Chuyen de 2 nguyen li i cua nhiet dong luc hoc

Chuyên đề 2. NGUYÊN LÝ I CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
– Nội dung: Độ biến thiên nội năng của hệ bằng tổng đại số nhiệt lượng và
cơng mà hệ trao đổi với bên ngồi.
– Biểu thức:
U = Q + A
 U : Độ biến thiên nội năng của hệ.


Q: Nhiệt lượng mà hệ nhận được.



A: Công mà hệ nhận được.

Đối với một quá trình nguyên tố, ta có:

dU Q  A
Hoặc

Q dU  A

Ở đây, dU là vi phân tồn phần (khơng phụ thuộc vào q trình diễn biến), cịn

Q

và

A là các vi phân khơng tồn phần (phụ thuộc vào quá trình diễn biến).
– Quy ước:

+ A > 0: hệ nhận công; A < 0: hệ thực hiện công.
+ Q > 0: hệ nhận nhiệt lượng; Q < 0: hệ tỏa nhiệt lượng.
+  U > 0: nội năng của hệ tăng;  U: nội năng của hệ giảm.
Dạng 1. Nhiệt lượng, công và sự biến đổi nội năng của bài toán cơ.

A. Phương pháp giải
- Áp dụng nguyên lý I của nhiệt động lực học: U Q  A
+ Q : nhiệt lượng trao đổi giữa hệ và mơi trường ngồi:
Q > 0 : hệ thu nhiệt
Q < 0 : hệ tỏa nhiệt
+ A : Công do hệ thực hiện :
A > 0 : hệ sinh công dương (công phát động).
A < 0 : hệ sinh cơng âm (cơng cản).
Trong q trình biến đổi, nếu hệ chịu tác dụng của lực ngồi nào đó sinh cơng
A’ thì : A = -A’
+ U : Độ biến thiên nội năng của hệ (theo nhiệt độ, kích thước hay hình
dạng của hệ).
U  0 : nội năng tăng
U  0 : nội năng giảm
- Cần chú ý đổi đơn vị của các đại lượng cho phù hợp.
(1cal = 4,186J hay 1J = 0,24cal).

B. VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Viên đạn chì (m = 50g, c = 0,12kJ/kg.độ) bay với vận tốc v 0 = 360km/

330


h. Sau khi xuyên qua một tấm thép, vận tốc viên đạn giảm cịn 72km/h.
a) Tính lượng nội năng tăng thêm của đạn và thép.

b) 60% lượng nội năng trên biến thành nhiệt làm nóng viên đạn. Tính độ tăng
nhiệt độ của đạn.
Hướng dẫn
a) Lượng nội năng tăng thêm của đạn và thép: Xét hệ gồm đạn và tấm thép:
Khi viên đạn xuyên qua tấm thép thì tấm thép tác dụng vào viên đạn một lực F,
lực này sinh công làm giảm động năng của viên đạn. Về độ lớn, công của lực F
bằng độ giảm động năng của đạn. Ta có:
1
1
1
A = W0đ – Wđ = m v20 – m v2 = m( v20 – v2 )
2
2
2
Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học:  U = Q + A
1
1
Vì Q = 0 nên  U = A = m( v20 – v2 ) = 0,05(1002 – 202) = 240J.
2
2
Vì  U = 240 J > 0, nên nội năng của hệ (gồm đạn và tấm thép) tăng thêm một
lượng là 240J.
b) Độ tăng nhiệt độ của đạn
0,6U
Ta có: Q/ = 0,6  U = cm.  t   t =
cm
0,6.240
 t=
= 240C
0,12.50

Vậy: Độ tăng nhiệt độ của đạn là 24oC.
Ví dụ 2. Một quả bóng có khối lượng 0,1kg rơi từ độ cao 1,5m xuống đất và
nảy lên đến độ cao 1,2m. Tại sao bóng khơng nảy lên đến độ cao ban đầu ? Tính
độ tăng nội năng của bóng, đất và khơng khí. Cho g = 10m/s2.
Hướng dẫn
Xét hệ gồm quả bóng, đất và khơng khí.
- Gọi E1 và E 2 lần lượt là cơ năng của bóng khi bắt đầu rơi (ở độ cao h1 ) và khi
đã nảy lên độ cao nhất có thể (ở độ cao h 2 ):
E1 mgh1
(do v1, v 2 đều bằng 0).

E 2 mgh 2

- Khi bóng rơi chạm đất và nảy lên thì một phần cơ năng của bóng đã
chuyển thành nội năng của hệ nên : E1  E 2  mgh1  mgh 2  h1  h 2
Vì vậy, bóng khơng nảy lên đến độ cao ban đầu.
Công của ngoại lực (trọng lực P) tác dụng lên quả bóng là:
A ' E 2  E1 mg  h 2  h1 
Công do hệ thực hiện: A  A ' mg  h1  h 2 

331


Theo nguyên lí thứ I của nhiệt động lực học: U Q  A
Vì Q 0  U A  A ' mg  h1  h 2  0,1.10  1,5  1,2  0,3J  0
 nội năng của hệ tăng làm tăng nhiệt độ của hệ và có thể làm biến dạng quả

bóng và đất.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Búa máy 10 tấn rơi từ độ cao 2,3m xuống một cọc sắt (c = 0,46kJ/kg.độ, m

