇔≤
+
∑


1
2
1sin
2
sym
A
⇔≥
+
∑

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawz ta có:

19
2
1 sin 3 sin
22
sym
sym
AA
≥≥
++

∑
∑
(Do
3
sin
22
sym
A
≤
∑
)
Ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi
x
yz
=
=


Pro 4: (Romania 2005)

Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn: (a+b)(b+c)(c+a)=1
Chứng minh rằng:

3
4
ab bc ca++≤
Lời giải 1:

Đặt: ; ;ab xbc yca z+= += +=
;;

222
x
zy xyz yzx
abc
+− +− +−
⇒= = =
Điều kiện trở thành: xyz=1
Khi đó bất đẳng thức tương đương:

()()()()()()3zxyzyx xyzxzy yxzyzx+− +− + +− +− + +− +− ≤

222 2 2 2
3( )( )( )
x
yz xy yz zx⇔++≤+− +− +−

222
32( )
x
y z xy yz zx⇔+++≥ ++
Có 3 hướng đi để ta “tấn công” bất đẳng thức trên:

Hướng
1:
Ta có:
222 2 2 2
3
9
31 3 2( )
x

yz xyz x y z xy yz zx x y z
abc
=+ + ≥ ≥ ≥ + + − − −
++

(Theo BĐT Shur bậc ba)

Từ đó ta có đpcm

Hướng 2:

Tồn tại hai số cùng phía với 1, không mất tính tổng quát giả sử:
(1)(1)0xy−−≥
Khi đó ta có:
222 222 2 2
321()(1)2(1)(1)0xyz xyz xyz xy z zx y+++=+++ +=− +−+ − −≥ (Đúng)
Ta có đpcm

Hướng 3:

Đặt:
22 2
;;
mnp
xyz
np mp mn
===
Bất đẳng thức trở thành:
66 6 222 3 3 3
32[()()()]m n p m n p mn np pm++ + ≥ + +

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc ba cho bộ số:
22 2
(;;)mnp ta được:
66 6 222 2222 3 3 3
3()2[()()()]mn p mnp mnmn mn np pm++ + ≥ + ≥ + +
∑

Ta có đpcm
Lời giải 2:
Ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau:
Với 3 số dương a;b;c ta luôn có:
33 2
3
( ) ( ) [( )( )( )]
4
ab bc ca a b b c c a++ ≤ + + + (*)
Thật vậy:
Vì 2 vế đồng bậc nên không mất tính tổng quát giả sử:
1ab bc ca
+
+=

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
tan ; tan ; tan
222
ABC
abc===
1
()()()
os os os

222
abbcca
ABC
ccc
⇒+ + +=
23
14
(*) ( ) ( )
3
os os os
222
ABC
ccc
⇔≥
33
os os os
2228
ABC
ccc⇔≤
Bất đẳng thức trên đúng , từ đó ta có đpcm


Nhận xét: Khi ta biết vận dụng linh hoạt điều kiện và những biến đổi lượng giác, ta sẽ
đưa những bài toán bất đẳng thức khó trở về những bất đẳng thức lượng giác cơ bản
(^_^)

Sau đây chúng ta sẽ bước tới một bất đẳng thức hết sức nổi tiếng với lời giải lượng giác.
Pro.5: (Iran 1996)
Cho ba số không âm a;b;c không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
222

1119
()
()()()4
ab bc ca
ab bc ca
⎡⎤
++ + + ≥
⎢⎥
+++
⎣⎦


Bất đẳng thức trên được phát biểu với hình thức rất đẹp nhưng không phải vậy mà chúng
ta dễ dàng “xơi” được nó. Sau đây là hai lời giải cho bài toán khó trên.
Lời giải 1: (V.Q.B.Cẩn)
Do tính đối xứng nên không mất tính tổng quát giả sử
0abc≥≥≥. Áp dụng bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz ta có:
2
2
22 22
11111(2)
()()2 2()()
ab c
bc ac bc ac bc ac
++
⎛⎞
+≥+=
⎜⎟
++ ++ ++

