bài toán biên không chính qui cho hệ phương trình vi phân hàm bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
o0o






Đinh Phước Vinh






BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011




BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
o0o

Đinh Phước Vinh

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO
Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN


Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin kính gửi đến Thầy, PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn lời cám ơn sâu sắc
về sự tận tình giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn cũng
như trong học tập.
Xin trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô thuộc khoa Toán của trường Đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi
trong suốt những năm học tập.
Xin trân trọng cám ơn Phòng Sau Đại Học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học tập và thực hiện luận
văn này.
Xin cảm ơn tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong những lúc khó
khăn nhất.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình tôi, là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt và đã
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và hoàn thành luận văn này.

Đinh Phước Vinh




MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 6
MỞ ĐẦU 9
Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI

PHÂN HÀM PHI TUYẾN 11

1.1. Giới thiệu bài toán 11
1.2. Về sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) 11
1.2.1. Định lí về tính chất Fredholm của bài toán biên tuyến tính 11
Định lí 12
1.2.2. Định nghĩa 14
1.2.3. Định lí 15
1.2.4. Định nghĩa 19
1.2.5. Định nghĩa 20
1.2.6. Hệ quả 20
1.2.7. Định nghĩa 21
1.2.8. Hệ quả 21
Chương 2: BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO 23

2.1. Giới thiệu bài toán 23
2.2. Định lí về tính chất Fredholm của bài toán biên tuyến tính bậc cao 23
2.2.1. Định nghĩa 24
2.2.2. Bổ đề 24
2.2.3. Định lí 27
2.2.4. Hệ quả 29
2.3. Về sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) 30
2.3.1. Định nghĩa 31
2.3.2. Định nghĩa 32
2.3.3. Bổ đề 32
2.3.4. Định lí 33
2.3.5. Hệ quả 37

2.3.6. Định nghĩa 38
2.3.7. Định nghĩa 39
2.3.8. Định lí 39
2.4. Ứng dụng vào hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch 44
2.4.1. Bổ đề 45
2.4.2. Định lí 47
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53







DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU


Tập hợp các số tự nhiên
( )
,= −∞ +∞
Tập hợp các số thực
[0, )
+
= +∞
Tập hợp các số thực không âm
m


Không gian các véc tơ cột m chiều
( )
1
m
i
i
xx
=
=
với các thành phần

( )
1, ,
i
xi m∈=
và với chuẩn
1
m
i
i
xx
=
=
∑

xy⋅

1
n
ii

i
x y xy
=
⋅=
∑
với
( ) ( )
11
, y
nn
ii
ii
xx y
= =
= =

( )
sgn x

( ) ( )
( )
1
sgn sgn
n
i
i
xx
=
=

m
+


( ) ( )
{ }
1
: 1, ,
m
m
ii
i
xx i m
++
=
= ∈=

mm×

không gian các ma trận
( )
,1
m
ik
ik
Xx
=
=
với các thành phần
ik

x ∈

và với chuẩn
,1
m
ik
ik
xx
=
=
∑
.
x

( )
1
m
i
i
xx
=
=
với
( )
1
m
m
i
i
xx

=
= ∈

X

( )
,1
m
ik
ik
Xx
=
=
với
( )
,1
m
mm
ik
ik
Xx
×
=
= ∈

mm×
+


( ) ( )

{ }
,1
: , 1, ,
m
mm
ik ik
ik
x x ik m
×
++
=
= ∈=

( )
rX
Bán kính phổ của ma trận
mm
X
×
∈

xy≤

( )
1, ,
ii
x y x yi m≤⇔ ⇔ =
với
( ) ( )
11

,
mm
m
ii
ii
xx yy
= =
= = ∈





XY≤

( )
, 1, ,
ik ik
X Y x y ik m≤⇔ ⇔ =
với
( )
,1
,
m
ik
ik
Xx
=
=

( )
,1
m
mm
ik
ik
Yy
×
=
= ∈

( )
!k
ε
−

( ) (
)
1
!
k
i
ki
εε
=
−= −
∏
với
k ∈

,
( )
0,1
ε
∈

[ ]
( )
,;
m
C ab 
Không gian Banach các hàm véc tơ
[ ]
:,
m
x ab → 
liên tục với chuẩn
( )
[ ]
{ }
max : ,
C
x xt t ab= ∈