= 200kg). Biết 40% động năng của búa biến thành nhiệt làm nóng cọc sắt. Hỏi
búa rơi bao nhiêu lần thì cọc tăng nhiệt độ thêm 20 0C. Cho rằng cọc khơng tỏa
nhiệt cho mơi trường.
Bài 2. Quả cầu có nhiệt dung riêng c = 460J/kg.độ được
treo bởi sợi dây có chiều dài l = 46cm. Quả cầu được
nâng lên đến B rồi thả rơi. Sau khi chạm tường, nó bật
lên đến C ( = 600). Biết rằng 60% độ giảm thế năng
l
biến thành nhiệt làm nóng quả cầu. Tính độ tăng nhiệt
độ của quả cầu. Lấy g = 10m/s2.

α

Bài 3. Một quả bóng khối lượng m = 300g có dung tích V = 8 lít được bơm khơng
khí đến áp suất p = 1,2atm. Quả bóng được ném lên cao 20m và rơi xuống đất
rắn rồi lại nảy lên gần như tới vị trí cũ. Tính nhiệt độ cực đại của khơng
A khí
trong quả bóng vào lúc va chạm với đất rắn. Coi thể tích bóng thay đổi khơng
đáng kể khi va chạm. Nhiệt độ môi trường là T = 300K, nhiệt dung riêng đẳng
tích của khơng khí là cv = 19,5J/kg.độ.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1.
Gọi M là khối lượng của búa. Ta có:
– Động năng của búa ngay trước va chạm: W0đ = Mgh.
– Nhiệt lượng cọc thu được sau mỗi lần búa rơi: Q0 = 0,4W0đ = 0,4Mgh.
– Nhiệt lượng cọc thu được sau n lần búa rơi: Q = nQ0 = cm.  t.
cm.t
0,46.103.200.20
=
= 20

Q0
0,4.104.10.2,3
Vậy: Số lần búa rơi là 20.
Bài 2.
Độ giảm thế năng của con lắc:  Wt = WtB – WtC
  Wt = mg  – mg  (1 – cos) = mg  cos.
Phần thế năng biến thành nhiệt làm nóng quả cầu:
Q = 0,6.  Wt = 0,6 mg  cos α
(1)
Mặt khác, ta có: Q = cm.  t
(2)
Suy ra: n =

332

B

C


0,6gcosα
0,6.10.0,46.cos600
=
= 0,0030C.
c
460
Vậy: Độ tăng nhiệt độ của quả cầu là 0,003oC.
Bài 3.
pV
Số mol khơng khí trong quả bóng là: n =

.
RT
Vì thời gian va chạm rất ngắn nên coi như khơng khí trong quả bóng bị nén
đẳng tích và đoạn nhiệt nên cơng biến hồn tồn thành nội năng:
A = ΔU = ncv ΔT = mgh
mgh
mghRT
0,3.10.20.0,082.300
 ΔT =
=
=
= 8K
ncv
pVcv
1,2.8.19,5
 Tmax = T + ΔT = 300 + 8 = 308K
Vậy: Nhiệt độ cực đại của khơng khí trong quả bóng vào lúc va chạm với đất
rắn là 308K.
Từ (1) và (2) suy ra:  t =

333


Dạng 2. ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ I CHO KHÍ LÝ TƯỞNG

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Nội năng và cơng của khí lí tưởng
a. Nội năng của khí lý tưởng:
3
+ Khí đơn nguyên tử: U = nRT .

2
5
+ Khí lưỡng nguyên tử: U = nRT .
2
+ Tổng quát: U = ncvT.
(n là số mol khí; cv là nhiệt dung riêng đẳng tích: c v =

3
R (khí đơn nguyên
2

5
R (khí lưỡng nguyên tử)).
2
b.Cơng thức tính cơng của khí lý tưởng:
Cơng A’ mà hệ sinh ra trong quá trình đẳng áp: A ' p(V2  V1 )
Công A’ mà hệ sinh ra trong một quá trình cân bằng bất kì:
tử), cv =

V2

A’ = ΔA i = pi ΔVi . Hoặc A '  pdV
V1

Có thể xác định A’ bằng đồ thị (p, V).
Cơng mà hệ nhận được: A  A '
2. Áp dụng ngun lý I cho các q trình của khí lí tưởng
a. Q trình đẳng tích
Q trình đẳng tích là q trình biến đổi của

p

hệ diễn ra khi thể tích của hệ không đổi: V =

2

const.
Trên đồ thị p – V, q trình đẳng tích biểu

1

diễn bởi một đoạn thẳng song song với trục
áp suất (hình 1). Biểu thức của nguyên lý I
có dạng:

dU Q

O

V0
Hình 1

V

 1

vì A  p.dV 0 do dV = 0.
Từ (1) ta thấy độ biến thiên nội năng trong q trình đẳng tích bằng và cùng dấu

334

với nhiệt lượng trao đổi. Mặt khác, nhiệt dung mol đẳng tích của q trình được
tính theo cơng thức: C V 
Suy ra:

Q
dU

ndT dT

dU nCVdT 

 2

với n là số mol khí.

m
C VdT


 3

Lấy tích phân (3), ta thu được biểu thức của nội năng:

U 

m
C V .T  U 0


Nội năng của hệ được xác định sai khác một hằng số cộng U 0, chọn U0 = 0 (khi T
= 0), ta được:

U 

m
C V .T


 4

Vậy: Với quá trình đẳng tích, nhiệt lượng khí nhận được chỉ làm tăng nội
năng của khí.
b. Q trình đẳng áp
Q trình đẳng áp là q trình trong đó áp
suất của hệ khơng đổi: p = const.

p

Trên đồ thị p – V, quá trình đẳng áp được
biểu diễn bởi một đoạn thẳng song song
với trục thể tích OV (hình 2).
Vì p0 = const nên cơng của q trình được
tính:

1

P0
O

V1

V2

A  p 0 dV p0  V2  V1 

2

V
Hình
2

V

2

V1

Biểu thức của nguyên lý I cho q trình đẳng áp có dạng:

dU Q  p0dV

 5

Nhiệt dung mol đẳng áp của quá trình là:

335

Cp 

Q
dU p 0dV


dT dT dT

Q C pdT 

Suy ra:

 6

m
C pdT


 7

Đối với một quá trình đẳng áp hữu hạn 1 – 2 thì từ (7) ta có:

Q 

m
C p  T2  T1 


So sánh (6) và (2) và giả sử dU trong hai q trình đó bằng nhau thì
Cp > CV và: C p C v 

p 0dV
ndT

 8

Mặt khác, lấy vi phân phương trình trạng thái với p = p 0 không đổi, ta được:

p 0dV nRdT , thay vào (8) thu được:
Cp CV  R

 9

Hệ thức (9) gọi là hệ thức Mayer.
Đặt

Cp
Cv

 và áp dụng hệ thức Mayer, suy ra:
C v 

R
R
và C p 
 1
 1

 10 

Vậy: Với quá trình đẳng áp, nhiệt lượng khí nhận được một phần làm tăng nội
năng của khí, phần cịn lại biến thành cơng do khí thực hiện.
c. Quá trình đẳng nhiệt
Quá trình đẳng nhiệt là q trình diễn ra khi nhiệt

p

độ của hệ khơng đổi: T = const. Với khí lý tưởng,
q trình này được mô tả bằng định luật Bôilơ –

P1

1

Mariôt và được diễn tả trên đồ thị p – V bằng một
nhánh hypebol (hình 3).

2

P2

Nguyên lý I viết cho quá trình đẳng nhiệt:

O

V1

V2 V
Hình 3
336

dU Q  A
 Q dU  A nC vdT  A
Vì dT = 0 nên Q  A
Với cả quá trình thì Q = - A, nghĩa là nhiệt lượng truyền cho hệ bằng
công mà hệ thực hiện lên mơi trường (A’ = - A).
V2

Vì A  pdV nên A 

pdV

V1

Từ phương trình trạng thái pV 

m
m RT
RT , ta suy ra p 
, thay vào
 V


cho p dưới dấu tích phân, ta được:
V2

A 
Hay A 

V

2
m
dV
m
dV
RT

RT



V

V
V1
V1

m
V
RT ln 2

V1

 11

Do q trình là đẳng nhiệt có p1V1 p 2 V2 nên

A 

m
p
RT ln 1

p2

V2 p1
 , do đó cịn có:
V1 p 2

 12 

Vậy: Với q trình đẳng nhiệt, nhiệt lượng mà khí nhận được biến hồn
tồn thành cơng do khí thực hiện.
d. Q trình đoạn nhiệt
 Các phương trình đoạn nhiệt
Quá trình đoạn nhiệt là quá trình diễn ra khi hệ khơng trao đổi nhiệt với
mơi trường ngồi: Q 0 .
Nguyên lý I áp dụng cho quá trình đoạn nhiệt có dạng: U A

 13

Từ (13), ta thấy:
Nếu dU > 0 thì A  0 , nghĩa là nội năng tăng do hệ nhận cơng từ bên ngồi.
Nếu dU < 0 thì A  0 , nghĩa là hệ sinh công do nội năng giảm.

337

m
pdV
C vdT  pdV  dT 
 *
m
Kết hợp (13) và (3), ta có: 
Cv

Lấy vi phân hai vế của phương trình trạng thái pV 

pdV  Vdp 

m
RdT


m
RT , ta có:


 **

Thay (*) vào (**), được:




m
pdV 
R

 = 
pdV  Vdp  R  
pdV
  mC 
Cv
  v


Thay R Cp  Cv , ta được:

pdV  Vdp 

Cp  C v
Cv

pdV    1 pdV

Hay Vdp  pdV, chia hai vế cho pV và chuyển về một vế:



dV dp

0
V
p

Tích phân hai vế, cuối cùng ta được:

pV  const

 14  ; được gọi là chỉ

p

số đoạn nhiệt.