⎝⎠

Nên ta chỉ cần chứng minh
2
222
1(2)9
()
()2()() 4
ab c
ab bc ca
ab ac bc
⎛⎞
++
++ + ≥
⎜⎟
+++
⎝⎠

Bất đẳng thức trên thuần nhất, không mất tính tổng quát giả sử a+b=1. Đặt ab=x
⇒
1
(1 )
4
x
cc≥≥ −

Khi đó ta phải chứng minh:
2
22
()(12)9

() 0
2( ) 4
xc c
fx x c
xcc
++
=
++ − ≥
++

Ta có:
22
23
(1 2 ) ( )
'( ) 1
2( )
ccxc
fx
cc x
++−
=−
++


22
24
(1 2 ) ( 2 )
''( ) 0
()
cc c x

fx
cc x
+−+
=≥
++
(Do
22
223(23)0ccxccc c
−
+≥ − = − ≥)
32
4
1(21)(8 20 387)
'( ) '( ) 0
4(21)
cccc
fx f
c
−+++
⇒≤ = ≤
+

2
2
1(12)
() () 0
4(12)
cc
fx f
c

−
⇒≥ = ≥
+

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu”=” xảy ra khi a=b; c=0
Lời giải 2:(Hojoo Lee)

Bất đẳng thức trên thuần nhất, không mất tính tổng quát giả sử:
1ab bc ca
+
+=
Khi đó ta chỉ cần chứng minh:
222
1119
()()()4ab bc ca
++≥
+++


Theo
T1: Tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
cotagA= ; cotbgB= ; cotcgC=
Ta để ý đến các phân tích sau:
2
22
22
1 (sin .sin ) (sin .sin ) sin .sin
(cot cot ) (sin cos sin cos ) [sin( )] sin
AB AB AB
gA gB B A A B A B C

⎛⎞
===
⎜⎟
+++
⎝⎠

Tương tự xây dựng các đẳng thức còn tại khi đó ta cần chứng minh:
2
sin .sin
sin
AB
C
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
+
2
sin .sin
sin
B
C
A
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
+
2
sin .sin 9
sin 4
CA

B
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
(*)
()
2
222
sin sin sin sin sin sin 9
2sin sin sin
sin sin sin 4
AB BC C A
ABC
CAB
⎛⎞
⇔++ ≥+++
⎜⎟
⎝⎠

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên bằng dồn biến.
Đặt:
sin sin sin sin sin sin
(;; )
sin sin sin
AB BC C A
fABC
CAB
=++
Bất đẳng thức (*) đối xứng. Không mất tính tổng quát giả sử:

23
A
π
π
≥≥

Chú ý:
2
32
BC
π
π
≥+≥
⇒ 2sinBsinC≤
22 2
sin sin 2sin
2
B
C
BC
+
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠
=
2
2cos
2
A

Lại có:
()
2
22
sin
4sin Asin
1
2
2
;; ; ; 0
2 2 sin sin sin 2
BC
A
BCBC
fABC fA
ABC
−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
++
⎛⎞
⎝⎠
−= −≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟

⎝⎠

Do:
23
A
π
π
≥≥
nên
22
4
4sin Asin
1
2
16sin
sin sin 2 2
A
A
BC
≥>
Do vậy ta chỉ cần chứng minh:
2
22
9
;; 2sin4cos
22 4 2
B
CB C A
fA A
⎛++⎞

⎛⎞
≥+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

Hay:
2
4
os
2
2sin
sin
A
c
A
A
⎛⎞
⎜⎟
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
22
9
2sin 4cos
42
A
A≥+ +

2
cos (cos 1)(2cos 1) 0AA A⇔+−≥ (Đúng)