[ ]
( )
,;
m
L ab 
Không gian Banach các hàm véc tơ

[ ]
:,
m
x ab → 
khả tích với chuẩn
( )
b
L
a
x x t dt=
∫

( )
( )
1
,
,;
nm
C ab
αβ
−

Không gian Banach các hàm véc tơ
( )
:,
m
x ab → 
khả vi liên tục tới
cấp
( 1)n −

và có các giới hạn
( )
( )
( )
1
lim
i
i
ta
ta x t
α
−
→
−
,
( )
( )
( )( )
1
lim 1, ,
i
i
tb
bt x ti n
β
−
→
−=
, với
, , ab

αβ
−∞ < < + ∞ ∈ 

,
22
ii
in in in in
αα ββ
αβ
+− + +− +− + +−
= =

( )
1, ,in=

với chuẩn
( ) ( )
( )
( )
1
,
1
1
sup :
ii
n
n
i
C
i

x ta bt x t atb
αβ
αβ
−
−
=

= − − <<


∑
.

( )
( )
1
,
,;
n
m
C ab
αβ
−

Tập tất cả các phần tử
( )
( )
1
,
,;

nm
x C ab
αβ
−
∈ 
sao cho
( )
1n
x
−
là liên
tục tuyệt đối trên
(,)ab
, nghĩa là, liên tục tuyệt đối trên
[ ]
,ab
εε
+−
với mọi số dương
ε
bé tuỳ ý
( )
( )
,
,;
m
L ab
αβ

Không gian Banach các hàm vectơ

( )
:,
m
y ab → 
có các thành phần
khả tích với trọng số
( ) ( )
ta bt
αβ
−−
với chuẩn
( ) ( ) ( )
,
b
L
a
y t a b t y t dt
αβ
αβ
=−−
∫





( )
( )
,
,;

mm
L ab
αβ
×

Không gian Banach các ma trận hàm
( )
:,
mm
Y ab
×
→ 
có các thành
phần khả tích với trọng số
( ) ( )
ta bt
αβ
−−
với chuẩn
( ) (
) ( )
,
b
L
a
Y t a b t Y t dt
αβ
αβ
=−−
∫

( )
( )
,
,;
m
L ab
αβ
+


( )
( )
( )
( )
( ) ( )
{ }
,,
,; ,; : , ,
m mm
L ab y L ab yt t ab
αβ αβ
++
=∈ ∈∈ 

( )
( )
,
,;
mm

L ab
αβ
×
+


( )
( )
( )
( )
( ) ( )
{ }
,,
,; ,; : , ,
mm mm mm
L ab Y L ab Y t t ab
αβ αβ
× ××
++
=∈ ∈∈ 









MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân hàm mặc dù ra đời đã lâu nhưng bắt đầu được quan tâm từ
những năm 20 của thế kỉ trước nhờ những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ
học, kinh tế, nông nghiệp,…Trong sự phát triển đó, các bài toán biên đóng một vai trò nổi
bật ở cả lý thuyết và thực tiễn ứng dụng.
Cho tới nay, có một lớp đủ rộng những bài toán chính quy
( )
( ) ( )( )
n
x t fxt=
với
điều kiện biên
( ) ( )
0 1, ,
i
hx i n= =
đã được nghiên cứu và trình bày trong các tài liệu
chuyên khảo [1], [2]. Những điều kiện đủ cho tính giải được của những bài toán loại này
cũng đã được giải quyết như trong [4], [5], [7], [10], [11], [16],…Tuy nhiên đối với bài toán
biên không chính quy, các kết quả thu được còn khá khiêm tốn và chưa đủ tổng quát. Như ở
[14], [15], trường hợp toán tử
f
có dạng
( )( ) ( )
( )
( )
( )
1
, , ,
n

f x t gtxt x t
−
=
đã được nghiên
cứu đầy đủ; trong khi với phương trình vi phân hàm
( )
( ) ( )( )
n
x t fxt=
, bài toán có trọng số
đã được giải quyết trong [13], cũng như bài toán hai điểm trong [6], [7], và bài toán nhiều
điểm Vallée-Poussin trong [8].
Với mong muốn phần nào lấp đầy lỗ hỏng trên, luận văn này trình bày một số kết quả thu
được từ việc khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán trong trường hợp tổng quát

Nội dung của luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày định lí về sự tồn tại nghiệm của bài toán biên chính qui
( )
( )( )
dx t
fxt
dt
=
,
( )
0hx=
trong trường hợp các toán tử
[ ]
( )
[ ]