pV  const

(14) là một phương trình đoạn nhiệt,

pV const

cho biết mối liên hệ giữa hai đại lượng p và
V, gọi là phương trình Poatxơng. Trong hệ
tọa độ p – V, (14) được biểu diễn bằng một
đường cong, tương tự đường cong của

O

V
Hình 4

phương trình đẳng nhiệt pV = const, nhưng

338


nó dốc hơn (hình 4).
Viết (14) cho hai trạng thái 1 và 2 của quá trình đoạn nhiệt:

p1  V2 


p 2  V1 
Từ phương trình trạng thái pV 



 15 

m
m RT
m RT
RT  p 
hoặc V 
 p

 V

+ Thế biểu thức của p vào (14), ta được:

m
V
RT
const

V

TV  1 const



Viết (16) cho hai trạng thái 1 và 2: T1V1

 1

 T2 V2  1

 16 
 17 

+ Thế biểu thức của V vào (14), ta được:


m T
T
p  R  const   1 const  T p1  const
p
  p
1 

Viết (18) cho hai trạng thái 1 và 2: T1p1

 T2p 21 

 18 

 19 

(16) và (17) cho ta mối liên hệ giữa nhiệt độ T và thể tích V; (18) và (19)
cho ta mối liên hệ giữa nhiệt độ T và áp suất p, chúng đều là các phương trình
đoạn nhiệt.
 Cơng trong q trình đoạn nhiệt
Từ cơng thức A  pdV với p được rút ra từ (15)

p 

p1V1
dV
 A  p1V1 

V
V

Lấy tích phân:

339


V2

V

2
dV
p V
A  p1V    p1V1 V  dV  1 1  V21   V11  
V
1  

V1
V1


1

1 
Đưa V1 ra làm thừa số chung, ta được:
1 
 1


p1V1   V2 
p1V1   V1 
    1 =
    1
A 
1     V1 
 1   V2 





 20 

Kết hợp thêm với các công thức (15) và (17), ta tìm được các cơng thức
khác của A:
 1



p1V1   p 2  

A 
   1
 1   p1 



A 

 21

p1V1  T2  m
1  T2  m R
 T2  T1 
  1  RT1
  1 
 1  T1  
 1  T1    1

Hoặc A 

1
 p2V2  p1V1 
 1

 22 

 23 

3. Chu trình: Trạng thái cuối và đầu trùng nhau nên  U = 0  Q = –A = A
Vậy: Với chu trình biến đổi, nhiệt lượng mà khí nhận được biến hồn tồn thành
cơng do khí thực hiện.
II. CÁC DẠNG TỐN
Loại 1. Tìm độ biến thiên nội năng, cơng mà khí sinh ra và nhiệt dung mol của
khí khi biết quy luật biến đổi trạng thái

A. Phương pháp giải
Với dạng bài này, quy luật biến đổi của một lượng khí xác định thường được diễn
tả bằng phương trình tốn học, bằng lời hoặc bằng đồ thị. Trước khi tiến hành giải
toán, cần đọc kỹ để, phân tích để nắm bắt đầy đủ các đặc điểm của quá trình biến
đổi trạng thái. Vận dụng nguyên lý I, ta phải kết hợp với các kiến thức khác như
phương trình trạng thái, nhiệt dung mol, ...
B. VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Khối khí có p = 1atm, V 1 = 10 lít được dãn nở đẳng áp, thể tích tăng
gấp hai lần. Tìm cơng do khí thực hiện.

340


Hướng dẫn
Cơng do khí thực hiện khi dãn nở đẳng áp:
A/ = p.  V = p(V2 – V1) = p(2V1 – V1) = pV1
Thay số: p = 1atm = 9,81.104 N/m2; V1 = 10 lít = 10 2 m3, ta được:
A/ = 9,81.104. 10 2 = 981J

Vậy: Công do khí thực hiện là 981J.
Ví dụ 2. Một khối khí có V = 7,5 lít, p = 2.10 5N/m2, t = 270C, bị nén đẳng áp và
nhận một công 50J. Tính nhiệt độ của khí sau khi nén.

Hướng dẫn
Cơng do khí nhận được: A = – A = – p(V2 – V1)
A
50
 V2 = V1 –
= 7,5. 10 3 –
= 7,25. 10 3 m3
5
p
2.10
V1

V2

V2

Áp dụng định luật Gay–Luytxắc: T1 = T2  T2 = T1
Thay số: T2 = 300.

7,25.10 3
7,5.10

 3

V1

= 290K hay t2 = 170C.