Kết thúc chứng minh
☺

Qua mấy ví dụ trên có lẽ các bạn cũng phan nào lắm được phương pháp trên.Để kết thúc
phương pháp này ở đây mời các bạn thử sức với một vài bài toán sau:

III: Bài tập đề nghị

Pro.6: (Thi thử ĐH)
Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn: a+b+c=1. Chứng minh rằng:

3
2
ab bc ca
cab abc bca
++≤
+++

Pro.7: (USA 2003-VMO 1999)
Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn:
abc a c b
+
+=.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
222
223
111

P
abc
=−+
+++


Pro.8: (APMO 2002)
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn:
111
1
abc
+
+=
Chứng minh rằng:

a bc b ca c ab abc a b c++ +++≥ + + +

Pro 9 (Crux Mathematicorum)
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng:
22 22 22
43
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
9
ab c ba c cb a−−+−−+−−≤


Pro:10
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng:

111 1
2
2ab bc ca
++≥+
+++

















B) Phương pháp đặt đại số

Với những bất đẳng thức mà điều kiện ta ít gặp, khó có thể đánh giá bằng những bất
đẳng thức cổ điển, chúng ta thường cảm thấy khó khăn trong việc đánh giá các hạng
tử.Trong phương pháp này tôi xin giới thiệu với các bạn một số cách đặt cho bất đẳng
thức có điều kiện.

I: Một số cách đặt

H1
Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn: 21ab bc ca abc
+
++ = (1). Khi đó tồn tại bộ ba số
dương (x;y;z) sao cho:
x
a
y
z
=
+
;
y
b
zx
=
+
;
z
c
x
y
=
+
(*)

Chứng minh:

Ta có:
111
21 2 1
111 111
abc
ab bc ca abc
abc abc
+++ =⇔ + + =⇔ + + =
+++ +++

Đặt
1
a
x
a
=
+
;
1
b
y
b
=
+
;
1
c
z
c
=

+

Ta sẽ chứng minh bộ (x;y;z) được chọn như trên thỏa mãn.
Thật vậy:
Khi đó ta có: 1
x
yz++=

Lại có:
11
axx
xa
axyz
=⇔==
+−+

Tương tự
1
y
y
b
y
xz
==
−+


1
zz
c

zxy
==
−+

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Kết thúc chứng minh.

Để ý chút nếu ta đặt
mab= ; nbc= ;
p
ac=
Khi đó:
22 2
221ab bc ca abc m n p mnp+++ = +++ =
Theo Bổ đề 1 tồn tại bộ số (x;y;z) sao cho:
x
a
y
z
=
+
;
y
b
zx
=
+
;
z
c

x
y
=
+


()()
xy
mab
x
zy z
⇒= =
++
;
()()
yz
nbc
x
yx z
==
+
+
;
()()
xz
pac
x
yy z
==
++

Từ đó ta có một vài cách đặt sau:

H2:
Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn:
222
21abc abc
+
++ =. Khi đó tồn tại bộ ba số (x;y;z)
sao cho:
()()
xy
a
x
zy z
=
++
;
()()
yz
b
x
yx z
=
++
;
()()
xz
c
x

yz y
=
+
+

H3: Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn: 2
xyz
xyz yzx zxy
+
+=
+++

Khi đó tồn tại ba số
;;
x
yz sao cho:
()()
xy
a
x
zy z
=
++
;
()()
yz
b
x
yx z
=

++
;
()()
xz
c
x
yz y
=
+
+

H4: Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn:
222
21abc abc
+
++ =. Khi đó tồn tại ba số x;y;z là
ba cạnh của một tam giác sao cho:

()()
4
x
yzxzy
a
yz
+− +−
=
;
()()
4
yxzyzx

b
xz
+
−+−
=
;
()()
4
zyxzxy
c
xy
+
−+−
=

H5: Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn:
1111
ak bk ck k
+
+=
+
++
trong đó k là số thực
dương
Khi đó tồn tại bộ ba số x;y;z sao cho:
()ky z
a
x
+
= ;