( )
: ,; ,;
nn
f C ab L ab→

và
[ ]
( )
: ,;
nn
h C ab →
liên tục.
Chương 2, cũng là nội dung chính của luận văn, tổng hợp một số kết quả tổng quát
hơn được thiết lập trong [12], bởi các tác giả I. Kiguradze, B. Puza và I.P. Stavroulakis
trong việc xây dựng tính giải được của bài toán biên không chính qui
( )
( ) ( )( )
n
x t fxt=
với
điều kiện biên
( ) ( )
0 1, ,
i
hx i n= =
trong trường hợp các toán tử

( )
( )
( )
( )
1
,,
: ,; ,;
nm m
f C ab L ab
αβ αβ
−
→
và
( )
( )
( )
1
,
: , ; 1, ,
n mm
i
h C ab i n
αβ
−
→=
liên tục và
thỏa các điều kiện

( )( )
{ }

( )
( )
1
,
,
sup : , ;
n
C
f x x L ab
αβ
αβ
ρ
−
+
⋅ ≤∈ 
,

( )
{ }
( )
1
,
sup : 1, ,
n
i
C
hx x i n
αβ
ρ
−

≤ < +∞ =
.

Một số kết quả thu được sau đó chính là sự tổng quát hoá các kết quả đã biết trước
đó.





Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN HÀM PHI TUYẾN

1.1. Giới thiệu bài toán

Trong chương này ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm phi
tuyến

( )
( )( )
dx t
fxt
dt
=
(1.1)

với điều kiện biên
h(x)=0 (1.2)
trong đó
[ ]

( )
[ ]
( )
: ,; ,;
nn
f C ab L ab→
và
[ ]
( )
: ,;
nn
h C ab →
là các toán tử liên tục.
Nghiệm của phương trình (1.1) được hiểu là một hàm
[ ]
:,
n
x ab → 
liên tục tuyệt đối thoả
phương trình (1.1) hầu khắp nơi trên
[ ]
,ab
.
Một nghiệm của (1.1) thoả (1.2) được gọi là một nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).

1.2. Về sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)

1.2.1. Định lí về tính chất Fredholm của bài toán biên tuyến tính
Xét bài toán biên

( )
( )( ) ( )
dx t
px t qt
dt
= +
(1.3)

( )
0
xc=
(1.4)
trong đó,




[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,;
nn
p C ab L ab→
,
[ ]
( )
: ,;
nn
C ab → 

,
[ ]
( )
,;
n
q L ab∈ 
và
0
n
c ∈ 
.
Ngoài ra ta còn giả sử:
(i) p tuyến tính và tồn tại hàm khả tích
[ ]
:,ab
η
→ 
sao cho với mọi
[ ] [ ]
( )
, , , ;
n
t ab x C ab∈∈ 
, ta có
( )( ) ( )
C
px t t x
η
≤

(ii)  là toán tử tuyến tính bị chặn.
Cùng với bài toán (1.3), (1.4) ta có bài toán thuần nhất tương ứng

( )
( )( )
dx t
px t
dt
=
(1.3
0
)

( )
0x =

(1.4
0
)
Định lí
Bài toán (1.3), (1.4) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán thuần nhất tương ứng
(1.3
0
), (1.4
0
) chỉ có nghiệm tầm thường.Hơn nữa, nếu bài toán (1.3
0
), (1.4
0
) chỉ có nghiệm

tầm thường thì tồn tại số dương
β
sao cho nghiệm của bài toán (1.3), (1.4) thoả đánh giá

( )
0
CL
x cq
β
≤+
.
Chứng minh
• Đặt
[ ]
( )
,;
nn
B C ab= ×
là không gian Banach chứa các phần tử
( )
,u xc=
, trong
đó
[ ]
( )
,;
n
x C ab∈ 
,
n

c∈ 
với chuẩn
BC
uxc= +

Với tuỳ ý
( )
,u xc B= ∈
, cố định
[ ]
0
,t ab∈
, ta đặt

( )( ) (
) ( )( ) ( )
0
0
,
t
t
f u t c x t p x s ds c x

=++ −



∫


và

( ) ( )
0
0
,
t
t
h t q s ds c

=



∫
với mọi
[ ]
,t ab∈
.