Vậy: Nhiệt độ của khí sau khi nén là 17oC.
Ví dụ 3. Một khối khí có V = 3 lít, p = 2.105N/m2, t = 270C được đun nóng đẳng

tích rồi cho dãn nở đẳng áp. Khi dãn nở nhiệt độ tăng thêm 30 0C. Tính cơng
khí đã thực hiện.
Hướng dẫn
Gọi p1, V1 và T1 là áp suất, thể tích và nhiệt độ sau khi đun nóng đẳng tích, ta có
V1 = V và:

p1

T1

=

T
p
 p1 = p 1
T
T

(1)

Gọi V2 và T2 là thể tích và áp suất sau khi dãn nở đẳng áp, ta có:
T2
 V2 = V1

T1

V2
T2

=

V1
T1

T2

= V T1

(2)

Cơng khí đã thực hiện: A = A1 + A2 , với A1 = 0 (đẳng tích).
Suy ra: A = A2 = p1(V2 – V1) = p1(V2 – V)
Thay (1), (2) vào (3), ta được: A = p

(3)

 pV
T1  T2
 V  V  =
(T2 – T1)
T
T  T1


341


2.105.3.10 3
.30 = 60J
300

Vậy: Cơng khí đã thực hiện là A = 60J.
Ví dụ 4. Một khối lượng m của một chất khí có nhiệt độ T được làm lạnh đẳng
tích, áp suất giảm đi n lần. Sau đó khí dãn nở đẳng áp đến khi nhiệt độ bằng
lúc ban đầu. Tính cơng khí đã thực hiện. Biết phân tử gam của khí là μ .
Hướng dẫn
Gọi p1, V1 và T1 là áp suất, thể tích và nhiệt độ sau khi làm lạnh đẳng tích, ta có:
p
p p1
p
T
V1 = V; p1 = .
=
 T1 = T 1 =
(1)
p
n T1
T
n
 A =

Gọi V2 và T2 là thể tích và áp suất sau khi dãn nở đẳng áp, ta có: T 2 = T và:
T2
V2
V1
T
T1
= V T1
(2)
T2 = T1  V2 = V1
Thay (1) vào (2) ta được: V2 = nV

(3)
Cơng khí đã thực hiện: A = A1 + A2 , với A1 = 0 (đẳng tích).
Suy ra: A = A2 = p1(V2 – V1) =

p
(V2 – V)
n

(4)

mRT
p
pV
( nV – V) = ( n – 1)
= (n – 1)
.
nμ
n
n
mRT
Vậy: Cơng khí đã thực hiện là A = (n – 1)
.
nμ
Ví dụ 5. 12g hiđrô dãn nở đẳng áp (c p = 14,6kJ/kg.độ) thể tích tăng gấp ba lần
và thực hiện cơng A = 29916J. Tính:
a) nhiệt độ ban đầu của khí.
b) nhiệt lượng truyền cho khí.
c) độ biến thiên nội năng của khí.
Hướng dẫn
a) Nhiệt độ ban đầu của khí

m
Cơng do khí thực hiện: A = p(V2 – V1) =
R(T2 – T1)
(1)
μ
Thay (3) vào (4) ta được: A =

V1

V2

Quá trình đẳng áp (1)–(2): T1 = T2  T2 = T1
Thay (2) vào (1) ta được: A =
Thay số: T1 =

V2
V1

= 3T1

(2)

m
μA
R.2T1  T1 =
μ
2mR

2.29916
= 300K hay t1 = 270C.

2.12.8,31

342


Vậy: Nhiệt độ ban đầu của khí là 27oC.
b) Nhiệt lượng truyền cho khí (đẳng áp)
Nhiệt độ sau của khí: T2 = 3T1 = 3.300 = 900K hay t2 = 6270C.
Nhiệt lượng truyền cho khí: Q = cpm  t = 14,3.103.12.(627 – 27) = 102960J.
Vậy: Nhiệt lượng truyền cho khí là 102960J.
c) Độ biến thiên nội năng của khí
Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học:  U = Q + A = Q – A
  U = 102960 – 29916 = 73044J
Vì  U > 0 nên nội năng của khí tăng.
Ví dụ 6. Bình kín khơng dãn nở, thể tích 6 lít, chứa 12g nitơ ở 27 0C. Sau khi
đun nóng, áp suất trong bình là 4,2 at. Tìm nhiệt lượng truyền cho khí và độ
biến thiên nội năng của khí.
Hướng dẫn
Ở điều kiện chuẩn, 1mol khí N2 ở nhiệt độ t0 = 00C (273K),
Áp suất p0 = 1,013.105Pa, chiếm thể tích V0 = 22,4 lít.
12
Suy ra: 12g (= mol) khí N2 ở nhiệt độ t0 = 00C (273K),
28
12
12
Áp suất p0 = 1,013.105Pa, chiếm thể tích: V0/ =
V0 =
.22,4 = 9,6 lít.
28
28

Gọi V1, p1 và T1 là thể tích, áp suất và nhiệt độ ban đầu của 12g khí nitơ. Theo
p1V1
p V/
phương trình trạng thái của khí lí tưởng: 0 0 =
.
T1
T0
 p1 =

V0/ T1
9,6 (27  273)
.
p0 =
.
.1,013.105 = 17,8.104 N/m2
T
V1 0
6
273

Áp dụng định luật Sác–lơ:

p1

T1

=

p2

T2

 T2 =

p2
p1

T1

(1)

Độ biến thiên nội năng của khí:  U = Q = cvm(T2 – T1)
(2)
 p2

cv mT1
Thay (1) vào (2) ta được:  U = Q = cvm  T1  T1  =
(p2 – p1)
p1
 p1

 U=Q=

0,74.103.12.10  3 (27  273)
17,8.104

(4,2.9,81.104 – 17,8.104) = 3502J

Vậy: Nhiệt lượng truyền cho khí và độ biến thiên nội năng của
khí là 3502J.