()kx z
b
y
+
= ;
()kx y
c
z
+
=

H6: Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: 1ab bc ca
+
+= khi đó tồn tại ba số thực dương
x;y;z sao cho:
()
yz
a
x
xyz
=
++
;
()
xz
b
y
xyz
=
++

;
()
xy
c
zx y z
=
+
+


H7: Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: 1ab bc ca
+
+= khi đó tồn tại ba số thực dương
x;y;z sao cho:
()()
()()
x
yzxzy
a
x
yzyzx
+− +−
=
++ +−
;
()()
()()
y
xzyzx
b

x
yzxzy
+
−+−
=
+
++−
;
()()
()()
zxyzyx
c
x
yzxyz
+
−+−
=
+
++−


Ta sẽ vận dụng những điều trên để giải một số bài toán bất đẳng thức sau:





II)Bài tập vận dụng

Pro.1 (Post by hxtung)
Cho ba số thực dương a;b;c thỏa mãn:x+y+z+2=xyz.
Chứng minh rằng:

()
5( ) 18 8
x
y z xy yz zx++ + ≥ + +

Lời giải 1:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
9( ) 18 4( ) 8( )
x
yz xyz xy yz zx++ + ≥ ++ + + +
322( )
3
2
x
yz x y z
xyz xyz
⇔+++≥ ++
⇔≥++


Theo
H1: tồn tại ba số dương a;b;c sao cho:
bc
x
a
+

= ;
ac
y
b
+
= ;
ab
z
c
+
=
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

3

2
ab bc ca
bcca caab abbc
++≤
++ + + ++

Mặt khác ta có:
1
.
2
ab a b
bcca ac bc
⎛⎞
≤+
⎜⎟

++ + +
⎝⎠


1
.
2
bc b c
caab ba ca
⎛⎞
≤+
⎜⎟
++ + +
⎝⎠


1
.
2
ca c a
abbc cb ab
⎛⎞
≤+
⎜⎟
++ + +
⎝⎠

Nên
13

22
ab bc ca a b b c c a
bcca caab abbc ac bc ba ca cb ab
⎛⎞
++≤+++++=
⎜⎟
++ ++ ++ ++++++
⎝⎠

Vậy BĐT luôn đúng
Dấu “=” xảy ra
2xyz⇔===

Lời giải 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng phụ sau:
Với 3 số dương a;b;c ta luôn có bất đẳng thức đúng sau:

222
212( )a b c abc ab bc ca+++ +≥ + + (*)
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.
Chứng minh
:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

3222 222 222 222
9
21 3
abc
abc abc abc abc abc
abc

+++ +≥+++ ≥+++
++


Vậy ta chỉ cần chứng minh:

222
9
2( )
abc
a b c ab bc ca
abc
+++ ≥ ++
++

Nhưng bất đẳng thức trên đúng theo Schur bậc ba . Ta có đpcm.
Trở lại bài toán. Đặt 2 ; 2 ; 2
x
ay bz c=== 14a b c abc⇒+++=
Ta cần chứng minh:
(
)
5( ) 9 8a b c ab bc ca++ +≥ + +
Áp dụng bất đẳng thức (*) với bộ
(
)
;;abc ta có:
()
84()84ab bc ca a b c abc++ ≤+++ +
Do vậy ta chỉ cần

58a b c abc+++≥

()
2
410abc⇔−≥ (Đúng)
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2xyz===

Nhận xét: Hiển nhiên lời giải 2 ngắn gọn+đơn giản hơn nhiều so với lời giải 1. Mấu
chốt để của lời giải 2 chính là bất đẳng thức (*), khi đó áp dụng (*) ta dễ dàng có được
đpcm. Nhưng với những ai chưa từng gặp bất đẳng thức (*) thì việc chứng minh bài toán
sẽ gặp khó khăn rất nhiều, và bằng việc thay ở lời giải 1 đã làm bài toán càng trở lên d
ễ
dàng bằng AM-GM. Tôi cũng xin giới thiệu một lời giải rất ngắn gọn sau đây.
☺