Khi đó bài toán (1.3), (1.4) trở thành phương trình các toán tử trong B

( )
u fu h= +

do
( )

,u xc=
là nghiệm của phương trình trên khi và chỉ khi
0c =
và
x
là nghiệm của bài
toán (1.3), (1.4).
• f là toán tử compact
Ta chứng minh f(M) là tập compact tương đối nếu M là một tập bị chặn trong B.
Đặt
{ }
:M u Bu K=∈≤
với K dương.
Do các giả thiết (i), (ii) của bài toán (1.3), (1.4), có K
1
dương sao cho
( )
[ ]
( )
1
, , ;
n
C
x K x x C ab≤ ∀∈
và với mọi
uM∈
ta có

( )( )
( )

( )( )
( )
0
0
2
t
t
f u t c x t p x s ds x≤+ + +
∫



( )( )
( )( )
( ) ( )
00
0
11
11
22
2 2.
tt
C
tt
tb
C
ta
K p x s ds K x K p x s ds K K
KKK x sds KKKK sds
ηη

≤+ + ≤+ +
≤+ + ≤+ +
∫∫
∫∫

Từ đó suy ra f(M) bị chặn đều.
Mặt khác, với
[ ]
, ,t s ab∈
ta có

( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
,0
s
t
ss s
C
tt t
fu t fu s px d
pxdxdKd
ξξ
ξ ξ ηξ ξ ηξ ξ

−=


≤ ≤≤

∫
∫∫ ∫

Suy ra f(M) đồng liên tục đều.
Theo định lí Ascoli-Arzela, f là toán tử compact.




• Áp dụng luân phiên Fredholm cho phương trình các toán tử, phương trình
( )
u fu h= +
có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình
( )
u fu=

chỉ có nghiệm tầm
thường, tương đương với bài toán (1.3
0
), (1.4
0
) chỉ có nghiệm tầm thường. Hơn nữa, nếu
phương trình
( )
u fu=
chỉ có nghiệm tầm thường thì toán tử
If−
khả nghịch trong đó
:IB B→
là toán tử đồng nhất. Khi đó,

( )
1
If
−
−
là tuyến tính bị chặn. Suy ra nghiệm u của
phương trình
( )
u fu h= +
thoả đánh giá
( )
( )
1
0
B BL
B
u If h h c q
ββ
−
=− ≤=+
. Tuy
nhiên khi đó
0c =
và ta có

( )
0
.
CL
x cq

β
≤+

Định lí được chứng minh.
1.2.2. Định nghĩa
Cặp
( )
,p 

các toán tử
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,; ,;
nn n
p C ab C ab L ab×→ 

và được gọi là hoà
hợp nếu
(i) Với bất kì
[ ]
( )
,;
n
x C ab∈ 
, các toán tử
( )

[ ]
( )
[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
p x C ab L ab⋅→

và
( )
[ ]
( )
,: , ;
nn
x C ab⋅→ 
tuyến tính;
(ii) Với bất kì
[ ]
( )
, ,;
n
xy C ab∈ 

và hầu khắp trên [a,b], ta có các bất đẳng thức

( )( )
( )
( )
( )
0

, ,;
,
CC
CC
pxy t t x y
xy x y
α
α
≤
≤

trong đó
0
:
α
++
→
là hàm không giảm,
[ ]
:,ab
α
++
×→
khả tích trên [a,b] theo
biến thứ nhất và không giảm theo biến thứ hai;
(iii) Tồn tại số dương
β
sao cho với mỗi
[ ]
( )

[ ]
( )
0
, ; , , ; ,
n nn
x C ab q C ab c∈∈ ∈ 


mọi nghiệm y của bài toán

( )
( )( ) ( )( ) ( )
0
, , , ,
dy t
pxy t qxy t xy c
dt
=+=
(1.5)
đều thoả bất đẳng thức





( )
0
.
CL
y cq

β
≤+
(1.6)

1.2.3. Định lí
Giả sử tồn tại số dương
ρ
và cặp hoà hợp
( )
,p 
, trong đó
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,; ,;
nn n
p C ab C ab L ab×→ 

liên tục và
[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,;
n nn
C ab C ab×→  
sao cho với bất kì

( )
0,1
λ
∈
mọi x là nghiệm của bài
toán

( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
, ,,
dx t
pxxt fxt pxxt
dt
λ
=+−


(1.7)

( ) ( ) ( )
,,xx xx hx
λ
= −



(1.8)
đều thoả bất đẳng thức

.

C
x
ρ
≤
(1.9)
Khi đó bài toán (1.1), (1.2)
có nghiệm.