Ví dụ 7. Trong xilanh có một lượng khí. Pittơng và khí quyển gây ra áp suất
bằng 2.105 N/m2 lên lượng khí ấy. Do nhận được nhiệt lượng 2,8kcal, khí
dãn nở đẳng áp. Cho biết cp = 7 kcal/kmol.độ. Tính:
a) độ biến thiên nội năng của khí.
b) độ tăng thể tích của khí (Cho 1cal = 4,19J).

343


Hướng dẫn
a) Độ biến thiên nội năng của khí
Cơng do khí thực hiện: A = p ΔV =

m
RΔT
μ

Nhiệt lượng do khí nhận được: Q =

m
.c ΔT (2)
μ p

Từ (1) và (2) suy ra: A =

(1)

QR
, với Q = 2,8kcal = 11732J; R = 8,31J/mol.độ; c p
cp

= 7kcal/kmol.độ = 29,33J/mol.độ:
11732.8,31
 A=
= 3324J
29,33
Từ nguyên lí I của Nhiệt động lực học suy ra: ΔU = Q – A = 11732–3324 = 8408J.
Vậy: Độ biến thiên nội năng của khí là 8408J.
b) Độ tăng thể tích của khí
A
3324
Từ (1) suy ra: ΔV =
=
= 0,01662m3 = 16,62 lít.
5
p
2.10

Vậy: Độ tăng thể tích của khí là 16,62 lít.
Ví dụ 8. Khí hêli đựng trong bình kín thể tích là 2 lít ở 27 0C, áp suất 105N/m2.
Tính:
a) vận tốc trung bình của ngun tử ở trạng thái đầu và trạng thái cuối.
b) nhiệt lượng cung cấp để tăng nhiệt độ khí lên 1270C.
c) nội năng của khí ở đầu, cuối q trình.
Hướng dẫn
a) Vận tốc trung bình của nguyên tử ở trạng thái đầu và trạng thái cuối
3RT1
3.8,31(27  273)
Trạng thái đầu: v1 =
=

= 1367 m/s.
μ
4.10 3
Trạng thái cuối: v2 =

3RT2

=

3.8,31(127  273)

μ
4.10 3
b) Nội năng của khí ở đầu và cuối q trình:
3
Vì khí hêli là đơn nguyên tử nên cv = R .
2

= 1579 m/s.

m 3
. RT1
μ 2
p1V1
m
m
+ Từ phương trình trạng thái: p1V1 =
RT1 
=
(2)

μ
μ
RT1
Nội năng của khí ở trạng thái đầu: U1 = ncvT1 =

(1)

+ Thay (2) vào (1) ta được:

344


U1 =

p1V1 3
3
3
. RT1 = p1V1  U1 = .105.2. 10 3 = 300J
RT1 2
2
2

Nội năng của khí ở trạng thái cuối: U2 =

3
3
p2V2 = p2V1
2
2

(3)

(Đẳng tích nên V2 = V1)
+ Theo định luật Sác–lơ:

p1

T1

=

p2

T2

 p2 =

T2
T1

p1

(4)

+ Thay (4) vào (3) ta được:
3 T2
3 (127  273)
U2 =
p1V1  U2 =
.105.2. 10 3 = 400J

2 T1
2 (27  273)
Vậy: Nội năng của khí ở đầu và cuối q trình là 300J và 400J.
c) Nhiệt lượng cung cấp để tăng nhiệt độ khí lên 127 0C: Vì nung nóng khí trong
bình kín (đẳng tích) nên cơng A/ do khí thực hiện bằng 0.
Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học:  U = Q + A = Q – A/ = Q
 Q =  U = U2 – U1 = 400 – 300 = 100J
Ví dụ 9. Một khối khí He chứa trong bình có thể tích 5 lít, áp suất 1,5.10 5N/m2,
nhiệt độ 270C.
a) Tính động năng trung bình của phân tử và mật độ phân tử.
b) Nén đẳng áp khối khí để mật độ phân tử tăng gấp hai lần. Tính nhiệt độ và
thể tích khí sau khi nén.
c) Tính nhiệt lượng khí truyền cho bên ngồi.
Hướng dẫn
a) Động năng trung bình của các phân tử và mật độ phân tử khí
3
3
Động năng trung bình: Wđ = kT = .1,38. 10 23 (27 + 273) = 6,21. 10 21 J.
2
2
Mật độ phân tử:
1,5.105
p
p = n0kT  n0 =
 n0 =
= 3,6.1025 m  3 .
 23
kT
1,38.10 .300
Vậy: Động năng trung bình của các phân tử khí là 6,21. 10 21 J và mật độ phân

tử khí là 3,6.1025 m  3 .
b) Nhiệt độ và thể tích khí sau khi nén đẳng áp
Ta có: p = n0kT = n /0 kT/ = 2n0kT/
T
300
=
= 150K hay t2 = 150 – 273 = –1230C.
2
2
V
V/
150
T/
Ta có:
=
 V/ = V
= 5.
= 2,5 lít.
/
T
300
T
T
Vậy: Nhiệt độ và thể tích khí sau khi nén đẳng áp là –123oC và 2,5 lít.
c) Nhiệt lượng truyền cho bên ngồi
Theo ngun lí I của Nhiệt động lực học:
 T/ =