Lời giải 3:
Không mất tính tổng quát giả sử:
(
)
(
)
220xy
−
−≥
Ta có:
L
HS RHS−=
(
)
4( ) 16 8

x
yz xyz xy yz zx++ + + − + +
()()
(
)
(
)
(
)
22 2
4424222220xy z zx y xyz=−+−+ − −+ − ≥
Ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi 2xyz
=
==. ☺

Lời bàn:

Lời giải trên rất ngắn gọn nhưng nó không thật tự nhiên cho lắm. Chắc hẳn các bạn cũng
đặt câu hỏi: Tại sao có thể phân tích được như vậy??. Thực ra ban đầu khi tiếp xúc với
bài toán này tôi đã nghĩ ngay đến việc phân tích hiệu hai về thành các bình phương
nhưng sau nhiều lần cố phân tích tôi đã thất bại. Nản chí với cách đó tôi thử giải quyết
theo hướng khác và kết quả có đượ
c hai lời giải 1 và 2.Rồi tôi chợt nghĩ lại hướng đi ban
đầu của mình, suy nghĩ tại sao mình lại thất bại. Và tôi đã phát hiện ra sai lầm của mình
khi cố phân tích bình phương mà đánh giá giữa các biến bình đẳng với nhau.Khi phát
hiện ra “lỗ hổng” của mình, tôi đã thử phân tích bình phương mà chỉ có 2 biến x;y bình
đẳng xem sao?Bằng cách sử dụng tính chất cùng phía kết hợp với đẳng thức xảy ra của
BĐT như
vậy trong biểu thức phân tích ắt phải có hạng tử
(

)
(
)
22xy−− Nhưng
khi đó ta lại thừa ra các biểu thức độc lập của
x
và y Do vậy phải là hạng tử
()()
22zx y−−. Từ đó chú ý để thành phần có ở hai vế bất đẳng thức tôi đã dự
đoán các hạng tử cần phải có trong phân tích là:
()
2
x
y− ;
()()
22zx y−−
(
)
2
;1xyz
−
;
(
)
2
2z −
Và công việc còn lại khá đơn giản là tìm các hệ số a;b;c;d thích hợp sao cho:

()()()()()
22 2

22222a x y b z c z x y d xyz−+−+ − −+ −

()
4( ) 16 8
x
yz xyz xy yz zx=++++− + + .
Đó là lý do tại sao tôi có được đẳng thức trên
☺



Pro.2 (Nguyễn Viết Thủy)
Cho ba số dương a;b;c
Chứng minh rằng:
222
3
()()()64
()27
ab bc ca
abc a b c
+++
≥
++

Lời giải:
Đặt
()
bc
x
aa b c

=
++
;
()
ac
y
babc
=
++
;
()
ab
z
cabc
=
++

Khi đó ta có được:
1
x
yyzzx++=
Ta để ý đến các phân tích sau:
2
()()
11
()()
abbc ac
y
babc babc
++

=+ =+
++ ++

Khi đó bài toán trở thành: Cho ba số dương x;y;z thỏa mãn: xy+yz+zx=1
Chứng minh:
222
64
(1 )(1 )(1 )
27
xyz+++≥
Và hiển nhiên bài toán trên được “xơi” rất nhẹ nhàng bằng biến đổi như sau:
Ta có:
222 2 2 2
(1 )(1 )(1 ) ( ) ( ) ( )
x
yzxyyzzx+++=+ + +
Khi đó ta chỉ cần chứng minh:

8
()()()
33
xyyzzx+++≥
Nhưng bất đẳng thức trên chỉ là hệ quả của hai bất đẳng thức đúng sau:
88
()()()()( )()
99
x
yy zz x x y zxy yz zx x y z+++≥++ ++=++
Và:
88

()
9
33
xyz++ ≥
Nhận xét: Có vẻ các bạn thấy lời giải trên hơi rắc rối khi mà bài toán chỉ là hệ quả của
hai bất đẳng thức đúng sau:
8
()()()( )( )
9
x
yy zz x x y zxy yz zx+++≥++ ++

Và:
2
()3()
x
yyzzx xyzxyz++ ≥ ++
Nhưng bài toán tiếp theo sẽ cho chúng ta thấy cái lợi của cách đặt.