Chứng minh
• Gọi
0
,,
αα β
tương ứng là các hàm và số trong định nghĩa 1.2.2. Đặt

( ) ( ) ( )( )
[ ]
( )
{ }
2 ,2 sup : , ; , 2 ,
n
C
t t f x t x C ab x
γ ρα ρ ρ
=+∈ ≤


( ) ( )
[ ]

( )
{ }
00
2 2 sup : , ; , 2 ,
n
C
h x x C ab x
γ ρα ρ ρ
=+∈ ≤


( )
1 khi 0 s
2 / khi s<2
0 khi s 2
ss
ρ
σ ρ ρρ
ρ
≤≤


=−<


≥

(1.10)

( )( )

( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
0
, , ,
CC
qxt x fxt pxxt cx x xx hx
σσ
=−=−
  
  

(1.11)




Khi đó,
[ ]
( )
0
,; ,L ab
γγ
∈ < +∞
và hầu khắp nơi trên
[ ]
,ab
ta có

( )( )
( )
( )( ) ( )( )
,
C
qxt x fxt pxxt
σ

≤+


( ) ( )( )
[ ]
( )
{ }
( )
2 ,2 sup : , ; , 2
n
C
t f x t x C ab x t
ρα ρ ρ γ
≤ + ∈ ≤=
.
Tương tự ta cũng có:
( )
00
.cx
γ
≤

Như vậy,

( )( )
( )
qx t t
γ
≤
,
( )
00
.cx
γ
≤
(1.12)
• Với mỗi
[ ]
( )
,;
n
x C ab∈ 
, xét bài toán biên

( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
0
, , , .
dy t
pxy t qx t xy c x
dt
=+=

(1.13)
Ta chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất bằng cách chỉ ra rằng bài toán thuần nhất tương
ứng

( )
( )( ) ( )
, , , 0
dy t
pxy t xy
dt
= =

chỉ có nghiệm tầm thường.
Thật vậy, giả sử y(t) là nghiệm của bài toán thuần nhất, do
( )
,p 
là hoà hợp và theo điều
kiện (iii) của định nghĩa 1.2.2, với
( )( ) ( )
0
0, 0qx t c x= =
, ta có

( )
( )
( )
0
0
C
L

y c x qx
β
≤ +=
,
nên bài toán thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó, từ các điều kiện (i), (ii) của định
nghĩa 1.2.2, các giả thiết của định lí 1.2.1 đều thoả mãn, nên bài toán (1.13) có nghiệm duy
nhất. Giả sử y là nghiệm của bài toán (1.13). Theo định nghĩa 1.2.2 và (1.12) ta có

( ) ( )
( )
( )
00
.
CL
L
y c x qx
β βγ γ
≤ + ≤+

và





( ) ( )( ) ( )
( )
',y t pxy t qx t= +

( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
, , ,.
CC C
pxy t qx t tx y t tx r t
α γα γ
+ ≤ +≤ +

với

( )
0
:,
L
r
βγ γ
= +


( )
( )
( )
*, .
C
t tx r t
γα γ

= +

Xét toán tử

[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,; ;
nn
F C ab C ab→


( )
x,Fx y=

đặt tương ứng mỗi x với nghiệm duy nhất y của (1.13).
Ta chứng minh F là toán tử compact. Thật vậy:
• F là toán tử liên tục
Với
[ ]
( )
12
, , ;
n
x x C ab∈ 
, đặt
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 12 2
,yt Fx t y t Fx t= =

, và
( ) ( ) ( )
21
yt y t y t= −

Khi đó, ta có

( ) ( )( ) ( )( )
2 0 12
' , ,,y t px y t q xx t= +


( ) ( )
2 12
,,x y cxx=

với

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
0 12 21 11 2 1
, ,, ,q xx t px y t pxy t qx t qx t= − +−


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 11 21 0 2 0 1
,,,cxx xy xy cx cx= − +−
.
Theo điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2.2, y là nghiệm của bài toán nên thoả bất đẳng thức

( ) ( )
12 12
, ,.
C
CL
y cxx qxx
β

≤+


Hay
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
21
11 21 0 2 0 1 21 11 2 1
,, ,, .
C
C C LL
Fx Fx
xy x y c x c x px y pxy qx qx
β
−≤

− + − + − +−



Do
các toán tử
, , pq
và
0
c

liên tục nên suy ra F liên tục trên
[ ]
( )
,;
n
C ab 
.
• F là toán tử compact
Xét