345

 U = Q + A  Q =  U – A(1)
với: A là cơng khí nhận được; Q là nhiệt lượng khí nhận được;  U là độ biến
thiên nội năng của khí.
Ta có: A = –A/ = –p(V/ – V) = –1,5.105(2,5 – 5). 10 3 = 375J
3
3 m
với:  U = nR  T = . R(T/ – T)
(2)
2
2 μ
m
m
pV
RT 
=
(3)
μ
μ
RT
3 pV
3 pV /
Thay (2) vào (3) ta được:  U = .
R(T/ – T) = .
(T – T)
2 RT
2 T
3 1,5.105.5.10 3
 U= .
(150 – 300) = –562,5J

2
300
Thay giá trị của A và  U vào (1), ta được:
Q =  U – A = –562,5 – 375 = –937,5J.
Vậy: Nhiệt lượng khí truyền ra bên ngoài là –973,5J.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. 20g khí oxi ở áp suất 2.105N/m2, nhiệt độ 310C, được đun nóng đẳng áp và
dãn nở đến thể tích 25 lít. Tính cơng của khí.
Bài 2. Một khối khí có p1 = 1atm, V1 = 12 lít, t1 = 270C được đun nóng đẳng áp đến
nhiệt độ t2 = 770C. Tính cơng của khí.
Bài 3. 8 gam hiđrơ ở 270C, dãn nở đẳng áp thể tích tăng gấp 2 lần. Tính cơng của khí.
Bài 4. 2,2kg khí CO2 dãn nở đẳng áp, tăng nhiệt độ thêm  t = 2000C. Tính:
a) cơng khí đã thực hiện.
b) nhiệt lượng truyền cho khí.
c) độ biến thiên nội năng của khí.
Bài 5. 10g ôxi ở 150C và 2,77.105N/m2 dãn nở đẳng áp (c p = 0,9kJ/kg.độ) đến thể
tích 6 lít. Tính:
a) Cơng khí thực hiện và nhiệt lượng truyền cho khí.
b) Độ biến thiên nội năng của khí.
Bài 6. 160g ơxi được đun nóng đẳng tích (cv = 0,65kJ/kg.độ) tăng nhiệt độ từ 500C
đến 600C. Tìm nhiệt lượng truyền cho khí và độ biến thiên nội năng của khí.
Bài 7. Bình kín khơng dãn nở, chứa 14g nitơ ở 1atm và 27 0C, được đun nóng (cv =
0,74kJ/kg.độ), áp suất tăng lên đến 5atm. Hỏi độ biến thiên nội năng của khí.
Bài 8. Bình thể tích 10 lít chứa khí đơn ngun tử có mật độ n 0 = 3.10m–3. Động
năng trung bình của nguyên tử là 5.10–21J. Tính nội năng của khí trong bình.
Bài 9. Khối lượng m = 8g hêli chứa trong xilanh, đậy bởi pittơng nặng. Khí được
đun nóng đẳng áp từ nhiệt độ t1 = 270C đến 1270C. Tìm nhiệt lượng truyền cho
khí.
Bài 10. Khối m = 40g khí nêon ( μ = 20) ở 270C, thể tích ban đầu 6 lít.
a) Nén đẳng nhiệt, cơng lực ngồi là 6750J, thể tích giảm 4 lần. Tính nhiệt lượng

khí tỏa ra.
b) Hơ nóng đẳng áp thể tích khí tăng lên như cũ. Tính nhiệt lượng khí hấp thụ.
c) Vẽ đồ thị biến đổi trạng thái trong hệ (V, T), (p, T), (p, V).
Theo phương trình trạng thái: pV =

346


Bài 11. Để đốt nóng 1kg một chất khí chưa biết, ở áp suất khơng đổi, tăng thêm 1K
thì cần 912J; cịn để đốt nóng khối khí đó ở thể tích khơng đổi tăng thêm 1K thì
cần 649J. Đó là chất khí gì?
Bài 12. Một khối khí chưa biết có khối lượng m=1kg. Để làm nóng khối khí đẳng
áp tăng thêm T1 10 K thì cần truyền cho khí nhiệt lượng 9,12kJ. Cịn để làm
nóng đẳng tích tăng thêm T2 20 K thì truyền cho khí nhiệt lượng 12,98kJ. Đó
là chất khí gì? Cho R 8,31J / kg .mol .
Bài 13. Một bình cách nhiệt A được nối với một bình cách nhiệt B. Bình B có thể
tích lớn hơn rất nhiều so với bình A. Lúc đầu van đóng, trong hai bình đựng cùng
loại khí lý tưởng lưỡng ngun tử và ở cùng nhiệt độ là 30 0C. Áp suất khí trong
bình B gấp hai lần áp suất khí trong bình A. Mở van cho khí ở bình B qua bình A
một cách từ từ, đến khi áp suất khí hai bình cân bằng thì đóng van lại. Giả thiết
rằng trong suốt q trình đóng và mở van chất khí trong A và trong B khơng có sự
trao đổi nhiệt và áp suất khí trong bình A sau khi cân bằng bằng áp suất khí ban
đầu trong bình B. Hãy tính nhiệt độ của khí trong bình A sau khi nhiệt độ cân bằng.
Bài 14. Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử thực hiện quá trình biến đổi từ trạng
thái 1( p1 2atm,V1 1l ) sang trạng thái 2 ( p2 1atm, V2 3l ). Đường biểu diễn
sự thay đổi của áp suất theo thể tích của quá trình đó trong hệ tọa độ (p,V) là một
đoạn thẳng. Tính cơng mà chất khí thực hiện trong q trình chất khí nhận nhiệt ?
Bài 15. Một lượng khí lý tưởng gồm