Pro:3 (Nguyễn Viết Thủy)
Cho ba số dương a;b;c
Chứng minh rằng:
222
3
6( )( ) ( )( )( ) 13
9
( )( )( ) ( ) 108
abcabbcca ab bc ca
abbcca abcabc

++ + + + + +
+≥+
+++ ++


Nếu như chúng ta đánh giá bằng AM-GM ngay sẽ trở lên rắc rối và khi đó cách đặt sẽ trở
thành công cụ đắc lực của ta khi làm rõ bản chất của bài toán

Lời giải:


Đặt
()
bc
x
aa b c
=
++
;
()
ac
y
babc
=
++
;
()
ab
z
cabc

=
++

Ta để ý đến phân tích sau:
[
]
3( ) ( ) ( ) ( )
6( )( )
()()() ()()()
abcabc bca cab
a b c ab bc ca
abbcca abbcca
++ + + + + +
++ + +
=
+++ +++



()()()
3
()()()()()()
aabc babc cabc
abac babc cbca
⎛⎞
++ ++ ++
=++
⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠

222
111
3
111xyz
⎛⎞
=++
⎜⎟
+
++
⎝⎠

Khi đó bài toán trở thành:
Cho ba số dương x;y;z thỏa mãn:
1
x
yyzzx
+
+=
Chứng minh:
222
222
111 13
3(1)(1)(1)9
1 1 1 108
xyz
xyz
⎛⎞
++ ++++≥+

⎜⎟
+++
⎝⎠


Và công việc còn lại của chúng ta thật đơn giản với “ bác” AM-GM
Áp dụng AM-GM ta có:

222
222
3
111 3
111
(1 )(1 )(1 )
xyz
x
yz
++≥
+++
+++

Khi đó ta cần chứng minh:
222
3
9
(1 )(1 )(1 )
x
yz+++
222
13

(1 )(1 )(1 ) 9
108
xyz++ + + ≥+ (*)

Đặt
222
3
(1 )(1 )(1 )
x
yzt+++=

Khi đó theo Pro.2 ta có được
4
3
t ≥
Và
3
9 985
(*)
108
t
t
⇔+≥

Nhưng bất đẳng thức trên đúng theo AM-GM:
3
9 9 9 243.
9
3 3 3 256
t

ttt
+++ ≥
Và
3
13 13
256 108
t ≥
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Kết thúc chứng minh.


13
9
108
+ =
13
9
09.12
+ : Số đẹp với tác giả
☺☺



Nhận xét: Bằng cách đặt trên chúng ta còn có thể chứng minh được bất đẳng thức mạnh
hơn là:
222
3
512( )( ) ( ) ( ) ( ) 256
81( )( )( ) ( ) 27
abcabbcca ab bc ca

abbcca abcabc
++ + + + + +
+≥
+++ ++

Và có lẽ theo tôi hằng số tốt nhất là
512
81

☺




Pro 4 (Iran 2005):
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn:
21ab bc ca abc
+
++ =

Chứng minh rằng:
3
2
ab bc ca++≤ (*)
Lời giải:
Chắc hẳn nếu như chúng ta đã có những công cụ ở trên thì việc chứng minh bài toán sẽ
trở lên đơn giản khi chỉ bằng AM-GM hai số:
Theo
H1: Tồn tại ba số dương x;y;z sao cho:
;;

x
yz
abc
y
zzxxy
===
+++


Khi đó ta chỉ cần chứng minh:
3
()()()()()()2
xy yz xz
xzyz xyxz xyyz
++≤
++ ++ ++