[ ]
( )
{ }
,; : .
n
r
C
C x C ab x r=∈≤

Ta đã có

( )
C

C
y Fx r= ≤
,
và

( )(
) ( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
''*
tt t
ss s
Fx t Fx s yt ys y d y d d
ξξ ξ ξ γξξ
− =−= ≤ ≤
∫∫ ∫

với mọi
[ ]
, ,s t ab∈
. Theo định lí Ascoli-Arzela,
( )
r
FC
là tập compact tương đối. Do đó,
:
rr
FC C→
là ánh xạ compact. Áp dụng nguyên lí điểm bất động Schauder cho ánh xạ
compact liên tục F, tồn tại x trong C

r
sao cho
( )( ) ( )
Fx t xt=
với mọi
[ ]
,t ab∈
. Khi đó, x là
nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) với
( )
.
C
x
λσ
=
Ta chứng minh
C
x
ρ
≤
, tức x thoả (1.9).
Giả sử ngược lại,

2
C
x
ρρ
<<
(1.14)
hoặc

2
C
x
ρ
≥
(1.15)




Giả sử có (1.14), thì
( )
( )
0,1
C
x
λσ
= ∈
. Theo điều kiện của định lí thì nghiệm phải thoả
(1.9), mâu thuẫn với (1.14).
Giả sử có (1.15), khi đó
( )
0
C
x
λσ
= =
, và x là nghiệm của bài toán thuần nhất

( )
( )( ) ( )
, , , 0.
dy t
pxy t xy
dt
= =

Điều này mâu thuẫn với việc phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy x phải thoả
(1.9). Và do đó, x là nghiệm của (1.1), (1.2). Thật vậy, do (1.9) đúng nên
( )
1
C
x
λσ
= =
và
x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).
Định lí được chứng minh.

1.2.4. Định nghĩa
Cho các toán tử

[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,; ,;

nn n
p C ab C ab L ab×→ 
,

[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,; ,;
nn n
C ab C ab L ab×→  

đồng thời

[ ]
( )
[ ]
( )
0
: ,; ,;
nn
p C ab L ab→
,
[ ]
( )
[ ]
( )
0

: ,; ,;
nn
C ab L ab→ 

là các toán tử tuyến tính.
Ta nói cặp
( )
00
,p 

thuộc tập
,
n
p
Ω

nếu tồn tại dãy
[ ]
( )
,;
n
k
x C ab∈ 
(k=1,2, ) sao cho với
mỗi
[ ]
( )
,;
n
y C ab∈ 

ta có
( )( ) ( )( )
0
00
lim ,
tt
k
k
p x y s ds p y s ds
→∞
=
∫∫
đều trên
[ ]
,ab
, và
( ) ( )
0
lim ,
k
k
xy y
→∞
=
.




Từ định nghĩa ta thấy với mỗi x cố định, nếu đặt

( ) ( )
0
,p y pxy=
và
( ) ( )
0
,y xy=
thì
( )
00
,p 
thuộc tập
,
n
p
Ω

.

1.2.5. Định nghĩa
Ta nói cặp
( )
,p 

các toán tử liên tục
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]

( )
: ,; ,; ,;
nn n
p C ab C ab L ab×→ 
,
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,; ,;
nn n
C ab C ab L ab×→  
thuộc lớp
0
n
Ο
nếu các điều sau đây được
thoả:
(i) Với mỗi
[ ]
( )
,;
n
x C ab∈ 
cố định, các toán tử
( )
[ ]
( )

[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
p x C ab L ab⋅→
,
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
x C ab L ab⋅→ 
là tuyến tính;
(ii) Với bất kì
[ ]
( )
, ,;
n
xy C ab∈ 
, và hầu khắp nơi trên
[ ]
,ab
ta có các bất đẳng
thức

( )( )
( )
,

C
pxy t t y
α
≤
,
( )
0
,
C
xy y
α
≤
,
trong đó
[ ]
:,ab
α
+
→ 
khả tích,
0
α
+
∈
;
(iii) Với mọi cặp
( )
00 ,
,
n

p
p ∈Ω


bài toán

( )
( )( ) ( )
00
, 0
dy t
pyt y
dt
= =
(1.16)
chỉ có nghiệm tầm thường.

1.2.6. Hệ quả
Giả sử tồn tại số dương
ρ

và cặp
( )
0
,
n
p ∈Ο
sao cho với bất kì
( )
0,1

λ
∈
, mọi nghiệm tuỳ
ý của bài toán (1.7), (1.8) đều thoả bất đẳng thức (1.9). Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có
nghiệm.
Chứng minh
Từ (i), (ii) của định nghĩa 1.2.5 suy ra
( )
,p 
thoả các điều kiện (i), (ii) của định nghĩa 1.2.2.