3

mol, biến theo quá trình cân bằng từ
4
5

trạng thái có áp suất p 0 2.10 pa
và thể tích V0 = 8 lít đến trạng thái có
5

áp suất p1 10 pa và thể tích V1 =
20 lít. Trong hệ tọa độ p – V, quá trình
được biểu diễn bằng đoạn thẳng AB

p
P0

A
B

P1
O

V0

V1

V

(hình vẽ).
a. Tính nhiệt độ T0 của trạng thái đầu (A) và T1 của trạng thái cuối (B).
b. Tính cơng mà khí sinh ra và nhiệt lượng mà khí nhận trong cả quá trình.

347


Bài 16. Một khối khí lí tưởng biến
đổi từ trạng thái (1) sang trạng
thái (2) theo quy luật biểu diễn
như hình vẽ. Biết rằng ở trạng thái
(1) nhiệt độ T1=300K, V1=20.10-3
m3.
a) Tìm biểu thức liên hệ giữa
áp suất p và thể tích V của
chất khí.
b) Xác định nhiệt độ cao
nhất của quá trình.

p(10 5 Pa)

5

(2)
(1)

O

10

V(10  3 m 3 )

2025

D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1.
m RT1
Thể tích của khí trước khi đun nóng: V1 =
.
.
μ
p
Cơng do khí thực hiện khi dãn nở đẳng áp:

m RT1 
.
A = p.  V = p(V2 – V1) = p  V2 

 p 


20 8,31.(31  273) 
 3
 25.10  32 .

2.105
 = 3421,1J
 A = 2.105 
Vậy: Công của khí là A’ = 3421,1J.
Bài 2.
Áp dụng định luật Gay–Luytxắc cho quá trình đẳng áp, ta được:
T2
V2

V1
T
T2 = T1  V2 = V1 1
Cơng do khí thực hiện khi dãn nở đẳng áp:
 T2

 T2

 1

 V1 
V

 T1

A = p. V = p(V2 – V1) = p  1 T1
 = pV1

348


 77  273

 1 = 202,6J
 A = 1,013.105.12. 10 3 
 27  273

Vậy: Cơng của khí là A = 202,6J.
Bài 3.
Cơng do khí thực hiện khi dãn nở đẳng áp:

m
A = p.  V = p(V2 – V1) = p(2V1 – V1) = pV1 =
RT1
μ
8
.8,31(27 + 273) = 9972J.
2
Vậy: Cơng của khí là A = 9972J.
Bài 4.
a) Cơng khí đã thực hiện
m
m
Ta có: A = p(V2 – V1) = pV2 – pV1 =
R(T2 – T1) =
R t
μ
μ
Thay số: A =

2,2.103
.8,31.200 = 83100J = 83,1kJ
44
Vậy: Cơng khí đã thực hiện là 83,1kJ.
b) Nhiệt lượng truyền cho khí (đẳng áp)
Ta có: Q = cpm  t = 0,75.2,2.200 = 330kJ.
Vậy: Nhiệt lượng truyền cho khí là 330kJ.
c) Độ biến thiên nội năng của khí
Theo nguyên lí I của Nhiệt động lực học:  U = Q + A = Q – A
với:  U là độ tăng nội năng của khí; Q là nhiệt lượng khí nhận được; A là cơng
do khí nhận được; A/ là cơng do khí thực hiện.

Thay số:  U = 330 – 83,1 = 246,9kJ
Vì  U > 0 nên nội năng của khí tăng một lượng bằng 246,9kJ.
Bài 5.
a) Cơng khí đã thực hiện và nhiệt lượng truyền cho khí
Ở điều kiện chuẩn: 1mol khí O2 ở nhiệt độ t0 = 00C (273K),
áp suất p0 = 1,013.105Pa, chiếm thể tích V0 = 22,4 lít.
10
Suy ra: 10 g (= mol) khí O2 ở nhiệt độ t0 = 00C (273K),
32
10
10
Áp suất p0 = 1,013.105Pa, chiếm thể tích là: V0/ =
V0 =
.22,4 = 7 lít.
32
32
Gọi V1, p1, và T1 là thể tích, áp suất và nhiệt độ ban đầu của 10g khí ơxi. Theo
p1V1
p0 V0/
phương trình trạng thái của khí lí tưởng:
=
T1
T0
 A =

 V1 =

p0 T1
p1 T0

V0/ =

1,013.105 (15  273)
.
.7 = 2,7 lít
273
2,77.105

349