Nhưng bất đẳng thức chỉ là hệ quả của ba bất đẳng thức sau:
1
()()2
x
yxy
x
zy z xz y z
⎛⎞
≤+
⎜⎟
++ + +
⎝⎠

1
()()2
y
zyz
x
yx z x y x z
⎛⎞
≤+
⎜⎟
+
+++
⎝⎠


Và
1
()()2
x
zxz
x
yy z x y y z
⎛⎞
≤+
⎜⎟
++ + +
⎝⎠

Kết thúc chứng minh.

Nhưng nếu chúng ta không có công cụ trên thì sẽ làm thế nào??

Và không quá bất ngờ khi tôi nói bài toán trên và bài toán sau là giống hệt nhau:
Bài toán:
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: a+b+c=1.
Khi đó ta có bất đẳng thức đúng sau:

3
2
ab bc ca
cab abc bca
++≤
+++


Nhận xét: Chắc hẳn nếu nhìn bài toán ở phương diện trên thì nó trở lên rất dễ dàng và
không hề gây khó khăn cho chúng ta giải quyết. Nhưng nếu ta để như ở BĐT (*) mà
không có công cụ đặt thì chúng ta giải quyết bài toán sẽ không đơn giản
☺


Pro.5:(Korea MO-1998)
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn:
abc abc
+
+=

Chứng minh rằng:
222
1113
2
111abc

++≤
+++

Lời giải:
Điều kiện tương đương:
111
1
ab bc ca
++=
Dễ dàng nhận ra rằng tồn tại bộ ba số x;y;z sao cho:
()
x
xyz
a
yz
++
= ;
()yx y z
b
zx
++
=
;
()zx y z
c
xy
+
+
=
Khi đó bất đẳng thức trở thành:

3
()()()()()()2
yz zx xy
xyxz yxyz zxzy
++≤
++ ++ ++

Và công việc còn lại khá nhẹ nhàng bằng AM-GM (Tôi xin dành cho bạn đọc)

Nhận xét:
Bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách đặt lượng giác
hoặc theo các bất đẳng thức cổ điển. Nhưng có lẽ theo tôi cách giải trên đơn giản và ngắn
gọn nhất
☺


Để kết thúc bài viết mời các bạn thử sức với một số bài toán đề nghị sau:
III: Bài toán đề nghị

Pro.5(Iran 2010)
Cho ba số dương x;y;z thỏa mãn:
1
x
yyzzx
+
+=.
Chứng minh rằng:
222
2
3()3

xyz
xyz
yzx
+++≥+++
Pro. 6
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: 1ab bc ca
+
+=
Chứng minh rằng:

222
1119
888
4
555
abc bca cab
++≥
+++

(
Tạ Minh Hoằng-Nguyễn Huy Tùng tuyển tập các bài toán BĐT)
Pro.7
Cho ba số dương x;y;z thỏa mãn:
2
xyz
xyz yzxzxy
+
+=
+++

Chứng minh rằng:
222
13
2
24
x
yyzzx xyz x y z++≤+ ≤≤++
Pro.8
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn:a+b+c=abc
Chứng minh rằng:
222
3111ab bc ca a b c+ + ≥+ ++ ++ +

C: Tài liệu tham khảo:

[1]Sáng tạo bất đẳng thức (
Phạm Kim Hùng)

[2]Bất đẳng thức và những lời giải hay (
Võ Quốc Bá Cẩn-Trần Quốc Anh)

[3]Chuyên đề toán học (
Trường PTNK)

[4]Tuyển tập các bài toán bất đẳng thức (
Tạ Minh Hoằng, Nguyễn Huy Tùng)

[5]

[6]

Hãy chọn cho mình một lối đi chứ không phải một lối thoát !!


The End