Cố định
[ ]
( )
,;
n
x C ab∈ 
, đặt
( ) ( )
0
,p y pxy=
và
( ) ( )
0
,y xy=
. Khi đó, theo định nghĩa
1.2.4,

( )
00 ,
,
n
p
p ∈Ω


. Từ điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2.5, bài toán (1.16) chỉ
có nghiệm tầm thường. Theo định lí 1.2.1, tồn tại số dương
β
và bài toán

( )
( )( ) ( ) (
)
0 00
,
dy t
p y t qt y c
dt
=+=

có nghiệm duy nhất thoả đánh giá

( )
0
CL
y cq
β

≤+
.
Vậy điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2.2 được thoả.
Và do đó,
( )
,p 
là cặp hoà hợp. Từ định lí 1.2.3 ta có điều phải chứng minh.

1.2.7. Định nghĩa
Toán tử
[ ]
( )
[ ]
( )
0
: ,; ,;
nn
p C ab L ab→
được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn tại một hàm
khả tích
[ ]
:,ab
α
+
→ 
sao cho với mọi
[ ]
( )
,;
n

y C ab∈ 
ta có
( )( )
( )
0
C
pyt ty
α
≤
hầu
khắp nơi trên
[ ]
,ab
.

1.2.8. Hệ quả
Giả sử tồn tại số dương
ρ
, toán tử tuyến tính bị chặn mạnh
[ ]
( )
[ ]
( )
0
: ,; ,;
nn
p C ab L ab→
và toán tử tuyến tính bị chặn
[ ]
( )

[ ]
( )
0
: ,; ,;
nn
C ab L ab→ 
sao cho bài toán (1.16) chỉ có nghiệm tầm thường. Hơn
nữa với mọi
( )
0,1
λ
∈
bài toán

( )
( )( ) (
)( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
00
00
,

dx t
pxt fxt pxt
dt
x x hx
λ
λ
=+−



= −








có nghiệm thoả đánh giá (1.9).
Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.
Chứng minh
Cố định
[ ]
( )
,;
n
x C ab∈ 
, đặt
( )( ) ( )( )
0
,pxyt pyt=
và
( ) ( )
0
,xy y=
. Ta chứng minh
( )
0

,
n
p ∈Ο
. Thật vậy, do
0
p
(tương ứng
0

) tuyến tính và bị chặn mạnh (bị chặn) nên
0
p

và
0

liên tục. Ngoài ra
(i) Với mỗi
[ ]
( )
,;
n
x C ab∈ 
cố định, do
( )( ) ( )( )
0
,pxyt pyt=
và
( ) ( )
0

,xy y=

nên các toán tử
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
p x C ab L ab⋅→
,
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
x C ab L ab⋅→ 
tuyến tính;
(ii) Do
0
p
bị chặn mạnh và
0

bị chặn nên có
[ ]
:,ab

α
+
→ 
khả tích và
0
α
+
∈

sao cho hầu khắp nợi trên
[ ]
,ab
ta có
( )( )
( )( )
( )
0
,
C
pxyt pyt ty
α
= ≤
,
( ) ( )
00
,
C
xy y y
α
= ≤

với mọi
[ ]
( )
, ,;
n
xy C ab∈ 
;
(iii) Bài toán (1.16) chỉ có nghiệm tầm thường.
Vậy
( )
0
,
n
p ∈Ο
. Theo hệ quả 1.2.6 ta có điều phải chứng minh.




Chương 2: BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO


2.1. Giới thiệu bài toán
Xét phương trình vi phân hàm cấp n

( )
( ) ( )( )
n
x t fxt=

(2.1)
với điều kiện biên

( ) ( )
0 1, , .
i
hx i n= =
(2.2)
Trong đó
( )
( )
( )
( )
1
,,
: ,; ,;
nm m
f C ab L ab
αβ αβ
−
→
và
( )
( )
( )
1
,
: , ; 1, ,
n mm
i

h C ab i n
αβ
−
→=
là
các toán tử liên tục, ( với
( )
0,
ρ
∈ +∞
), thỏa các điều kiện

( )( )
{ }
( )
( )
1
,
,
sup : , ;
n
C
f x x L ab
αβ
αβ
ρ
−
+
⋅ ≤∈ 
, (2.3)

( )
{ }
( )
1
,
sup : 1, ,
n
i
C
hx x i n
αβ
ρ
−
≤ < +∞ =
(2.4)
với

,ab−∞ < < < +∞

và

[ ] [ ]
0, 1 , 0, 1 .nn
αβ
∈− ∈−
(2.5)
Một nghiệm của phương trình vi phân hàm (2.1) được hiểu là một hàm véctơ

( )

( )
1
,
,;
n
m
x C ab
αβ
−
∈ 
thỏa (2.1) hầu khắp nơi trên
( )
,ab
.
Một nghiệm của (2.1) thỏa (2.2) được gọi là một nghiệm của bài toán (2.1), (2.2).

2.2. Định lí về tính chất Fredholm của bài toán biên tuyến tính bậc cao





2.2.1. Định nghĩa
Toán tử tuyến tính
( )
( )
1
,
: ,;
n mm

p C ab
αβ
−
→
được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn tại
( )
( )
,
,;L ab
αβ
ζ
+
∈ 
sao cho

( ) ( )
1
,
n
C
px t x
αβ
ζ
−
≤
với
( )
( )
1
,

, , ; .
nm
a t b x C ab
αβ
−
<< ∈ 
(2.6)

2.2.2. Bổ đề
Giả sử
( )
( )
( )
,0
0, , ; , ,L ab t ab
αβ
ρη
+
>∈ ∈
và
S
là tập các hàm véctơ
( )
:,
m
x ab → 
khả vi liên tục tới cấp
( )
1n−
thỏa các điều kiện

( )
( )
( )
1
0
1, , ,
i
xt i n
ρ
−
≤=
(2.7)

( )
( )
( )
( )
( )
11
t
nn
s
x tx s d
ηξ ξ
−−
−≤
∫
với
.astb<≤<

(2.8)
Khi đó,

( )
( )
1
,
,;
n
m
S C ab
αβ
−
⊂ 
và S là tập compact trong không gian
( )
( )
1
,
,;
nm
C ab
αβ
−

.
Chứng minh
Lấy tùy ý
xS∈
. Khi đó từ (2.8) hàm

( )
1n
x
−
là liên tục tuyệt đối địa phương trên
( )
,ab

và

( )
( ) ( )
n
xt t
η
≤
hầu khắp nơi trên
( )
,.ab
(2.9)
Do đó,

( )
( )
( )
,
,; ,
n
m
x L ab

αβ
∈ 
(2.10)

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
11
0
0
1
!!
ji
t
n
ni
ij n
ji
t
tt
x t x t t s x s ds
ji ni

−
−
−−
=
−
= +−
−−
∑
∫
(2.11)
với
( )
1, ,atb i n<< =





và

( )
( ) ( )
1i
i
xt t
ε
−
≤
với
( )

1, ,atb i n<< =
, (2.12)
trong đó

( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
1
1, , .
!!
ji
t
n
ni
i
ji
t
ba
t t s s ds i n
ji ni
ερ η
−
−
=
−
= +− =
−−

∑
∫
(2.13)
Đặt

{ } { }
12
max : 0 , max : 0 .
ii
ii ii
αβ
= = = =

Khi đó,

, 0
i
ni
αα
−≥ =
với
1
, 0
i
ii in
αα
≤ = +− >
với
1
ii>

(2.14
1
)

, 0
i
ni
ββ
−≥ =
với
1
, 0
i
ii in
ββ
≤ = +− >
với
2
.ii>
(2.14
2
)
Do đó,

( ) ( )
ii
ta
εε
≤ + < +∞
với

10
, ii att≤ <<
(2.15)

( )
0
1
1
t
i
a
s ds
ε
+
< +∞
∫
nếu
1
1in<−
(2.16)

( ) ( )
ii
tb
εε
≤ − < +∞
với
20
, tii tb≤ <<
(2.17)

( )
2
0
1
b
i
t
s ds
ε
+
< +∞
∫
nếu
2
1.in<−
(2.18)
Nếu
1
ii>
thì từ (2.13), (2.14
1
), với bất kì
( )
0
0,ta
δ
∈−
ta có

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
limsup limsup
!
i
in
a
ni
i
ta ta
t
ta
t a t s t s ds
ni
α
δ
α
εη
+−
+
−
→→

−

−= −



−


∫


( )
( ) ( )
1
!
a
a
s t s ds
ni
δ
α
η
+
≤−
−
∫
.